072.北师大版九年级数学上册2.1 第1课时 一元二次方程-导学案
北师大版九年级上册数学 2.1 第1课时 一元二次方程 优秀教案
2．1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程1．了解一元二次方程的概念；(重点)2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)一、情景导入一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m ，则长为(x ＋2)m.根据题意，得x (x ＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】 判定一元二次方程下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)．①y 24－y ＝0；②2x 2－x －3＝0；③1x2＝3； ④x 2＝2＋3x ；⑤x 3－x ＋4＝0；⑥t 2＝2；⑦x 2＋3x －3x＝0；⑧x 2－x ＝2. 解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax 2－x ＝2x 2－ax －3；(2)(a －1)x |a |＋1＋2x －7＝0.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x 2＋(a －1)x ＋3＝0，所以当a －2≠0，即a ≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a |＋1＝2，且a －1≠0知，当a ＝－1时，原方程是一元二次方程．解：(1)当a ≠2时，方程ax 2－x ＝2x 2－ax －3为一元二次方程；(2)因为|a |＋1＝2，所以a ＝±1.当a ＝1时，a －1＝0，不合题意，舍去．所以当a＝－1时，原方程为一元二次方程．方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．【类型三】 一元二次方程的一般形式把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)x (x －2)＝4x 2－3x ；(2)x 23－x ＋12＝－x －12； (3)关于x 的方程mx 2－nx ＋mx ＋nx 2＝q－p (m ＋n ≠0)．解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．解：(1)去括号，得x 2－2x ＝4x 2－3x .移项、合并同类项，得3x 2－x ＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；(2)去分母，得2x 2－3(x ＋1)＝3(－x －1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m －n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.探究点二：建立一元二次方程模型如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．解：设需要剪去的小正方形边长为x cm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm.根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理，得x2－17x＋51＝0(x＜152)．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．三、板书设计一元二次方程⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧概念：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0），其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.。
北师大版九年级上《一元二次方程》全章导学案
认识一元二次方程（1）一，自主探究活动内容：问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。
根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题二：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？8二，总结归纳活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。
一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。
经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠0)。
应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a≠0；(2) 若a≠0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。
判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。
简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。
三，学以致用活动内容：1、把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．易错易混点1. 下列关于x 的方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532=+aa ；(3)0322=--x x ；(4)0223=+-x x x 中，一元二次方程的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。
北师大版九年级数学上册 2.1.1一元二次方程的概念导学案
2.1认识一元二次方程班级_______ 姓名_______学习目标：1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实生活的有效的数学模型2、知道什么样的方程是一元二次方程，会把一元二次方程化为一般式，能指出一元二次方程中各项及其系数学习重点：1、会判断什么样的方程是一元二次方程2、会把一元二次方程化为一般式，能指出一元二次方程中各项及其系数学习难点：1、正确理解和掌握一元二次方程一般形式中二次项系数不等于02、正确指出字母系数方程中各项及系数1.一元二次方程的概念观察我们给定的这两个方程，它们有哪些相同点？（1）每个方程在整理后都含有_______个未知数（2）未知数的最高次数是______（3）方程两边都是_______式可以得到：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2.一元二次方程的一般形式任何一个一元二次方程都可以化为这样的形式________________________________我们把它称为一元二次方程的一般形式类比于二次三项式中各项和系数其中ax2叫做____________，bx叫做____________，c叫做____________，a叫做__________________，b叫做__________________反过来若ax2＋bx＋c＝０是一元二次方程，则一定含有了________这个条件，例1：在一元二次方程2x2＋4x-32= 0中，各项和系数分别是什么？课堂练习在下列一元二次方程中，各项和系数分别是什么(1) x2-8x-20=0 （2）3x2+10x-1200=0（3）8x 2+12x -15= 0例2、把下列一元二次方程化为一般形式，并写出方程中的各项和各项的系数。
（1）2x （x -1）=3x -4 （2）6(y 2+2）= y +12随堂练习1、把下列一元二次方程化为一般形式，并写出方程中的各项和各项的系数。
新北师大版九年级上册数学导学案
第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程(1)学习目标：1．探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识．2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．学习重点：一元二次方程的概念．学习难点：如何把实际问题转化为数学方程．预习案一、预习教材二、感知填空先阅读教材“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：1．在第一个问题中，地毯的长可以表示为_____________，宽可以表示为_____________，由矩形的面积公式可以列出方程为_________________________．2．在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x，你又能列出怎样的方程呢？答：设五个连续整数中间的一个数为x，由题意可列方程，得_________________________.三、自主提问探究案一、探究一：一元二次方程的概念例1：问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那铁皮各角应切去多大的正方形？你能设出未知数，列出相应的方程吗？归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋b x＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项的系数；b x是一次项，b 是一次项系数；c是常数项．跟踪练习：1．下列方程中，是一元二次方程的是()A．x2＋2y－1＝0B．x＋2y2＝5C．2x2＝2x－1D．x2＋1x－2＝02．将方程(x＋3)2＝8x化成一般形式为_______，其二次项系数为___，一次项系数是___，常数项是____．二、探究二：一元二次方程有关概念的应用例2：关于x的方程mx2－3x＝x2－mx＋2是一元二次方程，m应满足什么条件？跟踪练习：1．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是______．2．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足______时，它是一元一次方程；当m满足________时，它是一元二次方程．作业案一、过关习题1．在下列方程中，是一元二次方程的有( )①2x 2－1＝0；②ax 2＋b x ＋c ＝0；③(x ＋2)(x －3)＝x 2－3；④2x 2－1x＝0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．把方程(x －5)(x ＋5)＋(2x －1)2＝0化成一元二次方程的一般形式为( ) A ．5x 2－4x －4＝0 B ．x 2－5＝0 C ．