高二数学椭圆的标准方程及性质同步讲义
3.1.1椭圆及其标准方程-高二数学课件
且经过点( , − )，求它的标准方程.
练习巩固
练习5 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的
垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的
中点M的轨迹是什么？为什么？
练习巩固
练习6 设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0). 直线AM,BM
相交于点M，且它们的斜率之积是- ，求点M的轨迹方程.
(0,-b) (0,b)
a,b,c关系
F1(0,-c)，F2(0,c)
2c
(0,-a) (0,a)
(-b,0) (b,0)
a>b>0，且a2=b2+c2
三、焦点三角形
P
焦点三角形：由椭圆上一个点P及两个
焦点构成的三角形
F1
O
F2
Q
三角形PF1Q：由椭圆的一个焦点和过焦点的弦构成的三角形
练习巩固
椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2a > 2c
椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
练习1 平面内有一长度为4的线段AB，动点P满足
|PA|+|PB|=6，则点P的轨迹是( C
A.直线
B.射线
C.椭圆
)
D.圆
练习巩固
练习2
椭圆
+
= 的焦点坐标为( C )
A.(5,0) (-5,0)
B.(0,5) (0,-5)
2020年高二上学期数学人教旧版选修2-1(全)：椭圆的方程及其性质-《讲义教师版》
椭圆的方程及其性质知识集结知识元椭圆的定义知识讲解1．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 叫椭圆的离心率．3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为（）A．2B．2C．5 D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣＝，离心率e＝，再由椭圆的第二定义得＝e＝，∴点P到右准线的距离d＝5，故选C．点评：本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质．例题精讲椭圆的定义例1.（2020秋∙兴庆区校级期末）点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求M的轨迹．【答案】详见解析【解析】题干解析:设d是点M到直线l：x=的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合P={M|=}，（4分）由此得=．将上式两边平方，并化简，得9x2+25y2=225．即+=1．（9分）所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．（12分）例2.已知P为⊙B：（x+2）2+y2=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．【答案】详见解析【解析】题干解析:（1）圆C的圆心为B（-2，0），半径r=6，|BA|=4。
高二数学选修2-1 第三章 第1节 椭圆北师大版(理)知识精讲
高二数学选修2－1 第三章 第1节 椭圆北师大版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 椭圆的标准方程及其几何性质二、教学目标：1、熟练地掌握椭圆的定义及标准方程的形式，能根据已知条件求出椭圆的标准方程。
2、掌握椭圆简单的几何性质，理解椭圆的准线、离心率、焦点，定义椭圆的方法及椭圆的参数方程的应用。
3、理解用方程的思想、函数的思想、数与形结合、分类讨论的思想及参数法、待定系数法等数学思想方法解决椭圆的有关问题。
三、知识要点分析： （一）椭圆的基本概念1、椭圆的第一定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的集合叫椭圆。
点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a>|F 1F 2|}（1）到两个定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2｜的点的集合是线段F 1F 2. （2）到两个定点F 1，F 2的距离之和小于｜F 1F 2｜的点的集合是空集。
椭圆的第二定义：平面内一动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数e 的点的集合叫椭圆。
点集M={P ｜}1e 0,e d|PF |<<= 2、椭圆的标准方程：)0(,12222>>=+b a b y a x （焦点在x 轴上），22221c b a ).0,c (F ),0,c (F =-- )0(,12222>>=+b a ay b x （焦点在y 轴上），22221c b a ).c ,0(F ),c ,0(F =-- 3、点),(00y x P 与椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的位置关系。
点1by a x )0b a (1b y a x )y ,x (P 220220222200<+⇔>>=+内部在椭圆点1by ax )0b a (1by ax )y ,x (P 22022222200=+⇔>>=+上在椭圆点1b y a x )0b a (1b y a x )y ,x (P 220220222200>+⇔>>=+外部在椭圆4、椭圆的参数方程：椭圆12222=+b y a x 上任意一点P （x ，y ），则R b y a x ∈⎩⎨⎧==θθθ,sin cos（二）椭圆的几何性质：焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形性质X 围 |x|≤a ，|y|≤b|x|≤b ，|y|≤a对称性关于x 轴、y 轴、坐标原点对称 顶点A 1（－a ，0） A 2（a ，0）B 1（0，－b ） B 2（0，b ） A 1（0，－a ） A 2（0，a ） B 1（－b ，0） B 2（b ，0）离心率离心率e=ac，0<e<1，（焦距与长轴的比）（对椭圆定型） 准线 x=ca 2±y=ca 2±焦点半径公式|0201||,|ex a PF ex a PF -=+=|0201||,|ey a PF ey a PF -=+=注：1、在确定椭圆的标准方程时若不能确定焦点的位置，可进行讨论焦点：在x 轴上、y 轴上的两种情形或把所求的椭圆标准方程设为：),0,0(,122B A B A By Ax ≠>>=+ .2、与椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 共焦点的椭圆可设为：kb y k a x +++2222=1，（a>b>0）3、椭圆上任意一点P 到焦点F 的距离的最大值是|PF|=a+c ，最小值是|PF|=a －c .4、椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之积的最大值是a 2，此时P 点与椭圆的短轴的两端点重合5、注意利用平面几何知识解决椭圆问题。
椭圆及其标准方程教学课件 高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)
相交于点M , 且它们的斜率之积是 , 求点M的轨迹方程.
9
解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得
k AM
y
y
,k BM
( x 5).
x5
x5
y
y
4
由已知，有
( x 5)，
x5 x5
9
x2
y2
化简，得点M的轨迹方程为
1 ( x 5).
x2 y2
所以设它的标准方程为 2 2 1(a b 0).
a
b
2
2
x
y
由椭圆的定义知c 2, 所以a 2 b 2 c 2 b 2 4, 所以 2
2 1,
b 4 b
25
9
5 3
将 , 代入, 得 2
2 1, 整理得 2b 4 9b 2 18 0,
距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹
是什么曲线?
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?
通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：
移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值, 并且这个定值大
25 100
9
点M的轨迹是除去( 5, 0),(5, 0)两点的椭圆.
A
y
M
•
O
B
x
归纳总结
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几
椭圆的简单几何性质 2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第一册)
3.1.2 椭圆的简单几何性质课程标准核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质．2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.直观想象 数学运算知识点1 椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 范围－a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0),_ B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a ),B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 长轴长＝2a ，短轴长＝2b焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0) 离心率 e ＝ca (0<e <1)（注：e ＝1－b 2a2＝11＋b 2c2.）注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a ＋c ，最小值为a －c .(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a 为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．(6)椭圆的离心率e 的大小反映椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 拓展：用离心率e ＝ca来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆．(7)常用椭圆方程的设法①与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为：12222=+++m b y m a x )(2b m ->②有相同离心率：k b y a x =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）或k bxa y =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）【即学即练1】求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 【解析】把已知方程化成标准方程为x 281＋y 29＝1，于是a ＝9，b ＝3，c ＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝223.两个焦点的坐标分别为F 1(－62，0)，F 2(62，0)，四个顶点的坐标分别为A 1(－9,0)，A 2(9,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)．【即学即练2】椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±10,0) B ．(±69，0) C ．(0，±13)D ．(0，±69)【解析】由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．故选D【即学即练3】已知椭圆2222:1(0)1+=>+x y C a a a 的短轴长和焦距相等，则a 的值为（ ） A ．1 B 2 C ．32D 3【解析】由题设易知：椭圆参数b c =，即有2221+-=a a a ，可得1a =． 故选：A【即学即练4】比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y 25＝1的形状，则________更扁(填序号)．【解析】x 2＋9y 2＝36化为标准方程为x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1＞e 2，故①更扁．【即学即练5】焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D ．x 2＋y 24＝1 【解析】依题意，得a ＝2，a ＋c ＝3，故c ＝1，b ＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x 24＋y 23＝1.