高中数学选修2-1精品教案2：1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计

1.1.3 四种命题间的相互关系一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．(2)感悟四种命题真假性的判断方法：直接判断、利用等价性判断．(3)理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；会判断充分条件、必要条件与充要条件．(4)感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法：直接利用定义、利用命题的真假性、利用关系结构图、利用集合知识．2．预习提纲(1)什么叫命题?两个命题怎样才能成为互逆命题?(2)四种命题之间的相互关系你会用图来表示吗?(3)充分条件、必要条件与充要条件的意义：如果p ⇒q，那么p是q的_________，q是p 的___________；如果p ⇔q，那么p是q的__________．(4)阅读课本第5页至第9页内容，并完成课后练习．(5)结合课本第6页的例1，学会写出命题的逆命题、否命题与逆否命题；结合课本第6页的例2，体会判断命题、逆命题、否命题与逆否命题真假的方法；结合课本第7页的例1，感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法．(6)请小结四种命题真假性的判断方法以及充分条件、必要条件与充要条件的判断方法，并与同学交流．3．典型例题(1)如何判断一个命题的真假?例1 判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．①x2－5x+6=0；②当x=4时，2x<0；③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?④一个数不是合数就是质数；⑤求证：若x∈R，方程x2+x+1=0无实根．分析：可以判断真假的语句叫做命题，命题非真即假，二者必居其一．对于不含逻辑联结词的简单命题，可直接判断其真假．解:①不是命题，因为语句中含有变量x，在不给定变量的值之前，我们无法确定该语句的真假(这种含有变量的语句叫“开语句”)；②是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题；③不是命题，因为没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，疑问句不是命题；④是命题，假命题，因为数1既不是质数也不是合数；⑤不是命题，它是祈使句，没有作出判断．点评：开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)如何写出四种命题，它们的真假关系如何?例 2 已知命题:有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形．请判断这个命题和它的否命题的真假．分析：我们先要把命题写成为“若p则q”的形式，然后写出命题的逆命题、否命题与逆否命题．解：等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故原命题是假命题．又平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等，即逆命题是真命题，据逆命题和否命题的等价性知，否命题是真命题．点评：直接举反例可知原命题为假命题．而否命题的真假难判定，则通过判定其等价命题－－逆命题的真假来推得结论．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假．例3 原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”，请写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．分析：因为互为逆否命题的两个命题同真或同假，所以要判断四种命题的真假，只需判断其中两个的真假，然后利用等价性得到另两个命题的真假．解：原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”是真命题，逆否命题：“若x，y不互为倒数，则xy≠1”，因为原命题与逆否命题是等价命题，它们同真或同假，所以逆否命题是真命题；逆命题：“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题，否命题：“若xy≠1，则x，y不互为倒数”，因为逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假，所以否命题是真命题．因此原命题、逆命题、否命题、逆否命题都是真命题．点评：本题是利用四种命题的关系判断四种命题的真假．例4 已知p：x+y≠3，q：x≠1 或y≠2，则p是q的________ 条件(填：充要、充分而不必要、必要而不充分、既不充分又不必要)．解：∵p：x+y≠3，q：x≠1 或y≠2∴非p：x+y =3，非q：x =1 且y =2当非q成立时，x =1 且y =2，则x+y =3，即非p成立，∴非q⇒非p；但当非p成立时，非q不一定成立，如x=y=1．5时，x+y=3，非p成立，非q不成立，故：非p⇒非q．∴p⇒q且q⇒p，p是q的充分而不必要条件．点评：p、q都是否定性说法，考察命题“若p则q”、“若q则p”的真假性较难，故先判断其逆否命题“若非q则非p”、“若非p则非q” 的真假，再利用等价性判断命题“若p则q”、“若q则p”的真假，从而判断条件的充要性．例5 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么，(1)s是q的什么条件；(2)r是q的什么条件；(3)p是q的什么条件．解：据题意(1)s是q的充要条件；(2)r 是q 的充要条件；(3)p 是q 的必要条件．点评：这是多条件的充分条件、必要条件、充要条件的关系判定，应根据定义，考察p 、q 、r 、s 的互推关系，画出它们的关系结构图，再予以判定．例6 已知p ：1123x --≤，q ：：x 2－2x + 1－m 2≤0(m > 0)，若非p 是非q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由x 2－2x +1－m 2≤0，(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m ，故非q ：A ＝{x |x > 1+m 或x < 1－m ，m > 0}， 由2311≤--x ，得－2≤x ≤10， 故非p ： B ＝{ x | x >10或x <－2}，∵非p 是非q 的充分而不必要条件，∴B ≠⊂A ．