平面与平面平行的性质

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面面平行的判定与性质

面面平行的断定与性质
假如一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。

假如一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。

面面平行的断定定理1、假如两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

2、假如一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

3、假如一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

面面平行的性质定理定理1
两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

证明：设α∥β，a?α，那么a∥β
∵α∥β
∴α与β无交点
又∵a?α
∴a与β无交点
即a∥β
定理2
两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。

假如交线不平行的话，设交线交点为P，那么P属于两条交线，即P属于两个平行平面，这是不可能的事情。

所以交线必定平行。

直线与平面、平面与平面平行的性质定理

(2)平行线的作法：先作平面，再作线。
(3)线线平行
线面平行
（4）证明面面平行的思路：
线面平行
面面平行
如图，已知 a∥ b， a∥ , b ，a
求证：b∥平面
证明：过a 作平面β交平面于直线 c
∵a∥ 线面平行的
∴a∥c
性质定理
又 ∵a∥b
β b
a
c
∴b∥c
b ,
c
b∥ .
线面平行的判定定理
问题：
（1）两个平面平行，它们一个平面内的直线与另一平面位置关系如何？
（2）两个平面平行，它们两个平面内直线的位置关系如何？
(4).过平面外一点与这平面平行的直线有多少条？
例1.如图，一块木料中，棱BC平行于面A1C1 （1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
D1
F
P
C1
A1
DE
C B1
A
B
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面
作业：
1、习题2.2 A组 4，5 ，6 B组 3
一、复习提问：
(1). 直线和平面有哪些位置关系?
a
a
a
α
α
A
α
直线在平面α内a
α
有无数个交点
直线与平面α相交a 直线与平面α平行 ∩ α= A 有一个交 a∥α 无交点点
直线与平面关系可分两大类：a , a
（1）证明线面平行思路：找平行线
1
（1）怎样判定直线和平面平行？
①定义. （线面无交点线面平行） ②判定定理（线线平行线面平行）.

教案平面与平面平行的判定和性质

平面与平面平行的判定和性质一、教学目标1. 让学生理解平面与平面平行的概念。

2. 引导学生掌握平面与平面平行的判定方法。

3. 让学生了解平面与平面平行的性质。

4. 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 平面与平面平行的概念2. 平面与平面平行的判定方法3. 平面与平面平行的性质4. 应用实例三、教学重点与难点1. 教学重点：平面与平面平行的判定方法，平面与平面平行的性质。

2. 教学难点：如何运用判定方法和性质解决实际问题。

四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过观察实物模型，理解平面与平面平行的概念。

2. 运用讲解法，引导学生掌握平面与平面平行的判定方法。

3. 运用案例分析法，让学生通过分析实际案例，了解平面与平面平行的性质。

4. 运用练习法，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过展示实物模型，引导学生思考平面与平面之间的关系，引出平面与平面平行的概念。

2. 讲解判定方法：讲解平面与平面平行的判定方法，引导学生通过观察实物模型，理解判定方法。

3. 讲解性质：讲解平面与平面平行的性质，引导学生通过观察实物模型，理解性质。

4. 应用实例：分析实际案例，让学生运用所学知识解决实际问题。

5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 总结与拓展：总结本节课所学内容，引导学生思考平面与平面平行在实际中的应用价值。

7. 布置作业：布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价目标：检查学生对平面与平面平行的判定和性质的理解程度。

