高中数学1命题及其关系公开课教案
高中数学《命题及其关系-充分条件与必要条件》教案苏教版选修
教案：高中数学《命题及其关系-充分条件与必要条件》教案苏教版选修一、教学目标1. 理解充分条件和必要条件的概念。
2. 学会判断充分条件和必要条件。
3. 掌握充分条件和必要条件与命题真假之间的关系。
4. 能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。
二、教学重点与难点重点：充分条件和必要条件的概念及判断。
难点：充分条件和必要条件与命题真假之间的关系。
三、教学准备1. 教师准备PPT课件，包括充分条件和必要条件的定义、判断方法及应用实例。
2. 准备一些练习题，用于巩固所学知识。
四、教学过程1. 导入：教师通过一个生活实例引入新课，如：“如果一个人每天坚持锻炼身体，他身体健康。
”让学生思考这个实例中的条件和结论之间的关系。
2. 新课讲解：教师讲解充分条件和必要条件的定义，并通过PPT展示相关知识点。
定义：如果一个条件能推出结论，这个条件叫做结论的充分条件；如果结论能推出条件，这个条件叫做结论的必要条件。
教师讲解如何判断充分条件和必要条件，并举例说明。
3. 课堂练习：教师给出一些练习题，让学生判断给出的条件是充分条件还是必要条件，或两者都是。
五、课后作业1. 完成练习册的相关题目。
2. 举出生活中的实例，运用充分条件和必要条件进行分析。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了充分条件和必要条件的概念及判断方法。
如有需要，可在下一节课进行针对性讲解。
六、教学拓展1. 教师通过PPT展示充分条件和必要条件的相关拓展知识，如充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件等。
2. 教师举例解释这些概念，并让学生进行判断。
七、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学的内容，包括充分条件和必要条件的定义、判断方法及应用。
2. 学生分享自己在课堂练习中的收获和感悟。
八、课后反思1. 教师对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了充分条件和必要条件的概念及判断方法。
1.1命题及其关系教学设计教案[推荐五篇]
![1.1命题及其关系教学设计教案[推荐五篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/5d3674ca0342a8956bec0975f46527d3240ca61e.png)
1.1命题及其关系教学设计教案[推荐五篇]第一篇：1.1命题及其关系教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识目标：理解命题的概念；能判断命题的真假；能把命题写成若P则q的形式；能写出一个命题的另外三个命题。
（2）过程与方法目标：利用学生身边熟悉的事物引入命题和四种命题，让学生经历命题的概念和四种命题形成及运用过程，领会分析、总结的方法。
（3）情感与能力目标：通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，启迪思维，提高创新能力；通过学生的举例，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。
2.教学重点/难点【教学重点】：判断命题的真假, 一个命题的另外三个命题。
【教学难点】：把命题写成若P则q的形式, 一个命题的另外三个命题。
3.教学用具多媒体4.标签命题、四种命题教学过程一、情景引入问题1下列语句的表达形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?(1)若直线a//b,则直线a和b直线无公共点(2)2+4=7(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)若,则x=1(5)两个全等三角形的面积相等(6)3能被2整除二、知识建构定义1:用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
2、判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题。
问题2举出一些命题的例子，并判断它们的真假。
三、体验与运用例1判断下列哪些语句是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集。
（2）若整数a是素数，则a是奇数。
（3）指数函数是增函数吗？（4）若平面上两直线不相交，则这两直线平行。
（5）他还年青；（6）x>5;四、学生探究问题3：上题命题（２）（４）具有什么共同特征？命题“若p，则q”中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．例２指出下列命题的条件和结论：（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．（２）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分．（３）平行于同一个平面的两平面平行．问题4: 同位角相等，两直线平行；② 两直线平行，同位角相等；③ 同位角不相等，两直线不平行；④ 两直线不平行，同位角不相等．命题①与命题②、③、④的条件和结论之间分别有什么的关系？定义3、四种命题原命题：若 p，则q。
《命题及其关系》教案Word版
1.1命题及其关系第一课时 1.1.1 命题及其关系一、教学目标（一）知识目标：了解命题的概念；会判断一个命题的真假；并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.（二）能力目标：培养学生的概括能力和思维能力；培养学生的辨析能力及培养他们分析问题和解决问题的能力（三）德育目标：激发学生学习的兴趣和积极性；养成良好的学习习惯二、教学的重难点及教学设计（一）教学重点：命题的改写.（二）教学难点：命题概念的理解.（三）授课类型：新授课（四）教学方法：教师引导，合作交流与独立探究相结合三、教具准备：多媒体课件四、教学过程：（一）导入新课（用PPT给出）思考：请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？（1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；（2） 2 + 4 = 7；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若 x2 = 1 , 则 x = 1 ；（5）两个全等的三角形面积相等；（6）3能被2整除.引导学生归纳以上语句特点：1 都是陈述句2 可以判断真假，其中，（2）（4）（6）判断为假，其它3个判断为真。
（二）讲授新课1. 教学命题的概念：①命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.强调，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（3）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题；假命题：判断为假的语句叫做假命题.上述5个命题中，（2）（4）（6）是假命题，其它3个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？、（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行=-（52（6）x>15（学生自练→个别回答→教师点评）分析加固对命题概念的理解分析：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件解：上面6个语句中，（3）不是陈述句，所以不是命题；（6）虽然是陈述句，但因为无法判断它的真假，所以它也不是命题；其余四个都是陈述句，并且都可以判断真假，所以都是命题，其中（1）（4）是真命题，（2）（5）是假命题。
人教A版高中数学命题及其相互关系精品教案
[答案] C
[解析]
原命题是假命题，故其逆否命题是假命题，而原
命题的逆命题是真命题，故其否命题是真命题．
二、填空题 4．(2012· 许昌高二检测)命题“若 a>3，则 a>5”的逆命题 是________．
[答案] 若 a>5，则 a>3
[解析] 将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得
原命题的逆命题．
(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是 直角三角形”，真命题． [点评] 本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、(3)
的解法．举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到 的方法.
名师辨误做答
[例 4]
写出命题“已知 a、b、c、d 是实数，如果 a＝b，c
＝d，则 a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并证明它们的真假． [错解] 逆命题：如果 a＋c＝b＋d，则 a、b、c、d 是实数，
5．“若 x≠1，则 x2－1≠0”的否命题是________．
[答案] [解析]
若 x＝1，则 x2－1＝0 “若 x≠1，则 x2－1≠0”的否命题是“若 x＝1，
则 x2－1＝0”．
4．间接证明有关问题 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接 证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间 接证明原命题为真，即正难则反的思想．
课前自主预习
1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题
互逆命题 ，其中一个命题叫做________ 原命题 ，另一个叫做原 叫做__________ 逆命题 ． 命题的________
题的否定或否命题时要注意一些关键词的否定，后面学习逻辑 联结词时还要详加讨论．
人教版高中数学公开课优质课件精选1.1命题及其关系1.1.1命题
• (2)是陈述句，能判断真假，是命题；
• (3)不是陈述句，不是命题；
• (4)是陈述句，不能判断真假，不是命题；
• (5)是陈述句，不能判断真假，不是命题．
•
判断一个语句是否为命题，一般把握
住两点：看其①是否为陈述句；②能否判断真假，两
者同时成立才是命题．注意不要把假命题误认为不是
命题．
• 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
• (7)指数函数是增函数吗？ • 上述语句有什么特点？能判断它们的真假吗？ • [提示] 语句(1)(2)(3)(4)是陈述句，能判断真假．语 句(5)(6)(7)不是陈述句，不能判断真假．
命题的概念
命题的结构
• 一般地，每一个命题都可以写成“若p，则q”的形 式的，__其__中_，命也题就中是的说p叫，做命条命题件题由的___________和___，__q_结叫_论_做两命部题分 组成． 条件 结论
• (1)求证π是无理数；
• (2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；
• (3)一个数的算术平方根一定是负数．
• 解析： (1)不是命题．因为它是祈使句．(2)是命 题．因为它是陈述句，并且可以判断真假．(3)是命 题．因为一个数的算术平方根为非负数．
命题真假的判断
•
判断下列命题的真假：
• (1)一个数的算术平方根一定是正数；
• (2)若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行；
• (3)若G2＝ab，则a，G，b成等比数列；
• (4)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实 根．
• 思路点拨： 根据真、假命题的定义进行判断．
• 解析： (1)是假命题．因为一个数的算术平方根为 非负数．
人教课标版高中数学选修1-1《命题及其关系》教案-新版
