初中数学九年级下册二次函数与一元二次方程(东湖中学)
九年级数学下册1.4二次函数与一元二次方程的联系习题湘教版
1。
4 二次函数与一元二次方程的联系01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程的联系1．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是（ )A．3 B．2C．1 D．02．（柳州中考）小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是（ )A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝43．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是( )A．2和－3 B．－2和3C．2和3 D．－2和－34．(滨州中考)抛物线y＝2x2－22x＋1与坐标轴的交点个数是（ )A．0 B．1C．2 D．35．若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴有交点，则整数c可以取下列四组中的（）A．5，6,7 B．4，5，6C．3，4，5 D．2，3,46．已知抛物线y＝x2＋6x＋m与x轴只有一个交点,则m＝____________。
知识点2 利用图象法求一元二次方程的根的近似值7．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）一个解的范围是( )x3。
233。
24 3.253。
26ax2＋bx＋c －0.06－0.020。
030.09A。
3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.268．用图象法求一元二次方程2x2－4x－1＝0的近似解．知识点3 二次函数与一元二次方程的联系的实际应用9．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x（m）之间的关系为y＝－错误!（x－4）2＋3，由此可知铅球推出的距离是____________m.10．一个人的血压与其年龄及性别有关，对于女性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱)与年龄x(岁）大致满足关系：p＝0。
01x2－0.05x＋107；对于男性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱）与年龄x（岁)大致满足关系：p＝0。
06x2－0。
02x＋120。
九年级下册数学二次函数与一元二次方程知识点
九年级下册数学二次函数与一元二次方程知识点九年级下册数学二次函数与一元二次方程知识点特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同当h0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;当h0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a0，当x ≤ -b/2a时，y随x 的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的`交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.。
26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系(课件)九年级数学下册(华东师大版)
公共点，则实数a的值为______．
【分析】根据函数y＝ax2﹣(a+3)x﹣1的图象与x轴 只有一个公共点，分a≠0和a＝0两种情况进行讨论，
从而确定出a的值．
解：当a≠0时，
∵关于x的函数y＝ax2﹣(a+3)x﹣1的图象与x轴只有
一个公共点， ∴Δ＝[-(a+3)]2﹣4a(-1)＝a2+10a+9＝0， 解得：a＝-1或-9，
y
y ax2 bx c
O
k1
k2 x
y=0
二次函数的图象 与 x 轴的交点.
问题1 二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象与 x 轴 (直线 y = 0) 的交点的横坐标是一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线 y = h 的 交点的横坐标是否也是某一个一元二次方程的根呢？
∵函数 y m 1 x2 3x 2 的图象与 x 轴有且只有一个交点，
∴m1 x2 3x 2 0 有 2 个相等的实数根，
∴ 9 8m1 0 ，
解得 m 1 ．
8
故答案为：
1
或
1 8
．
课堂练当习堂练习
1.抛物线 y＝x2＋x＋c 与 x 轴只有一个公共点，则 c 的 值为( B ) A．－1
解：如图，连结AE，BE， ∵当x＝0时，y1＝1， ∴A(0，1)．
∵B(3，1)，
∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等．
∵△ACE与△BDE的面积相等，∴CE＝DE，
湘教版初中数学九年级下册1.4 二次函数与一元二次方程的联系PPT课件
（4）解方程:
0＝20t－5t2 t2－4t=0
t1=0,t2=4
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发 出，4s时球落回地面．
0ｓ
４ｓ
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解 一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－ 4x+3 的值为0，求自变量x的值．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程 ax2+bx+c=0.
例题学习
例：求一元二次方程
的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程
的根就是：抛物线
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上
有关系 h = 20t－5t 2
考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地需要用多少时间？
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次
t1=1s
t2=3s
15m
15m
（2）解方程 20＝20t－5t 2 t 2－4t＋4=0 t1=t2=2
当球飞行2s时，它的高度为20m．
t1=2s
20m
（3）解方程 20.5＝20t－5t 2 t 2－4t＋4.1=0
因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解． 球的飞行高度达不到20.5m．
初中数学九年级下册课件：5.6 二次函数的图象与一元二次方程
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,12×1×
−
������ 4
=12×1×|am2+am|,
所以m=-12或m=−1−2 2或m=−1+2 2.