5x 2－2x ＋1＝0 D ．5x 2－4x ＋6＝03．下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 12=-y x B. 2560x x ++= C.()()230x x ++= D. 122,3x x =-=-4．方程2354x x -=中，关于a 、b 、c 的说法正确的是（ ） A. 3,4,5a b c ===- B. 3,5,4a b c ==-= C. 3,4,5a b c =-=-=- D. 3,4,5a b c ==-=-二、能力提升1．阅读材料，解答问题：有一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm 2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？问题：(1)如果设小正方形的边长为x cm ，那么盒子底面的长为____________；宽为__________，根据题意，所列方程为____________________．(2)所列方程的一般形式是什么？是哪一种方程？并指出其各项的系数． 2．已知关于x 的方程(m －2)x |m |＋3x －4＝0是一元二次方程，那么m 的值是( )A ．2B ．±2C ．－2D ．1第一节 认识一元二次方程(2)学习目标：1．会进行简单的一元二次方程的试解．2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题．3．理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力．学习重点：判定一个数是否是方程的根．学习难点：会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义．预习案一、预习教材二、感知填空请同学独立完成下列问题．问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为___________列表：x0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2－36问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m，则长为_________.根据题意，得________．整理，得______________．列表：x 5 6 7 8 9 10 11x2＋2x三、自主提问探究案一、探究一：探索一元二次方程的近似解例1：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？跟踪练习：1．已知关于x的方程x2－k x－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为() A．1B．－1C．2D．－22．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.二、探究二：一元二次方程根的判定及应用例2：若x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋b x＋c＝1(a≠0)的一个根，求代数式2016(a＋b＋c)的值．跟踪练习：1．若x＝1是一元二次方程ax2＋b x＋c＝0的解，则a＋b＋c＝___；若x＝－1是一元二次方程ax2＋b x＋c＝0的解，则a－b＋c＝____．2．如果x＝1是方程ax2＋b x＋3＝0的一个根，求(a－b)2＋4a b的值．作业案一、过关习题1．已知长方形宽为xcm，长为3xcm，面积为24cm2，则x最大不超过() A．1B．2C．3D．42．根据关于x的一元二次方程x2＋p x＋q＝0，可列表如下：则方程x2＋p x＋q＝0的正数解满足( )A．0＜x＜B．＜x＜1 C．1＜x＜D．＜x＜二、能力提升1.根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈_________．(精确到2﹣826，输出结果如表：分析表格中的数据，估计方程（x+8）2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为（）A. ＜x＜B. ＜x＜C. ＜x＜D. ＜x＜3．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（）A. 2018B. 2008C. 2014D. 2012第二节用配方法求解一元二次方程(1)学习目标：1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．学习重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．学习难点：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．预习案一、预习教材二、感知填空1．如果一个数的平方等于4，则这个数是________．2．已知x2＝9，则x＝______．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋12x＋____＝(x＋6)2；x2－6x＋_____＝(x－3)2.三、自主提问探究案一、探究一：应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程例1：用配方法解方程x2－2x－3＝0归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．跟踪练习：用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.作业案一、过关习题1．用配方法解方程x2?2x?1=0，原方程应变形为（）A. (x?1)2=2B. (x+1)2=2C. (x?1)2=1D. (x+1)2=12．用配方法解方程x2＋4x－5＝0，则x2＋4x＋____＝5＋____，所以x1＝______，x2＝________．3．若三角形的两边长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程(x－8)2＝4的一个根，则此三角形的周长为________．4．下列解方程的过程中，正确的是( )A．x2＝－2，解方程，得x＝±2B．(x－2)2＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4C．4(x－1)2＝9，解方程，得4(x－1)＝±3，x1＝74，x2＝14D．(2x＋3)2＝25，解方程，得2x＋3＝±5，x1＝1，x2＝－45．解下列方程： (1)()2590x --=(2)4(x +6) 2-9=0(3)x 2－10x ＋25＝7 (4)x 2－14x ＝8 (5)x 2＋3x ＝1 (6)x 2＋2x ＋2＝8x ＋4 二、能力提升1.若2246130a a b b ++-+=，则a b +=（ ） A. 1 B.1- C. 5 D. 5-2．若a ，b ，c 是△ABC 的三条边，且a 2＋b 2＋c 2＋50＝6a ＋8b ＋10c ，试判断这个三角形的形状．第二节 用配方法解一般一元二次方程(2)学习目标:1．理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程． 2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．学习重点：用配方法解一般一元二次方程． 学习难点：用配方法解一元二次方程的一般步骤．预习案一、预习教材 二、感知填空1．用配方法解一元二次方程x 2－3x ＝5，应把方程两边同时( ) A ．加上32 B ．加上94 C ．减去32 D ．减去942．解方程(x －3)2＝8，得方程的根是( )A ．x ＝3＋2 2B ．x ＝3－2 2C ．x ＝－3±2 2D ．x ＝3±2 23．方程x 2－3x －4＝0的两个根是____________． 三、自主提问探究案一、探究一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例1:用配方法解方程2x 2－6x ＋1＝0用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x ＋h)2＝k 的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程．跟踪练习：一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？作业案一、过关习题1．要使方程x 2－72x ＝－32左边配方成完全平方式，应在方程两边同时加上( )A.2)27( B ．72 D.2)47(-2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A. x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100B. x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C. 2t 2-7t-4=0化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D. 3y 2-4y-2=0化为221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3.把方程21503x x --=,化成(x +m)2=n 的形式得 （ ） A. 232722x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B.232924x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 236924x ⎛⎫-=⎪⎝⎭D. 235124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4．用配方法解方程：(1)4x 2＋8x －3＝0 (2)3x 2－9x ＋2＝0 (3)2x 2＋6＝7x二、能力提升先化简，再求值：2352362m m m m m -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中m 是方程2310x x +-=的根. 第三节 用公式法求解一元二次方程学习目标：1．理解求根公式的推导过程和判别公式．2．使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程．3．通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想． 学习重点：求根公式的推导和公式法的应用．学习难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．预习案一、预习教材 二、感知填空1．方程3x 2－x ＝2化成一般形式后，式中( )A ．a ＝3，b ＝－1，c ＝2B ．a ＝2， b ＝1，c ＝－2C ．a ＝3，b ＝－1，c ＝－2D ．