第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系一、教学目标1.核心素养培养数学抽象，形成逻辑推理能力．2.学习目标（1）了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．（2）命题的四种形式．3.学习重点了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．4.学习难点明白四种命题之间的关系，会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务：阅读教材P1－P4，思考：如何判断命题的真假？四种命题之间有什么关系？2．预习自测1．判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）对数函数是增函数吗？（3）2x<15；解：（1）真命题（2）疑问句，不是命题（3）不能判断真假，不是命题2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.解：（1）若两条直线相交，则有且只有一个交点；（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等；（3）若两个三角形全等，则它们的面积相等.3．命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是（）A.若a-1≤b-1,则a≤bB.若a<b,则a-1<b-1C.若a-1>b-1,则a>bD.若a≤b,则a-1≤b-1答案：A解析：命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.（二）课堂设计1．知识回顾在生活中，我们接触了哪些具体的命题？请大家阅读教材P2中所列举的6个命题例子，并试着列举生活与学习中的命题例子．2．问题探究问题探究一命题的含义1.什么是命题？思考：三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久发现了一只黑羊．“真有意思，苏格兰的羊都是黑的”天文学家谈论道．“这种推断不可靠”数学家应道．我们只能得出”在苏格兰有一些羊是黑色的”这样的结论．逻辑学家马上接着说我们真正有把握的不过是”在苏格兰至少有一个地方有至少一只黑羊”如何判断这些话的真假呢?阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）3>12；（3）3>12吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫做命题？一般地，在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题（proposition），其中判断为真的语句叫做__________（true proposition），判断为假的语句叫做__________（false proposition）．说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.（2）一个命题要么为真,要么为假．但不能同时既真又假,也不能模棱两可,无法判断其真假．（3）一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p 、q 、r 等． 问题探究二 命题的四种形式1.将一个命题改写成“若p ，则q ”的形式：在数学中，具有“若p 则q ”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式命题中的p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 ．数学中有一些命题虽然表面上不是“若p 则q ”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p 则q ”的形式．这样条件和结论就很清楚了． 2.四种命题的概念：原命题 逆命题 否命题 逆否命题若p 则q交换原命题的条件和结论，所得的命题是_______；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是_______；为了书写简便，常常把条件p 和结论q 的否定，分别记作“_______”和“_______”；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是_______．这些结论用于写一个命题的逆命题、否命题与逆否命题十分方便． 问题探究三 四种命题的相互关系与真假四种命题的相互关系图：原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假四种命题的真假关系：__________和__________互为逆否命题；__________和__________互为逆否命题 互为逆否的两个命题真假__________：互逆或互否的两个命题真假__________．3．课堂总结【知识梳理】命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．【重难点突破】掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．4．随堂检测1.命题“若a>b,则2a>2b-1”的逆否命题是________【知识点：四种命题】答案：若2a≤2b-1,则a≤b互换条件与结论,并进行否定,得其逆否命题“若2a≤2b-1,则a≤b”.2.给定下列命题：①“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根”的逆否命题;②若f(x)=cos x,则f(x)为周期函数;③“若A=B,则sin A=sin B”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是________.【知识点：四种命题】答案：①②④解析：对于①,因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以原命题为真.所以①是真命题.显然②是真命题.③的逆命题：“若sin A=sin B,则A=B”.是假命题.④的否命题：“若xy≠0,则x,y都不为零”.是真命题.3.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B全是锐角”的否命题为（）A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角D.以上均不对【知识点：四种命题】答案：B解析：否命题条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B.【误区警示】解答本题易出现选A 的错误,导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”.4.写出命题“若a,b 都是奇数,则a +b 是偶数”的逆命题,否命题及逆否命题,并判断它们的真假. 【知识点：命题真假的判断】解：逆命题：若a +b 是偶数,则a,b 都是奇数,是假命题; 否命题：若a,b 不都是奇数,则a +b 不是偶数,是假命题; 逆否命题：若a +b 不是偶数,则a,b 不都是奇数,是真命题. （三）课后作业 ★基础型自主突破1．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2+b 2+c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2+b 2+c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2+b 2+c 2³3 D ．若a 2+b 2+c 2³3，则a ＋b ＋c ＝3【知识点：四种命题】 答案：A.解析：由于一个命题的否命题既否定条件又否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2+b 2+c 2<3”．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是（ ） A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4 【知识点：四种命题】 答案：C解析：命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________． 【知识点：命题真假的判断】 答案：2个解析：由a >－3⇒a >－6，但由a >－6 a >－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题． 4．对于命题“若数列{a n }是等比数列，则a n ≠0”，下列说法正确的是________．(填序号) ①它的逆命题是真命题；②它的否命题是真命题； ③它的逆否命题是假命题；④它的否命题是假命题． 【知识点：命题真假的判断】 答案：④5．命题“若m ＞1，则mx 2－2x ＋1＝0无实根”的等价命题是________________． 【知识点：四种命题】答案：若mx 2-2x +1=0有实根，则m ≤16．在命题“若数列{n a }是等比数列，则n a ≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．【知识点：命题真假的判断】 答案：2个解析：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题，它的逆命题与否命题均为假命题． 7．写出命题“已知集合A ，B ，若A ∪B ≠B ，则A 不是B 的子集．”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 【知识点：命题真假的判断】答案：逆命题：已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则A ∪B ≠B ，真命题； 否命题：已知集合A ，B ，若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，真命题． 逆否命题：已知集合A ，B ，若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，真命题． 8．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)等腰梯形的两条对角线相等； (2)平行四边形的两条对角线互相垂直．答案：(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题． (2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题． 【知识点：命题真假的判断】 ★★能力型师生共研9．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是x，则x是p的（）A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上判断都不正确【知识点：四种命题之间的关系】答案：C 根据四种命题的关系，结合具体的例子可知，命题p与命题x是互为逆否命题10．若a，b∈R，且220a b+≠，则下列命题：①a，b全为0；②a，b不全为0；③a，b全不为0；④a，b至少有一个不为0.其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【知识点：四种命题的真假】答案：C解析：②④为真命题．11．命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．4【知识点：四种命题的真假】解：D.原命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a＞0，则a＞1”是真命题；否命题”对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．12．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆命题；②“正方形是矩形”的否命题；③若“ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；④若m＞2，则不等式x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【知识点：四种命题的真假】答案：C 命题①的逆命题是“若x＝0且y＝0，则xy＝0”，为真命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，为假命题；命题④为真命题，当m＞2时，方程x2-2x+m=0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.13．命题“若函数f(x)=loga x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是__________________．【知识点：四种命题】答案：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．14．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．【知识点：四种命题之间的关系】答案：[1,2]解析：由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．∴1112mm≤⎧⎨≥⎩－＋∴1≤m≤2.15．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝ax＋1是指数函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作△ABC≌△A1B1C1.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．【知识点：四种命题的真假】答案：①③⑤解析：①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2+4x+5=(x+2)2+1>0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．