故选A【即学即练6】与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 【解析】椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为 x 2＋y 26＝1.故选B【即学即练7】若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为________．【解析】∵椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴1m ＝2，∴m ＝14. 【即学即练8】椭圆C ：2221(3)3x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，经过点1F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2ABF 的周长为16，则椭圆C 的离心率为（ ） A 13B 11C ．12D 3【解析】由题可知416a =，即4a =，所以椭圆C 的离心率16313e -==. 故选：A.【即学即练9】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由椭圆的定义得122PF PF a +=，又∵213PF PF =，∵132PF a =，212PF a =，而12122PF PF F F c -≤=，当且仅当点P 在椭圆右顶点时等号成立，即31222a a c -≤，即2a c ≤，则12c e a =≥，即112e ≤<.故选：D ．知识点2 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【即学即练10】已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上【解析】D【即学即练11】已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( ) A ．1 B ．1或2 C ．2D ．0【解析】因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点．故选C知识点3 直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系，判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y 得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．【即学即练12】对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0. Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．【即学即练13】若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63C ．±63D ．±33【解析】把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1，得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63. 故选C知识点4 直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.注：（1）已知弦AB 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一条弦，中点M 坐标为00(,)x y ，则AB 的斜率为2020b x a y -，运用点差法求AB 的斜率，设11(,)A x y ，22(,)B x y ；A 、B 都在椭圆上，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 即22012122212120b x y y x x b x x a y y a y -+=-⋅=--+，故2020AB b x k a y =- （2）弦AB 的斜率与弦中心M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值：22ab -【即学即练14】已知椭圆x 225＋y 216＝1，过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】易求得a ＝5，b ＝4，所以|AB |＝2b 2a ＝2×425＝325.【即学即练15】已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12【解析】由题意知，S △ABF ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.故选D【即学即练16】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为45的直线与椭圆C 交于,A B 两点，若()3,2M -为线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率是（ ） A 3B ．12C ．25D 5【解析】设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，因直线AB 的倾斜角为45，即直线AB 的斜率为12121y yx x -=-，又()3,2M -为线段AB 的中点，则126x x +=-，124y y +=，因此有22460a b -=，即2223b a =，所以椭圆C 的离心率222231a b b e a --. 故选：A【即学即练17】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________.【解析】由题意可得2231c b e a a ==-6a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122*********y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+. 故答案为：1-.考点一 由标准方程研究几何性质解题方略：用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出a ，b ，c ； (4)写出椭圆的几何性质．注：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．【例1-1】已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．【解析】(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35；(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝35.【例1-2】椭圆2213x y m+=-的一个焦点坐标为()0,1-，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．4- D ．2-【解析】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y 轴上，所以有31m --=，解得4m =-． 故选：C.变式1：已知椭圆2214x y m+=的焦距为3m 的值不可能为（ ） A ．1B ．7C ．1-D 7【解析】由题知，3c若4m >，则2a m =，24b =，所以7m =，即7m =±；若4m <，则24a =，1b m ==，即1m =±. 故选：D【例1-3】【多选】已知椭圆222212:55,:11612+=+=x y C x y C ，则（ ） A ．12,C C 的焦点都在x 轴上 B ．12,C C 的焦距相等 C ．12,C C 没有公共点D ．2C 比1C 更接近圆【解析】对于A ，因为椭圆1C 的标准方程为2215y x +=，所以1C 的焦点在y 上，所以A 不正确；对于B ，因为椭圆1C 的焦距为2514-，椭圆2C 的焦距为216124-=，所以B 正确； 对于C ，作出椭圆12,C C 的图象，由图象可知，椭圆12,C C 没有公共点，所以C 正确；对于D ，因为椭圆1C 的离心率为125=e ，2C的离心率为22142==e ，所以12e e >，所以D正确. 故选：BCD.变式1：已知椭圆22194x y +=与椭圆()221494x y k k k +=<--，则下列结论正确的是（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等【解析】∵4k <，9k ∴->40k ->且9(4)94k k ---=-，∴椭圆22194x y +=与椭圆221(4)94x y k k k +=<--的关系是有相等的焦距． 故选：C ．考点二 利用几何性质求标准方程解题方略：利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca 等．注：（1）与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为：12222=+++mb y m a x)(2b m ->（2）有相同离心率：k b y a x =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）或k bxa y =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）【例2-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解析】(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5. 又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，则c ＝b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.变式1：已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．【解析】∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1.解得a 2＝45.∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝1变式2：若直线240x y ++=过椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ） A ．22142x y +=B ．221164x y += C ．221416x y +=D ．221129x y +=【解析】直线240x y ++=交x 轴于(4,0)-，交y 轴于(0,2)-，依题意，4,2a b ==， 所以椭圆方程为221164x y +=. 故选：B变式3：古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在y 轴上，椭圆C 的面积为23π，且短轴长为23C 的标准方程为（ ） A ．22112x y +=B ．22143x y +=C ．22134x y +=D ．221163x y +=【解析】因为椭圆C 的焦点在y 轴上，故可设其方程为22221y xa b+=，根据题意可得23ab ，223b =，故可得2,3a b ==， 故所求椭圆方程为：22134x y +=.故选：C.变式4：已知F (3,0)是椭圆的一个焦点，过F 且垂直x 轴的弦长为3（ ）A ．245x + 236y = 1B ．236x + 227y = 1C ．227x + 218y = 1D ．218x + 29y = 1【解析】依题意2222324333,32c ba b a a b c=⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪=+⎪⎩所以椭圆方程为2212718x y +=.故选：C考点三 点与椭圆的位置关系解题方略：点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1. （一）点和椭圆位置关系的判断【例3-1】点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为（ ）A ．在椭圆上B ．在椭圆内C ．在椭圆外D ．不能确定【解析】1151326+=<，可知点(1,1)在椭圆内．故选：B.（二）根据点和椭圆位置关系求参数【例3-2】点(),1A a 在椭圆22142x y +=的外部，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,2B ．(),22,-∞-⋃+∞C ．()2,2-D ．()1,1-【解析】因为点(),1A a 在椭圆22142x y +=的外部，所以21142a +>,解得(2)(2)a ∈-∞+∞，，,故选：B.变式1：若点()1,A m 在椭圆22:142x y C +=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6,6B ．66⎛ ⎝⎭C ．66,,2⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．33⎛ ⎝⎭【解析】221142m +<，所以66m ⎛∈ ⎝⎭，故选：B.