曲线的凹凸与拐点要点
导数的应用曲线的凹凸区间与拐点
导数的应用曲线的凹凸区间与拐点导数的应用：曲线的凹凸区间与拐点导数是微积分中一个重要的概念，可以描述曲线在某一点处的斜率或者变化率。
除了这些基本的应用外，导数还可以帮助我们分析曲线的凹凸性质和拐点的存在。
本文将介绍导数在曲线凹凸区间和拐点分析中的应用。
1. 凹凸性质的判断在分析曲线的凹凸性质时，我们可以通过导数的二阶导数来判断。
如果曲线上每一点处的二阶导数大于零，则该曲线在该区间上是凸的；如果二阶导数小于零，则该曲线在该区间上是凹的。
例如，考虑函数f(x)在区间[a, b]上连续可导，且f''(x) > 0，那么我们可以得出结论：f(x)在[a, b]范围内是凸的，也就是说曲线在该区间上凸起。
同样地，当f''(x) < 0时，我们可以断定f(x)在该区间上是凹的，也就是说曲线在该区间上凹陷。
通过这种凹凸性质的判断，我们可以更好地理解曲线的形状和特性。
2. 拐点的分析拐点是指曲线出现转折的点，也就是曲线的凹凸性发生变化的点。
通过导数的二阶导数，我们可以判断拐点的存在及其位置。
如果导数的二阶导数在某一点处发生变号，即从正数变为负数或者从负数变为正数，那么该点即为拐点。
例如，考虑函数f(x)在区间[a, b]上连续可导，且f''(x) < 0从正变负，那么我们可以得出结论：f(x)在[a, b]范围内存在一个拐点。
通过分析拐点的存在，我们可以进一步了解曲线的特性，并通过优化问题中的拐点来求取最值等。
综上所述，导数在曲线的凹凸区间和拐点分析中起着重要的作用。
通过导数的二阶导数，我们可以判断曲线的凹凸性质以及拐点的存在，在应用中可以更好地理解和运用这些知识。
希望本文对读者对导数的应用有所帮助。
求曲线凹凸区间和拐点的步骤
求曲线凹凸区间和拐点的步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊求曲线凹凸区间和拐点那些事儿。
你看啊，这曲线就像人生的道路，有起有伏。
那凹凸区间呢，就像是路上的坑坑洼洼或者小山坡。
而拐点呢，就好比是人生的转折点呀！
要找到这些凹凸区间和拐点，咱得一步步来。
先得求出函数的二阶导数，这二阶导数就像是个探测仪。
它能告诉我们曲线是向上凸还是向下凸。
比如说，二阶导数大于零，那曲线就是向下凸的，就好像一个碗口朝下的碗；要是二阶导数小于零呢，曲线就是向上凸的，像个反过来的碗。
这多形象啊！
然后呢，咱就根据二阶导数的正负情况来划分凹凸区间。
这就像是给曲线分块，每一块都有它独特的“性格”。
在这个过程中，可得细心点儿，别像马大哈似的。
万一弄错了，那可就闹笑话啦！就好比你走在路上，把上坡当成下坡，那不就栽跟头啦！
找到这些区间后，再看看二阶导数等于零或者不存在的点，这些点就有可能是拐点。
但可别以为这些点一定就是拐点哦，还得像侦探一样仔细考察考察它们两边的凹凸性是不是不一样。
你说这是不是挺有趣的？就跟玩游戏似的，一步步探索，一点点发现。
咱再举个例子吧，就像解方程似的。
把一个具体的函数拿过来，按照步骤一步步操作，看着曲线的凹凸变化，感受着数学的奇妙。
总之啊，求曲线凹凸区间和拐点虽然有点小麻烦，但只要咱有耐心，一步一步来，肯定能搞得清清楚楚。
这不仅能让我们更深入地理解函数，还能让我们感受到数学的魅力呢！所以啊，大家别怕麻烦，大胆去尝试，去探索，相信你们一定能掌握这个有趣的知识！。
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
曲线的凹凸性与拐点
曲线上的
七、作业
知识回顾 Knowledge Review
若函数上连续在内具有一二阶导数则1若果在内有2若果在内有拐点三拐点拐点
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
yoxFra bibliotekox
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
那么称 f (x)在 I上的图形是凹的。
二、曲线凹凸的判定
观察：
y
y
o
x
凹：切线的的斜率递增 f (x) 递增，即 f (x) 0
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则
（1）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的.
