千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第96炼 平面几何

例2：如图，四边形内接于圆，与圆相切于点，，为的中点，，，，则 ．
思路：由与圆相切可想到切割线定理：即，因为是直径，且为的中点， 所以垂直平分，且和为对称的直角三角形。所以，，所以。在中，由切 线可知，且，所以由射影定理可知，则，进而 答案：
例3：如图，与圆相切于，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则 圆的半径等于__________．
思路：由图可知若要求得，可想到切割线定理模型，只需求得即可。由 割线与切线可想到切割线定理，从而可计算出，考虑计算，可将其放入 中计算，已知的边有，需要求解，在中，通过边的关系可判定，进而， 由角平分线可知，所以。从而可用余弦定理计算出，即可算出 解：切圆于点 由可得： 在中，
平分 在中，由余弦定理可得： 由切割线定理可得： 答案：
（2）由（1）可知是的垂直平分线，又因为是的弦 在上 连结，则由是切线可得 设的半径为，则
可得： 均为等边三角形
，从而
5、答案：4
解析：由切割线定理可知：，从而，由是中点可得，再由切线长相等可得
6、解析：（1）证明：四点共圆
（2）证明：设中点为，连结
在直线上 为中点，且不是的直径 即 ，由（1）得 为等边三角形
线，所以弦切角，因为，所以，从而，进而可证，由相交弦定理可
知：，所以，所以，代入可得：
答案：
例7：如图，已知 和 是圆的两条弦，过点 作圆的切线与 的延长线相交于 ，过点 作 的平行线与圆交于点 ,与 相交于点 , ,
, ,则线段 的长为_________ 思路：由是切线且是割线可想到切割线定理，所以①，分别计算各线段 长度。由 , , 可使用相交弦定理得：，再由可得：，所以，同时，代入①可得： 答案：
1、（2015，天津）如图，在圆中，是弦的三等分点，弦分别经过点，
若，则线段的长为（ ）
A.
B. C.
D.
2、（2015，广东）如图，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为， 过圆心作的平行线，分别交于点和点，则______
3、（2014，重庆）过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线依次 交圆于，若，则________
有： ，从而
4、圆的几何性质： （1）与角相关的性质 ① 直径所对的圆周角是直角 ② 弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等 ③ 同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半 ④ 圆内接四边形，其外角等于内对角 （2）与线段相关的性质： ① 等弧所对的弦长相等 ② 过圆心作圆上一条弦的垂线，则直线垂直平分该弦 ③ 若一条直线与圆相切，则圆心与切点的连线与该直线垂直
A. ①②
B. ③④
C. ①②③
D. ①②④
9、如图，在中，，点是的中点，于，的延长线交的外接圆于点 ，则 的长为__________
10、如图， 是圆 的直径，点 在圆 上，延长 到 使 ，过 作圆 的切线交 于 .若 ， ，则
.
习题答案：
1、答案：A 解析：由三等分，不妨设，则由切割线定理可得：，解得，再由切割线 定理可得：，所以
7、（2014，新课标II）如图，是外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，是的中点，的 延长线交于点，证明： （1） （2）
8、（2014，天津）如图所示：是圆的内接三角形，的平分线交圆于
点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点，在上述条件下，给
出以下四个结论：
① 平分；②；③；
④，则所有正确结论的序号是（ ）
5、与圆相关的定理 （1）切割线定理：设是的切线，为割线，则有： （2）相交弦定理：设是圆内的两条弦，且相交于，则有 （3）切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，且这两条切线的长 度相等
6、射影定理：已知在直角三角形中，，为斜边上的高（双垂直特 点），则以下等式成立：
注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。在直角三角形中的边这五 条线段中，可做到已知两条边的长度，即可求出所有边的长度 7、平面几何中线段长度的求法： （1）观察所求线段是否是某个定理的一部分，从而凑齐该定理的其他 条件即可求出该线段 （2）考虑所求线段是否与其它线段存在比例关系