a ＝3，b ＝1，c ＝－2 2．用配方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0 (2)2x 2－4x ＝1三、自主提问探究案一、探究一：探索一元二次方程的求根公式 例1：用配方法解方程：ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0)．归纳总结：由上可知，一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋b x ＋c ＝0，当b2－4a c≥0时，将a、b、c代入式子x＝－b±b2－4ac2a，就可求出方程的根；(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式；(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．二、探究二：用公式求解一元二次方程例2：用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2－3x＝0(2)3x2－23x＋1＝0(3)4x2＋x＋1＝0. 归纳总结：(1)当Δ＝b2－4a c＞0时，一元二次方程ax2＋b x＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a；(2)当Δ＝b2－4a c＝0时，一元二次方程ax2＋b x＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根即x1＝x2＝－b2a；(3)当Δ＝b2－4a c＜0时，一元二次方程ax2＋b x＋c＝0(a≠0)没有实数根．作业案一、过关习题1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A．x2－3x＋1＝0B．x2＋1＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．x2＋2x ＋3＝02．关于x的一元二次方程2x+(k-4)x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是()A. -1B. 2C. 3D. 53．把一元二次方程x2＝3(2x－3)化为一般形式是_________，b2－4a c＝0，则该方程根的情况为___________．4．方程2x2－5x＝7的两个根分别为x1＝________，x2＝__________．二、能力提升1.已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．2.已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-4)=a2（1）求证：对于任意实数a，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．第四节用因式分解法求解一元二次方程学习目标：1．会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．学习重点：用因式分解法解一元二次方程．学习难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．预习案一、预习教材二、感知填空1．将下列各式分解因式：(1)x2－2x(2)x2－4x＋4(3)x2－16(4)x(x－2)－(x－2)2．分解因式法解一元二次方程的根据是：若a·b＝0，则a＝____或b＝_____．如：若(x＋2)(x－3)＝0，那么x＋2＝0或者________．这就是说，求一元二次方程(x ＋2)(x－3)＝0的解，就相当于求一次方程x＋2＝0或x－3＝0的解．三、自主提问探究案一、探究一：用因式分解法解下列方程(1)5x2＋3x＝0(2)7x(3－x)＝4(x－3)(3)9(x－2)2＝4(x＋1)2.跟踪练习：解下列方程：x 2－5x ＋6＝0作业案一、过关习题1．如果(x －1)(x ＋2)＝0，那么以下结论正确的是( )A ．x ＝1或x ＝－2B ．必须x ＝1C ．x ＝2或x ＝－1D ．必须x ＝1且x ＝－22．方程x 2－3x ＝0的解为( )A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝－3D ．x 1＝0，x 2＝33.方程29180x x -+=的两个根分别是一个等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为 ． 4．解下列方程(1) x 2=2x+35 (2)2(1)160x --= (3) 3(1=22x x x --）二、能力提升1．已知(a 2＋b 2)2－(a 2＋b 2)－6＝0，求a 2＋b 2的值．2.阅读下面的例题：解方程220x x --=的过程如下：（1）当0x ≥时，原方程化为220x x --=，解得： 12x =， 21x =-（不合题意，舍去）．（2）当0x <时，原方程可化为220x x +-=，解得： 12x =-， 21x =（不合题意，舍去）．所以，原方程的解是： 12x =， 22x =-．请参照例题解方程： 2110x x ---=第五节 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数．3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值．学习重点：根与系数的关系及运用．学习难点：定理发现及运用．预习案一、预习教材二、感知填空1．一元二次方程ax2＋b x＋c＝0(a≠0)的求根公式是_________________________________．2．一元二次方程3x2－6x＝0的两个根是_______________3．一元二次方程x2－6x＋9＝0的两个根是________________三、自主提问探究案一、探究一：一元二次方程的根与系数的关系例1：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？归纳总结：一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0)，用求根公式求出它的两个根x 1、x 2，由一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0的求根公式知x 1＝－b ＋b 2－4ac2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ，能得出以下结果：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 二、探究二：一元二次方程根与系数关系定理的应用例2;已知方程5x 2＋k x －6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值．例3：若一元二次方程2x 2＋3x －1＝0的两个根为212221211121,,x x x x x x ++）（）（ 跟踪练习：1．设一元二次方程x 2－6x ＋4＝0的两实根分别为x 1和x 2，则(x 1＋x 2)－x 1·x 2＝( )A ．－10B ．10C ．2D ．－22．设a ，b 是方程x 2＋x －2016＝0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为_________．作业案一、过关习题1．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一个根为( )A ．2B ．3C ．4D ．82．若α，β是方程x 2－2x －3＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为( )A ．10B ．9C ．7D ．53．菱形的两条对角线长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两实根，则菱形的面积为_______．4.已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A. B. C. D.二、能力提升1． 已知x 的方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k ＝_______．2.已知关于x 的一元二次方程()28170x m x m --+-=．（1）m 为何值时，方程有一根为零？（2）m 为何值时，方程的两个根互为相反数？（3）是否存在m ，使方程的两个根互为倒数？若存在，请求出m 的值；不存在，请说明理由．第六节 应用一元二次方程（1）学习目标：1．使学生会用一元二次方程解应用题．2．进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识．3．通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性．学习重点：运用面积和速度等公式建立数学模型并运用它们解决实际问题． 学习难点：寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题．预习案一、预习教材二、感知填空1．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝5cm ，BC ＝12cm ，则AB ＝_____cm .2．在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，若BC ＝10cm ，则DE ＝_____cm .三、自主提问探究案一、探究一：利用一元二次方程求解几何问题例1：用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？跟踪练习：一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角形的面积是多少？作业案一、过关习题1．用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不可能是( ) A．375cm2B．500cm2C．625cm2D．700cm22．一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖两条和四条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600m2，那么水渠的宽为()A．2m B．4m C．1m D．3m3．一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，设矩形的宽x厘米，应满足方程_____________．解方程求得x＝______．二、能力提升1．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长．2．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？3.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．第六节应用一元二次方程（2）学习目标：1．会用一元二次方程解决销量随销售单价变化而变化的市场营销类应用题．2．通过列方程解应用题，进一步认识方程模型的重要性，提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．学习重点：会用一元二次方程求解营销类问题．学习难点：将实际问题抽象为一元二次方程的模型，寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题．预习案一、预习教材二、感知填空1.利润＝_____________；2商品的利润率＝_______________3.商品的总利润＝一件商品的利润×销售商品的数量．三、自主提问．探究案一、探究一：利用一元二次方程求解营销类问题例1：某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？跟踪练习：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？二、探究二：利用一元二次方程求解增长率问题例2：某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，求该公司11,12两个月营业额的月均增长率。
