高中数学-平面与平面平行的性质
高中数学必杀1-4线面平行与面面平行的判定及性质
专题4 线面平行与面面平行的判定及性质一、直线与平面平行下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面【解析】由面面平行的定义可知选D.【例2】若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（）A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直【解析】A错误，a与α内的直线平行或异面．【例3】已知不重合的直线a ，b 和平面α，①若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；④若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b ⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)．【解析】 ①中a 与b 可能异面；②中a 与b 可能相交、平行或异面；③中a 可能在平面α内，④正确．【例4】已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，α⊄n ，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且α⊄n ，β⊄n ，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，故选B.【例5】已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题： ①n m n m //⇒⎩⎨⎧⊥⊥αα；①αα//n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥；①n m n m ⊥⇒⎩⎨⎧⊥αα//其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】若⎩⎨⎧⊥⊥ααn m ，则m ①n ，即命题①正确；若⎩⎨⎧⊥⊥n m m α，则n ①α或n ①α，即命题①不正确；若⎩⎨⎧⊥αα//n m ，则m ①n ，即命题①正确；综上可得，真命题共有2个．故选C ．【例6】已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是（ ） A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2【解析】由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.【例7】在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ） A ．α、β都平行于直线l B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等C ．l 、m 是α内两条直线，且l ①β，m ①βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ①α，m ①α，l ①β，m ①β【解析】排除法，A 中α、β可以是相交平面；B 中三点可面平面两侧；C 中两直线可以不相交．故选D ，也可直接证明．【例8】经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）A ．0个B ．1个C ．0个或1个D ．1个或2个【解析】这两点可以是在平面同侧或两侧．故选C ．达标训练11．（2019•延安一模）已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 2．（2019•湖北期中）平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无数多条直线都与β平行B ．直线a α⊂，b β⊂，且//a β，//b αC ．直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内D ．一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β3．（2019•深圳二模）己知正方体1111ABCD A B C D -，P 为棱1CC 的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ） A ．1//m D Q B ．//m 平面11B D QC ．1m B Q ⊥D ．m ⊥平面11ABB A4．（2019•聊城二模）在长方体1111ABCD A B C D -中，F ，F ，G ，H 分别为棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1//AD 平面EFGHB ．1//BD GHC ．//BD EFD ．平面//EFGH 平面11A BCD5．（2019•汕头月考）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC AC ．//MN 平面ABCDD ．11//MN A B6．（2019•大连一模）已知m ，n 为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，可以作为//αβ的充分条件的是（ ） A ．//m n ，m α⊂，n β⊂ B ．//m n ，m α⊥，n β⊥ C ．m n ⊥，//m α，//n βD ．m n ⊥，m α⊥，n β⊥7．（2019•汕头一模）在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ）A ．11//AO D C B ．1AO BC ⊥C ．1//A O 平面11B CDD ．1A O ⊥平面11AB D8．（2019•青云月考）如图，四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则（ ） A ．//MN PD B ．//MN PAC ．//MN ADD ．以上均有可能9．（2019•上饶一模）设m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m ，n α⊂．则“//αβ”是“//m β且//n β”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．（2018•沧州一模）如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2017•洛南期末）已知平面//α平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，下列结论中不正确的是（ ） A ．//m βB ．//n αC ．//m nD ．m 与n 不相交12．（2018•杭州期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别为线段PC 、PB 上一点，若:3:1PM MC =，且//AN 平面BDM ，则:PN NB =（ ）A ．4:1B ．3:1C ．3:2D ．2:113．（2018•厦门二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是11C D ，BC ，11A D 的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．//MN APB ．1//MN BDC ．//MN 平面11BBD DD ．//MN 平面BDP14．