（三）点和椭圆位置关系的应用【例3-3】若直线9mx ny +=和圆229x y +=没有公共点，则过点(),P m n 的直线与椭圆221109x y +=的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定【解析】因为直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点， 所以圆心()0,0到直线90mx ny +-=的距离2293d m n-=>+，可得：229m n +<，即点(,)m n 在圆229x y +=内，又因为圆229x y +=内切于椭圆221169x y +=，所以点(),m n 在椭圆221169x y +=内， 即过点(),m n 的直线与椭圆221169x y +=有两个交点.故选：C.变式1：已知椭圆2214x y +=经过点(),P m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(]0,4C ．[)4,+∞D ．[]1,4【解析】因为椭圆2214x y +=经过点(),P m n ，所以2214m n +=，所以2214m n =-，则2222231144m m m n m +=+-=+． 因为椭圆2214x y +=经过点(),P m n ，所以22m -≤≤，即204m ≤≤，故22m n +的取值范围是[]1,4． 故选：D ．考点四 求椭圆的离心率解题方略：求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围． （一）求椭圆的离心率【例4-1】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64【解析】如图，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.变式1：若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )A.1617 B.41717C.45D.255【解析】依题意得c ＋b 2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝c a ＝2b 5b ＝255.故选D.变式2：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12【解析】如图，∵AP ―→＝2PB ―→，∴OA ＝2OF ，∴a ＝2c ，∴e ＝12.故选D变式3：已知椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线y ＝b 相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，如果△AOB 是等边三角形，那么椭圆E 的离心率等于( )A.36B.34C.33D.32【解析】不妨设点B 在第一象限，则B ⎝⎛⎭⎫bc a ，b ，由题意知OB 的倾斜角是60°，所以b bc a＝a c＝3，则椭圆的离心率e ＝c a ＝33.故选C.变式4：F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A.22B.24C.12D.32【解析】如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，P (－c ，m )．∵OP ∥AB ，∴△PFO ∽△BOA ， ∴c a ＝mb ，①又∵P (－c ，m )在椭圆上，∴c 2a 2＋m 2b 2＝1，②将①代入②得2c 2a 2＝1，即e 2＝12，∴e ＝22，故选A.变式5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，2BF 的延长线交C 于Q ，1BQ FQ =，则C 的离心率e =（ ） A ．12B ．23C ．22D ．33【解析】由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，可得：()()()120,,,0,,0B b F c F c -.如图示：1212,BF BF a OF OF c ====. 设2QF m =，则1FQ BQ a m ==+. 由椭圆的定义可得：122FQ F Q a +=，即2a m m a ++=，解得：12m a =. 所以在1BQF 中，1133,,22BF a BQ a FQ a ===，所以1111122cos 332BF aQBF BQ a ∠===. 在12BF F △中，1212,2BF BF a F F c ===，所以()222111cos cos 22cos 121b F BF OBF OBF a ⎛⎫∠=∠=∠-=- ⎪⎝⎭.所以21213b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22222113c b e a a ==-=，所以e =3e =3. 故选：D变式6：椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B ．22C ．12D ．13【解析】设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率2231c b e a a =- A.变式7：已知直线l ：)3y x c =+过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，与椭圆在x 轴上方的交点为P ，Q 为线段PF 的中点，若OQ c =，则椭圆的离心率为（ ） A 31- B 31 C 2D ．12【解析】直线l ：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，设椭圆的右焦点为M ，所以60PFM ∠=︒，又O 是FM 的中点，Q 是PF 的中点，所以1||||2OQ PM =，又||OQ c =，所以||2PM c =，又||2FM c =，所以PFM △是等边三角形， 所以||2PF c =，又P 在椭圆上，所以||||222PM PF a c c +==+， 所以24a c =，所以离心率为12c e a ==， 故选：D ．（二）求椭圆的离心率的取值范围【例4-2】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． 【解析】依题意可得2c ≥2b ，即c ≥b . 所以c 2≥b 2，从而c 2≥a 2－c 2， 即2c 2≥a 2，e 2＝c 2a 2≥12，所以e ≥22. 又因为0<e <1，所以椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1.变式1：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解析】设P (x ，y )，由∵APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22. ∵y 2＝ax －x 2.∵又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.∵把∵代入∵化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∵x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∵0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∵e >22. 又∵0<e <1，∵22<e <1. 变式2：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，对于C 上的任意一点P ，圆222:O x y b +=上均存在点M ，N 使得60MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．3⎛ ⎝⎦B ．3⎡⎢⎣C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】如上图，当P 位于右端点（做端点也相同），如果60MPN ︒∠≥，则对于C 上任意的点P ，在圆O 上总存在M ，N 点使得60MPN ︒∠= ，此时，130,sin 2b MPO MPO a ︒∠≥∠=≥ ，222332,,4c b a e e a ∴≥=≤≤ ； 故选：A.变式3：已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左､右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相交，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．6⎛ ⎝⎭B ．6⎫⎪⎪⎝⎭C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭. 【解析】由题设，以线段12A A 为直径的圆为222x y a +=，与直线20bx ay ab -+=相交， 22a ab <+，可得222233()b ac a =-<，即223e >，又01e <<， 61e <<. 故选：B变式4：已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点M是C 上点（不在坐标轴上），点N 是2OF 的中点，若MN 平分12F MF ∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为O 是12F F 的中点，N 是2OF 的中点，所以123NF NF =， 因为MN 平分12F MF ∠，所以12MF MF =123NF NF =，因为122MF MF a +=，所以132aMF =，22a MF =，由32a a c a c -<<+（或2a a c a c -<<+），得椭圆C 的离心率12c e a =>，又1e <，所以椭圆C 的离心率的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ．（三）由椭圆的离心率求参数（范围）【例4-3】已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12.求k 的值．【解析】分两种情况进行讨论．(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，由a 2＝k ＋8，b 2＝9，得 c 2＝k －1.∵e ＝12，∴k －1k ＋8＝14，解得k ＝4.(2)当椭圆的焦点在y 轴上时， 由a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k . ∵e ＝12，∴1－k 9＝14.解得k ＝－54.综上可得，k ＝4或k ＝－54.变式1：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为13，则a b =（ ）A ．98B 32C ．43D 32【解析】因为22213c a b e a a -=，则2289a b =，所以32a b = 故选：D变式2：设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,3)B.⎝⎛⎭⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞D ．(0,2)【解析】当0＜k ＜4时，e ＝ca ＝4－k 2∈⎝⎛⎭⎫12，1，即12＜4－k 2＜1⇒1＜4－k ＜4，即0＜k ＜3； 当k ＞4时，e ＝c a ＝k －4k∈⎝⎛⎭⎫12，1，即12＜k －4k ＜1⇒14＜k －4k ＜1⇒14＜1－4k ＜1⇒0＜4k ＜34⇒k ＞163.综上，实数k 的取值范围为(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞. 故选C考点五 直线与椭圆的位置关系解题方略：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． 【例5-1】直线21y x =-与椭圆22194x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解析】220111944+=<，()0,1∴-在椭圆内， 21y x =-恒过点()0,1-，∴直线21y x =-与椭圆22194x y +=相交.故选：A.变式1：若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．【解析】∵直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)． 由题意知，点A 在椭圆x 25＋y 2m ＝1内或椭圆上，∴025＋12m ≤1，∴m ≥1. 又椭圆焦点在x 轴上∴m <5， 故m 的取值范围为[1,5).变式2：若直线2y kx =+与焦点在x 轴的椭圆()2221016x yb b+=>恒有两个公共点，则实数b的范围_____．【解析】直线2y kx =+恒过定点()0,2，要保证直线与椭圆有两个公共点，定点需在椭圆内，∴2041,216b b+<∴>，又∵椭圆的焦点在x 轴上，∴()2164,2,4b b b <⇒<∴∈． 