高中数学人教A版(2019)必修第一册第五章三角函数的概念教案

《521三角函数的概念（第一课时）》

教学设计

教学目标

1.了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系：

2.经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正

切）的左义，发展数学抽象素养.

教学重难点

教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的立义.

教学难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的宦义方式的理解；对符号Slna, COS◎和tana的认识.

课前准备

PPT课件

教学过程

（一）创设情境

引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表.如图1, G）O上的点P以ZI为起点做逆时针方向的旋转・在把角的范圉推广到

任意角后，我们可以借助角a的大小厂

变化刻画点P的位置变化.又根据弧度制的左义 00的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动•现在的任务是:

如图1,单位圆OO上的点P以J为起点做逆时针方向旋转,

建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况.

问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？

预设的师生活动；学生在独立思考的基础上进行交流、讨论.

预设答案：明确研究背景一对应关系的特点分析一下左义一研究性质.

设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向.

（二）新知探究

引导语:下而我们利用直角坐标系来研究上述问题•如图2,以单位圆的圆心O为原点, 以射线CU为X轴的非负半轴，建立直角坐标系，点ZI的坐标为（1, 0）,

点P的坐标为（X, 0.射线OA从X轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向

旋转角α,终I匕位置为OR

问题2：当α=-时，点P的坐标是什么？当―壬或迹时，点P

6 2 3

的坐标又是什么？它们是唯一确泄的吗？

一般地，任意给定一个角久它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？

预设的师生活动：在学生求出O=Z时点P的坐标后追问以下问题.

6

追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？

（2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确泄吗？

（3）如何利用上述经验求O=还时点P的坐标？

3

（4）利用信息技术，任意画一个角α,观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？

预设答案：（I）直角三角形的性质;

（2）画岀仝的终边Op过点P作X轴的垂线交X轴于在RtZXOMP中，利用直角

6

三角形的性质可得点P的坐标是空，丄I；

2 2

∖Z

（3）可以发现，ZMOP亠而点P在第二象限，可得点P的坐标是f-i,巴］:

3 I 2 2 丿

（4）对于R中的任意一个角α,它的终边OP与单位圆交点为P（x, J，）,无论是横坐标 X还是纵坐标H都是唯一确泄的.这里有两个对应关系：

/：实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y,

g：实数α （弧度）对应于点P的横坐标X.

根据上述分析，f： Rf［— 1, 1］和g： Rf［— 1, 1］都是从集合R到集合［一 1, 1］的函数.

设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α （弧度）的函数，为给出三角函数的定狡做好准备.

问题3：请同学们先阅读教科书第178〜179页，再回答如下问题：

（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？

（2）符号SIn α, CoSa和tan &分別表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特泄符号表示一种量的经历吗？

（3）为什么说当a≠--^kπ时，tana的值是唯一确圧的？

2

（4）为什么说正弦函数、余弦函数的泄义域是R?而正切函数的立义域是{X∈R∣A≠^-

+kπ.Ar∈Z}?

预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题・

预设答案：（1）正弦函数的对应关系：SIna-点P的纵坐标护

余弦函数的对应关系：COSaf点P的横坐标x：

正弦函数的对应关系：Uma —上

X

（2）分別表示” x,:引入符号

IOg O d表示O V=b中的X .

（3）当a≠-+kπl^,如果α确左，那么R的终边确定，终边与单位圆的交点P确左，2

P点的横、纵坐标x、y就会唯一确泄，因此上的值也是唯一确泄的，所以tan α的值也是

X

唯一确定的.

（4）当α = -+H时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标X等于0,所以-=tan

2 X

◎无意义.除此之外，对于任意角G, P点的横、纵坐标的值X, 3,都是存在且唯一确泄的.

设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、無析关键词等，使学生明确三角函数的''三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号IOg a b表示σx=b中的x）,理解三角函数符号的意义.

问题5：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变呈：，以比值为函数值的函数•设XG（0,中｝把按锐角三角函数泄义求得的锐角X的正弦记为刃，并把按本右三角函数定义求得的X的正弦记为与刁相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？

预设的师生活动：教师引导，学生作图并得岀结论•

预设答案：作出RtZ^l5C,其中ZA=x, ZC=90o ,再将它放入直角坐标系中，使点H 与原点重合,JC在X轴的正半轴上，可得出H=G的结论.对于余弦、正切也有相同的结论.

设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定狡的和谐性.

例1利用三角函数的左义求竺的正弦、余弦和正切值.

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预设的师生活动：先由学生发言，再总结出从左义出发求三角函数值的基本步骤，并得岀答案.