（2018•辛集期中）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，Q 为AD 的中点，点M 在线段PC 上，PM tPC =，//PA 平面MQB ，则实数t 的值为（ ） A ．15B ．14 C ．13D ．1215．（2018•四川模拟）如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，以下结论一定成立的是（ ） A ．直线//BE PFB ．直线//EF 平面PBCC ．平面BCE ⊥平面PAD D ．直线PB 与DC 所成角为60︒16．（2017•万州期末）平面α与ABC ∆的两边AB ，AC 分别交于点D ，E ，且::AD DB AE EC =，如图，则BC 与α的位置关系是（ ）A ．异面B ．相交C ．平行或相交D ．平行17．（2018•桃城模拟）如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且//MN 平面11ACC A ，则这样的MN 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条18．（2018•雁江月考）已知P 为ABC ∆所在平面外一点，平面//α平面ABC ，且α交线段PA ，PB ，PC 于点A '，B '，C '，若:2:3PA AA ''=，则:A B C ABC S S '''=△△（ ）A ．2:3B ．2:5C ．4:9D ．4:2519．（2018•香坊四模）对于不重合的两个平面α和β，给定下列条件： ①存在直线l ，使得l α⊥，且l β⊥； ①存在平面γ，使得αγ⊥且βγ⊥； ①α内有不共线的三点到β的距离相等；①存在异面直线l ，m ，使得//l α，//l β，//m α，//m β． 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2018•西城期末）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足条件 时，1//A P 平面BCD （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可达标训练21．（2017•新课标①）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2011•浙江）若直线l 不平行于平面α，且l α⊂/，则（ ） A ．α内存在直线与l 异面 B ．α内存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交 3．（2010•浙江）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m 4．（2010•江西）如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列命题 ①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ①过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交； ①过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行． 其中真命题是（ ） A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①5．（2008•湖南）已知直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥，αβ⊥，则（ ） A ．n β⊥ B ．//n β，或n β⊂ C ．n α⊥D ．//n α，或n α⊂6．（2007•北京）平面//α平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，//a α，//a β B ．存在一条直线a ，a α⊂，//a βC ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b αD ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α7．（2011•福建）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若//EF 平面1AB C ，则线段EF 的长度等于 ．。
高中数学-直线与平面平行、平面与平面平行的性质
【证明】证法一：如图所示，分别取ＡＡ１，A1B1 的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，ＮＱ，ＭＰ.
∵Ｐ，Ｑ分别是面ＡＡ１ Ｄ１Ｄ，面A1B1C1D1的中点，
∴ＭＰ∥AD, MP=
ＮＱ＝
1 2
Ａ１Ｄ１.
1 2
AD,NQ∥A1D1，
∴ＭＰ∥ＮＱ且ＭＰ＝ＮＱ.
∴四边形ＰＱＮＭ为平行四边形.
∴ＰＱ∥ＭＮ.
∵MN AA1B1B，
∵CQ∥
∴CQ∥MN.
∵ＥＦ是△ABC的中位线，∴Ｍ是ＰＣ的中点，
则Ｎ是ＰＱ的中点，即ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分.
【点评】Ｐ，Ｃ，Ｑ三点所确定的辅助平面是解决本题的 核心.有了面ＰＣＱ，就有了连接ＣＤ与面ＥＦＧＨ的桥梁， 线面平行的性质才能得以应用.
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如图2-3-4所示，已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G 和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
.
∴AC∥MN∥AC,且AC＝ 13ＡＣ.
∴AC∥平面ＡＢＣ.
同理，A′B′∥平面ＡＢＣ.
又∵AC∩A′B′=A′,
∴平面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥平面ＡＢＣ.
1
1
（２）同理A′B′= AB3 , B=C BC3 ，
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴S△A′B′C′
S△ABC =1：9.
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1.如何理解线面平行的性质定理？
表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一 边或平行四边形内的一条线段平行.
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2.如何理解两个平面平行的性质定理？
平面平行的性质是根据面面平行、线面平行、线线平行的 定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与 平面平行和平面与平面平行，或者反过来由后者判定前者， 是立体几何最基本又最常见的一类问题.证明线面平行往往 转化为证明面面平行.
人教A版高中数学必修二课件第五讲直线与平面、平面与平面平行的性质.pptx
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
Aa B
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
Aa B
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
∴a与b无公共点． 又∵ a , b ,
解决问题
已知：直线a∥平面, a , b.