故答案为：(2，4)﹒变式3：已知过圆锥曲线221x y m n +=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n+=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=【解析】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A -的切线l 的方程为()31124y x -+=，即40x y --=，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=--，即20x y +-=.故选：B考点六 弦长及中点弦问题解题方略：解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.（一）弦长问题【例6-1】已知斜率为1的直线l 过椭圆22143x y +=的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为（ ） A ．207B ．227C ．247D ．267【解析】由椭圆知，224,3a b ==，所以21c =， 所以右焦点坐标为()1,0，则直线l 的方程为1y x =-， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，27880x x --=，则121288,77x x x x +=⋅=-，所以()222121288241424777AB k x x x x ⎛⎫=++-⋅=+⨯ ⎪⎝⎭. 即弦AB 长为247. 故选：C.变式1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，左焦点、右顶点和下顶点分别为,,F A B ，坐标原点O 到直线AB 45FAB 的面积为（ ） A ．3B ．4C ．423+D ．43-【解析】设(),0F c -，由题意可知()(),0,0,A a B b -，其中2a b =， 所以AB 的方程为1x ya b+=-，即220x y b --= 所以原点O 到直线AB 2455b -=，所以2b =，即4a =，2223c a b -； 所以直线AB 的方程为240x y --=， 所以()23,0F -到直线AB 23442355--+=；又()()220025AB a b =-++所以FAB 的面积为42342351252+⨯+= 故选：C.变式2：已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝423，求k 的值．【解析】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329.化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.变式3：过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．【解析】过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3. 答案：4,3（二）中点弦问题【例6-2】若直线l 与椭圆22162x y +=交于点A 、B ,线段AB 的中点为(1,1)P ,则直线l 的方程为( )A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【解析】设()()1122,,,A x y B x y .则222211221,16262x y x y +=+= 两式相减得()()()()12121212062x x x x y y y y +-+-+=即1212121211062y y y y x x x x +-+⋅⋅=+- 因为,线段AB 的中点为(1,1)P ,所以12122,2y y x x +=+= 所以121213ABy y k x x 所以直线l 的方程为()1113y x -=--,即340x y +-= 故选: A变式1：若过椭圆22142x y +=内一点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）A ．102x y --= B ．302x y +-=C ．3202x y --= D ．20x y -=【解析】设弦AB 被P 点平分，弦的两个端点,为1111(,),(,)A x y B x y ，则2211142x y +=，2222142x y += ， 两式作差变形可得22221212042x x y y --+= ,即121212122()4()y y x x x x y y -+=--+ ， 而12122,1x x y y +=+= ， 故12121y y x x -=--，即弦AB 的斜率为-1， 所以弦AB 的方程为1(1)2y x -=-- ，即302x y +-= ， 故选：B.变式2：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________. 【解析】由题意可得2231c b e a a ==-6a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y a b -+-+=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122*********y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+. 故答案为：1-.变式3：直线AB 过椭圆22142x y +=内一点()1,P n ，若点P 为弦AB 的中点，设1k 为直线AB 的斜率，2k 为直线OP 的斜率，则12k k ⋅的值为（ ） A ．12-B ．3C ．12D ．2【解析】设点()11,A x y 与()22,B x y ， 则1212x x +=，122y y n +=，所以12112y y k x x -=-，121212122212y y y y nx x k x x ++===++，又点A 与B 在椭圆上，所以2211142x y +=，2222142x y +=， 作差可得22221212042--+=x x y y ， 即()2222121212y y x x -=--， 所以()()()()22121212122212121212y y y y y y k k x x y y x x -+-⋅===----， 故选：A.考点七 求椭圆的参数或范围问题【例7-1】已知椭圆22143x y +=上存在关于直线2y x m =+对称的点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,34⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设椭圆上关于直线2y x m =+的对称的两点分别为()()1122,,,C x y D x y ， CD 的中点为()00,G x y ，直线CD 的方程为12y x n =-+， 联立直线CD 与椭圆的方程，得2214312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消元可得2230x nx n -+-=， ()222431230n n n ∴∆=--=->， 12x x n +=，24n ∴<，02n x =， 001324y x n n ∴=-+=，3,24n G n ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又点G 在直线2y x m =+上，3242nn m ∴=⨯+，4n m ∴=-，()244m ∴-<，解得1122m -<<，所以实数m 的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C变式1：已知点P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，则当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标可以为______．【解析】设00(,)P x y ，由题意可知120PF PF ⋅<，即((22212000003330⋅=⋅+=+-<PF PF x x y x y ．因为点P 在椭圆上，所以22014x y =-，所以22001304x x ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭，解得02626x <<0x 可以取1（只要在262633⎛- ⎝⎭内即可）． 故答案为：1（答案不唯一）．变式2：已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在无数个点P ，满足：12π2F PF ∠>，则ba的取值范围为（ ） A ．3⎛ ⎝⎭B ．3⎫⎪⎪⎝⎭C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭【解析】设椭圆的半焦距为c ，因为C 上存在无数个点P 满足：12π2F PF ∠>， 所以以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点， 所以c b >，所以222a b b ->，所以20b a < 故选：D变式3：椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[3-，1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1[4，3]4B ．1[2，3]4C ．1[2，1]D ．3[4，1]【解析】由题意得：由椭圆22:143x y C +=可知其左顶点1(2,0)A -，右顶点2(2,0)A ．设0(P x ，00)(2)y x ≠±，则得2020344y x =--． 记直线1PA 的斜率为1k ，直线2PA 的斜率为2k ，则201220344y k k x ==-- 直线2PA 斜率的取值范围是[3-，1]-， ∴直线1PA 斜率的取值范围是1[4，3]4故选：A考点八 求椭圆的最值问题解题方略：求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．【例8-1】椭圆22143x y +=上的点P 到直线l ：30x y ++=的距离的最小值为（ ） A 37-B 37+ C 3214- D 3214+ 【解析】由222cos 1433x x y y θθ=⎧⎪+=⇒⎨=⎪⎩，设(2cos 3)P θθ， 设点P 到直线l ：30x y ++=的距离d ， 所以有222cos 3sin 37sin()37sin()32211d θθθϕθϕ++++++===+其中23tan (0,))2πϕϕ=∈， 所以当2()2k k Z πθϕπ+=-∈时，d 3732142--=，故选：C变式1：已知动点(,)P x y 在椭圆22198x y 上，若A 点坐标为()1,0，1AM =，且0PM AM ⋅=，则PM 的最小值为（ ） A ．3B 2C ．2D 3【解析】因为0PM AM ⋅=，所以PM AM ⊥，即PAM △为直角三角形，即21PM AP =-，要使得PM 最小，则2AP 最小，[]22222281||(1)21829,3,399x PA x y x x x x x =-+=-++-=-+∈-，则2AP 的最小值为21323949⨯-⨯+=，即PM 的最小值为413- 故选：D变式2：已知F 为椭圆:C 2214x y +=的右焦点，,P Q 为椭圆C 上两个动点，且满足FP FQ ⊥，则FP QP ⋅的最小值为（ ） A 3B ．2C ．73-D ．23【解析】由题意得，由FP FQ ⊥,得0FP FQ ⋅=， 则222()EP QP FP FP FQ FP FP FQ FP FP ⋅=⋅-=-⋅==, 设(,)P x y (22x -≤≤)，由(3,0)F ，得(3,)FP x y =， 则2222221(3)(3)(1)(34)44x FP x y x x =+=+-=-，又22x -≤≤，由二次函数的性质可知，22min 1()(324)7434FP =-=-所以EP QP ⋅的最小值为73- 故选：C.考点九 椭圆的定点、定值问题【例9-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b +=>>经过点(21)A ， ，离心率为2，过点(30)B ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值 【解析】（1）由题意椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(21)A ， 2，可得222224112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得6,3a b =，故椭圆C 的方程为22163x y +=（2）由题意可知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-， 由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(12)121860k x k x k +-+-=，由于直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，则42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<， 设1122(,),(,)M x y N x y ,则2212122212186,1212k k x x x x k k -+==++， 11(3)y k x =-22(3)y k x =-， 故121221121211(31)(2)(31)(2)22(2)(2)AM AN y y kx k x kx k k x k x x x x -----+---+=+=---- 121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++=-++2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++2244222k k -+==--， 即AM AN k k +为定值.