例10：如图，是圆的两条平行弦，∥交于点，交圆于点，过点的切线交 延长线于点，若，则的长为__________ 思路：由切割线定理可得 从而，由两组平行关系可得四边形为平行四边形，从而，由可得：，若 设为，则，可想到相交弦定理，①，所以只需用表示出即可得到关于的 方程。因为与圆相切，所以，结合可得：，所以有，即，结合比例可 知：，由相交弦定理可得： ，代入①可得：，解得： 答案： 三、历年好题精选
例8：如图，已知与相切，为切点，过点的割线交于两点，弦，相交于 点，点为上一点，且，若，，，则 . 思路：由与相切可想到切割线定理，即，只需求出即可。从题目条件中 很难直接求出这两个量，考虑寻找题目中的相似三角形。由可得：，所
以①。由切割线定理可知②。因为，所以，进而，所以，则，代入，可 得，所以，由①可算得，所以，。则 答案： 例9：如图，切圆于点，割线经过圆心，若，平分交圆于点，连结交圆 于点，则的长等于__________
7、证明：（1）连结 是中点，且 ，且
（2）由切割线定理可得： 由相交弦定理可得： 8、答案：D 解析：①因为为切线，所以，由平分可得，又因为，所以，即平分，① 正确 ② 由切割线定理即可得到，②正确 ③ 涉及的相似三角形为：，则有，则有，结论③与之不符，③错误 ④ 涉及的相似三角形为：，由即可判定，所以，即，④正确
综上所述，正确的为①②④
9、答案： 解析：连结，可得： ，由可知
所以由射影定理可知： 10、答案： 解：连结 为圆的切线
为的中位线 是直径 在中，根据射影定理可得：
因为 为等腰三角形
2、答案：8
解析：连结，由可得，因为且圆于，所以；另一方面，由是直径可得，所以的平行线，且由是 中点可得为的一条中位线，所以，则在中，由双垂直（）可用射影定理，从而
3、答案：4 解析：设，则由切割线定理可得：，解得：，，因为是切线，所以，再 利用公共角可得：，所以，即 4、解析：（1）证明：是等腰三角形，且 是的平分线 为的切线 ，
第96炼 平面几何
一、基础知识： 1、相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形的判定 ① 三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似 注：由三角形内角和为可知，三角形只需两个内角对应相等即可 ② 两边及一夹角：若两个三角形的两条边对应成比例，且所夹的角相 等，则这两个三角形相似 ③ 三边：若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似 ④（直角三角形）若两个直角三角形有两组对应边成比例，则这两个直 角三角形相似 （2）相似三角形性质：若两个三角形相似，这它们的对应角相等，对 应边成比例即相似比（主要体现出“对应”两字），例如：若，则有：
（3）可将此线段放入三角形中，考虑是否能通过正余弦定理解决 （4）若不易找到题目中各线段与所求线段的联系，可考虑将所求线段 设为，通过方程进行求解。 二、典型例题：
例1：如图，已知切于点，割线与弦相交于点，且，若，则的长为
___________ 思路：由是切线，是割线联想到切割线定理，所以有：，解得，从而， 求可联想到相交弦定理：，即，其中，，代入可得： 答案：
例5：如图，为外接圆的切线，平分，交圆于，共线．若，则圆的半径
是
．
思路：由可知为圆的直径，由弦切角性质可得，且在圆中（对同弧），
由平分可得，进而，在中，可知：
，所以由可得：，在中，，可得，从而 答案：
例6：如图，内接于⊙，过中点作平行于的直线，交于点，交⊙于、，
交⊙在点切线于点，若，则的长为
．
思路：由为切线可想到切割线定理，所以，，只需求出即可。因为为切
4、（2015，新课标II）如图，为等腰三角形内一点，与的底边交于两 点，与底边上的高交于点，且与分别相切于两点 （1）证明： （2）若等于的半径，且，求四边形的面积
5、（2014，湖北）如图，为外一点，过点作的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交于 两点，若，则_______
6、（2014，新课标全国卷I）如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且 （1）证明： （2）设不是的直径，的中点为，且，
2、平行线分线段成比例：如图：已知，且直线与平行线交于，则以下 线段成比例： （1） （上比下） （2）（上比全） （3）（下比全） 3、常见线段比例模型：
（1）“A”字形：在中，平行的直线交三角形另两边于，即形成一 个“A”字，在“A”字形中，可得，进而有以下线段成比例： ① ② ③ （2）“8”字形：已知，连结相交于，即形成一个“8”字，在“8”字形中，
思路：由与圆相切于可知，可得，从而，在中，可由，，可得：，从 而，观察圆内的弦，延长交圆于，从而有，与半径进行联系可得：，代 入数值可得 答案：
例4：如图，是半圆的直径延长线上一点，切半圆于点切半圆于点，所以考虑连结圆心与切点，可得：，在中具有
双垂直的特点，所以只需已知两条边即可求出，由切割线定理可 得：，，所以 ，即，从而，由射影定理可得： 答案：B