用折纸探究几何问题(续)
《折纸》(教学设计)-2023-2024学年五年级下册数学北师大版
-组织学生进行自我评估，让他们回顾自己在课堂上的表现，包括参与程度、学习效果和对折纸技巧的掌握情况。
-开展小组讨论，让学生互相评价彼此在小组合作中的表现，包括沟通、协作和创意提出等方面。
-邀请学生提出对教学内容的疑问和建议，了解他们对教学内容的掌握程度和教学方法的反馈。
-分析学生的随堂测试和作业完成情况，评估他们对折纸技巧的掌握程度和创新能力。
学生活动：
-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解折纸的基本技巧和应用。
-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。
-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。
2.教学软件辅助：利用教学软件进行折纸图形的展示和操作，让学生更直观地了解折纸图形的结构和变化。
3.实物模型展示：教师准备一些折纸实物模型，让学生触摸和观察，加深对折纸图形的认识和理解。
4.在线互动平台：利用在线互动平台，学生可以展示自己的折纸作品，进行交流和评价，激发学生的学习兴趣和主动性。
5.评价与反馈：通过学生互评、教师评价等方式，对学生的折纸作品进行评价和反馈，提高学生的学习效果和动力。
《折纸》（教学设计）-2023-2024学年五年级下册数学北师大版
学校
授课教师
课时
授课班级
授课地点
教具
教学内容
《折纸- 2023-2024学年五年级下册数学北师大版》
本节课的教学内容来源于北师大版五年级下册数学教材，属于“图形与几何”这一章节。具体内容为“折纸的技巧与应用”。本节课的主要内容包括：
1.学习折纸的基本技巧，如折叠、剪切、拼接等。
折纸与数学简介
折纸与数学简介篇一：数学与折纸数学与折纸我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术．纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念．下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用．Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)．Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)．Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)．Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)．Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的．Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)．Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理．如右图折叠正方形纸：c=正方形ABCD的面积．a=正方形FBIM的面积．b=正方形AFNO的面积．由全等形状相配得：正方形FBIM的面积=△ABK的面积．又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．这样，a＋ b= c 222222Ⅸ)证明三角形内角和等于180°．取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠a°＋b°＋c°＝180°——它们形成一条直线．Ⅹ)通过折切线构造抛物线．程序：——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．篇二：探究折纸中的数学探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
河南数学中考题型汇总 几何探究题题型练习含答案
河南数学中考题型汇总几何探究题题型练习含答案类型 1 实践操作类探究题角度1 折叠类1.[2022河南]综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.根据以上操作,当点M在EF上时,写出图(1)中一个30°的角:.(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下.将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.①如图(2),当点M在EF上时,∠MBQ= °,∠CBQ= °;②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图(3),判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm,当FQ=1 cm时,直接写出AP 的长.图(1)图(2)图(3)2.[2022河南省实验模拟]问题情境数学活动课上,同学们开展了以折叠为主题的探究活动,如图(1),已知矩形纸片ABCD(AD>AB),其中宽AB=8.动手实践(1)如图(1),威威同学将矩形纸片ABCD折叠,点A落在BC边上的点M处,折痕为BN,连接MN,然后将纸片展平,得到四边形ABMN,则折痕BN的长为;探究发现(2)如图(2),胜胜同学将图(1)中的四边形ABMN剪下,取AN边的中点E,将△ABE 沿BE折叠得到△A'BE,延长BA'交MN于点F.点Q为BM边的中点,点P是MN边上一动点,将△MQP沿PQ折叠,当点M的对应点M'落在线段BF上时,求此时tan∠PQM的值;反思提升(3)明明同学改变图(2)中点Q的位置,即点Q为BM边上一动点,点P仍是MN边上一动点,按照(2)中方式折叠△MQP,使点M'落在线段BF上,明明同学不断改变点Q 的位置,发现在某一位置∠QPM与(2)中的∠PQM相等,请直接写出此时BQ的长.图(1)图(2)备用图3.综合与实践——探究平行四边形折叠中的数学问题问题情境已知▱ABCD中,ÐA为锐角,AB<AD,点E,F分别是AB,CD边的中点,点G,H分别是AD,BC边上的点,分别沿EG和FH折叠▱ABCD,点A,C的对应点分别为点A',C'.操作分析(1)如图(1),点A'与点B重合,点C'与点D重合.①四边形BHDG 平行四边形(填“是”或“不是”).②当▱ABCD满足某个条件时,四边形BHDG能成为矩形.这个条件可以是.(2)点A',C'均落在▱ABCD内部(含边界),连接A'H,C'G,若AG=CH,则四边形A'HC'G是平行四边形吗?若是,请就图(2)进行证明;若不是,请说明理由.拓展探究(3)在(2)的条件下,若ÐA=60°,AD=2AB=8,且A'G与▱ABCD的一边平行,则此时四边形A'HC'G的面积为.图(1)图(2)备用图4.综合与实践数学活动课上,张老师找来若干张等宽的矩形纸条,让学生们进行折纸探究. (1)希望小组将如图(1)所示的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB边上的点D'处,折痕为AE.填空:图(1)中四边形ADED'的形状是.(2)智慧小组准备了一张如图(2)所示的长、宽之比为3∶2的矩形纸片ABCD,用希望小组的方法折叠纸片,得到四边形ADED',接着沿过点B的直线折叠纸片,使点C落在ED'上的点M处,折痕为BF.求∠MBC的度数.(3)勤奋小组拿着一张如图(3)所示长为4,宽为2的矩形纸片ABCD,利用希望小组的方法折叠纸片,得到四边形ADED',在CE上取一点F(不与点C,E重合),沿BF 折叠△BCF,点C的对应点为N,射线FN交直线AB于点H.①HF与HB的数量关系为.②当射线FN经过△AED'的直角边的中点时,直接写出FC的长.图(1)图(2)图(3)5.综合与实践问题情境数学活动课上,老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题,开展数学活动,如图(1),在矩形ABCD中,AB=8,BC=4.观察发现(1)如图(2),智慧小组连接对角线BD,将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠,使点A落在点P的位置,PB交CD于点Q,连接AP.直接写出图中所有的等腰三角形:.(不再添加字母)探究证明(2)求实小组在智慧小组的启发下,又对矩形纸片ABCD进行了如下操作,并对其中所产生的问题进行了探究:如图(3),沿过点A的直线折叠,使点B的对应点F 落在CD上,折痕交BC于点E,过点F作FG∥BC交AE于点G,连接BG.①小组成员发现四边形BEFG是特殊四边形.请你判断四边形BEFG的形状,并说明理由.②小组成员通过计算求得四边形BEFG的面积.请你直接写出这个面积:.