北师大版高中数学必修五精讲精练作业：课时23 二元一次不等式(组)与平面区域
23-二元一次不等式(组)与平面区域(1)
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域教材分析本节课是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次方程的几何意义的基础上，引领学生进一步研究二元一次不等式的几何意义，为后面学习用图解法求二元函数最值问题创造条件.使学生体会数与形的转化过程，逐步加强学生应用几何图形解决代数问题的意识．基于以上分析，在教学中应充分利用多媒体课件向学生展示代数条件与几何图形的对应关系，加强学生对问题的了解，培养学生学习数学的兴趣.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解二元一次不等式（组）表示平面区域.教学目标重点: 用二元一次不等式（组）表示平面区域的方法.难点：1.探究二元一次不等式所表示的平面区域的过程；2.正确画出二元一次不等式（组）相应的平面区域.知识点：二元一次不等式的几何意义，能准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域.能力点：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力.教育点：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质.自主探究点：通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新意识. 通过学生合作探究、独立思考、自由讨论、情景设置等方法帮助学生在原有经验上对新知识主动建构.考试点：充分体会数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的应用意识.易错易混点：引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，突破本节难点.拓展点：链接高考感悟提升.教具准备实物投影机和粉笔课堂模式基于问题驱动的一问一答式一、复习引入提出问题，引起思考师：今天是什么特殊日子？生：重阳节师：你准备好礼物了吗？生：没有师：我给你们推荐一份礼物：一束鲜花！送母亲选什么花？生:康乃馨师:康乃馨是母亲之花，它代表了母亲对子女伟大、无私而又含蓄的爱；然后还可以选择些纯洁的百合花加以点缀，并且祝愿父母百年好合心想事成.你们满意吗?生：师：可是我却遇到了一个问题: 当花店老板告诉我康乃馨每枝15元，百合每枝10元时，我才发现只有150元钱，而且希望康乃馨的数量不低于百合数量的2倍，我可以如何购买呢？今天就请同学们一起帮我解决这个问题.设计意图：通过设置实际问题情景引入新课，提高学生的学习兴趣和自主探求新知的欲望，为下面的讲解做好铺垫.另外，情景的设置贴近学生的生活，并借助鲜花营造一种温馨的氛围和浪漫的气息，适合当今学生的口味，使原本枯燥严肃的数学课在不改变其严谨本质的前提下尽量趣味化.分析问题，建立模型设购买康乃馨x 枝，购买百合y 枝.( x ,y 均为整数)则购买数量应满足的条件：3230211x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩介绍概念今天这个不等式模型与前面的不等式有所不同：它含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1这样的不等式叫做二元一次不等式.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x ,y ）叫做二元一次不等式的一个解，所有这样的有序实数对（x ,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.设计意图：引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程.在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识，建立二元一次不等式模型.尝试解决，学生遇挫如何求上面的二元一次不等式组的解集？针对前面的不等式组 ，由学生自主分析思路，发表见解.学生可能的思路：①列举法---首先肯定学生的做法，列举法是解决数学问题的一种基本方法，也是生活中的常用方法，但是它有一定的局限性，引导学生寻求通法.②消元法- -----首先肯定学生的转化和消元的思想，这是数学中的重要思想方法，但是消元中会出现知识性错误，教师引导学生寻找错误根源.在各种思路均受阻的情况下，引导学生转化思维角度，重新审视不等式的解与点的坐标都是有序实数对，于是用几何方法来解决代数问题，利用数形结合的思想去尝试探求答案.灵感来源：二元一次不等式的解是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，所以，二元一次不等（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合----数形结合思想.解决策略：探寻解集的问题转化为探寻这些点所构成的几何图形的问题————转化思想.设计意图：引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程.在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识，建立二元一次不等式模型.突出不等式的特性，将画平面区域作为不等式的一种几何解法，利用数形结合思想得到不等式的解集.二、探究新知探究一：二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.1.联系类比：二元一次方程6x y -=表示图形是一条直线，平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线6x y -=上的点；------------------6x y -=第二类：在直线6x y -=左上方的区域内的点；第三类：在直线6x y -=右下方的区域内的点. -----6x y -≠猜想：6x y -<和6x y ->，是各占一方还是相互交融？2.实验探索：设点1(,)P x y 是直线6x y -=上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，完成填表、作图并思考；①通过你的试验，你发现了什么？②进行理性思考，你觉得你的发现具有合理性吗？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线6x y -=的左上方； ③反过来，直线6x y -=左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<吗？3.交流合作.4.得出结论：在平面直角坐标系中，不等式6x y -<的解与直线6x y -=左上方的平面区域的点形成一一对应的关系；所以不等式6x y -<表示直线6x y -=左上方的平面区域.类似的：二元一次不等式6x y ->表示直线6x y -=右下方的区域，直线叫做这两个区域的边界.（2）特殊例子推广到一般情况：二元一次不等式0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）设计意图：先由学生提出自己的想法，再引导学生分析其问题所在，在思维层层受阻的情况下主动探索其它解法，增加学习的目的性和主动性.探究方法 ：由特殊到一般，从感性观察到理性思考，符合学生的认知规律，充分体现以学生为主体、教师为主导的教学思想.第一步，小组合作探究，增强学生的合作意识.第二步,学生独立思考.第三步，引导学生类比出一般结论.探究二：二元一次不等式表示哪侧的平面区域.自由讨论：不等式6x y -<表示直线6x y -=左上方的平面区域，是不是二元一次不等式0Ax By C ++<一定也是表示边界下方的区域？师：判定到底表示哪一侧是区域有困难吗？这个问题我来回答.设置情境：师：我把这个问题的答案放到了咱们班的作业本中了.这两摞作业中，其中一摞是咱们班的，请徐美华同学帮我把咱们班的那部分作业拿到我这儿来.生：（学生很快将本班的作业找到）师：你能确定这摞就是咱们班的吗？生：能确定.师：作业本上没有班级，你怎么就知道是这一摞呢？生：我抽了一本看了看就是我们班的.师：明白了，你从中抽查了一本确认是咱们班的，于是就确定这摞就是咱们班的了，那么如果你抽的那本不是咱们班的呢？生：一共就两摞，那就是另一摞了.师：我明白了：因为我们找的是这两摞作业中的某一摞，所以我只需从两摞中任意选取一个验证一下，如何是咱们班的就确定它所在的这一摞都是咱们班的，如果不是咱们班的就确认另一摞是咱们班的.非常简单，好！那么刚才判断哪一侧区域这个问题的答案找到了吗？生：噢！（沉思少许，恍然大悟）生：只需在此直线的某一侧取一个特殊点00(,)x y ，代入不等式验证，如果满足此不等式就是这个点所在的一侧，如果不满足就是另外的那一侧.师：你会取哪个点验证呢？生：一般取简单的点，如(0,0)，(1,0)，(0,1)等等.师：太棒了，简直是无师自通！谁告诉你们的呢？师：是生活告诉我们的!刚才我让同学帮我取作业本这件事情，你们都觉得太容易了，一件简单的生活小事不仅启发了我们对数学问题的思考，里面还蕴含着深刻的数学道理，它应用的是集合的思想：一个元素或者属于某个集合，或者属于它的补集，当全集中只有两个互补子集时，只需对某个元素验证一次便可知它属于哪个集合.如：直线6x y -=外的点的集合为{}(,)6U x y x y =-≠直线两侧的点的集合分别为{}(,)6A x y x y =-> {}(,)6B x y x y =-<验证原点(0,0)B ∈，则知道集合A 表示的就是原点所在一侧的区域.当然集合B 表示另一侧的区域. 设计意图：此问题的处理有三个目的：①此时学生的注意力已经有所下降，学习效率降低，通过设置情境再次吸引学生的注意力，提高课堂效果.②如果简单地告诉学生特殊点定域的方法，学生也很容易接受，完成本课的教学任务，但只是授之鱼而不是授之于渔.将此问题上升到集合思想的高度，达到触类旁通.③让学生进一步体会“数学源于生活并服务于生活”，生活本身就蕴含着深刻的数学道理，增强学生的学习兴趣.探究三：如何画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域的.①直线定界（有等则实，无等则虚）②特殊点定域（优先考虑原点）例 画出不等式44x y +<表示的平面区域.解：先画直线44x y +=（画成虚线）.取原点(0,0)，代入44x y +<成立∴原点在44x y +<表示的平面区域内.思考：如果是44x y +≤呢？非常好！已经成功按照由特殊到一般的方法，利用数形结合思想成功得到了二元一次的平面区域. 设计意图：解决开始提出的问题，也不仅仅是为了解决开始的问题，而是巩固、提高、深化对本节课的理解：首先，不等式组中包含的四个不等式正是本节内容的四种类型，典型全面，通过练习可以很好的巩固本节内容.其次，在师生共同完成不等式表示的平面区域的基础上，通过启发引导由学生自己完成不等式组的平面区域，又是能力提高的过程.另外，寻找整数点是难点但不是本节的重点，所以由教师完成，让学生体会我们前面的研究是在实数的前提下研究的，当变量的取值范围发生改变后，点集也会相应改变，深化对本节课的理解.三、运用新知带着收获的喜悦，我们来解前面的不等式组.1.首先分析：不等式组的解集是各不等式解集的交集，所以表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.引导学生一步步画出图形，找到正确的平面区域.3.启发学生找到整数点①有多少种购买方案？ 16种②最多买多少枝？ 取整数解(8,3)即，康乃馨8枝，百合3枝，共11枝让我们把这一束感激的鲜花，献给所有为了子女而辛勤忙碌的母亲，一十一枝鲜花代表我们一心一意的祝福，祝福天下所有母亲一生一世幸福安康！设计意图：本课在浪漫温馨并配以美妙音乐（感恩的心）的氛围中结束，本课小结在鲜花和音乐的衬托下缓缓打出，回顾本节知识，升华个人情感，多些感动多些感恩，不也正是当今学生所必修的内容吗？若能在学生的心灵上有所启迪岂不一箭双雕？教书育人，乐在其中！四、课堂小结1．二元一次不等式表示平面区域；2．二元一次不等式（组）表示平面区域的作图方法.五、布置作业1.基础巩固: 课本第86页练习1.2.3（目的：巩固，熟练本节基础知识）2.课堂延伸：特殊点定域只是确定平面区域的一种基本方法，相信你还能探索发现更为简单实用的方法，试试看！（目的：将课堂上的探究延伸到课下，进一步提高学生探究问题的能力）3.大显身手:已知康乃馨的进价为10元，百合进价为3元，如果你是花店老板，你会建议我怎么购买？ (目的：为讲线性规划问题做好铺垫）六、反思提升鉴于高二学生已具有较好的数学基础知识和较强的分析问题、解决问题的能力，本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合一问一答的教学方法．首先设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；其次提供观察、探索、交流的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识．恰当的利用多媒体课件辅助教学，直观生动地呈现学生思维的形成过程，从而提高教学效率．在教学过程中，注重学生的探索经历和发现新知的体验，使其形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.美中不足的是知识量太少，思维量还够，但练习量有点少，不一定能够适应当前的高考选拔方式.七、板书设计。
北师大高二数学必修五40分钟课时作业：3-4-28二元一次不等式(组)与平面区域2
4o分钟课时作业不等式课时作业（28）二元一次不等式（组）与平面区域（二）一、选择题：每小题5分，共30分.x^O,1.不等式组卜+3y±4,.3x+y W4所表示的平面区域的面积等于3 A-22 B34C3D.|解析：不等式组所表示的平面区域是一个三角形，三个顶点/ 4)的坐标分别为|°，j，(°，4)，(1,1)，所以三角形的面积是s = * (4] 4X 4—恳X1/.C. 2 D・3答案：C兀+y— 1三0，2.在平面直角坐标系中，若不等式组＜x—1W0, （a为ax-y-V 1 三0常数）所表示的平面区域的面积等于2,则。
的值为（）A. —5 B・1解析：由题意，知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域,设为△丽C,则4(1,0), 8(0,1), C(l,l+a)且 Q —1,因为Swc=2,所以办1+°)X1=2,解得a = 3.答案:DC. 2 D・3x —y^O,形，则a 的取值范围是（） A.。
諾 B. 0<^1 4 C. 1勺諾 D. 0GW1或。