16．给出以下命题：①“正多边形都相似”的逆命题；②“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．【知识点：四种命题的真假】 答案：②解析：①逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题． ②∵Δ＝1＋4m ，若m ＞0，则Δ＞0， ∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真命题． ∴逆否命题也为真命题． ★★★探究型多维突破 17．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A >∠B ，则sin A >sin B ； ②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．①②③④【知识点：命题的真假】 答案：B解析：①②③正确．18．命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p ：________，结论q ：_________.它是________命题(填“真”或“假”) 【知识点：命题 命题真假判断】答案：二元一次不等式x ＋ay －1≥0；表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界)；真 19．命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【知识点：命题的真假；数学思想：转化与化归】 答案：[3,0]-解析：2230ax ax --≤恒成立，当0a =时，30-≤成立；当0a ≠时，24120a a a <⎧⎨∆=+≤⎩得30a -≤<；30a ∴-≤≤ 20．若方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，则p ＋q ＜14. (1)判断上述命题的真假，并说明理由．(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由． 【知识点：命题的真假；数学思想：转化与化归】 解：(1)上述命题是真命题．由题意，得方程的判别式Δ＝4p 2＋4q ＜0，得q ＜－p 2，∴p ＋q ＜p －p 2＝－(p －12)2＋14≤14，∴p ＋q ＜14.(2)逆命题：如果p ，q 是实数，p ＋q ＜14，则方程x 2＋2px －q ＝0没有实数根．逆命题是假命题，如当p ＝1，q ＝－1时，p ＋q ＜14，但原方程有实数根x ＝－1. （四）自助餐1．下列语句中命题的个数为________． ①空集是任何非空集合的真子集． ②三角函数是周期函数吗？ ③若x ÎR .，则x 2＋4x ＋7>0. ④指数函数的图象真漂亮！【知识点：命题的判断；数学思想：逻辑推理】 答案：2个解析：①是命题；②是疑问句，故不是命题；③是命题；④是感叹句，所以不是命题． 2．在空间中，下列命题正确的是________．(填序号) ①平行直线的平行投影重合； ②平行于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两条直线平行．【知识点：命题真假的判断；数学思想：转化与化归】 解：④3．命题“若a ，b 都是奇数，则a +b 是偶数”的逆否命题是 ．解：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数4．有下列四个命题，其中真命题有________．(填序号)①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．【知识点：命题真假的判断；数学思想：转化与化归】答案：①③解析：①的逆命题显然成立；②的否命题为“如果三角形不全等，则它们的面积不相等”，由三角形的面积公式可知②的否命题为假命题；③的逆命题中，因方程x2＋2x＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，即q≤1，故③的逆命题为真命题；④的逆否命题与命题④同真假，④是假命题．5．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________；逆命题是____________；否命题是_______________．【知识点：四种命题；数学思想：逻辑推理】答案：不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数；能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数；各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除6．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中真命题有________．(填序号)【知识点：四种命题及其关系；数学思想：转化与化归】答案：①③7．给出下列命题：（1）命题“若b2﹣4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题（2）命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题（3）命题“若a＞b＞0，则＞＞0”的逆否命题（4）“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R”的逆命题其中真命题的序号为．【知识点：命题及其关系；数学思想：转化与化归】答案：（1）（2）（3）解析：命题“若b2﹣4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题为“若b2﹣4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实根”为真命题；命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为“若△ABC为等边三角形，那么AB=BC=CA”为真命题；命题“若a＞b＞0，则＞＞0”为真命题，故其逆否命题也为真；由于“mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R”⇔m＜﹣，故“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R”的逆命题为“若mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R，则m ＞1”为假命题8．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m>14时，方程mx2-x+1=0无实根；(2)平行于同一平面的两条直线平行．【知识点：命题的形式，命题真假判断；数学思想：转化与化归】解：(1)命题可改写为：若m>14，则mx2－x＋1＝0无实根．因为当m>14时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．（1）若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；（2）若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2﹣4ac＜0，则该函数图象与x轴有公共点．【知识点：四种命题；数学思想：逻辑推理】解：（1）逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补；否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．（2）逆命题：若二次函数y=axx2+bx+c的图象与x轴有公共点，则b2﹣4ac＜0；否命题：若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2﹣4ac≥0，则该函数图象与x轴无公共点；逆否命题：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点，则b2﹣4ac≥0．10．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2+ax+b£0有非空解集，则a2-4b³0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．【知识点：命题真假的判断；数学思想：逻辑推理】解：逆命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集． 否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b <0. 逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b <0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集． 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．11．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )=-(7-3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【知识点：命题真假的判断；数学思想：转化与化归】解：若命题p 为真命题，则m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2。
命题及其关系充分条件与必要条件教案
命题及其关系——充分条件与必要条件教案教学目标：1. 理解命题的概念，能够正确判断一个命题是真是假。
2. 掌握充分条件和必要条件的定义，能够判断一个条件是充分还是必要。
3. 能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。
教学重点：1. 命题的真假判断2. 充分条件和必要条件的判断教学难点：1. 命题的真假判断2. 充分条件和必要条件的应用教学准备：1. PPT课件2. 教学案例教学过程：第一章：命题的概念1.1 命题的定义教师讲解命题的概念，引导学生理解命题是由题设和结论两部分组成的陈述句。
1.2 命题的真假判断学生通过举例判断命题的真假，教师讲解判断方法。
第二章：充分条件与必要条件的定义2.1 充分条件的定义教师讲解充分条件的概念，引导学生理解充分条件是指能够保证结论成立的条件。
2.2 必要条件的定义教师讲解必要条件的概念，引导学生理解必要条件是指结论成立的必要条件。
第三章：判断充分条件和必要条件3.1 判断充分条件学生通过举例判断充分条件，教师讲解判断方法。
3.2 判断必要条件学生通过举例判断必要条件，教师讲解判断方法。
第四章：充分条件和必要条件的运用4.1 运用充分条件解决问题学生通过案例运用充分条件解决问题，教师讲解解题方法。
4.2 运用必要条件解决问题学生通过案例运用必要条件解决问题，教师讲解解题方法。
第五章：总结与拓展5.1 总结学生总结本节课所学内容，教师进行点评。
5.2 拓展学生思考如何运用充分条件和必要条件解决更复杂的问题，教师进行引导。
教学评价：1. 课后作业：布置有关命题、充分条件和必要条件的练习题，检查学生掌握情况。
2. 课堂问答：提问学生关于命题、充分条件和必要条件的问题，检查学生理解程度。
3. 案例分析：让学生运用充分条件和必要条件解决实际问题，评估学生应用能力。
第六章：实例分析与判断6.1 实例分析教师提供实例，学生分析实例中的充分条件和必要条件，并判断其真假。
6.2 小组讨论学生分组讨论实例，交流判断方法和思路，教师巡回指导。
1.1命题及其关系教案
1.1命题及其关系教案篇一：1.1命题及其关系教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识目标：理解命题的概念；能判断命题的真假；能把命题写成若P则q的形式；能写出一个命题的另外三个命题。
（2）过程与方法目标：利用学生身边熟悉的事物引入命题和四种命题，让学生经历命题的概念和四种命题形成及运用过程，领会分析、总结的方法。
（3）情感与能力目标：通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，启迪思维，提高创新能力；通过学生的举例，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。
2.教学重点/难点【教学重点】：判断命题的真假,一个命题的另外三个命题。
【教学难点】：把命题写成若P则q的形式,一个命题的另外三个命题。
3.教学用具多媒体4.标签命题、四种命题教学过程一、情景引入问题1下列语句的表达形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?(1)若直线a//b,则直线a和b直线无公共点(2)2+4=7(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)若,则x=1(5)两个全等三角形的面积相等(6)3能被2整除二、知识建构定义1:用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