∴⎩⎨⎧≤+-≥-10121m m 且等号不能同时取，解得：m ≤3，又m >0，∴ 0 <m ≤3． ∴实数m 的取值范围是(]3,0．点评：本例由“非p 是非q 的充分而不必要条件”得“非p ⇒非q 但非q \⇒非p ”，然后借助集合间关系求得m 的取值范围．本题也可用四种命题的关系，将已知条件等价转化为“q ⇒p 且p \⇒q ”，然后求解．请再用等价转化的思想解答本例．(3)相关的证明问题的处理：①要证明p 是q 的充分不必要条件，只要证明“若p 则q ”为真，而“若q 则p ”为假； ②要证明p 是q 的必要不充分条件，只要证明“若q 则p ”为真，而“若p 则q ”为假； ③要证明p 是q 的充要条件，只要证明“若p 则q ”与 “若q 则p ”都为真，即：对于充要条件的证明，一般分充分性和必要性两种情况分别加以证明，缺一不可；④要证明p 是q 的既不充分又不必要条件，只要说明“若p 则q ”与“若q 则p ”都为假． 例7 方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)至少有一负实根的充要条件是_____．分析：由a ≠0知方程是一元二次方程，方程至少有一负根包括两种情形：有一非负根和一负根、有两个负根，应分类讨论．解：将x =0代入原方程，得1=0，不合题意，因此方程无零根．(1)方程有一正根和一负根001<⇔<⇔a a； (2)方程有两个负根100102044≤<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆⇔a aa a ．综合(1)、(2)，方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)至少有一负根的充要条件是a <0或0<a ≤1．点评：本题运用一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，结合分类讨论思想求解． 例8 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一实根x =1的充要条件是a +b +c =0．证明：必要性：若方程ax 2+bx +c =0有一根x =1，则由根的定义得：0112=+⨯+⨯c b a ，即a+b+c =0；充分性：若a+b+c =0，则由ax 2+bx +c=0，得ax 2+bx －(a+b )=0，∴0)1()1(2=-+-x b x a ，∴0])1()[1(=++-b x a x ，所以方程有一根x =1．综上所述，方程ax 2+bx +c=0有一根x =1的充要条件是a+b+c =0．点评：对于充要条件的证明，一般都分“充分性”和“必要性”两种情况分别加以证明，缺一不可．证明时不要颠倒充分性和必要性．4．自我检测(1)判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．① 3是12的约数；② 大角所对的边大于小角所对的边；③ π是无理数吗?④ 一个数不是质数就是合数．(2)写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题．① 原命题：若a =0，则ab =0② 原命题：对角线相等的平行四边形是矩形．(3)填空：(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空)① “AB +BC =AC ”是“A 、B 、C 三点共线”的___________条件；② “l ∥AB ”是“A 、B 到l 等距离”的________条件．③ “ab =0”是“a 2+b 2=0”的________条件．④ 若a ≠0，则“x =1是方程ax 2+bx +c =0的一个根”是“a+b+c =0”的_______条件．(4)① “(1－|x |)(1+x )>0”是“|x |<1”的__________条件；② “a ≠1”是“a 2≠1”的________条件；③ “A ⊇B ”是“(A∩C )⊇(B∩C )”的_________条件．三、课后巩固练习A 组1．若命题m 的逆命题是n ，命题m 的否命题是r ，则n 是r 的_______．(填逆命题、否命题、逆否命题)2．写出命题 “若x 2+y 2=0，则x ，y 全为零”的逆命题，否命题，逆否命题．3．以下四个命题的的真假是_________ ．(1)原命题：若一个自然数的末位数字为5，则这个自然数能被5整除；(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为5；(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为5，则这个自然数不能被5整除；(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为5．4．判断命题“若a ，b 是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题的真假．5．判断命题“若m >0，则x 2+x －m =0有实根”的逆否命题的真假．6．写出命题“若x ≠y ，则x 2≠y 2”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．7．指出下列命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：|x |≤1，q ：|x |<2；(2)p ：x >－1，q ： |x |<1 ．8．若a 、b 、c 都是实数，试从(A )ab =0；(B )a+b =0；(C )a 2+b 2=0；(D )ab >0；(E )a+b >0；(F )a 2+b 2>0，分别选出适合下列条件者，用代号填空：(1)使a 、b 都为0的充分条件是________________；(2)使a 、b 都不为0的充分条件是______________；(3)使a 、b 中至少有一个为0的充要条件是____________；(4)使a 、b 中至少有一个不为0的充要条件是_______________．9．a 、b ∈R ，条件⎩⎨⎧>>11b a 是条件⎩⎨⎧>>+12ab b a 的_________． 10．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么非A 是非B 的什么条件? 