（2）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
4）判断二阶导数在上述点左右两侧的符号，确定曲 线的凹凸区间和拐点。
五、应用举例
例判断函数 f (x) 2x3 3x2 36x 25的凹凸区间与拐点.
六、小结
1.凹凸的定义：曲线与弦的位置关系 点和弦上点的位置关系 2.凹凸的判定：二阶导数的符号；
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
凹凸区间和拐点定义
凹凸区间和拐点定义凹凸区间和拐点是数学中的重要概念，它们在曲线的分析和函数的性质研究中起着关键作用。
本文将从凹凸区间和拐点的定义和性质入手，探讨它们在数学中的应用和意义。
我们来了解一下凹凸区间的概念。
在数学中，给定一个函数f(x)，如果对于函数上的任意两个点a和b，函数上的点(x, f(x))位于点(a, f(a))和点(b, f(b))的连线的下方，则称函数f(x)在区间[a, b]上是凹函数；如果对于函数上的任意两个点a和b，函数上的点(x, f(x))位于点(a, f(a))和点(b, f(b))的连线的上方，则称函数f(x)在区间[a, b]上是凸函数。
凹凸函数的概念可以进一步推广到凹凸区间的定义。
一个区间[a, b]称为凹区间，如果在这个区间上的函数f(x)是凹函数；一个区间[a, b]称为凸区间，如果在这个区间上的函数f(x)是凸函数。
凹凸区间的研究可以帮助我们了解函数的变化趋势和性质，从而更好地理解函数的行为。
接下来，我们来讨论拐点的概念。
在数学中，给定一个函数f(x)，如果在函数的定义域上存在一个点c，使得函数在点c的左右两侧的凹凸性发生改变，则称点c为函数f(x)的拐点。
拐点的存在可以使得函数的形状发生突变，从而对函数的性质和行为产生重要影响。
拐点的研究在数学中有着广泛的应用。
首先，拐点可以帮助我们确定函数的局部极值点。
在拐点处，函数的斜率发生突变，从而可能导致函数的极值点的出现。
其次，拐点也可以帮助我们分析函数的增减性和凹凸性。
在拐点的左右两侧，函数的凹凸性可能不同，从而给函数的性质和变化趋势带来差异。
最后，拐点的研究还可以帮助我们解决实际问题。
例如，在经济学中，拐点可以帮助我们确定市场需求曲线的弹性，从而对市场的供需关系做出准确的判断。
凹凸区间和拐点在数学中起着重要的作用。
它们可以帮助我们理解函数的性质和行为，从而更好地解决问题和分析现象。
对于学习数学的人来说，掌握凹凸区间和拐点的概念和性质是至关重要的。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。
1. 凹函数：如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零，则该函数被称为凹函数。
凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。
举例来说，考虑函数f(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。
如果f''(x) <= 0对于所有x都成立，则函数f(x)是一个凹函数。
2. 凸函数：与凹函数相反，如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零，则该函数被称为凸函数。
凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。
举例来说，考虑函数g(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。
如果g''(x) >= 0对于所有x都成立，则函数g(x)是一个凸函数。
请注意，如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零，那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。
二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点，它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。
通过找到函数的拐点，我们可以进一步了解函数的曲线的形状。
1. 拐点的判定要确定函数的拐点，我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。
首先，我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点，即一阶导数f'(x)等于零的点。
然后，我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正，那么该点就是函数的拐点。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负，那么该点也是函数的拐点。
需要注意的是，函数的拐点并不一定都存在。
曲线的凹凸性与拐点
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则 （1）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的. （2）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1)
f (x) f (x2 )
那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
三、拐点
拐点
凸
f (x) 0
凹
f (x) 0
凸
f (x) 0
f (x)
f (x)
f (x)
拐点：f (x)的极值点.
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
凸
y
f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o x1 x1 x2 2
x2 x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
o x1
x1 x2
曲线的凹凸与拐点概述课件
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
数学分析第四节曲线的凹凸性与拐点
0
(0, )
－ 凸
0 拐点
+ 凹
不存在 非拐点
+ 凹
曲线在(,1 / 5) 为凸的. 在 (1 / 5,) 内为凹的.
拐点为点(1 / 5, f (1 / 5)) (1 / 5,1.2 25 ).
1 3
凹曲线在切线的上侧随着x的增大切线斜率随之增大即凸曲线在切线的下侧随着x的增大切线斜率随之增大即定理曲线凹凸性的判定法设函数yf若在ab内则曲线弧yf若在ab内则曲线弧yf定理结论可由函数进行验证
第四节 曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸性与拐点的定义
二、曲线凹凸性的判别
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第四节 曲线的凹凸性与拐点
2
故 y x arctan x 在 (, ) 内为凹的.