北师大版九年级上册数学 第1课时 一元二次方程导学案1(2)
第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。
2、能力培养：能根据具体情景应用知识。
3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
【学习重点】1、一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。
【学习过程】一、前置准备：1、什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？2、多项式2x2-3x+1是几次几项式？每项的系数和次数分别是几？二、自学探究：理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材，回答：（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为为m.根据题意，可得方程（2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m，梯子顶端距地面的垂直距离为m，根据题意，可得方程：三、合作交流：观察上述三个方程，它们的共同点为：①；②；这样的方程叫做。
其中我们把称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c 分别称为、、，a、b分别称为、。
1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式，并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）（2）（3）四、归纳总结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？与同学交流一下。
1.一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。
五、当堂训练：1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是，说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：（1）2x 2+3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x 2+3x+1（3）（2x-1）（3x+5）=-5 （4）（3x+1）（x-2）=-5x2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
2.1 认识一元二次方程(第1课时)北师大版九年级数学上册教学详案
第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程第1课时 一元二次方程教学目标1.理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式，正确认识各项及各项的系数.2.能通过认识一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.3.从生活实际中抽象出数学问题，感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.教学重难点重点：了解一元二次方程的概念,并能根据一元二次方程的一般形式确定各项系数.难点：由实际问题向数学问题转化的过程中寻找等量关系，建立方程.教学过程导入新课问题情境1幼儿园活动教室矩形地面的长为8 m ，宽为5 m ，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m 2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？解:设所求的宽度为x m,则中间地毯的宽表示为(5-2x )m,长表示为(8-2x )m, 由题意可列方程(8-2x )(5-2x )＝18，整理得4x 2 -26x +22 ＝0.问题情境2观察下面等式：102 +112 +122 ＝132 +142.你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x ，那么后面四个数依次可表示为x +1,x +2,x +3,x +4.根据题意，可得方程x 2 + (x +1)2 + (x +2)2 ＝ (x +3)2 + (x +4)2.化简，得 x 2 -8x -20＝0.问题情境3如图，一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m ，那么梯子的底端滑动多少米？教学反思解：由题意可知滑动前梯子底端距墙6 m，设梯子底端滑动x m，滑动后梯子顶端距地面7 m，底端距墙(6+x)m, 根据题意，可得方程72＋(x＋6)2 ＝102，整理得x2 +12x-15＝0.探究新知思考:由上面的三个问题,我们可以得到三个方程4x2 -26x+22 ＝0，x2 -8x-20＝0，x2 +12x-15＝0.这三个方程都不是一元一次方程，那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？老师总结：①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c ＝0 (a，b，c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 把ax２＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠０）称为一元二次方程的一般形式，其中ax２,bx ,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数.判定一个式子为一元二次方程，必须同时满足以下3个条件:①都是整式方程(即方程两边的分母中不能含有未知数）；②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2，并且二次项系数不能为0.例1：下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 (3) ax２＋bx＋c＝０(4) y22+y＝0 (5) 2x2－13x－1＝0 （6）x(2-x)＝0解：（1）（4）（6）是，（2）（3）（5）不是.（2）含有两个未知数，不满足第二条；（3）a可能为0，不满足第三条；（5）分母中含有未知数，不满足第一条.例2：关于x的方程（2a-4）x2 -2bx+a＝0, 在a，b满足什么条件时，此方程为一元二次方程？在a，b满足什么条件时，此方程为一元一次方程？解：若（2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程，则二次项系数不为零，故2a-4≠0，解得a≠2，即当a≠2时，(2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程. 若（2a-4）x2-2bx+a＝0是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项系数不为零，故2a-4 ＝0且-2b≠0，解得a＝2，b≠0,即当a＝2，b≠0时，(2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元一次方程.归纳：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.例3：将方程3x(x-1)＝5(x+2)化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及各项的系数.解：去括号，得3x2-3x＝5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10＝0.其中二次项是3x2,二次项系数是3；一次项是-8x,一次项系数是-8；常数项是-10.注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；（2）系数和项均包含前面的符号.课堂练习教学反思1.下列方程属于一元二次方程的是（ ）教学反思B.x（x-1）＝y2A.3x2＝1xC.2x3-x2＝2D.（x-3）（x+4）＝92.方程2x2-6-x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A.6，2，9B.2，-6，9C.2，-6，-9D.-2，6，93.将一元二次方程-3x2-2＝-4x化成一般形式为（ ）A.3x2-4x+2＝0B.3x2-4x-2＝0C.3x2+4x+2＝0D.3x2+4x﹣2＝04.设一个奇数为x，它与跟它相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )A.x(x＋2)＝323B.x(x-2)＝323C.x(x＋1)＝323D.x(x-2)＝323或x(x＋2)＝3235.已知关于x的方程(m＋1)x m2+1＋(m－2)x－1＝0.（1）m取何值时，它是一元二次方程？（2）m取何值时，它是一元一次方程？参考答案1.D2.C3.A4.D5.解：（1）由m2+1＝2且m＋1≠0，解得m＝1，故当m＝1时，关于x的方程(m＋1)x m2+1＋(m－2)x－1＝0是一元二次方程.（2）当m－2≠0且m＋1＝0时，解得m＝－1.当m2+1＝1且m＋1+m－2≠0时，解得m＝0.故当m＝－1或0时，关于x的方程(m＋1)x m2+1＋(m－2)x－1＝0是一元一次方程.课堂小结1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c＝0 (a，b，c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.其中ax２,bx ,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数.2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）.3.判定一个式子为一元二次方程，必须同时满足以下3个条件:①都是整式方程(即方程两边的分母中不能含有未知数）；②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2，并且二次项系数不能为0.布置作业教学反思课本习题2.1 知识技能 1，2 问题解决3板书设计1 认识一元二次方程第1课时 一元二次方程1. 一元二次方程的定义：2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）3.判定一个式子为一元二次方程，必须同时满足以下3个条件:①都是整式方程(即方程两边的分母中不能含有未知数）；②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2，并且二次项系数不能为0.。