2、判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题。
问题2举出一些命题的例子，并判断它们的真假。
三、体验与运用例1判断下列哪些语句是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集。
（2）若整数a是素数，则a是奇数。
（3）指数函数是增函数吗？（4）若平面上两直线不相交，则这两直线平行。
（5）他还年青；（6）x>5;四、学生探究问题3：上题命题（２）（４）具有什么共同特征？命题“若p，则q”中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．例２指出下列命题的条件和结论：（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．（２）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分．（３）平行于同一个平面的两平面平行．问题4:同位角相等，两直线平行；②两直线平行，同位角相等；③同位角不相等，两直线不平行；④两直线不平行，同位角不相等．命题①与命题②、③、④的条件和结论之间分别有什么的关系？定义3、四种命题原命题：若p，则q。
人教A版高中数学选修命题及其关系教案
§1.1 命题及其关系（第一课时）教学目标：1.理解四种命题的概念，掌握命题形式的表示. 能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题．2.培养学生简单推理的思维能力. 培养观察分析、抽象概括能力和逻辑思维能力．授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪．教学重点：四种命题的概念．教学难点：由原命题写出另外三种命题．教学方法：读、议、讲、练结合教学．教学准备：自制PowerPoint课件．教学过程：一、引入思考：请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？（1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；（2） 2 + 4 = 7；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若 x2 = 1 , 则 x = 1 ；（5）两个全等的三角形面积相等；（6）3能被2整除.分析得到命题的概念：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．强调判断命题的两个基本条件：①必须是一个陈述句；②可以判断真假．二、讲授新课1、例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行；（5）2=-；（6）x > 15 ．分析加固对命题概念的理解习题：课本P４ 2活动：请同学们列出命题的例子，并判断不同组的命题例子是真命题还是假命题，用实物投影仪投影出同学举的命题的例子，一起判断哪些是真命题哪些是假命题？2、具体分析例1中的命题（2）（4）容易看出其具有“若p，则q”的形式．通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．(这种命题也可写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式，本章中我们只讨论这种“若p，则q”形式的命题)例2 指出下列命题的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．会区分条件p和结论q数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式,例如“垂直于同一条直线的两个平面平行”，但是把它的形式作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．这样，它的条件和结论就很清楚了．例3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）面积相等的两个三角形全等；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等．习题：Ｐ４３３、思考下列四个命题中，命题（１）与命题（２）（３）（４）的条件和结论之间分别有什么关系？（１）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；（２）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数；（３）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数；（４）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；分析（１）（２）的互逆命题的概念：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件分别是另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．即若将原命题表示为：若p,则q．则它的逆命题为：若q,则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题．例：给出命题“同位角相等，两直线平行”写出其逆命题分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行．(原命题) 条件: 两直线平行; 结论: 同位角相等．(逆命题) 探究：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？、分析（１）（３）的互否命题的概念：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的否命题．即若将原命题表示为：若p则q．则它的否命题为：若┐p则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.例：写出命题“同位角相等，两直线平行”的否命题分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行．(原命题) 条件: 同位角不相等; 结论: 两直线不平行．(否命题) 例：写出命题“若整数a不能被２整除，则a是奇数”的否命题分析: 条件: 整数a不能被２整除结论：a是奇数．(原命题) 条件: 整数a能被２整除结论：a不是奇数．（a是偶数．）(否命题)探究：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？分析（１）（４）的互否命题的概念：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的逆否命题．即若将原命题表示为：若p，则q．则它的逆否命题为：若┐q，则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.例：写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行．(原命题) 条件: 两直线不平行; 结论: 同位角不相等．(逆否命题)三、练习：Ｐ７四、小结：１、命题的概念，如何判断命题？２、四种命题的概念及其形式，怎样写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题．五、作业课本P 9—10 2、３感谢各位老师莅临指导!。
《命题及其关系》教案
《命题及其关系》教案一、教学目标1. 让学生理解命题的概念，掌握命题的构成要素。
2. 培养学生分析、判断和推理的能力。
3. 使学生了解命题之间的关系，学会运用逻辑推理解决问题。
二、教学内容1. 命题的概念与构成要素2. 命题之间的关系3. 逻辑推理方法三、教学重点与难点1. 教学重点：命题的概念、命题之间的关系、逻辑推理方法。
2. 教学难点：命题之间的关系，逻辑推理方法的运用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解命题的概念、构成要素、关系及逻辑推理方法。
2. 案例分析法：分析具体案例，引导学生理解命题之间的关系。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作与交流能力。
4. 练习法：设计相关练习题，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生认识命题。
2. 讲解命题的概念与构成要素：明确命题的定义，讲解命题的构成要素。
3. 讲解命题之间的关系：介绍蕴含、矛盾、反对等关系。
4. 逻辑推理方法：讲解演绎推理、归纳推理、类比推理等方法。
5. 案例分析：分析具体案例，引导学生理解命题之间的关系。
6. 小组讨论：分组讨论，探讨命题之间的关系及逻辑推理方法。
7. 练习巩固：设计相关练习题，让学生运用所学知识解决问题。
8. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考命题及其关系在实际生活中的应用。
9. 作业布置：布置练习题，让学生巩固所学知识。
10. 课后辅导：针对学生作业中出现的问题进行辅导，解答学生的疑问。
六、教学评价1. 评价方式：过程性评价与终结性评价相结合。
2. 评价内容：a. 命题的概念与构成要素的理解程度。
b. 命题之间的关系识别和运用能力。
c. 逻辑推理方法的掌握和运用情况。
d. 案例分析与小组讨论的参与度。
e. 练习题的完成质量。
七、教学资源1. 教材：相关章节内容。
2. 案例材料：用于分析和讨论的实际案例。
3. 练习题：设计不同难度的练习题。
4. 教学课件：用于辅助讲解和展示。
人教版高中数学选修一教学案：第一章1.1命题及其关系
第1课时命题[ 中心必知 ]1．预习教材，问题导入依据以下纲要，预习教材P2～ P4，回答以下问题．察看教材 P2“思虑”中的 6 个语句．(1)这 6 个语句都是陈说句吗？提示：是．(2)可否判断这 6 个语句的真假性？提示：能．2．概括总结，中心必记命题及有关观点定义：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈说句命题真命题：判断为真的语句分类假命题：判断为假的语句形式：“若 p，则 q”.此中 p叫做命题的条件，q叫做命题的结论[ 问题思虑 ](1)x>5“”是命题吗？提示：不是．(2)陈说句必定是命题吗？提示：不必定．(3)命题“当x＝ 2 时， x2－3x＋ 2＝ 0”的条件和结论各是什么？提示：条件： x＝2；结论： x2－3x＋ 2＝ 0．(4)“若 p 则 q”形式的命题必定是真命题吗？提示：不必定．(5)数学中的定义、公义、定理、推论是真命题吗？提示：是．[ 课前反省 ](1)命题的定义是：；(2)真、假命题的定义是：；(3)命题的条件和结论的定义是：．[思虑 ]一个语句是命题应具备哪两个因素？提示： (1)是陈说句； (2)能够判断真假．1．判断以下语句中，哪些是命题？( 链接教材 P2－例 1)1(1)函数 f(x)＝x在定义域上是减函数；(2)一个整数不是质数就是合数；(3)3x2－ 2x>1；(4)在平面上作一个半径为 4 的圆；(5)若 sin α＝ cos α，则α＝ 45°；(6)2100是一个大数；(7)垂直于同一个平面的两条直线必定平行吗？(8)若 x∈R，则 x2＋ 2>0.[试试解答 ](1) 是陈说句，且能判断真假，是命题．(2)是陈说句，且能判断真假，是命题．(3)当 x∈R时， 3x2－ 2x 与 1 的大小关系不确立，没法判断其真假，不是命题．(4)不是陈说句，不是命题．(5)是陈说句，且能判断真假，是命题．(6)是陈说句，可是“ 大数” 的标准不确立，所以没法判断其真假，不是命题．(7)不是陈说句，不是命题．(8)是陈说句，且能判断真假，是命题．(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈说句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、叹息句等都不是命题．(2)对于含有变量的语句，要注意依据变量的取值范围，看可否判断真假．若能，就是命题；若不可以，就不是命题．(3)还有一些语句，当前没法判断真假，但从事物的实质而论，这些语句是可鉴别真假的，特别是科学上的一些猜想等，这种语句也叫做命题．(4)数学中的定义、公义、定理和推论都是命题．1．以下语句中是命题的有________． (填序号 )①地球是太阳的一个行星．②甲型 H1N1 流感是如何流传的？③若 x，y 都是无理数，则x＋ y 是无理数．④若直线 l 不在平面α内，则直线l 与平面α平行．⑤60x＋ 9>4.⑥求证：3是无理数．分析：依据命题的观点进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题．因为⑤中自变量x的值不确立，所以没法判断其真假，故不是命题．因为⑥是祈使句，所以不是命题，故填①③④ .答案：①③④2．判断以下语句是不是命题，并说明原因．π(1) 3是有理数；(2)3x2≤ 5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)x2－x＋ 7>0.π解： (1)“3是有理数”是陈说句，而且它是假的，所以它是命题．