2.2.4平面与平面平行的性质+++++++++++++++
2.2.4平面与平面平行的性质定理
平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言：
/ /
a,
b
a//b
定理的作用: 面面平行→线面平行
几个重要结论
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面；
2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个
• 2.2.4平面与平面平行的性质
【探究新知】
探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线果两个平面平行，那么一个平面内的直线 与另一个平面平行.
探究2. 如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？
借助长方体模型探究 结论:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是 异面直线,要么是平行直线.
平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。
例题分析
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行 线段相等.
已知：如图，AB∥CD，
D
A∈α ，D∈α，
αA
B∈β ,C∈β， α∥β
求证:AB=CD
C
βB
练习：
1、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
M
G
D
C
H
O
A
B
B C Da
α E FG
A
补充作业：
1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交
α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，
S
CD=34，求SC。
AC
α
S
AC
α
βD
2.2.4平面与平面平行的性质2
L
α∥β
α∩β= L
(2):平面和平面平行的判定定理是什么？
一个平面内的两条相 交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行。 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条 直线，那么这两 b
α
d
如果两个平 行平面同时与第三 个平面相交，那么 它们的交线平行。
是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G
点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
B C D
a
α
E
F
G
A
10
小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
求证：MN∥平面PBC。
N D C
E
A B
M
7
已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一 点G，画出过G和AP的平面。
P
M
G
D
C
H
A
O
B
8
练习： 点P在平面VAC内，画出过点P作一个截面 平行于直线VB和AC。 V
F P G B H A
9
E
C
如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D
面面平行性质定理: 面面平行
线面平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
11
课外作业： 1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交 α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，
2.2.4面面平行的性质
D
A B
C
问题3：若两个平面平行，则一个平面内的直 线a与另一个平面内的直线有什么位置关系?
a
b
异面、平行
已知: 平面，， ， // , a
b求证：a // b 证明: a
b
｛b
/
a
a, b没有公共点 a, b都在平面内
a // b
二、平面和平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行．
// 即： a a // b b
简记:面面平行 线线平行
例1. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知:平面//平面 ,AB和DC为夹在 、 D A 间的平行线段。求证：AB=DC.
证明：连接BC，取BC的中点E， 分别连接ME、NE， 则ME∥AC，∴ ME∥平面α， 又 NE∥BD， ∴ NE∥β， M 又ME∩NE=E，∴平面MEN∥ 平面α， ∵ MN平面MEN，∴MN∥α.
B A C
E
N D
例3 在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 点M在CD′上，试判断直线B′M与平面 A′BD的位置关系，并说明理由.
C′ D′ M D C A A′ B B′
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个
平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。
作业: P61练习：（做在书上） P63习题2.2B组：4（做在书上） P63习题2.2B组：3.
人教A版数学必修二2.2.4 平面与平面平行的性质 教学设计
《2.2.4 平面与平面平行的性质》教学设计一、教学内容分析：本节教材选自人教A版数学必修二第二章2.2.4，本节内容在立体几何学习中具有重要的意义与地位。
本节课是在前面已学直线与平面平行的判定及性质、平面与平面平行的判定，结合有关的实物模型，通过直观感知、推理证明出平面与平面平行的性质定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，对以后的学习作用重大。
二、学生学习情况分析：任教的学生在年级属中上程度，学习兴趣较高，但学习立体几何所具备的语言表达、逻辑推理及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。