二次函数与一元二次方程有什么关系？如何应 用二次函数的图象解一元二次方程或不等式问 题？
5.6 二次函数的图象与一元二次 方程
学习目标
1.探索抛物线与x轴的交点横坐标和一元 二次方程的根的关系，体会方程与函数的 密切关系; 2.学会用图象法求一元二次方程近似根。
观察抛物线y=x2-2x-3，思考下面的问 题：
（1）抛物线与x轴有几个公共点？
..
公共点的坐标分别是什么？
抛物线与x轴有两个公共点（-。1,0)，（3。,0）。
y=ax2+bx+c与x轴的交点的坐标为
.
3.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点,则k的取值范围
是
.
4.二次函数y=-x2+4x-6的图象与x轴的交点的情况是
.
1.(1)✕ (2)✕ (3)√ 2.(-1,0),(6,0) 3.k≥-74且k≠0 4.没有交点
已知一元二次方程7x2-(k+13)x-k+2=0的两实根x1,x2满足0<x1<1<x2<2, 求k的取值范围.
������−
2������+1 2
2-���4���,所以点C的坐标为
2������+1 2
,−
������ 4
.
当y=0时,a(x-m)2-a(x-m)=0,解得x1=m,x2=m+1.所以AB=1.
当△ABC的面积等于1时,有12×1×
湘教版九年级数学下册第一章1.4.1二次函数与一元二次方程之间的关系
夯实基础
4．【2020·深圳】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标 为(－1，n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的 是( C )
A．abc＞0 B．4ac－b2＜0 C．3a＋c＞0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根
夯实基础
*5.【中考·岳阳】对于一个函数，当自变量 x 取 a 时，函数 值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点．如果二 次函数 y＝x2＋2x＋c 有两个相异的不动点 x1，x2，且 x1＜1＜x2，则 c 的取值范围是( ) A．c＜－3 B．c＜－2 C．c＜14 D．c＜1
夯实基础
10．【中考·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有
三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
夯实基础
【点拨】根据函数图象与坐标轴有三个交点，可得Δ ＝(－2)2－4b＞0，解得b＜1.但本题易忽略函数图象 与x轴的交点不能在原点上，即b≠0.否则与坐标轴只 有两个交点，故选A. 【答案】A
夯实基础
8．【2020·泸州】已知二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c(其中 x是自变量)的图象经过不同两点A(1－b，m)，B(2b＋c， m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b＋c的 值为( ) A．－1 B．2 C．3 D．4
夯实基础
【点拨】∵二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c的图象与x 轴有公共点， ∴(－2b)2－4×1×(2b2－4c)≥0，即b2－4c≤0①， 由抛物线的对称轴为直线 x＝－－22b＝b，抛物线经过不 同两点 A(1－b，m)，B(2b＋c，m)， ∴b＝1－b＋22b＋c，即 c＝b－1②，
华师版数学九年级下册精品课件-26.3.3-二次函数与一元二次方程之间的关系
知2－讲
知识点 2 二次函数与其图象与x轴的交点个数之间的关系
知2－讲
例2 不画图象，判断下列二次函数的图象与x轴的交点 个数． (1)y＝2x2＋5x－3； (2)y＝－4x2＋8x－4； (3)y＝3x2－4x＋7.
导引：先求出b2－4ac的值，再根据b2－4ac的值与0的大小 关系来判断．
(3)∵a＝3，b＝－4，c＝7. ∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×7＝16－84＝－68＜0. ∴二次函数y＝3x2－4x＋7的图象与x轴没有交点．
总结
知2－讲
判断一个二次函数的图象与x轴的交点个数时， 直接求出b2－4ac的值，根据它的符号来判断即可．
（来自《点拨》）
知2－练
1 下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( )
二次函数的图象与x轴交点?我们可以借助什么来研究?
