东北师范大学附属中学2015届高三第四次模拟考试数学(理)试题及答案

第四次模拟考试 数学学科（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 设集合21{|},{|1}A x x x B x x=≤=≥，则A B = (A)(,1]-∞ (B)[0,1] (C) (0,1] (D) (,0)(0,1]-∞(2) 设复数z 满足(12)34i z i -=+，则z =(A)12i - (B) 12i -+ (C) 2i +(D) 2i -+(3) 已知命题:p “,10xx e x ∃∈--≤R ”，则命题:p ⌝(A),10xx e x ∀∈-->R (B),10xx e x ∀∉-->R (C),10xx e x ∀∈--≥R (D),10xx e x ∃∈-->R (4) 各项均为正数的等差数列}{na 中，4936a a =，则前12项和12S的最小值为 (A)78(B)48(C)60(D)72(5) 已知1cos()3θπ+=-，则sin(2)2πθ+=(A)79(B)79-(D) (6) 高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为(A)512 (B)15(C) 1225(D) 43100(7) 已知实数,x y 满足平面区域10:220220x y D x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为(A)12(B) 1(C)(D) 8(8) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A) (B)43(C)83(D)4(9) 执行如图所示的程序框图，则输出的S =(A)32 (B)53 (C)85 (D)127(10) 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对关曲线”．已知12,F F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为(B)(D)12(11) 函数1ln ||x x y e e -=-的部分图象大致为(A)(B) (C) (D)(12) 已知函数()xf x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误．．的是 (A)ae >(B)122x x +>(C)121x x >(D)有极小值点0x ，且1202x x x +<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13)已知向量,a b 满足||3b =，a 在b 方向上的投影是32，则a b ⋅= ； (14)直线2y x =+被圆22:4410M x y x y +---=所截得的弦长为 ；(15)如下图数阵中的前n 行的数字和为 ；2 第一行3 3 第二行4 6 4 第三行5 10 10 5 第四行6 15 20 15 6 第五行 ……… … … …(16)如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）1111ABCD A BC D -中， E 是BC 的中点，F 是1C D 的中点，P 是棱1CC 所在直线上的动点．则下列四个命题：①CD PE ⊥ ②EF //平面1ABC ③111P A DD D ADE V V --=④过P 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）已知函数()(sin cos cos sin )(0,0)222x x f x A A πϕϕϕ=+><<的最大值是2，且(0)1f =． （Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）已知锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，(2)2f A =，DA1C 1B 1A BC2sin b C ．求△ABC 的面积．(18)（本小题满分12分）砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位:/1000mg L ）: 甲地区的10个村子饮用水中砷的含量:52 32 41 72 43 35 45 61 53 44 乙地区的10个村子饮用水中砷的含量:44 56 38 61 72 57 64 71 58 62（I ）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；（II ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50/1000mg L ，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X 表示派驻的医疗小组数，试写出X 的分布列并求X 的期望．(19)（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1． （Ⅰ）证明：BC DC ⊥1；（Ⅱ）求二面角11C BD A --的大小．(20)（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =． （I ）求C 的方程；（II ）点(,)(0)A a a a ->在抛物线C 上，是否存在直线:4l y kx =+与C 交于点,M N ，使得△MAN 是以MN 为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在说明理由．(21)（本小题满分12分）已知函数()ln()(0)f x x x a a =-+>．（I ）若函数()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 取值范围；（II ）若函数()f x 的最小值为0，且当0x ≥时，2()f x kx ≤，求k 的最小值．请考生在第22，23，24三题中任选一题做答．注意：只能做选定的题目．如果多做，则按所做的第一道题目计分．(22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若BC MC =． （I ）求证:△APM ∽△ABP ;（II ）求证:四边形PMCD 是平行四边形．(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|32|f x x =+．（I （II ）已知m 求实数a 的取值范围． 2014-2015学年（下）高三年级“三年磨一剑之亮剑”第四次模拟考试 数学学科（理）试卷(含答案)命题人：高长玉 王艳平 宫海静 刘佰昌一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 设集合21{|},{|1}A x x x B x x =≤=≥，则A B =【C 】 (A)(,1]-∞(B)[0,1](C) (0,1] (D) (,0)(0,1]-∞P侧视图正视图俯视图(2) 设复数z 满足(12)34i z i -=+，则z =【B 】(A)12i -(B) 12i -+(C) 2i +(D) 2i -+(3) 已知命题:p “,10x x e x ∃∈--≤R ”，则命题:p ⌝【A 】（A ）,10x x e x ∀∈-->R （B ）,10x x e x ∀∉-->R （C ）,10x x e x ∀∈--≥R （D ）,10x x e x ∃∈-->R (4) 各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为【D 】 （A ）78（B ）48（C ）60（D ）72(5) 已知1cos()3θπ+=-，则sin(2)2πθ+=【B 】(A)79(B)79-(C)(D) (6) 高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为【A 】(A)512(B)15(C)1225(D)43100(7) 已知实数,x y 满足平面区域10:220220x y D x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为【D 】(A)12(B) 1(C)(D) 8(8) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【C 】(A) (B)43(C)83(D)4 (9) (A)32 (B)53 (10) 我们把焦点相同，曲线”．