变式1：已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+，证明：四边形OPMQ 的面积为定值． 【解析】（1）依题意1c =，又190AF B ∠=︒，所以1b c ==， 所以222a b c +， 所以椭圆方程为2212x y +=.（2）证明：设(),M x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，因为OM OP OQ =+，所以四边形OPMQ 为平行四边形，且1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，所以()()22121212x x y y +++=，即2212112122221222x x y y x x y y ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎭+ ⎝⎝+⎭=⎪， 又221112x y +=，222212x y +=，所以121212x x y y +=-， 若直线PQ 的斜率不存在，M 与左顶点或右顶点重合， 则2P Q x x ==3P Q y y ==所以16222OPMQ P P S x y =⨯⨯=若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx t =+，代入椭圆方程整理得()222124220k xktx t +++-=，所以()228210k t ∆=+->，122412kt x x k -+=+，21222212t x x k -=+，所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t222222241212t kt k kt t k k --⎛⎫=⋅+⋅+ ⎪++⎝⎭所以()22222224212211212t kt k kt t k k --⎛⎫+⋅+⋅+=- ⎪++⎝⎭， 整理得22412t k =+，又()22221281211k t PQ k x k +-=+-=+又原点O 到PQ 的距离21t d k =+所以2212122POQk t t SPQ d +-⋅==， 将22412t k =+代入得22362POQt t S ⋅==所以62PO OP Q QM SS == 综上可得，四边形OPMQ 6 变式2：已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）由右顶点是M （2，0），得a ＝2，又离心率12c e a==，所以1c =， 所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在．直线l 的方程为()4y k x =-，联立方程组()224,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩ 消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，由0∆>，得1122k -<<，所以21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+．因为点()22,D x y -，所以直线AD 的方程为()()1211124y y y x x k x x x +=-+--． 又()12128y y k x x +=+-， 所以直线AD 的方程可化为()()()()()1121212121218424kx x x k x x x ky x x x x +---=++--， 即()()()()()()()2222121212424241434343k k ky x x x x k x x k x x k =-=--+-+-+， 所以直线AD 恒过点（1，0）．（方法二）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4x my =+，联立方程组224,3412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()223424360m y my +++=， 由0∆>，得2m >或2m <-，所以1222434m y y m +=-+，1223634y y m =+． 因为点()22,D x y -，则直线AD 的方程为()121112y y y x x y x x +=-+-． 又()12121244x x my my m y y -=+--=-， 所以直线AD 的方程可化为。
椭圆的标准方程和性质ppt课件
课堂练习
已知，曲线方程
x2 y2 k4 6k
1
（1）当k为何值时，表示圆；
（2）当k为何值时，表示椭圆；
（3）当k为何值时，表示焦点在x轴上的椭圆。
新授
二、椭圆的性质：
新授
二、椭圆的性质：
新授
(4)离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e c
叫做椭圆的离心率。
a
e越趋近于1，则c越趋近于a，从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
a2 b2
1(a b 0) 上的一点，F1, F2
为椭
圆的两焦点，若 PF1 PF2 ，试求：
（1）椭圆的方程；
（2）PF1F2 的面积。
课堂练习
设椭圆C：ax22
y2 b2
1(a
b
0)
过点（0,3），其离心率为
4 5
。求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）过点（4,0），且斜率为 3 的直线被椭圆C所截得的线段的
的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点。
焦点
标准方程的推导
新授 一、椭圆的标准方程
推导：
新授 一、椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1
(a b 0)
焦点的坐标
焦距
问题解决
例题讲解
例1.平面内两个定点的距离是8，求到这两个定点的距离的和是10的
点的轨迹方程。
例2.分别求椭圆A：x2 y2 1 与椭圆B： x2 y2 1 的焦点。
43
34
x2 y2 想一想：过椭圆 9 5 1 的右焦点 F2作x轴的垂线，交椭圆于A，B两
点，F1 是椭圆的左焦点，你能求出AF1F2 的周长吗？ ABF1 的周长呢？
高二数学椭圆标准方程苏教版知识精讲
高二数学椭圆标准方程苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：椭圆标准方程二. 重点、难点：教学重点：1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．2、通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．3、通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．教学难点：坐标系的建立与椭圆标准方程的推导．二. 主要知识点1、椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：（1）需加限制条件：“在平面内”．（2）若常数＝|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在．2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设| F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．（2）点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P＝{M||MF1|+|MF2|＝2a}．（32a=（4）化简方程22221x ya b+=（其中a2＝b2+c2）3. 两种标准方程的比较【典型例题】例1、平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程． 分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程． 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F 1、F 2表示．取过点F 1和F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．∵2a ＝10，2c ＝8．∴a ＝5，c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．∴b ＝3 因此，这个椭圆的标准方程是1352222=+y x ，即192522=+y x 请大家再想一想，焦点F 1、F 2放在y 轴上，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，轨迹方程是什么形式呢？192522=+x y ． 变式1、已知B 、C 是两个定点，∣BC ∣＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程．分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单．在图中，由△ABC 的周长等于16，∣BC ∣＝6可知，点A 到B 、C 两点的距离之和是常数，即∣AB ∣+∣AC ∣＝16－6＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例2要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确地得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.变式2、过椭圆4x 2+y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2的周长是多少？解：根据题意画出图形y 1 F 2Ax－1O F 1 B －21 21∵|AF 1|+|AF 2|＝2|BF 1|+|BF 2|＝2∴|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|＝4 即|AB |+|AF 2|+|BF 2|＝4变式3、如果椭圆152522=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长为多少？解：根据题意画出图形，其中F 2是椭圆的另一个焦点，由椭圆定义得： |MF 2|+|MF 1|＝2×5＝10 又|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8 ∵ON 是△MF 1F 2的中位线 ∴|ON |＝4评述：对于例1可以通过分别求出A 、B 两点的坐标从而求出△ABF 2的周长．对于例2可以通过求M 点坐标，再求N 点坐标，从而求ON 的长度．但通过利用定义求出结果的这种方法可以使我们去繁就简，其巧妙之处大家也深有感触．可见寻求简捷的解法应成为我们不断探索的动力．例2. 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，求线段PP '中点M 的轨迹．解：设点M 的坐标为（x ，y ），点P 的坐标为（x 0，y 0），则 x ＝x 0，y ＝2y ． 因为P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2＝4上，所以x 02+y 02＝4． ① 将x 0＝x ， y 0＝2y 代入方程①， 得 x 2+4y 2＝4即 42x + y 2＝1所以点M 的轨迹是一个椭圆．（如图）说明：①本题在求点M （x ，y ）的轨迹方程时，不是直接建立关于x ，y 之间关系的方程，而是先寻找x ，y 与中间变量x 0，y 0之间的关系，利用已知关于x 0，y 0之间关系的方程，得到关于x ，y 之间关系的方程．这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法．②如果求得点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆． ③由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆． 变式1、已知F 是椭圆25x 2+16y 2＝400在x 轴上方的焦点，Q 是此椭圆上任意一点，点P 分QF 所成的比为2，求动点P 的轨迹方程.解：把已知椭圆方程变为.1251622=+y x.31625,16,252222=-=-=∴==b a c b a从而焦点F 的坐标为（0，3） 设点P 坐标为（x ，y ），Q 点的坐标为（x 1，y 1）， 则 25x 12+16y 12＝400 ①由P 分QF 所成比为2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅+=+⋅+=.2132,210211y y x x ∴x 1＝3x ，y 1＝3y －6 代入①得： 225x 2+144y 2－576y +176＝0.说明：例4在求解曲线轨迹的过程当中，也使用到了利用中间变量求轨迹的方法．