知1－讲
知识点 1 二次函数与一元二次方程之间的关系
考点精讲：二次函数与一元二次方程是紧密联系又相互渗 透的，两者经常综合命题
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c，当y=0(或其他数值m)时，就变 成了一元二次方程ax2＋bx＋c=0（或m）.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与轴的交点情况有三种： 有两个交点，有一个交点，没有交点.如果抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴交于两点（x1,0） （x2,0）则x1,x2是一元二 次方程ax2＋bx＋c=0的两个不等实根，反之亦成立.
b2-4ac =
＜ 0.
知1－讲
例1 填空求抛物线 y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的
坐标．
导引：要求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的公共点坐标，需
求y＝0时对应的x的值；可令y＝0，根据3x2－8x＋4
湘教版九年级下册数学1.4二次函数与一元二次方程的联系课件
作出函数图象 yx22x1的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间
通过视察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
根为x1 -0.4，x2 2.4还可以用等分计算的方法
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
义务教育教科书（湘教）九年级数学下册
1.4二次函数与一元二次方程的联系
学习目标
• 1、通过探索，理解二次函数与一元二次方程之 间的联系（重点）
• 2、会用二次函数图象求一元二次方程的近似解 （重点）
• 3、通过研究二次函数与一元二次方程的联系体 会数形结合思想的应用
复习
求直线y=2x+4与x轴交点
yx26x9
yx22x2
归纳总结
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
和x轴交点
有两个交点
有一个交点
没有交点
说明：a≠0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个相异的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
y
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别
式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
2 3
∴ 与x轴交点的横坐标为（
2 3
，0）
3 yx 2-2 x 3
解
x2-2 x30
a=1 b=-2 c=3
△=（-2）2-4×1×3<0
此方程无解，所以，抛物线y=x2-2x+3与 x轴没有交点。
4．布置作业
华师版九年级数学下册课件-二次函数与一元二次方程不等式的关系
优质九年级数学下（HS） 教学课件
第26章 二次函数
26.3 实践与探索
第2课时 二次函数与一元二次方程(不等 式)的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式） 之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等 式的解集.（重点） 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
y＞0，所有实数；y＜0， y＜0，所有实数；y＞0，
无解
无解
当堂练习
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3C.23
m
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
与x轴交点
a＞0
有两个交点x1,x2 （x1＜x2）
y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x2 .
a＜0
y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x2.
有一个交点x0 没有交点
九级数学下册第二章 二次函数与一元二次方程
方程
ax2+bx+c=0(a ≠0)
横坐标的值
图象与x轴交点
根
个数
两种思想：函数与方程互相转化的思
想；数形结合思想。
作 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠ 0)
业
二次函数与一元二次方程
则方程x2-x-6=0有 个根，方程的根是
,
的取值范围
．
3．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=______
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
第3、4题 y=ax2+bx+c(a≠0)
由上抛小球落地的时间想到 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠ 0)
若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；
B（
）
ax2+bx+c=0(a ≠0)
请各位专家、同仁 批评指正
h=80 h=60
能力提升 业 精 于 勤 荒 于 嬉
已知抛物线y=x2+2x+m+1。 （1）若抛物线与x轴只有一个交 点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只 有一个交点，求m的值。
课堂检测 二次函数与一元二次方程
想一想
由上抛小球落地的时间想到
我们知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)
的关系可用公式h= -5t +v t+h 表示,其中h (m)是抛出时 2 若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；
一个关系：二次函数图象与一元二次方程根的关系:
数学九年级下：2.8《二次函数与一元二次方程课件》ppt课件
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？
解：x(x+2)=0 x=0或x+2=0
∴ x1=-2，x2=0
与x轴有2个交点： （-2，0）和（0，0）
方程的根是-2和0
二次函数y=x2-2x+1 一元二次方程x2-2x+1=0 的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情 况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就 是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
课堂点睛
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