(2)因为没法判断“ 3x2≤ 5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．212272(4)因为 x － x＋ 7＝ x－2＋4 >0，所以“ x－ x＋ 7>0”是真的，故是命题．2．把以下命题改写成“若p，则 q”的形式，并指出条件与结论．(链接教材P3－例 2、例 3)(1)等边三角形的三个内角相等；(2)当 a>1 时，函数y＝a x是增函数；(3)菱形的对角线相互垂直．[试试解答 ] (1) 若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．此中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．(2)若 a>1，则函数 y＝ a x是增函数．此中条件p： a>1，结论 q：函数 y＝ a x是增函数．(3)若四边形是菱形，则它的对角线相互垂直．此中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线相互垂直．(1)对命题改写时，必定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简短，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要合适加以增补，比如命题“ 对顶角相等”的条件应写成“ 若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．(2)在对命题改写时，要注意所表达的条件和结论的完好性，有些命题中，还要注意大前提的写法．比如，命题“在△ ABC 中，若 a>b，则 A>B”中，大前提“在△ ABC 中”是必不行少的．3．将以下命题改写为“若p，则 q”的形式．(1)当 a>b 时，有 ac2>bc2;(2)实数的平方是非负实数；(3)能被 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除；(4)已知 x， y 为正整数，当y＝ x＋ 1 时，必有y＝ 4， x＝ 3.22(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数．(3)若一个数能被 6 整除，则它既能被 3 整除也能被 2 整除．(4)已知 x， y 为正整数，若y＝ x＋ 1，则 y＝ 4，x＝ 3.3．判断以下各命题的真假，并说明原因．22(1)若 a >b，则a>b；3(2)在△ ABC 中，当 A>60 °时，必有sin A> 2 ；(3)两个向量相等，它们必定是共线向量；(4)直线 y ＝ x 与圆 (x － 1)2＋ (y ＋ 1)2＝1 相切．[试试解答 ] (1) 假命题．比如，当a ＝－ 3，b ＝1 时， a 2>b 2，但 a>b 不建立．1，不知足 sin A>3 (2)假命题．比如，当 A ＝ 150°时， A>60 °，但 sin A ＝ 22.(3) 真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向同样，切合共线向量的定义，它们必定是共线向量．(4)假命题．圆心 (1，－ 1)到直线 y ＝ x 的距离为 d ＝ 2>1，所以直线与圆相离．(1)判断一个命题的真假时，第一要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成 “若 p ，则 q ” 的形式，而后联系其余有关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判断．(2)一个命题要么真，要么假，两者必居其一．当一个命题改写成式以后，判断这种命题真假的方法：若由 “p ”经过逻辑推理，得出“ 若 p ，则 q ” 的形“q ”，则可判断 “ 若 p ，则q ” 是真；判断 “ 若 p ，则 q ”是假，只要举一反例即可．4．以下命题中是真命题的是 ()A ．若 3∈ A ， 3∈B ，则 A ∩ B ＝{3} B ．若 x 2＋ x － 2＝0，则 x ＝ 1C ．若函数 f(x)＝ x 2 －x ，则 f(x)有最小值－ 14 D ．若 log 2x<1 ，则 x<2答案： C5．判断以下命题的真假，并说明原因．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当 x ＝ 4 时， 2x ＋ 1<0 ；(3)若 x ＝ 3 或 x ＝ 7，则 (x －3)(x － 7)＝ 0；(4)一个等比数列的公比大于1 时，该数列必定为递加数列．解： (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题， x ＝ 4 不知足 2x ＋ 1<0.(3)是真命题，由 x ＝ 3 或 x ＝ 7 能获得 (x － 3)(x － 7)＝ 0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项 a 1<0 ，公比 q>1 时，该数列为递减数列．——————————————[讲堂概括·感悟提升 ]———————————————1．本节课的要点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．2．本节课要要点掌握的规律方法(1)将命题改写成“ 若p，则q”的形式，找准命题的条件和结论，见讲 2.(2)判断命题的真假性，见讲 3.3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若 p，则 q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件 p 中．课时达标训练（一）[ 即时达标对点练]题组 1命题的观点1．以下语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0 °＝ 02C．求 x － 2x＋ 1>0 的解集分析：选 B A 选项是疑问句，C、 D 选项中的语句是祈使句，都不是命题．2．以下语句中：① {0} ∈N；② x2＋ y2＝ 0；③ x2>x；④ { x|x2＋ 1＝ 0} ．此中命题的个数是()A．0B．1C．2D．3分析：选 B①是命题，且是假命题；②、③不可以判断真假，不是命题；④不是陈说句，不是命题．题组 2命题的构成形式3．把命题“末位数字是 4 的整数必定能被 2 整除”改写成“若p，则 q”的形式为_______________________________________ ．答案：若一个整数的末位数字是4，则它必定能被 2 整除4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ ay－1≥ 0 表示直线x＋ay－ 1＝ 0 的右上方区域( 包括界限 )”的条件 p：________，结论 q：________．它是 ________命题 (填“真”或“假”)．分析： a>0 时，设 a＝ 1，把 (0， 0)代入 x＋ y－ 1≥ 0 得－ 1≥0 不建立，∴ x＋ y－ 1≥ 0 表示直线的右上方地区，∴命题为真命题．答案： a>0二元一次不等式x＋ ay－ 1≥ 0 表示直线x＋ay－ 1＝ 0 的右上方地区 (包括边界) 真5．把以下命题改写成“若p，则 q”的形式，并判断真假，且指出p 和 q 分别指什么．(1)乘积为 1 的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象对于原点对称；(3)与同向来线平行的两个平面平行．解： (1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．p：两个实数乘积为1， q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象对于原点对称”．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象对于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能订交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．题组 3判断命题的真假6．以下命题是真命题的是()A．全部质数都是奇数B．若a> b，则 a>bC．对随意的x∈N，都有 x3>x2建立D．方程 x2＋ x＋1＝ 0 有实根分析：选 B 选项 A错，因为 2是偶数也是质数；选项 B 正确；选项 C 错，因为当 x ＝0 时 x3>x2不建立；选项 D 错，因为＝ 12－4＝－ 3<0 ，所以方程 x2＋ x＋ 1＝ 0 无实根．7．以下命题中真命题有()① mx2＋ 2x－ 1＝ 0 是一元二次方程；②抛物线y＝ ax2＋ 2x－ 1 与 x 轴起码有一个交点；③相互包括的两个会合相等；④空集是任何会合的真子集．A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个分析：选 A ①中，当 m＝ 0 时，是一元一次方程；②中当＝4＋ 4a<0 时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是自己的真子集．8．以下命题中真命题的个数为()①面积相等的三角形是全等三角形；②若 xy＝0，则 |x|＋ |y|＝ 0；③若 a>b，则 a＋c>b＋ c;④矩形的对角线相互垂直．A．1 B．2 C．3D． 4分析：选A①错；②中若x＝ 3，y＝ 0，则xy＝ 0，但 |x|＋ |y|≠ 0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不必定相互垂直．9．以下命题：① y＝ x2＋ 3 为偶函数；② 0 不是自然数；③{ x∈N|0<x<12} 是无穷集；④假如a·b＝0，那么a＝ 0，或 b＝ 0.此中是真命题的是________(写出全部真命题的序号)．分析：①为真命题；②③④为假命题．答案：①[ 能力提高综合练]1．设a、b、c是随意非零平面向量，且相互不共线，则：① (a·b)c＝(c·a)b；② |a|－|b|<|a－b|; ③(b·c)a－(c·a)b 不与 c 垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，是真命题的有()A ．①②B．②③C．③④D．②④分析：选 D①错，数目积不知足联合律；②对，由向量减法的三角形法例可知有|a|－|b|<|a－ b|；③[( b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)( b·c)＝0.∴③错；④对．2．已知 a， b 为两条不一样的直线，α ，β 为两个不一样的平面，且a⊥ α，b⊥β，则以下命题中，假命题是()A ．若 a∥ b，则α∥ βB．若α⊥ β，则 a⊥ bC．若 a， b 订交，则α，β订交D．若α，β订交，则a，b 订交分析：选 D由已知a⊥ α，b⊥ β，若α，β订交，a，b有可能异面．23．给出命题“方程x ＋ ax＋ 1＝ 0 没有实数根” ，则使该命题为真命题的 a 的一个值可以是 ()A ． 4B ．2C．0D．－4分析：选C方程无实根时，应知足＝ a2－ 4<0.故a＝0 时合适条件．4．已知以下三个命题：①若一个球的半径减小到本来的1，则其体积减小到本来的1；28②若两组数据的均匀数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋ y＋ 1＝0 与圆x2＋ y2＝ 1相切．2此中真命题的序号为( A ．①②③B ．①②C．①③ D．②③)4 R 31 4 3 分析：选 C 对于命题①，设球的半径为R ，则 3π2 ＝8· 3π R ，故体积减小到原来的 1，命题正确；对于命题②，若两组数据的均匀数同样，则它们的标准差不必定同样，8比如数据： 1， 3， 5 和 3， 3，3 的均匀数同样，但标准差不一样，命题不正确；对于命题③，圆 x 2 ＋y 2＝ 1的圆心(0，0) 到直线x ＋ y ＋1＝ 0 的距离d ＝1＝2，等于圆的半径，所以直线222与圆相切，命题正确．5．以下语句中是命题的有________(写出序号)，此中是真命题的有________( 写出序号 )．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ ABC 中，若∠ A ＝∠ B ，则 sin A ＝ sin B ；⑤求证方程 x 2＋ x ＋ 1＝0 无实根．分析：①是疑问句， 没有对垂直于同一条直线的两条直线能否平行作出判断，不是命题；②是假命题， 0 既不是正数也不是负数；③是假命题，没有限制在同一个三角形内；④是真命题；⑤是祈使句，不是命题．答案： ②③④④6．若命题“ ax 2－ 2ax － 3>0 不建立”是真命题，则实数 a 的取值范围是 ________．分析： ∵ ax 2－ 2ax － 3>0 不建立，∴ ax 2－ 2ax －3≤ 0 恒建立．当 a ＝0 时，－ 3≤ 0 恒建立；a<0，当 a ≠0 时，则有＝ 4a 2＋ 12a ≤0，解得－ 3≤ a<0. 综上，－ 3≤ a ≤ 0.答案： [－ 3， 0]7．把以下命题改写成“若p ，则 q ”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不可以被 2 整除；(2)当 (a － 1)2 ＋(b － 1)2＝ 0 时， a ＝ b ＝ 1; (3)两个相像三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．