广东省北京师范大学东莞石竹附属学校_学年高二数学下学期第一次月考试卷理(含解析)【含答案】

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2021-2022年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案

2021-2022年高二下学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1．下面是关于复数的四个命题：，，的共轭复数为，的虚部为．其中真命题为（）A． B． C． D．2．已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A． B．C． D．3．设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点4．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……，将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是（）A．12 B．13 C．14 D．155．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．函数在闭区间[3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1 B．1，-17 C．9，-19 D．3，-177．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．8．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A．B．1 C．D．29．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则＝（）A．2或2 B．9或3 C．1或1 D．3或110.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图象为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．曲线在点处的切线倾斜角为_________________.12．函数的导数为_________________.13．观察下列不等式，……照此规律，第五．个不等式为 . 14．若，则常数的值为____________________.15．若函数在上是增函数，则的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分）．16. （本小题满分12分）求由直线，，及曲线所围成的图形的面积．17. （本小题满分12分）（1）依次计算，，31112(1)(1)(1)4916a =---， 411112(1)(1)(1)(1)491625a =---- （2）猜想211112(1)(1)(1)(1)4916(1)n a n =----+的结果，并用数学归纳法证明论．18.（本小题满分12分）设13()ln 122f x a x x x =+++，其中，曲线在点处的切线垂直于轴．（1）求的值；（2）求函数的极值．19．（本小题满分12）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤．已知甲、乙两地相距100千米．（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20. （本小题满分13分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数，函数是区间[1，1]上的减函数.（1）求的最大值；（2）讨论关于的方程的根的个数．理科数学答案 xx3月一、选择题C BD C C D B A A B二、填空题2222211111111234566+++++< 3三、解答题16．解由，得到或，……………………………………………………………2分则………………………………………………………6分……………………………………………………10分…………………………………………………………………………………………………………12分17．解：（1），，，，………………………………………4分（2）猜想：，………………………………………………………………………5分证明：①当时，，显然成立 …………………………………………………6分 ②假设当命题成立，即2111122(1)(1)(1)(1)4916(1)1k k a k k +=----=++，……………7分则当时， 122111112(1)(1)(1)(1)(1)4916(1)(2)k a k k +=-----++ ………………………………………………………………………11分所以当时，命题成立，由①，②可知，命题对成立．………………………………………………………………12分18. 解：（1）由13()ln 122f x a x x x =+++，得，……………………………2分又曲线在点处的切线垂直于轴，故，解得；…………………………………………………………6分（2），由，得或（舍去），……………………………………………………8分当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数，所以函数在处取得极小值，无极大值．…………………………………12分19．解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，……………………………2分要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．…………………6分（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤…………8分332280080'()(0120)640640x x h x x x x -=-=<≤令得当时，是减函数；当时，是增函数．所以当时，取到极小值也是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最小为11.25升．………12分20. 解 23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，当时，取最小值，即．……………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由得，（不合题意，舍去）．当变化时，的变化情况如下表：在内有最大值．…………………………………………………………8分在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．………………………………………………………………………13分21．解：（1）∵在上单调递减，∴在上恒成立，即在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为…………………………4分（2）由.2ln )(ln 2m ex x x x x f x +-== 令,2)(,ln )(221m ex x x f xx x f +-==当上为增函数；当时，为减函数；当,1)()]([,1max 1e e f x f e x ===时……………………………………………………………8分而,)()(222e m e x x f -+-=当时，………………………………………………………………10分,1,122时即当ee m e e m +>>-∴方程无解；当时，方程有一个根；当时，方程有两个根. ……………………………………………14分28942 710E 焎23138 5A62 婢28049 6D91 涑033769 83E9 菩B25201 6271 扱34216 85A8 薨38596 96C4 雄40467 9E13 鸓 l22522 57FA 基~r。

