探究折纸中的数学
谈折纸在数学教学中的应用
谈折纸在数学教学中的应用前苏联教育家苏霍姆林基说: “儿童的智慧在他手指尖上。
”折纸可以促进儿童手脑的协调发展, 培养他们的创造力和逻辑思维能力。
将折纸应用于数学教学, 能够让学生在愉快的动手操作中学习知识,利于激发学习兴趣; 同时, 折纸也是一项兼有娱乐性和教育性的活动。
学生通过形象直观的实物操作, 能够逐步抽象、概括, 建立起正确的数学概念,1 折纸能激发学生的求知欲新课的引入是否精彩与成功, 能否吸引学生, 是进一步展开课堂教学的关键, 好的开端是成功的一半。
利用富有情趣的折纸游戏引入新课, 可以激发学生的求知欲望, 促进学生对感性材料进行分析、比较, 为顺利地掌握知识作好铺垫。
如: 教学《轴对称图形》时, 一开始，教者拿了一张纸对学生说：老师会变魔术，老师用一滴墨水滴在纸上能变成一幅画，你们信吗？教者边说边把纸的中间滴上一滴墨水，然后把纸对折后展开往黑板上一贴。
看到黑板上漂亮有趣的图形,同学们跃跃欲试。
教者便让学生也折一折, 摸一摸, 比一比折痕两侧的图形怎么样。
“把你们折的纸贴到黑板上来。
找一找这些图形有什么共同点? ”“它们折痕的两边都是一样的。
”“都很漂亮! ”笔者顺势告诉学生: “这就是我们今天要学习的轴对称图形。
”这节课, 从玩折纸入手, 让学生通过观察、操作等初步感受到“对称”及“对称的美”, 顺利引入了“轴对称图形”的概念, 激发了学生浓厚的学习兴趣, 培养了良好的学习情感。
2 折纸能激发学生的创造性课堂教学中要重视知识的发生、形成和发展过程的教学, 让学生在积极参与的过程中, 充分发挥他们的学习主体作用, 激发他们的创造性, 使知识很好地内化, 使认知结构发生质的变化。
通过折纸, 让学生经历操作、分析、比较、概括等一系列思维活动, 参与体验知识形成的全过程, 能够有效帮助学生系统深入地掌握知识, 拉近知识与学生的距离, 经历“数学化”和再创造的过程。
如: 教学《平行与垂直》教者巧妙的借助折纸实现有效建模。
手工折纸让孩子在折纸中探索数学和几何概念
手工折纸让孩子在折纸中探索数学和几何概念手工折纸是一项既有趣又具有教育意义的活动，它不仅能够培养孩子的动手能力和想象力，还能帮助他们去探索数学和几何概念。
通过折纸，孩子们可以在玩耍的过程中学习数学、理解几何，并培养空间思维能力。
本文将探讨手工折纸如何引导孩子在折纸中探索数学和几何概念。
一、数学概念的引导在手工折纸中，数学概念是孩子们可以自然而然地学习到的。
例如，在折纸过程中，孩子们需要对纸张进行准确的测量和划分，这就需要他们学习数学中的长度和面积计算。
通过折叠纸张形成各种图形，孩子们可以感受到数学概念中的对称性、平行线和垂直线等。
此外，在一些较为复杂的折纸作品中，孩子们还可以学习到数学中的比例和分数概念。
二、几何概念的探索手工折纸是一个很好的平台，让孩子们能够亲身体验和探索几何概念。
通过折叠纸张，孩子们可以了解到不同形状的特点和属性。
他们可以通过折叠纸张制作各种图形，如正方形、长方形、三角形等，从而加深对几何形状的理解。
此外，通过折纸还可以让孩子们了解到立体几何概念，如折叠一张纸可以制作出立方体、圆柱体等，这对于他们培养空间思维能力非常有帮助。
三、空间思维能力的培养手工折纸需要孩子们对图形进行转换、旋转和翻折，这就需要他们培养出空间思维能力。
通过折纸，孩子们可以学习到平面和立体的关系，从而培养出对物体空间特性的感知。
他们可以通过纸张的折叠和形变，理解物体的形状和结构在不同视角下的变化。
这种空间思维能力的培养对于孩子们日后学习数学和理解科学现象都非常有帮助。
总之，手工折纸不仅仅是一种有趣的手工活动，它还可以通过折纸过程引导孩子们去探索数学和几何概念。