已知12,F F 限的交点，当1260F PF ∠=︒时，(A) 3(B) 2 (11) 函数1ln ||x x y e e -=-(A) (B) (C) (D) (12) 已知函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误．．的是【C 】 (A)a e >(B)122x x +>(C)121x x >(D)有极小值点0x ，且1202x x x +<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13)已知向量,a b 满足||3b =，a 在b 方向上的投影是32，则a b ⋅= ；92(14)直线2y x =+被圆22:4410M x y x y +---=所截得的弦长为；(15)如下图数阵中的前n 行的数字和为 ；2224n n +--2 第一行3 3 第二行4 6 4 第三行5 10 10 5 第四行6 15 20 15 6 第五行 ……… … … …(16)如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）1111ABCD A BC D -中， E 是BC 的中点，F 是1C D 的中点，P 是棱1CC 所在直线上的动点．则下列四个命题：①CD PE ⊥ ②EF //平面1ABC ③111P A DD D ADE V V --=④过P 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)．①②③④ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）已知函数()(sin cos cos sin )(0,0)222x x f x M M πϕϕϕ=+><<的最大值是2，且(0)1f =． （Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）已知锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，(2)2f A =，2sin b C ．求△ABC 的面积． 【解析】（Ⅰ）()(sin cos cos sin )sin()222x x xf x M M ϕϕϕ=+=+max ()2,(0)2sin 1,0,26f x M f ππϕϕϕ====<<∴= ．．．．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()2sin()26x f x π=+，(2)2sin()26f A A π=+=，又因为锐角ABC ∆中02A π<<，3A π∴=． ．．．．．．．．．．．．6分22sin 22sin sin 2sin ,0,sin ,24b Cc B C C B C BB ππ=∴=<<∴==． ．．．．．．．8分 2,sin sin sin sin sin 34a b c b b A B C ππ==∴==．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 sin sin()C A B =+=．．．．．．．．．．．．．11分 1212ABC S ∆∴=⨯=． ．．．．．．．．．．．．．12分 (18)（本小题满分12分）砷是广泛分布于自然界中的非金属元素， 长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位:/1000mg L ）: 甲地区的10个村子饮用水中砷的含量:52 32 41 72 43 35 45 61 53 44乙地区的10个村子饮用水中砷的含量:44 56 38 61 72 57 64 71 58 62（I ）根据两组数据完成下面茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；（II ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50/1000mg L ，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X 表示派驻的医疗小组数，试写出的分布列并求X 的期望． 【解析】（I ）法1：设甲地区调查数据的平均数为,x1(52324172433545615344)47.810x =+++++++++=； 设乙地区调查数据的平均数为,y1(44563861725764715862)58.310y =+++++++++=．由以上计算结果可得x y <，因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高．．．．．．．．．．．．．5分 （II ）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率45P =．．．．．．6分 0,1,2,3X =00311233221330334114112(0)()(),(1)()()551255512541484164(2)()(),(3)()()5512555125P X C P X C P X C P X C ==⋅⋅===⋅⋅===⋅⋅===⋅⋅=X 的分布列为 ．．．．．．．．10分甲乙5 2 5 4 3 1 3 2 1 2 3 4 5678 46 7 8 1 2 4 1 2412(3,)()55XB E X ∴= ．．．．．．．．．．．．．12分(19)（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1． （I ）证明：BC DC ⊥1；（II ）求二面角11C BD A --的大小． 【解析】解法一：（I ）在Rt DAC ∆中，AD AC =，得：45ADC ︒∠=．同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=．得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥．．．．．．．．．．．．．．4分（II ）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥． 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ， 连接11,C O C H ．111111A CBC C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD ， 1O H B D C H B D⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合， 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角．