广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校2016-2017学年高

2016—2017学年第二学期高二第一次月考数学（文科）试题高二数学命题人：裴海云（本试卷共22题，满分150，考试用时120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知复数122,z i z i =--=，i 是虚数单位，则复数212z z -的值是（）A ．i 21+-B ．i 21-C ．i 21+D ．i 32--2．在演绎推理“因为平行四边形的对角线互相平分，而正方形是平行四边形，所以正方形的对角线互相平分”中,“正方形是平行四边形”是“三段论”的（） A ．大前提 B ．小前提 C ．结论 D ．其它 3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 关于x 的回归直线^^^y b x a =+必过点（）A.（2，2）B.（1.5，0）C.（1，2）D.（1.5，4） 4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”的过程归纳为以下三个步骤：①因为606060180A B C ++>︒+︒+︒=︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾；②所以一个三角形的内角中至少有一个不大于60︒；③假设三角形的三个内角A 、B 、C 都大于60︒，正确顺序的序号为（）A ．③①②B ．②③①C ．①③②D ．①②③5．已知x x f cos )(1=，)()('12x f x f =，)()('23x f x f =，)()('34x f x f =，…，)()('1x f x f n n -=，则)(2016x f 等于( )A ．x sinB ．x sin -C ．x cosD ．x cos - 6. 曲线2x y =的一种参数方程是（）A.⎩⎨⎧==42ty t x B.⎩⎨⎧==t y t x 2sin sin C.⎩⎨⎧==t y t x D.⎩⎨⎧==2t y t x7、设P Q =R =,,P Q R 的大小顺序是（） A ．P Q R >> B ．P R Q >> C ．Q P R >> D ．Q R P >> 8．下面使用类比推理正确的是（）A. 把()a b c +与log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+B. 把()a b c +与sin()x y +类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+C. 把()a b c ++与()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =D. 把()n ab 与()n a b + 类比，则有：n n n ()x y x y +=+ 9．已知点P 的坐标为),1(π，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( )A ．1=ρB ．θρcos =C ．θρcos 1-= D ．θρcos 1= 10.若下面的程序框图输出的S 是126,则①处为( )A.?6≤nB.?5≤nC.?7≤nD.?8≤n11、设0>x ，0>y ，y x y x A +++=1，yy x x B +++=11，则A 、B 的大小关系是（）A B A = B B A < C B A > D 不能确定12. 如图，第n 个图形是由正2+n 边形“扩展”而来，（n=1、2、3、…）则在第n 个图形中共有（）个顶点。

广东省东莞市北京师范大学石竹附属中学2025届高三第一次调研测试数学试卷含解析

广东省东莞市北京师范大学石竹附属中学2025届高三第一次调研测试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE '，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立2．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（）A ．12B ．12-C ．2D ．2-3．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3B ． 2C ． 3或－3D ． 2和－2 4．函数的定义域为（）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）5．已知集合{}{}22(,)4,(,)2x A x y x y B x y y =+===，则A B 元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．967．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是 A ．2-B ．72-C ． 1D ．4 8．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．129．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（）A ．3B ．5C ．6D ．1010．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（） A ．19 B ．79- C ．23- D ．1311．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D ．642π3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案

石竹学校2016—2017学年第二学期期中考试试题高二理科数学命题人：叶森本试卷共22题，满分150,考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数i i z ++=12，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．如果复数i z +-=12，则( ）A ．｜z ｜=2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为i +13．把正整数按如右下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为( )A ．B ．C ．D ．4．若7++=a a P ，43+++=a a Q ，)0(>a ，则P ，Q 的大小关系是（）A ．P ＞QB ．P=QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定5．用数学归纳法证明n n <-++++12131211 ，)1,(*>∈n N n 时，第一步应验证不等式（）A ．2211<+B ．331211<++C ．44131211<+++ D ．231211<++6．函数x x y +=2在从1=x 到x 1△+=x 之间的平均变化率为（） A ．2x +△ B ．22)x (x △△+C ．3x +△D ．2)x (x 3△△+7．下列式子不正确的是（）A ．x x x x sin 6)cos 3(2-='+B ．2ln 21)2(ln x x x x -='-C ．x x 2cos 2)2sin 2(='D ．2sin cos sin x x x x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛8．函数x ax x x f 33)(23+-=有极小值,则a 的取值范围是（ ) A ．1>a B ．1≥aC ．1-≤a 或1≥aD ．1-<a 或1>a9．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dx x x e 11( ）A ．2eB ．212+eC ．212-eD ．232+e10．某校开设A 类课3门,B 类课4门,一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ）A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种11．6)2)(1(-+x x 的展开式中4x 的系数为（）A ．﹣100B ．﹣15C ．35D ．22012．如右下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有( )种．A ．72B ．60C ．48D ．24二、填空题:本题共4小题，每小题5分。

