三角函数的定义(1)
三角函数的定义和性质
三角函数与复数的基本关系：复数可以表示为三角函数的形式，即z=r(cosθ+i sinθ)。
三角函数在复平面上的表示：复平面上，三角函数可以表示为点或向量，其模长和幅角分别对应于实部和虚部。
三角函数与复数在交流电中的应用：交流电的电压和电流可以用三角函数表示，而复数则可以更方便地描述正弦波的幅度和频率。
04
三角函数的扩展知识
反三角函数
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性质：反三角函数具有连续性、单调性、奇偶性和周期性等性质。
定义：反三角函数是三角函数的反函数，表示为arcsin、arccos和arctan等。
图像：反三角函数的图像与三角函数图像关系密切，可以通过三角函数图像得出反三角函数图像。
应用：反三角函数在数学、物理和工程等领域有广泛应用，例如求解三角形、解决极值问题等。
三角恒等式和不等式
三角恒等式：表示三角函数之间关系的等式，如正弦、余弦、正切等函数之间的相互转化。
三角不等式：表示三角函数值大小关系的不等式，用于比较三角函数值的大小或证明不等关系。
三角恒等变换：通过三角函数的和差、倍角、半角等公式，进行恒等变换，简化表达式或证明等式。
三角不等式的证明方法：利用三角函数的性质和几何意义等方法，证明三角不等式的关系。
三角函数与复数在信号处理中的应用：信号处理中，信号常常被表示为复数形式的三角函数，这使得信号的合成、分析和滤波变得更加方便。
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周期性：三角函数具有明显的周期性，图像呈现规律性的重复。
奇偶性：三角函数具有奇偶性，可以根据函数值的正负判断其奇偶性。
最大值和最小值：三角函数具有最大值和最小值，可以通过函数的极值点判断其最大值和最小值。
三角函数的概念
三角函数的概念三角函数是数学中一种重要的函数类型，它描述了角度和长度之间的关系。
它在几何、物理、工程和计算机图形等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的概念以及它们的定义、性质和图像特征。
一、三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值，用sin表示。
在三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的横坐标值，用cos表示。
在三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值与横坐标值的比值，用tan表示。
在三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。
例如，sin(θ)=sin(θ+360°)=sin(θ+2π)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数（sin(-θ)=-sin(θ)），余弦函数和正切函数是偶函数（cos(-θ)=cos(θ)，tan(-θ)=tan(θ)）。
3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1, 1]；正切函数的值域为全体实数。
三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像呈现出周期性的波形，对于一个周期内的任意值，其取值范围在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是在横坐标上有一个相位差。
3. 正切函数的图像在某些角度上会出现无穷大或无穷小，这些角度被称为正切函数的奇点。
四、三角函数的应用1. 几何学应用：三角函数在几何学中广泛应用于解决三角形相关的问题，如计算三角形的边长、角度和面积等。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中用于描述波动、振动和周期性现象，如声音和光的传播。
3. 工程学应用：三角函数在工程学中用于解决各种实际问题，如测量、设计和建模等。
三角函数的基本概念
三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的概念之一，它们是描述角度与三角形之间关系的函数。
在数学和物理学中，三角函数广泛应用于各种领域，包括几何、导数、微积分、辐射传输等。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用sin表示。
对于任意角度θ，正弦函数的值定义为对边与斜边的比值：sin(θ) = 对边/斜边。
正弦函数的定义域为整个实数集，值域为[-1,1]。
二、余弦函数余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用cos表示。
对于任意角度θ，余弦函数的值定义为邻边与斜边的比值：cos(θ) = 邻边/斜边。
余弦函数的定义域为整个实数集，值域也为[-1,1]。
三、正切函数正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，通常用tan表示。
对于任意角度θ，正切函数的值定义为对边与邻边的比值：tan(θ) = 对边/邻边。
正切函数的定义域为除了90度和270度的整数倍角之外的所有实数，值域为整个实数集。
四、余切函数余切函数是余弦函数与正弦函数的比值，通常用cot表示。
对于任意角度θ，余切函数的值定义为邻边与对边的比值：cot(θ) = 邻边/对边。
余切函数的定义域为除了0度和180度的整数倍角之外的所有实数，值域为整个实数集。
五、正割函数正割函数是正弦函数的倒数，通常用sec表示。
对于任意角度θ，正割函数的值定义为斜边与邻边的比值：sec(θ) = 斜边/邻边。
正割函数的定义域为除了90度和270度的整数倍角之外的所有实数，值域为(-∞,-1]和[1,+∞)。
六、余割函数余割函数是余弦函数的倒数，通常用csc表示。
对于任意角度θ，余割函数的值定义为斜边与对边的比值：csc(θ) = 斜边/对边。
余割函数的定义域为除了0度和180度的整数倍角之外的所有实数，值域为(-∞,-1]和[1,+∞)。
三角函数除了以上六种基本函数外，还有诸如反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等反三角函数，它们的定义域和值域不同于基本三角函数。
三角函数在数学上有丰富的性质和运算规律，如正弦函数和余弦函数的和差公式、倍角公式等，这些规律在解决实际问题时起着重要的作用。
三角函数的定义与性质
三角函数的定义与性质一、三角函数的定义三角函数是解析几何和三角学中非常重要的一类函数。
它们以三角形内的角度作为自变量，返回一个对应于角度的函数值。
在这里，我将介绍三角函数的定义及其性质。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：对于任意角θ，正弦函数的值定义为三角形中与角θ相对的边的长度与斜边长度的比值。
即sinθ = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：对于任意角θ，余弦函数的值定义为三角形中与角θ相邻的边的长度与斜边长度的比值。
即cosθ = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数（tan）：对于任意角θ，正切函数的值定义为正弦函数与余弦函数的比值。
即tanθ = sinθ / cosθ。
4. 余切函数（cot）：对于任意角θ，余切函数的值定义为余弦函数与正弦函数的比值。
即cotθ = cosθ / sinθ。
5. 正割函数（sec）：对于任意角θ，正割函数的值定义为斜边与邻边的比值。
即secθ = 1 / cosθ。
6. 余割函数（csc）：对于任意角θ，余割函数的值定义为斜边与对边的比值。
即cscθ = 1 / sinθ。
以上是三角函数的定义。
它们是以三角形中的长度比值构建的，可以用于解决各种与三角角度有关的问题。
二、三角函数的性质三角函数具有许多重要的性质，包括周期性、偶奇性、界值和定义域等。
1. 周期性：三角函数的周期性是它们最基本的性质之一。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x + 2π) = sinx，cos(x + 2π) = cosx。
而正切函数和余切函数的周期是π，即tan(x + π) = tanx，cot(x + π) = cotx。
这意味着在一个周期内，三角函数的值重复出现。
2. 偶奇性：正弦函数和余切函数是奇函数，而余弦函数和正切函数是偶函数。
三角函数初中数学知识点之三角函数的定义与计算
三角函数初中数学知识点之三角函数的定义与计算三角函数是数学中重要的基础概念之一，在初中数学中也是必须学习的内容。