2. 评价方法：通过课堂提问、作业批改、课后练习等方式进行评价。

3. 评价内容：a. 学生是否能准确描述平面与平面平行的概念。

b. 学生是否能运用判定方法正确判断平面与平面是否平行。

c. 学生是否能理解并应用平面与平面平行的性质解决实际问题。

七、教学反思1. 反思内容：a. 教学方法是否适合学生的学习需求。

高中数学-直线与平面平行、平面与平面平行的性质

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【证明】证法一：如图所示，分别取ＡＡ１，A1B1 的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，ＮＱ，ＭＰ.
∵Ｐ，Ｑ分别是面ＡＡ１Ｄ１Ｄ，面A1B1C1D1的中点，
∴ＭＰ∥AD, MP=
ＮＱ＝
1 2
Ａ１Ｄ１.
1 2
AD,NQ∥A1D1，
∴ＭＰ∥ＮＱ且ＭＰ＝ＮＱ.
∴四边形ＰＱＮＭ为平行四边形.
∴ＰＱ∥ＭＮ.
∵MN AA1B1B，
∵CQ∥
∴CQ∥MN.
∵ＥＦ是△ABC的中位线，∴Ｍ是ＰＣ的中点，
则Ｎ是ＰＱ的中点，即ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分.
【点评】Ｐ，Ｃ，Ｑ三点所确定的辅助平面是解决本题的核心.有了面ＰＣＱ，就有了连接ＣＤ与面ＥＦＧＨ的桥梁，线面平行的性质才能得以应用.
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如图2-3-4所示，已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G 和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
.
∴AC∥MN∥AC,且AC＝ 13ＡＣ.
∴AC∥平面ＡＢＣ.
同理，A′B′∥平面ＡＢＣ.
又∵AC∩A′B′=A′,
∴平面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥平面ＡＢＣ.
1
1
（２）同理A′B′= AB3 , B=C BC3 ，
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴S△A′B′C′
S△ABC =1：9.
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1.如何理解线面平行的性质定理？
表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一边或平行四边形内的一条线段平行.
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2.如何理解两个平面平行的性质定理？
平面平行的性质是根据面面平行、线面平行、线线平行的定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与平面平行和平面与平面平行，或者反过来由后者判定前者，是立体几何最基本又最常见的一类问题.证明线面平行往往转化为证明面面平行.

2.2.4平面与平面平行的性质2

（1）：平面和平面的位置关系有哪些？
L
α∥β
α∩β= L
(2):平面和平面平行的判定定理是什么？
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两 b
α
d
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
是α上的点，线段AB、AC、AD交于E、F、G
点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
B C D
a
α
E
F
G
A
10
小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
求证：MN∥平面PBC。
N D C
E
A B
M
7
已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，画出过G和AP的平面。
P
M
G
D
C
H
A
O
B
8
练习：点P在平面VAC内，画出过点P作一个截面平行于直线VB和AC。 V
F P G B H A
9
E
C
如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D
面面平行性质定理: 面面平行
线面平行如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
11
课外作业： 1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交 α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，

两个平面平行的性质

抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
平面是经过点A与直线b的平面. 设 a // a a // b b a l a l

l

b
lbl

a
A
例1 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
l
β
这个结论可作为两个平面平行的性质 3
两个平面平行的性质
复习：
1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定方法
（a）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。（定义）（b) 两上平面平行的判定定理——两条相交直线都平行于另一个平面（c) “例1”——垂直于同一条直线的两个平面平行 (d) “例2”——平行于同一个平面的两个平面平行
BD, 且 //
AE // BD

B
D
证明：连结 DM并延长交于E，连AE、CE AB DE M AB和DE可确定一个平面
AE, BD, 且 //
AE // BD
M是AB的中点 AEM BDM DM ME, M 又 DN NC, MN // EC, 又 EC ，MN B MN //
E A
C
N
D
两个平面平行的性质