北师大版九年级数学上册 2.1.1 一元二次方程 导学案
北师大版九年级数学上册第二章2.1.1 一元二次方程 导学案预习目标1．理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．2．体会方程的模型思想．预习导学阅读教材P31～32，完成下列问题：(一)知识探究1．只含有________个未知数，并且都可以化成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a________)的形式的________方程，这样的方程叫做一元二次方程．2．我们把____________(a ，b ，c 为常数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中________，________，________分别为二次项、一次项和常数项，________，________分别称为二次项系数和一次项系数．(二)自学反馈1．下列方程中，是一元二次方程的是( )A ．x －y 2＝1 B.x 2－1＝0C.1x 2－1＝0D.x 22－x －13＝0 2．将方程(2x ＋1)x ＝(3x －2)x ＋2化简整理写成一般形式后，其中a 、b 、c 分别是( )A.2－3，1， 2B.2－3，1，－ 2C.3－2，－3， 2D.3－2，1， 2例题讲解活动1 小组讨论例1 判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x 2＝0； (2)2(x 2－1)＝3y ；(3)2x 2－3x －1＝0; (4)1x 2－2x＝0； (5)(x ＋3)2＝(x －3)2; (6)9x 2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．提示： 判断一个方程是不是一元二次方程，首先需要将方程化简，使方程的右边为0，然后观察其是否具备以下三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可．例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x 2－13x ＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.提示： (1)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.活动2 跟踪训练1．下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x 2－6x ＝0；(2)2x 2－5xy ＋6y ＝0；(3)2x 2－13x－1＝0； (4)y 22＝0； (5)x 2＋2x －3＝1＋x 2.2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x 2－1＝4x; (2)4x 2＝81；(3)4x(x ＋2)＝25; (4)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3.3．已知方程(a －4)x 2－(2a －1)x －a －1＝0.(1)a取何值时，方程为一元二次方程？(2)a取何值时，方程为一元一次方程？4．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.活动3 课堂小结1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.参考答案【预习导学】(一)知识探究1．一≠0 整式 2.ax2＋bx＋c＝0 ax2bx c a b(二)自学反馈1．D 2.C【合作探究】活动2跟踪训练1．(1)、(4)是一元二次方程．2．(1)5x2－4x－1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x2－7x＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.3．(1)当a－4≠0即a≠4时，方程为一元二次方程．(2)a－4＝0，且2a－1≠0时，原方程为一元一次方程．即a ＝4时，原方程为一元一次方程．4．(1)根据题意，得4x2＝25，将其化成一元二次方程的一般形式是4x2－25＝0.(2)根据题意，得x(x－2)＝100，将其化成一元二次方程的一般形式是x2－2x－100＝0.(3)根据题意，得x＝(1－x)2，将其化成一元二次方程的一般形式是x2－3x＋1＝0.。
北师大版九年级数学上册 一元二次方程 导学案
北师大版九年级数学上册第二章2.1.1 一元二次方程 导学案预习目标1．理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．2．体会方程的模型思想．预习导学阅读教材P31～32，完成下列问题：(一)知识探究1．只含有________个未知数，并且都可以化成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a________)的形式的________方程，这样的方程叫做一元二次方程．2．我们把____________(a ，b ，c 为常数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中________，________，________分别为二次项、一次项和常数项，________，________分别称为二次项系数和一次项系数．(二)自学反馈1．下列方程中，是一元二次方程的是( )A ．x －y 2＝1 B.x 2－1＝0C.1x 2－1＝0D.x 22－x －13＝0 2．将方程(2x ＋1)x ＝(3x －2)x ＋2化简整理写成一般形式后，其中a 、b 、c 分别是( )A.2－3，1， 2B.2－3，1，－ 2C.3－2，－3， 2D.3－2，1， 2例题讲解活动1 小组讨论例1 判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x 2＝0； (2)2(x 2－1)＝3y ；(3)2x 2－3x －1＝0; (4)1x 2－2x＝0； (5)(x ＋3)2＝(x －3)2; (6)9x 2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．提示： 判断一个方程是不是一元二次方程，首先需要将方程化简，使方程的右边为0，然后观察其是否具备以下三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可．例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x 2－13x ＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.提示： (1)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.活动2 跟踪训练1．下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x 2－6x ＝0；(2)2x 2－5xy ＋6y ＝0；(3)2x 2－13x－1＝0； (4)y 22＝0； (5)x 2＋2x －3＝1＋x 2.2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x 2－1＝4x; (2)4x 2＝81；(3)4x(x ＋2)＝25; (4)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3.3．已知方程(a －4)x 2－(2a －1)x －a －1＝0.(1)a 取何值时，方程为一元二次方程？(2)a 取何值时，方程为一元一次方程？4．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 活动3 课堂小结1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，特别强调a ≠0.参考答案【预习导学】(一)知识探究1．一 ≠0 整式 2.ax 2＋bx ＋c ＝0 ax 2 bx c a b(二)自学反馈1．D 2.C【合作探究】活动2 跟踪训练1．(1)、(4)是一元二次方程．2．(1)5x 2－4x －1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x 2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x 2＋8x －25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x2－7x ＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.3．(1)当a －4≠0即a ≠4时，方程为一元二次方程．(2)a －4＝0，且2a －1≠0时，原方程为一元一次方程．即a ＝4时，原方程为一元一次方程．4．(1)根据题意，得4x 2＝25，将其化成一元二次方程的一般形式是4x 2－25＝0.(2)根据题意，得x(x －2)＝100，将其化成一元二次方程的一般形式是x 2－2x －100＝0.(3)根据题意，得x ＝(1－x)2，将其化成一元二次方程的一般形式是x 2－3x ＋1＝0.1、最困难的事就是认识自己。
新北师版初中数学九年级上册2.1第1课时一元二次方程公开课优质课导学案