本文将介绍三角函数的定义与计算方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 三角函数的定义三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，用于描述直角三角形中角与边的关系。
常用的三角函数有正弦函数sin、余弦函数cos和正切函数tan，它们的定义如下：- 正弦函数sin：在直角三角形中，对于一个锐角θ，它的正弦值sinθ等于对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
- 余弦函数cos：在直角三角形中，对于一个锐角θ，它的余弦值cosθ等于邻边与斜边的比值，即cosθ=邻边/斜边。
- 正切函数tan：在直角三角形中，对于一个锐角θ，它的正切值tanθ等于对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边。
这些定义可以用来计算不同角度下的三角函数值，帮助我们解决与角度和边长相关的问题。
2. 三角函数的计算为了更好地理解和应用三角函数，我们需要学会如何计算不同角度下的三角函数值。
下面是一些常用的计算方法：- 利用已知角度的特殊值：在角度为30°、45°和60°时，三角函数的值是可以直接计算得到的。
例如，sin30°=1/2，cos45°=1/√2，tan60°=√3。
- 利用三角函数的性质：三角函数具有一些特殊的性质，可以帮助我们计算其他角度下的三角函数值。
例如，sin(90°-θ)=cosθ、cos(90°-θ)=sinθ，利用这些性质可以将角度转化为已知角度的三角函数值来求解。
- 利用三角函数的图像：三角函数的图像可以帮助我们直观地理解三角函数的变化规律。
通过观察图像，我们可以推断出不同角度下的三角函数值的大小关系。
- 利用计算器：在实际计算中，我们可以使用计算器来求解不同角度下的三角函数值。
现代计算器已经内置了三角函数的计算功能，只需输入角度即可得到对应的数值。
三角函数入门课
三角函数入门课一、三角函数的定义三角函数是以弧度或角度作为自变量的单调函数。
它由三角关系引出，可以用来描述平面图形的变化和解决角的折线关系问题。
一般的三角函数有正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、正割（cot）、余割（sec）和余切（csc）等函数，它们分别等于弧度或角度在它们相应三角图形中可以得到的比值。
二、三角函数的基本概念1.正弦定义：sin（θ）= Opposite / Hypotenuse = Y/R2.余弦定义：cos（θ）= Adjacent /Hypotenuse = X/R3.正切定义：tan（θ）= Opposite / Adjacent = Y/X4.余割定义：sec（θ）= Hypotenuse / Adjacent = R/X5.余切定义：csc（θ）= Hypotenuse / Opposite = R/Y6.正割定义：cot（θ）= Adjacent /Opposite = X/Y三、三角函数的运算法则1.正弦公式：sin（a）=sin（A + B）=sin A x cos B + cos A x sin B2.余弦公式：cos（a）=cos（A + B）=cos A x cos B - sin A x sin B3.正切公式：tan（a）=tan（A + B）=(tan A + tanB) / (1 - tanA · tanB)4.余割公式：sec（a）=sec（A + B）=(sec A · sec B - 1) / (sec A · tanB + sec B · tanA)5.余切公式：csc（a）=csc（A + B）=(csc A · csc B - 1) / (csc A · tanB + csc B · tanA)6.正割公式：cot（a）=cot（A + B）=(cot A - cot B) / (1 + cot A · cot B)四、三角函数的重要性三角函数的重要性非常大，它是数学中的重要一环，常被应用在多种领域，如几何学中有用于计算角度，用于解决止角和平行线问题，物理学中用来计算定向和速度，引擎动力学中用来计算角动量，天体物理学中用来计算地球和行星的运行与轨道，测绘学中也gu用来解决大地测量定位和解止角问题；机械设计学中也用到了它们，以计算曲线和轮阶的参数关系；建筑学中用三角函数来计算建筑物的架空；电子科学中则用它们解决电位的变换；水文学中也有应用它们，如流速等关系都与三角函数有关系。
三角函数的定义与性质
三角函数的定义与性质三角函数是高中数学中的重要概念之一，它涉及到三角形的边长比例和角度的关系。
本文将从三角函数的定义、三角函数的性质以及三角函数在几何图形中的应用等方面进行探讨。
一、三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三角函数。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，其中一个锐角为θ。
根据定义，我们有以下三角函数：正弦函数（sinθ）：正弦函数定义为直角三角形中对边（b）与斜边（c）的比值，即sinθ = b/c。
余弦函数（cosθ）：余弦函数定义为直角三角形中邻边（a）与斜边（c）的比值，即cosθ = a/c。
正切函数（tanθ）：正切函数定义为直角三角形中对边（b）与邻边（a）的比值，即tanθ = b/a。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数都是周期函数，周期为2π或π。
即对于任意实数θ，有sin(θ+2π) = sinθ，cos(θ+2π) = cosθ，tan(θ+π) = tanθ。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；正切函数既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-θ) ≠ -tanθ。
3. 值域范围：正弦函数和余弦函数的值域范围是[-1, 1]，而正切函数的值域是整个实数集。
4. 互余关系：在直角三角形中，两个角的正弦值互为余弦值，两个角的余弦值互为正弦值，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
5. 基本关系：根据勾股定理，有sin^2θ + cos^2θ = 1，这是三角函数的基本关系。
三、三角函数的应用三角函数在几何图形中有广泛的应用，下面介绍三角函数在直角三角形和单位圆中的应用：1. 直角三角形中的应用：- 利用三角函数可以求解直角三角形中的边长和角度。
- 利用正弦定理和余弦定理可以解决一般三角形中的边长和角度问题。
2. 单位圆中的应用：- 在单位圆中，角度θ对应的点坐标为(cosθ, sinθ)，这是三角函数与单位圆的重要关系。
高中数学必修一课件：三角函数的概念
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
三角函数知识点归纳总结
三角函数是高中数学中的重要内容，涉及到三角函数的定义、性质、图像、公式等方面的知识。
下面是对三角函数知识点的归纳总结：一、三角函数的定义1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对边与斜边的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，邻边与斜边的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对边与邻边的比值。
4. 余切函数（cot）：在直角三角形中，邻边与对边的比值。
5. 正割函数（sec）：在直角三角形中，斜边与邻边的比值。
6. 余割函数（csc）：在直角三角形中，斜边与对边的比值。
二、三角函数的性质1. 奇偶性：sin和cos函数是奇函数，tan和cot函数是偶函数。
2. 周期性：sin和cos函数的周期为2π，tan和cot函数的周期为π。
3. 值域：sin和cos函数的值域为[-1, 1]，tan和cot函数的值域为实数集。
4. 单调性：sin和cos函数在每个周期内单调递增或递减，tan和cot函数在每个周期内单调递增。
5. 对称性：sin和cos函数关于原点对称，tan和cot函数关于坐标轴对称。
三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。
2. 余弦函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。
3. 正切函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。
4. 余切函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。
5. 正割函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。
6. 余割函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。