三、设计思想：本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，借助实物模型，通过直观感知，推理证明，归纳出平面与平面平行的性质定理，让学生在观察分析、自主探究、合作交流的过程中，揭示平面与平面平行的性质定理，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探究、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标：通过直观感知，推理证明，理解并掌握平面与平面平行的性质定理，掌握平面与平面平行、相交的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述性质定理。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的效率。
五、教学重点与难点：重点是性质定理的引入与理解，难点是性质定理的应用及立体几何空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
六、教学过程设计：（一）知识准备，引入提问：两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之，在两平面平行的条件下，会得到什么结论呢？本节我们利用长方体模型共同探讨这个问题.问题1如何判断平面和平面平行？如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？生答有两种方法，一是用定义法，须判断两个平面没有公共点；二是用平面和平面平行的判定定理，须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.问题2 如果两个平面平行，除了上述性质，两个平面内的直线还有别的性质吗？【设计意图：通过提问，学生复习面面平行的判定定理，引入本节课课题。
2.2.4平面与平面平行的性质
平面与平面平行的性质定理
展馆上下两层所在的平面与侧墙 所在的平面分别相交,它们的交线的位置关系 如何? (平行)
(1)文字语言:如果两个平行平面同时 和第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)符号语言:α ∥β ,α a∥b. (3)图形语言:如图所示. γ =a,β γ =b
【质疑探究】 (1)如何理解平面与平面平行的性质 定理?需要注意什么? (①该性质定理可以简述为:“面面平行,则线线平 行”,必须注意这里的“线线”是指同一平面与已 知两平行平面的交线.②关于两个平面平行的性质 还有如下的结论:两个平面平行,其中一个平面内 的直线必平行于另一个平面,即 “面面平行,则线面 平行”,此处的线是平面内的任一条直线)
跟踪训练 1 1:已知 a、b 表示直线,α 、β 、γ 表示平面,下列推理正确的是( (A)α β =a,b α )
a∥b (B)α β =a,a∥b b∥α 且 b∥β (C)a∥β ,b∥β ,a α ,b α α ∥β (D)α ∥β ,α γ =a,β γ =b a∥b
利用面面平行的性质定理证明线线 平行的技巧是什么? (利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键 是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造 三个面是其应用中的主要工作:即二个平行面,一 个包含讨论直线的面,有时需要添加辅助面)
跟踪训练 2 1:已知如图所示,三棱柱 ABC A1B1C1 中, 点 D、D1 分别为 AC、A1C1 上的点.
(3)你能总结一下线线平行与线面平行、面面平 行之间的转化关系吗? (三种平行关系可以任意转化,其相互转化关系 如图所示:
)
如图所示,AB α ,CD β , 且α ∥β ,若 AC∥BD,求证:AC=BD.
数学必修2——2.2.3-2.2.4《直线与平面、平面与平面平行的性质》导学导练
高中数学必修2个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11高中数学必修二2.2.3《直线与平面平行的性质》2.2.4《平面与平面平行的性质》导学导练【知识要点】1、直线与平面平行的性质定理（重点）1）直线与平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.2）符号语言描述：b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα3）图形语言描述，如右图．2、平面与平面平行的性质（重点、难点）1）、两个平面平行的性质（1）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. 简言之，“面面平行，则线面平行.”2）、两个平面平行的的性质（2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.【范例析考点】考点一．线面平行性质的应用考点1：由“线面平行”证明“线线平行”例1、如图，已知异面直线AB 、CD 都与平面α平行，CA 、CB 、DB 、DA 分别交α于点E 、F 、G 、H ．求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFEBADCα【针对练习】1．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A ．α内的所有直线都与直线a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内的直线都与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点2．直线a ∥平面α，P ∈α，过点P 平行于α的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在α内 3．下列判断正确的是( )A ．a ∥α，b α，则a ∥bB ．a ∩α＝P ，b α，则a 与b 不平行C ．aα，则a ∥α D ．a ∥α，b ∥α,则a ∥b4．直线和平面平行，那么这条直线和这个平面内的( )A ．一条直线不相交B ．两条相交直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交 5、判断下列说法是否正确：①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何一条直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l 和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内。
面面平行的性质
α E FG
A
练：A、B是不在直线l上的两点，则过点A、B 且与直线l平行的平面的个数是 （ D ）
A．0个
B．1个
C．无数个 D．以上三种情况均有可能
小结与归纳
1、若两个平面互相平行，则其中一个 平面中的直线必平行于另一个平面；
2、平行于同一平面的两平面平行；
3、夹在两平行平面间的平行线段相等。
β
答:两条交线平行.