折纸活动可以让孩子们在玩耍中学习到各种数学知识，例如长度、面积、对称性、比例和分数等。
同时，手工折纸还能够帮助孩子们加深对几何形状和空间感知的理解，并培养出空间思维能力。
因此，家长和老师可以通过手工折纸的方式来提高孩子们对数学和几何概念的兴趣和理解能力。
【精品】数学中的折纸问题
数学中的折纸问题数学中的折纸问题1 折出黄金分割比众所周知的分线段为黄金分割比：618.0215≈-。
这是个美妙的比例，实质上是“将线段为不相等的两段，使长段为全线段和短线段的比例中项”。
黄金分割比的作图并不难，但步骤较为复杂［2］。
如果用折纸的办法，我们就可以轻轻松松地将它展示出来。
如图1所示，将AD折叠到AB上，D为正方形纸片EF 的中点，则215-=ABBC。
也即C为边BF的黄金分割点［3］。
简证如下：令∠DAG＝θ，由折纸的对称性知∠BAC＝21θ，又2tan==AGDGθ，从而求得：2152tan-=θ，即215-=ABBC。
2 折出30°和60°角对于我们当中经常折纸的人,折出90°和45°角几乎是一种本能,而折出30°和60°角，其中包含ABCD GEF图1（1）（2）（3）图2（1）（2）（3）图3__________________________________________________的数学内容就稍微难理解些。
折出30°和60°角的方法主要是基于直角三角形的一个性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半［4］。
图2所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法。
将左上角顶点折叠到右边长一条41折痕上，可以在纸片上边的中点产生三个相等的60°角。
如果我们再将右上角也折叠过来，使两个角的顶点重合，那么，此时右边的60°角就分成了两个30°角。
如图3，当然，我们也可以直接将右上角顶点折叠到右边第一条41折痕上形成30°角。
其实，我们还可以像图4这样以正方形绝版的角或中心为顶点，折出60°或30°角。
注：将图3（2）一般化可以揭示一条重要性质：邻补角的平分线互相垂直，这就是2003年黑龙江省一道中考题［5］。
上面几种折法的几何证明就留给读者吧！ 3 将长方形纸片的成三等份图4__________________________________________________大多数人（包括笔者本人）将长方形纸片折成三等份的惯用方法是：先从纸片的一边开始，估计地叠起纸片的31；然后，将对边也折起来，根据三份是否重合来进行调整。
折纸中的几何数学
折纸中的几何数学折纸，作为一种古老而有趣的手工艺品，以其独特的几何形状和构造方式而闻名于世。
在探索折纸的过程中，我们会发现其中蕴藏着丰富而深奥的几何数学知识。
本文将从不同角度介绍折纸中的几何数学。
一、平面几何与折纸形状折纸起源于平面几何中的基本概念和原理。
在折纸的过程中，我们需要了解和运用平面几何的知识，如点、线、面、角等。
折纸的形状通常可以由直线、折线和曲线构成，而这些基本几何元素的运用决定了折纸形状的特征和性质。
例如，当我们用一张正方形纸折叠成一个正方体时，就涉及到平面几何中正方形、正方体和立方体的关系。
通过折纸，我们可以直观地感受到正方形纸张的每一边和对应的面如何变换成正方体的一条边和一个面。
折纸还可以通过平面几何中的相似性原理来构造各种形状。
相似性是指两个图形的形状与大小相似。
当我们折纸时，可以利用相似性原理来确定折纸纸张的长度比例和角度关系，从而实现将平面图形转化为立体形状。
二、尺规作图与折纸构造折纸不仅与平面几何有紧密的联系，还可以扩展到尺规作图。
尺规作图是指利用直尺和圆规进行的几何作图方法。
折纸在某种程度上可以看作是尺规作图的一种延伸。