求证：a∥b．
a
b
证明： b, b , 又a //
∴a与b无公共点． 又∵ a , b , 即a与b共面．
解决问题
已知：直线a∥平面, a , b.
BC 面BC' 面BC' 面A'C' B'C'
BC//B'C'
EF//B'C'
BC//EF
D'
A'
P E
D
F B'
C' C
EF、BE、CF共面． A
B
则EF、BE、CF为应画的线．
直线与平面平行的性质定理的运用： 例1 如图所示的一块木料中, 棱BC平行于面A'C'．
⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎
a
b
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直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．
符号语言：
a
b
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直线与平面平行的性质定理
专题2：平面与平面平行的判定与性质基础知识与典型例题2020-21学年高中数学平行和垂直证明常见题型
专题2：平面与平面平行的判定与性质平面与平面的位置关系：平行——没有公共点：符号α∥β相交——有一条公共直线: 符号α∩β=a1．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行.符号：,,a ba b Aa bαααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭1．如图所示，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、PA的中点，AC、BD交于点O.（1）求证：平面//PBC平面EFO；2．如图，正方体1111ABCD A B C D-中，E，F，P，Q分别是BC，11C D，1AD，BD的中点.（1）求证：平面PQB //平面11CB D ；3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为11A D ，11B C 的中点.（1）求证：平面1//AB E 平面1BD F ；4．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：（1）平面EF A 1∥平面BCHG .（2）5．如图，三棱锥P ABC -中，,,PC AC BC 两两垂直，1BC PC ==，2AC =，,,E F G 分别是,,AB AC AP 的中点.（1）证明：平面//GEF 面PCB ；6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .7．如图所示，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F ，G 是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG ，平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第四节 直线、平面平行的判定与性质)
第四节 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l ∥a ，a ⊂α， l ⊄α，∴l ∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l ∥α，l ⊂β，α∩β＝b ，∴l ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言符号语言 判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β， b ∥β， a ∩b ＝P ，a ⊂α， b ⊂α， ∴α∥β 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β.二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)直线与平面平行的判定[典例]如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.[证明]如图，连接A1C.在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α，但若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面，∴“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，且PM ＝2MC .求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和P A作平面P AHG交平面BMD于GH.求证：P A∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO.又MO⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，P A⊂平面P AHG，∴P A∥GH.考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.变结论在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF 的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点， 所以DE ∥GN .又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CD AB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52.答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离．∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE . ∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD . 又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD⊥平面OEC，∴BD⊥EO.又∵O为BD中点．∴OE为BD的中垂线，∴BE＝DE.(2)取BA的中点N，连接DN，MN.∵M为AE的中点，∴MN∥BE.∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，∴DN⊥AB.∵∠DCB＝120°，DC＝BC，∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即BC⊥AB，∴DN∥BC.∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，∴平面MND∥平面BEC.又∵DM⊂平面MND，∴DM∥平面BEC.。
8.5.3 平面与平面平行课件ppt
又AB1∥C1D,∴PM∥C1D.
又PM⊄平面C1BD,C1D⊂平面C1BD,
∴PM∥平面C1BD.
同理MN∥平面C1BD.
又PM∩MN=M,
∴平面PMN∥平面C1BD.
探究二
面面平行性质定理的应用
例2如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线
PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行
或相交
答案 CD
解析 如图①,在平面α内作α,β交线的无数条平行线,可知A,B错误;
对C,由题意可知AB∥β,BC∥β,AB∩BC=B,由面面平行的判定定理可知
α∥β,C正确;
对D,参考选项C的解析,假设α内有一个点位于点A处,而其余点均位于直线
所以PQ∥平面CBE.
(方法二)如图②,连接AC,则Q∈AC,且Q是AC的中点.
因为P是AE的中点,所以PQ∥EC.
因为PQ⊄平面CBE,EC⊂平面CBE,
所以PQ∥平面CBE.