两平面平行的判定方法

两平面平行的判定方法平面几何中，两平面平行是重要的概念，因为它涉及到许多实际问题，例如建筑、地图制作和制造业。

在本文中，我们将讨论10种不同的方法来判断两个平面是否平行，并提供详细说明。

1. 平行线性质法确定两个平面是否平行的最简单方法之一是检查它们所包含的直线。

如果两个平面包含两组平行直线，则这两个平面平行。

这被称为平行线性质。

平面上的平行线永远不会相交，而它们的距离始终相等。

2. 夹角相等法两个平面平行的另一种方法是它们的夹角相等。

当两个平面之间的夹角相等时，它们被认为是平行的。

这里需要注意的是，夹角是指两个平面的法线之间的角度。

3. 垂线判定法如果一条直线是第一个平面上的一条直线，并且以该直线垂直于第二个平面，则第一个平面和第二个平面是平行的。

垂线判定法基于这个原理。

这可通过将两个平面移到同一位置并在它们之间引入垂线来证明。

4. 辅助平面法辅助平面法是一种使用第三平面来判断两个平面平行的方法。

如果两个平面与第三个平面平行，则它们彼此平行。

该方法特别适用于设计要求多个平面平行的情况，例如构建多层建筑物。

5. 截线判定法如果一条直线是第一个平面和第二个平面上的两条直线的截线，则这两个平面平行。

截线判定法基于这个概念。

如果相交的两条线都是平面上的同一直线的截线，则这两个平面平行。

6. 倾斜角相等法倾斜角相等法是一种快速确定两个平面是否平行的方法。

如果两个平面的倾斜角相等，则这两个平面是平行的。

这种方法只能用于倾斜角相等的情况。

7. 向量法向量法是另一种判断两个平面是否平行的方法。

如果两个平面的法线向量相同，则它们是平行的。

将两个平面的向量相减，如果它们的值为零，则它们平行。

8. 距离法距离法是判断两个平面平行的一个简单方法，它基于平面之间的平行线性质。

如果两个平面的法线距离相等，则这两个平面平行。

用法线测量两个平面之间的距离，以确定它们是否平行。

9. 投影法投影法可以通过平面上点的投影来确定两个平面是否平行。

教案平面与平面平行的判定和性质

平面与平面平行的判定和性质第一章：教案简介本章将介绍教案平面与平面平行的判定和性质。

通过本章的学习，学生将能够理解并应用平面与平面平行的判定条件，掌握平面与平面平行的性质，并能够运用这些知识解决实际问题。

第二章：平面与平面平行的判定1. 判定条件一：如果两个平面的法向量互相平行，则这两个平面平行。

2. 判定条件二：如果一个平面经过另一个平面的法向量，则这两个平面平行。

3. 判定条件三：如果两个平面相交于一条直线，且这条直线垂直于两个平面的法向量，则这两个平面平行。

第三章：平面与平面平行的性质1. 性质一：平面与平面平行时，它们的法向量互相平行。

2. 性质二：平面与平面平行时，它们的法向量垂直于它们的交线。

3. 性质三：平面与平面平行时，它们的交线平行于它们的法向量。

第四章：应用举例1. 例一：给定两个平面，如何判断它们是否平行？2. 例二：给定一个平面和一条直线，如何判断这条直线是否与平面平行？3. 例三：给定两个平面和它们的交线，如何判断这两个平面是否平行？第五章：练习题1. 判断题：如果两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面平行。

（对/错）2. 判断题：如果一个平面经过另一个平面的法向量，则这两个平面平行。

（对/错）3. 判断题：如果两个平面相交于一条直线，且这条直线垂直于两个平面的法向量，则这两个平面平行。

（对/错）4. 应用题：给定两个平面，它们的法向量分别为向量A和向量B。

判断这两个平面是否平行，并说明理由。

5. 应用题：给定一个平面P和一条直线L。

已知平面P的法向量为向量A，直线L的方向向量为向量B。

判断直线L是否与平面P平行，并说明理由。

第六章：教案平面与平面平行的判定和性质的综合应用1. 综合应用一：如何判断一个平面是否平行于另一个平面的交线？2. 综合应用二：如何判断一条直线是否与另一个平面平行？3. 综合应用三：如何判断两个平面是否平行，并确定它们的交线？第七章：教案平面与平面平行的判定和性质的证明题1. 证明题一：已知平面P和Q，证明平面P与平面Q平行的条件是它们的法向量互相平行。