解：∵解方程x2-3x-4=0得： x1=-1，x2=4
∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是： (-1，0)和(4，0)
课堂练习
5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4 的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
y
y=x2-4x+4
2
1
M
N
0 123
x
知识升华
出时的高度,v (m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面 0 A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明
当△﹤0时，方程
。
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的
九年级数学二次函数与一元二次方程
2.8 二次函数与一元二次方程（1）教学目标一、教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.二、能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.三、情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2、具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标. 教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程.2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法教学过程：1、设问题情境，引入新课我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k≠0)和一次函数y =kx+b (k ≠0)的关系，你还记得吗？它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.2、新课讲解例题讲解我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以用公式h =－5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么（1）h 与t 的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？小组交流，然后发表自己的看法.学生交流：（1）h 与t 的关系式是h =－5t 2+v 0t +h 0，其中的v 0 为40m/s，小球从地面抛起，所以h 0=0.把v 0,h 0带入上式即可求出h 与t 的关系式h =－5t 2+40t（2）小球落地时h为0 ，所以只要令h =－5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可.也就是－5t 2+40t=0t 2－8t=0∴t（t－8）=0∴t=0或t=8t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间.也可以观察图像，从图像上可看到t=8时小球落地.议一议二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像如下图所示（1）每个图像与x 轴有几个交点？（2）一元二次方程x2+2x=0 , x2－2x+1=0有几个根？解方程验证一下, 一元二次方程x2－2x +2=0有根吗？（3）二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？学生讨论后，解答如下：（1）二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像与x 轴分别有两个交点、一个交点，没有交点.（2）一元二次方程x2+2x=0有两个根0，-2 ；x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1 ；方程x2－2x +2=0没有实数根（3）从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x 轴有两个交点（0,0）,(-2,0) ，方程x2+2x=0有两个根0，-2;二次函数y=x2－2x+1的图像与x 轴有一个交点(1,0),方程x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1二次函数y=x2－2x +2 的图像与x 轴没有交点, 方程x2－2x +2=0没有实数根由此可知，二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.小结：二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y =0时自变量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.基础练习1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标.（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+42、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是3、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 .4、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= .5. 已知抛物线 y=-2(x+1)2+8 ①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.6、抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（）（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0（B）（C）a＞0 b2-4ac＞0 (D)a＜0 b2-4ac＜0想一想在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60 m？你是怎样知道的？学生交流：在式子h =－5t 2+v 0t +h 0中v 0为40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得－5t 2+40t=60t 2–8t+12=0∴t=2或t=6因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是60 m.课堂练习 72页小结：本节课学习了如下内容：1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想3、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?当取定值时一般地y.,,方程二次函数即为一元二次。