设AC a =，则1C O =111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 即二面角11C BD A --的大小为30︒． ．．．．．．．．．．．．．12分解法二：（向量法）由11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC ABC AC ⇒⊥．又1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥，以C 点为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -． 不妨设AA 1=2，则AC=BC=21AA 1=1， 从而A 1（1，0，2），D （1，0，1）， B （0，1，0），C 1（0，0，2）， 所以1(0,0,1)DA =，(1,1,1)DB =--， 1(1,0,1)DC =-．设平面1A BD 的法向量为1111(,,)n x y z =， 则11n DA ⊥，1n DB ⊥，DA1C 1B 1A B C所以111100z x y z =⎧⎨-+-=⎩，即111z x y =⎧⎨=⎩，令11y =，则1(1,1,0)n =．设平面1C BD 的法向量为2222(,,)n x y z =≤，则21n DC ⊥，2n DB ⊥， 所以2222200x z x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，即22222x z y z =⎧⎨=⎩，令21z =，则2(1,2,1)n =．所以121212cos ,||||2n n n n n n ⋅<>===⋅，解得12,30n n <>=︒ 因为二面角11C BD A --为锐角，因此二面角11C BD A --的大小为30︒．．．．．12分(20)（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =． （I ）求C 的方程；（II ）点(,)(0)A aa a ->在抛物线C 上，是否存在直线:4l y kx =+与C 交于点,M N ，使得△MAN是以MN 为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在说明理由． 解：（I ）设()04,Q y ，代入22x py =，得00888,,22p p y PQ QF y p p p=\==+=+． 由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24x y =．．．．．．．．4分 （II ）由24x y =知，点(4,4)A -，假设存在满足条件的直线l ，设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程组244x y y kx ⎧=⎨=+⎩得24160x kx --=，2121216(4)0,4,16k x x k x x ∆=+>+==- ．．．．．．．．．．．．．．6分 由题意得211221212(4,4)(4,4)(4)(4)AM AN x y x y x x k x x ⋅=+-+-=+++21212(1)4()160k x x x x =++++=，．．．．．．．．．．．．．．10分 代入得2(1)10k k -+++=，解得0k =（舍）或1k =．．．．．．．．．．．．．．．12分(21)（本小题满分12分）已知函数()ln()(0)f x x x a a =-+>．（I ）若函数()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 取值范围；（II ）若函数()f x 的最小值为0，且当0x ≥时，2()f x kx ≤，求k 的最小值．解: （I ）函数的定义域为(,)a -+∞．1()()x a f x x a x a+-'=>-+，．．．．．．．．．．．．．．1分 由()01f x x a '=⇒=-，因为函数()f x 在(0,)+∞为增函数．所以10a -≤，从而1a ≥．．．．．．．．．．．．．．．4分（II ）由（I ）知，函数()f x 在(,1)a a --为减函数，在(1,)a -+∞为增函数． 所以min ()(1)10f x f a a =-=-=得1a =．．．．．．．．．．．．．．．．6分 所以当0x ≥时2()f x kx ≤即是当0x ≥时，2ln(1)x x kx -+≤成立当0k ≤时，因为(1)1ln 20f =->所以0k ≤不合题意．．．．．．．．．．．．．．．7分 当0k >时，令22()()ln(1)g x f x kx x x kx =-=-+-(0)x ≥[2(12)]()1x kx k g x x ---'=+令()0g x '=得1210,112x x k ==->-．．．．．．．．．．．．．．8分 (1) 当12k ≥时， ()g x 在(0,)+∞单调递减，于是()(0)0g x g ≤=成立．所以12k ≥适合题意．．．．．．．．．．．．．．．10分(2) 当102k <<时， ()g x 在1(0,1)2k-单调递增， 所以当1(0,1)2x k∈-时，()(0)0g x g >=，故102k <<不合题意．综上: 12k ≥．．．．．．．．．．．．．．．12分(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.解：（I ）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=又cos ,sin x y ρθρθ==所以圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ …………… 5分（Ⅱ）设11(,)P ρθ，则由=2cos 3ρθπθ⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11=1=3πρθ， …………. 7分 设22(,)Q ρθ，则由(sin )3ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得22=3=3πρθ， … 9分 所以||2PQ = ……………………………………….. 10分(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数（I （II ）已知a 的取分……… 10分2014-2015学年（下）高三年级“三年磨一剑之亮剑”第四次模拟考试 数学学科（理）答案命题人：高长玉 王艳平宫海静 刘佰昌一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13)92(14)(15) 2224n n +-- (16)①②③④ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)【解析】（Ⅰ）()(sincos cos sin )sin()222x x xf x M M ϕϕϕ=+=+ max ()2,(0)2sin 1,0,26f x M f ππϕϕϕ====<<∴=．．．．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()2sin()26x f x π=+，(2)2sin()26f A A π=+=， 又因为锐角ABC ∆中02A π<<，3A π∴=． ．．．．．．．．．．．．