探索拓广(3)参照上面的探究方式,对图(1)进行一次折叠操作,使点B的对应点B'落在BD 的三等分点上,设折痕与AB交于点N.请直接写出BN的长.图(1)图(2)图(3)角度2 旋转类6.综合与实践——图形变换中的数学问题问题情境数学活动课上,老师出示了一个问题:如图(1),已知正方形ABCD、矩形BCEF,点E,F分别在边CD,AB上,且BF=k(3<k<5),BC=5.将矩形BCEF绕点B顺时针旋转得到矩形BGHK,点G,H,K分别是点C,E,F的对应点,如图(2).图(1)图(2)图(3)图(4)同学们通过小组合作,提出下列数学问题,请你解答.(1)在图(2)中,连接BE,BH,EH,CG,得到图(3),可以发现在旋转过程中存在一个三角形始终与△BCG相似,这个三角形是,它与△BCG的相似比为(用含k的式子表示).(2)如图(4),矩形BGHK的顶点K恰好落在正方形ABCD的对角线AC上,KH交DC 的延长线于点T.求证:BK=KT.(3)在旋转过程中,连接CH,CK.若k=23,则当CH=CK时,直接写出CK的长.备用图(1)备用图(2)角度3 平移类7.综合与实践问题背景如图(1),在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,点E为边BC上一点,沿直线DE将矩形折叠,使点C落在AB边上的点C'处.问题解决(1)填空:AC'的长为.(2)如图(2),展开后,将△DC'E沿线段AB向右平移,使点C'的对应点与点B重合,得到△D'BE',D'E'与BC交于点F,D'B与DE交于点G.求EF的长.拓展探究(3)如图(3),在△DC'E沿射线AB向右平移的过程中,设点C'的对应点为C″,则当△D'C″E'在线段BC上截得的线段PQ(D'E',折线D'C″E'分别与BC交于点P,Q)的长度为2时,直接写出平移的距离.图(1)图(2)图(3)角度4 尺规作图类8.[2022南阳宛城区一调]下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作线段AB的垂直平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.任务:(1)小明的作图依据是.(2)小军作图得到的直线CP是线段AB的垂直平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图(3),已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=30°,点D,E分别是射线CA,CB上的动点,且CD=CE,连接BD,AE,交点为P.当AB=6,∠PAB=45°时,请直接写出线段CD 的长.图(3)9.[2022开封二模]中华文明源远流长,图(1)是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形,人们称它为“赵爽弦图”.2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标,该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间一个小正方形,巧妙地证明了勾股定理.问题发现如图(1),若直角三角形的直角边BC=3,斜边AB=5,则中间小正方形的边长CD= ,连接BD,△ABD的面积为.知识迁移如图(2),P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PC,当∠BPC=90°,BP=10时,△PAB的面积为.拓展延伸如图(3),已知∠MBN=90°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线BM,BN 于点A,C.(1)已知D为线段AB上一动点,连接CD,过点B作BE⊥CD,垂足为点E,在线段CE 上取一点F,使EF=BE,过点F作GF⊥CD交BC于点G,试判断BE,DE,GF这三条线段之间的数量关系,并说明理由.(2)在(1)的条件下,若D为射线BM上一动点,F为射线EC上一点,当AB=10,CF=2时,直接写出线段DE的长.图(1)图(2)图(3)备用图类型 2 阅读理解类探究题10.[2022许昌二模]问题情境数学课上,王老师出示了这样一个问题:如图(1),在矩形ABCD中,AD=2AB,点E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示小明发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.又∵AD=2AB,∴AD=AE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴.(平行线分线段成比例)∵BE=AB,∴EM=1,∴EM=DM,DM即AM是△ADE的边DE上的中线.又∵AD=AE,∴.(等腰三角形的“三线合一”)∴AM垂直平分DE.反思交流(1)请将上述证明过程补充完整;(2)小颖受到小明的启发,继续进行探究,如图(2),连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;图(1)图(2)拓展应用(3)如图(3),连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,分别以点B,C 为圆心,m为半径作弧,两弧交于点M,连接MF.若MF=AB=1,请直接写出m的值.图(3)11.[2022商丘二模]如下是小明复习全等三角形时遇到的一个问题及由此引发的思考,请帮助小明完成以下学习任务.如图(1),OC平分∠AOB,点P在OC上,点M,N分别是OA,OB上的点,且OM=ON.求证:PM=PN.小明的思考:要证明PM=PN,只需证明△MOP≌△NOP即可.证明:如图(1),∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.又∵OP=OP,OM=ON,∴△MOP≌△NOP,∴PM=PN.请仔细阅读并完成以下任务.(1)小明得出△MOP≌△NOP的依据是(填序号).①SSS ②SAS ③AAS ④ASA⑤HL(2)如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD+BC,∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上的点P.求证:PC=PD.,当△PBC有一个内角是45°时,△PAD(3)在(2)的条件下,若AB=10,tan∠PAB=12的面积是.图(1)图(2)备用图(1)备用图(2)类型 3 类比、拓展探究题12.[2021湖北仙桃]已知△ABC和△DEC都为等腰三角形,AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=n°.(1)当n=60时:①如图(1),当点D在AC上时,请直接写出BE与AD的数量关系:;②如图(2),当点D不在AC上时,判断线段BE与AD的数量关系,并说明理由.(2)当n=90时:①如图(3),探究线段BE 与AD 的数量关系,并说明理由; ②当BE ∥AC ,AB=3√2,AD=1时,请直接写出DC 的长.图(1) 图(2) 图(3)答案：1.(1)∠ABP ,∠PBM ,∠MBC 或∠BME (注:任意写出一个即可) (2)①15 15②∠MBQ=∠CBQ. 理由如下:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∠A=∠C=90°. 由轴对称性质,得BM=AB ,∠BMP=∠A=90°,∴∠BMQ=90°=∠C ,BM=BC.又∵BQ 是公共边,∴Rt △MBQ ≌Rt △CBQ ,∴∠MBQ=∠CBQ.(3)4011 cm 或2413cm. 解法提示:由翻折的性质知AP=PM ,DF=CF=4. 由(2)可知,△MBQ ≌△CBQ ,∴MQ=CQ. 分两种情况讨论.①当点Q 在EF 下方时,如图(1),则MQ=CQ=4-1=3,DQ=4+1=5,PQ=AP+3,PD=8-AP. 由勾股定理,得PD 2+DQ 2=PQ 2,∴(8-AP )2+52=(AP+3)2,∴AP=4011.图(1)②当点Q 在EF 上方时,如图(2),则MQ=CQ=4+1=5,DQ=4-1=3,PQ=AP+5,PD=8-AP. 由勾股定理,得PD 2+DQ 2=PQ 2,∴(8-AP )2+32=(AP+5)2,∴AP=2413.图(2)综上所述,AP 的长为4011 cm 或2413cm. 2.(1)8√2(2)如图(1),连接MM'交PQ 于点O ,连接EF.图(1)由折叠的性质知,点O 为MM'的中点. 又∵点Q 为BM 边的中点,∴QO ∥BM',即QP ∥BF ,∴∠PQM=∠FBM.