四、三角函数的基本公式1. 和差公式：sin(a+b) = sina * cosb + cosa * sinb；cos(a+b) = cosa * cosb - sina * sinb；tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana * tanb)；cot(a+b) = (1 / tana + 1 / tanb) / (1 / tana * 1 / tanb - 1)；sec(a+b) = secab / (cosa * cosb - sina * sinb)；csc(a+b) = cscab / (cosa * cosb + sina * sinb)。
三角函数的定义、图像和性质
极值点：函数 在其周期内取 得最大值和最 小值的点，即 最值点的横坐 标
0 4
诱导公式
三角函数的诱导 公式是三角函数 性质的重要组成 部分，它可以帮 助我们简化复杂 的三角函数计算。
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诱导公式包括正 弦、余弦和正切 的诱导公式，它 们可以通过三角 函数的周期性和 对称性推导出来。
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奇偶性
奇函数：满足f(-x)=-f(x) 的函数
偶函数：满足f(-x)=f(x) 的函数
奇偶性的判断方法：根据 定义来判断
奇偶性在三角函数中的应 用：判断函数的图像对称
性
最值和零点
最大值和最小 值：三角函数 在其周期内可 以达到的最大 和最小值
0 1
零点：函数值 为零的点，即 解方程的根
0 2
周期性：三角 函数图像呈现 周期性变化， 每个周期内存 在一个最大值 和一个最小值
利用诱导公式， 我们可以将任意 角的三角函数转 化为锐角或0到 360度之间的角的 三角函数，从而
简化计算。
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诱导公式在三角 函数的图像和性 质中有着广泛的 应用，可以帮助 我们更好地理解 三角函数的性质
和图像。
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三角函数的定义、 图像和性质
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目录
01 三 角 函 数 的 定 义 02 三 角 函 数 的 图 像 03 三 角 函 数 的 性 质
01
三角函数的定义
正弦函数
定义：正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，x∈R。 图像：正弦函数的图像是一个周期函数，形状类似于波浪。 性质：正弦函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
初中数学：三角函数
初中数学：三角函数三角函数是数学中经典的概念之一，是数学分析、数学物理、工程等领域的基础工具。
本篇文章将从初中三角函数的定义、性质、常见角度及其应用等方面进行介绍。
一、三角函数的定义1. 正弦函数正弦函数Sine，简写为sin，是一个经典的周期函数，它的周期是2π。
在数学上，正弦函数可以用一个圆上的角的对边长度与斜边长度之比来定义。
设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的正弦值为：sinα = 对边/ 斜边2. 余弦函数余弦函数Cosine，简写为cos，同样是一个经典的周期函数，它的周期也是2π。
在数学上，余弦函数可以用一个圆上的角的邻边长度与斜边长度之比来定义。
设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的余弦值为：cosα = 邻边/ 斜边3. 正切函数正切函数Tangent，简写为tan，用一个直角三角形的对边长度与邻边长度之比来描述。
设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的正切值为：tanα = 对边/ 邻边4. 余切函数余切函数Cotangent，简写为cot，是正切函数的倒数，它用邻边长度与对边长度之比来描述。
设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的余切值为：cotα = 邻边/ 对边二、三角函数的性质1. 正弦函数和余弦函数的特点正弦函数与余弦函数具有如下特点：（1）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期均为2π。
（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
（3）取值范围：正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。
2. 正切函数和余切函数的特点正切函数与余切函数具有如下特点：（1）周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，周期均为π。
（2）奇偶性：正切函数是奇函数，余切函数也是奇函数。
（3）取值范围：正切函数的取值范围是R（实数集），余切函数的取值范围也是R，但余切函数的定义域不包括π的整数倍。
三、常见角度的三角函数值1. 30°、45°、60°三角函数值（1）30°角正弦函数：sin30° = 1/2余弦函数：cos30° = √3/2正切函数：tan30° = 1/√3余切函数：cot30° = √3（2）45°角正弦函数：sin45° = √2/2余弦函数：cos45° = √2/2正切函数：tan45° = 1余切函数：cot45° = 1（3）60°角正弦函数：sin60° = √3/2余弦函数：cos60° = 1/2正切函数：tan60° = √3余切函数：cot60° = 1/√32. 常用角度的三角函数值（1）0°和180°角正弦函数：sin0° = 0，sin180° = 0余弦函数：cos0° = 1，cos180° = -1正切函数：tan0° = 0，tan180° = 0余切函数：cot0° = 无穷大，cot180° = 无穷大（2）90°和270°角正弦函数：sin90° = 1，sin270° = -1余弦函数：cos90° = 0，cos270° = 0正切函数：tan90° = 无穷大，tan270° = 无穷大余切函数：cot90° = 0，cot270° = 0四、三角函数的应用1. 三角函数在直角三角形中的应用在直角三角形中，三角函数可以用来计算三角形的各个边与角。
三角函数的定义及基本性质
三角函数的定义及基本性质三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
本文将介绍三角函数的定义及其基本性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
一、正弦函数的定义及基本性质正弦函数是指以角度为自变量，正弦值为函数值的函数。
记作sin(x)，其中x为角度。
1. 定义：正弦函数可以通过单位圆上一点P(x,y)的纵坐标y来定义，即sin(x) = y。
2. 周期性：正弦函数的一个重要性质是周期性，即sin(x) = sin(x +2π)，其中π为圆周率。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
4. 反函数：正弦函数的反函数是反正弦函数，记作arcsin(x)或sin^(-1)(x)。
二、余弦函数的定义及基本性质余弦函数是指以角度为自变量，余弦值为函数值的函数。
记作cos(x)，其中x为角度。
1. 定义：余弦函数可以通过单位圆上一点P(x,y)的横坐标x来定义，即cos(x) = x。
2. 周期性：余弦函数同样具有周期性，即cos(x) = cos(x + 2π)。
3. 偶函数：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
4. 反函数：余弦函数的反函数是反余弦函数，记作arccos(x)或cos^(-1)(x)。
三、正切函数的定义及基本性质正切函数是指以角度为自变量，正切值为函数值的函数。
记作tan(x)，其中x为角度。
1. 定义：正切函数可以通过正弦函数和余弦函数的比值来定义，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。
2. 周期性：正切函数同样具有周期性，即tan(x) = tan(x + π)。
3. 奇函数：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
4. 反函数：正切函数的反函数是反正切函数，记作arctan(x)或tan^(-1)(x)。
综上所述，正弦函数、余弦函数和正切函数都是三角函数的重要代表。
它们的定义及基本性质是求解三角方程、解决三角关系以及研究周期性现象等数学问题的基础。