解： (1)若一个数是奇数，则它不可以被 2 整除，是真命题．(2)若 (a － 1)2 ＋(b － 1)2＝ 0，则 a ＝b ＝ 1，是真命题．(3)若两个三角形是相像三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．8．已知 A ： 5x － 1>a ， B ：x>1 ，请选择合适的实数 a ，使得利用 A ， B 结构的命题“若p ，则 q ”为真命题．解：若视 A 为 p ，B 为 q ，则命题 “若 p ，则 q ”为 “ 若 x>1＋ a，则 x>1”． 由命题为真 51＋ a命题可知 5 ≥ 1，解得 a ≥ 4；若视 B 为 p ， A 为 q ，则命题 “ 若 p ，则 q ” 为 “若 x>1，则1＋ a 1＋ a x> 5 ”． 由命题为真命题可知 5 ≤ 1，解得 a ≤4.故 a 取任一实数均可利用A ，B 结构出一个真命题，比方这里取a ＝1，则有真命题 “ 若 x>1 ，则 x>2”．5第 2 课时四种命题及四种命题间的相互关系[ 中心必知 ]1． 预习教材，问题导入 依据以下纲要，预习教材P 4～ P 8 的内容，回答以下问题．察看教材 P 4“思虑”中的 4 个命题：(1)这 4 个命题的条件和结论各是什么？提示： 命题 (1) 的条件： f(x)是正弦函数，结论： f(x)是周期函数；命题 (2)的条件： f(x)是周期函数，结论： f(x)是正弦函数；命题 (3) 的条件： f(x) 不是正弦函数，结论： f(x)不是周期函数；命题 (4)的条件： f(x)不是周期函数，结论：f(x)不是正弦函数．(2)命题 (1) 的条件和结论与命题 (2) 、 (3) 、 (4)的条件和结论之间有什么关系？ 提示： 命题 (1) 的条件和结论分别是命题(2) 的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题 (3) 的条件的否认和结论的否认；命题(1)的条件和结论分别是命题 (4)的结论的否认和条件的否认．(3)依据上述四种命题的观点，你能说出此中随意两个命题之间的相互关系吗？提示： 命题 (2)(3) 互为逆否命题；命题 (2)(4) 互为否命题；命题 (3)(4) 互为抗命题．2． 概括总结，中心必记(1)四种命题的观点①互抗命题： 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互抗命题，把此中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的抗命题．这②互否命题：一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否认，样的两个命题叫做互否命题，把此中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．③互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把此中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．(2)四种命题结构(3)四种命题间的相互关系(4)四种命题的真假性一般地，四种命题的真假性，有且仅有下边四种状况：原命题抗命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假因为抗命题和否命题也互为逆否命题，所以四种命题的真假性之间的关系以下：①两个命题互为逆否命题，它们有同样的真假性；②两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[ 问题思虑 ](1)命题“若a≠ 0，则 ab≠ 0”的抗命题、否命题和逆否命题各是什么？提示：抗命题：若ab≠ 0，则 a≠0；否命题：若a＝ 0，则 ab＝ 0；逆否命题：若ab＝ 0，则 a＝ 0．(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不是．原命题是指定的，是相对于其余三种命题而言的，能够把任何一个命题看作原命题，从而研究它的其余命题形式．(3)假如一个命题的抗命题为真命题，这个命题的否命题必定为真命题吗？提示：必定为真命题，因为一个命题的抗命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性同样．(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种状况？提示：因为原命题与逆否命题，抗命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为 0， 2， 4．[ 课前反省 ](1)四种命题的观点是：；(2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？；(3)四种命题的真假性有什么关系？．1．写出以下命题的抗命题、否命题与逆否命题：(1)若 x>－ 2，则 x＋ 3>0;(2)两条对角线相等的四边形是矩形．[试试解答 ] (1) 抗命题：若x＋3>0 ，则 x>－ 2；否命题：若x≤ －2，则 x＋3≤ 0；逆否命题：若x＋3≤ 0，则 x≤ － 2.(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．抗命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．写出一个命题的其余三种命题的步骤(1)剖析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若 p，则 q”的形式；(3)依据抗命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．[注意 ]假如原命题含有大前提，在写出原命题的抗命题、否命题、逆否命题时，一定注意各命题中的大前提不变．1．分别写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题：(1)正数的平方根不等于 0；(2)若 x2＋ y2＝ 0(x， y∈R)，则 x， y 全为 0.解： (1)抗命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数．(2)抗命题：若x， y 全为 0，则 x2＋ y2＝ 0(x， y∈R )；否命题：若x2＋ y2≠ 0(x， y∈R)，则 x，y 不全为 0；逆否命题：若x，y 不全为 0，则 x2＋ y2≠ 0(x， y∈R )．[思虑 1]若原命题为真，则它的抗命题、否命题的真假性是如何的？名师指津：因为原命题的真假性与它的抗命题、否命题的真假性之间没有关系，所以无法判断它的抗命题、否命题的真假性．[思虑 2]若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？名师指津：原命题和它的逆否命题拥有同样的真假性．2．写出以下命题的抗命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ ABC 中，若 a>b，则 A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若 x2－ 2x－ 3＝0，则 x＝ 3;(4)若 x∈ A，则 x∈ A∩ B.[试试解答 ] (1) 抗命题：在△ ABC 中，若 A>B，则 a>b.真命题；否命题：在△ ABC 中，若 a≤ b，则 A≤ B，真命题；逆否命题：在△ABC 中，若 A≤ B，则 a≤ b.真命题．(2)抗命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．(3)抗命题：若x＝ 3，则 x2－ 2x－ 3＝ 0.真命题；否命题：若x2－ 2x－ 3≠ 0，则 x≠ 3.真命题；逆否命题：若x≠3，则 x2－ 2x－3≠ 0.假命题．(4)抗命题：若x∈ A∩B，则 x∈ A.真命题；否命题：若x?A，则 x?A∩ B.真命题；逆否命题：若x?A∩ B，则 x?A.假命题．判断一个命题的真假，能够有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是依据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，抗命题和否命题同真同假，特别是当命题自己不易判断真假时，往常都经过判断其逆否命题的真假来实现．2．有以下四个命题：(1)“若 x＋ y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题；(2)“若 x>y，则 x2>y2”的逆否命题；(3)“若 x≤ 3，则 x2－ x－ 6>0 ”的否命题；(4)“对顶角相等”的抗命题．此中真命题的个数是()A ． 0B ．1C． 2 D ． 3分析：选为相反数，则B (1) 原命题的否命题与其抗命题有同样的真假性，其抗命题为“ 若x，y互x＋ y＝0”，为真命题； (2)原命题与其逆否命题拥有同样的真假性，而原命题为假命题 (如 x＝0，y＝－ 1)，故其逆否命题为假命题；(3) 该命题的否命题为“若 x>3，则 x2－x－ 6≤ 0”，很明显为假命题； (4)该命题的抗命题是“ 相等的角是对顶角”，明显是假命题．3．在命题“若 a>－ 3，则 a>－6”的抗命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．分析：简单判断，命题“若 a>－ 3，则 a>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“ 若a≤－ 3，则a≤－ 6”，是假命题，而否命题与抗命题同真假，则它的抗命题也是假命题．答案： 2[思虑 ]我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？名师指津：能够经过证明它的逆否命题为真命题来解决．3．(1) 判断命题“已知a，x 为实数，若对于x 的不等式x2＋ (2a＋1)x＋ a2＋ 2≤ 0 的解集不是空集，则a≥ 1”的逆否命题的真假．(2)( 链接教材P8－例 4)证明：已知函数f(x)是 (－∞，＋∞ )上的增函数， a、b∈R，若 f( a)＋f(b)≥ f(－ a)＋ f(－b)，则 a＋ b≥0.[试试解答 ](1) 法一：原命题的逆否命题：“已知 a，x 为实数，若 a<1 ，则对于 x 的不等式 x2＋ (2a＋1)x＋a2＋ 2≤ 0 的解集为空集．”真假判断以下：22因为抛物线y＝ x ＋ (2a＋1)x＋ a ＋ 2 张口向上，若 a<1，则 4a－7<0.即抛物线 y＝ x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2 与 x 轴无交点．22所以对于 x 的不等式x ＋ (2a＋ 1)x＋ a ＋ 2≤ 0 的解集为空集．法二：先判断原命题的真假．因为 a， x 为实数，且对于 x 的不等式 x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2≤0 的解集不是空集，所以＝ (2a＋1) 2－4(a2＋ 2)≥0，即 4a－ 7≥ 0，所以 a≥ 1.所以原命题建立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(2) 原命题的逆否命题为“ 已知函数 f( x)是 (－∞，＋∞ )上的增函数， a， b∈R，若 a＋ b<0，则 f(a)＋ f(b)< f(－ a)＋ f(－ b)．”∵当 a＋ b<0 时， a<－ b， b<－ a，又∵ f(x)在 (－∞，＋∞ )上是增函数，∴f(a)< f(－ b)， f(b)<f(－ a)．∴f(a)＋ f(b)<f( －a)＋ f(－ b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．因为原命题和它的逆否命题有同样的真假性，即互为逆否命题的命题拥有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，能够经过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．4．证明：若m2＋ n2＝ 2，则 m＋ n≤ 2.证明：将“若 m2＋ n2＝2，则 m＋ n≤ 2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则 m2＋ n2≠ 2”．221212因为 m＋ n>2，则 m ＋ n ≥2(m＋ n) >2× 2 ＝ 2，故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．——————————————[讲堂概括·感悟提升 ]———————————————1．本节课的要点是四种命题的观点以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用．2．本节课要要点掌握的规律方法(1)写出原命题的抗命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲 2.(2)用原命题和逆否命题的等价性解决有关问题，见讲 3.3．每一个命题都由条件和结论构成，要分清条件和结论．