第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程学习目标：1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【预习案】二、自学探究：理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材，回答：（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为为m.根据题意，可得方程（2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程：【探究案】探究点1：一元二次方程的概念1．一元二次方程的一般形式是（）（1）提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠ 0 就成了一元一次方程了) （2）方程中a x2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称各是什么？（3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0．探究点2：一元二次方程解决生活中的应用根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。
北师大版初中数学九年级上册2.1.1一元二次方程的概念(教案)
举例：通过具体方程说明判别式Δ > 0，Δ = 0，Δ < 0对应的根的情况。
2.教学难点
（1）理解一元二次方程的一般形式：学生需要理解方程中a、b、c的作用，以及为何a ≠ 0；
难点解析：通过示例对比，让学生直观感受a ≠ 0时方程的特点，以及当a = 0时方程的变化。
2.一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
3.一元二次方程的判别式：Δ = b^2 - 4ac，用于判断方程的根的情况。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下核心素养：
1.理解一元二次方程的概念，提高数学抽象和逻辑推理能力；
2.学会运用一元二次方程的一般形式及其判别式，培养数学建模和问题解决能力；
在教学过程中，教师要针对这些重点和难点内容，采用讲解、举例、练习、讨论等多种教学方法，帮助学生透彻理解一元二次方程的核心知识，并能够解决实际问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的概念》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决面积或距离等问题的情况？”（如：计算正方形草坪的面积，或物体自由落体的距离等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程的奥秘。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了一元二次方程的概念，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。首先，我发现同学们在理解一元二次方程的定义时，对a ≠ 0这个条件的理解不够深入。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生理解这个条件的重要性，可以通过对比举例的方式，让学生更加直观地感受a ≠ 0时方程的特点。
九年级数学上册 2.1 一元二次方程(第1课时)导学案 (新版)北师大版
认识一元二次方程第1课时一元二次方程【学习目标】1．探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识．2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．【学习重点】一元二次方程的概念．【学习难点】如何把实际问题转化为数学方程．情景导入生成问题1．单项式和多项式统称为整式．2．含有未知数的等式叫做方程．3．计算：(x＋2)2＝x2＋4x＋4；(x－3)2＝x2－6x＋9．4．计算：(5－2x)(8－2x)＝4x2－26x＋40．自学互研生成能力知识模块一探索一元二次方程先阅读教材P31“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：1．在第一个问题中，地毯的长可以表示为(8－2x)m，宽可以表示为(5－2x)m，由矩形的面积公式可以列出方程为(8－2x)(5－2x)＝18．2．在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x，你又能列出怎样的方程呢？答：设五个连续整数中间的一个数为x，由题意可列方程，得(x－2)2＋(x－1)2＋x2＝(x＋1)2＋(x＋2)21．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？2．问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？你能设出未知数，列出相应的方程吗？答：问题1由题意可列方程：(100－2x)(50－2x)＝3600；问题2由题意可列出方程：(x＋6)2＋72＝102.3．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？(1)(100－2x)(50－2x)＝3600(2)(x ＋6)2＋72＝102归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 为常数，a ≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项的系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．知识模块二 一元二次方程有关概念的应用解答下列各题：1．下列方程中，是一元二次方程的是( C ) A ．x 2＋2y －1＝0 B ．x ＋2y 2＝5 C ．2x 2＝2x －1 D ．x 2＋1x－2＝02．将方程(x ＋3)2＝8x 化成一般形式为x 2－2x ＋9＝0，其二次项系数为__1__，一次项系数是__－2__，常数项是__9__．典例讲解：关于x 的方程mx 2－3x ＝x 2－mx ＋2是一元二次方程，m 应满足什么条件？分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可．解：由mx 2－3x ＝x 2－mx ＋2得到(m －1)x 2＋(m －3)x －2＝0，所以m －1≠0，即m≠1.所以关于x 的方程mx 2－3x ＝x 2－mx ＋2是一元二次方程，m 应满足m≠1.对应练习：1．关于x 的方程(a －1)x 2＋3x ＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是a ≠1．2．已知方程(m ＋2)x 2＋(m ＋1)x －m ＝0，当m 满足m ＝－2时，它是一元一次方程；当m 满足m≠－2时，它是一元二次方程．3．(易错题)已知关于x 的方程(m －2)x |m|＋3x －4＝0是一元二次方程，那么m 的值是( C ) A ．2 B ．±2 C ．－2 D ．1交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索一元二次方程知识模块二 一元二次方程有关概念的应用检测反馈 达成目标1．在下列方程中，是一元二次方程的有( A )①2x 2－1＝0；②ax 2＋bx ＋c ＝0；③(x＋2)(x －3)＝x 2－3；④2x 2－1x＝0. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．把方程(x －5)(x ＋5)＋(2x －1)2＝0化成一元二次方程的一般形式为( A ) A ．5x 2－4x －4＝0 B ．x 2－5＝0 C ．5x 2－2x ＋1＝0 D ．5x 2－4x ＋6＝03．阅读材料，解答问题：有一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm 2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？问题：(1)如果设小正方形的边长为x cm ，那么盒子底面的长为(80－2x)cm ；宽为(60－2x)cm ，根据题意，所列方程为(80－2x)(60－2x)＝1500． (2)所列方程的一般形式是什么？是哪一种方程？并指出其各项的系数．一般形式为x 2－70x ＋825＝0，是一元二次方程．二次项系数为1，一次项系数为－70，常数项为825 课后反思 查漏补缺1．收获：_____________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版九年级数学上精品导学案(可打印)2.1认识一元二次方程(2)导学单
九年级数学导学案班级： 姓名: 【学习课题】 §2.1认识一元二次方程 （二） 【学习目标】1.理解方程的解的概念.2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.3.会估算一元二次方程的解.【学习重点】经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义. 【学习难点】估算一元二次方程的解. 【学习过程】 一、温故知新1、下列各方程中属于一元二次方程的是（ ）（1）214y y -=，（2）22t =，（3）213x =，（4）20x x -=，（5）325x x -=，（6）22(1)20x x ++-=。
Ａ．（1）（2）（3）． Ｂ．（2）（3）（4）． Ｃ．（1）（2）（6）． Ｄ．（1）（2）． 2、 方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是 ，其二次项是__________，一次项系数是__________，常数项是__________.3、 m = 时，关于x 的方程2(31m m x mx m --=是一元二次方程。