变式2、在椭圆191622=+y x 内，内接三角形ABC ，它的一边BC 与长轴重合，A 在椭圆上运动，试求△ABC 的重心轨迹．分析：直接寻找三角形ABC 的重心P 的轨迹较为困难，而A 在椭圆上运动，可将点P 转移到A 来讨论．解：设重心P （x ，y ）及A （x 1，y 1），则AO 是三角形ABC 的中线，根据三角形重心公式与定比分点定义，有λ＝32-=AP OA ，则有：x 1＝x x 3231230=-- y 1＝y y3231230=-- ∵A 点在椭圆上 ∴19)3(16)3(22=+y x∴191622=+y x 是所求点的轨迹方程， 且所求点的轨迹方程是一个中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．例3、已知F 1、F 2是椭圆16410022=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上任一点．（1）若∠F 1PF 2＝152522=+y x ，求△F 1PF 2的面积.（2）求|PF 1|·|PF 2|的最大值． 分析：（1）如果设P （x ，y ），由P 点在已知椭圆上且∠F 1PF 2＝3π，利用这两个条件，列出关于x ，y 的两个方程，解出x ，y ，再求△F 1PF 2的面积，这种思路虽简单清晰，但运算量大，过程繁琐，须另寻捷径，不妨利用椭圆定义去求，如果考虑到∠F 1PF 2＝3π，和三角形面积公式S ＝3πabsinC ，只要求得|PF 1|·|PF 2|，问题就可以解决了． （2）继续利用椭圆定义及均值不等式定理即可求出|PF 1|·|PF 2|的最大值． 解：（1）设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据椭圆定义，有m +n ＝20，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：m 2+n 2－2mncos3π＝122∴m 2+n 2－mn ＝144 ∴（m +n ）2－3mn ＝144∴202－3mn ＝144∴mn ＝3256∴2121=∆PF F S |PF 1||PF 2|sinF 1PF 2∴33642332562121=⋅⋅=∆PF F S（2）∵a ＝10，根据椭圆定义有： |PF 1|+|PF 2|＝20∴|PF 1|+|PF 2|≥221PF PF ∴|PF 1||PF 2|≤（100)220()22221==+PF PF∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时“＝”号成立 ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值是100评述：对解题方法的灵活选择，运用自如，是建立在扎实的基本功和基本技能的基础上形成的一种能力，教学中应引起我们的重视．【模拟试题】一、选择题：1. 方程2222)2()2(y x y x ++++-＝10，化简的结果是 [ ]A . 1162522=+y xB . 142522=+y xC . 1212522=+y xD . 1212522=+x y2. 若点P 到两定点F 1（－4，0），F 2（4，0）的距离和是8，则动点P 的轨迹为[ ] A . 椭圆 B . 线段F 1F 2 C . 直线F 1F 2 D . 不能确定3. 下列说法正确的个数是 [ ]①平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆②与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆③方程122222=-+c a y c x （a >c >0）表示焦点在x 轴上的椭圆 ④方程12222=+bx a y （a >0，b >0）表示焦点在y 轴上的椭圆A . 1B . 2C . 3D . 44. 椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 [ ]A . 5或3B . 8C . 5D . 16 5. 若椭圆2kx 2+ky 2＝1的一个焦点是（0，－4），则k 的值为 [ ]A . 32B . 8C .81D .321 6. 过点（3，－2）且与14922=+y x 有相同焦点的椭圆是 [ ]A . 1151022=+y xB . 110022522=+y xC . 1101522=+y xD . 122510022=+y x7. α)2,0(π∈，方程sin αx 2+cos αy 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为[ ]A . （0，4π） B . （0，2π） C . （4π，2π） D . [4π ，2π] 8. 椭圆ax 2+by 2+ab ＝0（a <b <0）的焦点坐标是 [ ]A . （)0,b a -±B . （0，b a -±）C . （0，a b -±）D . （a b -±，0）二、填空题：9. 如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离 ；10. 方程131||22=++-a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________； 11. 动点M 到两个定点A （0，－49），B （0，49）的距离的和是225，则动点M 的轨迹方程是 ；12. 已知椭圆12222=+bx a y （a >b >0）F 1，F 2是它的两个焦点，AB 是过点F 1的直线AB 被椭圆截得的线段长，则△ABF 2的周长为 ．三、解答题：13. 椭圆的两个顶点坐标分别为（－3，0），（3，0），且短轴长是长轴长的13，求椭圆方程．14. 已知方程（2－k ）x 2+ky 2＝2k －k 2表示椭圆，求实数k 的取值范围． 15. 已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，点A （－1，0），点C 的坐标为（1，0），求顶点B 的轨迹方程．[参考答案]http//二、填空题9. 14； 10. （－3，－2）； 11. 1341662522=+y x ； 12. 4a三、解答题13. 解：当焦点在x 轴上时，可设椭圆方程为22221x y a b+=（a >b >0），则223,31119223a a x y b b a =⎧=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨==⨯⎩⎪⎩椭圆方程为． 当焦点在y 上时，可设椭圆方程为12222=+bx a y （a >b >0），则223,3119981223b b x y a b a =⎧=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨==⨯⎩⎪⎩椭圆方程为． 14. 解：原方程可化为2212x y k k+=-， ∴当焦点在x 轴上时k >2－k >0．1<k <2． 当焦点在y 上时，2－k >k >0 0<k <1． 综上得0<k <1或1<k <2． 15. 解：2b ＝a +c 而b ＝2．a +c ＝4，即AB ＋BC ＝4（＞AC ），根据定义知顶点B 的轨迹为椭圆．设椭圆方程为22221x y m n +=（m >n >0），则2m ＝4，m ＝2， 又m 2－n 2＝1∴n 2＝3故所求的椭圆方程为22143x y +=． 但a >b >c ，同时又有△ABC 这两个条件的限制，应该满足a >2>c ．所求轨迹为椭圆位于y 轴左边且去掉与x 轴的交点．即22143x y +=（－2<x <0）．。
高二数学 椭圆的定义、标准方程及几何性质知识精讲 文 新人教实验B版选修1-1
高二数学 椭圆的定义、标准方程及几何性质 文 新人教实验B 版【本讲教育信息】一. 教学内容：椭圆的定义、标准方程及几何性质二. 本周学习目标掌握椭圆的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求椭圆的方程，掌握椭圆的几何性质。
了解椭圆的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，了解椭圆的一些实际应用，掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和椭圆的位置关系的一些问题。
三. 知识点精析 （一）椭圆的定义1、第一定义：平面内与两个定点为F 1，F 2的距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
特别地，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹。
2、第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线l 的距离之比等于常数e(0﹤e ﹤1)的点的轨迹，叫做椭圆，定点F 叫椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线。
e 叫椭圆的离心率。
椭圆有两个焦点，两条准线。
该定义中的焦点和准线具有“对应性”，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
（二）椭圆的标准方程及几何性质1 中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上 标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数方程 ⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x 为参数) ⎩⎨⎧==θθθ(sin cos a y b x 为参数) 图 形顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2说明：方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 22、椭圆焦点三角形：设P 为椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝θ，则△PF 1F 2为焦点三角形，S ＝b 2tan 2θ。
高二同步课程数学讲义：椭圆及其方程【学生版】
高二同步课程数学讲义“椭圆及其方程”1、掌握椭圆的标准方程及其推导2、探究椭圆的几何性质，并初步运用性质解题。
1、已知一个动圆与圆C：（x+4）²+y²=100相内切，且过点A（4，0），求这个动圆的圆心M轨迹方程。
2、过点P（0）作直线L交椭圆11x²+y²=9与M、N两点。
当直线L的倾角是何值时，以MN为直径的圆恰好通过椭圆中心？知识点一：椭圆的定义与标准方程✧1：椭圆的定义平面内动点P到两定点F1，F2的距离之和为常值且这个常值大于两点的直线距离|F1F2|的P 点之轨迹叫椭圆，F1F2叫椭圆的焦点，|F1F2|叫焦距。
|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2| ↔点P的轨迹是椭圆|PF1|+|PF2|=2a=|F1F2| ↔点P的轨迹是线段F1F2|PF1|+|PF2|=2a<|F1F2| ↔点P的轨迹不存在✧2：椭圆的标准方程椭圆的标准方程为22221x ya b+=（a>b>0）（焦点在x轴上），或22221y xa b+=（a>b>0）（焦点在y轴上）注：①以上方程中a>b>0，其中c²=a²-b²；②若P是椭圆22221x ya b+=上的点，F1、F2为焦点，在△PF1F2中常利用余弦定理和三角形面积公式，将有关线段|PF1|、|PF2|、2c，有关角F1PF2结合起来，建立|PF1|+|PF2|，|PF1|×|PF2|等关系。
知识点二：椭圆的几何性质✧1：椭圆的标准方程及几何性质注：在研究椭圆性质时要注意：先定位后定量。
2：椭圆的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（即椭圆的离心率，e=c/a ）的点的集合（定点F 不在定直线上，0<e<1）。
其中定点为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线。
对于22221x y a b +=，左准线L1：x=-2a c ；右准线L2：x=2a c对于22221y x a b +=，下准线L1：y=-2a c ；上准线L2：y=2a c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称。
高二数学讲义椭圆标准方程(精品-原创有答案)
高二数学讲义第六讲 椭圆的标准方程知识梳理1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段；12220220022a c a c F F a c >>⇔⎫⎪=>⇔↔⎬⎪<<⇔⎭椭圆线段无意义，轨迹不存在 数形结合 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆，(椭圆的焦半径公式：|PF 1|=a+ex 0, |PF 2|=a-ex 0)。
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:○2、参数方程：cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⎩),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔5.几个概念： ①通径：2b 2a ; ③点与椭圆的位置关系： ④22221x y a b+=上任意一点P 与两焦点21,F F 构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形. ⑤弦长公式：；⑥椭圆在点P （x 0，y 0)处的切线方程：00221x x y ya b+=; ○7基本三角形：中心焦点短轴顶点这三点构成椭圆的基本三角形。
