高中数学四种命题教案.
高中数学四种命题教学设计
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高中数学四种命题教学设计1一、教学目标1、在初中学过原命题、逆命题知识的基础上，初步理解四种命题。
2、给一个比较简单的命题（原命题），可以写出它的逆命题、否命题和逆否命题。
3、通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力4、初步培养学生反证法的数学思维。
二、教学分析重点：四种命题；难点：四种命题的关系1。
本小节首先从初中数学的命题知识，给出四种命题的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。
2。
教学时，要注意控制教学要求。
本小节的内容，只涉及比较简单的命题，不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题，３．“若p则q”形式的命题，也是一种复合命题，并且，其中的p与q，可以是命题也可以是开语句，例如，命题“若，则x，y全为0”，其中的p与q，就是开语句。
对学生，只要求能分清命题“若p则q”中的条件与结论就可以了，不必考虑p与q是命题，还是开语句。
三、教学手段和方法（演示教学法和循序渐进导入法）1。
以故事形式入题2多媒体演示四、教学过程（一）引入：一个生活中有趣的与命题有关的笑话：某人要请甲乙丙丁吃饭，时间到了，只有甲乙丙三人按时赴约。
丁却打电话说“有事不能参加”主人听了随口说了句“该来的没来”甲听了脸色一沉，一声不吭的走了，主人愣了一下又说了一句“哎，不该走的走了”乙听了大怒，拂袖即去。
主人这时还没意识到又顺口说了一句：“俺说的又不是你”。
这时丙怒火中烧不辞而别。
四个客人没来的没来，来的又走了。
主人请客不成还得罪了三家。
大家肯定都觉得这个人不会说话，但是你想过这里面所蕴涵的数学思想吗？通过这节课的学习我们就能揭开它的庐山真面，学生的兴奋点被紧紧抓住，跃跃欲试！设计意图：创设情景，激发学生学习兴趣（二）复习提问：1．命题“同位角相等，两直线平行”的条件与结论各是什么？2．把“同位角相等，两直线平行”看作原命题，它的逆命题是什么？3．原命题真，逆命题一定真吗？“同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真．但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真．学生活动：口答：（l）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．设计意图：通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础．（三）新课讲解：1．命题“同位角相等，两直线平行”的条件是“同位角相等”，结论是“两直线平行”；如果把“同位角相等，两直线平行”看作原命题，它的`逆命题就是“两直线平行，同位角相等”。
高中数学选修2-1课件1.1四种命题
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
练一练
1.判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对）
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错）
2.四种命题的概念
v 什么叫互逆命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题就 叫做互逆命题。把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆命题。
v 什么叫互否命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 这两个命题就叫做互否命题。把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的否 命题。
2、具有“若p则q”形式的命题，能准确的找 出条件p和结论q。
8分钟后回答问题（如有疑问可以问老 师或同桌小声讨论）
● 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 陈述句叫做命题。
● 判断为真的语句叫做真命题。
● 判断为假的语句叫做假命题。
理解： 1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准
必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其 一。
原命题是：⑴同位角相等，两直线平行； 逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.
数学理论：否命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，这样的两个命题就叫做互否 命题，若把其中一个命题叫做原命题， 则另一个就叫做原命题的否命题.
否命题⑶同位角不相等，两直线不平行；
成立 不成立
高一数学 四种命题精品教案 新人教A版
课题：1.7 四种命题（2）教学目的：1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题；3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想教学重点：理解四种命题的关系教学难点：逆否命题的等价性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．（初中数学中有关反证法的内容，要求比较低，并且基本没有涉及代数命题到高中数学学习的需要，结合四种命题及其关系进行讲授学习反证法，一是要注意加强对有关代数命题的训练，二是教学要求要适当，对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高教科书中反证法涉及代数命题的例、习题，是属于初中范围的，比较简单．因此，这些题目都可以用直接的方法进行证明，不一定用反证法，选取这些题，主要是为了让学生熟悉反证法）反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法教学过程：一、复习引入：四种命题及其形式原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若−p 则−q ； 逆否命题：若−q 则−p.二、讲解新课：1．四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：2．四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①、原命题为真，它的逆命题不一定为真②、原命题为真，它的否命题不一定为真③、原命题为真，它的逆否命题一定为真3．反证法：要证明某一结论A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明A 的反面（非A ）是错误的，从而断定A 是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法4．反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论三、范例例1．判断以下四种命题的真假原命题：若四边形ABCD 为平行四边形，则对角线互相平分 真逆命题：若四边形ABCD 对角线互相平分，则它为平行四边形； 真 否命题：若四边形ABCD 不是为平行四边形，则对角线不平分； 真 逆否命题：若四边形ABCD 对角线不平分，则它不是平行四边形； 真 归纳小结：（学生回答，教师整理补充）(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真；(2)原命题为真，它的否命题不一定为真；(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等），这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题⇔逆否命题例2．（课本第32页例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.练习：课本第32页练习：1，2.答案：1.(1)正确；(2)正确.2.(1)逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.(2) 逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.否命题：若a≤b,则a+c≤b+c.否命题为真.逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.逆否命题为真.a>.例3．（课本第32页例3）用反证法证明：如果a>b>0，那么b证明：假设a不大于b，则或者a<b,或者a=b.∵a>0，b>0，∴a<b⇒a a<b a，a b<b b⇒abab<⇒a<b；a<，ba>.a=b⇒a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾，∴b证法二（直接证法）()()b a b a b a -+=-， ∵a>b>0,∴a - b>0即()()0>-+b a b a ,∴0>-b a ∴b a >例4（课本第33页例4）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于P ，且AB 、CD 不是直径.求证：弦AB 、CD 不被P 平分.分析：假设弦AB 、CD 被P 平分，连结OP 后，可推出AB 、CD 都与OP 垂直，则出现矛盾.证明：假设弦AB 、CD 被P 平分，由于P 点一定不是圆心O ，连结OP ，根据垂径定理的推论，有OP ⊥AB ，OP ⊥CD ，即过点P 有两条直线与OP 都垂直，这与垂线性质矛盾.∴弦AB 、CD 不被P 平分.四、小结：四种命题之间的相互关系和真假关系反证法的基本原理及其四个步骤五、练习：课本第33页 练习：1，2.提示：1.设b2-4ac ≤0，则方程没有实数根，或方程有两个相等的实数根，得出矛盾.2.设∠B ≥900，则∠C+∠B ≥1800，得出矛盾.补充题：1．命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假解：逆命题：若 |x| = |y| 则 x = y （假，如 x = 1, y = -1） 否命题：若 x ≠ y 则 |x| ≠|y| （假，如 x = 1, y = -1） 逆否命题：若 |x| ≠|y| 则 x ≠ y （真）2．写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 （真）否命题：若 x + y ≠ 5 则 x ≠ 3且y≠2 （真）逆否命题：若 x ≠ 3 或y≠2 则 x + y ≠5 （假）六、作业：课本第33-34页习题1．7中3，4 ， 5.补充题：1．若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,∴a能被2整除.七、板书设计（略）八、课后记：小故事：三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？答案：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂黑了.那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪.因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了.然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我.由此可知，我的脸也给涂黑了.这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了.简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面—没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了.因此这是一种间接的证明方法.显然这种证明方法也是不可缺少的.像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法“.。