面面平行的性质

B C Da
α E FG
A
练：A、B是不在直线l上的两点，则过点A、B 且与直线l平行的平面的个数是（ D ）
A．0个
B．1个
C．无数个 D．以上三种情况均有可能
小结与归纳
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面中的直线必平行于另一个平面；
2、平行于同一平面的两平面平行；
3、夹在两平行平面间的平行线段相等。
β
答:两条交线平行.
α
a
b
下面我们来证明这个结论
如图，平面α，β，γ满足α∥β，
α∩γ＝a,β∩γ=b，
求证：a∥b
证明：∵α∩γ=a,
β∩γ=b
∴aα，bβ
a
α
∵α∥β ∴a，b没有公共点，
又∵ a，b同在平面γ内，
b
β
∴ a∥b
面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行.
2.2.4 平面与平面平行的性质
复习回顾：
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
探究新知
探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
a
异面直线
平行直线
探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？
探究新知
探究3:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？
用符号语言表示性质定理：
/ /
a,
b
a//b
想一想：这个定理的作用是什么?
由平面与平面平行得出直线与直线平行
平行于同一个平面的两个平面平行.
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α∥β

平面和平面平行的判定与性质

a

a

(两平面平行)
(两平面相交)
2若内有两条直线a, b分别与平行,
则与平行吗？
1 若a // b时，则与平行吗？
0

a
b

a
b

(两平面平行)

(两平面相交)
2若内有两条直线a, b分别与平行,
则与平行吗？
2 若a b P时，则与平行吗？
0
b

P

A
AB AB AB∥AB
AABB是平行四边形 AA BB.
∥
AA∥BB
定理的应用
例1 如图 : 已知正方体
ABCD A1B1C1D1.
D1 C1
1 1
求证: 平面B1 AD1 // 平面BC1D. B A 证明:∵ ABCD A1B1C1 D1为正方体 ∴D1C1// AB ，且 D1C1 = AB， D A B ∴D1C1AB为平行四边形，则D1A//C1B. 又D1 A 平面C1BD，C1B 平面C1BD，
判定定理剖析：
1〉两条条件要点：内有2〉相交直线 3〉分别和平行结论： //
b

P
a

证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.
化归思想
化归思想
面面平行
线面平行
定理的应用
例1、已知:三棱锥P-ABC中，D,E,F分别
两个重要结论：
结论1：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线一定平行于另一个平面。结论2:
平行于同一个平面的两个平面平行。
// // //

平面与平面平行的判定和性质

a'
b
δ
γ
'
a
b
证明：因为证明：因为AA’ ⊥ α，β⊥AA’，， ⊥ ，所以AA’ ⊥ a， AA’ ⊥ a’ 所以，所以a 所以 ∥ a’， a’ ∥ α ，同理 b’ ∥ α a 又因为a’交为又因为交b’为A’ b' 所以 α∥β ∥ δ
γ
a
'
b
例2 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．的一个平面，它也垂直于另一个平面．
一般画法
错误画法
3．平面与平面平行的判定定理．（1）判定定理：）判定定理： ①文字语言：如果一个平文字语言：两条相交直线都平面内有两条相交面内有两条相交直线都平行于另一个平面，行于另一个平面，那么这两个平面平行. 两个平面平行 ②图形语言：图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言：， b//β α//β. ⇒
两个平面平行的判定和性质
三. 平面与平面平行 1. 平行平面：如果两个平面没有公共点，平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α//β. 那么这两个平面叫做平行平面记作两个平面的位置关系
两平面平行
两平面相交
2. 平行平面的画法：在画两个平面平行平行平面的画法：画法时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线平行线. 形的相邻两边分别画成平行线
a ⊂α ⇒ l ⊥ a l ⊥α ∴l ⊥ b
两个平行平面的公垂线、两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离和两个平行平面α 和两个平行平面α，β同时垂直的直线l，同时垂直的直线，叫做这两个平行平面α 叫做这两个平行平面α，β的公垂线它夹在这两个平行平面间的部分叫做这两个平行平面的公垂线段两个平行平面的公垂线段我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离