方法点睛 (1)线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是通过
线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达的,因此在证明有关问
4
3
15
∴ = ,∴5 = ,∴CD= 4 ,
15 27
∴PD=PC+CD=3+ 4 = 4 .
反思感悟 证明线线平行的方法
(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.
(2)平行线的传递性:平行于同一条直线的两条直线平行.
∥
(3)线面平行的性质定理: ⊂
⇒a∥b,应用时题目条件中需有线面平行.
高中数学课件：直线、平面平行的判定与性质
(2)连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD. ∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD， 又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
的角为 60°，转化为三角形的一个角有关的问题 还缺少所需要用的三角形，可连接 AD，取 AD 的中 差什么 点 M，连接 ME，MF，得三角形 MEF，利用平行 找什么 关系可找到 ME 与 MF 所成的角，然后利用余弦定 理求解即可
[解题方略] 证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面 平行(客观题常用)； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转 化进行证明．
所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以BD1∥C1D. BD1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D， 所以BD1∥平面AC1D， 又因为A1B∩BD1＝B， 所以平面A1BD1∥平面AC1D.
2.如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC
＝
1 2
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的
考法(二) 直线与平面平行性质定理的应用 [例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四 边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中 点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证：AP∥GH.
高中数学课件两个平面平行的判定与性质ppt课件.优秀文档PPT
定义
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．
提问：能否加上某些条件，从而由“线线平行”推出“面面平行”。
形式：讲述、提问、讨论
返回
过程分析 ——设计思路
问题： （1）若两条直线平行，则分别经过这两条直线的
(2)平面 BC CB内的直 BC 和 线 BC有什么关系？为
(3)若AA12，直A线 A和平A面 B所 C 成 NhomakorabeaC
3
的角6是 0，则两个平A行 B和 C平面A 2
B
ABC的距离是多少？
4C
1
A
B
课时小结
a
1.两个平面平行的性质
（1）一个结论 / /,a a/ /
面面平行
线面平行
（2）性质定理a/,/ba//b
②一条直线和两个平行平面相交,则此直线和两个平
面成等角;
③一条直线和两个平面成等角,则此两个平面平行;
④夹在两个平行平面间的两条线段长相等,那么这两
条线段平行.
A1 B2 C3 D4
巩固与拓展
3且.一不个为平零面,则上这不两同个的平三面点到另一个平面的距离( B相等)
A. 平行
B. 相交
C. 平行或重合
9.5.2两个平面平行的判定和性质
珲春一中 崔星
复习与引入
1.两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种 (1)两个平面平行——没有公共点 (2)两个平面相交——有一条公共直线．
l
符号表示 //
l
2.两个平面平行的判定
（1）判定定理：如果一
个平面内有两条相交直线
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理
例 1、【高清课堂：直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明：PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一：如图，取 B1B 中点 E,BC 中点 F，连接 PE、QF、EF， 因为在三角形 A1B1B 中，P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点，
举一反三： 【变式】（2015 春 澄城县期末）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED⊥面 ABCD，连结 AC，AC∩BD=O， （Ⅰ）求证：面 BCF∥面 AED； （Ⅱ）求证：AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高．
【证明】（Ⅰ）在矩形 BDEF 中，FB∥ED， ∵FB 不包含于平面 AED，ED 平面 AED， ∴FB∥平面 AED， 同理，BC∥平面 AED， 又 FB∩BC=B， ∴平面 FBC∥平面 EDA． （Ⅱ）解：∵ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∵ED⊥面 ABCD，AC 面 ABCD，
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2、 符号语言： 3、 面面平行的另一性质： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
符号语言：
．
要点诠释：
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
高中数学8-5-3平面与平面平行第2课时平面与平面平行的性质新人教A版必修第二册
(1) BD / / 平面EFG;
(2) AC / / 平面EFG.