α
a
b
下面我们来证明这个结论
如图，平面α，β，γ满足α∥β，
α∩γ＝a,β∩γ=b，
求证：a∥b
证明：∵α∩γ=a,
β∩γ=b
∴aα，bβ
a
α
∵α∥β ∴a，b没有公共点，
又∵ a，b同在平面γ内，
b
β
∴ a∥b
面面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行.
2.2.4 平面与平面 平行的性质
复习回顾：
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
探究新知
探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面 内的直线与另一个平面有什么位置关系？
a
异面直线
平行直线
探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直 线有什么位置关系？
探究新知
探究3:当第三个平 面和两个平行平面 都相交时，两条交 线有什么关系？为 什么？
用符号语言表示性质定理：
/ /
a,
b
a//b
想一想：这个定理的作用是什么?
由平面与平面平行得出直线与直线平行
平行于同一个平面的两个平面平行.
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α∥β
(人教A版)必修2课件：2-2-4 平面与平面平行的性质
三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交 于点E、F、G.求证：BACB＝FEGF.
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[证明] 连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD. 同理AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
规律总结：利用面面平行的性质定理证明线线平行的关 键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个面是 其应用中的主要工作：即二个平行面，一个包含讨论直线的 面，有时需要添加辅助面.
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是菱形，M为
OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[证明] 证明一：如图(1)，取OB的中点G，连接GN， GM.
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
由①②得EB∥D1F③
∴E、B、F、D1四点共面，四边形BED1F是平面四边形．
又∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1， 平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，
∴ED1∥BF④
∵M为OA的中点，∴MG∥AB. ∵AB∥CD，∴MG∥CD.
新课标人教A版数学必修2全部课件：2.2.4平面与平面平行的性质
面面平行性质定理: 面面平行
线面平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
课外作业： 1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交 α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，
S
CD=34，求SC。
α
A
S
C
A
C
α
β
D
B
β
B
D
例3、已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，
画出过G和AP的平面。
P
M
G
D
C
H
A
O
B
平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。
例题分析
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条
平行线段相等
已知：如图，AB∥CD， A∈α ，D∈α， B∈β ,C∈β，
D
α
A
求证:AB=CD
β
B
C
例题分析
例1、如果一条直线与两个平行平面中的一个相交， 那么它与另一个也相交。
γ l l
A
α
.
A a α
.
β
β
B
.b
练习：
1、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D
是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G
点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
B C D
a
α
E
F
G
A
练习：
2、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.
课件4：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
知识点一 直线与平面平行的性质 线面平行的性质定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
a∥α
a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
(4)作用：线面平行⇒线线平行．
题型三 线面平行和面面平行的综合问题 例3 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′ 分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、 β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°,OA∶OA′ ＝3∶2.求△A′B′C面和两平行平面α、β分 别相交于AB、A′B′， 由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′. 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、 B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′. ∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC＝∠B′A′C′.
练习
5.如图所示，P 是△ABC 所在平面外一 点，平面 α∥平面 ABC，α 分别交线段 PA、PB、PC 于 A′、B′、C′.若APA′A′＝23， 求S△A′B′C′的值．
S△ABC
解 平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′， 平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC. ∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC， ∠A′C′B′＝∠ACB. ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5. ∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
证明 如图所示，过点A作AE∥CD，且AE交平面β 于E，连接DE与BE. ∵AE∥CD， ∴由AE与CD可以确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. ∵α∥β，∴AC∥DE. 取AE的中点N，连接NP与MN，如图所示． ∵M与P分别为线段AB与CD的中点，
课件10：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
本课结束
更多精彩内容请登录：
∵NP⊄平面 AA1B1B，AB⊂平面 AA1B1B， ∴NP∥平面 AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊄平面 AA1B1B，BB1⊂平面 AA1B1B， ∴MP∥平面 AA1B1B. 又∵MP⊂平面 MNP，NP⊂平面 MNP，MP∩NP＝P， ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. ∵MN⊂平面 MNP，∴MN∥平面 AA1B1B.