高中数学- 四种命题 四种命题间的相互关系
1.1.2 四种命题1．1.3 四种命题间的相互关系(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．2．过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．●重点、难点重点：四种命题之间相互的关系．难点：正确区分命题的否定形式及否命题．通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．(教师用书独具)●教学建议这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．●教学流程创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？⇒引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第4页)给出以下四个命题：(1)对顶角相等；(2)相等的两个角是对顶角；(3)不是对顶角的两个角不相等；(4)不相等的两个角不是对顶角；1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？【提示】它们的条件和结论恰好互换了．2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？【提示】命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？【提示】逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，则綈p.2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？【提示】互逆、互否、互为逆否．四种命题的相互关系1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？【提示】(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？【提示】原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.(对应学生用书第5页)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.【思路探究】(1)原命题的条件与结论分别是什么？(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？【自主解答】(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)若a＞b，则ac2＞bc2.【解】(1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【思路探究】确定条件与结论→写出三种命题→判断真假【自主解答】(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．下列命题中正确的是( )①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．A．①②③B．①③C ．②③D ．①【解析】 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．真命题． ②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程x 2＋x －m ＝0无实根， ∴判别式Δ＝1＋4m ＜0，m ＜－14.故m ≤0，为真命题． 故正确的命题是①，③选B. 【答案】 B若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．【思路探究】 (1)a ，b ，c 不可能都是奇数包含几种情况？ (2)它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？【自主解答】 若a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数，所以a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a 2＋b 2＝c 2，则a 、b 、c 不可能都是奇数．1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a ＜2”，判断其逆否命题的真假．【解】∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0，则4a －7＜0，解得a ＜74.因此a ＜2，原命题是真命题．又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.(对应学生用书第6页)因否定错误致误写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．【错解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．【错因分析】本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．【防范措施】要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．【正解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．1．写出四种命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．2．四种命题的真假关系：若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.(对应学生用书第7页)1．(福州检测)已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A ．若a 2＋b 2＜12，则a ＋b ≠1B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2＜12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1【解析】 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2＜12”，故否命题为：“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12”．【答案】 C2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题【解析】从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．【答案】 A3．命题“当x＝2时，x2＋x－6＝0”的逆否命题是____．【解析】原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．【答案】当x2＋x－6≠0时，x≠2.4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.【解】(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.假命题；否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．一、选择题1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( )A．若p，则綈q B．若q，则綈pC．若綈q，则p D．若綈q，则綈p 【解析】若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．∴“若綈q，则p”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(台州检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(大庆检测)下列判断中不正确的是( )A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．C中的逆命题为：“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为( )A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C 中命题的否命题为“若x 2≠9，则x ≠3”为真命题；D 中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D 二、填空题6．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________． 【答案】 若A ∪B ≠B ，则A ⃘B .7．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.【答案】 [1,2]8．(菏泽检测)给定下列命题： ①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解． ②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题． 其中真命题的序号是________．【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ① 三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】 原命题是真命题．逆命题是“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ”，是真命题． 否命题是“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题． 逆否命题是“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．【解】(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a ＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.(教师用书独具)判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【解】∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×(－3m)＝4＋12m＞0，∴原命题“若m ＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又∵原命题与它的逆否命题等价，∴“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为真．已知ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.【证明】设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2bc＋2cd－2ad －2bc＋2ad＝2，即(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋2ad－2bc＝2，若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0，则a＝b＝c＝d＝0，于是ad－bc＜1；若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2≠0，则(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2为正数，所以必有ad－bc＜1.综上，命题“若a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则ad－bc≠1”成立，由原命题与它的逆否命题等价，知原命题也成立，从而原命题得证.21。