在折纸的过程中，我们常常会遇到需要特定角度的折叠操作。
这时，我们可以借助圆规辅助完成特定角度的折叠，实现折纸纸张的角度精确控制。
同时，折纸中的构造也可以通过尺规作图的思想进行，即将给定的图形通过折叠的方式实现。
例如，我们可以通过折纸构造出正五边形、正十二边形等多边形，并且可以利用尺规作图的原理验证这些构造的正确性。
三、拓扑与折纸变形拓扑是几何学的一个分支，研究的是空间形状在连续变形下的不变性质。
折纸中的变形实际上是一种拓扑变换。
通过折叠、压缩、展开等操作，我们可以改变折纸形状，实现面的拼接、剖开和重组。
在折纸变形中，我们可以观察到一些有趣的现象。
比如，当我们将一张平面纸张折叠成一个多面体时，这些面在变形的过程中始终保持互相邻接，不会出现穿越的情况。
这便是由折纸中的拓扑性质所决定的，每次的变形都会保持面的连通性。
折纸中的数学奥秘
折纸中的数学奥秘六(3) 周航宇一丶问题的提出：在一次培训的课上，老师提出了一个有关折纸的问题：若将一张纸折成有7条折痕，则这张纸会被分成几个面？我思索了一下的说道：八个；老师又提到：那把A、B、C、D、E、F、G、H这八个字母依次填进去，然后顺着折痕重新折起来，请你回答从上往下数，第1、2、3、4、5、6、7、8层的字母各是什么？不能打开来看哦。
我猜了几个，有些对有些错，我想：这里有没有规律呢？那如果是16个面呢、32个面呢？如何快速而准确的说出每个字母所在的位置？若有规律那其中的奥秘又会是什么？回家后，立即找来笔与纸，开始思考。
二、分析与探索1、我找来纸，学着老师考我们的样折了7条折痕8个面（即将纸对折，再对折共对折了3次），并重新展开在每个面上依次都标上字母，然后再折回，把各层所在的位置标出来。
我仔细的搜索着这张纸里蕴藏的奥秘，我发现了:1+8=5+4=3+6=7+2。
也就说第一个字母和第二个字母所在的层数之和等于第三个字母和第四个字母所在的层数之和，也等于第五个字母和第六个字母所在的层数之和，等于第七个字母和第八个字母所在的层数之和。
那将纸折15条折痕16个面（即先将纸对折，再对折，再对折，再对折，共对折了4次）之后是否也符合这个规律？当层数标好之后，我非常的惊喜：1+16=9+8=5+12=13+4=11+6=7+10=15+2，从前依次往后，相临的二个字母所在的层数之和真的相等，而且它们的和等于总面数值再加1！2、经过多次试验我确信了这个规律，太高兴了！这样我就可以验算折纸的排列是否有误！同时我还发现了：第一个字母总是在第1层，最后一个字母总是在第2层；所以第二个字母就是最后一层，倒数第二个字母就是倒数第二层，也就是说他的位置不变。
同时又发现了：最中间的二个字母，前一字母总是在第4层，后一个字母总是在第3层。
临近的字母于是也可找到自己的层数。
3、我似乎找到了规律，于是赶紧拿了张稍长的纸，把它对折5次，折成了具有32个面的纸，赶紧标上字母，准备要验证一下自己的结论，在每个字母的下面准备标上它的层数位置，但只标好如下表的数据就犯难了：第5、第6层又是在哪个字母那里呢？还有第7、第8层……呢？刚刚发现规律的喜悦被新来的问题冲的一干二净。
长方形折纸勾股定理
长方形折纸勾股定理勾股定理是数学中的一项重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系。
而长方形折纸勾股定理则是一种有趣的方法，通过对长方形纸片的折叠，可以得到勾股定理的结果。
首先，我们需要一张长方形纸片，它的宽度为a，长度为b。
我们将纸张对折，使得宽度a与长度b重叠。
接下来，我们再次将纸张对折，使得宽度a与长度b再次重叠。
这时，我们可以看到纸张上出现了一个直角三角形。
其中，折叠处的边长a即为直角边，未折叠部分的边长b即为另一直角边，而纸张的对角线c则为斜边。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方之和。