11．⎩⎨⎧>>+44αββα是⎩⎨⎧>>22βα的______条件． 12．设P ：{x |0<x <5}，Q ：{x ||x －2|<5}，则P 是Q 的________．(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．13．“a ≠0”是“ab ≠0”的______条件．14．“a 2－b 2是偶数”成立的______条件是“a －b =0”．15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分但不必要条件，那么丙是甲的___________条件．16．方程3x 2－10x +k =0有两个异号的实根的充要条件是_____．17．下列四组条件：①甲：b a >；乙：ba 11< ②甲：0<ab ；乙：||||b a b a -<+③甲：b a =；乙：ab b a 2=+④甲：⎩⎨⎧<<<<1010b a ；乙：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a 其中甲是乙的充分但不必要条件的是____________(请把正确命题的序号填上)．B 组18．如果否命题为“若x +y ≤0，则x ≤0”，写出相应的原命题，逆命题与逆否命题．19．原命题为“末位数是0的整数，可以被5整除”，写出逆命题，否命题，逆否命题．20．把命题“负数的平方是正数”改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．21．有下列命题：(1)“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题；(2)“全等三角形是相似三角形”的否命题；(3)“若m >1，则关于x 的不等式mx 2－2(m +1)x －(m －3)>0的解集为R ”的逆命题；(4)“若a +5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中，是真命题的是___________ ．22．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，与它的逆命题，否命题及逆否命题中假命题有_____个，真命题有______个．23．写出命题“若A ⊆B ，则A B =A ”的逆命题，并判断真假．24．设原命题是“当a >0时，若|x |<a ，则－a <x <a ”写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．25．下列四个命题：①若a 、b 是无理数，则a +b 是无理数；②若A ∩B =A ，则A =B ；③x ≠2且y ≠3是x+y ≠5的充分不必要条件； ④00≥⇔≥ab ba 其中，假命题是________________(请把序号填上)26．已知直角坐标平面上四点坐标分别为：A (1，1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)，P 是y 轴上任意一点，试判断：P 在y 轴上是∠APD=∠BPC 的什么条件?27．已知p 是r 的充分条件，r 是q 的必要条件，r 又是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，那么(1)s 是p 的什么条件? (2)r 是q 的什么条件? (3)在p 、q 、s 、r 中，哪几对互为充要条件?28．设条件p ：|43|1x -≤；条件q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x ．若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是．29．已知条件p ：ax 2+2ax +1>0的解集为R ；条件q ：0<a <1，则p 成立是q 成立的什么条件?30．设n N +∈,则一元二次方程有整数根的充要条件是=．31．求证：不等式mx 2+4mx +1>0的解集为(+∞∞-,)的充要条件是0≤m <14． C 组32．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ，b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．那么，命题Ⅰ、命题Ⅱ是否正确?33．定义在R 上的函数y =f (x －1)是单调减函数，其图象如图所示，给出三个结论：(1)f (0) =1；(2)f (1)<1；(3)f (0)<0．5．其中正确的命题是．34．给出以下命题：①若04log )4(log 2<≤+a a a a ，则a 的取值范围是(1，∞+)； ②函数2log )(=x f )15(2+-x x 的单调递 减区间为)25,(-∞；③若数列{a n }前n 项之和为S n =3n －2，则数列{a n } 240x x n -+=n的通项公式a n =2×3n －1；④若定义在R 上的函数f (x －1)的图象关于直线x =1对称，则f (x ) 为偶函数．则以上命题中正确命题的序号为．35．判断命题“若ab =0，则a ≠0且b ≠0”的否命题的真假．36．判断命题“若ab ≤15，则a ≤5或b ≤3”的否命题的真假．四、学习心得五、拓展视野我们规定真命题赋值为1，假命题赋值为0，“1”或“0”均称作命题的“真值”．命题A ：“在同一个直角坐标系中，曲线y = a x (a > 0)的图象与y = x 的图象至多有一个交点．”那么，命题A 的真值是_______．解：当a =1和0 <a < 1时，y = a x 与y = x 的图象有且仅有一个交点；而当a > 1时，若取a =2，则x =1时，y = a x = 2>1，(1，2)在直线y =x 的上方；当x =2时，y = a x =2，(2， 2)是两曲线的一个交点，当x = 3时，y = a x = 22< 3，(3，22)在直线y = x 的下方；当x = 4时，y = a x = 4，(4 ， 4)是两曲线的另一个交点；当x > 4时，(2)x >x ，两曲线再无交点．所以，当a = 2时，y = a x 的图象与y =x 的图象有两个交点，故命题A 是假命题，其真值为0．点评：题中当0 < a ≤1时两曲线只有一个公共点，但当a > 1且a 比较接近1时，如解中的a=2，或a = 1．1等，两曲线有两个公共点．而当a 较大时，如a =2，a =3等时，两曲线无公共点．判断一个命题为假，只需找出一个反例．故A 是假命题．。