2015-2016学年广东省北京师范大学东莞石竹附属学校高二下学期期中考试数学(理)试题

2015-2016学年广东省北京师范大学东莞石竹附属学校高二下学期期中考试数学（理）试题[答卷时长120 分钟总分：150 分]一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.）1、已知复数Z 的共轭复数i z 21+=，则Z 在复平面内对应的点位于（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、在ABC ∆中，F E 、分别为AC AB 、的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( )A 、三角形的中位线平行于第三边B 、三角形的中位线等于第三边的一半C 、EF 为中位线D 、EF ∥BC3、用数学归纳法证明等式()()221)1(...321++=+++++n n n 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（） A 、1B 、12+C 、123++D 、1234+++4、若0()3f x '=-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（） A 、3- B 、12- C 、9- D 、6-5、1(2)x e x dx +⎰等于（）A 、1B 、1e -C 、eD 、1e +6、曲线x e y 21=在点()2e 4，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A 、229eB 、2e 4C 、22eD 、2e7、函数()()x x x f 2ln 2-=的单调递减区间是( )A 、 ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0B 、 ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22C 、 ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-22,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0D 、 ⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-22,0,0,228、在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AC AB ,互相垂直，则222BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两互相垂直”，则可得（）A 、222222BD CD BC AD AC AB ++=++B 、2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=⨯⨯ C 、2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++D 、222222BD CD BC AD AC AB ⨯⨯=⨯⨯9、如图所示，用五种不同的颜色分别给D C B A 、、、四个区域涂色，要使得每个区域的颜色各不相同，则不同的涂色方法共有( )A 、180种B 、120种C 、96种D 、60种10、已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一，且其导函数()y f x '=的图像如右图所示，则该函数()y f x =的图像是（）A B C D11、设R a ∈，若函数ax e y x +=，R x ∈，有大于零的极值点，则（）A 、a 1-<B 、a 1->C 、e a 1-<D 、ea 1-> 12、()x f 是定义在()+∞,0上的非负可导函数，且满足()()0'≤+x f x xf ，对任意正数b 、a ，若b a <，则必有（）A 、()()a bf b af ≤B 、()()b af a bf ≤C 、()()b f a af ≤D 、()()a f b bf ≤二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13、已知()x x x f sin =，则导函数()x f '= .14、已知函数()()x f x x f 12'2+=，则()1'f = .15、dx x ⎰--1121= .16、6张卡片上分别写有数字5,4,3,2,1,1，从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为 .三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）17、（本题满分10分）已知复数)()152()65(22R m i m m m m z ∈--+++=，试求m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 所对应的点落在第三象限？()题第1018、（本题满分12分）已知函数()x x x x f ln 2+= （1）求这个函数的导数()x f '；（2）求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程．19、（本题满分12分）已知函数21()54ln 2f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的定义域并求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 的极值．20、（本题满分12分）计算由抛物线12-=x y ，直线0,2==y x 所围成的图形的面积．