三角函数的概念(基础知识+基本题型)(含解析)
5.2.1 三角函数的概念（基础知识+基本题型）知识点一 任意角的三角函数 1、单位圆的概念在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆. 2、任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan 0yx xα=≠. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
拓展：（1）任意角的三角函数的定义一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则sin ,cos ,tan (0)y x yx r r xααα===≠ （2）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. （3）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和(,)P x y 所在中边上的位置无关，而由角α的终边位置决定.（4）要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如()f x 表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin α”“cos α”“tan α”等式没有意义的.知识点二 三角函数的定义域和函数值的符号1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下∶2.在各个象限内的符号，如图所示.【拓展】为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负.由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值,根据三角函数的定义,知 (1)正弦函数的符号取决于纵坐标y 的符号; (2)余弦函数的符号取决于横坐标x 的符号;(3)正切函数的符号是由,x y 的符号共同决定的,即,x y 同号为正,异号为负. 知识点三 诱导公式一公式一:()sin 2sin k παα+⋅= , ()cos 2cos k παα+⋅=, ()tan 2tan k παα+⋅=, 【提示】(1)诱导公式一说明终边相同的角的同一三角函数值相等.(2)任意给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;若给定一个三角函数值,则有无数个角与之对应. (3)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π内的角 的三角 函数值.其中 k Z ∈ . 知识点四 三角函数线 1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线的定义如图 1.2-4,设任意角α的顶点在原点o (单位圆的圆心),始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,()P x y ,过点p 作x 轴的垂线,垂足为点M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α 的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (因为过切点的半径垂直于圆的切线,所以AT 平行于y 轴 ).于是sin ,cos ,tan y MP AT y MP x OM AT x OM OAααα======== . 我们规定与坐标轴 同向时 ,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,它们统称为三角函数线.【提示】(1)三角函数线的意义是可以表示三角函数的值,其长度等于三角函数的绝对值,方向表示三角函数值的正负.(2)因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段,所以作角的三角函数线时,一定要先作出单位圆. (3)有向线段的书写:有向线段的起点字母写在前面,终点字母写在后面.考点一 三角函数的定义及函数值符号 【例1】 有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若sin20α> ,则α 是第一象限角;④若α 是第二象限角,且(,)P x y 是其终边上一点,则cos α= .其中正确说法的个数是 ( ) A.1B.2C.3D.4解析: 对于此类三角函数的题目,需要逐个判断.充分利用三角函数的定义求解是关键.总结: (1)解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.(2)注意问题:①对于不同象限的角,求其三角函数值时,要分象限进行讨论;②终边在坐标轴上的角不属于任何象限.考点二 求三角函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域: (1)sin tan y x x =+ ;(2)sin cos tan x xy x+=.解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义, 所以,().2R x k k Z x ππ∈≠+∈⎧⎪⎨⎪⎩ 所以函数sin tan y x x =+的定义域为 2,k x Z x k ππ∈⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭.(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan 0x ≠ ,所以,2()Z k x k x k πππ⎧⎪⎨⎪⎩≠+∈≠所以函数sin cos tan x xy x +=的定义域为,2k x x k Z π≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. (1)解题时要注意函数本身的隐含条件.(2)求三角函数的定义域,应 熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域 ,一 般用弧度制表示.考点三 诱导公式一的应用 【例3 】计算下列各式的值:(1) ()()sin 1395cos111cos 1020sin7500︒︒︒︒-+-;(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 解: (1)原式()()()()sin 454360cos 303360cos 603360sin 302360︒︒︒︒︒︒︒︒=-⨯+⨯+-⨯+⨯ cos30cos60sin30sin 45︒︒︒︒+=1122=⨯14=+=(2)原式()2sin 2cos 2tan 0465πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21sincos0652ππ=+⨯= . 利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数,也可把大于2π 的角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数, 即实现了“负化正 ,大化小”. 要注意记 忆特殊角的三角 函数值.考点四 三角函数线的应用【例4】 利用单位圆中的工角函数线 ,分别确定角θ的取值范围.(1)sin θ(2)1co s 2-≤< .分析: 先作出三角函数在边界时的三角函数线,观察角在什么范围内变化, 再根据范围区域写出θ 的取值范围.解: (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围, 即,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围,即22362k k πππθπ<--+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ .解形如()f m α≤ 或()()1f m m α≥< 的式子时,在直角坐标及单位圆中标出满足()f m α= 的两个角的终边(若为正弦函数,则角的终边是直线y m = 与单位圆的两个交点 与原点的连线;若为余弦函数,则角的终边是直线x m = 与单位圆的两个交点与原点的连 线 ;若为正切函数,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同). 根据三角函数值的大小,先找出α 在0~2π (或 ~ππ- )内 的取值 ,再加上2()k k Z π∈ 即可.。
1.2 任意角的三角函数
b
a
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1 2．已知角 α 的终边与单位圆交于 P(x， )，则 cos α ＝ 2 ________． 1 3 3 2 解析：由 x ＋4＝1，得 x＝± 2 ，故 cos α＝x＝± 2 . 3 答案：± 2