因此，在这个长方形折纸的过程中，我们可以得出以下结论：c²=a²+b²这就是长方形折纸勾股定理的表达方式。
通过这种折纸方法，我们可以验证勾股定理的成立。
当然，我们也可以根据这个折纸方法，进行逆向推理，得出已知两直角边长时的斜边长。
这种折纸方法在数学教学中也有一定的应用。
在教授勾股定理时，我们可以通过这种形象的折叠过程，帮助学生更好地理解定理的含义。
同时，折纸还可以激发学生的兴趣，使学习变得更加生动有趣。
除了勾股定理，长方形折纸还可以应用于其他一些数学问题中。
例如，我们可以通过折纸来解决一些几何问题，或者进行数学推理。
这种折纸方法可以培养学生的空间想象力和逻辑思维能力，对于他们的数学素养的提升有着积极的影响。
总结来说，长方形折纸勾股定理是一种有趣且有效的方法，通过这种折纸方式，我们可以验证和应用勾股定理。
它不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以培养他们的创造力和思维能力。
在数学教学中，这种折纸方法是一种有益的辅助教学手段。
希望更多的人可以尝试这种方法，享受数学带来的乐趣。
折纸与数学
折纸与数学折纸是一门古老的手工艺术，它源于中国，在日本和西方地区也得到广泛发展。
折纸不仅是一种艺术形式，也可以成为一个很好的数学学习工具。
在折纸的过程中，我们可以学习到很多有趣的数学知识，例如几何，对称性，比例，图案等等。
本文将介绍折纸与数学之间的密切关系。
1. 几何学折纸是几何学的一个重要应用，它可以帮助我们理解许多几何概念。
例如，我们可以折纸来演示平移，转化和镜像等基本变换。
在折纸过程中，我们也可以学习到角度，三角形，四边形，圆形等几何概念。
另外，折纸还能用来演示等角变换和相似性等高级几何概念。
2. 对称性对称性是数学中的一个重要概念，它有助于我们理解和分析物体的特征。
在折纸中，对称性也扮演着重要角色。
我们可以用折纸来展示物体的轴对称和中心对称等对称性质。
此外，在折纸中也可以看出“相似不等于相同”的原则，即两张纸折成同样形状的方法不一样。
3. 比例在折纸中，比例也是一个关键概念。
我们可以用折纸来演示比例的概念，并且在实践中体会比例的重要性。
例如，我们可以折纸来展示两个形状相似的三角形，并利用相似性原理去计算出各边的长度比例。
4. 图案设计图案设计也是折纸的重要应用之一。
我们可以利用折纸来设计出各种各样的图案，突显纸张的美感和艺术性。
在折纸过程中，我们可以运用几何、算数和图案设计的知识，创造出各种不同形式的纸艺作品。
总结：在折纸中，数学不仅是一种工具，更是一种启发思维、开拓眼界的媒介。
通过折纸，我们可以提高自己的创造力和数学实践能力，而且还可以加深我们对于几何、对称性、比例、图案设计等数学知识的理解。
因此，我们可以说，折纸不仅是一种艺术形式，更是一种有趣的数学学习方式。
探索折纸的奥秘——数学教案
探索折纸的奥秘——数学教案引言折纸是一种绝妙的手工艺术，而其背后往往关涉到深厚的数学原理。
不仅在中国传统文化中有折纸的存在，甚至在世界各地都有折纸的身影。
折纸不仅是一种制作美丽物品的手工技艺，同时也是强烈的数学证明和验证的方式。
本文旨在探索折纸的奥秘，探究其中的数学原理，为教师们提供一份可供参考的数学教案，帮助教师更好地传授数学知识。
第一章折纸的基础原理折纸是一种根据预先规定的折纸方案将一张纸折成一定形状的手工艺术。
其中最基本的原理就是将纸按照预定的线折叠，组合成新的形状。
因此，折纸必须遵循以下规则：1.折线必须是直线，只允许在与原点相交的点折叠。
2.折线必须将纸的两个相邻顶点连接起来。
3.纸张的任何部分不能被剪掉。
4.纸张不能被撕裂，除非这是必要的。