高中数学 §1.1.1 四种命题
课题:§1.1.1 四种命题教学目标：1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；2．会分析四种命题之间的相互关系；3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．教学重点及难点：四种命题的关系．教学过程：一、复习回顾初中已学习过命题与逆命题的知识，请问：什么叫做命题的逆命题？在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．今天将进一步研究命题与其有关的命题的概念．二、讲授新课我们通常把所给的一个命题叫做原命题．如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则原命题可表示：若p 则q ．由逆命题的概念我们知道，在写一个命题的逆命题是我们一般情况下是先将原命题写成：“若p 则q ”的形式，然后将题设和结论互相交换位置，即可得到原命题的逆命题：若q 则p ．例1：写出下列三个命题的逆命题：（1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形．如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题．否命题的形式可表示为：若非p 则非q ，记为若p ⌝则q ⌝．命题的否命题和命题否定的区别：否命题：若p ⌝则q ⌝；命题的否定：若p 则q ⌝．例2：写出下列三个命题的否命题：（1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形．如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题．逆否命题的形式可表示为：若q ⌝则p ⌝．例3：写出下列三个命题的逆否命题：（1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形．强调：①原命题、否命题、逆命题和逆否命题是相互的；②写原命题的否命题、逆命题和逆否命题的关键是：找出所给原命题的条件p 与结论q ．ab=”的逆命题、否命题与逆否命题．a=，则0问题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？从上面的例子可以看出：原命题是真命题，逆命题是假命题，否命题是假命题，逆否命题是真命题．例5：把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．一般地，互为逆否命题地两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题．即互为逆否命题的两个命题的真假相同．三、课堂练习课本P6 练习1、2四、课堂小结1．四种命题的准确表达及其相互关系；2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假的应用．五、课外作业课本P8 习题1.1 1、2。
高中数学命题教学教案
高中数学命题教学教案
教学目标：通过学习本课时的内容，学生能够掌握数学命题的相关概念和方法，能够灵活运用数学命题解决实际问题。
教学重点：数学命题的概念和性质
教学难点：命题的逻辑运算
教学步骤：
第一步：导入新知识
1. 讲解数学命题的概念和性质，引导学生了解命题的定义和特点。
2. 通过一些实际例子，让学生理解什么是数学命题，如何判断一个语句是否是命题。
第二步：学习命题的逻辑运算
1. 讲解命题的逻辑运算符号及其运算规则，包括合取、析取、否定、等价、蕴含等运算。
2. 给学生一些练习题，让他们熟练运用逻辑运算解决问题。
第三步：巩固知识点
1. 给学生一些练习题，让他们巩固所学知识点。
2. 老师对学生的练习进行批改和讲解，帮助学生理解和纠正错误。
第四步：拓展应用
1. 给学生一些拓展应用题，让他们将所学知识运用到实际问题中。
2. 引导学生思考数学命题在生活中的应用，并讨论其重要性。
第五步：总结复习
1. 对本课时的知识点进行总结复习，梳理逻辑运算的步骤和规则。
2. 鼓励学生提出问题，并对疑难点进行解答。
教学效果评价：
1. 参与度评价：观察学生在课堂上的积极参与程度。
2. 作业评价：检查学生对所学知识的掌握情况，提供及时反馈。
3. 测验评价：组织小测验，检验学生对数学命题的掌握情况。
4. 考试评价：在期末考试或模拟考试中设置相关题型，评估学生的学习效果。
高中数学四种命题精品公开课教案
四种命题【教学目标】了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假【教学重难点】重点：四种命题并会判断命题的真假、相互关系．难点：命题的否定与否命题的区别、分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假【教学过程】１．复习引入下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．2．定义问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一1个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．让学生举一些互否命题的例子。
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
人教版高一数学四种命题 教案
高一数学四种命题课题：§课 型：新授课课时计划：本课题共安排2课时教学目的：（1）初步掌握四种命题的关系；（2）初步掌握反证法；教学重点：四种命题的关系；互为逆否命题同真同假；反证法的证明格式；教学难点：四种命题的关系，反证法的格式；教具使用：常规教学教学过程：一、第一课时1.互逆命题、互否命题、互为逆否命题的概念；（1）如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；（2）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题；（3）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做逆否命题；2.换一种表述：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题；3.四种命题之间的相互关系如下：4.p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否c>0时，若a>b ，则ac>bc ；⑤全等三角形一定相似；⑥末位数字是零的自然数能被5整除；⑦对顶角相等；⑧过半径的端点不与半径垂直的直线，不是这个圆的切线；5.四种命题的真假有如下三条关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真；（2）原命题互逆 互逆 逆 逆 否 否为真，它的否命题不一定为真；（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；二、第二课时1.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不正确，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确；即：否定结论→推出矛盾→肯定结论2.例题分析：用反证法证明（1）已知a和b均为正有理数，且a和b都是无理数，证明：a+b是无理数：（2）若0⋅++-，则mx2≠nmx)nm(x≠；x≠且n三、归纳小结，强化思想本节主要学习四种命题的关系和反证法证明命题；四、作业布置1、2、五、教学反馈。
高中数学(命题及其关系-四种命题)教案2 苏教版选修2-1 教案
=，则
B B
不能被2整除；
结论：这些语句都是陈述句，且它们都能判断真假。
一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，
例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；
它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.
2.否命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
例如⑶同位角不相等，两直线不平行；
⑷两直线不平行，同位角不相等.
3. 原命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
概括地说，设命题⑴为原命题，则命题⑵为逆命题；命题⑶为否命题；命题⑷为逆否命题.
关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：
⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.
4.四种命题的形式
一般到，我们用p和q分别表示原
命题的条件和结论，用┐p和┐q分别
表示p和q的否定，于是四种命题的形
式就是：
原命题：若p则q；。
四种命题》的教学优秀教案设计
四种命题的教学设计优秀教案教学内容本节课选自一般高中课程标准试验教科书数学〔苏教版〕选修 2-1 第1 章内容。
教材的地位及作用数学是一门逻辑性很强的学科，几乎到处都涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证。
本节课探讨的内容既是对学生初中学习过的命题知识的持续和提高，又是后面探讨充分条件和必要条件、全称量词和存在量词等知识的根底。
同时也是培育学生用逻辑用语来说明数学知识的须要，是人们在日常生活中进展思索、沟通的须要。
三维目标知识及技能1.了解命题的逆命题、否命题及逆否命题。
2.四种命题之间的相互关系。
3.理解一个命题的真假及其它三个命题真假间的关系。
4.用逻辑用语精确地表达数学内容。
过程及方法通过实例说明四种命题形式的客观存在，使学生体会探讨四种命题形式的必要性，采纳启发式教学使学生明白四种命题的关系。
情感、看法及价值观让学生感受用逻辑语言精确地表达数学内容的重要性，培育学生逻辑推理实力，驾驭“正难则反〞的数学思想。
教学重点驾驭四种命题之间的相互关系，理解互为逆否的命题同真同假的重要规律。
教学难点在命题的四种形式中，推断其中两个命题的关系。
课时支配1 课时教学过程一、创设情境、导入新课〔投影 1〕歌德是 18 世纪德国的一位闻名文艺大师，一天，他及一位指责家“狭路相逢〞，这位文艺指责家生性乖僻，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪慧，一边高傲地往前走，一边大声说道：“我从来不给傻子让路！〞面对如此的犯难的局面，歌德只是笑容可掬，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌答复道“呵呵，我可恰恰相反。
〞结果故作聪慧的指责家，反倒自讨没趣。
提问你能分析此故事中歌德及指责家的言语表达吗？〔两人的言语表达都运用了逻辑用语〕老师口述“数学是思维的科学〞。
逻辑是探讨思维形式和规律的科学。
逻辑用语是我们必不可少的工具。
万丈高楼平地起，今日我们就来学习常用逻辑用语的根底——四种命题〔投影 2〕。
二、师生互动、意义建构新知探究〔投影 3〕以下语句的表述形式有什么特点？你能推断它们的真假吗？(1)假设，则；(2)x<2 ；(3)垂直于同一个平面的两个平面平行；(4)有三个角为直角的平面四边形是矩形。
高中数学 同步教学 命题的四种形式
D.若 tan α≠1,则 α=
答案:C
π
4
2
)
3
4
5
1
5.命题“如果角 α=60°,则 tan α= 3”的否定是“
其否命题是“
”.
2
3
4
5
”;
答案:如果角 α=60°,则 tan α≠ 3 如果角≠60°,则 tan α≠ 3
B.如果x≤2,则x2≤4
C.如果x2≤4,则x≤2
D.如果x2>4,则x>2
பைடு நூலகம்
)
1.互为逆否命题的两个命题的等价性的理解
剖析:互为逆否命题的两个命题的等价性可以从集合角度给出恰
当的解释.