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意的*n N ∈都有2n n S a n =-, (1)求数列{}n a 的前四项1234,,,a a a a ；(2)猜想数列{}n a 的通项公式n a ,并用数学归纳法证明； (3)求证：对任意*n N ∈都有213243111111n na a a a a a a a +++++<---- .22、（本题满分12分）已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围（3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.2015-2016学年度第二学期高二年级期中考试答案13． x x x cos sin + 14. 2-15．2π16. 126 17、（本题满分10分）解：（1）Z 为实数，则虚部为0，即22150m m --=，…………3分解得3-=m 或5=m ……4分（2）要使复数z 所对应的点落在第三象限，则⎪⎩⎪⎨⎧<--<++015206522m m m m ………………7分解得：⎩⎨⎧<<--<<-5323m m …………………9分（每解对一个不等式得1分）故)2,3(--∈m ………………………………………………………………………10分 18、（本题满分12分）解：（1）函数f （x ）=x 2+xlnx 的导数为f ′（x ）=2x+lnx+x •=2x+lnx+1；…………5分（2）由题意可知切点的横坐标为1，所以切线的斜率是k=f'（1）=2×1+ln1+1=3，…………8分切点纵坐标为f （1）=1+1×ln1=1，故切点的坐标是（1，1），…………10分所以切线方程为y ﹣1=3（x ﹣1），即3x ﹣y ﹣2=0．…………12分 19、（本题满分12分）解：（1）要使()f x 有意义，则x 的取值范围是(0,)+∞ （1分）因为4'()5f x x x =+-．（3分）由'()0f x >得450x x+->．因为0x >，所以2540x x -+>，解得即1x <，或4x >．（5分）由'()0f x <得450x x+-< 因为0x >，所以2540x x -+<，即14x <<．（7分）所以()f x 的单调增区间为(0,1),(4,)+∞；单调减区间为(1,4)．（8分）（2）由（1）知当1=x 时，函数()f x 取得极大值为29)1(-=f （10分）当4=x 时，函数()f x 取得极小值为4ln 412)4(+-=f （12分）20、（本题满分12分）解：由x 2﹣1=0，得抛物线与轴的交点坐标是（﹣1，0）和（1，0），所求图形分成两块，…………3分分别用定积分表示面积，．…………6分故面积=…………8分=+…………10分 =．…………12分答：所围成的面积是21、（本题满分12分）解: (1)令1n =得,11121S a a =-=,故11a =；令2n =得,22122221S a a a a =-=+=+,故23a =；令3n =得,3312332313S a a a a a =-=++=++,故37a =；令4n =得,441234424137S a a a a a a =-=+++=+++,故415a =；…………4分 (2)由(1)可以猜想21n n a =-,下面用数学归纳法进行证明:①当1n =时,结论显然成立；②假设当n k =时结论成立,即21k k a =-,从而由已知2n n S a n =-可得：122(21)22k k k k S a k k k +=-=--=--.故2123k k S k ++=--.∴21111(23)(22)21k k k k k k a S S k k +++++=-=-----=-. 即,当1n k =+时结论成立.综合①②可知,猜想21n n a =-成立.即,数列{}n a 的通项为21n n a =-.…………8分 (3)∵21n n a =-,∴11(21)(21)2n n n n n a a ++-=---=,∴2321324311111111111122222n n n n a a a a a a a a +++++=++++=-<----∴对任意*n N ∈都有213243111111n na a a a a a a a +++++<---- .………………12分22、（本题满分12分）解： (1) 函数()f x 的定义域为(1,)-+∞………………1分当14a =-时，21()ln(1)(1)4f x x x x =-++>-11(2)(1)()212(1)x x f x x x x +-'=-+=-++解()0f x '>得11x -<<；解()0f x '<得1x >故()f x 的单调递增区间是(11)-，，单调递减区间是(1)+∞，………………3分（2）因为函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，所以1()201f x ax x '=+≤+对[1)x ∀∈+∞，恒成立即12(1)a x x ≤-+对[1)x ∀∈+∞，恒成立………………4分 22111111112(1)42()2(1)2222x x x -=-≥-=-++-+-14a ∴≤-……………………6分 (3)因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()0f x x -≤恒成立，即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，设2()ln(1)(0)g x ax x x x =++-≥，只需max ()0g x ≤即可由1[2(21)]()2111x ax a g x ax x x +-'=+-=++ ①当0a =时，()1xg x x '=-+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0)+∞，上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立 …………………………………………………8分②当0a >时，令[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+，解得0x =或112x a =- 1)当1102a -<，即12a >时，在区间(0)+∞，上()0g x '>，则函数()g x 在(0)+∞，上单调递增，故()g x 在[0)+∞，上无最大值，不合题设。