[类题通法] 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[针对训练] 2．给出下列说法： ①若平面 α∥平面 β，平面 β∥平面 γ，则平面 α∥平面 γ； ②若平面 α∥平面 β，直线 a 与 α 相交，则 a 与 β 相交； ③若平面 α∥平面 β，P∈α，PQ∥β，则 PQ⊂α； ④若直线 a∥平面 β，直线 b∥平面 α，且 α∥β，则 a∥b. 其中正确说法的序号是________．
文字语言 那么它们的交线__平__行___
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a_∥__b_
图形语言
三、综合迁移·深化思维 (1)若直线 a∥平面 α，则直线 a 平行于平面 α 内的任意一条直线，对吗？ 提示：错误．若直线 a∥平面 α，则由线面平行的性质定理可知直线 a 与平面 α 内的一组直线平行． (2)若直线 a 与平面 α 不平行，则直线 a 就与平面 α 内的任一直线都不 平行，对吗？ 提示：不对．若直线 a 与平面 α 不平行，则直线 a 与平面 α 相交或 a⊂α，当 a⊂α 时，α 内有直线与直线 a 平行．
(3)两个平面平行，那么，两个平面内的所有直线都相互平行吗？ 提示：不一定．它们可能异面． (4)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？ 提示：一定平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则 其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，因而它们平行．
课时作业23：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质基础过关1.若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是（ ） A.平行 B.相交C.异面D.平行、相交或异面解析 画图可知两直线可平行、相交或异面，故选D. 答案 D2.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G ，H ，则GH 与AB 的位置关系是（ ）A.平行B.相交C .异面D.平行和异面解析 ∵E ，F 分别是AA 1，BB 1的中点，∴EF ∥AB . 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH .又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB ∥GH . 答案 A3.α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）①⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a ；⑥⎭⎬⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内. 答案 C4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝13，过点P ，E ，F 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝ . 解析 易知EF ∥平面ABCD ，PQ ＝平面PEF ∩平面ABCD ，∴EF ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223. 答案2235.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于 .解析 因为EF ∥平面AB 1C ，且EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC .又因为E 为AD 的中点，所以EF 为△ACD 的中位线，所以EF ＝ 12AC ＝12×22＝ 2. 答案26.如图所示，四面体ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形.求证：CD ∥平面EFGH . 证明 ∵截面EFGH 是矩形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD.∴EF∥平面BCD.而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB ＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.证明因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以四边形AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.能力提升8.设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C（）A.不共面B.当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A，B如何移动，都共面解析如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′中点C′.连接A′B，取A′B的中点E，连接CE，C′E，CC′，AA′，BB′.则CE∥AA′，从而易得CE∥α.同理C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.故不论A，B如何移动，所有的动点C都在过点C且与α，β平行的平面上.答案D9.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为（）A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点解析∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交.①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…，这些交线都平行.②若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确.答案D10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点.当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置是.解析如图，连接B1D1，BD，设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O，连接ME，B1O.∵平面AB1C∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，∴B1O∥ME.又四边形B1MDO为平行四边形，则B1O∥MD.故E与D重合.答案与D重合11.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使α，β都平行于γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；③存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有个.解析若α与β相交，如图所示，可在α内找到A，B，C三个点到平面β的距离相等，所以排除②.容易证明①③都是正确的.答案212.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心.（1）求证：平面MNG∥平面ACD；（2）求S △MNG ∶S △ADC .（1）证明 如图，连接BM ，BN ，BG 并分别延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， 则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD . 同理MG ∥平面ACD .又MG ∩MN ＝M ，MG ，MN ⊂平面MNG ， ∴平面MNG ∥平面ACD .（2）解 由（1）可知，MG PH ＝BG BH ＝23， ∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，∴△MNG ∽△ADC ，且相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.创新突破13.已知：如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点.若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值.解 如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形， 所以点O 为A 1B 的中点. 因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，所以BC 1∥D 1O ， 所以D 1为线段A 1C 1的中点， 所以D 1C 1＝12A 1C 1.因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面AA 1C 1C ∩平面BDC 1＝DC 1， 平面AA 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝AD 1， 所以AD 1∥DC 1.又因为AD ∥D 1C 1， 所以四边形ADC 1D 1是平行四边形， 所以AD ＝C 1D 1＝12A 1C 1＝12AC ，所以ADDC ＝1.。
直线与平面平行平面与平面平行的性质定理精品PPT课件
问题提出
1.直线与平面平行的判定定理是什么？
定理 若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线与此平面平行.
