曲线的凹凸与拐点要点

f (x)
x x2 x1 x2
f (x1)
x x1 x2 x1
f (x2 )，
即
f (x) f (x1) f (x) f (x2 )
x x1
x x2
f
( x1 )
lim
x x1
f (x) f (x1) x x1
lim
x x1
f (x) f (x1) x x1
lim f (x) f (x2 ) f (x1) f (x2 )
f (1)
f ( 2 )
f (x2 ) f (x)
f
(
xx22
x )
f
(x)
f
( 2 ),
x2 x
x 2 x2
将上不等式变形即得
f (x) x x2 x1 x2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f
( x1 )
x x1 x2 x1
f (x2 )
f (x)是(a, b)内的凸函数
y
y f (x) B
y y f (x)
上任意两点 x1,x2, 和任意实数 λ总有 f(λx1 +(1 -λ)x2 )≤λf(x1)+(1 -λ)f(x2 )
那末称 f(x)为在区间 I 上的凸函数;反之若总有 f(λx1 +(1 -λ)x2 )≥λf(x1)+(1 -λ)f(x2 )
称 f(x)为在区间 I 上的凹函数
如果对(a,b)内任意两点 x1, x2 , 恒有
两式相减，得
2 f ( x0 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )] [ f (1 ) f (2 )]h
证明 (2)x1, x2 (a,b), x1 x2
记
x0
x1
2
x2
,h
x0
x1
x2
x0
对 f(x)在[x1,x0 ],[x0 ,x2]上分别应用L—定理，得
f ( x0 ) f ( x1 ) f (1 )h ( x1 1 x0 )
f ( x2 ) f ( x0 ) f (2 )h ( x0 2 x2 )
B
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
定理2 如果 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有 二阶导数 ,若在(a,b)内 (1)f(x)> 0,则 f(x)在[a,b]上的图形是凸的; (2)f(x)< 0,则 f(x)在[a,b]上的图形是凹的 .
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f (x)
y
C
B
A
o
x
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方(凸函数)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方(凹函数)
x x1, x2 0
x x2 x1 x2
1
令
x x2
x1 x2
且 x x1 (1 ) x2
过A(x1, f x1)与B(x2, f x2 的弦的方程是
y
f
x2
f
x1
x1
f
x2
x2
x
x2
函数y=f(x)与弦的方程函数在 x x1 (1 ) x2
的值分别是 f(λx1 +(1 -λ)x2)
λf(x1)+(1 -λ)f(x2)
定义设f(x)为定义在区间 I 上的函数，若对 I
2. 定义中的不等式 f（tx1 (1 t)x2） tf（x1） (1 t) f（x2）
等价于：对 x (x1, x2 )，有
f（x）
x x2 x1 x2
f（x1）
x x1 x2 x1
f（x2）
定义2 若当x (a, b)时，曲线 y f (x)上每一点的切线位于曲 线的下 (上)方,则称曲线在区间(a, b)内是向下凸(向上凸）.
x2 x1
设 f (x)在(a, b)内单调不减对， x1, x2 (a, b) (设x1 x2 ), x1 x x2 ,
在[x1, x],[x, x2 ]上分别用Lagrange定理，得
f (x) f (x1) x x1
f (1),
x1 1 x,
f (x) f (x1) x x1
凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.
二、曲线凹凸的判定
定理1 设f (x)在(a,b)内可导，则f (x)是(a,b)内的凸（凹）函数 f (x)在(a,b)内单调不减（增）。
定理 1可根据定义进行 证明，下面证明定理 1.
设f (x)是(a,b)内的凸函数,则对 x1, x2 (a, b)(x1 x2 ), x1 x x2,有
§6.4 曲线的凹凸与拐点
前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有 帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考 虑弯曲方向。
如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是 从A点单调上升到B点，但它们的弯曲 方向却不一样。
L1 是“凹(上凸)”弧，L2是“凸(下凸)”弧 ，
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凸的;
如果f ( x)在[a, b]内连续,且在 (a, b) 内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
注1.由定义知，若 f 是(a,b)内的凸(凹)函数，则 f 是(a,b)内的凹(凸)函数。
曲线的凹凸与拐点
.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲
线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线
的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.
y
• •
y
•••
•
θ1
oa
θ2 θ3
x1 x2x3b
x
θ3 θ2 θ1
o a x1x2 x3
bx
几何特征Ⅱ
凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.
x x1
x x2
x1 x2
f
( x2
)
lim
xx2
f (x) f (x2 ) x x2
lim
x x2
f (x) f (x2 ) x x2
f (x1) f (x2 ), 即 f (x) 单调不减。
lim f (x) f (x1) f (x2 ) f (x1)
x x2
x x1
L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常
习惯对凹凸的称呼是不一致的。
o
y L1
L3
A
B L2
x
y
y
y=f(x)
y0
p y=f(x)
y0
p
o
x0
x
K切=f '(x)>0 y单调递增
几何特征Ｉ
o
x0
x
K切=f '(x)<0 y单调递减
凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方. 凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方. 连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.