∵点E 是AN 边的中点,且将△ABE 沿BE 折叠得到△A'BE , ∴EN=EA',∠EA'F=∠N=90°. 又∵EF=EF ,∴Rt △NEF ≌Rt △A'EF. 设NF=x ,则A'F=x ,MF=8-x ,∴BF=BA'+A'F=BA+A'F=8+x.在Rt △BMF 中,由勾股定理,得BM 2+FM 2=BF 2, 即82+(8-x )2=(8+x )2,解得x=2,∴FM=6,∴tan ∠FBM=FM BM =68=34,∴tan ∠PQM=34. (3)BQ 的长为398. 解法提示:如图(2),连接MM'交PQ 于点G.图(2)由折叠的性质知,PQ 垂直平分MM',∴∠QPM+∠PMM'=90°.∵∠PMQ=90°,∴∠PMM'+∠M'MB=90°, ∴∠QPM=∠M'MB.由(2)知,(2)中∠PQM=∠M'BM. 又∵∠QPM 与(2)中的∠PQM 相等,∴∠M'BM=∠M'MB.过点M'作M'H ⊥BM 于点H ,则BH=MH=4,M'H BH =34, ∴M'H=3.设MQ=M'Q=a ,则HQ=4-a.在Rt △M'HQ 中,根据勾股定理,得M'H 2+HQ 2=M'Q 2, 即32+(4-a )2=a 2,解得a=258, ∴BQ=8-258=398. 3.(1)①是解法提示:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C ,∠ABC=∠ADC ,AD ∥BC. 如图(1),由折叠可知,∠A=∠1,∠C=∠2,图(1)∴∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ADC-∠2,即∠3=∠4. ∵AD ∥BC ,∴∠4+∠5=180°,∴∠3+∠5=180°, ∴BG ∥DH ,∴四边形BHDG 是平行四边形. ②∠A=45°(答案不唯一,正确即可) 解法提示:∵四边形BHDG 是矩形,∴∠BGD=90°,∴∠AGB=90°, 又由折叠可知,AG=A'G ,∴∠A=45°. (2)四边形A'HC'G 是平行四边形. 证明:如图(2),连接GH.图(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C ,AB=CD ,AD ∥BC. ∵点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,∴AE=12AB ,CF=12CD ,∴AE=CF. ∵AG=CH ,∴△AEG ≌△CFH , ∴∠1=∠3.由折叠可知,∠1=∠2,∠3=∠4,AG=A'G ,CH=C'H ,∴∠1=∠2=∠3=∠4,A'G=C'H. ∵AD ∥BC ,∴∠AGH=∠CHG ,∴∠5=∠6, ∴A'G ∥C'H ,∴四边形A'HC'G 是平行四边形. (3)2√3或4√3解法提示:当A'G ∥BC 时,如图(3),点A'落在AD 上,EG ⊥AD ,则A'G=AG=12AE=1,∴S 四边形A'HC'G =A'G ·AB sin 60°=1×4×√32=2√3.图(3)当A'G ∥AB 时,如图(4),则∠AGA'=120°,∴∠AGE=∠A'GE=60°,图(4)从而易得△AEG ,△A'EG ,△CHF ,△C'HF 均是等边三角形,EA'∥BC ,C'F ∥AD ,∴S 四边形A'HC'G =S ▱ABCD -4S △AEG -2S 四边形A'EBH=8×4×√32-4×√34×22-2×12×(2+6)×2×√32=4√3. 综上可知,四边形A'HC'G 的面积为2√3或4√3. 4.(1)正方形(2)由题意可知,AB∶AD=3∶2,∴设AD=2a ,AB=3a , ∴BM=BC=AD'=2a ,∴BD'=a ,∴sin ∠BMD'=a 2a =12,∴∠BMD'=30°.又ED'∥AD ∥BC ,∴∠MBC=∠BMD'=30°. (3)①HF=HB②FC 的长为3-√5或23. 解法提示:①∵DC ∥AB ,∴∠CFB=∠ABF. 由折叠可知∠CFB=∠NFB ,∴∠ABF=∠NFB ,∴HF=HB.②设FC=NF=x ,分两种情况讨论.a.当射线FN 经过AD'的中点时,点H 即为AD'的中点,如图(1),则HF=HB=3,∴HN=3-x.在Rt △HBN 中,由勾股定理,得HN 2+BN 2=HB 2,∴(3-x )2+22=32,解得x=3-√5(不合题意的值已舍去),∴FC=3-√5.图(1)b.当射线FN 经过ED'的中点P 时,如图(2), 易证△HD'P ≌△FEP ,∴HD'=EF=2-x ,∴HF=HB=2-x+2=4-x , ∴HN=4-x-x=4-2x.在Rt △HBN 中,由勾股定理,得BN 2+HN 2=HB 2,∴22+(4-2x )2=(4-x )2,解得x=23(不合题意的值已舍去),∴FC=23.图(2)综上可知,当射线FN 经过△AED'的直角边的中点时,FC 的长为3-√5或23. 5.(1)△ADP ,△ABP ,△BDQ (2)①四边形BEFG 是菱形. 理由如下:由折叠知∠BEG=∠FEG.∵FG ∥BC ,∴∠EGF=∠BEG , ∴∠EGF=∠FEG ,∴FG=FE. 又∵FE=BE ,∴FG=BE ,∴四边形BEFG 是平行四边形. 又∵FE=BE ,∴四边形BEFG 是菱形.②224-128√3解法提示:由折叠的性质知AF=AB=8.在Rt △ADF 中,由勾股定理得DF=√AF 2-AD 2=√82-42=4√3,∴CF=8-4√3. 设BE=y ,则EF=y ,CE=4-y.在Rt △CEF 中,由勾股定理得EF 2=CF 2+CE 2, 即y 2=(8-4√3)2+(4-y )2,解得y=16-8√3,∴S 四边形BEFG =BE ·CF=(16-8√3)×(8-4√3)=128-64√3-64√3+96=224-128√3.(3)BN 的长为103或53. 解法提示:分两种情况讨论.①当点B'落在离点D 较近的三等分点上时,如图(1),过点B'作B'H ⊥AB 于点H ,易知B'H=83,BH=163,B'N=BN ,∴HN=163-BN. 根据勾股定理,得B'H 2+HN 2=B'N 2,即(83)2+(163-BN )2=BN 2,∴BN=103.图(1) 图(2)②当点B'落在离点B 较近的三等分点上时,如图(2),同理可求得BN=53. 综上可知,BN 的长为103或53. 6.(1)△BEH√k 2+255(2)证明:如图(1),过点K 分别作KN ⊥BC 于点N ,KM ⊥CD 于点M , 则KN=KM ,∠MKN=90°=∠BKH ,∴∠TKM=∠BKN.又∠TMK=∠BNK=90°,∴△TMK ≌△BNK ,∴BK=KT.图(1)(3)CK 的长为√7或√67.解法提示:分如图(2)、图(3)所示的两种情况讨论,连接CG ,过点K 作KP ⊥BC ,垂足为点P.图(2)图(3)∵CK=CH ,∴∠CKH=∠CHK ,∴∠CKB=∠CHG. 又KB=HG ,∴△CKB ≌△CHG ,∴CG=CB=BG ,∴△CBG 是等边三角形, ∴∠CBG=60°. 图(2)中∠KBC=30°,∴KP=12KB=√3,BP=√32KB=3, ∴CP=2,∴CK=√(√3)2+22=√7. 图(3)中∠KBP=30°,∴KP=12KB=√3,BP=√32KB=3, ∴CP=8,∴CK=√(√3)2+82=√67. 综上可知,CK 的长为√7或√67. 7.(1)6(2)由(1)得AC'=6,∴BC'=AB -AC'=10-6=4.在Rt △BEC'中,设BE=x ,则EC'=EC=8-x ,根据勾股定理,得(8-x )2=x 2+42, 解得x=3,即BE=3,∴EC'=EC=5.连接EE',由平移可知,EE'=C'B=4,EE'∥AB ∥CD ,DE ∥D'E',∴△FEE'∽△FCD'∽△ECD , ∴EF∶EE'=EC∶DC=5∶10=1∶2, 又EE'=4,∴EF=2.(3)平移的距离为85或385. 解法提示:设平移的距离为x. 分两种情况讨论.①当点C″在BC 左侧时,如图(1),则BC″=4-x ,D'C=10-x ,∴CP=D'C ·tan ∠CD'P=D'C ·tan ∠CDE=510(10-x )=12(10-x ),BQ=BC″·tan ∠QC″B=BC″·tan ∠ADC'=68(4-x )=34(4-x ). 又CP+PQ+BQ=8,PQ=2,∴12(10-x )+2+34(4-x )=8,解得x=85.图(1) 图(2)②当点C″在BC 右侧时,如图(2),则BC″=x -4,D'C=10-x ,∴CP=D'C ·tan ∠CD'P=12(10-x ),BQ=BC″·tan ∠QC″B=BC″·tan ∠AC'D=43(x-4). 又CP+PQ+BQ=8,PQ=2,∴12(10-x )+2+43(x-4)=8,解得x=385.综上可知,平移的距离为85或385. 8.(1)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 (2)是. 