考 解析：如图，直线x+y=O 从原点向右移动时，移动到（1，0） 时，再往右移，不等式组所表示的区域就不能构成三角形了.又 （2 2）3. 若不等式组 2x+y W2, 表示的平面区域是一个三角从点也，勺向右移动时，不等式组所表示的区域为整个阴影部分4的三角形.1或°2亍故选D.、答案：D4.若A为不等式组表示的平面区域.则当6/从一j—x<22连续变化到1时，动直线兀+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）3A.& B・ 17C.& D・ 2xWO,解析：在坐标平面内画出不等式组＜y2O, 所表示的平面y—x^2区域，可以看出是一个三角形区域(包括边界).其中三个顶点的坐标分别是O(0,0), C(-2,0), 3(0,2),再画出直线2与直线x+y=l.记直线x+y=l与y~x=2和y轴的交点分别为点(1 3)D, E.则点㊁，寸，E(0,l).结合图形可知，当a从一2连续变化到1时，动直线扫过A中那部分区域是四边形OCDE,因此所求区域的面积等于|x2X2-|x 答案：C7 =才5・已知O是坐标原点，点4（-1,1）.若点施,y）为平面区上的一个动点, 则力•页7的取值范围是（）A. [-1,0] C・[0,2]B. [0,1] D. [-1,2]解析：可行域如下图,2OC凤12)X=1x+y=2M 点落在△FBC 内.设M(JG y),令z=OA OM=~x+y,易得Zmax = ° + 2 = 2, Zmin= — 1 + 1=0,即Z U [0,2]，故选C・答案：C兀三0，6.若不等式组＜x+3y24, 所表示的平面区域被直线、3兀+応44尬+亍分为面积相等的两部分，则k的值是（）3D4解析：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图所示，这里直线y=kx+l只需要经过线段AB的中点°即可，此（\ G7时D点的坐标为I），代入即可解得£的值为亍4C33x+y=44答案：A4o；/ / y=kx+^二、填空题：每小题5分，共15分.7.在直角坐标平面上，不等式组”鼻尸'所表示的区IjyW -1乂 + 3域的面积为_________ ・答案：12x+y<4,8.已知点F(x,点O为坐标y)的坐标满足条件< 、兀三1、原点，那么IPOI的最小值为 _________ ,最大值为解析：作岀可行域如图所示，易得A(2,2), OA = 2血 B(l，3), OB=^id, C(l,l), OC=九故IOPI的最大值为训，最小值为边・答案：V10兀三0，9.若a^O, b20,且当＜歹三0,时，恒有ax+byWl,则/+応1以b为坐标的点b）所形成的平面区域的面积为解析:作出可行域，如图(1)所示,由ax+by^ 1恒成立知, 当兀=0时，byWl，恒成立，贝IJOWbWl.同理0\ 5(0,1)x+y=l⑴a=l因此，以(4 b)为坐标的点所形成的平面区域是一个正方形, 如图(2)所示，面积为1.答案：1解：如下图阴影部分所示.点(0,3)到直线y=x—\与直线y=\—x的距离分别为2辺, 血所以阴影部分的面积为4.11.已知区域D是以点4(4,1), 5(-1, -6), C(—3,2)为顶(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B, C分别在直线4x-3y~a = 0的异侧，求a的取值范围.解：(1)用两点式求得直线AB, AC, BC的方程分别为：7x —5y—23 = 0, x+7y—11 =0,4x+y+10=0,因为原点(0,0)在区域D内，7x—5y—23 W0,所以表示区域D的不等式组为x+7y—11W0,、4x+y+10±0・⑵将B的坐标代入4x-3y~a,得14~a.将C的坐标代入4x—3y—a,得一18—a.根据题意，得(14—Q)(—18—°)V0.解得一18V Q V14.12.若直线y=kx~\~ 1 与圆x2~\~y2+Ax+my—4 = 0 相交于F, Q两点，且P, 0关于直线x+y=0对称，则不等式组kx—y+120,< kx-my^0,表示的平面区域的面积是多少？沙0解：P, Q关于直线x+y=0对称，故直线PQ与直线x+y =0垂直，直线P0即是直线y=kx+\,故k=\.又线段P0为圆x2-\-y2-\-kx-\-my—4 = 0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即在直线x+y=O上，又圆心为一y —㊁/. m = 一k=一1,x~y-\-1 三0，・•・不等式组为＜x+yWO,它表示的区域如图所示,x-^+l=O。
高中数学北师大版必修5 第三章4.1 二元一次不等式(组)与平面区域 作业 含解析
[学业水平训练]1．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是( ) A ．x －y ＋1<0 B ．2x ＋3y －6>0 C ．2x ＋5y －10≥0 D ．4x －3y ≤12解析：选D.将(0，0)代入A ，B ，C ，D 逐一验证可知，D 正确． 2．下列说法正确的个数是( )(1)图中表示的区域是不等式2x －y ＋1≤0的解集 (2)图中表示的区域是不等式3x ＋2y －1<0的解集 (3)图中表示的区域是不等式Ax ＋By ＋C ≥0的解集A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B.把原点O (0，0)分别代入不等式， 可知(1)2×0－0＋1>0，故(1)正确． (2)边界应为虚线．(3)A ×0＋B ×0＋C ＝C ，与0的大小不确定．3．如图，不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域正确的是( )解析：选A.原不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1>0，x ＋y －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1<0，x ＋y －3>0，且不含边界，故选A.4．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3 D ．无数个解析：选A.当x ＝0时，y 可取0，1，2，3，有4个点；当x ＝1时，y 可取0，1，2，有3个点；当x ＝2时，y 可取0，1，有2个点；当x ＝3时，y 可取0，有1个点．故一共有10个点．5．已知点P (2，－3)，Q (3，2)，直线ax ＋y ＋2＝0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－43，12B.⎣⎡⎦⎤－43，13C.⎣⎡⎦⎤－12，12 D.[]－3，3解析：选A.∵P ，Q 两点在直线ax ＋y ＋2＝0的异侧或有一点在直线上，∴(2a －3＋2)(3a＋2＋2)≤0，∴－43≤a ≤12.6．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________． 解析：据题意得不等式2×(－2)－3t ＋6<0，解得t >23.故t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞7．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0同侧，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意(－9＋2－a )(12＋12－a )>0，解得a >24或a <－7. 答案：(－∞，－7)∪(24，＋∞)8．某高校录取新生对语文、数学、英语的高考分数(满分为150分)的要求是：①语文不低于70分；②数学应高于80分；③三科成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，则张三的语、数、英成绩x ，y ，z 应满足的限制条件是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧70≤x ≤150，80<y ≤150，0≤z ≤150，x ＋y ＋z ≥2309．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}．画出集合A 表示的平面区域． 解：由题意可知，集合A 可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －yx ＋1－x －y >y y ＋1－x －y >x x >0，y >01－x －y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －12>00<y <120<x <12x ＋y <1.画出可行域如图所示．10．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，并在此基础上进行生产．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出平面区域．解：设x ，y 分别为计划生产甲，乙两种混合肥料的车皮数，它们所满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .在直角坐标系中分别画出不等式组中的各不等式表示的区域，然后取交集，如图(阴影)所示的平面区域内的整点，就是不等式组所表示的平面区域．[高考水平训练]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于( )A ．28B ．16 C.394D ．121解析：选B.先画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域．如图阴影部分所示．∵直线x ＋y ＝0与直线x －y ＋2＝0垂直， ∴△ABC 为直角三角形．易得A (－1，1)，B (3，－3)，C (3，5)． ∴|AC |＝（3＋1）2＋（5－1）2＝42，|AB |＝（3＋1）2＋（－3－1）2＝4 2.∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |＝12×(42)2＝16.2．由直线x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋1＝0和2x ＋y ＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式(组)可表示为________．解析：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图，取原点(0，0)，将x ＝0，y ＝0代入验证，∵0＋0＋2>0，∴点(0，0)在不等式x ＋y ＋2>0表示的区域内． 又∵0＋2×0＋1＝1>0，∴点(0，0)在不等式x ＋2y ＋1>0表示的区域内． 又∵2×0＋0＋1＝1>0，∴点(0，0)在不等式2x ＋y ＋1>0表示的区域内． 结合图形，三角形区域可用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，2x ＋y ＋1≤0. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，2x ＋y ＋1≤03．若S 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，求动直线x ＋y ＝a 扫过S 中的那部分区域的面积．解：如图，作出不等式组所表示的平面区域S ，则直线x ＋y ＝a 扫过S 中的区域为四边形AOBC ，且A (－2，0)，B (0，1)，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，D (0，2)．∴S 四边形AOBC ＝S △AOD －S △CBD ＝12×2×2－12×1×12＝74.4．某人准备投资1 200万元兴办一所学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～30个班为宜，老师实行聘任制).解：设开设初中班x 个，高中班y 个．根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30. 考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200， 即x ＋2y ≤40.另外，开设的班数不能为负且为整数，则 x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .把上面不等式合在一起，得到： ⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分，且为阴影部分中的整数点)．。
高中数学北师大版必修5 第三章4.1 二元一次不等式(组)与平面区域 作业2 Word版含解析
,[学生用书单独成册])[.基础达标]．不等式－－＞表示的平面区域在直线－－＝的( )．右上方．左上方．左下方．右下方解析：选.将(，)代入－－，得－＜，(，)点在不等式－－＞表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．．已知点(，－)既在直线＝－的上方，又在轴的右侧，则的取值范围是( )．(，＋∞)．(，＋∞)．(，)．(，)解析：选.因为(，－)在直线＝－的上方，所以－－(－)＜.即＜.又(，－)在轴右侧，所以＞.所以＜＜.．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为∶，请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元，现有工资预算元，设木工人，瓦工人，，满足的条件是( )解析：选.因为木工和瓦工各请、人，所以有∶＝∶，＋≤，且、∈＋.．设点(，)，其中，∈，满足＋≤的点的个数为( )．．．无数个．解析：选.当＝时，可取，，，，有个点；当＝时，可取，，，有个点；当＝时，可取，，有个点；当＝时，可取，有个点．故一共有个点．．在直角坐标系中，不等式－≤表示的平面区域是( )解析：选.原不等式等价于(＋)(－)≥，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选.．不等式＋≤所表示的平面区域的面积为．解析：原不等式等价于其表示的平面区域如图中阴影部分．所以＝()＝.答案：．△的三个顶点坐标为(，－)，(－，)，(，)，则△的内部及边界所对应的二元一次不等式组是．解析：如图直线的方程为＋－＝(可用两点式或点斜式写出)．直线的方程为＋－＝，直线的方程为－＋＝，把(，)代入＋－＝－＜，所以左下方的区域为＋－＜，所以同理可得△区域(含边界)为答案：．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是．解析：不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，用平行于轴的直线截该平面区域，若得到一个三角形，则的取值范围是≤＜.答案：[，)．某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要和，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要和．又木工、漆工每天工作分别不得超过和．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为和，它们满足的数学关系式为：分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．．设不等式组表示的平面区域是.()求的面积；()若点(，)在平面区域内，求整数的取值的集合．解：()作出平面区域，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由。
北师大版高中数学必修五课时作业22 二元一次不等式(组)与平面区域