6分22sin 22sin sin 2sin ,0,sin ,224b Cc B C C B C BB ππ=∴=<<∴==． ．．．．．．．8分 2,sin sin sin sin sin 34a b c b b A B C ππ==∴==．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 sin sin()C A B =+=．．．．．．．．．．．．．11分 1212ABC S ∆∴=⨯=． ．．．．．．．．．．．．．12分(18)【解析】（I ）法1：设甲地区调查数据的平均数为,x 1(52324172433545615344)47.810x =+++++++++=； 设乙地区调查数据的平均数为,y1(44563861725764715862)58.310y =+++++++++=． 由以上计算结果可得x y <，因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高．（II ）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率45P =． 0,1,2,3X =00311233221330334114112(0)()(),(1)()()551255512541484164(2)()(),(3)()()5512555125P X C P X C P X C P X C ==⋅⋅===⋅⋅===⋅⋅===⋅⋅=X 的分布列为412(3,)()55X B E X ∴=．(19)【解析】（Ⅰ）在DAC ∆Rt 中，AD AC = ， 得：45ADC ︒∠=同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥．．．．．．．．4分 （Ⅱ）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H ． 111111A CBC C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1O H B D C H B D⊥⇒⊥得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =，则12C O =，1112C D C O C DO ==⇒∠= 即二面角11C BD A --的大小为30︒．．．．．．．．．12分解法二：（向量法）由11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC ABC AC ⇒⊥．又1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥，以C 点为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为5 2 5 4 3 1 3 2 1 2 3 4 567 84 6 7 81 2 4 1 2x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．不妨设AA 1=2，则AC=BC=21AA 1=1，从而A 1（1，0，2），D （1，0，1），B （0，1，0），C 1（0，0，2），所以1(0,0,1)DA =，(1,1,1)DB =--， 1(1,0,1)DC =-．设平面1A BD 的法向量为1111(,,)n x y z =，则11n DA ⊥，1n DB ⊥， 所以111100z x y z =⎧⎨-+-=⎩，即1110z x y =⎧⎨=⎩，令11y =，则1(1,1,0)n =．设平面1C BD 的法向量为2222(,,)n x y z =≤，则21n DC ⊥，2n DB ⊥， 所以2222200x z x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，即22222x z y z =⎧⎨=⎩，令21z =，则2(1,2,1)n =．所以121212cos ,||||2n n n n n n ⋅<>===⋅，解得12,30n n <>=︒．因为二面角11C BD A --为锐角，因此二面角11C BD A --的大小为30︒．．．．．．．．．12分(20)解：（I ）设()04,Q y ，代入22x py =，得00888,,22p p y PQ QF y p p p=\==+=+． 由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24x y =．．．．．．．．．4分 （II ）由24x y =知，点(4,4)A -，假设存在满足条件的直线l ，设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程组244x y y kx ⎧=⎨=+⎩得24160x kx --=，2121216(4)0,4,16k x x k x x ∆=+>+==-， ．．．．．．．．6分 由题意得211221212(4,4)(4,4)(4)(4)AM AN x y x y x x k x x ⋅=+-+-=+++21212(1)4()160k x x x x =++++=， ．．．．．．．．10分 代入得2(1)10k k -+++=，解得0k =（舍）或1k =． ．．．．．．．．12分 (21)解: （I ）函数的定义域为(,)a -+∞．1()()x a f x x a x a+-'=>-+，由()01f x x a '=⇒=-， ．．．．．．．．1分因为函数()f x 在(0,)+∞为增函数，所以10a -≤，从而1a ≥． ．．．．．．．．4分 （II ）由（I ）知，函数()f x 在(,1)a a --为减函数，在(1,)a -+∞为增函数． 所以min ()(1)10f x f a a =-=-=得1a =． ．．．．．．．．6分 所以当0x ≥时2()f x kx ≤即是当0x ≥时，2ln(1)x x kx -+≤成立．当0k ≤时，因为(1)1ln 20f =->所以0k ≤不合题意． ．．．．．．．．7分当0k >时，令22()()ln(1)g x f x kx x x kx =-=-+-(0)x ≥．[2(12)]()1x kx k g x x ---'=+令()0g x '=得1210,112x x k==->-． ．．．．．．．．8分 (3) 当12k ≥时， ()g x 在(0,)+∞单调递减，于是()(0)0g x g ≤=成立．12k ∴≥适合题意．10分(4) 当102k <<时， ()g x 在1(0,1)2k -单调递增，所以当1(0,1)2x k∈-时，()(0)0g x g >=， 故102k <<不合题意．综上: 12k ≥． ．．．．．．．．12分(2)(23)解：（I ）圆C 的普通方程为(1)1x y -+= 圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ ……………5分 （Ⅱ）设11(,)P ρθ，则由=2cos 3ρθπθ⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11=1=3πρθ， ………….7分 设22(,)Q ρθ，则由(sin )3ρθθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22=3=3πρθ， ……………9分 所以||2PQ = ……………………………………….. 10分(24) ……… 5分令22,,3()()3222,,242,,3x a x g x x a f x x a x x a x a x a x a ⎧++<-⎪⎪=--=--+=--->⎨⎪⎪--+-≤≤⎩P……… 10分。