理由如下:由作图可知,CA=CB ,CD=CE. 又∵∠ACE=∠BCD ,∴△ACE ≌△BCD , ∴∠CAE=∠CBD. ∵CA=CB ,∴∠CAB=∠CBA , ∴∠PAB=∠PBA ,∴AP=BP ,∴直线CP 是线段AB 的垂直平分线. (3)线段CD 的长为√3+1或3√3+3. 解法提示:∵CD=CE ,∠C=∠C ,CA=CB ,∴△CAE ≌△CBD ,∴∠CAE=∠CBD. ∵CA=CB ,∠ACB=30°, ∴∠CAB=∠CBA=75°,∴∠PBA=∠PAB=45°,∴∠APB=90°, ∴PA=PB=√22AB=√3. 分两种情况讨论.①当点P 在AB 上方时,如图(1),图(1)则∠DAP=∠EBP=30°,∠APD=90°,∴DB=DC ,DP=√33AP=1,∴CD=DB=√3+1. ②当点P 在AB 下方时,如图(2), 则∠DAP=∠EBP=60°,∠APD=90°,∴∠ADP=30°,∴BD=BC,DP=√3AP=3,AD=2AP=2√3,∴BC=BD=√3+3,∴CD=CA+AD=CB+AD=√3+3+2√3=3√3+3.综上可知,线段CD的长为√3+1或3√3+3.图(2) 9.问题发现192知识迁移 5拓展延伸(1)BE=DE+GF.理由:如图(1),过点G作GH⊥BE于点H.图(1)∵BE⊥CD,GF⊥CD,∴∠HEF=∠EFG=∠EHG=90°,∴四边形EFGH为矩形,∴EH=GF,EF=GH.∵EF=BE,∴GH=BE.∵∠MBN=90°,∠BHG=90°,∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.又∵∠BED=∠GHB=90°,BE=GH,∴△BDE≌△GBH(ASA),∴DE=BH,∴BE=BH+EH=DE+GF.(2)92或323. 解法提示:分两种情况讨论.①当点F 在线段EC 上时,如图(2).图(2)由(1)可得BE=DE+GF. 设BE=EF=m ,则EC=m+2.在Rt △BEC 中,根据勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2, 即m 2+(m+2)2=102,解得m=6(负值已舍),∴BE=EF=6.易证△CFG ∽△CEB ,∴CF CE =GF BE ,即22+6=GF 6, ∴GF=32,∴DE=BE -GF=6-32=92. ②当点F 在线段EC 的延长线上时,如图(3).图(3)同(1)中方法可得BE=DE-GF. 设BE=EF=n ,则EC=n-2.在Rt △BEC 中,根据勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2, 即n 2+(n-2)2=102,解得n=8(负值已舍),∴BE=EF=8.易证△CFG ∽△CEB ,∴CF CE =GF BE ,即28−2=GF 8, ∴GF=83,∴DE=BE+GF=8+83=323.10.(1)EM DM =EBAB AM ⊥DE(2)证明:如图(1),过点G 作GH ⊥BC 于点H.图(1)∵四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴∠CBE=∠GHC=90°,∴∠BCE+∠BEC=90°. ∵四边形CEFG 为正方形, ∴CG=CE ,∠GCE=90°,∴∠BCE+∠BCG=90°,∴∠BEC=∠BCG , ∴△GHC ≌△CBE ,∴HC=BE. ∵AD=BC=2AB ,BE=AB ,∴BC=2BE=2HC , ∴HC=BH ,∴GH 垂直平分BC , 即点G 在线段BC 的垂直平分线上. (3)√5或√17.解法提示:同(2)中思路可证得点F 在线段BC 的垂直平分线上.如图(2),过点F 作FN ⊥BC 于点N ,连接CF ,则CF=√2CE=√2×√22+12=√10,CN=1,∴NF=√(√10)2-12=3.图(2)由作图过程可知,点M 在线段BC 的垂直平分线上,故分两种情况讨论.①当点M 在点F 左侧时,如图(3),连接MC ,图(3)则NM=3-1=2,∴m=CM=√22+12=√5.②当点M在点F右侧时,如图(4),连接MC,图(4)则NM=3+1=4,∴m=CM=√42+12=√17.综上可知,m的值为√5或√17.11.(1)②(2)如图(1),在AB上取点E,使得AE=AD,连接PE.图(1)∵AP平分∠DAE,∴∠DAP=∠EAP.又∵AP=AP,AD=AE,∴△DAP≌△EAP,∴PD=PE.∵AD+BC=AB=AE+BE,AD=AE,∴BC=BE.∵BP平分∠CBE,∴∠CBP=∠EBP.又∵BP=BP,∴△EBP≌△CBP,∴PE=PC,∴PC=PD.(3)8或403解法提示:如图(1),由(2)可得△DAP ≌△EAP ,△EBP ≌△CBP ,∴∠DPA=∠EPA ,∠CPB=∠EPB ,∠D=∠AEP ,∠C=∠BEP. 又∵∠DPA+∠EPA+∠CPB+∠EPB=180°,∠AEP+∠BEP=180°,∴∠APB=∠EPA+∠EPB=90°,∠D+∠C=180°, ∴AD ∥BC.在Rt △PAB 中,tan ∠PAB=12,∠APB=90°, 故可设BP=x ,AP=2x ,∴AB=√x 2+(2x)2=√5x=10, 解得x=2√5,∴AP=4√5,sin ∠PAB=1√5. 易知∠PBC>45°,故分两种情况讨论.①当∠C=45°时,如图(2),图(2)过点P 作PM ⊥AD ,交AD 的延长线于点M ,则∠MDP=∠C=45°,∴MP=MD. 又∵tan ∠MAP=tan ∠PAB=12,∴AM=2MP , ∴AD=MD=MP=AP ·sin ∠MAP=4, ∴S △PAD =12×4×4=8. ②当∠BPC=45°时,如图(3),图(3)过点D 作DN ⊥AP 于点N ,则∠DPN=180°-45°-90°=45°,∴NP=ND.∵tan ∠DAP=tan ∠PAB=12,∴AN=2ND. 又∵AP=AN+NP ,∴4√5=2ND+ND ,∴ND=4√53,∴S △PAD =12×4√5×4√53=403. 综上可知,△PAD 的面积为8或403.12.(1)①BE=AD②BE=AD. 理由如下:当点D 不在AC 上时,∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=60°,∠DCE=∠BCE+∠DCB=60°,∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE中,{AC =BC,∠ACD =∠BCE,DC =EC,∴△ACD ≌△BCE ,∴AD=BE. (2)①BE=√2AD. 理由如下:当n=90时,在等腰直角三角形DEC 中,DC EC =sin 45°=√22, 在等腰直角三角形ABC 中,AC BC =sin 45°=√22.∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°,∠DCE=∠ACE+∠DCA=45°,∴∠ECB=∠DCA. 在△DCA 和△ECB中,{DCEC=AC BC=√22,∠DCA =∠ECB,∴△DCA ∽△ECB ,∴AD BE =√22,∴BE=√2AD. ②5或√13.解法提示:当点D 在△ABC 外部时,设EC 与AB 交于点F ,如图(1)所示.图(1)∵AB=3√2,AD=1,由上可知:AC=AB=3√2,BE=√2AD=√2. 又∵BE ∥AC ,∴∠EBF=∠CAF=90°.而∠EFB=∠CFA ,∴△EFB ∽△CFA ,∴EF CF =BF AF =BE AC =√23√2=13,∴AF=3BF ,而AB=BF+AF=3√2,∴BF=14×3√2=3√24. 在Rt △EBF 中,EF=√EB 2+BF 2=(√2)2+(3√24)2=5√24. 又∵CF=3EF=3×5√24=15√24, ∴EC=EF+CF=5√24+15√24=5√2. 在等腰直角三角形DEC 中,DC=EC ·sin 45°=5√2×√22=5.当点D 在△ABC 内部时,设AB 延长线与CE 延长线交于点F ,如图(2),图(2)∵AB=3√2,AD=1,由上可知:AC=AB=3√2,BC=√2AB=6,BE=√2AD=√2. 又∵BE ∥AC ,∴△EFB ∽△CFA ,∴FB FA =BE AC =13, ∴BF=12AB=3√22,AF=AB+BF=3√2+3√22=9√22. 在Rt △ACF 中,CF=√AC 2+AF 2=3√262.CE=23CF=23×3√262=√26. 在等腰直角三角形DEC 中,DC=√22CE=√13. 综上所述,满足条件的CD 的值为5或√13.。
折纸中的数学问题
方程思想
对称轴垂直平分连接对称点的线段
折法二
将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠
⑴猜想叠合部分是什么图形？ E 验证你的猜想.