九年级数学下册14二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程例题讲析素材湘教版
《二次函数与一元二次方程》[例1]利用二次函数的图象求一元二次方程-2238x x +-=-的近似解.[点拨] 由于223y x x =-+-的函数值为8-时，对应点的横坐标即为一元二次方程2238x x -+-=-的解，故可通过作出函数图象来估算方程的近似解.解：在平面直角坐标系内作出函数223y x x =-+-的图象，如下图由图象可知方程2238x x -+-=-的根是抛物线223y x x =-+-与直线8y =-的交点.左侧的交点横坐标在1-与2-之间，另一个交点的横坐标在3与4之间.（1）先求交点横坐标在1-与2-之间的根，用计算器进行探讨. x 1.1-1.2- 1.3- 1.4- 1.5- y 6.41-6.84-7.29- 7.76-8.25- 因此， 1.4x =-是方程2238x x -+-=-的一个近似解.（2）另一个解也可类似地求出.x 3.13.2 3.3 3.4 3.5 y 6.41-6.8-7.29- 7.76-8.25- 因此， 3.4x =是方程2238x x -+-=-的另一个近似解.故一元二次方程2238x x -+-=-的解为121.4, 3.4x x =-=.此刻咱们用求根公式来验证一下.关于方程2238x x -+-=-整理得2250x x --=. 242022416x ±+±∴===±. 123.449 3.4, 1.449 1.4x x ∴=≈=-≈-因此利用图象法求得方程2238x x -+-=-的近似解121.4, 3.4x x =-=是完全正确的.[例2]已知函数24 3.y x x =-+（1）该函数图象与x 轴有几个交点?请作图予以验证;（2）试说明一元二次方程2432x x -+=的根与函数243y x x =-+的图象的关系,并将方程的根在图象上表示出来;（3）试问当x 为何值时,函数y 的值为15?[点拨]（1）可通过解方程,求出方程的解,即可明白图象与x 轴有几个交点;（2）方程2432x x -+=的根能够看做是函数243y x x =-+的值为2时x 的值,现在可依据图象来确信方程的解;（3）要使函数y 的值为15,即是确信24315x x -+=的解,这时既可观看图象估算出x 的值,也可直接解方程确信相应x 的值.解 ： （1）24161242430,2 1.2x x x ±-±-+=∴===± 123,1,x x ∴==即方程有两个实数解.∴ 函数243y x x =-+与x 轴必交于两点,且两点的横坐标为1和3,如下图.（2）由图可知,一元二次方程2432x x -+=的解正是函数243y x x =-+的函数值2y =时对应图象上点的横坐标,现在方程的解为x a =和x b =,,a b 在x 轴上的对应点如下图;（3）利用24315x x -+=得24120x x --=.解得122,6x x =-=即当2x =-或6x =时,函数243y x x =-+的值为15.[例3]已知抛物线221(6)32y x m x m =-++-与x 轴有A,B 两个交点,且A,B 关于y 轴对称. （1）求m 的值;（2）写出抛物线的解析式及极点坐标;（3）依照二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.[点拨]:关于抛物线221(6)32y x m x m =-+-+-给出了两个条件（1）抛物线与x 轴有两个交点;（2）两交点关于y 轴对称,关于条件（1）,由于二次项系数为负（12-）,因此抛物线开口向下.抛物线与x 轴有两个交点意味着其极点在x 轴上方，即极点纵坐标大于零；这两交点关于y 轴对称，意味着 抛物线的对称轴为y 轴，即极点横坐标为零，由此，能够确信m 的值.解：（1）设A （1x ，0），B （2x ，0），因为A ，B 关于y 轴对称，因此12120,0.x x x x +=⎧⎨<⎩ 020b a c a⎧-=⎪⎪∴⎨⎪<⎪⎩ 即()()22(6)0,12(3)0,2m m ⎧-=⎪⎨--<⎪⎩ 由（1）得6,6,m m ==±代入（2）验证6m =-不全合题意，6.m ∴=（2）把6m =代入解析式：213,2y x =-+极点坐标为(),3o . （3）方程221(6)302x m x m -+-+-=两个不等实根互为相反数或两个不等实根之和为零.[例4]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过（－1，7），且在x 轴上截取长为3的线段，对称轴方程是x －1＝0，求那个二次函数的解析式. 分析 按通常的解法，此题应列方程组来解，但假设能深刻试探“在x 轴”上截取长为3的线段，对称轴方程是“x －1＝0”的深层含义，充分利用抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的两交点的坐标别为（2.5，0），（－0.5，0），且2.5和－1.5是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，假设利用这些信息求解析式，那么变得十分简单，方式也更为轻巧.解：抛物线的对称轴方程是x ＝1，且在x 轴上截取的线段为3，因此抛物线与x 轴交点坐标别离为（2.5，0）（－0.5，0）.设此函数解析式为y＝a（x－2.5）（x＋0.5），把（－1，7）代入，解得a＝4；因此所求的二次函数解析式为y＝4x2－8x－5.由于二次函数的解析式中有三个参数a，b，c；运用待定系数法求a，b，c时，那么需3个独立条件，已知3个点的坐标是最大体的条件，但如果是已知对称轴方程，或抛物线与x轴的一个交点坐标，或截得线段的长时，仍可利用抛物线的对称性，转化为那个大体条件，只需把握那个转化就能够够了，那个地址确实是一例.。
2020春九年级下册数学 1.4二次函数与一元二次方程的联系教学课件(共17张PPT)
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别
式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
有一个交点 有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
体会两种思想： 数形结合思想 分类讨论思想
小结 拓展
1.二次函数y=ax2+bx+c与X轴交点个数的确定
2. 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别
式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
有一个交点 有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
说明：a≠0
练一练
下列二次函数的图象与x轴有交点吗？有几个交点？ (1) y=2x2 +x-3; (2) y=-4x2 -4x-1; (3) y=3x2 -2x+3; (4) y=x2 +(2k+1)x-k2 +k; (5) y=2x2 - (4k+1)x+2k2 -1;
(2)球的飞行高度能否达到20m? 若能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m? 若能,需要多少飞行时间?