4．判断命题的真假能够依据互为逆否的命题真假性同样来判断，这也是反证法的理论基础．课时达标训练（二）[ 即时达标对点练]题组 1四种命题的观点1．命题“若a?A，则 b∈ B”的否命题是()A ．若 a?A，则 b?B C．若 b∈ B，则 a?A B．若 a∈A，则 b?B D ．若 b?B，则 a?A分析：选 B命题“ 若p，则q”的否命题是“ 若綈p，则綈q”，“ ∈ ”与“ ?”互为否定形式．2．命题“若x>1，则 x>0”的抗命题是 __________ ，逆否命题是__________．答案：若 x>0，则 x>1若x≤ 0，则x≤ 13．以下命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．此中互为抗命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号 )．答案：②和③①和③①和②题组 2四种命题的真假判断4．以下命题中为真命题的是()A ．命题“若x>y，则 x>|y|”的抗命题2C．命题“若x＝ 1，则 x2＋x－ 2＝ 0”的否命题2D．命题“若x >1 ，则 x>1”的逆否命题分析：选 A对A，即判断：“ 若x>|y|，则x>y” 的真假，明显是真命题．5．命题“若m＝ 10，则 m2＝ 100”与其抗命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A ．原命题、否命题B ．原命题、抗命题C．原命题、逆否命题 D ．抗命题、否命题分析：选 C因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．6．命题“若x≠1，则 x2－ 1≠ 0”的真假性为________．分析：可转变为判断命题的逆否命题的真假，因为原命题的逆否命题是：“ 若x2－1＝0，则 x＝ 1”，因为 x2－ 1＝ 0， x＝±1，所以该命题是假命题，所以原命题是假命题．答案：假命题题组 3 等价命题的应用27．判断命题“若m>0，则方程 x ＋ 2x－ 3m＝ 0 有实数根”的逆否命题的真假．∴方程 x2＋2x－ 3m＝ 0 的鉴别式＝12m＋4>0.22又原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0，则方程 x ＋ 2x－3m＝ 0 有实数根”的逆否命题也为真．8．证明：若a2－ 4b2－2a＋ 1≠ 0，则 a≠2b＋ 1.证明：“ 若 a2－4b2－ 2a＋ 1≠ 0，则 a≠ 2b＋ 1”的逆否命题为：“若 a＝ 2b＋ 1，则 a2－ 4b2－2a＋ 1＝ 0”，当 a＝ 2b＋ 1 时， a2－ 4b2－2a＋ 1＝ (2b＋1) 2－4b2－2(2b＋ 1)＋ 1＝4b2＋ 4b＋ 1－4b2－ 4b－2＋ 1＝ 0，故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．[ 能力提高综合练]1．若命题p 的否命题为q，命题 p 的逆否命题为r ，则 q 与 r 的关系是 ()A ．互抗命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确分析：选 A设p为“ 若A，则B”，那么q为“ 若，则”，r为“ 若，则”．故q 与 r 为互抗命题．2．以下四个命题：①“若xy＝ 0，则 x＝0，且 y＝ 0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则 a>b”的抗命题；④若m>2 ，则不等式x2－ 2x＋m>0.此中真命题的个数为 ()A ． 0B． 1C． 2D． 3分析：选 B命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠ 0，则xy≠0”，为假命题；命题②的否命题是“ 若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的抗命题是“ 若a>b，则 ac2 >bc2”，为假命题；命题④为真命题，当 m>2 时，方程 x2－2x＋ m＝ 0 的鉴别式<0，对应二次函数图象张口向上且与x 轴无交点，所以函数值恒大于0.3．有以下四个命题：①“若 x＋ y＝ 0，则 x、 y 互为相反数”的抗命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若 q≤ 1，则 x2＋2x＋ q＝ 0 有实根”的抗命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．此中真命题的序号为()A ．①②B．②③C．①③ D ．③④分析：选 C 命题①：“ 若 x， y 互为相反数，则 x＋ y＝ 0”是真命题；命题②：可考虑其抗命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，所以命题②是假命题；命题③：“ 若x2＋ 2x＋ q＝ 0 有实根，则q≤ 1”是真命题；命题④是假命题．4．已知原命题“两个无理数的积还是无理数”，则：①抗命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”此中全部正确表达的序号是________．分析：原命题的抗命题、否命题表达正确．逆否命题应为都是无理数”．答案：①②．“ 乘积不是无理数的两个数不5．已知： A 表示点， a， b， c 表示直线，α，β表示平面，给出以下命题：① a⊥α， b?α，若 b∥ α，则 b⊥ a;② a⊥α，若 a⊥ β，则α∥ β；③a? α， b∩ α＝ A， c 为 b 在α上的射影，若 a⊥ c，则 a⊥ b；④ a⊥α，若 b∥ α，c∥ a，则 a⊥ b， c⊥ b.此中抗命题为真的是________．分析：④的抗命题：“ a⊥ α，若 a⊥ b，c⊥ b，则 b∥ α， c∥ a”，而 b，c 能够在α内，故不正确．答案：①②③6．已知命题“若m－1<x<m＋ 1，则 1< x<2”的抗命题为真命题，则m 的取值范围是________．。
《命题及其关系》教案
《命题及其关系》教案一、教学目标：1. 让学生理解命题的概念，掌握命题的构成要素。
2. 让学生了解命题之间的关系，包括相等关系、蕴含关系和矛盾关系。
3. 培养学生运用命题及其关系解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 命题的概念及其构成要素。
2. 命题之间的关系：相等关系、蕴含关系和矛盾关系。
3. 命题关系的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：命题的概念，命题之间的关系。
2. 教学难点：命题关系的判断与应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解命题的概念及关系。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的命题关系。
3. 采用小组讨论法，引导学生探索命题关系的应用。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考命题的概念。
2. 新课讲解：讲解命题的构成要素，阐述命题之间的关系。
3. 案例分析：分析实际问题中的命题关系，让学生理解命题关系的应用。
4. 小组讨论：让学生分组讨论，探索命题关系的其他应用。
教学评价：通过课堂讲解、案例分析和小组讨论，评价学生对命题及其关系的理解程度，以及运用所学知识解决实际问题的能力。
六、教学活动设计：1. 实例分析：提供一些生活中的命题实例，如“今天是星期天”、“2加3等于5”，让学生判断这些命题是否完整、有逻辑关系。
2. 小组讨论：让学生分组讨论，每组选择一个实例，分析其命题关系，如相等关系、蕴含关系和矛盾关系。
3. 游戏设计：设计一个判断命题关系的游戏，学生通过游戏互动，加深对命题关系的理解。
七、教学资源准备：1. 实例素材：收集一些生活中的命题实例，用于教学活动中分析。
2. 游戏材料：准备一个判断命题关系的游戏道具，如卡片、图片等。
3. 教学PPT：制作教学PPT，包含命题的概念、构成要素、关系等内容，以及案例分析和小组讨论的引导。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍命题的概念及其构成要素，讲解命题的相等关系。
2. 第二课时：讲解命题的蕴含关系和矛盾关系，进行案例分析。
高中数学选修1-1《命题及其关系》教案
高中数学选修1-1《命题及其关系》教案【教学目标】1. 了解命题的定义和基本性质；2. 掌握命题的简单推理；3. 了解命题的关系，掌握等价命题、逆命题、反命题和充分必要条件的概念。
【教学重点】1. 命题的定义和基本性质；2. 命题的简单推理。
【教学难点】1. 熟练掌握命题间的关系；2. 理解和掌握充分必要条件的概念。
【教学方法】讲授法、示范法、讨论法。
【教学资源】教科书、习题集、课件。
【教学过程】1. 导入：介绍命题的定义引导学生回忆从小学开始学习的命题，如“地球是圆形的”“20大于10”等，提问这些语句是否可以被人们证明或证伪，从而引出命题的定义。
2. 讲解命题的定义和基本性质（1）命题定义：命题是可以判断真假的陈述句。
（2）命题的基本性质：1) 真命题和假命题：命题只有真和假两种情况。
2) 否定命题：将命题否定，得到的命题称为否定命题。
3) 合取命题：将两个命题用“∧”连接起来，得到的命题称为合取命题。
4) 析取命题：将两个命题用“∨”连接起来，得到的命题称为析取命题。
5) 充分条件：假设条件成立，则结论一定成立。
6) 必要条件：若结论成立，则条件一定成立。
3. 操练命题的简单推理（1）合取、析取的运算规律（2）否定命题的推理（3）充分条件和必要条件的推理（4）结合课堂练习进行讲解，让学生完成相应的练习题。
4. 讲解命题的关系（1）等价命题：两个命题具有相同的真值。
（2）逆命题：将条件和结论分别交换位置得到的命题。
（3）反命题：将条件和结论都取否定得到的命题。
（4）充分必要条件（简称“充要条件”）：当且仅当条件命题的充分条件成立且必要条件成立时，原命题成立。
5. 操练命题的关系（1）判断命题是否等价（2）判断命题是否为相应命题之一（3）完成相关练习。
6. 小结结合本课所学，对命题及其关系进行小结，提高学生对于命题的认识。
【课堂练习】1. 合取式“p∧q”与析取式“p∨q”是否互为等价命题？请说明理由。
《命题及其关系》教案
《命题及其关系》教案一、教学目标1. 让学生理解命题的概念，掌握命题的构成要素。
2. 使学生了解命题之间的关系，包括相容关系和不相容关系。
3. 培养学生运用命题及其关系解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 命题的概念与构成要素2. 命题之间的关系3. 命题的分类4. 命题的推理5. 命题的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：命题的概念、构成要素、关系及分类。
2. 教学难点：命题的推理与应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解命题的基本概念、构成要素和关系。
2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子理解命题的推理过程。
3. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
4. 利用练习法，巩固所学知识，提高学生应用命题及其关系解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考命题的概念及作用。
2. 讲解命题的基本概念：阐述命题的定义、构成要素。
3. 讲解命题之间的关系：介绍相容关系和不相容关系的概念及判断方法。
4. 命题的分类：讲解不同类型的命题及其特点。
5. 命题的推理：通过案例分析，讲解命题的推理过程。
6. 命题的应用：举例说明命题在实际问题中的应用。
7. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
8. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调重点知识点。
9. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固命题及其关系的相关知识。
10. 课后反思：教师对课堂教学效果进行反思，为下一节课的教学做好准备。
六、教学活动设计1. 活动一：命题构成要素辨识目的：让学生进一步理解命题的构成要素。
过程：展示不同类型的命题，让学生辨识出题干、题支、题号等构成要素。
反馈：学生能正确辨识命题的构成要素。
2. 活动二：命题关系判断目的：让学生掌握命题之间的相容关系和不相容关系。
过程：给出具体命题，让学生判断它们之间的关系。
反馈：学生能正确判断命题之间的相容关系和不相容关系。
七、教学评价1. 评价方式：采用课堂问答、练习题和小组讨论三种方式进行评价。
高中数学 第一课时 命题及其关系—四种命题教案 新人教版必修1