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创新方案系列丛书 考点3 三角函数值的符号问题
角函数值．
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1．求下列三角函数值． 17π 47π 17π (1)sin－ ； (2)cos ； (3)tan－ . 6 3 4
47π π π 1 解：(1)sin－ 6 ＝sin－8π＋6＝sin ＝ ； 6 2 π 17π π 2 (2)cos ＝cos4π＋4＝cos ＝ ； 4 4 2 17π π (3)tan－ 3 ＝tan－6π＋3 ＝tan
1 解析：由三角函数定义知，sin α＝－2. 1 答案：－2
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5．cos 6²tan 6的符号为________(填“正”、“负”或“不确
定”)．
3π 解析：∵ <6<2π，∴6 是第四象限角． 2 ∴cos 6>0，tan 6<0，则 cos 6· tan 6<0. 答案：负
解析：②③④均错，①正确．
答案：A
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2．已知tan x>0，且sin x＋cos x>0，那么角x是( A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 )
D．第四象限角
解析：由tan x>0，得α为第一、三象限角．而α为第三象限角时，
高一数学必修4三角函数的定义讲义
三角函数的定义知识梳理1、任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0).2、三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．3、三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z 4、三角函数值的符号5、终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .例题精讲题型一、三角函数的定义及应用例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sinα＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．题型二、三角函数值符号的运用例2、(1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．变式训练若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．题型三、诱导公式一的应用例3、计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.变式训练求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.课堂小测1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3、sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5、化简下列各式：(1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.同步练习1、25πsin6等于( )A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-2、若角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=（ ）A ．1615 B ．1615- C ．1516D ．1516- 3、利用余弦线比较cos1，πcos 3，cos 1.5的大小关系是( ) A ．πcos1cos cos1.53<< B ．πcos1cos1.5cos 3<< C ．πcos1coscos1.53>> D ．πcos1.5cos1cos 3>> 4、如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A T '' B ．正弦线MP ，正切线A T '' C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT5、角α的终边经过点(),4P b -且3cos 5α=-，则b 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 6、已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数()|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x f x x x=++的值域是( ) A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1-- C ．{}1,3 D ．{}1,3- 7、在[]0,2π上，满足3sin 2x ≥的x 的取值范围为( ) A ．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A ．sin2θB ．cos2θC ．tan2θD ．cos 2θ9、已知α的终边经过点()36,2a a -+，且sin 0,cos 0,αα>≤则α的取值范围为________．10、若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(),P m n 是α终边上一点，且10OP =，则m n -=_____. 11、已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围为__________． 12、(1)23π17πcos tan 34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540︒+︒+︒+︒.13、当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin tan ααα<<.14、已知角α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α，tan α的值．。
三角函数的概念(1)三角函数的定义(讲)高一数学同步讲练测(新教材人教A版必修第一册)
专题19三角函数的概念（1）三角函数的定义（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1．任意角的三角函数的定义(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)三角函数的定义①如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．②我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么：比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ y r； 比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ x r； 比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．(2)要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f (x )表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”等是没有意义的．(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．(3)定义域：如表所示三角函数解析式 定义域 正弦函数y ＝sin x R 余弦函数y ＝cos x R 正切函数y ＝tan x {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }2．三角函数值的符号sin α、cos α、tan α在各个象限的符号如下：[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．3．公式一(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα．[知识点拨]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．4．有向线段一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1．