高二数学人选修课件时椭圆及其标准方程
利用极坐标处理问题
极坐标基本概念
极坐标是一种用极径和极角表示平面上任意一点位置的 方法。对于椭圆问题，可以通过极坐标将椭圆方程转化 为关于极径和极角的方程。
极坐标的应用
利用椭圆的极坐标方程，可以解决与椭圆相关的面积、 周长、切线等问题。同时，极坐标也可以用于描述椭圆 的形状和大小，如长短轴、离心率等。
抛物线
抛物线是由平面截圆锥得到的另一种二次曲线。其标准方程为$y^2 = 4px$或$x^2 = 4py$，其中$p > 0$。抛物线具有一条对称轴和一个焦点，其准线平行于对称轴且与焦点距离为$p$。
THANKS
感谢观看
两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距 ，用2c表示。
椭圆上任意一点性质
到两焦点的距离之和等于长轴长
对于椭圆上任意一点P，有|PF1| + |PF2| = 2a。
到焦点的距离与到准线的距离之比等于离心率
对于椭圆上任意一点P和任一焦点F，有|PF| / d = e，其中d是点P到对应准线的距离，e是椭圆的离心 率。
02
椭圆标准方程求解方法
直接代入法求解
方程形式
对于形如$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$的椭圆方程，可以通过直接代入法求 解。
求解步骤
首先根据椭圆的标准方程，将方程化为标准形式，然后直接代入点的坐标进行 求解。
配方法求解
方程形式
对于不能通过直接代入法求解的椭圆 方程，可以采用配方法进行求解。
拓展延伸：其他二次曲线简介
双曲线
与椭圆类似，双曲线也是由平面截圆锥得到的二次曲线。其标准方程为$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$或$frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$，其中$a, b > 0$。双曲线具有两支 ，分别位于两条渐近线的两侧。
高二数学椭圆及其标准方程及几何性质人教版 知识精讲
高二数学椭圆及其标准方程及几何性质人教版【同步教育信息】一 本周教学内容：椭圆及其标准方程及几何性质二 重点、难点1 椭圆定义及标准方程定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两点F 1F 2称为椭圆焦点。
两焦点的距离|F 1F 2|称为椭圆的焦距。
注意： （1）定义用集合语言，平面内点集x a y ba b 222210+=>>()x b y aa b 222210+=>>()由图，⇒≤≤||||x a y b⇒≤≤||||x a y b，（）离心率4l ca=椭圆标准方程为，，，x y a b c 22541521+====（）由定义：，1||||||||A F A F a B F B F a 121222+=+=∴++=+++==||||||||||||||A F B F A B A F A F B F B F a 221212445（）直线：，由211452022A B y x y x x y =+=++=⎧⎨⎩得981602y y --=设，，，，则A x y B x y y y y y y y ()()||()1122121221248910-=+-=∴=+=+=-=S S S F F y y c y y F A B A F F B F F ∆∆∆21212128910121212||(||||)||对于（），可设所求方程为或11122222222x a y b y a xb+=+=x y y x 222214837152131+=+=或对于（），可设椭圆方程为212222x a yb+=由题意，，，c b c a b c =∴===+=3318222∴+=所求椭圆方程为x y 221891已知椭圆经过点，和点，，求它的标准方程。
()221142--⎛⎝ ⎫⎭⎪两种情况讨论。
但我们若设椭圆标准方程为，，当x A yBA B A B22100+=>>>()设椭圆的标准方程为，x A yBA B 22100+=>>()椭圆经过，和，两点()221142--⎛⎝⎫⎭⎪∴⋅+⋅=+⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪412111172112A B A B()()()()241123⨯-=，得B∴=1143B ()()()31118代入得，A =∴+=所求椭圆的方程是x y22841∴=-+=||||||||M A a M B M A M B a22，即 ||A B a a=<2则动点所在椭圆的方程为M x ay a 2222341+=椭圆在轴上的顶点为，，，y a a 032032⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪易知面积的最大值为∆M A B S a a a m a x=⨯⨯=1232342已知直线和椭圆交于、若以为直径y x x m ym m A B A B =-+-=>111122(),的值。
高二数学暑假讲义 第五节 椭圆的定义与标准方程
高二数学暑假讲义 第五节 椭圆的定义与标准方程本节目标：掌握椭圆的定义与标准方程 基础知识：1.________________________________________________________________________________叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的__________，两焦点的距离叫椭圆的___________，若为椭圆上任意一点，则有________________.2.椭圆的标准方程：1.（例题）若动点到两定点，的距离之和为，则动点的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 线段C. 直线D. 不能确定2.（练习）若点到两定点，的距离之和为，则点的轨迹是（ ） A.椭圆B .直线C.线段D.线段的中M P F 1(-4,0)2(4,0)F 9P 12F F 12F F M 1(0,1)F 2(0,1)F 2M 12F F 12F F 12F F垂线3.（练习）若点到两定点,的距离之和为，则点的轨迹是（ ）A.椭圆B . 线段 C. 线段的中垂线D. 不存在4.（例题）椭圆上的点到点的距离与它到点的距离的和的等于，求此椭圆的标准方程.5.（练习）椭圆上的点到点的距离与它到点的距离的和的等于，求此椭圆的标准方程.6.（练习）在平面直角坐标系中，(5,0)B ，(5,0)C -， P 为一个动点，且26PB PC +=，求动点P 的轨迹方程．7.（练习）表示的曲线方程是__________________M(0,3)A (0,3)B -5M 12F F 12F F P F 1(-4,0)2(4,0)F 10P 1(0,6)F 2(0,6)F -206=8.（例题）已知椭圆22116x y m +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,到另一焦点距离为7,则m 等于（ ）A ．10B ．5C ．15D ．259.（练习）已知椭圆221644x y +=上一点P 到一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．2B ．5C ．6D ．710.（练习）已知椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON =（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．3211.（例题）已知椭圆的两个焦点坐标分别为，并且经过点，求它的标准方程.(2,0),(2,0)-53,22⎛⎫-⎪⎝⎭12.（练习）过点 且与椭圆 有相同的焦点的椭圆方程为_____________．13.（练习）过点且与椭圆 22162x y += 有相同焦点的椭圆的标准方程为_____________14.（例题）中心在原点，且经过点的椭圆的标准方程是_________________ .15.（练习）若椭圆中心在原点，且经过(1,2)A,B ，求椭圆的标准方程.16.（练习）已知椭圆中心在原点，且过点，，则该椭圆的标准方程为________________．⎝⎭22134x y+=2),(M N --12⎫⎪⎭1,2⎛ ⎝⎭17.（例题）一动圆与已知圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程。
高二数学8.1椭圆及其标准方程同步辅导教材
高二数学8.1椭圆及其标准方程同步辅导教材高二数学 8.1 椭圆及其标准方程同步辅导教材8、1 椭圆及其标准方程一、本章主要内容9、1 椭圆及其标准方程课本第92页至第97页本讲主要内容1、椭圆的定义及运用；2、用待定系数法求椭圆标准方程。
二、学习指导1、椭圆的定义用集合表示为{P||PF1|+|PF2|=2a，其中F1、F2是两个定点，2a为定值，2a>|F1F2|}当2a=|F1F2|时，点P的轨迹为线段F1F2当2a<|F1F2|时，点P不存在椭圆的定义作为判定定理用，是求轨迹方程中的定义法；椭圆的定义作为性质定理用，是解决椭圆问题的重要思想方法。
课本在推导椭圆标准方程时，涉及到两个无理式的化简及字母计算，希望同学们亲手操作。
字母运算是本章的特点，属于技能范畴，同学们要定下心来，在合理选择运算途径后，多算，细心算。
2、椭圆的标准方程是指在以焦点的中点为原点，焦点在坐标轴上的前提条件下推导出来的。
当焦点在x轴上时，方程类型为当焦点在y 轴上时，方程类型为=1恒有a>b>0。
字母x通常写在前面。
为了运算简单，有时也用整式形式，如Ax2+By2=1（A>0，B>0)等。
3、求椭圆的标准方程，主要用待定系数法。
其步骤为：（1）选标准，即判定焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两种情况都有可能；（2）定参数，通过解方程组的思想求得a2，b2，或c2，a2=b2+c2。
实际上，定参数（a，b，c）是定椭圆的形状，选标准是确定椭圆在坐标系中的位置。
四、典型例题例1、椭圆焦距|F1F2|=4，点P在椭圆上，∠F1PF2=，若△F1PF2的面积S=，求椭圆的标准方程。
解题思路分析：因△F1PF2的面积可通过S=及S=两种方式转化，故本题有两种解题途径。
思路一：如图，建立坐标系，则F1(-7，0)，F2(7，0)，不妨设P(x0，y0)，（x0>0，y0>0）∵ ∴ 又，直线PF1到直线PF2的角为∴ ∴ ∴ ∵ P在椭圆上∴ ∴ ……①又 a2-b2=c2=49 ……②①②联立，解得a2=62，b2=13∴ 所求椭圆方程为当F1，F2在y轴上时，椭圆方程为思路二：不防设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则∴ r1r2=52在△F1PF2中 |F1F2|2=r12+r22-2r1r2cos∴ |F1F2|2=(r1+r2)2-r1r2∴142=(2a)2-52∴ a2=62∴ b2=a2-c2=13当焦点在x轴上时，椭圆方程为当焦点在y轴上时，椭圆方程为注：思路一偏重于坐标系中的运算，思路二涉及到三个方面的重要知识，一是定义，一般地，当涉及到椭圆上的点到焦点的距离（又称焦半径）时，总是联想到定义，这是解题规律；二是解三角形的知识，如正弦定理，余弦定理等，△PF1F2常称为焦点三角形，三是整体计算的思想，如2a=r1+r2，求得r1+r2，即求得2a；对条件r1r2的整体运用等。
高二数学椭圆及其标准方程知识精讲 人教版
高二数学椭圆及其标准方程知识精讲 人教版一. 本周教学内容：椭圆及其标准方程二. 本周教学重、难点：1. 重点：椭圆的定义和标准方程。
2. 难点：椭圆的定义和标准方程的联系，标准方程的推导过程。
[例1] 求适合下列条件的标准方程（1）两个焦点坐标分别是（3-，0），（3，0）椭圆经过点（5，0）（2）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程。
（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且椭圆经过点)1,6(1P ，)2,3(2--P ，求椭圆的方程。
解：（1）∵ 椭圆的焦点在x 轴上 ∴ 设它的标准方程为12222=+by a x （0>>b a ）∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，62=c ∴5=a ，3=c∴163522222=-=-=c a b ∴ 所求椭圆的方程为1162522=+y x （2）由题意：162=c ，241592=+=a ∴802=b又焦点在x 轴或y 轴上 ∴18014422=+y x 或+1442y 1802=x （3）∵ 椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上∴ 可设椭圆的方程为),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+∵ 椭圆过21,P P ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅+-⋅=⋅+1)2()3(11)6(2222n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3191n m∴ 方程为13922=+y x[例2] 方程1)1(2222=-+m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，某某数m 的取值X 围。