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},其中p,q是集合A,B中元素的特征性质,
如果A⊆B,则意味着对于元素x要具有性质p就必须具有性质q,所以
2.四种命题的关系
(1)原命题和逆命题是互逆的命题;否命题和逆否命题也是互逆的
命题.
(2)原命题和否命题、逆命题和逆否命题都是互否的命题.
(3)原命题和逆否命题、逆命题和否命题都是互为逆否的命题.
四种命题的关系如下图:
【做一做2】 与命题“如果x>2,则x2>4”互逆的命题是 (
A.如果x>2,则x2<4
分析:先分清命题的条件和结论,再由四种命题的定义写出即可.
条件“a=b,c=d”是“p且q”形式的命题,其否定为“a≠b或c≠d”.
解:逆命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d;
否命题:已知a,b,c,d都是实数,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d;
高中数学 第一章第21课时四种命题的关系教师专用教案 新人教A版
第二十一教时四种命题的关系目的：要求学生理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假。
过程：一、复习：四种命题提问：说出命题“若两个三角形全等，则这两个三角形相似”的逆命题、否命题、逆否命题。
（解答略）二、1．接复习提问：原命题与逆否命题互逆否，否命题与逆命题互逆否，逆命题与逆否命题互逆。
小结：得表：2．如果原命题为真，则逆命题、否命题、逆否命题真假如何？例：原命题：“若 a = 0 则 ab = 0”是真命题逆命题：“若 ab = 0 则 a = 0”是假命题否命题：“若 a ≠ 0 则 ab ≠ 0”是假命题逆否命题：“若 ab ≠ 0 则 a ≠ 0”是真命题小结：原命题为真，逆命题不一定为真，否命题也不一定为真，逆否命题为真。
3．又例：若四边形 ABCD为平行四边形，则对角线互相平分。
它的逆命题、否命题、逆否命题均为真。
三、例题： P32 例二（略）又例：命题“若 x = y 则 x2 = y2”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假。
解：逆命题：若 x2 = y2则 x = y （假，如 x = 1, y = -1）否命题：若 x≠ y 则 x2≠ y2（假，如 x = 1, y = -1）逆否命题：若 x2 ≠ y2则 x ≠ y （真）又例：写出命题：“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。
解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 （真）否命题：若 x+ y ≠ 5 则 x ≠ 3且y≠2 （真）逆否命题：若 x≠ 3 或y≠2 则 x + y ≠5 （假）四、处理《课课练》 30—31 16课五、作业：课本33—34习题1．7中3，4《课课练》16课余下部分。
高中数学 同步教学 四种命题 四种命题间的相互关系
逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等
高.
(4)逆命题:若x2-3x+2<0,则1<x<2.
否命题:若x≤1或x≥2,
则x2-3x+2≥0.
逆否命题:若x2-3x+2≥0,则x≤1或x≥2.
(5)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.
两个命题之间的关系,具有双向性,而逆否命题指的是一个命题,具
有单向性.
首页
π
3
1
2
【做一做 1】 已知命题 p:若 x= ,则 cos x= ,则命题 p 的逆命题
为
p 的逆否命题为
;命题 p 的否命题为
;命题
.
1
2
π
3
答案:若 cos x= ,则 x=
π
3
1
2
若 x≠ ,则 cos x≠
1
2
π
3
(填
命题.(填
,其真
首页
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)有的命题没有逆命题. (
)
(2)在四种命题中,只有原命题与否命题具有互否关系. (
)
(3)互逆命题的真假性一定相反. (
)
(4)在原命题及其逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数一
定是偶数. (
x,y互为相反数”的否命题是真命题.
(2)法一:“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等,则它们是对顶
角”,是假命题.
法二:“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角,则它们不
相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的逆
高中数学命题及其关系四种命题教案2苏教版选修21
结论：这些语句差不多上陈述句，且它们都能判定真假。
一样地，我们用语言、符号或式子表达的，能够判定真假的陈述句，叫做命题；其中判定为正确的命题，为真命题；一样到，我们用p和q 分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定，因此四种命题的形式确实是：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┐p则┐q；逆否命题：若┐q则┐p.五、巩固运用例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判定各命题的真假。
解：原命题：若a=0,则ab=0是真命题；逆命题：若ab=0，则a=0是假命题；否命题：若a≠0，则ab≠0”是假命题；逆否命题：若ab≠0，则a≠0”是真命题；副产品：原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.例2.把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。
（1）两个全等的三角形的三边对应相等；（2）四边相等的四边形是正方形；（3）负数的平方是正数；分析：关键是找出原命题的条件p和结论q.解：（1）原命题能够写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；（真）逆命题：若两个三角形的三边对应相，则这两个三角形全等；（真）否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不是三边对应相等；（真）逆否命题：若两个三角形不是三边对应相等，则这两个三角形不全等；（真）（2）原命题能够写成：若一个四边形四边相等，则它是正方形；（假）逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；（真）否命题：若一个四边形四边不相等，则它不是正方形；（真）逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；（假）(3)原命题能够写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；练习：1．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为____________________. 2．命题“若a b>，则1ab>”的逆否命题为（）A．若1ab>，则a b>B．若a≤b，则ba≤1 C．若a b>，则b a<D．若ba≤1，则a≤b3．写出“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆否命题；4．把下列命题写成“若p 则q”的形式，并判定其真假.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)弦的垂直平分线通过圆心，并平分弦所对的弧.。
高一数学1.7,四种命题第一课时课件
高中数学第一册
武元平
§1.7四种命题（一）
教学目标：
1.理解四种命题的概念，掌握命题形式的表示.
2.培养学生简单推理的思维能力.
教学重点：
1.四种命题的概念. 2.由原命题写出另外三种命题.