方法二： 由折叠知 ∠ACF＝∠BCA 又 AD ∥ BC ∠FAC＝∠BCA
△AFC为等腰三角形
方法一： E D Rt EFA DFC AFE CFD AE CD
折法一
将矩形纸片ABCD折叠，让AB落在对角线AC上
折叠后点B落在AC的点F上，若矩形ABCD中,AD=4,AB=3 （1） 直接说出下列线段的长度： ①BC= 4 ， DC= 3 ， 矩形对边相等
A
3
4
D F
2
②AC= 5
③AF= 3
，
。
勾股定理 轴对称的性质
x
B
E 4-x
C
（2）你还能求出线段EF的长度吗？ （3）若连接BF，试判断AE和BF的关系.
D
5 M 12-x
C
x
E
解：连接AM， 过B作BG // EF交AD于点G ABCD为正方形 AD // BC
EGBF为平行四边形 BG EF
12-x H
A
G F B
B1
折法三
将正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边上
若正方形边长为12，点A正好落在CD边上的点M重合，折痕为EF. (1)若DM=5，求DE的长. (2)连接AM，猜测AM与EF的数量关系. (3)求证:EF=AM.
A
F
D
B
C
∴∠ACF＝∠FAC ∴△AFC为等腰 三角形
归纳：说明线段相等的常用方法
(1)两三角形全等（对应边相等） (2)同一三角形中等角对等边
折纸这是个数学问题
折纸这是个数学问题没有3D打印机怎么办？其实只用一张纸，也能创造大千世界——大家还记得以前大脸兔介绍过的折纸达人刘通吗？区区一张方形纸，不剪不裁不拼贴，却能被他折出万千造型。
他是怎么做到的？如果栗子君说是“算”出来的，你信吗？强大的折纸几何学拆开一件折纸作品，将其还原为一张纸，可以看到纸上布满一条条折痕，构成许多几何图形。
这其中蕴含着大量数学概念和原理，例如你学过的相似、轴对称、点对称、全等、比例，以及将来可能要学的迭代、递归等等。
据说在8世纪中期，阿拉伯人就懂得运用几何知识来折纸，同时他们也用折纸来研究几何问题。
到19世纪，欧洲人也开始将折纸用于数学和科学研究。
折着折着，人们发现，折纸能解决的数学问题比想象的多得多。
在几何作图方面，折纸甚至能甩尺规作图几条街，许多任务，比如作正七边形、三等分任意角、求2的立方根等，尺规作图没法完成的，折纸都能搞定。
至于将一张纸等分成13、15、17……份，对刘通这样的折纸玩家来说，不过是基础的入门技能。
这还不算，还有更猛的——跟刘通同为世界顶级折纸大师的美国大叔罗伯特·朗，竟然开发出两个折纸软件TreeMake和ReferenceFinder。
依靠7條折纸公理，这两个软件可以计算出用户想要的任何造型的折痕展开图，以及正确的折叠顺序！什么公理这么逆天？不用说，它就是咱们今天的教学重点——藤田—羽鸟公理中国人发明的折纸，自隋朝传入日本后就立刻受到热烈追捧，最后还成了日本的国粹。
上世纪70年代，日本人又把眼光投向了折纸中的数理问题，掀起一股经久不衰的研究热潮。
其中影响最深远的成果，大概就是“藤田—羽鸟公理”。
这一组公理共7条，其中6条由日裔意大利数学家藤田文章于1991年提出。
藤田指出了折纸过程中的6种基本操作，用来定义纸张如何折叠。
10年后，另一位数学家羽鸟公士郎又补充了一种操作。
于是这7种操作被合称为“藤田—羽鸟公理”。
经罗伯特·朗证明，它们涵盖了折纸过程中的全部折法。
八年级数学上册《折纸与证明》教案、教学设计
3.提问：折纸过程中，我们是如何将一个平面图形变换成另一个平面图形的？这中间涉及到了哪些几何知识？
4.引导学生回顾已学的几何知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.介绍折纸与几何图形的关系，引导学生了解如何通过折纸来探究几何性质。
（3）发展性评价：关注学生的个性差异，鼓励学生在原有基础上不断进步，激发学生的学习潜能。
4.教学资源：
（1）利用多媒体教学设备，展示折纸过程和几何证明动画，提高学生的直观认识。
（2）提供丰富的折纸材料，让学生在动手操作中感受数学的乐趣。
（3）借助网络资源，拓展学生的学习视野，引导学生了解折纸在现实生活中的应用。
（3）注重培养学生的创新思维，鼓励学生在折纸与证明的基础上，进行拓展性思考，提出新的问题并尝试解决。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、动手操作能力、团队合作意识等方面，全面评价学生的学习过程。
（2）总结性评价：通过课后作业、单元测试等方式，检验学生对折纸与证明知识的掌握程度。
八年级数学上册《折纸与证明》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解折纸的基本概念，理解折纸与几何图形之间的关系，能够运用折纸技巧绘制常见的几何图形。
2.学会使用折纸证明几何定理，如等腰三角形的性质、勾股定理等，提高学生的几何推理能力。
3.能够运用折纸方法解决实际问题，如计算图形的面积、周长等，增强学生的实践操作能力。
4.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使学生形成积极向上的学习态度。
二、学情分析
八年级的学生已经在之前的数学学习中，掌握了基本的几何图形知识，具备了一定的空间想象力和逻辑思维能力。在此基础上，学生对折纸与证明的学习将更加深入地理解几何图形的性质和关系。然而，由于学生的个体差异，部分学生对几何证明的掌握程度可能不够扎实，需要教师在教学过程中给予关注和指导。
折纸奥数题
折纸奥数题是一种结合了折纸艺术和数学思维的题目。
通常，这类题目会要求学生在折纸的过程中，运用几何知识、空间想象力以及逻辑推理能力来解决问题。
以下是一个简单的折纸奥数题示例：
题目：有一张正方形的纸，如何只通过折叠，使得纸上的一个点距离纸的四条边的距离都相等？
解答思路：
首先，将正方形纸对折，使其对角线重合，形成一个等腰三角形。
这时，三角形的顶点即为所求的点，它到三条边的距离都相等。
接下来，将纸展开，找到正方形的中心点（即对角线交点）。
然后，将纸沿着通过中心点的任意一条直线对折，使纸分为两个相等的部分。
这时，新的折痕与原来的对角线相交于一点，这一点即为所求的点，它到四条边的距离都相等。
通过以上的步骤，我们可以得出答案：所求的点即为两条对角线和一条通过中心点的折痕的交点。
这个点的位置满足题目要求，即它到纸的四条边的距离都相等。
折纸奥数题不仅可以锻炼学生的数学思维和空间想象力，还可以培养他们的创造力和动手能力。
通过实际操作和观察，学生可以更深入地理解几何知识，并学会运用这些知识来解决实际问题。
勾股定理折叠问题的实际应用
勾股定理折叠问题的实际应用勾股定理是数学中最基础的定理之一，也是最具有实用性的几何定理之一。
通过勾股定理，我们可以求解直角三角形中的各种问题，比如求三角形的边长、角度等。
除了在数学领域有着广泛的应用外，勾股定理还可以应用在一些实际生活中的问题中，比如在建筑、工程、设计等领域中。
本文将主要围绕勾股定理在折叠问题中的应用展开讨论。
1. 折纸问题折纸作为一种传统的手工艺品，一直受到人们的喜爱。
在折纸的过程中，勾股定理往往能够帮助我们准确的计算出纸张的折叠位置和角度，从而使得折出的作品更加美丽和精致。
比如，我们想要折一个正方形纸张成一个等腰直角三角形，勾股定理就可以派上用场。
根据勾股定理，我们知道直角三角形的两直角边和斜边的关系是：a^2 + b^2 = c^2。