(1) F ,G分别是BC, CD的中点, FG / / BD,
BD 平面EFG, FG 平面EFG,
BD / / 平面EFG
D
(2) E, F分别是AB, BC的中点, EF / / AC, AC 平面EFG, EF 平面EFG,
(4)正确
(5)正确
2. 平面与平面 平行的充分条件可以是( D )
A. 内有无穷多条直线都与 平行 B. 直线a / / , a / / , 且直线a不在内, 也不在内 C. 直线a , 直线b , 且a // , b / / D. 内的任何一条直线都与 平行
a
A错误
B错误
C错误
a b
3. 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中, M, N , E, F分别是棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点,求证：平面AMN / / 平面DBEF
连接B1D1,由已知得MN / / B1D1, EF / / B1D1, MN / / EF , MN 平面BDFE, EF 平面BDFE, MN / / 平面BDFE.
1．判断下列命题是否正确．若正确，则说明理由；若错误，则举出反例．
(1)已知平面与 和直线m, n, 若m , n , m / / , n / / , 则 / / .
(2) 若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一平面 , 则 / / .
(3) 平行于同一条直线的两个平面平行.
(2)显然正确；
位置关系, 并说明理由.
解：c / / , c / / a, 理由如下：
// , 又c ,c //
/ / , a, b, a / / b,
高中数学 2.2.2平面与平面平行的判定与性质 精品导学案
【学习目标】 1.能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题； 2.理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用； 3.掌握两个平面平行的性质定理； 4.灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化. 【学习重点】 平面与平面平行的判定与性质 【知识链接】 1：直线与平面平行的判定定理是 平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行 ，则该直线与此平面平行. 2：两个平面的位置关系有 两 种，分别为_平行_和_相交_. 【基础知识】 1.两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. （简记：线面平行，面面平行） 反思：⑴定理的实质是什么?
我们认识到：一个学校的发展，将取决于教师观念的更新，人才的发挥和校本培训功能的提升。多年 来，我们学校始终坚持以全体师生的共同发展为本，走“科研兴校”的道路，坚持把校本培训作为推动学 校建设和发展的重要力量，进而使整个学校的教育教学全面、持续、健康发展。反思本学期的工作，还存 在不少问题。很多工作在程序上、形式上都做到了，但是如何把工作做细、做好，使之的目的性更加明确， 是继续努力的方向。另外，我校的研修工作压力较大，各学科缺少领头羊、研修氛围有待加强、师资缺乏 等各类问题摆在我们面前。缺乏专业人员的引领，各方面的工作开展得还不够规范。相信随着课程改革的 深入开展，在市教育教学研究院的领导和专家的亲临指导下，我校校本研修工作一定能得以规范而全面地 展开。 “校本研修”这种可持续的、开放式的继续教育模式，一定能使我校的教育教学工作又上一个台 阶。
求证：平面 AMN ∥平面 EFDB .
N D F
C
A
M
B E
D C
A
高中数学《平面的基本性质》教案
高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。
让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。
1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。
平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。
平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。
1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。
讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。
引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。
2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。
平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。
2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。
讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。
讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。
讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。
3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。
平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。
3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。
讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。
讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。
4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。
平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。
高中数学人教A版必修二教师用书19-20 第8章 8.5.3 平面与平面平行
8.5.3平面与平面平行学习目标核心素养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能应用这两个定理解决问题．( 重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．( 难点)1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习,培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.1．平面与平面平行的判定( 1)文字语言:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行．( 2)符号语言:a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α⇒β∥α.( 3)图形语言:如图所示．2．平面与平面平行的性质定理( 1)文字语言:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行．( 2)符号语言:α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b.( 3)图形语言:如图所示．( 4)作用:证明两直线平行．思考:如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗?[提示]不一定．它们可能异面．1．已知平面α内的两条直线a,b,a∥β,b∥β,若要得出平面α∥平面β, 则直线a,b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．垂直A[根据面面平行的判定定理可知a,b相交．]2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面A[因为圆台的上、下底面互相平行,所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]3．已知平面α∥平面β,直线l∥α,则( )A. l∥βB. l⊂βC. l∥β或l⊂βD. l, β相交C[假设l与β相交,又α∥β,则l与α相交,与l∥α矛盾,则假设不成立,则l∥β或l⊂β.]4．已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD＝EF,平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′,则EF与E′F′的位置关系是( ) A．平行B．相交C．异面D．不确定A[由面面平行的性质定理易得．]平面与平面平行的判定【例11111A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证:( 1)E、F、B、D四点共面;( 2)平面MAN∥平面EFDB.[思路探究]( 1)欲证E、F、B、D四点共面,需证BD∥EF即可．( 2)要证平面MAN∥平面EFDB,只需证MN∥平面EFDB,AN∥平面BDFE即可．[详解]( 1)连接B1D1,∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点,∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．