教学难点： 否命题的书写
旧知复习：
1、三个逻辑联结词
“或”、“且”、“非”
2、三个真值表
若一个点在线段的垂直平分线上，则它到这条线段两端 点的距离相等。 （3）对顶角相等。 若两个角是对顶角，则这两个角相等。 （4）到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线； 若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线。
2、填空：
（1）命题“末位于0的整数，可以被5整除”的逆命题 是： 若一个整数可以被5整除，则它的末位是0。
“或”：有真则真，同假才假
“且”：有假则假，同真才真
复习练习：
1、用否定的形式填空： a<=0。 （1）a>0； （2）a>=0或b<0； a<且b>=0。 （3）a、b都是正数； a、b不都是正数。 （4）A是B的子集； A不是B的子集。
关键 词 否定 等于 不等 于 大于 不大 于 小于 不小 于 是 不是 都是 不都 是 至少 一个 一个 没有 至多 一个 至少 两个 任意 … 存在 … P或Q P且Q 非P且 非P或 非Q 非Q
（2）命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两端点 的距离相等”的否命题是： 若一个点不在线段的垂直平分线上，则它到这条线段 两端点的距离不相等。
（3）命题“对顶角相等”的逆否命题是： 若两个角不相等，则它们不是对顶角。
（4）命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线” 的逆否命题是： 若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径。
高中数学教案：若则命题的四种形式
若则命题的四种形式课程目标知识提要若则命题的四种形式•若则命题命题的常见形式为“若p则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．•逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．•否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若¬p，则¬q”．•逆否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题（inverse and negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若¬q，则¬p”．•四种命题的相互关系•四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题，它们有相同的真假性；②互逆或互否的两个命题，它们的真假性没有关系．精选例题若则命题的四种形式1. “若a⩽b，则ac2⩽bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是．【答案】2【分析】其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．2. 给出下列命题：①原命题为真，则它的否命题为假；②原命题为真，则它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，则它的否命题一定为真．其中真命题是．（把你认为正确的命题的序号都填上）【答案】②③【分析】原命题为真，则它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题的两个命题同真同假，所以①④错误，②③正确．3. “若a⩽b，则ac2⩽bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是．【答案】24. 设有非空集合A，B，C，若“ a∈A”的充要条件是“ a∈B且a∈C”，则“ a∈B”是“ a∈A”的条件．【答案】必要5. 命题“若y=2x，则x与y成正比例关系”的否命题是．【答案】若y≠2x，则x与y不成正比例关系6. 命题“若x=3，y=5，则x+y=8”的逆命题是；否命题是，逆否命题是．【答案】逆命题：若x+y=8，则x=3，y=5；否命题：若x≠3或y≠5，则x+y≠8；逆否命题：若x+y≠8，则x≠3或y≠57. 给出命题“若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是．【答案】1【分析】因为命题“若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数”是假命题，如函数y=x+1，所以由互为逆否的两个命题的真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1．8. 设a⃗，b⃗⃗是向量，命题p：“若a⃗=−b⃗⃗，则∣a⃗∣=∣b⃗⃗∣”，则：命题p的否命题是；命题p的逆命题是；命题p的逆否命题是；命题p的否定是；其中的真命题是．【答案】“若a⃗≠−b⃗⃗，则∣a⃗∣≠∣b⃗⃗∣”；“若∣a⃗∣=∣b⃗⃗∣，则a⃗=−b⃗⃗”；‘‘若∣a⃗∣≠∣b⃗⃗∣，则a⃗≠−b⃗⃗”；“若a⃗=−b⃗⃗，则∣a⃗∣≠∣b⃗⃗∣”；原命题p，命题p的逆否命题9. 命题“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题是．【答案】如果一个函数的图象不关于原点对称，则这个函数不是奇函数10. 给出下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若ab=0，则a=0”的否命题．其中真命题的序号是．【答案】②③【分析】①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②原命题的逆命题为：“ x，y互为相反数，则x+y=0”，是真命题；③“若ab=0，则a=0”的逆命题为“若a=0，则ab=0”，显然为真命题．11. 若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的．【答案】逆命题12. “若a>b，则2a>2b”的逆否命题为．【答案】若2a⩽2b，则a⩽b．13. 命题“ ∀x∈R，x2+x+1⩽0”的否定是．【答案】∃x∈R，x2+x+1>014. 命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，与它的逆命题、否命题及逆否命题中假命题是，真命题是．【答案】原命题、逆否命题；逆命题、否命题【分析】该题只需判断原命题与逆命题的真假即可．15. 在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：" 若两条直线l1：a1x+b1y+c1=0,l2：a2x+b2y+c2=0平行，则a1b2−a2b1=0 "．那么f(p)=．【答案】2【分析】命题p为真命题，其逆否命题也为真命题；命题p的逆命题为假命题，其否命题也为假命题．16. "若a∉M或a∉P，则a∉M∩P "的逆否命题是．【答案】若a∈M∩P，则a∈M且a∈P17. 给出下列命题：①“若k>0，则关于x的方程x2+2x−k=0有实根”的逆命题为；②“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为；③“若A∪B=B，则A⊆B”的逆否命题为；④命题p：“ x,y∈R，若x2+y2=0，则x，y全为0”的非命题为．你写出的命题是真命题的序号是．【答案】①若关于x的方程x2+2x−k=0有实根，则k>0；②若a>b，则2a⩽2b−1；③若A⊈B，则A∪B≠B；④x,y∈R，若x2+y2=0，则x，y不全为0．③18. 在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是．【答案】②19. 命题“若x⩽1，则x2⩽1”的逆否命题为．【答案】若x2>1，则x>1．20. 命题“若(x−1)2+(y−1)2=0，则x=1且y=1”的否命题是．【答案】x≠1或y≠1【分析】若(x−1)2+(y−1)2≠0，则x≠1或y≠1．21. 写出下列命题的否定：(1)若m2+n2+a2+b2=0，则实数m，n，a，b全为零；【解】若m2+n2+a2+b2=0，则实数m，n，a，b不全为零．(2)正方形的四边相等；【解】正方形的四边不都相等．(3)a,b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除．【解】a,b∈N，若ab可被5整除，则a，b中没有一个能被5整除．22. 若a,b,c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．【解】逆命题：“若ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不相等的实数根，则ac<0．”它是假命题．否命题：“若ac⩾0，则方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)没有两个不相等的实数根．”它是假命题．逆否命题：“若ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)没有两个不相等的实数根，则ax⩾0．”它是真命题．23. 已知命题：“若x⩽0或y⩽0，则x+y⩽0”，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假．【解】逆命题：若x+y⩽0，则x⩽0或y⩽0，是真命题．