2.直线与平面平行的判定定理解决了直 线与平面平行的条件问题，反之，在直 线与平面平行的条件下，可以得到什么 结论呢？
γ相交于直线a、b，那么直线a、b的位 置关系如何？为什么？
γ
b β
α
a
已知平面，，， // , a, b
求证：a // b
证明
a
b
a
b
//
a, b没有公共点
a, b都在平面内
a // b
知识探究(二):平面与平面平行的性质定理
定理 如果两个平行
平面同时和第三个平 面相交，那么它们的 γ
β
γ
α
a
b
l
a
思考3:若 // ,l ，那么在平面β内
经过点P且与l 平行的直线存在吗？有几
条？
l
α
α
P
γ
β
β
思考4:若平面α、β都与平面γ平行， 则平面α与平面β的位置关系如何？
理论迁移
例1 求证：夹在两个平行平面间的平行 线段相等.
A
C
β
αB
D
两个平面平行的几条性质
性质2：两个平面平行，其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面
()
问题提出
1.平面与平面平行的判定定理是什么？
定理 如果一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行，则这两个平面平行.
2.平面与平面平行的判定定理解决了平 面与平面平行的条件问题，反之，在平 面与平面平行的条件下，可以得到什么 结论呢？
高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】 因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形， 所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ， 又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
高中数学步步高必修2习题部分Word版文档2.2.4
2.2.4 平面与平面平行的性质一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B ．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C ．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D ．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶53．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b;②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α.A ．④⑥B ．②③⑥C ．②③⑤⑥D ．②③4．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面5．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( ) A ．16B ．24或245C ．14D ．20二、填空题6．分别在两个平行平面的两个三角形，(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．7．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．8. 已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________.三、解答题9. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．10. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．四、探究与拓展11. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中， 点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存 在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．答案1．C 2.B 3.C 4.D 5.B 6．(1)相似 (2)全等 7.平行 8.15 9．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．10．解 相交直线AA ′，BB ′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB 、A ′B ′，由面面平行的性质定理可得AB ∥A ′B ′.同理相交直线BB ′、CC ′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC ，B ′C ′， 从而BC ∥B ′C ′.同理易证AC ∥A ′C ′.∴∠BAC 与∠B ′A ′C ′的两边对应平行且方向相反． ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′. ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角分别相等，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∵AB ∥A ′B ′，AA ′∩BB ′＝O ， ∴在平面ABA ′B ′中，△AOB ∽△A ′OB ′. ∴A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23.而S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×2×1＝1. ∴S △A ′B ′C ′S △ABC＝(A ′B ′AB )2，∴S △A ′B ′C ′＝49S △ABC ＝49×1＝49.11．解 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ，证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ，①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，则BM ∥OE ，②由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ， ∴BF ∥平面AEC .。
高一数学必修二2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质导学案(解析版)