根据上述规则，在纸张上通过折线来创造形状是一种强大的工具，这是因为它几乎可以产生任何几何形状，包括立体形状。
因此，了解折纸基本原理是理解折纸数学的第一步。
第二章折纸中的数学原理1.几何性质折纸中的许多数学原理可以被视为几何性质。
例如，当需要将一张纸折成一个圆形时，我们应该折出一个正方形，因为正方形的对角线长和宽相等。
在折叠时，将角度分成两半，这确保了每个角都是圆的。
通过这种方法可以解决从平面到立体形状的许多挑战。
2.对称性对称性是几何学中的基本原理之一，在折纸中也同样适用。
对称性指的是图形与其镜像具有对称性，也就是说，它们是对称的。
因此，在设计折纸时，对称性是一个非常重要的概念。
例如，通过平面对称折叠，我们可以得到对称的双倍立方体。
因此，在选择哪些点需要折叠时，考虑对称性非常重要。
3.运用复合几何学复合几何学是指将数学几何理论应用于实际问题的过程。
在折纸中，复合几何学可以帮助我们了解和预测形状如何变化。
例如，当需要制作一个正十二面体时，我们可以使用复合几何模型将其折叠成多个组成部分，然后再进行拼接。
这种方法可以帮助我们预测纸张的形状和长度，以便正确折叠。
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探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
培养学生分析问题、解决问题的能力。
（2）通过折纸理解等腰三角形和等边三角形的相关性质。
（3）体会和理解等量（等角、等边、全等）产生的具体操作办法和依据。
教学重点：通过折纸巩固中点的定义、角平分线定义以及垂直和平行的定义和相关性质；掌握折纸的基本方法，并通过折等腰和等边三角形体会和理解等量（等角、等边、全等）产生的具体操作办法和依据。
教学难点：正确地分析折纸所蕴含着的数学信息教学方法：引导法、讨论法、操作探索法。
教具：多媒体计算机、投影、课件教学过程设计：一、引课用多媒体打出折纸作品的图片供学生欣赏，激发学生的兴趣。
然后让学生展示他们自己提前作的折纸作品。
并让学生谈一下自己在折纸过程中的体会和认识。
教师说明折纸跟数学有很大的联系。
二、正课：（分版块）（学生折纸折出后由学生上台演示充当一个小老师或展示自己的折纸作品充分发挥学生学习的主体地位，增强学生学习数学的兴趣与成就感。
）（一）、复习与折纸有关系的旧知识：中点的定义.1、怎样用折纸的办法得到一条线断的中点。
（二）、复习与折纸有关系的旧知识：角平分线定义。
1、怎样用折纸的办法得到一个角的角平分线？（三）、复习与垂直有关系的旧知识：垂直定义与垂直性质。
（1）取一张纸任意对折，将第一次对折的折痕再对折，展开纸张，你能找出其中的直角吗？（2）除了（1）中的方法，你还有其他方法折出直角吗？与同伴进行交流。
折直角的方法很多，比如将纸片的一边同时向内翻折并对齐，也可以得到直角，这里应让学生尽可能多的找出或讨论出折叠的方法，对折纸的数学意义有充分的了解。
可以按下列方法折纸，然后回答问题：问题：AE与EF位置有什么关系？（先大胆猜想，再验证.）(提示画出折痕EH)解：∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∴∠BEH=2∠2，∠CEH=2∠3∵∠BEH +∠CEH=1800（平角的定义）∴ 2∠2+2∠3=1800∴∠2+∠3=900∴∠AEF=900∴AE⊥EF（垂直的定义）（2）如何过一点折出与已知直线相垂直的直线（分别过直线上和直线外一点作垂线）？（四）、复习与折纸有关系的旧知识：平行定义与平行公理和推论。