4、 名词解释：一元二次方程： 方程的解： 解方程：5、下面哪些数是方程 x 2–x –6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,46、已知a 是方程 x 2+2x －2=0 的一个实数根, 求 2a 2+4a+2018的值. 二、探究新知【探究一】一元二次方程的根使一元二次方程等号两边 的 叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 1、已知方程5x ²+mx -6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______．2、若关于x 的一元二次方程（m+2)x 2+5x+m 2-4=0，有一个根为0，求m 的值.【探究二】一元二次方程解的估算2、梯子的滑动：x 2+12x - 15=0 三、应用提升1、请求出一元二次方程 x 2 - 2x -1=0的2、已知关于x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a ≠0)一个根为1, 求a+b+c 的值.（1）（2018•苏州）若关于x 的一元二次方程x 2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．（2）（2018•扬州）若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1=0的一个根，则6m 2﹣9m+2015的值为 ． 四、归纳小结解一元二次方程（“两边夹”方法）步骤：1、 ；2、 ；3、 ；4、 ； 五、课后作业1．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．2．下面哪些数是方程2x 2＋10x ＋12＝0的根？________________ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.3．已知关于x 的方程x 2－kx －6＝0的一个根为x ＝3，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24.若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）A 、 1B 、 -1C 、 1或-1D 、125．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( )A ．－52 B.12 C ．－52或12 D ．16. 若a 为方程x 2+x －5＝0的解，则a 2+a+1的值为（ ）A.12B.6C.9D.167. 已知长方形宽为xcm ，长为3xcm ，面积为24cm 2，则x 最大不超过( )A ．1B ．2C ．3D ．48．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的范围是( )A.3<x<3.23 9．根据关于2则方程x 2＋px A ．解的整数部分是0，十分位是5 B ．解的整数部分是0，十分位是8 C ．解的整数部分是1，十分位是1 D ．解的整数部分是1，十分位是210 . 若一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠有一个根为1，则=++c b a _________；若有一个根是-1，则b 与a 、c 之间的关系为________；若有一个根为0，则c=_________.11. 若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） A 、1，0 B 、-1，0 C 、1，-1 D 、无法确定 12. 如果x ＝1是方程ax 2＋bx ＋3＝0的一个根，求(a －b)2＋4ab 的值．13. P 35习题2.2第2题。
北师大版九年级数学上册导学案 第二章第1节认识一元二次方程
2.1认识一元二次方程【教学目标】知识与技能一元二次方程的概念及它的一般形式及求一元二次方程的近似解过程与方法经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型.经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识。
情感、态度与价值观1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.发展估算意识和能力【教学重难点】教学重点：一元二次方程的概念：a≠0教学难点：理解一元二次方程的概念：a≠0【导学过程】【创设情景，引入新课】什么是一元一次方程、什么是二元一次方程？【自主探究】阅读课本P31，回答问题：1、什么是一元二次方程？2、什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？【课堂探究案】阅读课本P31-33，回答问题：1、什么是一元二次方程？2、什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？元二次方程应用举例：（1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为__________m，宽为___________m，根据题意，可得方程________________________.化成一般形式得_______________ .（2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和.列出方程并化简. 如果设五个连续整数中第一个数为x ，那么后面四个数依次表示为 ， ， ， .根据题意，可得方程 . 化成一般形式得_______________ .（3）如图2，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简.由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m ，如果设梯子底端滑动xm ，那么滑动后梯子底端距墙 m ，根据题意，可得方程 . 化成一般形式得_______________：在前一节的问题中，梯子底端滑动的距离x （m ）满足(x+6)2+72=102一般形式是： 。
九年级数学上册 2.1 第1课时 一元二次方程教案2 (新版
第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程教学目标1、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
重点：认识产生一元二次方程知识的必要性难点：列方程的探索过程【教学过程】一、学前准备：1、什么叫方程？2、什么叫一元一次方程？二、问题探究：探究一：根据题意，列出方程1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？如果设所求的宽度为x m,你能列出怎样的方程?2、梯子移动一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程？探究二：1、上述两个方程有什么共同特点？备注备注8m5m12、你还能写出具备上述特征的方程吗？ 综上有： 一元二次方程的定义： 一元二次方程的一般式：三、课堂检测： （一）、判断题（是一无二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”） 1. 5x 2+1=0 （ ） 2. 3x 2+x1+1=0 （ ）3. 4x 2=ax (其中a 为常数) （ ）4.2x 2+3x =0 （ ）5.5132+x =2x （ ） 6.22)(x x + =2x （ ）（二）、填空题. 1.方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是_______，常数项是__________.2.如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________. 3.关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m ________时，是一元一次方程。
北师大版九年级上册数学 第1课时 一元二次方程导学案3
第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程【学习目标】1．了解整式方程和一元二次方程的概念。
2. 知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3．通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
【重点、难点】重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定【学习过程】一、知识回顾1．什么是整式方程？_什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。
就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。
如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程．2、指出下列方程那些是一元二次方程：那些是一元一次方程？(1) 3x十2＝5x—3(2) x2＝4(3) (x十3)(3x•4)＝(x十2)2；(4) (x—1)(x—2)＝x2十8；以上是一元二次方程的为：___________ 以上是一元一次方程的为________二、探究新知[一]1．一元二次方程的一般形式是（）1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠0 就成了一元一次方程了)2）．方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称各是什么？3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0．探究新知（二）1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项:（1）x 2十3x十2＝O ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）x 2—3x十4＝0；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿(3)3x 2-5＝0 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）4x 2十3x—2＝0；＿＿＿＿＿＿＿＿＿(5)3x 2—5＝0；＿＿＿＿＿＿＿＿(6)6x 2—x=0. ＿＿＿＿＿＿＿2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项:(1)6x -2＝3-7x；(2)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(3) (3x十2) 2＝4(x-3) 2[学以致用：]强化概念：1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x2十3x十2＝O ＿＿＿＿＿＿（2）x2—3x十4＝0；＿＿＿＿＿＿＿(3) 3x2-5＝0＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）4x2十3x—2＝0；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿(5)3x2—5＝0＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿(6)6x2—x=0＿＿＿＿＿＿＿＿2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：(1)6x2＝3-7x(2)3x(x-1)＝2(x十2)—4(3)(3x十2)2＝4(x-3)２[知识总结：](1) 什么是一元二次方程？是一元二次方程满足哪几个条件？(2) 要知道一元二次方程的一般形式{ax2十bx十c＝0(a≠0)}并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多几项、其中（）可以不出现、但（）必须存在。
北师大版九年级上册数学 第1课时 一元二次方程导学案1