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）课时作业22 二元一次不等式(组)与平面区域时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．不等式3x －y ＋4>0表示的平面区域在直线3x －y ＋4＝0的( )A ．右上方B ．右下方C ．左上方D ．左下方【答案】 B【解析】 原点在直线3x －y ＋4＝0的右下方，把(0,0)代入代数式3x －y ＋4得4>0，故平面区域在该直线的右下方．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥00≤x ≤3，表示的平面区域是一个( )A ．三角形区域B ．直角梯形区域C ．梯形区域D ．矩形区域【答案】 C【解析】 画出不等式(组)所表示的平面区域易知平面区域为梯形区域．3．原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <0或a >2 B ．0<a <2 C ．a ＝0或a ＝2 D ．0≤a ≤2【答案】 B【解析】 ∵点(0,0)和(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧， ∴(0＋0－a )(1＋1－a )<0， 即a (a －2)<0，∴0<a <2. 4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43 D.34【答案】 C【解析】 原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0，可得C (1,1)，故S 阴＝12×|AB |×x C ＝43，故选C.5．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3【答案】 D【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所围成的区域如图阴影部分所示．∵其面积为2，∴|AC |＝4，∴C 的坐标为(1,4)，代入ax －y ＋1＝0，得a ＝3，故选D. 6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≥8C ．a <5或a ≥8D ．5≤a <8【答案】 D【解析】 作出如图所示的可行域，要使该平面区域表示三角形，需满足5≤a<8.二、填空题(每小题6分，共24分)7．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y <3表示的平面区域内，则m ＝________.【答案】 －3【解析】 本题考查了点到直线的距离公式及平面区域的相关知识．点P 到直线4x －3y ＋1＝0的距离d ＝|4m －9＋1|5＝4， 解得m ＝7或m ＝－3，又∵点P 在2x ＋y <3表示的区域内，故m ＝－3.8．已知集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|y 2－x 2≤0}，M ＝A ∩B ，则集合M 所表示的平面区域的面积等于________．【答案】 1【解析】 如图，A 表示的区域为横条阴影部分，B 表示的区域为竖条阴影部分，M ＝A ∩B 为阴影重叠部分，其面积为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1.9．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式组表示为________．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜310．(2013·全国大纲理)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】 [12，4]【解析】 本题考查线性规划问题，直线过定点问题. 直线y ＝a (x ＋1)，过定点M (－1,0) 可行域D 如图阴影部分所示A 点坐标为(0,4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4 ∴B 点坐标(1,1) ∴K MA ＝4，K MB ＝1－01－(－1)＝12∴a ∈[12，4]．三、解答题(共40分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(13分)若两点(2，m )，(2m －1,3)在直线2x －y ＋3＝0的同侧，求实数m 的取值范围．【解析】 ∵两点(2，m )，(2m －1,3)在2x －y ＋3＝0的同侧， ∴将两点代入2x －y ＋3，得2×2－m ＋3＝7－m ， 2(2m －1)－3＋3＝2(2m －1)．∴(7－m )×2×(2m －1)>0，解得12<m <7， ∴实数m 的取值范围为12<m <7.12．(13分)用不等式组表示由直线x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋1＝0,2x ＋y ＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)．【解析】 如图，在直角坐标系中画出三条直线，则阴影部分即为三条直线所围成三角形区域．又∵三角形区域在直线x ＋y ＋2＝0上方，在直线x ＋2y ＋1＝0和2x ＋y ＋1＝0下方，∴应有x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0,2x ＋y ＋1≤0.故三角形区域(包括边界)的不等式组可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，2x ＋y ＋1≤0.13．(14分)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4y ≥xx ≥1，点O 为坐标原点，求|PO |的最小值和最大值．【解析】 如图所示，可行域为图中阴影部分，|PO |是指区域内的点到原点的距离．∴最小值为12＋12＝2，最大值为12＋32＝10.。
高中数学 3.4.1 二元一次不等式(组)与平面区域课时作业 北师大版必修5
高中数学 3.4.1 二元一次不等式（组）与平面区域课时作业 北师大版必修5课时目标 1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有________未知数，并且未知数的次数是____的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为________________． 2．二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线__________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成______以表示区域不包括边界．不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成______． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得的符号都______．(2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由____________的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．一、选择题1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6>0x <0 B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6≥0x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6>0x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6<0x <02．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6) B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞)3．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的区域为( )4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．16．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34二、填空题7．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．8．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．10．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．三、解答题11．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3y ≥26x ＋7y ≤50的整数解．12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是多少？能力提升13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________．1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路，不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．§4 简单线性规划4．1 二元一次不等式(组)与平面区域 答案知识梳理 1．两个 1 二元一次不等式组 2.Ax ＋By ＋C ＝0 虚线 实线 3.(1)相同 (2)Ax 0＋By 0＋C 作业设计1．C [可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C 正确．]2．A [由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0，即(a ＋1)(a －6)<0，∴－1<a <6.] 3．B [不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧ x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.]4．C [画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．] 5．D[区域如图，易求得A (－2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )．S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1.]6．A [不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.] 7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0解析如图直线AB 的方程为x ＋2y －1＝0(可用两点式或点斜式写出)． 直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0， 直线BC 的方程为x －y ＋2＝0， 把(0,0)代入2x ＋y －5＝－5<0， ∴AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.∴同理可得△ABC 区域(含边界)为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0.8．－1<a ≤0解析 根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内． 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ＋1≤0.无解． ②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0a ＋1>0，∴－1<a ≤0.综上所述，－1<a ≤0. 9．－1<a ≤0解析 根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内． 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ＋1≤0.无解． ②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0a ＋1>0，∴－1<a ≤0.综上所述，－1<a ≤0. 10.74解析如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．又D (0,1)，B (0,2)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2,0)． S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74.11．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．把x ＝3代入6x ＋7y ≤50，得y ≤327，又∵y ≥2，∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；把x ＝4代入6x ＋7y ≤50，得y ≤267，∴整点有：(4,2)(4,3)． 把x ＝5代入6x ＋7y ≤50，得y ≤207，∴整点有：(5,2)；把x ＝6代入6x ＋7y ≤50，得y ≤2，整点有(6,2)；把x ＝7代入6x ＋7y ≤50，得y ≤87，与y ≥2不符．∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．12.解 P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即是直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，即为直线x ＋y ＝0，又圆心为(－k 2，－m2)，∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，它表示的区域如图所示，故面积为14.13．A [作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9)．对y ＝a x的图像，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3.]14．0<a ≤1或a ≥43解析 不等式表示的平面区域如图所示，当x ＋y ＝a 过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23时表示的区域是△AOB ，此时a ＝43； 当a >43时，表示区域是△AOB ；当x ＋y ＝a 过B (1,0)时表示的区域是△DOB ，此时a ＝1； 当0<a <1时可表示三角形；当a <0时不表示任何区域，当1<a <43时，区域是四边形．故当0<a ≤1或a ≥43时表示的平面区域为三角形．。
北师大版高中数学必修五二元一次不等式组与平面区域复习教案(1)
课题 §3.4.2二元一次不等式（组）与平面区域第2课时课型新授课 课时备课时间教学目 标知识与技能巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件； 过程与方法 经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；情感态度与价值观结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.重点 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 难点把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域教学方法教学过程1.课题导入[复习引入]二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）判断方法：由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）。
随堂练习11、画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.2、画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。
2.讲授新课【应用举例】例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：学段 班级学生人数配备教师数硬件建设/万元 教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
解：设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有2030x y ≤+≤考虑到所投资金的限制，得到265422231200x y x y ++⨯+⨯≤ 即 240x y +≤B(-52,52)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=063xy另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥ 把上面的四个不等式合在一起，得到：203024000x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ，在此基础上生产两种混合肥料。
高中数学北师大版必修5 第三章4.1 二元一次不等式(组)与平面区域 作业2 Word版含解析
, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．不等式2x －y －6＞0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的( ) A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方 D ．右下方解析：选D.将(0，0)代入2x －y －6，得－6＜0，(0，0)点在不等式2x －y －6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方． 2．已知点(a ，2a －1)既在直线y ＝3x －6的上方，又在y 轴的右侧，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(0，2) D ．(0，5)解析：选D.因为(a ，2a －1)在直线y ＝3x －6的上方， 所以3a －6－(2a －1)＜0.即a ＜5. 又(a ，2a －1)在y 轴右侧，所以a ＞0.所以0＜a ＜5.3．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，x ，y 满足的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5，x 、y ∈N ＋ B.⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≥2 000，x y ＝23 C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200，x y ＝23，x 、y ∈N ＋D.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＜100，x y ＝23解析：选C.因为木工和瓦工各请x 、y 人， 所以有x ∶y ＝2∶3，50x ＋40y ≤2 000，且x 、y ∈N ＋.4．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3 D ．无数个解析：选A.当x ＝0时，y 可取0，1，2，3，有4个点；当x ＝1时，y 可取0，1，2，有3个点；当x ＝2时，y 可取0，1，有2个点；当x ＝3时，y 可取0，有1个点．故一共有10个点．5．在直角坐标系中，不等式y 2－x 2≤0表示的平面区域是()解析：选C.原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.6．不等式|x |＋|y |≤1所表示的平面区域的面积为________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，x －y ≥－1，x ≤0，y ≥0，x ＋y ≥－1，x ≤0，y ≤0，其表示的平面区域如图中阴影部分．所以S ＝(2)2＝2. 答案：27．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1，1)，C (1，3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________．解析：如图直线AB 的方程为x ＋2y －1＝0(可用两点式或点斜式写出)． 直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0， 直线BC 的方程为x －y ＋2＝0， 把(0，0)代入2x ＋y －5＝－5＜0， 所以AC 左下方的区域为2x ＋y －5＜0，所以同理可得△ABC 区域(含边界)为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤08．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，0≤x ≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，用平行于x 轴的直线截该平面区域，若得到一个三角形，则a 的取值范围是5≤a ＜7.答案：[5，7)9．某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h 和2 h ，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h 和1 h ．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h 和9 h ．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x 和y ，它们满足的数学关系式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，3x ＋y ≤9，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0，x ＋y ≥0，x ≤4表示的平面区域是Q .(1)求Q 的面积S ；(2)若点M (t ，1)在平面区域Q 内，求整数t 的取值的集合． 解：(1)作出平面区域Q ，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＝4，解得A (4，－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＝4，解得B (4，12)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＋y ＝0解得C (－4，4)．于是可得|AB |＝16，AB 边上的高d ＝8.所以S ＝12×16×8＝64.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧t －1＋8≥0，t ＋1≥0，t ≤4，t ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－7，t ≥－1，t ≤4，t ∈Z .亦即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤4，t ∈Z ，得t ＝－1，0，1，2，3，4.故整数t 的取值集合是{－1，0，1，2，3，4}．[B.能力提升]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于( )A ．28B ．16 C.394D ．121解析：选B.先画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域．如图阴影部分所示．因为直线x ＋y ＝0与直线x －y ＋2＝0垂直， 所以△ABC 为直角三角形．易得A (－1，1)，B (3，－3)，C (3，5)． 所以|AC |＝（3＋1）2＋（5－1）2＝42， |AB |＝（3＋1）2＋（－3－1）2＝4 2.所以S △ABC ＝12|AB |·|AC |＝12×(42)2＝16.2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以求得点A ，B ，C 的坐标分别为(1，1)，(0，4)，⎝⎛⎭⎫0，43. 由直线y ＝kx ＋43恒过点C ⎝⎛⎭⎫0，43，且平面区域被此直线分为面积相等的两部分，观察图像可知，当直线y ＝kx ＋43与直线3x ＋y ＝4的交点D 的横坐标为点A 的横坐标的一半时，可满足要求．因此x D ＝12，代入直线3x ＋y ＝4，可得y D ＝52，故点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，代入直线y ＝kx ＋43，即52＝k ×12＋43，解得k ＝73，故选A.3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域为Ⅰ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x＋y －a ＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为________．解析：如图所示，Ⅰ为△BOE 所表示的区域，而动直线x ＋y ＝a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2，0)，O (0，0)，C (0，1)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32，E (0，2)，△CDE 为直角三角形． 所以S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝74.答案：744．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．解析：作出区域D 及圆x 2＋y 2＝4如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别为12，－13⇒tan α＝12，tan β＝13，tan θ＝tan(α＋β)＝12＋131－12×13＝1⇒θ＝π4⇒弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2.答案：π25．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？ 解：不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的平面区域，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的平面区域，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的平面区域．原不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：(1)由图可得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3，y ∈[－3，8]． (2)由图像及不等式组可知：⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5－2≤x ≤3.①当x ＝－2时，2≤y ≤3⇒y ＝2或3，有2个整点． ②当x ＝－1时，1≤y ≤4⇒y ＝1，2，3，4，有4个整点．③同理当x ＝0，1，2，3时，分别有6个、8个、10个、12个整点． 所以，所求平面区域里共有2＋4＋…＋12＝6×（2＋12）2＝42个整点．6．已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0表示的平面区域内，求点N (a ＋b ，a －b )所在的平面区域的面积．解：因为点M (a ，b )在不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0表示的平面区域内，所以⎩⎨⎧a ＋b ≤2，a ≥0，b ≥0.设X＝a ＋b ，Y ＝a －b ，则⎩⎪⎨⎪⎧X ≤2，X ＋Y 2≥0，X －Y 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧X ＋Y ≥0，X －Y ≥0，X ≤2，所以点N (a ＋b ，a －b )，即点N (X ，Y )所在的平面区域如图阴影部分所示．由图可知其面积为S ＝12×4×2＝4.。
北师大数学必修五课时分层作业 二元一次不等式组与平面区域 含解析
课时分层作业(二十)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．不等式2x －y －6>0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的( ) A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方D ．右下方D [将(0,0)代入2x －y －6，得－6<0，(0,0)点在不等式2x －y －6>0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．]2．已知点(a,2a －1)既在直线y ＝3x －6的上方，又在y 轴的右侧，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,5)D [因为(a,2a －1)在直线y ＝3x －6的上方， 所以3a －6－(2a －1)<0.即a <5. 又(a,2a －1)在y 轴右侧，所以a >0. 所以0<a <5.]3．不等式组⎩⎨⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个C [画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(3,0)共6个．]4．在直角坐标系中，不等式y 2－x 2≤0表示的平面区域是( )C [原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C .]5．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3D [由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，且a >－1.因为S ΔABC ＝2， 所以12(1＋a )×1＝2， 所以a ＝3.] 二、填空题6．若不等式|3x ＋2y ＋c |≤8表示平面区域总包含点(0,1)，(1,1)，则c 的取值范围是________．[－10,3] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2＋c |≤8|5＋c |≤8⇒－10≤c ≤3.]7．能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是________．⎩⎨⎧x －y ≥0x ＋y －1≤0y ≥－1[阴影部分边界的三条直线为x －y ＝0，x ＋y －1＝0，y ＝－1，故阴影部分的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.]8．在平面直角坐标系内，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为________．32 [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1表示的平面区域如图，y ＝x －1与y ＝－3|x |＋1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(－1，－2)．∴S ＝12×2×12＋12×2×1＝34×2＝32.] 三、解答题9．在△ABC 中，A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，写出△ABC 区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组．[解] 如图所示，可求得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0， x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0.∵△ABC 区域在直线AB 右上方，∴x ＋2y －1≥0；在直线BC 右下方， ∴x －y ＋2≥0； 在直线AC 左下方， ∴2x ＋y －5≤0.∴△ABC 区域可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.10．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x －by ＋1>0表示的平面区域内，试求b 的取值范围．[解] 由于点P (1，－2)关于原点的对称点的坐标为(－1,2)，由题意得，点(1，－2)和(－1,2)都在不等式2x －by ＋1>0表示的平面区域内，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1－b ×(－2)＋1>0，2×(－1)－b ×2＋1>0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3>0，2b ＋1<0，解得－32<b <－12，所以b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12. [能力提升练]1．若关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [当过定点(0,1)的直线kx －y ＋1＝0与直线x ＝0或x ＋y ＝0垂直时，关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，此时k ＝0或k＝1，由于k 为正数，所以k 的值为1，故选A ．]