2017年广东省北师大东莞石竹附中高二理科下学期人教A版数学第一次月考试卷

2017年广东省北师大东莞石竹附中高二理科下学期人教A版数学第一次月考试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. ，，则A. B. C. D.2. 如果质点按照规律运动，则在时的瞬时速度为A. B. C. D.3. 过抛物线上的点的切线的倾斜角为A. B. C. D.4. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是A. 假设至少有一个钝角B. 假设至少有两个钝角C. 假设没有一个钝角D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角5. 小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说：小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是A. 小赵B. 小李C. 小孙D. 小钱6. 函数的最大值是A. B. C. D.7. 函数在下面哪个区间内是增函数A. B. C. D.8. 观察按下列顺序排序的等式：，，，，，猜想第个等式应为A. B.C. D.9. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了A. 项B. 项C. 项D. 项10. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是A. B.C. D.11. 在实数集中定义一种运算“”，具有性质：①对任意，；②对任意，；③对任意，．函数的最小值为A. B. C. D.12. 设，都是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 函数的图象在处的切线在轴上的截距为．14. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形中的两边，互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：．若三棱锥的三个侧面，，两两互相垂直，则三棱锥的三个侧面积，，与底面积之间满足的关系为．15. ．16. 已知，则．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知函数，求函数的单调区间和极值．18. 已知函数在区间内时取极小值，时取极大值．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数在上的最大值与最小值．19. 求抛物线与直线围成的平面图形的面积．20. 如图，一矩形铁皮的长为，宽为，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积（单位：）是关于截去的小正方形的边长（单位：）的函数．（1）写出关于（单位：）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?21. 数列满足．（1）计算，，，，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．22. 已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）若，证明：．答案第一部分1. C2. C3. B4. B5. D【解析】小钱和小李说法互相矛盾，必有一真一假，若小钱说假话，则小钱去过，若小李说假话，则小李和小钱去过，综上，小钱一定去过．6. A 【解析】，令，则（舍去）或，，，，所以在上的最大值为．7. B 【解析】解法一：（分析法）：计算函数在各个端点处的函数值，有下表：由表中数据大小变化易得结论B．解法二：（求导法）：由，则，则，．8. B 9. D 【解析】用数学归纳法证明等式的过程中，假设时不等式成立，左边，则当时，左边，所以由递推到时不等式左边增加了：，共项．10. C【解析】由函数图象，知在上，在此区间上是增函数；在上，在此区间上是减函数；在上，在此区间上是减函数；在上，在此区间上是增函数．11. B 【解析】根据题意，得即．因为，可得，当且仅当，即时等号成立，所以，可得函数的最小值为．12. C第二部分13.14.15.【解析】由，得，所以的几何意义为以为圆心，以为半径的圆在轴上方，与两直线，所围成图形的面积，即四分之一圆的面积，等于．16.【解析】由，得：，所以，所以．第三部分17. 因为，所以的定义域为，，由，得；由得．所以的单调增区间为，单调减区间为．．所以时，极小值18. （1）因为函数，所以．又，分别对应函数取得极小值、极大值，所以，为方程的两个根．所以，．解得，，所以．当时，，即在曲线上．又切线斜率为，故所求切线方程为，即为．（2）当变化时，及的变化情况如下表：所以在上的最大值为，最小值为．19. 联立方程组解得交点坐标为，，所求面积为20. （1）设小正方形的边长为，则．盒子容积为：．（2）对求导，得，令，得，解得：，（舍去），所以，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；所以，当时，函数取得最大值．所以，小正方形的边长为，盒子容积最大，最大值为．21. （1）当时，，所以．当时，，所以．同理：，．由此猜想．（2）（ⅰ）当时，，结论成立．（ⅱ）假设（，且）时，结论成立，即，那么（，且）时，所以，所以，这表明时，结论成立．由（ⅰ）（ⅱ）可知对一切正整数，都有．22. （1）函数的定义域为．，由及，得．所以当时，是减函数，即的单调递减区间为．（2）由（Ⅰ）知，当时，，当时，，因此，当时，，即，所以．令，则．所以当时，，当时，．所以当时，，即，所以．综上可知，当时，有．。