已知二次函数 y=ax2 +bx+c (a≠0)的函数值为m，求自 变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax2 +bx+c=m(或ax2 +bx+c-m=0) (a≠0).
归纳总结 已知二次函数 y=ax2 +bx+c (a≠0)的函数值为0，求自 变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2 +bx+c=0(a ≠0).
九年级数学下册第26章第2课时二次函数和一元二次方程方程不等式的关系pptx课件新版华东师大版
32 y
y＝x2＋x－12
28
24
20
16
12
8
（－4，0）
4
（3，0）
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 6 x –4
–8
–12
x2＋x－12＝0的解为－4或3
（2）2x2－x－3＝0
8y
y＝2x2－x－3
7
6 5 4
3 2
（－1，0） 1
（1.5，0）
–2
–1 O
–1
1
2x
–2 –3
2x2－x－3＝0的解为－1或1.5
2. 利用函数的图象求下列方程组的解：【选自教材P30 习题26.3 第4题】
8y
7
6
5
4
3
2
（－0.6，0） 1
–2
–1 O
–1
–2
–3
方程组的解为
x1
y1
3 2 ，或 9 4
x1 y2
-1 .
1
y＝x2
y 1x3 22
（1.1，0）
–3
–2
–1
O –1
–2
1 2 3 4x
y＝－x＋1
运用小刘的方法求下列方程的根，
并检验小刘的方法是否合理：
（2）2x2－3x－2＝0
y 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 （－0.5，0） 1
–3 –2 –1 –O1 1 –2 –3
y＝2x2－3x－2
（2，0） 2 3 4x
2x2＝3x＋2
y
13
12 y＝2x2
11
10
y＝3x＋2
9
8 7
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1
-1
O
1
x
9 （ ）如图抛物线y = x2 + 1与双曲 k 线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等 k x 2 式 + x + 1 < 0的解集是 ( ) x A．x > 1 B ．x < −1 C． 0 < x < 1 D ．−1 < x < 0
y A x
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴 正半轴相交，其顶点坐标为 ，下列 1 ,10 结论：①ac ＜ ； 2 ②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知抛物线
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位臵
如图所示，则下列结论中正确的是( ) A． a>0 B ． b＜0 C ． c＜ 0 D． a＋b＋c>0
8. （ ）如图所示的二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下 2 b 4ac 0 2）c>1；（3） 面四条信息：（1） ；（ 2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 1个
2.一元二次方程的一般形式是？
ax2+bx+c=0(a≠0)
二．探索活动：
1．思考与探索：
二次函数
y x 2 x 3 与一元二次方 2 程 x 2 x 3 0 有怎样的关系？
2
观察二次函数 y x 的图象： 2x 3
2
2
你能确定一元二次方程 x 2 x 3 0的根吗？
4x 6 判断二次函数 y x 图象与 x轴的位置关 系。
2
y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
归纳总结：
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元
二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系：
1.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共 点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的 实数根。 2.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个公 共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的 实数根。 3.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点， 那么一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根。 反之，根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况， 可以知道二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位 臵关系。
x
y ax2 bx c
6.17
6.18
6.19
6.20
0.03
0.01
．
0.02
0.04
Ａ．
Ｃ． 6.18
6 x 6.17
x 6.19
Ｂ．6.17
x 6.18 6.19 x 6.20 Ｄ．
1．根据下列表格的对应值：
x
3.23 3.24 －0.02 3.25 3.26
4.二次函数y=3x2+5x与坐标轴交点的个数为（ A. 3个 B. 2个 C. 1个 D.0个 ）
4、已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公 共点，求k的取值范围.