( 2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB,BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点,∴MF∥A1D1,MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形,∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE,DF⊄平面BDFE,∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M,∴平面MAN∥平面EFDB.平面与平面平行的判定方法:( 1)定义法:两个平面没有公共点．( 2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．( 3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.( 4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.1．如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形．点M,N,Q分别在P A,BD,PD上,且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.[证明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD,∴MQ∥AD,NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD,∴MQ∥BC.又∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC.又∵MQ∩NQ＝Q,∴平面MNQ∥平面PBC.平面与平面平行的性质[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些?[提示]必须具备三个条件:①平面α和平面β平行,即α∥β;②平面γ和α相交,即α∩γ＝a;③平面γ和β相交,即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．2．线线、线面、面面平行之间有什么联系?[提示]联系如下:【例2】如图,已知平面α∥平面β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且P A＝6,AC＝9,PD＝8,求BD的长．[详解]因为AC∩BD＝P,所以经过直线AC与BD可确定平面PCD,因为α∥β,α∩平面PCD ＝AB ,β∩平面PCD ＝CD ,所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PBBD ,即69＝8－BD BD .所以BD ＝245.1. 将本例改为:已知平面α∥β∥γ,两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6,DE DF ＝25,则AC ＝ .15 [由题可知DE DF ＝ABAC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15.]2．将本例改为:若点P 在平面α,β之间( 如图所示),其他条件不变,试求BD 的长．[详解] 与本例同理,可证AB ∥CD . 所以P A PC ＝PB PD ,即63＝BD －88,所以BD ＝24.3．将本例改为:已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ,直线a 与这三个平面依次交于点A、B、C,直线b与这三个平面依次交于点E、F、G. 求证:ABBC＝EFFG.[证明]连接AG交β于H,连BH、FH、AE、CG.因为β∥γ,平面ACG∩β＝BH,平面ACG∩γ＝CG,所以BH∥CG.同理AE∥HF,所以ABBC ＝AHHG＝EFFG.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤:平行关系的综合应用【例3】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M 是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:GH∥平面P AD.[证明]如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO.∵ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴P A∥MO,而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,∴P A∥平面BMD,又∵P A⊂平面P AHG,平面P AHG∩平面BMD＝GH,∴P A∥GH.又P A⊂平面P AD,GH⊄平面P AD,∴GH∥平面P AD.1．证明直线与直线平行的方法( 1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等,两直线平行;三角形中位线的性质;平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．( 2)基本事实4.( 3)线面平行的性质定理．( 4)面面平行的性质定理．2. 证明直线与平面平行的方法:( 1)线面平行的判定定理．( 2)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．如图,三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.求证:CD∥平面EFGH.[证明]由于四边形EFGH是平行四边形,∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面BCD＝CD,∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,∴CD∥平面EFGH.1．三种平行关系的转化.2．常用的面面平行的其他几个性质( 1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．( 2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．( 3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．( 4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例．( 5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．1．判断正误( 1)α内有无数多条直线与β平行,则α∥β.( )( 2)直线a∥α,a∥β.则α∥β.( )( 3)直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α,则α∥β.( )( 3)α内的任何直线都与β平行,则α∥β.( )[答案]( 1)×( 2)×( 3)×( 4)√2．a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是( )A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交D[如图①②③所示,a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①②③3．若平面α∥平面β,直线a⊂α,点M∈β,过点M的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D[由于α∥β,a⊂α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平行,故D项正确．] 4．用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H.若A1A>A1C1,则截面的形状可以为．( 填序号)①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形．②⑤[当FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时,四边形EFGH为梯形．]5．如图,在四面体ABCD中,点E,F分别为棱AB,AC上的点,点G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD .求证:BC＝2EF.[证明]因为平面EFG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG＝EG,平面ABD∩平面BCD＝BD,所以EG∥BD,又G为AD的中点,故E为AB的中点,同理可得,F为AC的中点,所以BC＝2EF.11。
高中数学直线、平面平行的判定与性质
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1 的中点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
1 (1)在△B1D1C1中得EF∥B1D1且EF= 2 B1D1 在正方体中得 1 BD������ B1D1 EF∥BD且EF= BD 四边形BDFE为梯形 2
证明 证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接 MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN, ∴ = = = ,∴ = , 又AB=DC, ∴PM������ QN,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.§8Leabharlann 4直线、平面平行的判定与性质
知识清单
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ; (2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交 线平行.