例 判定曲线弧 y x 的凹凸性.
3
解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于
2 y ( x ) 3x , y (3x ) 6 x. 3 y 0 y x 当x<0时， ,可知 为凸的.
y 0 , y x 为凹的. 当x>0时， 2 5 1 3 2 3 y x , y x . y在x 0处不存在. 3 9 y 0 ,曲线 y 3 x 为凹的. 当x<0时，
3
o x
y 0 ,曲线 y 3 x 为凸的. 当x>0时，
2 定理结论可由函数 y ax 进行验证. y ,曲线为凸的.
例 判定曲线弧 y x arctan x 的凹凸性. 解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于 x y arctan x , 2 1 x
1 (1 x ) x 2 x 2 y 0, 2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x )
高等数学曲线的凹凸性与拐点
高等数学曲线的凹凸性与拐点高等数学曲线中经常会遇到凹凸性和拐点，这两类现象事关重大，对于函数的图像分析有很重要的作用。
本文将对凹凸性和拐点做一个
详细的介绍，以帮助理解高等数学曲线的关系。
首先，对于凹凸性来说，简单来讲，就是指曲线在两端的作用力
的不同，借此来判断曲线的弯曲程度以及连接点的位置。
凹凸性可以
分为凸函数和凹函数，两种函数的特点都是当输入值增大的时候，输
出结果的变化的趋势是不断上升的，但是凹凸性不同，当曲线两边的
作用力不同时，就会有所不同，曲线的形状也会有不同的变化，凸函
数输入值增大时会出现上升的趋势，凹函数则会出现下降的趋势。
因此，凹凸性是指曲线有凹函数和凸函数之分，关系到它们的形状及其
连接处的位置。
其次是拐点。
简单来说，就是在曲线上出现可逆变化的点。
也就
是在曲线上某个特殊点，曲线两边的切线方向相反，就是拐点。
拐点
的判断有两个关键点，第一个是曲线的二阶导数，第二个是曲线的三
阶导数。
如果曲线的二阶导数是0，而且它的三阶导数也不是0或者小于0，那么它就是一个拐点，拐点处曲线切线方向就会发生变化。
以上就是高等数学曲线凹凸性和拐点的相关介绍，凹凸性和拐点都是非常重要的问题，影响着该曲线的分析与研究，这一点读者一定要引起足够的重视，同时还要多加研究，深入了解曲线的凹凸性和拐点，来进一步深入理解曲线的内在结构，对更好的进行数学分析有很大帮助。
掌握曲线的凹凸性和拐点的判定方法
掌握曲线的凹凸性和拐点的判定方法
在数学和物理学中，我们经常需要分析曲线的性质，如凹凸性
和拐点。
掌握这些判定方法可以帮助我们更好地理解曲线的行为和
特征。
本文将介绍一些常用的方法来判断曲线的凹凸性和拐点。
凹凸性的判定方法
一阶导数的方法
曲线的凹凸性与一阶导数的正负相关。
若曲线上任意一点处的
一阶导数大于零，则曲线在该点上是凸的；若一阶导数小于零，则
曲线在该点上是凹的。
二阶导数的方法
曲线的凹凸性也可以通过二阶导数来判断。
求曲线的二阶导数，然后观察二阶导数的正负性。
若二阶导数恒大于零，则曲线是凸的；若二阶导数恒小于零，则曲线是凹的。
切线的方法
通过画出曲线上某一点的切线，观察切线与曲线相交的情况可以判断凹凸性。
如果曲线上的切线位于曲线下方，那么曲线在该点是凹的；如果切线位于曲线上方，曲线在该点是凸的。
拐点的判定方法
拐点是曲线上的特殊点，曲线在该点上发生凹凸性的变化。
下面介绍一些常用的方法来判断拐点。
二阶导数的方法
寻找曲线上的拐点可以通过观察二阶导数的零点来判断。
如果二阶导数在某一点处为零并且两侧符号不同，那么该点就是曲线的拐点。
曲率的方法
曲线上某一点的曲率表示了曲线在该点上的弯曲程度。
拐点处的曲率会发生突变。
因此，通过计算曲线在不同点处的曲率，并观察曲率的变化情况，可以确定曲线上的拐点。
总结
通过使用一阶导数、二阶导数和曲率等方法，我们可以判断曲线的凹凸性和拐点。
这些方法在数学和物理学的分析中是常用的，能够帮助我们更全面地了解曲线的特性。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理1 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的； （2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的. 例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解 函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x ''必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1） 求()f x ''；（2） 令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3） 对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解 函数的定义域为(,)-∞+∞ 3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当 1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点.解 定义域为(,)-∞+∞， 2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>， 即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、 函数绘图 1、渐近线定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x ya b a b -=+=为双曲线12222=-by a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解 （1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321lim 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2） 因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；（4） 作一些辅助点；（5） 由上面的讨论，画出函数的图形例6 作函数32()31fx xx =-+的图形.解 （1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-， 令()0f x '= 得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的，”表示上升且为凹的.（3（4）取辅助点（1,3)--、（3，1）；（6） 画图（如图3-13）例7作函数1)2(12---=x x y 的图形.