5．三角函数线的作法如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合)．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．[知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．6．三角函数线的作用(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．1．若点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），则点P的坐标为．【解析】解：点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），设点P的坐标为（a，b），a＜0，b＞0．则a2+b2＝4，且tan，求得a，b＝﹣1（舍去），或a，b＝1，故点P的坐标为（，1），故答案为：（，1）．2．已知角α终边落在直线上，求值：．【解析】解：当角α终边落在直线（x≥0）上，α为锐角，sinα cosα均为正值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则2．当角α终边落在直线（x＜0）上，α∈（π，），sinα cosα均为负值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则，故答案为：2或．3．函数的值域为．【解析】解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，可知函数的值域是{﹣2，0，2}，故答案为：{﹣2，0，2}．4．若cosα＞0，tanα＜0，则α在第象限．【解析】解：∵cosα＞0，∴α在第一象限或第四象限或x轴正半轴，∵tanα＜0，∴α在第二象限或第四象限，综上，α在第四象限．故答案为：四．5．若，则点P（tanθ，sinθ）位于第象限．【解析】解：∵，∴tanθ＜0，sinθ＞0，故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限，故答案为：二．典型题型与解题方法重要考点一：利用三角函数的定义求三角函数值【典型例题】已知角α和角β的终边垂直，且角α终边上一点坐标P（1，2），则tanα＝，cosβ＝．【解析】解：由任意角的三角函数的定义可知tanα2，可得sinα，所以cosβ＝cos（α±）＝±sinα＝±．故答案为：2，±．【题型强化】已知a＜0，角α的终边上有一点P（3a，﹣4a），则sinα＝．【解析】解：由三角函数的定义可知sinα，当a＜0时，sinα．故答案为：．【收官验收】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα＝，cos2α＝．【解析】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα，cos2α，故答案为：；．【名师点睛】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝ba2＋b2，余弦值cosα＝aa2＋b2，正切值tanα＝ab．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．重要考点二：三角函数在各象限内符号的应用【典型例题】如果sinθ＞0，tanθ＜0，那么角θ所在象限是．【解析】解：根据题意，若sinθ＞0，θ为第一二象限的角，tanθ＜0，θ为第二四象限的角，则sinθ＞0，tanθ＜0，则θ为第二象限的角，故答案为：第二象限【题型强化】若点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，那么角θ终边落在第象限．【解析】解：根据题意，点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，则有，即，则有，则角θ终边落在第四象限；故答案为：四【收官验收】已知α是第三象限的角，则sin（cosα）•cos（sinα）的符号是号（填正或负）【解析】解：∵α是第三象限的角，∴﹣1＜cosα＜0，﹣1＜sinα＜0，则sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0，即则sin（cosα）•cos（sinα）＜0，故答案为：负．【名师点睛】(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．重要考点三：分类讨论思想在化简三角函数式中的应用【典型例题】已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则．【解析】解：圆心角θ2，∵2＜π，∴sinθ＞0，cosθ＜0，tanθ＜0，∴1﹣1﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1【题型强化】函数y的值域是．【解析】解：由题意可得：sin x≠0，cos x≠0，tan x≠0，角x的终边不在坐标轴上，当x∈（2kπ，2kπ），k∈Z时，y1+1+1＝3；当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z时，y1﹣1﹣1＝﹣1；当x∈（2kπ+π，2kπ），k∈Z时，y1﹣1+1＝﹣1；当x∈（2kπ，2kπ+2π），k∈Z时，y1+1﹣1＝﹣1．可得：函数y的值域是{3，﹣1}．故答案为：{3，﹣1}．【收官验收】设α角属于第二象限，且|cos|＝﹣cos，则角属于象限．【解析】解：∵|cos|＝﹣cos，∴cos0，∵α角属于第二象限，∴属于第一或三象限，∴角属于第三象限，故答案为：三【名师点睛】对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．重要考点四：三角函数定义理解中的误区【典型例题】已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα，则x＝．【解析】解：由题意可得cosα，求得x＝﹣8，故答案为：﹣8．【题型强化】已知点P（cosθ，sinθ）在第三象限，则角θ的终边落在第象限．【解析】解：∵点P（cosθ，sinθ）在第三象限，∴cosθ＜0，θ可能在第三象限或者第二象限或x轴的负半轴，sinθ＜0，θ可能在第三象限或者第四象限或y轴的负半轴，所以θ在第三象限．故答案为：三．【收官验收】α，β∈{1，2，3，4，5}，那么使得sinα•cosβ＜0的数对（α，β）有个．【解析】解：∵1在第一象限，2，3在第二象限，3，4在第三象限，5在第四象限，若sinα•cosβ＜0，则若α是第一象限，则β是第三象限，此时为（1，3），（1，4），若α是第二象限，则β是第三象限，此时为（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），若α是第三象限，则β是第一或第四象限，此时为（3，1），（4，1），（3，5），（4，5），若α是第四象限，则β是第一或第四象限，此时为（5，1），（5，3），（5，4），综上共有13个，故答案为：13重要考点五：利用三角函数线比较大小【典型例题】设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解析】解：a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°＝sin28°，根据单位圆的三角函数线：AB＝b，EF＝c，CD＝a，即：tan38°＞sin28°＞sin24°，即a＜c＜b，故选：D．【题型强化】sin4，cos4，tan4的大小关系是（）A．sin4＜tan4＜cos4 B．tan4＜sin4＜cos4C．cos4＜sin4＜tan4 D．sin4＜cos4＜tan4【解析】解：如图作单位圆，∵4，∴tanα＝AT＞0，sinα＝BP＜0，cosα＝OB＜0；故BP＜OB＜AT；故sin4＜cos4＜tan4；故选：D．【收官验收】已知sinθ，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．【解析】解：画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是{θ|2kπθ≤2kπ或2kπx≤2kπ，k∈Z}【名师点睛】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．重要考点六：利用三角函数线求解不等式【典型例题】利用单位圆和三角函数线，分别求出使下列各组条件成立的x的集合．（1）；（2）tan x．【解析】解：（1）画出图形，如图所示；单位圆中的三角函数线同时满足sin x，cos x的x是，k∈z；即x的取值范围是{x|2kπx≤2kπ，k∈z}．