否命题：若x>0且y>0，则x+y>0，是真命题．逆否命题：若x+y>0，则x>0且y>0，是假命题．24. 写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题和逆否命题．【解】否命题：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数．逆否命题：若a+b不是偶数，则a和b不都是偶数．25. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假：(1)若xy=0，则x，y中至少有一个是0；【解】逆命题：若x，y中至少有一个是0，则xy=0，是真命题．否命题：若xy≠0，则x，y都不为0，是真命题．逆否命题：若x，y都不为0，则xy≠0，是真命题．(2)若x>0且y>0，则xy>0．【解】逆命题：若xy>0，则x>0且y>0，是假命题．否命题：若x⩽0或y⩽0，则xy⩽0，是假命题．逆否命题：若xy⩽0，则x⩽0或y⩽0，是真命题．26. 已知条件p:(5x−1)2−a2>0(a>0)和条件q:12x2−3x+1>0．请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A，B构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题是什么？【解】条件p:由题意知5x−1<−a或5x−1>a，所以x<1−a5或x>1+a5．条件q:由题意知2x2−3x+1>0，所以x<12或x>1．令a=4，则p:x<−35或x>1，此时必有p⇒q成立，反之不然．故可以选取一个实数a=4，A为p，B为q，对应的命题是“若p，则q”，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．（答案不唯一）27. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)当c<0时，若ac>bc，则a<b；【解】逆命题：当c<0时，若a<b，则ac>bc；真命题，否命题：当c<0时，若ac⩽bc，则a⩾b；真命题，逆否命题：当c<0时，若a⩾b，则ac⩽bc；真命题．(2)若ab=0，则a=0或b=0．【解】逆命题：若a=0或b=0，则ab=0；真命题，否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题，逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．28. 把“末位数字是0的整数，可以被5整除”写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】原命题：若一个整数的末位数字是0，则这个数可以被5整除，是真命题．逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个数的末位数字是0，是假命题．否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个数不能被5整除，是假命题．逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个数的末位数字不是0，是真命题．29. 已知命题p:若ac⩾0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根．(1)写出命题p的否命题；【解】命题p的否命题为“若ac<0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有实根”． (2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．【解】命题p的否命题是真命题．证明如下：因为ac<0，所以−ac>0，所以Δ=b2−4ac>0，所以一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，所以该命题是真命题．30. 分别写出命题“若x2+y2=0，则x，y全为零”的逆命题、否命题与逆否命题．【解】逆命题：若x，y全为零，则x2+y2=0．否命题：若x2+y2≠0，则x，y不全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x2+y2≠0．31. 证明：若p2+q2=2，则p+q⩽2．【解】证法 1：若p+q>2，则p2+q2=12[(p−q)2+(p+q)2]⩾12(p+q)2>12×22=2，这与已知p2+q2=2矛盾，所以原命题正确．证法2：因为p2+q2=2，设p=√2cosα，q=√2sinα(α∈R)．则p+q=√2(cosα+sinα)=2sin(α+π4)，所以p+q⩽2．证法 3：令t=p+q，则将q=t−p代入p2+q2=2并整理，得2p2−2tp+t2−2=0．因为p∈R，所以Δ⩾0，即4t2−4×2(t2−2)⩾0，解得−2⩽t⩽2，所以p+q⩽2．32. 设T=x+y+xy，其中x，y均为非零实数．问：命题“若1x +1y>0，则T≠0”的否命题是否正确？为什么？【解】命题“若1x +1y>0，则T≠0”的否命题为“若1x+1y⩽0，则T=0”，原命题的否命题为假命题．举反例如下：取x=−1，y=1，满足1x +1y⩽0，但T=(−1)+1+(−1)⋅1=−1≠0．故原命题的否命题不正确．33. 写出命题“若x2+7x−8=0，则x=−8或x=1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：若x=−8或x=1，则x2+7x−8=0．逆命题为真．否命题：若x2+7x−8≠0，则x≠−8且x≠1．否命题为真．逆否命题：若x≠−8且x≠1，则x2+7x−8≠0．逆否命题为真．34. 写出命题“若a=0，则ab=0”的逆命题、否命题与逆否命题．【解】原命题：若a=0，则ab=0；逆命题：若ab=0，则a=0；否命题：若a≠0，则ab≠0；逆否命题：若ab≠0，则a≠0．35. 写出命题："若x+y=5则x=3且y=2 "的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：若x=3且y=2则x+y=5；真否命题：若x+y≠5则x≠3或y≠2；真逆否命题：若x≠3或y≠2则x+y≠5；假36. 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；【解】若一个数是实数，则它的平方是非负数．这个命题是真命题．(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；【解】若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．这个命题是假命题．(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；【解】若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．这个命题是真命题．(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．【解】若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．这个命题是真命题．37. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定形式，并判断真假．(1)若x2+y2=0，则x、y全为0；【解】逆命题：若x、y全为0，则x2+y2=0．（真）否命题：若x2+y2≠0，则x、y不全为0．（真）逆否命题：若x、y不全为零，则x2+y2≠0．（真）否定形式：若x2+y2=0，则x、y不全为0．（假）(2)若m>0，则x2+x−m=0有实数根；【解】逆命题：若x2+x−m=0有实数根，则m>0．（假）否命题：若m⩽0，则x2+x−m=0无实数根．（假）逆否命题：若x2+x−m=0无实根，则m⩽0．（真）否定形式：若m>0，则x2+x−m=0无实根．（假）(3) △ABC中，如果C=90∘，那么c2=a2+b2．【解】逆命题：△ABC中，若c2=a2+b2，则C=90∘．（真）否命题：△ABC中，若C≠90∘，则c2≠a2+b2．（真）逆否命题：△ABC中，若C≠90∘，则c2≠a2+b2．（真）否定形式：△ABC中，若C=90∘，则c2≠a2+b2．（假）38. 已知函数f(x)是(−∞,+∞)上的增函数，a,b∈R，对命题“若a+b⩾0，则f(a)+ f(b)⩾f(−a)+f(−b)”写出其逆否命题，判断真假，并证明你的结论．【解】逆否命题：若f(a)+f(b)<f(−a)+f(−b)，则a+b<0，真命题．由原命题与其逆否命题同真假，故可证明原命题为真命题．因为a+b⩾0，所以a⩾−b，b⩾−a．因为f(x)在(−∞,+∞)上是增函数，所以f(a)⩾f(−b)，f(b)⩾f(−a)，所以f(a)+f(b)⩾f(−a)+f(−b)．故逆否命题为真．39. 将下列命题改写成“若p则q”的形式：(1)垂直于同一个平面的两条直线平行；【解】若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行；(2)斜率相等的两条直线平行；【解】若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；(3)钝角的余弦值是负数．【解】若一个角是钝角，则它的余弦值是负数．40. 