2016-2017年广东省北师大东莞石竹附中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请把正确选项序号填在答题表内.）1．（5分）f（x）＝x3，f′（x0）＝6，则x0＝（）A．B．﹣C．±D．±12．（5分）如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为（）A．6B．18C．54D．813．（5分）过抛物线y＝x2上的点的切线的倾斜角（）A．30°B．45°C．60°D．135°4．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角5．（5分）小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（）A．小赵B．小李C．小孙D．小钱6．（5分）函数f（x）＝3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（）A．1B．C．0D．﹣17．（5分）函数y＝x cos x﹣sin x在下面哪个区间上是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）8．（5分）观察按下列顺序排列的等式：9×0+1＝1，9×1+2＝11，9×2+3＝21，9×3+4＝31，…，猜想第n（n∈N+个等式应为（）A．9（n+1）+n＝10n+9B．9（n﹣1）+n＝10n﹣9C．9n+（n﹣1）＝10n﹣1D．9（n﹣1）+（n﹣1）＝10n﹣10 9．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项10．（5分）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b＝b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0＝a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c＝c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）＝x⊕（x＞0）的最小值为（）A．4B．3C．2D．112．（5分）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g （x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上．）13．（5分）函数f（x）＝x3+4x+5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为．14．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2＝BC2．若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的三个侧面积S1，S2，S3与底面积S之间满足的关系为．15．（5分）dx＝．16．（5分）已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x，求函数f（x）的单调区间和极值．18．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx在区间（﹣2，1）内x＝﹣1时取极小值，时取极大值．（1）求函数y＝f（x）在x＝﹣2处的切线方程；（2）求函数y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值．19．（12分）求抛物线y2＝2x与直线2x+y﹣2＝0围成的平面图形的面积．20．（12分）如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？21．（12分）数列{a n}满足S n＝2n﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若x＞﹣1，证明：．2016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请把正确选项序号填在答题表内.）1．（5分）f（x）＝x3，f′（x0）＝6，则x0＝（）A．B．﹣C．±D．±1【解答】解：f′（x）＝3x2f′（x0）＝3x02＝6x0＝±故选：C．2．（5分）如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为（）A．6B．18C．54D．81【解答】解：∵质点M按照规律s＝3t2运动，∴s′＝6t，当t＝3时，∴在t＝3时的瞬时速度为s′＝6×3＝18；故选：B．3．（5分）过抛物线y＝x2上的点的切线的倾斜角（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：y＝x2的导数为y′＝2x，在点的切线的斜率为k＝2×＝1，设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由k＝tanα＝1，解得α＝45°．故选：B．4．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角【解答】解：用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应先假设“至少有两个钝角”，故选：B．5．（5分）小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（）A．小赵B．小李C．小孙D．小钱【解答】解：如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙，小李说真话，满足题意；故选：D．6．（5分）函数f（x）＝3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（）A．1B．C．0D．﹣1【解答】解：f'（x）＝3﹣12x2＝3（1﹣2x）（1+2x）令f'（x）＝0，解得：x＝或（舍去）当x∈（0，）时，f'（x）＞0，当x∈（，1）时，f'（x）＜0，∴当x＝时f（x）（x∈[0，1]）的最大值是f（）＝1故选：A．7．（5分）函数y＝x cos x﹣sin x在下面哪个区间上是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）【解答】解：y'＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x欲使导数为正，只需x与sin x符号总相反，分析四个选项知，B选项符合条件，故选：B．8．（5分）观察按下列顺序排列的等式：9×0+1＝1，9×1+2＝11，9×2+3＝21，9×3+4＝31，…，猜想第n（n∈N+个等式应为（）A．9（n+1）+n＝10n+9B．9（n﹣1）+n＝10n﹣9C．9n+（n﹣1）＝10n﹣1D．9（n﹣1）+（n﹣1）＝10n﹣10【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式为：9（n﹣1）+n＝10n﹣9故选：B．9．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝1+++…+，则当n＝k+1时，左边＝1+++…++++…+，∴由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1＝2k项，故选：D．10．（5分）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0；∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增；∴f（x）的大致图象应是B．故选：B．11．