（2）（2）如图①所示，过点（1，）和原点作直线交单位圆于P和P′，则射线OP、OP′就是满足tan x的角x的终边，∵在[0，2π）内，满足条件的∠POx＝π，∠P′Ox；∴满足条件tan x的角x的集合是{x|x kπ，k∈Z}，则满足tan x的角x的集合是{x|kπ≤x kπ，k∈Z}．【题型强化】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin与sinπ（2）cos与cos（）（3）tan与tanπ【解析】解：（1）sin与sinπ，sin与sinπ对应的三角函数线如图①所示：即sin NB，sinπ＝MA，则有sinπ＞sin；（2）cos与cos（）cos与cos（）对应的三角函数线如图②所示：cos OM，cos（）＝ON，则有cos cos（）；（3）tan与tanπ，tan与tanπ对应的三角函数线如图③所示：即有tan AM，tanπ＝AN，则有tanπ＞tan．【收官验收】利用单位圆，求适合下列条件的角的集合．（1）cosα；（2）sinα．【解析】解：（1）在单位圆内作出cosα的三角函数线如图1所示；在[0，2π）内，cos cos，OA，OB分别为，的终边，由余弦线可知，满足cosα的角的取值集合是{α|α2kπ或α2kπ，k∈Z}；（2）在单位圆内作出sinα的三角函数线如图2所示；在[0，2π）内，sin sin，OA，OB分别为，的终边，由正弦线可知，满足sinα的角的解集为{α|2kπ≤α2kπ，k∈Z}．【名师点睛】利用三角函数线解sinα≥a，sinα≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：①如图所示，画出单位圆；②过y轴上一点M(0，a)作y轴的垂线，交单位圆于P，P′两点，作射线OP，OP′；③写出射线OP与OP′对应的角；④图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≤a(|a|<1)的角α的终边所在的范围，空白部分(包括边界)即满足sinα≥a(|a|<1)的角α的终边所在的范围．重要考点七：利用三角函数线证明几何结论【典型例题】当α∈（0，）时，求证：sinα＜α＜tanα．【解析】证明：方法一：由0＜α，可得sinα、α、tanα都是正实数．设f（α）＝α﹣sinα，求导得：f′（α）＝1﹣cosα＞0，因此，f（α）＝α﹣sinα在α∈（0，）上是个增函数，则有f（α）＝α﹣sinα＞f（0）＝0，即sinα＜α．同理，令g（α）＝tanα﹣α，则g′（α）1＞0，∴，g（α）＝tanα﹣α在α∈（0，）上也是个增函数，也有g（α）＝tanα﹣α＞g（0）＝0，即tanα＞α．综上，当α∈（0，）时，sinα＜α＜tanα．方法二：如图，设角a的终边与单位圆相交于点P，单位圆与X轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连结AP，则sinα＝MP，，tanα＝AT，∵S△POA＜S扇形POA＜S△OAT，∴，∴MP AT，∴sinα＜α＜tanα．【题型强化】设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：（1）sinα+cosα＞l；（2）sinα＜α＜tanα．【解析】证明：（1）α为锐角，角α的终边落在第一象限，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，过P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥Y轴于点N（如图），则sinα＝MP，cosα＝OM＝NP，利用三角形两边之和大于第三边有：sinα+cosα＝MP+OM＞1，得证．（2）∵如图所示：S△OP A＜S扇形OP A＜S△OAE，S△OP A•1•BP，S扇形OP A•1•，S△OAE•1•AE，∴BP AE，∴sinα＜α＜tanα．【收官验收】利用三角函数线证明：若0＜α＜β，则有β﹣α＞sinβ﹣sinα．【解析】证明：如图所示，∠AOQ＝α，∠AOP＝β，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过Q，P分别作OA的垂线，设垂足分别为M，N，则由三角函数线的定义可知，sinα＝NQ，sinβ＝MP，过点Q作OH⊥MP，垂足为H，于是MH＝NQ，则HP＝MP﹣MH＝MP﹣NQ＝sinβ﹣sinα．设的长分别为m，p，q，则由图可知HP＜m＝p﹣q＝β﹣α，即β﹣α＞sinβ﹣sinα．【名师点睛】解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．。
三角函数的定义
三角函数的定义三角函数是数学中一类重要的函数，经常用于描述角度和长度之间的关系。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
1. 正弦函数（sine function）正弦函数是一个以角度为自变量的周期函数，用sin表示，定义如下：sinθ = 对边 / 斜边其中，θ为一个锐角，对边指与角θ的其中一条直角边，斜边指与角θ挂接的斜边。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数也是一个以角度为自变量的周期函数，用cos表示，定义如下：cosθ = 临边 / 斜边其中，θ为一个锐角，临边指与角θ的另一条直角边，斜边同样指与角θ挂接的斜边。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是一个以角度为自变量的周期函数，用tan表示，定义如下：tanθ = 对边 / 临边其中，θ为一个锐角，对边和临边同正弦函数和余弦函数的定义一样。
三角函数在数学中有许多重要的性质和应用。
下面介绍一些常见的性质和应用：1. 周期性三角函数都是以角度为自变量的周期函数，其周期长度为360度（或2π弧度）。
即sin(x+360°) = sinx，cos(x+360°) = cosx，tan(x+360°) = tanx。
2. 正弦函数和余弦函数的关系根据勾股定理，sin^2θ + cos^2θ = 1，这意味着对于任意的θ值，正弦函数和余弦函数的平方和等于1。
同时，由于sinθ = cos(90°-θ)，因此正弦函数和余弦函数是相互关联的。
3. 三角函数的图像特点正弦函数和余弦函数的图像在坐标系中表现为以原点为中心的正弦曲线和余弦曲线。
它们的图像都是周期性的波动，且形状相似，只是相位不同。
正切函数的图像类似于一条渐近线，它在每个π/2（90°）的整数倍位置有一个奇点。
4. 应用领域三角函数在许多领域有广泛的应用。
三角函数概念(一)
5.2三角函数的概念（一）明确目标，发展素养1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2．掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．课前预习：知识点一三角函数的定义(一)教材梳理填空1．任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)把点P的纵坐标叫做α的正弦函数，记作2．三角函数值的符号 如图所示：简记口诀： [微思考] 三角函数值在各象限的符号由什么决定？ 提示：由α的终边所在的象限决定． 知识点二 诱导公式一 (二)基本知能小试 1．判断正误(1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) (2)若sin α＞0，则α是第一或第二象限角．( ) (3)对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义．( ) 2．若sin α<0，tan α>0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A.55B ．－55 C.255D ．－255堂学习活动：[学透用活][典例1](1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ＋tan θ的值．(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．[对点练清]1．[变条件]若本例(2)中的条件变为“已知角α的终边落在直线y＝2x上”，求sin α，cos α，tan α的值．2．已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α.[学透用活][典例2] (1)已知点P (sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号． ①sin 2 018°cos 2 019°tan 2 020°； ②tan 191°－cos 191°； ③sin 2cos 3tan 4.[对点练清]1．若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β＜0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都有可能 2．