2．某人上午7：00乘汽车以v 1千米/时(30 ≤v 1≤100)匀速从A 地出发到距离300 km 的B 地，在B 地不停留，然后骑摩擦车以v 2千米/时(4≤v 2≤20)匀速从B 地出发到距离50 km 的C 地，计划在当天16：00至21：00到达C 地，设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x ，y 小时，则在xOy 坐标系中，满足上述条件的x ，y 的范围阴影部分如图表示正确的是()B [由题意得，v 1＝300x ，v 2＝50y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧30≤300x ≤100，4≤50y ≤20，9≤x ＋y ≤14，x ，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3≤x ≤10，52≤y ≤252，9≤x ＋y ≤14，x ，y ≥0，作图得B ．]3．已知点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，N 为直线y ＝－2x＋2上任一点，则|MN |的最小值是_____________________________________．255[作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0的可行域如图，因为点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，所以|MN |的最小值就是两条平行直线y ＝－2x ＋2与2x ＋y －4＝0之间的距离，为|－2＋4|12＋22＝255. ]4．已知不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为________．1[由题意知k >0，且不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域如图．∵直线y ＝kx －1与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，0，直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3k ＋1，2k －1k ＋1， ∴三角形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ×2k －1k ＋1＝14， 解得k ＝1或k ＝27， 经检验，k ＝27不符合题意， ∴k ＝1.]5．如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于M ，N 两点，且点M ，N 关于直线x ＋y ＝0对称，试求不等式组⎩⎨⎧kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0所表示的平面区域的面积．[解] 因为M ，N 两点关于直线x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，而圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－m 2在直线x ＋y ＝0上，所以m ＝－1，则不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0，所表示的平面区域就是一个斜边长为1的等腰直角三角形，面积为14.。
北师大版高中数学必修五4.1二元一次不等式(组)与平面区域.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第3章 4.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．不等式x －2y ≥0表示的平面区域是( )解析： 取测试点(1,0)，排除A 、C ；由边界线x －2y ＝0可排除B.故选D. 答案： D2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析： 因为点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，所以有[3×(－3)－2×(－1)－a ]×[3×4－2×(－6)－a ]<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24，故选B.答案： B3．在直角坐标系内下图中的阴影部分表示的不等式(组)是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≥0 C ．x 2－y 2≤0 D ．x 2－y 2≥0解析： 答案： D4．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)＞0的点(x ，y )所在的区域为( )解析： 不等式(x －y )(x ＋2y －2)＞0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，x ＋2y －2＞0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＜0，x ＋2y －2＜0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是________．解析： 由题意可知50x ＋40y ≤2000， 即5x ＋4y ≤200，且x y ＝23，x ∈N ＋，y ∈N ＋答案： ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x 、y ∈N＋6．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．解析： 如图所示，直线x ＋y ＝a 扫的区域为四边形AOBC .∴S 四边形AOBC ＝S △AOD －S △CBD ＝12×2×2－12×22×22 ＝74.答案： 74三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)画出二元一次不等式2y －5x －10＞0表示的平面区域； (2)画出以下不等式组表示的平面区域： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0 ①x －y ≥0 ②x ≤2 ③解析： (1)设F (x ，y )＝2y －5x －10， 作出直线2y －5x －10＝0，∵F (0,0)＝2×0－5×0－10＝－10＜0， ∴所求区域为不含(0,0)的一侧，如图所示．(2)如图所示．不等式①表示直线x ＋y －1＝0的右上方(包括直线)的平面区域； 不等式②表示直线x －y ＝0右下方(包括直线)的平面区域； 不等式③表示直线x ＝2左方(包括直线)的平面区域． 所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．8．某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～30个班为宜，老师实行聘任制).学段 班级学生数配备教师数硬件建设 教师年薪 初中 45 2 26万元/班 2万元/人 高中40354万元/班2万元/人分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．解析： 设开设初中班x 个，高中班y 个．根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200，即x ＋2y ≤40. 另外，开设的班数不能为负，则x ≥0，y ≥0.把上面四个不等式合在一起，得到： ⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ≥0，y ≥0.用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围． (2)平面区域内有多少个整点？解析： 不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的平面区域，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的平面区域，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的平面区域．原不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：(1)由图可得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3， y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组可知：⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5－2≤x ≤3.①当x ＝－2时，2≤y ≤3⇒y ＝2或3，有2个整点． ②当x ＝－1时，1≤y ≤4⇒y ＝1,2,3,4，有4个整点．③同理当x ＝0,1,2,3时，分别有6个、8个、10个、12个整点． 所以，所求平面区域里共有 2＋4＋…＋12＝6×(2＋12)2＝42.。
高中数学 3.4.1 二元一次不等式(组)与平面区域课时训
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.1 二元一次不等式（组）与平面区域课时训练 北师大版必修5一、选择题1．下面给出的四个点中，位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( )A ．(0，2)B ．(－2，0)C ．(0，－2)D ．(2，0)【解析】 将四个点的坐标分别代入不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0x －y ＋1>0，满足条件的是(0，－2)．【答案】 C2．原点和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，0]∪[2，＋∞) C ．(0，2)D ．[0，2]【解析】 由题意知(－a )(1＋1－a )<0， 即a (a －2)<0，∴0<a <2. 【答案】 C3．下列二元一次不等式组中，能表示图3－4－3中阴影部分的是( )图3－4－3A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2x －y ＋2≥0 B .⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2x －y ＋2≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x ≤0，2x －y ＋2≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－1，2x －y ＋2≤0【解析】 根据二元一次不等式组表示平面区域的方法判断可知C 正确． 【答案】 C4．(2013·唐山高二检测)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ≤3，y ≥0表示的平面区域的面积为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】 不等式组表示的平面区域如图，点A 的坐标为(3，6)，其平面区域是直角三角形，所以其面积为S ＝12×3×6＝9.【答案】 C5．(2013·湛江高二检测)向量OA →＝(1，0)，OB →＝(1，1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0<OP →·OA →<1，0<OP →·OB →<2，则点P 的变化范围用阴影表示为( )【解析】 ∵OP →·OA →＝x ，OP →·OB →＝x ＋y ，∴点P 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<x ＋y <2，表示区域为A.【答案】 A 二、填空题6．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝________．【解析】|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3.又点P 在3x ＋y －3＞0表示区域内， ∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3. 【答案】 37．观察如图3－4－4区域，它对应的不等式组是________．图3－4－4【解析】 由图可求三边对应的直线方程分别为x ＋y －3＝0；x －2y ＝0；x －y ＋1＝0，由图知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0.8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为________________________________________________________________________．【解析】 如图，阴影部分可行域可得交点A (a ，4＋a )，B (－2，2)，C (a ，－a )，∴S △ABC ＝12·(a ＋2)[(4＋a )－(－a )]＝(a ＋2)2＝9.∴a ＝1或a ＝－5(舍去)． 【答案】 1 三、解答题9．画出下列二元一次不等式表示的平面区域． (1)x －2y ＋4≥0； (2)y >2x .【解】 (1)先画直线x －2y ＋4＝0，取原点(0，0)，代入x －2y ＋4，得4>0. 所以原点在x －2y ＋4>0表示的平面区域内．所以不等式x －2y ＋4≥0表示的平面区域如图①阴影部分所示．(2)先画直线y －2x ＝0虚线，因为点(1，0)不在y －2x >0表示的平面区域内，所以不等式y >2x 表示的平面区域如图②阴影部分所示．① ② 10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y表示的平面区域．【解】 不等式y <－3x ＋12表示直线y ＝－3x ＋12下方的区域； 不等式x <2y 表示直线y ＝12x 上方的区域．取两区域重叠的部分就是不等式组所表示的区域．图中的阴影部分就是(不包括直线)． 11．(2013·禹州高二检测)一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A 和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序．桌子A 需要10 min 打磨，6 min 着色，6 min 上漆；桌子B 需要5 min 打磨，12 min 着色，9 min 上漆．如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450 min ，着色每天至多工作480 min ，请列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出每天生产两类桌子数量的允许范围．【解】 设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张．对于A 类x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min ；对于B 类y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min.而打磨工人每天最长工作时间是450 min ，所以题目中包含的限制条件为⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋5y ≤450，6x ＋12y ≤480，6x ＋9y ≤450，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .上述条件表示的平面区域如下图的阴影部分所示，每天生产两类桌子数量的允许范围为阴影内的整数点．。
北师版数学高二北师大版必修5学案 3.4.1 二元一次不等式(组)与平面区域(二)