假设正方形的边长为a，我们要将其折叠成一个等腰直角三角形，那么直角边的长度就可以使用a和a的关系来计算。
将正方形对角线对折，便可以得到一个等腰直角三角形，其中直角边的长度为a，斜边的长度为√2a。
这就是勾股定理在折纸问题中的应用之一。
另外，在实际折纸中，有时我们需要折叠出一个特定形状的纸片，比如心形、星形等。
在这种情况下，勾股定理也可以派上用场。
通过勾股定理，我们可以计算出每个折叠角度的大小，从而准确地完成所需要的折纸形状。
2. 纸箱设计在工程领域，设计纸箱是一个常见的问题。
设计者需要考虑到纸箱的结构稳定性、承重能力以及空间利用等因素。
勾股定理在这个过程中也发挥着重要的作用。
以设计一个正方体纸箱为例。
假设我们需要设计一个边长为a的正方体纸箱，勾股定理可以帮助我们计算出纸箱的对角线长度。
正方体的对角线的长度就是正方体的空间对角线的长度，即√(a^2 + a^2 + a^2) = √3a。
这个对角线长度可以帮助我们确定纸箱的尺寸以及结构设计。
另外，有些设计需要将纸箱折叠成非常规的形状，比如六面体或者其他多面体。
在这种情况下，设计者需要考虑到每个面的尺寸和角度，勾股定理就可以帮助解决这个问题。
(案例)利用几何画板解决轴对称图形中的折纸问题课例(左鹏飞)
利用几何画板，引导学生解决折纸问题-------以《轴对称中的折纸问题》为例中山火炬高技术产业开发区第一中学 左鹏飞（一）教材编排体系分析翻折问题是中考的热门问题，它的实质是翻折前后的图形成轴对称，解决此类问题的关键是:1.折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是对称轴，折痕垂直平分对称点所连线段.2.折痕两边的图形全等。
（边、角相等）3.几何画板可以很好的体现折纸问题中的不变量。
学生在想的过程中适时利用几何画板动态呈现问题，能让学生理解的深度大大加强。
（二）教学过程设计1.第一类例题讨论，观察学生解决问题。
2.创设情景，让学生顺利过渡分数到分式。
2.学生讨论分析小结此类问题的解决途径和解决依据。
3.方法巩固练习例1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，•得到的图形是（）1.（2015湖北荆州第8题3分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（）A．B．C．D．设计意图：此题的设计就是为了让学生感悟动手剪一个或者折一个图形出来一样可以正确的得到正确答案。
让学生初步从形上感受轴对称变换中的折纸问题的解决第一类途径：动手操作型学生在讨论的过程中会各自提出解决问题的途径，观察是一方面，动手操作会发现更加快捷。
当出现有这样的观点后一定要适时的鼓励和推广。
最后用几何画板展示图形，效果更加直观。
例2（2006•聊城）如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使AB 落在AD 边上，然后打开，折痕为AE ，顶点B 的落点为F ．你认为四边形ABEF 是什么特殊四边形？请说出你的理由．（题型拓展）．有一张矩形纸片ABCD ，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则CF 的长为 ．4.第二类例题讨论5.学生讨论分析小结此类问题的解决途径和解决依据。
6.同类题型对比巩固练习：1.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）A ．85°B ．90°C ．95°D ．100° 2．如图，已知四边形纸片ABCD 中，AD∥BC，将∠ABC、∠DAB 分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC 上一点E ，你能获得哪些结论 因为类题型单纯感知容易获得答案，所以在学生探索的过程中要适时发问： 1.图形是什么四边形？ 2.大家判断的依据是什么？ 3.在这里AE 的作用是什么？ 4.∆ABE 和∆AFE 是什么三角形？它们有什么关系？ 此类的题型逐渐从实践得出结果向轴对称的性质迈向转变，经历了实际问题向数学问题的一个渐进，此时的老师应从轴对称入手，帮助学生们将折纸问题和轴对称的性质建立对应关系，引导学生们用轴对称的性质去解决问题。
浙教版初中数学八年级上册 2.1 图形的轴对称-折纸问题探究课 教案
趣味翻折，折出精彩——折纸问题探究课一、背景分析本课是浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》的一个拓展性课程.折纸，一个看似简单的操作，对八年级学生来说是一个不易征服的数学领域.按纸的形状可分为：折长方形、折正方形、折三角形、折圆等，按次数可分为：折一次、折两次或者折n次.爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”，兴趣是调动学生积极思维、探求知识的内在动力.有力兴趣，学习不是负担，而是一种享受.因此，本堂课的学习可以增添数学学习的乐趣，帮助大家更好地明白折纸问题的数学本质.二、学情分析根据学生平时的作业情况了解到，孩子们对折纸问题既陌生又害怕，有些时候折出图形也不一定能完成接下去的思考，折纸问题较抽象，具有一定的难度，学生不易理解.三、教学目标基础知识：通过“折鸭子”的过程，让学生理解折纸的本质是一种轴对称变换，轴对称变换产生的全等图形中有许多的角相等、边相等.基本技能：探究“折红勾”的过程，不同夹角90°、60°、70°所产生的变与不变.基本思想：运用转化思想将折纸问题转化成轴对称变换，运用类比的思想探究角度变化的问题，运动数形结合的思想解决抽象的图形，运用方程思想解决折纸中求线段长度的问题.基本活动经验：感受折纸的过程，能够将图形进行还原，能够将实物抽象成几何图形.四、重点难点重点：折纸的本质是轴对称变换.难点：活动四（4）中，将实物抽象成几何图形，并探究线段长度，重叠部分面积的过程，是本堂课的难点.五、教学用具教师：长方形红纸条4张、正方形纸片1张、磁石贴16个、三角尺.学生：长方形红纸条4张、正方形纸片1张.六、教学流程师：同学们，你们喜欢折纸吗？会折哪些东西呢？活动一：作品观赏纸除了能折这些小玩意外，还能折一些大家伙呢！比如说纸做的船，可以载人入水，同学们见过吗？活动二：视频欣赏如果你认为纸只能做这些东西的话，那就大错特错啦，接下来让我们一起来欣赏一个视频！看了这个视频后，相信同学们肯定手痒痒了，接下来陈老师带大家一起来折一个小作品，同学们一边折一边猜，我们折的是什么.活动三：动手实践第一步：将正方形纸片沿着它的斜对角线对折，然后打开.同学们仔细观察一下，这个正方形被中间这条折痕分成了两个什么图形？中间这条折痕可以看作是一条什么呢？对折的过程是在做一个什么变换呢？生：两个等腰直角三角形；对称轴；轴对称变换.师：接下来请同学们按照这个步骤继续往下折，这是一个什么作品呢？生：鸭子.（请同学将作品贴到黑板上展示）师：同学们，你们知道鸭子的嘴巴是多少度吗？请大家来猜猜看.生：15°、25°、12.5°、11.25°.师：同学们产生了这么多不同的意见，那大家都是怎么得到答案的呢？生：量角器.师：可见这个时候量角器已经帮不上忙了，那同学们想想，这个鸭子的嘴在刚刚的折纸过程中，可以体现在哪里呢？生：直角的对折，再对折，再对折.师：是的，其实折纸的问题就是轴对称变换，同学们能够得到图形的全等，从而得到相等的角、相等的边.活动四：重点探究师：同学们都喜欢老师在题目上打上“√”，对不同的老师来说，打“√”的角度是不一样的呢！