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；④命题②、③、④与命题①有何关系？【解】①中条件p：两个三角形全等；结论q：两个三角形面积相等，p⇒q；②为q⇒p，故为命题①的逆命题；③为¬p⇒¬q，故为命题①的否命题；④为¬q⇒¬p，故为命题①的逆否命题．课后练习1. 命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为．2. 对于命题：①“若x2+y2=0，则x，y全为0”的逆命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m>0，则x2+x−m=0有实根”的逆否命题．其中真命题的题号是．3. 下列命题中是真命题的是．①命题"若xy=1，则x，y互为倒数"的逆命题；②命题"面积相等的三角形全等"的否命题；③命题"若m⩽1，则x2−2x+m=0有实根"的逆否命题；④命题"若A∩B=B，则A⊂B "的逆否命题．4. 命题"垂直于同一直线的两条直线相互平行"的逆命题为．5. 已知命题"若a>b，则ac2>bc2 "及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中假命题有个．6. 原命题："设a,b,c∈R，若a>b，则ac2>bc2 "以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有个．7. 命题“若 xy =0，则 x =0 或 y =0 ”的逆否命题是 ．8. 命题＂若 △ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等＂的逆否命题是 ．9. 给出下列命题：①命题"若 b 2−4ac <0，则方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0) 无实根"的否命题；②命题" △ABC 中，若 AB =BC =CA ，则 △ABC 为等边三角形"的逆命题；③命题"若 a >b >0，则 √a 3>√b 3>0 "的逆否命题．其中真命题的序号为 ．10. 下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥ 若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆否命题的有 ，互为否命题的有 ，互为逆命题的有 ．11. 如果否命题为“若 x +y ⩽0，则 x ⩽0 或 y ⩽0 ”，则相应的原命题是 ．12. 命题“若 a >0，则 a >1 ”的逆命题是： ．13. 命题"若 a >1 ，则 a >0 "的否命题为 ．14. 命题‘‘若实数 a 满足 a ⩽2，则 a 2<4 ”的否命题是 命题（填“真”或“假”）．15. 写出命题“若 a ，b 都是偶数，则 a +b 是偶数”的逆否命题为 ．16. 下列各对命题的相互关系怎样？是否等价？(1) A ⇒B 和 ¬A ⇒¬B ： ；(2) B ⇒A 和 ¬A ⇒¬B ： ；(3) ¬B ⇒¬A 和 ¬A ⇒¬B ： ．17. "若 a +b 是偶数，则 a,b 必定同为奇数或偶数"的逆否命题为 ．18. 在命题"若 m >−n ，则 m 2>n 2 "的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是 ．19. 若命题 p 的逆命题是 q ，命题 r 是命题 q 的否命题，则 p 是 r 的 命题．20. 命题"若 a >0，则 a >1 "的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ．21. 设“若 p ，则 q ”是原命题，其中 p:x 2−8x −20>0．q:x 2−2x +1−a 2>0．已知原命题是真命题，而逆命题为假命题，求正实数 a 的取值范围．22. 把下列命题改写成"若 p 则 q "的形式：(1)对顶角相等；(2)不等式两边加上同一个数，不等号方向不变．23. 把下列命题改写成"若p则q "的形式：(1)两个整数和为整数；(2)两个无理数相乘，它们的积也是无理数．24. 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2⩽0的解集非空，则a⩾1”的逆否命题的真假．>0，请选取适当的实数a的值，利用所给25. 已知条件p:∣5x−1∣>a>0和条件q:12x2−3x+1出的两个条件作为A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．26. 已知原命题是"若A或B，则C "．这个命题的逆命题，否命题和逆否命题各是什么？27. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．28. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：(1)若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；(2)若ab=0，则a=0或b=0．29. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：(1)奇函数的图象关于坐标原点对称；(2)若x2+y2=0，则x，y全为0；(3)若(x−3)(x−7)=0，则x=3或x=7．30. 判断命题“若k>0，则方程x2+2x−k=0有实根”的逆否命题的真假．31. 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：＂临时有急事，不能来了．＂主人听了随口说了句：＂你看看，该来的没有来．＂张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：＂哎哟，不该走的又走了．＂李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人的离去原因．32. 写出命题"一组对边平行且相等的四边形是平行四边形"的逆命题，否命题，逆否命题，并且判断其真假．33. 写出命题"若a=b，则a2=b2 "的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假，说明理由．34. 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．①命题p："若ac⩾0，则二次方程ax2+bx+c=0没有实根"；②命题q："若x≠a且x≠b，则x2−(a+b)x+ab≠0 "；③命题r："若(x−1)(x−2)=0，则x=1或x=2 "；④命题l：" △ABC中，若∠C=90∘，则∠A、∠B都是锐角"；⑤命题s："若abc=0，则a,b,c中至少有一个为零"．35. 写出命题“已知a,b∈R，若关于x的不等式x2+ax+b⩽0有非空解集，则a2⩾4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．36. 已知命题："若α=2kπ+β(k∈Z)，则sinα=sinβ "，写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．37. 设命题为"若m>0，则关于x的方程x2+x−m=0有实数根"，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断其真假．38. 判断命题"若c>0，则y=x2+x−c的图象与x轴有两个交点"的逆否命题的真假．39. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题：(1)正数的平方根不等于0；(2)当x=2时，x2+x−6=0．40. 把下列命题改写成‘‘若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：(1)对顶角相等；(2)四条边相等的四边形是正方形．若则命题的四种形式-出门考姓名成绩1. 给出下列命题：① “角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆否命题；②“圆内接四边形的对角互补”的否命题；③ “若ac>bc，则a>b”的逆命题；④ “若a+5∈Q，则a∈Q”的逆命题．其中所有正确的命题是．（请填入正确命题的序号）2. 在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．则上述两个命题的逆命题为真命题的是．（填所有满足条件的命题的序号）3. 有三个命题：（1）"若x+y=0，则x,y互为相反数"的逆命题；（2）"若a>b，则a2>b2 "的逆否命题；（3）"若x⩽−3，则x2+x−6>0 "的否命题．其中真命题的个数为．4. 已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的（从“逆命题”“否命题”“逆否命题”“否定”中选一个填空）．，则这个三角形的三个内角能构成等差数列”的逆命题与原 5. 命题“若△ABC内有一内角为π3命题的真值（填“相同”或“不同”）．6. a,b是实数，命题"若a>b，则2a>2b−1 "的否命题为．7. 命题："若a⋅b不为零，则a、b都不为零"的逆否命题是．8. 命题"全等三角形的面积相等"的逆否命题为．9. 命题"若ab=0，则a，b中至少有一个为零"的逆否命题为．10. 命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0成立”的否定是．11. 原命题“如果实系数一元二次方程有相等的两实根，那么它的判别式等于零”的否命题是，它是（填“真”或“假”）命题．