4．1 二元一次不等式(组)与平面区域(二)明目标、知重点 1.巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域.2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件．一般地，对于二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，当B 为正数时，不等式表示对应直线的上方区域，当B为负数时不等式表示直线的下方区域；对于二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0，当B 为正数时不等式表示对应直线的下方区域，当B 为负数时，不等式表示直线的上方区域．因此，对于二元一次不等式所确定的平面区域可简单的记为直线定界，系数定域．探究点一 不等式组表示平面区域的应用 例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域，并求平面区域的面积．解 先画直线x －y ＋6＝0(画成实线)，不等式x －y ＋6≥0表示直线x －y ＋6＝0上及右下方的点的集合．画直线x ＋y ＝0(画成实线)，不等式x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合．画直线x ＝3(画成实线)，不等式x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域为如图所示阴影部分，因此其区域面积也就是△ABC 的面积．显然，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝AC ，B 点的坐标为(3，－3)．由点到直线的距离公式得 |AB |＝|1×3＋(－1)×(－3)＋6|2＝122，∴S △ABC＝12×122×122＝36.故不等式组⎩⎨⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积等于36.反思与感悟 解本题时注意到△ABC 为等腰直角三角形，点B 到直线AC 的距离即为△ABC 的腰长|AB |，由点到直线的距离公式求得|AB |，面积便可求出． 跟踪训练1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，y ≤x ＋2所表示的平面区域并求其面积．解 如图所示，其中的阴影部分便是所表示的平面区域．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0， 得A (1,3)．同理得B (－1,1)，C (3，－1)． ∴|AC |＝22＋(－4)2＝25，而点B 到直线2x ＋y －5＝0的距离为 d ＝|－2＋1－5|5＝65 5.∴S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×25×655＝6.探究点二 用不等式组及平面区域表示生活中的问题例2 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表.品种 电力/kW·h煤/t 工人/人 甲 2 3 5 乙852该厂有工人200150 t ，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．解 设每天分别生产甲、乙两种产品x t 和y t ，生产x t 的甲产品和y t 乙产品的用电量是(2x＋8y )(kW·h)．根据条件，有2x ＋8y ≤160；用煤量为(3x ＋5y )(t)，根据条件，有3x ＋5y ≤150； 用工人数为(5x ＋2y )(人)，根据条件，有5x ＋2y ≤200； 另外，还有x ≥0，y ≥0.综上所述，x ，y 应满足以下不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋8y ≤160，3x ＋5y ≤150，5x ＋2y ≤200，x ≥0，y ≥0.甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)．反思与感悟 求解不等式组在生活中应用的问题．首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组．跟踪训练2 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解 设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则满足以下条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0.(*)在直角坐标系中完成不等式组(*)所表示的平面区域，如图阴影部分．例3 某市政府准备投资1 200万元兴办一所中学，经调查，班级数量以20到30个班为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元和58万元．将办学规模(初、高中班的班级数量)在直角坐标系中表示出来．解 设初中x 个班，高中y 个班，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到28x ＋58y ≤1 200，班级数量是非负整数．因此，得到⎩⎪⎨⎪⎧28x ＋58y ≤1 200，x ＋y ≥20，x ＋y ≤30，x ，y ∈N ..所以，办学规模就是如图阴影部分的整数点所表示的规模． 用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分)跟踪训练3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求所需午餐和晚餐个数的数学关系式．解 设需要预计满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，则依题意x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( ) A ．32＋2 B ．－32＋2 C ．－5 D ．1答案 D解析 区域如图，易求得A (－2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )． S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1.2．设点P (a 2，a )(a ∈R )，则下列判断中正确的是( ) A ．点P 在不等式x ＋2y ＋1>0表示的平面区域内 B ．点P 在不等式x ＋2y ＋1≥0表示的平面区域内 C ．点P 在不等式x ＋2y ＋1<0表示的平面区域内 D ．点P 在不等式x ＋2y ＋1≤0表示的平面区域内 答案 B解析 将P (a 2，a )代入x ＋2y ＋1可得，a 2＋2a ＋1＝(a ＋1)2≥0，当a ＝－1时取等号．故选B.3．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000x ∈N ＋y ∈N ＋4．画出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，则这个平面区域的面积为________． 答案 12解析 平面区域如图所示．S △＝12×1×1＝12.[呈重点、现规律]1．平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性．对于A >0的直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，Ax ＋By ＋C >0对应直线l 右侧的平面；Ax ＋By ＋C <0对应直线l 左侧的平面．2．由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等．一、基础过关1．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34 答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 2．点P (a,4)到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，且在不等式3x ＋y >3表示的平面区域内，则P 点坐标为( ) A ．(1,4) B ．(－4,4) C ．(16,4) D ．(－4,4)，(16,4)答案 C解析 由题意知|a －2×4＋2|1＋(－2)2＝25，解得a ＝16或a ＝－4.又P (a,4)在不等式3x ＋y >3表示的平面区域内，∴a ＝16，∴P (16,4)．3．在坐标平面上有两个区域M 、N ，M 是由y ≥0，y ≤x 和y ≤2－x 三个不等式来确定的，N 是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t ＋1所确定，t 的取值范围是0≤t ≤1，设M 和N 的公共面积是函数f (t )，则f (t )为( ) A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2D.12(t －2)2 答案 A解析 如图，f (t )＝12×2×1－12t 2－12(2－t －1)(1－t )＝1－12t 2－12＋t－12t 2＝12＋t －t 2. 4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，那么该企业生产甲、乙两种产品的数量满足的关系式为__________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋y ≤132x ＋3y ≤18解析 由题意知，x 、y 满足的关系式为⎩⎨⎧x ≥0y ≥03x ＋y ≤132x ＋3y ≤18.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．答案 [5,7)解析 不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，0≤x ≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，用平行于x 轴的直线截该平面区域，若得到一个三角形，则a 的取值范围是5≤a <7. 6．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________． 答案 74解析 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域． 又D (0,1)，B (0,2)， E ⎝⎛⎭⎫－12，32，C (－2,0)． S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74.7．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，列出投资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式，并画出相应的平面区域．解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，上述不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．二、能力提升8．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得D (3，－1)．此时直线OM 的斜率最小，且为－13.9．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，4解析 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a ， 作出可行域后数形结合可解．不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43. 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a . 由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4.若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点， 数形结合可得12≤a ≤4.10．用平面区域表示下列不等式组．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y3x ＋4y －12<0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ＋1>0x ≤3.解 (1)不等式x ≥y ，即x －y ≥0，表示直线y ＝x 上及其下方的区域． 不等式3x ＋4y －12<0，表示直线3x ＋4y －12＝0左下方的区域．它们的公共部分就是不等式组⎩⎨⎧x ≥y 3x ＋4y －12<0表示的平面区域(如图所示的阴影部分)．(2)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，不等式x ＋y ＋1>0表示直线x ＋y ＋1＝0右上方的点的集合(不含边界)，不等式x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以不等式组表示上述平面区域的公共部分(如图所示的阴影部分)．打印版高中数学11．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，求b 的取值范围．解 点P (1，－2)关于原点的对称点P ′(－1,2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.故满足条件的b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，32.三、探究与拓展12.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B ，C 分别在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解 (1)用两点式求得直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.因为原点(0,0)在区域D 内，所以表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)将B 的坐标代入4x －3y －a ，得14－a .将C 的坐标代入4x －3y －a ，得－18－a .根据题意，得(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围为(－18,14)．。
北师大版高中数学必修五学案二元一次不等式组与平面区域
第03讲：二元一次不等式组与简单线性规划问题高考《考试大纲》的要求：① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（一）基础知识回顾：1.二元一次不等式表示的平面区域：直线l : ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线l 上的点（x,y ）的坐标满足 ax+by+c=0（2）直线l 一侧的平面区域内的点（x,y ）的坐标都满足 ax+by+c>0（3）直线l 另一侧的平面区域内的点（x,y ）的坐标满足 ax+by+c<0所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x 0 , y 0）,从a 0x+b 0y+c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。
2.线性规划：如果两个变量x,y 满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题。
其中，满足约束条件的解(x,y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解。
