曲线的凹凸性与拐点

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在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸 性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢?
2.曲线凹凸性的判定
y
yf(x) B
A
上图可见：
oa
bx
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0
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yf(x)
y
B
A oa
bx
上图可见：
凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
第四节 导数的应用
§2.4.3 曲线的凹凸性与拐点
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一、曲线的凹凸性与拐点
观察下列两图的特点：
yf(x)
y
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
y
yf(x)
A
B
o
x
o
x
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１.曲线凹凸性的定义
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
oa
bx
定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切
线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的, (a,b) 为曲线的凹 区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲 线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间.
解 因为拐点一定在曲线上，所以
3 a b
y3ax22bx y6ax 2b
从而有 06a2b 即
3 a b 0
(1)式和(2)式联立解得:
a3,b 9 22
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( 1 ) ( 2 )
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3、小结
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函数凹凸性
凹凸区间
凹凸区间分界点（拐点）
怎样判断曲线的拐点呢？
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前已述及:
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0 凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
所以: 拐点
凹凸性分界点
f (x)单调性分界点
f(x)0的点f或 (x)不存在的
立一 不但 定反 成向
例如 f(x)x4
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定理2.12 设函数y = f (x)在区间 (a,b)内的二阶导数 存在
(1)若在(a,b)内 f (x) > 0 ,则曲线 y = f (x) 在区间(a,b)
内是凹的；
(2)若在(a,b)内 f (x)< 0 ,则曲线 y = f (x)在区间(a,b)
内是凸的。
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例1 判断曲 y线 x3的凹凸 . 性
解 y3x2, y6x, 当x0时，y 0,
曲线 在( ,0]为凸的； 当x0时， y 0,
曲线 在[0, )为凹的；
注意到： 点(0,0)是曲线由凸变凹的分 点.界
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定义2.7 连续曲线y = f (x)上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点. 曲 线 yx3 的 拐 点 (0,0是 )
注意：拐点一定在曲线上。
(2) 令 f ( x ) 0 ,得 x 1 0 ,x 2 2 (3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点:
x f"(x) f (x)
(-∞,0) ＋ 凹
0 (0,2) 2
(2, +∞)
0
－
0
＋
拐点 (０，–５)
凸
拐点 （2，–17）
凹
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， 例3 已 ( 1 ,3 知 ) 为 y a 点 3 x b 2 的 x 求 拐 a 和 b 的 点
例如 f (x)x3
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总，之 曲y线 f(x)的 拐 点f(一 x)0 定 的是 点 或 f(x)不 存 在 ，但的 f(x)点 0的 点 f(x 或 )不 存
的 点 不y 一 f(x)定 的是 拐 点
据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤:
(1)求函数y=f(x)的定义域;
(2)求出f“(x)，找出定义域内使f”(x)=0的点和f“ (x)不存在 的点；
(3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干 个小区间，考察每个小区间上f“ (x)的符号；从而判断曲 线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点.
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例2 求曲线 f(x)x44x32x5的凹凸区间及拐点． 解 (1) 函数的定义域为 (,)
f(x)4x31x 2 22 f(x ) 1x 2 2 2x 4 1x (2 x 2 )