解 定义域为),2()2,(+∞⋃-∞ 342)2()2()2)(1(2)2(--=-----='x xx x x x y 令0='y ，得0=x ； 4623)2()1(2)2()2(3)2(-+=-----=''x x x x x x y ， 令0=''y ，得1-=x ；列表：渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线. 作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-. 作图：（如图3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性： （1）)0(2≠++=a cbx ax y ； （2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ； （2）321--=x y .3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ； （2）x e y 1=；（3）)1ln(xey +=； （4）11+-=x e y x . 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ； （2）2x e y -=； （3）3443x x y -=； （4）xxe y -=.。
简明微积分曲线凹凸与拐点
凸的.
例1 判定曲线弧y=xarctan x的凹凸性. 解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
yHale Waihona Puke rctxa1nxx2, y 1 1 x2 (1 (1 x 2)x 2) x 2 2 x(1 2 x2)2 0 ,
(3)y3 1 3x2 3,y3 9 2x5 3.y3 在 x0处不 . 存在
1
当 x0时 ， y3 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凹 . 的
1
当 x0时y3 ， 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凸 . 的
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y3 x 3 的拐点.
例5 讨论曲线 y(x1)3 x2的凹凸性，并求其拐点.
解 所给函数 在(,)内为连续函数.
52
y[x (1)3x2][x3x3]
2
5x3
2
1
x 3,
33
1 4
4
y1x0 32x31x0 3(x1).
99 9
5
当x0时， y为连续. 函数
当x0时 ,y不存. 在 令 y0，可 x得 1.
(2) 若对于任意的x0(a,b)，曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0)) 的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧 y=f(x)在[a,b]上为凸的.
如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶 导数的符号来判定曲线的凹凸性. 定理(曲线凹凸的判定法) 设函数y=f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
(2)y2 5 3x2 3,y2 1 9x 01 3,y2 在 x0处不 . 存在
曲线的凹凸性与拐点
(2)若在(a,b)内 f (x)< 0 ,则曲线 y = f (x)在区间(a,b) 内是凸的。
例1 判断曲 y线 x3的凹凸 . 性
解 y3x2, y6x, 当x0时，y 0,
曲线 在( ,0]为凸的； 当x0时， y 0,
例2 求曲线 f(x)x44x32x5的凹凸区间及拐点． 解 (1) 函数的定义域为 (,)
f(x)4x31x 2 22 f(x ) 1x 2 2 2x 4 1x (2 x 2 )
(2) 令 f ( x ) 0 ,得 x 1 0 ,x 2 2 (3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点:
第四节 导数的应用
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线的凹凸性与拐点
观察下列两图的特点：
yf(x)
y
B
A
y
yf(x)
A
B
o
x
o
x
１.曲线凹凸性的定义
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
oa
bx
定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切
线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的, (a,b) 为曲线的凹 区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲 线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间.
从而有 06a2b 即
( 1 )
3 a b 0
(1)式和(2)式联立解得:
a3,b 9 22
( 2 )
3、小结
所以: 拐点
凹凸性分界点
f (x)单调性分界点
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f (x)
x x2 x1 x2
f (x1)
x x1 x2 x1
f (x2 )，
即
f (x) f (x1) f (x) f (x2 )
x x1
x x2
f
( x1 )
lim
x x1
ห้องสมุดไป่ตู้
f (x) f (x1) x x1
lim
x x1
f (x) f (x1) x x1
lim f (x) f (x2 ) f (x1) f (x2 )
两式相减，得
2 f ( x0 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )] [ f (1 ) f (2 )]h
§6.4 曲线的凹凸与拐点
前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有 帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考 虑弯曲方向。
如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是 从A点单调上升到B点，但它们的弯曲 方向却不一样。
L1 是“凹(上凸)”弧，L2是“凸(下凸)”弧 ，
B
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
定理2 如果 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有 二阶导数 ,若在(a,b)内 (1)f(x)> 0,则 f(x)在[a,b]上的图形是凸的; (2)f(x)< 0,则 f(x)在[a,b]上的图形是凹的 .