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质一、课标解读1、掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；2、学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、进一步提高学生空间想象能力、思维能力；二、自学导引问题1:在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.问题2:上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？问题3:直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？问题4：平面与平面平行的性质定理：问题5：符号语言表述：问题6：面与面平行的性质定理有何作用？三、合作探究探究1:如果直线a 与平面α平行，那么直线a 与平面α内的直线有哪些位置关系？探究2:若直线a 与平面α平行，那么在平面α内与直线a 平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？探究3:如果直线a 与平面α平行，那么经过平面α内一点P 且与直线a 平行的直线怎样定位？探究4：如果α∥β，,,βα⊂⊂b a 则直线a 与直线b 的位置关系如何？四、典例精析例1 如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.已知：βαβα//,//,a a l =求证：l a //变式训练1 已知,,321l l l ===γβγαβα ，1l ∥2l .求证:3l ∥1l ,3l ∥2l例2.如图所示,三棱椎BCD A -被一平面所截,截面为平行四边形EFGH .求证:CD ∥平面EFGH变式训练2 在长方体1111ABCD A BC D -中,点重合）不与11,(B B BBP ∈M BA PA =1 N BC PC =1 ,求证：MN ∥平面AC例 3 已知N M CD AB ,,之间的线段，，是夹在两个平行平面βα分别为CD AB ,的中点.求证：MN ∥α变式训练3 如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，P N M ,,分别为11111,,B A D B B A上的点，若311111==BA BM D B N B ,又PN ∥11D A ，求证：MN ∥平面11BCC B例4 如图所示，已知的分别是所在平面外一点，是平行四边形PC AB N M ABCD P ,,中点，平面l PBC PAD =平面 .（1） 求证：l ∥BC（2） MN 与平面PAD 是否平行？证明你的结论.五、自主反馈 1．平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面a ＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b的位置关系是（ ）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行2．如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（ ）A ．都平行B ．都相交C ．一个相交，一个平行D ．都异面 3．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //4．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．35．A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．以上三种情况均有可能 6 用一个平面去截正方体，所得的截面可能是______________________________；7．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为__________；8. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ___________；9. P 是边长为8的正方形ABCD 所在平面外的一点，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝8，M 、N 分别在PA 、BD 上，且53＝＝ND BN MA PM ，则MN ＝_________； 答案2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质例1 证明：过b a 于交作平面αγb a a //,//∴α，于交平面作平面过c βδα βββ⊂⊄∴c b c b c a a ,,//,//,//又l a l b l b b //,//,,,//∴∴=⊂∴βααβ 又例2 略例3 证明：情形一：若ABCD CD AB 在同一平面内，则平面, BD AC BD AC //,//,,∴βαβα 的交线为，与BD MN CD AB N M //,,∴的中点，为又αα平面平面又//,MN BD ∴⊂P AE E CD AE A CD AB 中点，取于交作异面，过情形二：若α//, 连接AEDC CD AE CD AE ED BE PN MP 确定平面,,//,,,,∴ 且平面AC ED AEDC ,的交线为，与βα的中点分别为又CD AE N P ED AC ,,,//,//∴βααα//,//,//,//MP BE MP PN ED PN ∴∴∴同理可证 αα//,,//MN MPN MN MPN ∴⊂∴平面又平面例4 证明：（1）PAD AD PAD BC AD BC 平面平面⊂⊄,,// l PAD PBC PAD BC =∴平面平面，又平面 //l BC //∴（2）平行证明：取NE AE E PD ,,连接的中点AM NE AM NE =且可得,//是平行四边形可知四边形AMNEPAD MN AE MN 平面//,//∴∴变式训练1.略2.证明：M BA PA AA BB BA B A =11111,// 且中，在平面 1111,,CC PB MA PM CC AA AA PB MA PM =∴==∴又 ① N BC PC CC BB BCC B =11111,// 且中，在平面1CC PB NC PN =∴ ② 由①②得AC MN NC PN MA PM //,∴=AC MN AC AC AC MN 平面，平面平面//,∴⊂⊄3．证明：31,31,//11111111==A B P B D B N B D A PN 得由 ,//,3111BB PM BA BM ∴=又 11111,BCC B BB BCC B PM 平面平面又⊂⊄ 11111111//,////C B D A D A PN BCC B PM ，又平面∴ 111111//,C B PN BCC B C B ∴⊂平面1111//BCC B PN BCC B PN 平面，平面又∴⊄ 11//,BCC B PMN P PN PM 平面平面又∴= 11//,BCC B MN PMN MN 平面平面∴⊂ 自主反馈答案1.D2.A3.C4.A5.D6. 3,4,5,6边形7. 平行或交于一点 8.3392 9. 19。
平面与平面平行的判定及其性质
这个结论可做定理用
定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理： / / a//b a, b
想一想：这个定理的作用是什么? 答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行
例题分析,巩固新知 例1. 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 讨论:解决这个问题的基本步骤是什么? 答:首先是画出图形,再结合图形将文字语言转化 为符号语言,最后分析并书写出证明过程。 如图,α//β ,AB//CD,且AÎ α, CÎ β ,DÎ . α,BÎ β 求证:AB=CD. 证明:因为AB//CD,所以过AB, CD可作平面γ ,且平面γ 与平 面α和β 分别相交于AC和BD. 因为 α//β ,所以 BD//AC.因此,四边形ABDC是平 行四边形. 所以 AB=CD.