第一课时 命题及其关系——四种命题教学目标:1．了解命题的逆命题、否命题和逆否命题的含义，能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题；2．会分析四种命题之间的相互关系；3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．教学重点：了解命题的逆命题、否命题和逆否命题的含义，能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题．教学难点:会分析四种命题之间的相互关系.教学过程：一．问题情境1．情境我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，（1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；（2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；（3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.2．问题：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？二．学生活动1．上面的四个命题都是“如果……，那么……”形式的命题，可记为“若p 则q ”，其中p 是命题的条件，q 是命题的结论．2．在上面的例子中，命题（2）的条件和结论分别是命题（1）的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题．命题（3）的条件和结论分别是命题（1）的条件的否定和结论的否定，这两个命题称为互否命题． 命题（4）的条件和结论分别是命题（1）的结论的否定和条件的否定，这两个命题称为互为逆否命题．三．建构数学1．一般地，设“若p 则q ”为原命题，那么“若q 则p ”就叫做原命题的逆命题；“若非p 则非q ”就叫做原命题的否命题；“若非q 则非p ”就叫做原命题的逆否命题．2四．数学运用1．例题分析：例1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．（1）若0a =,则0ab =；（2）若b a =，则b a =．思考：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？例2．把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．（1）对顶角相等；（2）四条边相等的四边形是正方形．2．练习：（1）下列语句中是命题有 ．（填上所有符合题意的序号）①空集是任何集合的真子集；②把门关上；③垂直于同一直线的两条直线平行；④自然数是偶数吗？（2）下列命题：①若0<m ，则方程02=+-m x x 有实根；②函数)(sin )(R x x x x f ∈=是奇函数；③已知U 为全集，若U B A =⋃，则B C A U =；④若直线11b x k y +=和22b x k y +=平行，则21k k =．其中，真命题有 ．（填上所有符合题意的序号）（3）若命题s 的逆命题是t ，命题s 的逆否命题是r ，则t 是r 的 ．（填逆命题、否命题或逆否命题）（4）一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中( )A 真命题的个数一定是奇数B 真命题的个数一定是偶数C 真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数D 上述判断都不正确（5）对于命题“若数列{}n a 是等比数列，则0≠n a ”，下列说法正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）①它的逆命题是真命题；②它的否命题是真命题；③它的逆否命题是假命题；④它的否命题是假命题．五．回顾反思1．写一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论(大前提不变)；2．在命题真假性的判断中，学会用互为逆否命题同真假的性质，通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．六．课后作业1．给出下列命题：①若bc ac =，则b a =；②若b a >，则ba 11<； ③对于实数x ，若02=-x ，则02≤-x ；④若0>p ，则p p >2；⑤正方形不是菱形．其中真命题是 ；假命题是 ．（填上所有符合题意的序号）2．将下列命题改写成“若p 则q ”的形式：（1）垂直于同一直线的两条直线平行；（2）斜率相等的两条直线平行；（3）钝角的余弦值是负数．3．写出下列各命题的逆命题、否命题 和逆否命题并判断真假：（1）若两个事件是对立事件,则它们是互斥事件；（2）当0>c 时，若b a >，则bc ac >．。
人教版高中选修1-1《命题及其关系》教学设计
人教版高中选修1-1《命题及其关系》教学设计《人教版高中选修1-1《命题及其关系》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1. 创设情境，引导学生主动发展、提出问题生活情境：“同学们，你们好!我是邓老师，见到你们真高兴呀!”(用课件展示这段话)请学生思考：我的开场白中，有哪些语句是命题?设计意图：(1)以简洁明了的开场白让学生迅速进入问题情境，平实的语言拉近了教师和学生之间的距离，让学生有亲切感并较快进入新知探究。
(2)学习逻辑用语的目的不仅要了解数理逻辑的有关知识，还要让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清楚和简洁。
因此，在教学过程中应避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，而应该通过具体、生动的实例让学生体会常用的逻辑用语，这样比较符合学生从具体到抽象的认知规律。
因此，我想用非常简单的命题作探索新知的引入。
另外，值得说明的是，让学生来寻找哪些语句是命题是基于他们原来学过命题这一实际情况。
对学生来说，这既是复习，也是一种探索，从而激发他们的学习热情和信心，同时也符合学生的实际。
2. 重视举例，引导学生不断发现并解决问题(1)对四种命题的概念和结构关系的探讨(活动1)给学生活动空间，让他们举出一些命题的例子，并指出它们的条件和结论。
让同学们从举出的命题中选出一个命题为代表，将其改写成“如果…，那么…”的形式。
围绕这个命题，写出三个相关命题，和学生一起探究这三个命题在条件和结论上的关系。
由此归纳出互逆命题、互否命题、互为逆否命题的概念，并进一步指出逆命题、否命题、逆否命题的概念。
设计意图：这些具体命题来源于学生的生活，对四种命题概念的理解都是在具体命题的基础上完成的，这样，就坚持了教学“贴近教材，贴近学生，贴近生活”的教学原则。
同时，他们自己解决自己提出的问题，也能有效激发他们学习的兴趣。
[例1]写出命题“若a=0，则ab=0”的逆命题、否命题和逆否命题。
高中数学《命题及其关系充分条件与必要条件》教案苏教版选修
高中数学《命题及其关系-充分条件与必要条件》教案苏教版选修一、教学目标：1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念，掌握判断充分条件和必要条件的方法。
2. 培养学生运用充分条件和必要条件分析问题、解决问题的能力。
3. 帮助学生建立充分条件和必要条件之间的联系，理解它们在数学论证中的应用。
二、教学内容：1. 充分条件和必要条件的定义。
2. 判断充分条件和必要条件的方法。
3. 充分条件和必要条件与数学论证的关系。
三、教学重点与难点：重点：充分条件和必要条件的定义及判断方法。
难点：充分条件和必要条件在数学论证中的应用。
四、教学过程：1. 导入：通过生活实例引入充分条件和必要条件的概念。
2. 新课讲解：讲解充分条件和必要条件的定义，举例说明判断方法。
3. 课堂练习：让学生运用充分条件和必要条件判断给出的命题。
4. 案例分析：分析充分条件和必要条件在数学论证中的应用。
5. 总结提升：总结本节课的主要内容，强调充分条件和必要条件的重要性。
五、课后作业：1. 复习本节课的内容，理解充分条件和必要条件的概念及判断方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考充分条件和必要条件在实际问题中的应用，准备下一节课的分享。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例发现充分条件和必要条件的规律。
2. 利用逻辑推理和反证法，让学生在实践中掌握充分条件和必要条件的判断方法。
3. 设计具有针对性的练习题，及时巩固所学知识，提高学生的应用能力。
4. 组织小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和经验，培养学生的合作意识。
七、教学准备：1. 准备相关的生活实例和数学案例，用于引导学生理解和应用充分条件和必要条件。
2. 设计课后练习题，包括基础题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。
3. 准备教学PPT，用于辅助讲解和展示教学内容。
八、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现。
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1.1命题及其关系（第一课时）
——人教A版数学选修2-1
数学组：陈建达
一、知识与技能
1、理解命题的概念，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假.
2、能把命题改写成“若p，则q”的形式.
3、能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题.
二、过程与方法
1、通过学生感兴趣的话题引入数理逻辑，介绍数理逻辑的一些简单知识和作用，从中引起学生的学习兴趣.通过问题的方式让学生理解命题的概念和判断其真假.
2、通过复习旧知识引入新的知识，通过例题教学和学生的演练、比较.使学生掌握命题的四种形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题.
三、情感、态度与价值观
1、通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，了解数理逻辑、理解命题的概念.
2、通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识，演练、比较，提高学习质量.
四、教学重点
1、命题的概念、构成.
2、命题的四种形式.
五、教学难点
1、改写命题的形式
2、掌握命题的四种形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题
六、教学辅助手段
1、多媒体辅助教学工具.
七、教学过程
1、创设情境
情境：我们学过一些对某一件事情作出判断的语句，例如：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
（3）对顶角相等.
（4）等式两边加同一个数，结果仍是等式.像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
说谎者悖论：一个人在大厅演讲，他说：“我说这句话时正在说慌.”然后这个人问听众他上面说的这句话是真话还是假话？
罗素悖论：一位理发师说：他不给替自己理过发的人理发.那么请问，理发师能不能给自己理发？
2、探究新知
一、命题的定义：
可以判断真假的陈述句.
理解：（1）判断为真的语句叫做真命题.
（2）判断为假的语句叫做假命题.
练习1：下列语句是命题吗?你能判断它们的真假吗?
（1）12>5;
（2）0.5是整数;
（3）若x2=1,则x=1;
（4）x+3>0.
（5）x2-9x+1≥0
（6）x2+2x+1≥0
二、命题的构成——条件和结论
所有的命题都由条件和结论两部分构成．
理解：
（1）在数学中，命题常写成“若p，则q” 这种形式.
（2）命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．
3、即时巩固
练习2：指出下列命题中的条件p和结论q
（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；
（2）菱形的对角线互相垂直且平分.
练习3：把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假：
（1）等腰三角形两腰的中线相等；
（2）偶函数的图象关于y轴对称；
（3）垂直于同一个平面的两个平面平行.
4、提升演练
课堂探究：
下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
三、四种命题
原命题：若P，则q．则：
逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．
逆否命题：若￢q，则￢P．
练习4：判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假.
（1）若a>b，则a2>b2;
（2）矩形的对角线相等.
5、回顾总结
1、命题的定义
2、命题的构成
3、四种命题
6、作业布置
1.整理课堂笔记，熟记四种命题的形式.
2.必做题：（1）课本P8页习题1.1 A组1,
3.
（2）阳光课堂P3页基础自主演练.
（3）阳光课堂P5页基础自主演练.
3.选做题：课本P8页习题1.1 B组1.
八、板书设计
基于以上教学设想，将黑板未被幕布遮蔽区域分区设计如下
九、教学反思。