想一想（1）通过折纸你能折出两条平行的直线吗？（2）你能折出与已折两条平行线都平行的直线吗？通过折叠直角，学生对折法有了一定的认识和了解，再折平行线学生能够联想到平行线的有关知识，可以想到只要折出相等的同位角和内错角，就可以得到平行线；要折出与已折两条平行线都平行的直线只需将两条平行线再对折或利用刚才的方法。
教学时，可先让学生回想平行线的性质和判定，进而找出方法，并能意识到折纸中所蕴涵的数学思想和依据。
（五）复习：什么是等腰三角形？什么是等边三角形？做一做：1）怎样用一张纸片折出等腰三角形？你能说出其中的道理吗？2）怎样用一张长方形纸片折出等边三角形？折完后打开纸片，你能找出其中的特殊图形和轴对称图形吗？折等腰三角形的方法（一）：如下图是以正方形一边的中垂线为中心线向内翻折，依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
折等腰三角形的方法（二）：折等边三角形的方法：（一）将一张长方形纸对折一下，得到的一条折线，只要把底边AC，从一端A向上斜折过去，直到另一端C落到中线上，那一点便是B。
折AB、CB，便得到等边三角形ABC。
（二）第一步：如图1，取一张长方形纸，将AB折至DC，作出一条等分这张纸的折线MN；再折纸使折线通过D，且A在折线MN上．此时AD与DC的夹角为30°，而折线LD与DC的夹角为60°。
图1第二步：如图2，如果再将纸沿LA折叠，得到折痕LP，然后把纸打开，就可以折出等边三角形，如图中的三角形LPD。
P第二步也可这样折，图3中沿AD折叠出折痕后，然后打开再沿MN向后对折起来，再沿AA`折叠，展开后即得等边三角形AA`D.三、动手动脑试一试：怎样用正方形纸片折一个各边都相等的八边形？其中有我们较为熟悉的图形吗？四、本节课你的感悟与收获是什么？生活中处处有数学，数学可以帮助我们作出美丽的作品装点我们的生活，数学中充满了美。
很好玩，我们可以在玩中学也可以在学中玩五、拓展空间课后让学生继续研究，通过折纸发现等边三角形有何特性?正方形，正五边形，正六边形、……怎么折? 有没有其他的方法？折叠后展开，折痕形成怎样的图形？……等问题让学生将折纸活动延伸到课外，尝试于生活之中。
六、习题：1）通过折纸你还能得到各边都相等的五边形、六边形、十二边形？实际操作并和同伴进行交流。
2）查阅相关资料或是自己动手探索，用折纸的办法都能得到哪些图形，并集中你们小组或全班收集的结果，制作一份手抄报，让更多的人来了解折纸中的数学。
正方形怎样折正八边形1、将正方形折出两个对角线的折痕。
会得到中点，设为字母O。
2、把正方形对折两次，就像小时候折飞机一样，折出的一个角为22.5度。
此时，一个对角线与正方形的两个边重合。
然后，将点O的位置标在正方形的每个边上。
3、按照步骤2，在正方形的4个边上标出八个点，每个边上两个。
将这八个点连接，该折的四个角折一下，就行了。
大功告成！原理：假设对角线的长度为2a，那么它的一半长度就是a。
另设折纸过程中在正方形的某个边上取的某个点为M（也就是当时与O重合的点)，那么这个点M将这条边分成了两个线段，其中较长的那个线段的长度如果刚好等于a的话，那么点M 就是正八边形八个顶点之一（这个可以根据简单的数学原理证明出来）。
玩折纸学几何一、折纸与几何入门在你手头既没有圆规和刻度尺，又没有三角板和量角器等度量工具和作图工具的情况下，你能准确地比较两条线段的大小吗？能平分一个角吗？能检查两条相交直线垂直与否吗？……比较两条线段的大小，初一几何课本告诉我们有两种基本方法：一种是借助圆规进行图形的叠合，另一种是用刻度尺度量，比较数量的大小．其实，聪明人没有这些工具，也照样能解决这些问题．不是吗？当你还在幼儿园玩拆纸游戏时，就已经在探求解决这些问题的方法了．比如要折“猴婆婆”，老师指导你把一张长方形纸裁成一张正方形纸时，如图1，把长方形纸ABCD的AB边绕点A折叠到AD边上，然后再折叠BE，裁去多余的长方形BECD后，展开即为正方形纸．