x2 x1
设 f (x)在(a, b)内单调不减对， x1, x2 (a, b) (设x1 x2 ), x1 x x2 ,
在[x1, x],[x, x2 ]上分别用Lagrange定理，得
f (x) f (x1) x x1
f (1),
x1 1 x,
f (x) f (x1) x x1
证明 (2)x1, x2 (a,b), x1 x2
记
x0
x1
2
x2
,h
x0
x1
x2
x0
对 f(x)在[x1,x0 ],[x0 ,x2]上分别应用L—定理，得
f ( x0 ) f ( x1 ) f (1 )h ( x1 1 x0 )
f ( x2 ) f ( x0 ) f (2 )h ( x0 2 x2 )
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凸的;
如果f ( x)在[a, b]内连续,且在 (a, b) 内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
注1.由定义知，若 f 是(a,b)内的凸(凹)函数，则 f 是(a,b)内的凹(凸)函数。
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f (x)
y
C
B
A
o
x
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方(凸函数)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方(凹函数)
x x1, x2 0
x x2 x1 x2
1
令
x x2
x1 x2
且 x x1 (1 ) x2
曲线的凹凸与拐点
.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲
线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线
的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.
y
• •
y
•••
•
θ1
oa
θ2 θ3
x1 x2x3b
x
θ3 θ2 θ1
o a x1x2 x3
bx
几何特征Ⅱ
凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.
上任意两点 x1,x2, 和任意实数 λ总有 f(λx1 +(1 -λ)x2 )≤λf(x1)+(1 -λ)f(x2 )
那末称 f(x)为在区间 I 上的凸函数;反之若总有 f(λx1 +(1 -λ)x2 )≥λf(x1)+(1 -λ)f(x2 )
称 f(x)为在区间 I 上的凹函数
如果对(a,b)内任意两点 x1, x2 , 恒有
凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.
二、曲线凹凸的判定
定理1 设f (x)在(a,b)内可导，则f (x)是(a,b)内的凸（凹）函数 f (x)在(a,b)内单调不减（增）。
定理 1可根据定义进行 证明，下面证明定理 1.
设f (x)是(a,b)内的凸函数,则对 x1, x2 (a, b)(x1 x2 ), x1 x x2,有
2. 定义中的不等式 f（tx1 (1 t)x2） tf（x1） (1 t) f（x2）
等价于：对 x (x1, x2 )，有
f（x）
x x2 x1 x2
f（x1）
x x1 x2 x1
f（x2）
定义2 若当x (a, b)时，曲线 y f (x)上每一点的切线位于曲 线的下 (上)方,则称曲线在区间(a, b)内是向下凸(向上凸）.
L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常
习惯对凹凸的称呼是不一致的。
o
y L1
L3
A
B L2
x
y
y
y=f(x)
y0
p y=f(x)
y0
p
o
x0
x
K切=f '(x)>0 y单调递增
几何特征Ｉ
o
x0
x
K切=f '(x)<0 y单调递减
凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方. 凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方. 连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.
f (1)
f ( 2 )
f (x2 ) f (x)
f
(
xx22
x )
f
(x)
f
( 2 ),
x2 x
x 2 x2
将上不等式变形即得
f (x) x x2 x1 x2
f
( x1 )
x x1 x2 x1
f (x2 )
f (x)是(a, b)内的凸函数
y
y f (x) B
y y f (x)
x x1
x x2
x1 x2
f
( x2
)
lim
xx2
f (x) f (x2 ) x x2
lim
x x2
f (x) f (x2 ) x x2
f (x1) f (x2 ), 即 f (x) 单调不减。
lim f (x) f (x1) f (x2 ) f (x1)
x x2
x x1
过A(x1, f x1)与B(x2, f x2 的弦的方程是
y
f
x2
f
x1
x1
f
x2
x2
x
x2
函数y=f(x)与弦的方程函数在 x x1 (1 ) x2
的值分别是 f(λx1 +(1 -λ)x2)
λf(x1)+(1 -λ)f(x2)
定义设f(x)为定义在区间 I 上的函数，若对 I