1．已知抛物线 y 3x 6 x 24 ． （1）求它与x轴交点A、B的坐标，与y轴交 点C的坐标． （2）求△ABC的面积．
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明： 1、△＞0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有两个交点——相交. 2、△=0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有唯一公共点——相切（顶点）. 3、△＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴没有公共点——相离.
即证明对应方程中的b2-4ac＞0
随堂练习
1、方程 x 4 x 5 0 的根是 -5，1 ；则函数 2 的 y x 4 x 5 图象与x轴的交点有 2 个， （-5，0）、（1， 0） 其坐标是 ．
2
2、方程 ；则 x 2 10 x 25 0 的根是x1 x2 5 2 y x 10 x 25 的图象与x轴的交点有1 函数 个，其坐标是 （5，0） ． 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的系数有a-b+c=0, （-1,0） 则这二次函数图象必经过点 。
11. 如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c （a≠0）的图象的一部分， 给出下列命 题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a2b+c＞0．其中正确的命题 是 ．（只要求填写正确命题 的序号）
打高尔夫球时 ，球的飞行路线可以看成 是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力， 某次球的飞行高度y（单位：米）与飞行距 离x（单位：百米）满足二次函数 ： y= -5x2+20x
这个球飞行的水平距离最远是多少米？ y(米）
10
A
2 3 4
o O 1
x(百米）
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
初中数学九年级 (北师大版)
下册
二次函数与一元二次方程（1）
思考:抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元
二次方程的知识来说明呢？
Y
△＜0 △=0
△＞0
O
X
复习巩固： 2 已知抛物线 y x x 6 ，求它与x轴、 y轴的交点坐标
复习巩固：
1.二次函数的一般形式是？
y=ax2+bx+c(a≠0)
y
A(1,4)
O
B(4,4)
x
C
D
5. （ ）如图，为抛物线的 y=ax2+bx+c图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的 交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b < 2a D． ac<0
6. （ ）二次函数y=x2-2x-3的图 象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值 范围是（ ）． A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C． x＞ 3 D．x＜－1或x＞3
初中数学九年级 (北师大版)
下册
二次函数与一元二次方程(2)
观察与思考一： 观察二次函数y=ax2+bx+c的图象， 可知一元二次方程ax2+bx+c=0的哪些信息？
5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1
1
-1 -2 -3 -4
-5
2
3
4
5
思考与探索二：
你能根据函数y=x2+2x-5的图象，说出方程 x2+2x-5=0的根吗？
练一练：你能用同样的方法确定方程x2+2x-5=0的 另一个根x2的近似值吗？（精确到0.1）。
5 4 3 2
1
-4
-3
-2
-1
-2 -3 -4 -5
1
2
3
4
5
1．根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c 的自变量x与函数值y的对应值， 判断方程ax2+bx+c=0 （a≠0,a,b,c为常 数）的一个解x的范围是（ ）
2
2．已知二次函数
y 2x mx m
2
2
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数
图象与x轴总有公共点． （2）若该二次函数图象与x轴有两个公共 点A、B，且A点坐标为（1，0），求B 点的 坐标．
2 y 2 x 2x k 1 与坐标轴 3．已知抛物线 只有两个交点，求k的值．
2
（1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？ （2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？ 并求出这个公共点的坐标． （3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?
根据对应方程的 根的情况，可以 确定二次函数的 图象与x轴的交点 个数。
例题分析：
2 y x kx k 2 例2．已知：抛物线 求证：此抛物线与x轴必有两个不同交点．
y
4
3 2
N
1
M
-3 -2 -1 0
1 2 -1 出一元二次方程
x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.
y x2 6 x 9 y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
y x2 2 x 3
y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
根据一元二次方程 x 4 的根的情况， 0
2
4 x轴交点坐标是 判断二次函数 y x图象与 什么？
2
N
y 4 3 2 1
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
根据一元二次方程 x 2 4 x 6 0 的根的情况，
S S S S A
O
P
B
t
A．
O
t
O
t
O
t
B．
C．
D．