接下来让我们拿起手上的红纸条，折出一个“√”.（1）若红勾所成的夹角是90°，则重叠部分是一个什么图形呢？请说明理由.生：等腰直角三角形.因为对顶角相等，所以∠BAC =90°、AB 、AC 是纸条的宽度，长方形纸条宽度处处相等,所以△ABC 是等腰直角三角形.（2）若红勾所成的夹角是60°，则重叠部分是一个什么图形呢？请说明理由.生1：等边三角形.因为对顶角相等，所以∠BAC=60°、AB 、AC 是纸条的宽度，长方形纸条宽度处处相等,所以△ABC 是等边三角形.生2：此时AB 、AC 也正好是长方形纸条的宽度吗？生1：好像不是.师：那同学们觉得，可以怎么来验证它是一个等边三角形呢？生：把图形进行还原.师：请同学们在导学案上画出还原之后的图形.你有什么发现？生：∵AE //DB∴∠DBA =60°∵翻折∴∠ABC =∠GBC =︒=︒-︒60260180 ∵∠BAC =60°（对顶角相等）∴△ABC 是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）.师：除了用“有两个角是60°的三角形是等边三角形”外，还有哪些判定等边三角形的方法呢？生：一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.师：虽然此时的AB 和AC 不是纸条的宽度，但是他们肯定是相等的，已知∠ABC =60°，你能通过证明AB =AC ，来证明△ABC 是等边三角形吗？请同学们以小组形式展开讨论.生：∵BC 平分∠ABG∴∠GBC =∠ABC∵AF //BG∴∠ACB =∠GBC∴∠ABC =∠ACB∴AB =AC∵∠BAC =60°∴△ABC 是等边三角形（一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.师：本题中，我们可以看到：BC 是一条角平分线，BD //AC ，因此得到等腰三角形. 角平分线+平行线 等腰三角形.（3）接下来，让我们类比．．着90°、60°的情况，来探究一下70°的时候，重叠部分会是一个什么图形?生：等腰三角形.（4）沿着EF 将长方形纸条进行折叠，使点D 与点B 重合，你能画出折叠后的图形吗？（5）若长方形纸条长为9cm ,宽为3cm ，你能求出AE 的长度吗？师：要求AE 的长度，我们需要怎么做？生：将图形进行还原.师：在这个翻折过程中，有哪些线段是不变的呢？生：BE =DE .师：这里有没有特殊的三角形呢？生：△ABE 是直角三角形，△BEF 是等腰三角形.解：设AE =x ，则BE =DE =9-x .运用勾股定理求得x =4cm .（6）你能求出重叠部分△BEF 的面积吗？请以小组形式展开探究.组1：过点E 作EG ⊥BF ，EG =AB =3cm ,.5.75321212cm BF EG S BEF =⨯⨯=⋅=∆ 组2：∵未重叠部分两个三角形面积相同，重叠部分两个三角形面积相同,∴64321=⨯⨯==∆∆CDF ABE S S ,().5.71293212cm S BEF =-⨯=∆ 七、课堂小结通过今天这一堂课的学习，同学们对折纸问题有了哪些新的认识呢？希望今天课上学习到的数学方法及数学思想能帮助你轻松克服折纸问题，让折纸问题不再害怕！八、板书设计画图区：九、课后习题 1.如图，把长方形纸片ABCD 沿EF ,GH 同时折叠，B ,C 两点恰好落在AD 边的点P 处，若︒=∠90FPH ，8=PF ，6=PH ，则长方形ABCD 的面积为___________.2.如图1是长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF 折叠成图3，（1）若DEF ∠=20°，则图3中CFE ∠度数是多少？（2）若DEF ∠=α，把图3中CFE ∠用α表示。
解析几何中的折纸问题
解析几何中的折纸问题
折纸问题是指在平面或空间中，给定一张纸或一块平面，通过将其折叠，使得某些点或线段重合的问题。
在解析几何中，我们可以利用坐标系来解决折纸问题。
首先，我们需要确定纸或平面的形状和大小，并给出其在坐标系中的位置。
然后，我们可以将纸或平面折叠成不同的形状，例如三角形、四边形等。
此时，我们需要确定折叠后各点或线段的坐标，并判断它们是否重合。
在解决折纸问题时，我们需要注意以下几点：
1. 折叠必须沿着纸或平面的边缘进行，不能在中间部分进行折叠。
2. 折叠后的图形必须保持平面或立体的性质，不能出现交叉或穿越现象。
3. 在使用坐标系解决折纸问题时，需要考虑折叠后各点或线段的坐标是否符合要求，例如是否在定义域或值域内等。
通过解析几何中的折纸问题，我们可以加深对坐标系和几何图形的理解，同时也可以提高我们的逻辑思维能力和空间想象能力。
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数学折纸：使用折纸解决问题
数学折纸：使用折纸解决问题数学和艺术之间有着密切的联系，而折纸作为一种古老的手工艺，也可以产生出令人惊讶的数学效果。
折纸不仅仅是一种美妙的娱乐方式，它还能应用于解决复杂问题。
本文将介绍折纸在数学中的应用，并探讨其中的奥秘。
折纸可以简化几何问题，例如通过折纸构建各种形状以解决难题。
一项经典的折纸问题是如何将纸折叠成正方形的一半。
这个问题追溯到日本古代，被称为“和纸折刀”，因其简单、有趣和有挑战性而成为人们喜爱的谜题。
解决这个问题时，我们将纸对角线上的两个顶点重合，然后沿对角线将纸折叠过去，即可得到一个完美的正方形。
这个折纸过程实际上是一种几何证明。
我们可以利用几何学中的对称性和投影原理来解释这个过程。
这个例子展示了折纸作为一种工具，可以辅助我们理解和解决几何问题。
另一个有趣的应用是折纸测量。
通过折叠纸片，我们可以估算一些难以测量的长度和角度。
例如，通过不断折叠一张纸，我们可以近似计算出根号2的值。
这个过程被称为“折纸法求解根号2”，是数学中的一个经典问题。
通过多次折叠，我们可以逼近根号2，并最终得到一个接近于精确值的结果。
除了在几何和测量方面的应用，折纸还可以用于解决一些复杂的数学问题。
例如，“折纸质点问题”是一个研究如何通过折纸将一个点移动到另一个位置的数学难题。
这个问题可以用图论和折纸技巧相结合来解决。
通过特定的折叠序列，我们可以实现点的平移、旋转和反射等操作，从而达到所需的目标。
折纸还被广泛应用于计算机科学中的算法设计。
例如，“折纸排序算法”是一种基于折叠和比较的排序算法，可以在最坏情况下实现线性时间复杂度。
这种非常高效的算法是基于对纸片的不同折叠方式进行比较和排序的原理。
在现代科技的推动下，折纸在解决实际问题中的应用也日益广泛。
例如，NASA在太空探索中使用折纸技术来设计和折叠太阳能板，以便在航天器发射前进行紧凑的储存和运输。
这种折纸设计不仅减少了太空舱体积，还提高了能源的利用效率。
总之，折纸作为一种古老的手工艺，不仅具有艺术价值，还有广泛的数学应用。
三角形折叠问题
三角形折叠问题三角形是几何学中最基本的多边形之一，它的独特形状和特性一直吸引着人们的注意。
除了其几何属性之外，三角形还常常出现在折纸的世界中。
在这个问题中，我们将探讨三角形的折叠问题，了解在给定条件下能够得到哪些不同形状的折纸。
折纸是一种古老而有趣的手工艺，通常使用平面纸张。
在折纸中，我们通过将纸张沿着特定的线条折叠和塑形，创造出各种形状和结构。
而三角形折纸就是其中的一种常见形式。
那么，三角形折纸问题是什么呢？简而言之，这个问题考虑的是给定一张纸，我们可以通过如何折叠纸张来获得不同的三角形形状。