12. "若a+b≠5，则a≠2或b≠3 " 是命题．（填"真"或"假"）13. 写出命题“若方程ax2−bx+c=0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是．14. 命题“若x2＜1，则−1＜x＜1”的逆命题是．15. 有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则−2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是．16. "已知a，b，c是实数，如果不等式ax2+bx+c⩽0的解集非空，那么b2−4ac⩽0 "这个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，有个假命题．17. 命题"若x2−3x+2≠0，则x≠2 "的逆否命题为．18. 若命题p的逆命题是q，命题q的逆否命题是r，则p与r的关系是．19. 把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为．20. 命题“若∣x∣<2，则x<2”的否命题为．21. 已知命题“若a⩾0，则x2+x−a=0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．22. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：(1)若∣a∣=∣b∣，则a=b；(2)若x<0，则x2>0．23. 写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．(1)若m>0，则关于x的方程x2+x−m=0有实根；(2)若x，y均为奇数，则x+y也是奇数；(3)若abc=0，则a，b，c中至少有一个是0．24. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若ab=0，则a，b中至少有一个为零；(2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．25. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab=0，则a=0或b=0；(2)若x2+y2=0，则x,y全为零．26. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：(1)若x2=1，则x=1；(2)矩形的对角线相等．27. 写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断其真假：(1)若实数m>0，则关于x的方程x2+x−m=0有实数根；(2)若x，y都是奇数，则x+y是奇数；(3)若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0；(4)若x2−x−2≠0，则x≠−1，且x≠2．28. 写出下列命题的否定及其否命题．(1)菱形的四条边都相等；(2)若x2−x−2≠0，则x≠−1且x≠2；(3)若A∪B=B，则A⊆B．29. 将"正数的平方根不等于0 "改写成"若p则q "的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题．30. 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1) ac>bc⇒a>b；时，mx2−x+1=0无实根；(2)当m>14(3)已知x，y为正整数，当y=x+1时，y=3，且x=2；(4)当abc=0时，a=0或b=0或c=0；(5)当x2−2x−3=0时，x=3或x=−1．31. 把下列命题改写成"若p则q "的形式：(1)菱形的四边相等；(2)对顶角相等；(3) 25是5的倍数；(4) √2是无理数．32. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)"负数的平方是正数"；(2)"若a和b都是偶数，则a+b是偶数"；(3)"当c>0时，若a>b，则ac>bc "；(4)"若x+y=5，则x=3且y=2 "．33. 命题p：存在一个实数x，使函数y=lg(ax2+2x+2a)无意义，若¬p为真命题，求a 的取值范围．34. 写出下列命题的条件p和结论q：(1)平行四边形对角相等；(2)若a，b，c为△ABC的三边，则a+b>c；(3)偶数均能被2整除．35. 命题＂若x=y，则∣x∣=∣y∣＂，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．36. 已知a∈R，命题p：" ∀x∈[1,2]，x2−a⩾0 "命题q：" ∃x∈R,x2+2ax+2−a=0 "．(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．(1)如图，证明命题" a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c "为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）．38. 判断下列说法是否正确：(1)一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真；(2)一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真．(1)已知命题“ x，y都是奇数，则x+y是奇数”试写出该命题的逆命题，否命题及逆否命题，并判断其真假；(2)若x，y都是实数，且x+y>2，求证：1+xy <2和1+yx<2中至少有一个成立．(1)设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β，那么它们的逆否命题．A．①真②假B．①假②真C．①②都为真D．①②都为假(2)写出命题“菱形的对角线互相垂直”的“若p，则q”的形式，写出其否命题、逆命题、逆否命题．(3)写出命题“圆内接四边形对角互补”的等价命题．。
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高中数学四种命题教案
2018-11-17
一、教学目标
1、在初中学过原命题、逆命题知识的基础上，初步理解四种命题。
2、给一个比较简单的命题(原命题)，可以写出它的逆命题、否命题和逆否命题。
3、通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力
4、初步培养学生反证法的数学思维。
二、教学分析
重点：四种命题；难点：四种命题的关系
1.本小节首先从初中数学的命题知识，给出四种命题的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。
2.教学时，要注意控制教学要求。
本小节的内容，只涉及比较简单的命题，不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题，
３．“若p则q”形式的命题，也是一种复合命题，并且，其中的p与q，可以是命题也可以是开语句，例如，命题“若，则x，y全为0”，其中的p与q，就是开语句。
对学生，只要求能分清命题“若p则q”中的条件与结论就可以了，不必考虑p与q是命题，还是开语句。
三、教学手段和方法（演示教学法和循序渐进导入法）
1.以故事形式入题
2多媒体演示
四、教学过程
（一）引入：一个生活中有趣的与命题有关的笑话:某人要请甲乙丙丁吃饭，时间到了，只有甲乙丙三人按时赴约。
丁却打电话说“有事不能参加”主人听了随口说了句“该来的没来”甲听了脸色一沉，一声不吭的走了，主人愣了一下又说了一句“哎，不该走的走了”乙听了大怒，拂袖即去。
主人这时还没意识到又顺口说了一句：“俺说的又不是你”。
这时丙怒火中烧不辞而别。
四个客人没来的没来，来的又走了。
主人请客不成还得罪了三家。
大家肯定都觉得这个人不会说话，但是你想过这里面所蕴涵的`数学思想吗？通过这节课的学习我们就能揭开它的庐山真面，学生的兴奋点被紧紧抓住，跃跃欲试！
设计意图：创设情景，激发学生学习兴趣
（二）复习提问：
1．命题“同位角相等，两直线平行”的条件与结论各是什么？
2．把“同位角相等，两直线平行”看作原命题，它的逆命题是什么？
3．原命题真，逆命题一定真吗？
“同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真．但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真．
学生活动：
口答：（l）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
设计意图：通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础．
（三）新课讲解：
1．命题“同位角相等，两直线平行”的条件是“同位角相等”，结论是“两直线平行”；如果把“同位角相等，两直线平行”看作原命题，它的逆命题就是“两直线平行，同位角相等”。
也就是说，把原命题的结论作为条件，条件作为结论，得到的命题就叫做原命题的逆命题。
2．把命题“同位角相等，两直线平行”的条件与结论同时否定，就得到新命题“同位角不相等，两直线不平行”，这个新命题就叫做原命题的否命题。
3．把命题“同位角相等，两直线平行”的条件与结论互相交换并同时否定，就得到新命题“两直线不平行，同位角不相等”，这个新命题就叫做原命题的逆否命题。