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN// 平面EFDB。
D1
F
M
B1
N
A1
C1
E
线面平行
线线平行
面面平行
D A B C
第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。 第三步：利用判定定理得出结论。
线面平行 线线平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行。
2.2.4《平面与平面 平行的性质》
Байду номын сангаас
复习提问、引入新课
复习：如何判断平面和平面平行? 答:有两种方法,一是用定义法,须 判断两个平面没有公共点;二是用 平面和平面平行的判定定理,须判 断一个平面内有两条相交直线都和 另一个平面平行.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.2.3.4
1.若两个平面互相平行，则其中一个 平面中的直线必平行于另一个平面； 2.夹在两平行平面间的平行线段相等。 3.过平面外一点有且只有一个平面 与这个平面平行； 4.平行于同一平面的两平面平行；
练习
1、 P是长方形ABCD所在平面外的 一点，AB、PD上两点M、N满足AM： MB=ND：NP.
练习.
m
已知： l，a / / ， a / /
求证 a / /l
l
证明： 过直线a 作平面 、 ， 使 m ， n a // m ， a // n
(直线和平面平行的性质定理 ) m // n (公理4) 又 m， n ， 且 m // n
m // (直线和平面平行的判定定理 ) 又 m ， l，
m // l (直线和平面平行的性质定理 )
a // l . (公理4)
平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行. 符号语言：
a ，b a b P / / . a / / ， b / /
γ b
图形语言
a
面面平行→线面平行→线线平行
例1 求证：夹在两个平行平面间 的平行线段相等.
A β C
γ α B
D
例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 点M在CD′上，试判断直线B′M与平面 A′BD的位置关系，并说明理由.
C′ D′ M D C A A′ B B′
典例剖析
例3 正确的有
图像语言：
P
a b
判定定理的推论 如果一个平面内有两条相交直线分别 平行于另一个平面内的两条相交直线，那 么这两个平面平行.
P a a b c
c
d
讲授新课
思考：如果两个平面平行，能够推导出 那些结论？
1.两个平面平行，其中一 个平面内的直线与另一个 平面有什么位置关系？ 2.两个平行平面内的直线有 什么位置关系？ 3.当第三个平面和两个平行 平面都相交时，两条交线有 什么位置关系？为什么？
求证：MN∥平面PBC.
P
N
D E A M B C
练习
2.已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取 一点G，画出过G和AP的平面。
P M D A G
H
O
C B
小结
直线与直线平行 直线与平面平行
平面与平面平行
考虑方向
思考1:若 // , l ，则直线l与平面 β的位置关系如何？ l α
β
思考2:两个平行平面内的直线有什么位 置关系？
α
n
α
n
β
β
m
什么条件下，平面内的直线与 平 面的直线平行呢？
思考3:若 // ，平面α、β分别与平 面 相交于直线a、b，那么直线a、b的 位置关系如何？为什么？
β α
γ b
a
已知:平面 , , 满足 / / b 求证：a / / b
, a
β
γ b
a
平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面 相交，那么它们的交线平行.
符号语言
/ / β a a / /b b