在这个问题中，我们将对折纸的方式和纸张的形状进行限制，以探索可能的折叠结果。
首先，让我们思考一下最简单的情况 - 在平面上将一个正方形纸张对折。
这种对折方式会使得纸张分成两个相等的三角形。
这是最基本的三角形折叠形式。
除了正方形，我们还可以使用矩形、等腰梯形和其他平行四边形来得到不同类型的三角形。
在进行三角形折纸时，我们需要考虑一些限制条件。
首先，纸张必须是平面的，不能有任何切口或洞口。
其次，折纸过程中边的交叉点必须是整数或分数，而不能是无理数。
这是因为无理数会导致纸张无法准确地对齐和折叠。
最后，我们需要注意纸张的边缘必须能够完美地对齐和折叠，以确保得到准确的三角形形状。
为了更好地理解折纸问题，让我们考虑一个具体的例子。
假设我们有一张边长为10厘米的正方形纸张，并且希望通过折叠得到一个等边三角形。
我们首先将纸张对角线上两个顶点对齐，然后将纸张对折至两个边完全重合。
此时，我们得到一个边长为10厘米的等腰直角三角形。
接下来，我们将三角形的两条等腰边对折，使其重合，从而得到一个边长为10厘米的等边三角形。
这个例子说明了在满足一定折叠规则的情况下，我们可以通过折叠纸张来得到特定形状的三角形。
此外，三角形折纸问题还与数学领域的一些概念密切相关，如曲线的连续性、对称性和平移性。
这些概念可以帮助我们更好地理解三角形折纸问题，并为我们提供折纸过程中的一些指导。
折纸几何学
折纸几何学折纸几何学是一门非常有意思的学问，它是将纸张折叠成各种形状并分析其数学规律的学科。
折纸几何学不仅可以锻炼我们的动手能力和想象力，还可以帮助我们理解几何的概念，提高我们的空间想象力。
折纸几何学最基本的形状是正方形和长方形。
将纸张对折两次得到的是一个正方形，而将纸张对折三次得到的则是一个长方形。
通过对纸张不同的折叠，我们可以得到许多有趣的形状，比如蝴蝶、飞鸟、纸船等等。
在折纸几何学中，最著名的形状之一是“鹤”。
鹤的折叠需要一定的技巧和耐心，但只要掌握了关键的步骤，就可以轻松地折出一只精美的纸鹤。
同时，在折纸过程中，还可以观察到许多有趣的数学规律，比如对称性和平移对称性等。
除了鹤之外，折纸几何学中还有许多其他形状，比如纸球、星星、立方体等等。
这些形状的折叠难度和步骤都各不相同，需要我们反复练习和探索。
折纸几何学不仅可以培养我们的动手能力和想象力，还可以帮助我们理解几何学的概念。
通过折叠纸张，我们可以更加深入地了解对称性、平移对称性、旋转对称性等几何概念，并加深我们对数学的理解。
最后，折纸几何学也可以帮助我们培养耐心和毅力。
折纸需要一定的时间和精力，但一旦成功折出一个精美的形状，就会感到无比的成就感和满足感。
因此，我们应该在折纸过程中保持耐心和毅力，不断学习和实践，让自己不断进步。
总之，折纸几何学是一门非常有趣和有价值的学科。
它可以锻炼我们的动手能力和想象力，帮助我们理解几何学的概念，并培养耐心和毅力。
因此，我们应该积极投入到折纸几何学的学习中，探索出更多有趣和创新的折纸形状，让自己在学习中不断成长和进步。
折叠问题初探的教学设计
折叠问题初探的教学设计教学目标：1．知识与技能：在折纸的情境中，建立现实生活问题与几何的联系，培养联想、类比由特殊到一般等数学的思考方式，渗透转化与划归的数学思想，能综合运用角平分线、平行线及与三角形、多边形相关角的一些知识。
2．过程与方法：经历“做”数学（实践）、思考、再合情推理的数学知识形成过程；通过观察——探索——猜想——验证的学习过程，体会科学发现的一般规律。
3．情感、态度、价值观：建立一些活动(折纸)与几何世界的多种联系，激发学习几何的兴趣。
感受到运动中蕴涵着静止、变与不变的辩证关系。
在折纸中加强学生的发现探究能力和创造力。
教学重点：折叠图形的中几何问题的发现和解决，让学生提问与质疑、尝试与探究、讨论与交流、归纳与总结。
促使学生思维开放，在积极探索中形成创新性的思考与看待问题的方式，并藉此获得知识。
教学难点：折叠运动变化中存在的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决具体问题。
教学方式：探索式，启发式教学手段：计算机辅助，几何画版课件，flash课件一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容:折纸与几何解题活动1：如图1，将一张长方形纸片如图1折叠，其中EF, FH为折痕，试判断∠EFH的度数？说明理由。
图1学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，直角的结论明显，并积极思考理由。
教师活动设计：此题结论明显，易操作。
主要目的是使学生感受折叠过程中表现出重合（全等）的特性，从而造成的折痕为角平分线；从此题中得出本题实质是临补角的角平分线互相垂直，从而体会思想方法：化复杂图形为基本图形；运动中有静止。
（板书）解答：∠EFH＝90°理由：由折叠过程可知: ∠1=∠2, ∠3=∠4又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°所以∠1＋∠3＝90°即∠EFH＝90°小结：折叠过程所呈现出的几何等量是由于重合。
活动2：如果将一张长方形纸片，沿着对角线折起一个角，使C点落在E处，BE 与AD相交与点O（如图2）这时我们能观察到什么呢？请说明理由。
折叠问题探究教案
折叠问题探究教案.docx折叠问题探究教学任务分析教学目标知识技能1初步掌握折叠问题的本质和解决问题的方法。
2通过例题的学习，使学生感知动手操作是解决数学问题的一种方法。
3能使用轴对称，全等三角形，矩形，方程解决综合问题。
数学思考1经历做数学（实践），思考，再合情推理的数学知识形成过程。
2通过例题的学习，将转化，方程，分类讨论，由特殊到一般的思想渗透到几何的求解过程中。
3渗透从轴对称变换的角度思考折叠问题。
解决问题通过对折叠问题的探究，形成解决折叠问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践水平与创新精神。
情感态度价值观建立一些活动（折纸）与几何世界的多种联系，激发学习几何的兴趣。
通过改变已知条件结果不变；变化折叠方式方法不受，培养学生勇于探索与合作交流的意识。
重点折叠运动变化中存有的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决具体问题。
难点1解决折叠问题方法的归纳。
2综合使用轴对称、矩形、方程解决折叠问题。
教学方式讲授启发；探究合作式教学手段多媒体教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1创设情景引入课题通过简单的折纸引入课题，激发学生学习兴趣。
活动2通过对三角形纸片的折叠猜想定理的证明，探究折叠的应用通过活动培养学生善于动手，善于观察的数学品质，从变换的角度理解折叠，直观感知折叠的应用。
活动3探究不同图形折叠的本质特征探究折叠后产生的新图形的形状，通过对题中的已知条件作了相对应发散，总结解决折叠问题的基本方法，并为活动4做铺垫。
活动4探究解决不同形式的矩形折叠问题的共同方法在活动3的基础上，以矩形折叠为例，探究不同情况下矩形折叠问题中线段的计算方法。
对于同一线段长度的求解，通过/、同方法的比较，启发学生选择最优方案解决问题。
活动5思考题将折叠问题放在平面直角坐标系里，培养学生综合使用知识的水平。
活动6评价和反思小结和布置课后作业教学过程设计问题与情境师生行为设计意图由学生实际操作，得出答案。