第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。
2、能力培养：能根据具体情景应用知识。
3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
【学习重点】1、一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。
【学习过程】一、前置准备：1、什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？2、多项式2x2-3x+1是几次几项式？每项的系数和次数分别是几？二、自学探究：理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材，回答：（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为为m.根据题意，可得方程（2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m，梯子顶端距地面的垂直距离为m，根据题意，可得方程：三、合作交流：观察上述三个方程，它们的共同点为：①；②；这样的方程叫做。
其中我们把称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c 分别称为、、，a、b分别称为、。
1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式，并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）（2）（3）四、归纳总结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？与同学交流一下。
1.一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。
五、当堂训练：1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是，说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：（1）2x 2+3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x 2+3x+1（3）（2x-1）（3x+5）=-5 （4）（3x+1）（x-2）=-5x2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
北师版九年级上册数学2.1 第1课时 一元二次方程2教案
优秀领先飞翔梦想第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程教学目标1、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
重点：认识产生一元二次方程知识的必要性难点：列方程的探索过程【教学过程】一、学前准备：1、什么叫方程？2、什么叫一元一次方程？二、问题探究：探究一：根据题意，列出方程1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？如果设所求的宽度为x m,你能列出怎样的方程?2、梯子移动一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程？备注8m5m第 1 页共2 页第 2 页 共 2 页优秀领先 飞翔梦想探究二：1、上述两个方程有什么共同特点？2、你还能写出具备上述特征的方程吗？ 综上有： 一元二次方程的定义：一元二次方程的一般式：三、课堂检测： （一）、判断题（是一无二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”） 1. 5x 2+1=0 （ ） 2. 3x 2+x1+1=0 （ ）3. 4x 2=ax (其中a 为常数) （ ）4.2x 2+3x =0 （ ）5.5132+x =2x （ ） 6.22)(x x + =2x （ ）（二）、填空题. 1.方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.2.如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________. 3.关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程。
新北师大版九年级数学上册2.1.认识一元二次方程(2)导学案.doc
新北师大版九年级数学上册2.1．认识一元二次方程（2）导学案班级： 姓名： 年 月 日教学目标：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
教学重点：探索求解一元二次方程的方法．教学难点：体会用“夹逼”思想解一元二次方程的做题思路。
一、复习回顾活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ； ()2221076x =++，即：01512x x 2=-+。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。
上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？ 二、情境引入1、有一根外带有塑料皮长为100m 的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。
2、在前一节课的问题中，我们若设所求的宽度为x(m)，得到方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；（1）根据题目的已知条件，你能确定x 的大致范围吗？说说你的理由．（2）x 可能小于0吗？可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流． （3）完成下表：（4）你知道所求的宽度x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流． 三、做一做上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程()2221076x =++，把这个方程化为一般形式为01512x x 2=-+（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? x 应该在 之间，理由是： （2）小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法正确吗?为什么? （3）底端滑动的距离可能是2 m 吗?可能是3 m 吗?为什么? （4）x 的整数部分是几?十分位是几? 完成下面的表格：通过表格分析发现， x应该在和之间，它的整数部分是。
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第二章一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
第1课时一元二次方程
学习目标：
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目．
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
【预习案】
二、自学探究：
理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材，回答：
（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为为m. 根据题意，可得方程
（2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：
；
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：
（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m，梯子顶端距地面的垂直距离为m，根据题意，可得方程：
【探究案】
探究点1：一元二次方程的概念
1．一元二次方程的一般形式是（）
（1）提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠0 就成了一元一次方程了)
（2）方程中a x2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称各是什么？
（3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0．
探究点2：一元二次方程解决生活中的应用
根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。
【训练案】
1．在下列方程中，一元二次方程有_____________．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5
x
=0
2. 方程2x2=3（x-6）化为一般式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别是（）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，
常数项为_________．
5. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项：
⑴ 3x2+1=6x ⑵4x2+5x=81 ⑶ x(x+5)=0
⑷ (2x-2)(x-1)=0 ⑸x(x+5)=5x-10 ⑹ (3x-2)(x+1)=x(2x-1)
初中数学公式大全
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12 两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角
25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等
26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形
27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形
28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等
29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷2
31 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
34 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并
且被对称中心平分
37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。