解：⎪⎩⎪⎨⎧>->->2222)1(0)1(0m m m m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≠≠2110m m m ∴)21,0()0,(⋃-∞∈m[例3] 方程)72(1)2()7(22≤≤=-+-k y k x k 表示何种曲线？解：（1）2=k 时，55±=x 是平行于y 轴的两条平行直线 （2）292<<k 时，027>->-k k ，方程1217122=-+-k y k x ，表示焦点在y 轴上的椭圆。
高二数学讲义椭圆的定义、方程及性质专题
专题：椭圆的定义、方程与性质应用(★★★) 教学目标 1.理解掌握椭圆的定义、标准方程以及几何性质； 2.能灵活运用定义性质解决有关轨迹、面积以及最值问题.知识梳理4 min.1.椭圆的定义： 平面内到两个定点21 F F 、的距离和等于常数）＞（2122F F a a 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点21 F F 、叫做椭圆的焦点，两个焦点21F F 的距离叫做焦距.（1）当212F F a ＞时，动点轨迹是椭圆；（2）当212F F a =时，动点轨迹是线段21 F F ；（3）当212F F a ＜时，动点轨迹不存在.类型 标准方程 焦点坐标 之间的关系、、c b a 焦点在x 轴上 )0(12222＞＞b a by a x =+ )0,( , )0,(21c F c F - 222c b a += 焦点在y 轴上)0(12222＞＞b a bx a y =+ ),0( , ),0(21c F c F - ①函数方程思想、对称思想和分类讨论思想；②定义法：利用椭圆的定义解题，使求解过程更简捷；③点差法：利用椭圆弦的端点坐标、中点坐标、弦所在直线的斜率的相互关系解题，是解决中点弦问题的简捷方法.典例精讲33 min.例1（★★★） 已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点为1F 、2F ，椭圆上一点P 到两焦点21F F 、的距离分别为352 354、，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【答案】解：由13PF =、23PF =，得2a =+，即a =由条件可知2PF ∥y 轴，且1230PF F =∠， ∴1252=30=3c PF cos⋅，即c 253c =，210 3b =. ∴椭圆的方程为2231510x y +=或2231510y x +=. 【平面几何有关知识在解几中的应用在高考中时常出现，有时利用平面几何知识往往可以走捷径】巩固练习（★★★）已知椭圆的中心在原点，一个焦点的坐标是()25,0，直线23-=x y 与椭圆相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是21，求此椭圆的方程. 【答案】2217525y x +=.例2（★★★）过点(1,0)P -作倾斜角为3π的直线L 与椭圆22:24C x y +=相交于A 、B 两点. （1）求AB ；（2）若右焦点为1F ，求△1AFB △的面积.【答案】解：（1）由题意，直线L 的方程为1)y x +.由221)24y x x y ⎧+⎪⎨+=⎪⎩得27+1220x x += 设()11,A x y ，()22,B x y 为L 与椭圆的交点，122AB x x -=.（2）由题意易得右焦点1F ， 设1F 到直线L 的距离为d ，则)=d .∴()1166=2AF B S AB d =△. 【求面积知道弦长找到点到直线距离就可以轻松解答】巩固练习（★★★）3 答案 ：3.椭圆22134x y +=焦点为1F 、2F ，若P 为椭圆上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是多少？【答案】⎛ ⎝⎭.例3（★★★★）已知点A 、B 点分别为椭圆2213620x y +=长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点.若P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 为椭圆长轴AB 上一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到M 距离的最小值.【答案】解：（1）由已知易得()6,0A -，()4,0F .设点P 坐标为,)x y （， 则(6,)AP x y =+，(4,)FP x y =-.∵PA PF ⊥，则0AP FP ⋅=，∴2(6)(4)0x x y +-+=. 联立22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩.则29180x x +-=2.所以32x =或6x =-. 又0y ＞，∴可得3532P （，）. （2）由（1）不难求得AP 方程为36=0x y -+，设点M 的坐标为,0m （）， 则M 到直线AP 的距离为62m +. 于是6=62m m +-. 又∵≤≤-6m 6，解得=2m .椭圆上的点,x y （）到点M 的距离d ，则有222=(2)d x y -+. 将其代入椭圆方程，得2249()1592d x =-+. ∵≤≤-6x 6，∴当92x =时，d 取得最小值15. 【椭圆上的点坐标都是有范围限制，所以最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题】巩固练习（★★★）1. 若点A 的坐标1,1（），1F 是椭圆22195x y +=左焦点，P 为椭圆上的动点.则1PF PA +的最小值为多少？【答案】62-.（★★★★）2.椭圆22194x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，当P 、 1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点时，且12PF PF ＞，求12PF PF 的值. 【答案】当P 为直角顶点时，12PF PF 的值为2； 当2F 为直角顶点时，12PF PF 的值为72.回顾总结 3 min.椭圆的定义、方程是什么？椭圆有哪些性质？解题的思想方法是什么？。
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课题椭圆的标准方程及性质
I 知识点梳理
一、椭圆的定义
平面内到两定点F
1F
2
的距离的和为常数2a(2a>|F
1
F
2
|)的点的轨迹叫做椭圆，定点F
1
，
F
2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F
1
F
2
|叫做椭圆的焦距
二、椭圆的标准方程
三、点与椭圆的位置关系
设点P(x
0，y
)，椭圆方程为1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
，则
P在椭圆外⇔|PF
1|+|PF
2
|>2a⇔1
2
2
2
2
>
+
b
y
a
x
；
P在椭圆上⇔|PF
1|+|PF
2
|=2a⇔1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
P在椭圆内⇔|PF
1|+|PF
2
|<2a⇔1
2
2
2
2
<
+
b
y
a
x
四、椭圆的简单几何性质
从椭圆的性质出发，还可以得出以下相关的几何性质：
(1)椭圆上到中心的距离最大的点是长轴的两个端点，到中心距离最小的点是短轴的两个端
点
(2)椭圆上到焦点距离的最大、最小的点是长轴的两个端点，最大、最小距离分别是a+c ，a-c (3)设椭圆两个焦点分别为：F 1F 2，当椭圆上的点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2最大 II 常见题型归纳
一、对椭圆定义的考查(尤其在判断类型的题目中，注意2a>|F 1F 2|)
例：命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0且为常数)； 命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 条件
练习1：平面内一点M 到两定点F 1(﹣4,0)、F 2(4，0)的距离之和等于8，则点 M 的轨迹图像是
练习2：在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，且B(﹣1,0)、C(1,0)， 求满足b>a>c ，b 、a 、c 成等差数列时，顶点A 的轨迹方程
二、椭圆标准方程的两种情况
例：方程k
y k x ++
+232
2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 练习1：长轴长为短轴长的2倍，且过点(2，3)的椭圆标准方程为 练习2：已知椭圆上的一点P(3,2)到两焦点的距离分别为6.5和3.5，求椭圆的 标准方程
三、直线与椭圆的交点问题
例：已知直线y=ax ﹣1(a ∈R)与焦点在x 轴上的椭圆152
2=+m
y x 总有公共点，求实数m 的
取值范围
练习：已知椭圆4x 2+y 2=1，直线x ﹣y ﹣m=0.
(1)探求l 与C 的交点个数；
(2)当l 与C 相交于A 、B 两点时，求|AB|的最大值。
III 【随堂练习一】
1. 设椭圆22
22b
y a x +=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作直线与椭圆
交于两点A 、B ，则△ABF 1的周长等于
2. △ABC 周长为20，B(﹣4,0)，C(﹣4,0)，则点A 的轨迹方程为
3. 方程k
y k x ++
+232
2=1表示椭圆，则k 的取值范围是 4. 过点(0,2)及点(
2
1
，3)的椭圆的标准方程为 5. 若A 为椭圆短轴的一个端点，F 1、F 2为椭圆的焦点，且∠F 1AF 2=3
2π
，则椭 圆的标准方程为
6. 若点O 和点F 分别为椭圆3
42
2y x +
=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意 一点，则⋅的最大值为
7. 已知直线y=x+1交椭圆12
222=+b
y a x 于P 、Q 两点，|PQ|=210
，OP ⊥OQ ，求椭 圆方程
8. 若椭圆的长轴长为8，短轴的一个顶点与两焦点构成等边三角形，求椭圆的 标准方程
9. 如图所示，点A 、B 分别是椭圆120
362
2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆
的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF 。
(1)求点P 的坐标；
(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值
【随堂练习二】 1．曲线
与曲线
之间具有的等量关系（ ）
有相等的长轴 有相等的短轴
有相等的焦点
有相等的焦距
2.已知焦点在x 轴上的椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求此焦点与长轴较近的端点距离为的椭圆的标准方程.
3.已知椭圆22
22b
y a x +=1(a>b>0)，P 为椭圆上任一点，∠F 1PF 2=θ，求△F 1PF 2的面积
4.已知圆C 1：(x+2)2 +y 2=1和圆C 2：(x ﹣2)2 +y 2=49，动圆P 与圆C 1外切， 同时与圆C 2相内切。
(1)求动圆圆心P 的轨迹方程；(2)过点(﹣2,0)作直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，且线段MN 的中点到y 轴的距离为5
4
，求直线l 的方程
5.在椭圆4
92
2y x +
=1上，动点P(x,y)与定点M(m ，0)(0<m<3)的距离的最小值为1，求m 的值
6.已知椭圆的一个顶点为Ａ（0，－1），焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋2
＝0
的距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m （k≠0）相交于不同的两点M 、N ，当｜AM ｜＝｜AN ｜时，求m 的取值范围． 7.
是椭圆
中不平行于对称轴的一条弦，
是
的中点，
是
椭圆的中心，求证：为定值．
IV 【课后作业】
1. 椭圆169
252
2y x +
=1的焦点坐标是 2. 方程k
y k x ++
-16252
2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)两个焦点的坐标分别是(﹣4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，﹣2)，(0,2)，并且椭圆经过点(﹣23，2
5)
4.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,点.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
(3)过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。