设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[课下梯度训练]1．若45°角的终边上有一点(4－a ，a ＋1)，则a ＝( ) A ．3B ．－32C ．1D ．322．已知角α的终边经过点(－5，m )(m ≠0)，且sin α＝25m ，则cos α的值为( )A ．－55B ．－510C ．－255D ．±2553．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]4．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{－3，－1} C ．{1,3}D ．{－1,3}5．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________. 6．若点(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限的角. 7．判断下列各式的符号．(1)sin α·cos α(其中α是第四象限角)； (2)sin 285°·cos(－105°)； (3)sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4.8．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．。
三角函数定义的知识点总结
三角函数定义的知识点总结三角函数的定义1. 正弦函数正弦函数又称为sin函数，它是以单位圆上的点的y坐标为值域的周期函数。
在单位圆上，点P的坐标(x, y)和点A(1, 0)之间的连线与x轴所围成的角度被称为角α的正弦，记作sinα，即sinα=y。
2. 余弦函数余弦函数又称为cos函数，它是以单位圆上的点的x坐标为值域的周期函数。
在单位圆上，点P的坐标(x, y)和点A(1, 0)之间的连线与x轴所围成的角度被称为角α的余弦，记作cosα，即cosα=x。
3. 正切函数正切函数又称为tan函数，它是以单位圆上的点的y坐标与x坐标的比值为值域的周期函数。
在单位圆上，点P的坐标(x, y)和点A(1, 0)之间的连线与x轴所围成的角度被称为角α的正切，记作tanα，即tanα=y/x。
4. 余切函数余切函数又称为cot函数，它是以单位圆上的点的x坐标与y坐标的比值为值域的周期函数。
在单位圆上，点P的坐标(x, y)和点A(1, 0)之间的连线与x轴所围成的角度被称为角α的余切，记作cotα，即cotα=x/y。
这四个函数是三角函数中最基本的函数，它们可以用来描述角度和直角三角形中的边的关系，从而被广泛地应用于数学和物理中。
三角函数的性质1. 周期性正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数都是周期函数，它们的周期都是2π。
即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx，tan(x+π)=tanx，cot(x+π)=cotx。
2. 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数和余切函数是偶函数。
即对于任意实数x，有sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，tan(-x)=-tanx，cot(-x)=cotx。
3. 相关性正弦函数和余弦函数、正切函数和余切函数之间存在一定的相关性。
例如，sinx=cos(x-π/2)，tanx=cot(x-π/2)。
4. 值域正弦函数和余弦函数的值域是[-1,1]，而正切函数和余切函数的值域是实数集R。
三角函数基本知识点
三角函数基本知识点三角函数是中学数学中的一个重要概念，是研究角和角度的函数关系的数学工具。
它是高中数学的基础，也是理工科学习的重要基础知识点。
本文将重点介绍三角函数的基本概念、性质和应用。
一、三角函数的基本概念1.角度和弧度制度量：角度是研究角的大小的度量单位，以°表示；弧度是角的大小的度量单位，以弧长与半径相等的单位弧长表示。
2. 基本三角函数：常用的三角函数有正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ，它们分别表示角θ的正弦值、余弦值和正切值。
三角函数的定义可以通过单位圆在平面直角坐标系中的投影来理解。
3. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ；正切函数的最小正周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。
二、三角函数的性质1. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ)=cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。
2.三角函数的正负关系：在单位圆上，正弦函数在0到π/2之间为正，余弦函数在0到π之间为正，正切函数在0到π/2之间为正。
3. 三角函数的周期关系：对于正弦函数和余弦函数，sin(θ+2kπ)=sinθ，cos(θ+2kπ)=cosθ，其中k为整数；对于正切函数，tan(θ+πk)=tanθ，其中k为整数。
4.三角函数的互等关系：通过对三角函数的定义进行代数运算，可以得到一些重要的三角函数互等关系，如正切函数与正弦函数、余弦函数的关系等。
三、三角函数的应用1.三角函数在几何图形中的应用：三角函数在三角形的边与角、面积和高、周长和半周长等方面有广泛应用，如利用正弦定理和余弦定理求解三角形的边长和角度。
2.三角函数在物理学中的应用：三角函数在物理学中有许多应用，如在匀速圆周运动中，利用正弦函数和余弦函数可以描述物体的位置、速度和加速度等随时间变化的关系。
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三角函数的定义（1）
【使用说明及学法指导】 1.先精读一遍教材， 用红色笔勾画； 再针对导学案问题导学部分阅读并回答， 时间不超过 15 分钟； 2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范；3.找出自己的疑惑点； 4.必须记住的内容： 【学习目标】
的值；
2
名人名言、警句： ：努瓦列斯说： “数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。 ”
3、已知角 的终边落在直线 y 2 x 上，求角 的正弦、余弦、正切值。
例 2、求下列各角的六个三角函数值 （1）0； （2） ； （3）
2 3
变式：求下列各角的六个三角函数值 （1）
1 2
规律总结
1、 理解任意角的余弦、 正弦和正切的定义， 了解任意角的余切、 正割和余割的定义。 2、 通过任意角的三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特 例，加深对特殊与一般关系的理解。
【重难点】
重点：任意角的余弦、正弦和正切的定义及定义域； 难点：利用三角函数的定义求函数值 一、课前预习 三角函数的定义和定义域： 在平面直坐标系中，设α 的终边上任意一点 P 的坐标是（x,y）,它与原点 O 的距离是 r( r 三角函数 sinα cosα tanα cotα secα cscα 对三角函数定义的理解： （1） 三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合（弧 度制）到一个比值的集合的对应。 （2） 三角函数是用比值来定义的， 所以三角函数的定义域是使比值有意义的 角的范围。 （3） 三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点 P（x,y）在终边 上位置无关， 只由角α 的终边位置决定， 即三角函数值的大小只与角有关。
x y
2 2
0)
定义
定义域
班级
姓名
二、课内探究 例 1、已知角α 的终边经过点 P(-3，-1),求角α 的各三角函数值。
变式训练：1、已知角求角α 的各三角函数值。
2、若点 P 的坐标为（-4a,3a）(a≠0),试求 sinα ， cosα ，
tanα
2 5 5
，求 y 的值 。
4、已知角 的终边上一点 P ( 3 , m ) ,且 s in
2 4
m ，求 c o s 与 tan 的值。
4
（2）2 ；
总结提升
3
班级
姓名
三、当堂检测 1、已知角α 的终边经过点 P( 2 2 2 2
，
),求角α 的各三角函数值。
2、已知 s in = 点坐标。
1 2
, cos = -
3 2
，求 的终边与以原点为圆心，以 2 为半径的圆的交
3、已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P ( 4, y ) 是角 终边上一点，且 s in