3.线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先写出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；（2）作出相应的可行域； （3）确定最优解（二）例题分析：例1．（2008安徽文）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( )A ．34B ．1C ．74D ．5例2. (2007安徽文)如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上，点O 在曲线1)2(22=++y x 上，那么的||PQ 最小值为（ ） (A)23 (B)154- (C)122- (D)12- 例3、（2006上海文）已知实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2y x -的最大值是_________.（三）基础训练：1、(2008海南、宁夏文)点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（ ）A. [0，5]B. [0，10]C. [5，10]D. [5，15]2.(2008全国Ⅰ卷文、理)若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．3．（2007辽宁文、理）已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59 B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，C ．(][)36-∞+∞，，D ．[36]，4. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a 的取值范围是（ ）（A ）a<-7或a ＞24 （B ）-7<a<24（C ）a=7或a=24 （D ）-24<a<75.（2007山东理）设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+1,40,32102y x y x y x ，表示的平面区域， 则D 中的点P （x ,y ）到直线x +y =10距离的最大值是 .6.（2006湖南文、理）已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .7.（2004江苏）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？8.要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的每张钢板的面积,第一种为1m ,第二种为2m ,今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？参考答案第03讲：二元一次不等式组与简单线性规划问题（二）例题分析： 例1．C; 例2. A; 例3、___0_____.（三）基础训练： 1、B; 2. 9 ; 3.A; 4. B; 5.24; 6. 5 ;7.解：设分别对甲、乙两个项目投资x 万元、y 万元，则x ≥0,y ≥0,且10318x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，设0.5z x y =+ 当46x y =⎧⎨=⎩时，z 取最大值7万元 8.解：设用第一种钢板x 张, 第二种钢板y 张，依题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≥+≥+Ny N x y x y x y x ,27315212 ,求目标函数为y x z 2+=的最小值， 列表得答：当两种钢板分别截6，7快，或者4，8快时,可得所需三种规格成品,且使所用面积最小。
北师大版高中数学必修五4.1二元一次不等式(组)与平面区域.docx
第3章 4.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．不等式x －2y ≥0表示的平面区域是( )解析： 取测试点(1,0)，排除A 、C ；由边界线x －2y ＝0可排除B.故选D. 答案： D2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析： 因为点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，所以有[3×(－3)－2×(－1)－a ]×[3×4－2×(－6)－a ]<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24，故选B.答案： B3．在直角坐标系内下图中的阴影部分表示的不等式(组)是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≥0 C ．x 2－y 2≤0 D ．x 2－y 2≥0解析： 答案： D4．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)＞0的点(x ，y )所在的区域为( )解析： 不等式(x －y )(x ＋2y －2)＞0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，x ＋2y －2＞0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＜0，x ＋2y －2＜0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是________．解析： 由题意可知50x ＋40y ≤2000， 即5x ＋4y ≤200，且x y ＝23，x ∈N ＋，y ∈N ＋答案： ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x 、y ∈N＋6．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．解析： 如图所示，直线x ＋y ＝a 扫的区域为四边形AOBC .∴S 四边形AOBC ＝S △AOD －S △CBD ＝12×2×2－12×22×22 ＝74.答案： 74三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)画出二元一次不等式2y －5x －10＞0表示的平面区域； (2)画出以下不等式组表示的平面区域： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0 ①x －y ≥0 ②x ≤2 ③解析： (1)设F (x ，y )＝2y －5x －10， 作出直线2y －5x －10＝0，∵F (0,0)＝2×0－5×0－10＝－10＜0， ∴所求区域为不含(0,0)的一侧，如图所示．(2)如图所示．不等式①表示直线x ＋y －1＝0的右上方(包括直线)的平面区域； 不等式②表示直线x －y ＝0右下方(包括直线)的平面区域； 不等式③表示直线x ＝2左方(包括直线)的平面区域． 所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．8．某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～30个班为宜，老师实行聘任制).学段 班级学生数配备教师数硬件建设 教师年薪 初中 45 2 26万元/班 2万元/人 高中40354万元/班2万元/人分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．解析： 设开设初中班x 个，高中班y 个．根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200，即x ＋2y ≤40. 另外，开设的班数不能为负，则x ≥0，y ≥0.把上面四个不等式合在一起，得到： ⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ≥0，y ≥0.用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围． (2)平面区域内有多少个整点？解析： 不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的平面区域，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的平面区域，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的平面区域．原不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：(1)由图可得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3， y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组可知：⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5－2≤x ≤3.①当x ＝－2时，2≤y ≤3⇒y ＝2或3，有2个整点． ②当x ＝－1时，1≤y ≤4⇒y ＝1,2,3,4，有4个整点．③同理当x ＝0,1,2,3时，分别有6个、8个、10个、12个整点． 所以，所求平面区域里共有 2＋4＋…＋12＝6×(2＋12)2＝42.。
北师版数学高二北师大版必修5学案 3.4.1 二元一次不等式(组)与平面区域(一)
4．1二元一次不等式(组)与平面区域(一)明目标、知重点 1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式表示平面区域(1)一般地，直线l：Ax＋By＋C＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C＝0；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C>0；③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C<0.(2)在直线l的某一侧的平面区域内，取一特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C值的正负即可判断Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．(3)一般地，把直线l：Ax＋By＋C＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；若把直线画成虚线，则表示平面区域不包括这一边界．2．二元一次不等式组表示平面区域不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集，即各个不等式所表示平面区域的公共部分．[情境导学]在前面我们用一元二次不等式表示了生活中一种量的不等关系，在现实生活和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，怎样表示现实生活中存在的一些不等关系？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一二元一次不等式(组)的有关概念问题1 1名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？思考1 如果设用餐费为x 元，其他费用为y 元，那么x ，y 满足怎样的关系式？答 由题意x 不小于240，y 不小于180，x 与y 之和不超过500，用不等式组可表示为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤500，x ≥240，y ≥180.思考2 思考1中得出的不等关系有什么特点？答 未知数x 和y 要同时满足3个不等式组成的不等式组，每一个不等式最多含有两个未知数，并且未知数的次数是1.小结 (1)我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；(2)我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组；(3)满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x ，y )，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．思考3 有序实数对可以看成直角坐标系内点的坐标．二元一次不等式(组)的解集可以看成什么？答 可以看成直角坐标系内的点的构成的集合区域． 探究点二 二元一次不等式表示的平面区域问题2 平面直角坐标系中的哪些点满足不等式x －y >6.思考1 在平面内画一条直线x －y ＝6，这条直线将平面分为几个部分？答 在直角坐标系中，所有点被直线x －y ＝6分成三类：一类是在直线x －y ＝6上的点；二类是在直线x －y ＝6左上方的区域内的点；三类是在直线x －y ＝6右下方的区域内的点． 思考2 如下图，设点P (x ，y 1)是直线上的点，选取点A (x ，y 2)满足不等式x －y <6.你能完成下面的表格吗？横坐标x －3 －2 －1 0 1 2 3 点P 的纵坐标y 1 点A 的纵坐标y 2答横坐标x－3－2－10123点P的纵坐标y1－9－8－7－6－5－4－3点A的纵坐标y2>－9>－8>－7>－6>－5>－4>－3标与不等式x－y<6有什么关系？直线l右下方点的坐标呢？答当点A与点P有相同的横坐标时，点A的纵坐标大于点P的纵坐标．即x－y2<6.在直角坐标系中，以二元一次不等式x－y<6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式x－y<6.因此，在直角坐标系中，不等式x－y<6表示直线x －y＝6左上方的平面区域．类似地，不等式x－y>6表示直线x－y＝6右下方的平面区域．小结一般地，在直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，表示区域不包括边界．而不等式Ax＋By＋C≥0表示区域时则包括边界，把边界画成实线．思考4如何判断二元一次不等式表示哪个平面区域？答对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得符号都相同，所以只需在直线的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号确定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．例1试确定集合{(x，y)|x＋4y－4<0}表示的平面区域．解先作出边界x＋4y＝4，因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋4y－4，因为0＋4×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方．如下图所示．反思与感悟画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是，当C≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点．跟踪训练1画出不等式2x－y－4≤0表示的平面区域．解先画出直线l：2x－y－4＝0，取原点O(0,0)，把O点的坐标代入2x－y－4，得2×0－0－4<0.所以，原点在2x －y －4<0表示的平面区域内，不等式2x －y －4≤0表示的平面区域是2x －y －4<0表示的平面区域加上直线l ：2x －y －4＝0(如图阴影部分所示)．例2 画出以下不等式组表示的平面区域． ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0， ①x －y ≥0 ②x ≤2. ③解 如图所示．不等式①表示直线x ＋y －1＝0的上方(包括直线)的平面区域； 不等式②表示直线x －y ＝0下方(包括直线)的平面区域； 不等式③表示直线x ＝2左方(包括直线)的平面区域． 所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．反思与感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．跟踪训练2 画出下列不等式组所表示的平面区域． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.