平面与平面平行的性质

平面与平面平行的性质¤知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.2. 其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒； ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等.¤例题精讲：【例1】如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.【例2】如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．【例3】如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 、G 是侧面对角线上的点，且BE CF AG ==，求证：平面EFG ∥平面ABC .【例4】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，面对角线1AB ，1BC 上分别有两点E 、F ，且11B E C F =. 求证：EF ∥平面ABCD .直线与平面垂直的判定¤知识要点：1. 定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.¤例题精讲：【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且EF AC =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD .【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值.【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 垂心.βαENM D B C A G NM FE E C D B A D 1C 1B 1A 1【例4】已知Rt ABC ∆，斜边BC //平面α，,A α∈ AB ，AC 分别与平面α成30°和45°的角，已知BC =6，求BC 到平面α的距离.平面与平面垂直的判定¤知识要点：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）2. 二面角的平面角：在二面角l αβ－－的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 范围：0180θ︒<<︒.3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直→面面垂直）¤例题精讲：【例1】已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P .（1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF .BDAE FGEDC 1B 1A 1CBA【例2】如图, 在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA == ,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGD .【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求证：1A BD BED ⊥平面平面． C 1B 1CBA α【例4】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=2AB ，D 、E 分别是侧棱BB 1、CC 1上的点，且EC =BC =2BD ，过A 、D 、E 作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.线面、面面垂直的性质¤知识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直→线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥，则a β⊥.（面面垂直→线面垂直）¤例题精讲：【例1】把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？【例2】如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC . （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.【例3】三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==,PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的外心.【例4】三棱锥P ABC -中，三个侧面与底面的二面角相等，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的内心.小结：1、证明两直线平行的主要方法是：①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半； ②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；④平行线的传递性：c a b c b a ////,//⇒⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；⑥垂直于同一平面的两直线平行；2、证明两直线垂直的主要方法： ①利用勾股定理证明两相交直线垂直； ②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； ③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，④利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。

平面与平面平行的性质教育教学设计

平面与平面平行的性质教育教学设计一、教学目标：1.理解平面与平面平行的概念；2.掌握平面与平面平行的性质；3.能够应用平面与平面平行的性质解决相关问题。

二、教学重点和难点：1.教学重点：通过实例和图示，帮助学生理解平面与平面平行的概念；2.教学难点：引导学生能够灵活应用平面与平面平行的性质解决相关问题。

三、教学过程：导入（5分钟）1.教师出示两张图纸，其中一张上画有两个平面，另一张上画有两个不平行的平面，让学生观察，并说出哪个图纸上的平面平行。

2.引导学生总结平面与平面平行的概念。

学习与讨论（15分钟）1.利用实例展示平面与平面平行的性质。

例如，水平面与一块平台上的水平面平行，或铁轨上的平面与地面平行。

2.让学生观察平行平面上的直线与另一个平面的关系，并引导学生发现性质：“平行平面上的任意一条直线与另一个平面相交，其上的点都与另一个平面上的直线平行。

”3.引导学生思考，两个平行平面的相交线是什么关系？探究得出结论：“两个平行平面的相交线与这两个平面上任选的一条直线平行。

”并进行归纳。

拓展运用（25分钟）1.继续利用实例展示平行平面与其他平面的关系。

例如，铁轨与地面的关系、公路桥与公路的关系等。

2.利用画板或幻灯片，教师可以设置一些练习题，如：(1)已知平行平面P和直线a，点A在直线a上且不在平面P上，过点A作平行平面P的垂线，交平面P于B和C，连接线段BC，试问线段BC与直线a的位置关系是什么？(2)已知平行平面P和直线a，线段AB在直线上，且与平面P相交于点P，连结点P与直线上的另一点C，垂直于平面P的平面与线段AC相交于点D，试问线段BD与直线a的位置关系是什么？3.引导学生利用平面与平面平行的性质解决问题。

小结与拓展（10分钟）1.教师对本课内容进行小结，概括平面与平面平行的性质，并强调应用该性质解决问题的方法。

2.小组合作讨论，学生互相出题并解答，巩固对平面与平面平行的理解。

3.学生自主探究：引导学生在日常生活中寻找平行平面的实例，提高学生对平面与平面平行性质观察的能力。