∴ = ,
∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
方法 2 判定或证明面面平行的方法
1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面.
高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】 因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形， 所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ， 又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
平面与平面平行-高中数学知识点讲解
平面与平面平行
1．平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理 1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理 2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理 3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
1/ 1。
高中数学 -空间立体几何中的平行、垂直证明定理总结 (1)
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.
空间中的平行与垂直 定理总结
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
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γ
a
b
α
βБайду номын сангаас
举例
例1 求证: 夹在两个平行平面间的
平行线段相等.（证明略）
A
D
B
C
例2如图, // , AB // CD,且A,C ,
B,D.
求证：AB CD.
AC
证 明 ：因 为AB // CD， B D 所 以 过AB，CD可 作 平 面， 且 平 面与 平 面和分 别 相 交 于AC和BD. 因 为 // ， 所 以BD // AC . 因 此 ， 四 边 形ABCD是 平 行 四 边 形. 所 以, AB CD
小结
1. 复习平面与平面平行的概念 及判定 2. 学习并掌握平面与平面平行 的性质
作业
课本第61页练习 习题2.2 A组7题，8题
平面与平面 平行的性质
引入
1、什么叫两平面平行？
2、两平面平行的判定定理？ 一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行，则这两个平面平行.
3、推论: 如果一个平面内的两条相交直线分别
平行于另一个平面内的两条直线,那么这 两个平面平行.
平面与平面平行的性质
若 // ，且 a,则与 的位置关系如何？
(A)1种 (B) 2种 (√C)3种 (D)4种
举例
例2 如图,设AB、CD为夹在两个平行
平面 之间的线段,且直线AB、CD为异面直
线,M、P 分别为AB、CD 的中点，
求证:直线MP // 平面 .
A
C
NP
M
D
B
证 明: 连 接BC， 设 其 中 点 为N， 连 接MN，NP，MP 在BCD中 ，NP//BD， NP//平 面 在BCA中 ，NM//AC， NM// 平 面 平 面 // 平 面 NM // 平 面 NM与NP相 交 于 点N 平 面PNM // 平 面 直 线MP // 平 面
设 b，则直线a、b的位置 关系如何？为什么？
平面与平面平行性质
性质定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交, 那么它们 的交线平 行.
αa
β
b
γ
练习 (1)设 // ，A，过点A作直线
l // ,则l与的位置关系如何？为什 么？
αA l
β
(2) 若平面α、β都与平面γ相交，且交 线平行，则α∥β吗？
归纳
两个平面平行的其它性质
性质：夹在两个平行平面间的平行 线段相等．
性质：经过平面外一点有且只有一 个平面和已知平面平行.
练习
1. 经过平面外两点可作该平面的平行平 面的个数为（ ）
(A) 0 (B) 1 (√C) 0或1 (D) 1或2
2. 平面M∥平面N,直线a M,直线b N, 下面四种情形: (1)a ∥ b (2)a ⊥ b (3)a与b异面 (4)a与b相交 其中可能出现的情形有 ( )