解 (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0，表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；x ＋y ≤3，即x ＋y －3≤0，表示直线x ＋y －3＝0上及左下方区域； x ≥0表示y 轴及其右边区域； y ≥0表示x 轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．(2)x －y <2，即x －y －2<0，表示直线x －y －2＝0左上方的区域； 2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方区域； x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方区域． 综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示．1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0) 答案 D解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内，故选D.2．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6>0x <0B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6≥0x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ y >－23x －2y ＋6>0x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6<0x <0答案C解析观察图像可知，阴影部分在直线y＝－2上方，且不包含直线y＝－2，故可得不等式y>－2.又阴影部分在直线x＝0左边，且包含直线x＝0，故可得不等式x≤0.由图像可知，第三条边界线过点(－2,0)、点(0,3)，故可得直线3x－2y＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.3．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是() A．(－1,6) B．(－6,1)C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)答案A解析由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，即(a＋1)(a－6)<0，∴－1<a<6.4．画出下面二元一次不等式表示的平面区域．(1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.解(1)画出直线x－2y＋4＝0，∵0－2×0＋4＝4>0，∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界．(2)画出直线y－2x＝0，∵0－2×1＝－2<0，∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．[呈重点、现规律]1．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，(1)Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域； (2)Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．一、基础过关1．已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案 B解析 因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x －2y －a ＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a ]×[3×4－2×(－6)－a ]<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24，故选B.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 答案 B解析 画出可行域如图阴影部分所示． ∵直线过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0)．4．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的平面区域为( )答案 B解析 不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧ x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.5．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________． 答案 －1<a ≤0解析 根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则⎩⎨⎧a >0a ＋1≤0.无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则⎩⎨⎧a ≤0a ＋1>0，∴－1<a ≤0.综上所述，－1<a ≤0.6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，－x ＋y ≤1，－x －y ≤1表示的平面区域的形状为______________________________．答案 正方形解析如图所示的阴影部分，不等式组表示的平面区域是边长为2的正方形．7．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x ＋y －3<0表示的平面区域．解 不等式x >0表示直线x ＝0(y 轴)右侧的点的集合(不含边界)． 不等式y >0表示直线y ＝0(x 轴)上方的点的集合(不含边界)．不等式x ＋y －3<0表示直线x ＋y －3＝0左下方的点的集合(不含边界)． 所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．二、能力提升8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( ) A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求． 经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min ＝4.9．下列平面区域所对应的二元一次不等式(组)分别为(1) (2)(3)(1)___________________；(2)___________________； (3)____________________．答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1－1≤y ≤1；(2)x ＋y ≤1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y >0x ≤110．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数m 的值为________． 答案 －3解析 由点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离d ＝|4m －9＋1|5＝4，得m ＝7或m ＝－3.又点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，当m ＝－3时，点P 的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m ＝7时，点P 的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去．综上，m ＝－3.11．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域．解 先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O (0，0)，代入x －y ＋5，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x －y ＋5>0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示直线x －y＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．即如图所示的阴影部分为所求平面区域．12．在△ABC 中，A (3，－1)、B (－1,1)、C (1,3)，写出△ABC 区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组．解 如图所示，可求得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0.由于△ABC 区域在直线AB 右上方，∴x ＋2y －1≥0；在直线BC 右下方，∴x －y ＋2≥0；在直线AC 左下方，∴2x ＋y －5≤0.∴△ABC 区域可表示为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.三、探究与拓展13．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3y ≥26x ＋7y ≤50的整数解．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．把x ＝3代入6x ＋7y ≤50，得y≤32，又∵y≥2，7∴整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；把x＝4代入6x＋7y≤50，，得y≤267∴整点有(4,2)，(4,3)．把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤20，7∴整点有(5,2)；把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤8，与y≥2不符．7∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．。
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课时作业(二十三)
1．不等式x－2y＋3>0表示的区域在直线x－2y＋3＝0的() A．右上方B．右下方
C．左上方D．左下方
答案 B
2．已知点P(x0，y0)和点A(1，2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则有()
A．3x0＋2y0>0 B．3x0＋2y0<0
C．3x0＋2y0<8 D．3x0＋2y0>8
答案 D
3．不等式2x＋y＋a2＋1≥0表示的平面区域可能是()
答案 D
4．已知直线ax＋by＋1＝0，若ax＋by＋1>0表示的区域如选项中所示，其中正确的区域为()
答案 C
5．在直角坐标系中，满足不等式|y|≥|x|的点(x ，y)的集合(用阴影表示)是(
)
答案 B
6．表示图中阴影部分所示平面区域的不等式组是(
)
A.⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋3y －12≥0，2x －3y －6≤0，3x ＋2y －6≥0 B.⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋3y －12≤0，2x －3y －6≥0，3x ＋2y －6≥0 C.⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋3y －12≤0，2x －3y －6≤0，3x ＋2y －6≤0
D.⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋3y －12≤0，2x －3y －6≤0，3x ＋2y －6≥0
答案 D
7．(2015·漳州高二检测)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，所表示的平面区域
的面积为( ) A ．2 B.
23 C ．1 D.12
答案 D
8．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )
答案 B
解析 ∵不等式x 2－y 2≥0可以写成(x ＋y)(x －y)≥0，即
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，点(1，0)满足此不等式组，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，
点(－1，0)满足此不等式组．
9．(2015·安溪高二检测)设集合A ＝{(x ，y)|x ，y ，1－x －y 是三
角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(
)
答案 A
10．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5，x ，y ∈N
*
B.⎩⎪⎨⎪
⎧50x
＋40y ≤2 000，x y ＝23
C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200，
x y ＝23x ，y ∈N
*
D.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y<100，x y ＝23
答案 C
11．将下图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来：
图(1)可用不等式表示为________． 图(2)可用不等式表示为________． 答案 －4<y<3 2x －3y －6<0
12．用三条直线x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________． 答案 ⎩⎪⎨⎪
⎧x －y<3，x ＋2y<2，2x ＋y>2
解析 数形结合．
13．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，
|x|≤y ≤|x|＋1.
确定的平面区域的面积为
________． 答案 3
14．画出下列不等式组表示的平面区域．
(1)⎩⎪⎨⎪
⎧y<x ，x ＋2y<4，y ≥－2. (2)⎩⎪
⎨⎪⎧x<3，
2y ≥x ，3x ＋2y ≥6，3y<x ＋9.
解析 (1)用图形表示限制条件，得到如图平面区域．
(2)用图形表示限制条件，得到如图所示的平面区域．
15．如图所示，已知△ABC 的三个顶点A(2，1)，B(－1，－2)，C(3，－1)，写出表示△ABC 及其内部区域的不等式组．
解析 因为点A(2，1)，B(－1，－2)，C(3，－1)，所以k AB ＝1，k AC ＝－2，k BC ＝1
4.所以直线AB 的方程为x －y －1＝0，直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0，直线BC 的方程为x －4y －7＝0，所以三角形三边内部区域对应的不等式组为⎩⎪⎨⎪
⎧x －y －1≥0，2x ＋y －5≤0，x －4y －7≤0.
16．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t ，B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t ，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解析 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，利润总额为z 元，
那么
⎩⎪⎨⎪⎧
10x ＋4y ≤300，
5x ＋4y ≤200，4x ＋9y ≤360，x ≥0，y ≥0，
z ＝600x ＋1 000y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图所示)．
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