这样折纸，不正是比较线段大小的最好办法吗？我们把长方形纸的边分别看作线段，这时线段AB与AD的一个端点A重合，另一个端点B落在AD上，因此可知A(B)=AB，AD＞AB；∠(B)AE与∠BAE重合，即AE平分∠BA(B)；∠A(B)E与∠ABE重合，即∠ABE=∠A(B)E=90°，所以纸片A(B)EB是正方形．又如图2，把一张纸任意折叠一次后，再把折痕AB对折(即平分平角)，这时两次折叠的折痕所成的∠COB 为直角，利用它就可检查两条相交直线垂直与否，或检查一个角是锐角还是直角或钝角，或检查两个角互余、互补与否．初一几何课本第1页给出了一个五角星，我们可不用任何画图工具，只要一张纸(红纸更好)和一把剪刀，运用折纸办法，就能剪出一个漂亮的五角星，办法如下：取一张纸，先对折成如图3的A(B) EF，再沿OC将BE边折起，得∠BOC，大约使∠BOC=2∠AOB，然后将OC翻折到OB上(折痕OD是∠BOC平分线)，再把∠AOB沿OB叠合到∠DOB上，如图 4；在OA上取一点M，在OB上取一点G，且使OG约等于QM的 2．6倍，最后沿MG直线将折叠成图4状的纸剪开，把剪得的△OMG展开，即成图5那样的五角星．只要经过几次尝试，你一定能熟练地剪出一个漂亮的五角星来．剪五角星的实质是运用折纸五等分平角，同时应用轴对称原理，使如图5中的∠FOA=∠AOK=∠KOE=∠EOP=∠POD=36°，达到∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA= 72°的目的．你若善于观察思考，将会发现，在儿时玩过的各种折纸游戏中，无不包含最基本的几何原理．反之，学习了几何知识，将会激发你设计创造出更多更新颖的折纸游戏．二、折纸与定理证明折纸既是一种有趣的游戏，更是一种探求几何图形性质的重要方法，特别对于三角形边角关系一类性质的证明，用这种方法真是妙不可言！1．等腰三角形性质的证明取一张等腰三角形纸片，如图1，把两腰AB、AC 折叠在一起．则∠B、∠C 重合，即“等腰三角形的底角相等”；折痕AD分别把顶角A、平角BDC、底边BC分成相等的两部分．即折痕AD既是等腰三角形顶角平分线，又是底边上的高和中线．于是得等腰三角形“三线合一”的性质，并且折痕正是证明上述性质时所要添画的辅助线；若在折痕AD上取一点P，连结PB、PC，由于等腰三角形ABC 沿AD折叠时，点B与点C重合，所以必有PB与PC重合，于是有“等腰三角形顶角平分线上的点到底边两端点的距离相等”的性质．类似地，可得等腰三角形两腰上的中线相等、底角平分线相等等一系列性质．2．“大角对大边”、“大边对大角”的证明如图2，取一张纸片△ABC(设AB＞AC)，把AC折叠在AB上，则∠C叠合到了∠AED的位置，有折痕AD、ED，由于∠AED是△BED的外角，故有∠AED＞∠B，即∠C＞∠B，于是有定理“一个三角形中，大边对大角”，并且折痕AD、ED正是证明该定理时所要添画的辅助线．如图3，纸片△ABC，设∠C＞∠B，折叠纸片，使点B与点C重合，则∠B 叠合到∠ECD的位置，有折痕ED、EC，可知EC=EB．在△AEC中，AE+ EC＞AC，即AE+EB=AB＞AC，故有定理“一个三角形中，大角对大边”．3．直角三角形性质的证明如图4，取一张直角三角形纸片，设∠C=90°．折叠纸片，分别使点A与点C重合，点B与点C重合，有折痕ED、FD、DC，易知∠A+∠B=90°，中，斜边上的中线等于斜边的一半”．如图5，取边长为(a+b)的正方形纸片，将它的四个直角向形内折直角边长为a、=a2+b2，即“直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和”，这是勾股定理的最简证明．。