（5分）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b＝b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0＝a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c＝c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）＝x⊕（x＞0）的最小值为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：根据题意，得f（x）＝x⊕＝（x⊕）⊕0＝0⊕（x•）+（x⊕0）+（⊕0）﹣2×0＝1+x+即f（x）＝1+x+∵x＞0，可得x+≥2，当且仅当x＝＝1，即x＝1时等号成立∴1+x+≥2+1＝3，可得函数f（x）＝x⊕（x＞0）的最小值为f（1）＝3故选：B．12．（5分）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3【解答】解：设F（x）＝f（x）g（x），当x＜0∵F′（x）＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0∵F（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x）＝﹣F（x故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）∴F（x）在（0，+已知g（﹣3）＝0，必有F（﹣3）＝F（3）＝0构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上．）13．（5分）函数f（x）＝x3+4x+5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为．【解答】解：∵f（x）＝x3+4x+5，∴f'（x）＝3x2+4，当x＝1时，y'＝7得切线的斜率为7，所以k＝7；所以曲线在点（1，10）处的切线方程为：y﹣10＝7×（x﹣1），令y＝0得x＝．故答案为：．14．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2＝BC2．若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的三个侧面积S1，S2，S3与底面积S之间满足的关系为．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得，故答案为．15．（5分）dx＝．【解答】解：由，得（x﹣3）2+y2＝1．∴dx的几何意义为以（3，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方，与两直线x＝2、x＝3所围成图形的面积．即四分之一圆的面积，等于．故答案为：．16．（5分）已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝﹣2．【解答】解：由f（x）＝x2+3xf′（2），得：f′（x）＝2x+3f′（2），所以，f′（2）＝2×2+3f′（2），所以，f′（2）＝﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x，求函数f（x）的单调区间和极值．【解答】解：∵f（x）＝xlnx﹣x，∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx，由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．∴f（x）的增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．∴x＝1时，f（x）极小值＝f（1）＝﹣1．18．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx在区间（﹣2，1）内x＝﹣1时取极小值，时取极大值．（1）求函数y＝f（x）在x＝﹣2处的切线方程；（2）求函数y＝f（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx，∴f′（x）＝﹣3x2+2ax+b．又x＝﹣1，x＝分别对应函数取得极小值、极大值，∴﹣1，为方程﹣3x2+2ax+b＝0的两个根．∴a＝﹣1+，﹣＝（﹣1）×．解得a＝﹣，b＝2，∴f（x）＝﹣x3﹣x2+2x．当x＝﹣2时，f（﹣2）＝2，即（﹣2，2）在曲线上．又切线斜率为k＝f′（﹣2）＝﹣8，故所求切线方程为y﹣2＝﹣8（x+2），即为8x+y+14＝0．（2）当x变化时，f′（x）及f（x）的变化情况如下表：）﹣∴f（x）在[﹣2，1]上的最大值为2，最小值为﹣．19．（12分）求抛物线y2＝2x与直线2x+y﹣2＝0围成的平面图形的面积．【解答】解：方程组，解得交点坐标为（，1），（2，﹣2），所求面积为S＝（1﹣y﹣y2）dy＝（y﹣y2﹣y3）＝（1﹣﹣）﹣（﹣2﹣1+）＝．20．（12分）如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解答】解：（1）设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，1.5）；盒子容积为：y＝（8﹣2x）•（3﹣2x）•x＝4x3﹣22x2+24x，（2）对y求导，得y′＝12x2﹣44x+24，令y′＝0，得12x2﹣44x+24＝0，解得：x＝1，x ＝（舍去），所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜1.5时，y′＜0，函数y单调递减；所以，当x＝1时，函数y取得最大值6；所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为6cm3．21．（12分）数列{a n}满足S n＝2n﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝s1＝2﹣a1，所以a1＝1．当n＝2时，a1+a2＝s2＝2×2﹣a2，所以．同理：，．由此猜想…（5分）（Ⅱ）证明：①当n＝1时，左边a1＝1，右边＝1，结论成立．②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，那么n＝k+1时，a k+1＝s k+1﹣s k＝2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k＝2+a k﹣a k+1，所以2a k+1＝2+a k，所以，这表明n＝k+1时，结论成立．由①②知对一切n∈N*猜想成立．…（8分）22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若x＞﹣1，证明：．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．f'（x）＝﹣1＝﹣…（2分）由f'（x）＜0及x＞﹣1，得x＞0．∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是减函数，即f（x）的单调递减区间为（0，+∞）． (4)（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，因此，当x＞﹣1时，f（x）≤f（0），即ln（x+1）﹣x≤0，∴ln（x+1）≤x．…（6分）令，则＝．…（8分）∴当x∈（﹣1，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0． (10)∴当x＞﹣1时，g（x）≥g（0），即≥0，∴．综上可知，当x＞﹣1时，有．…（12分）。

广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校2016-2017学年高二下学期第一次月考数学试题(国际班)

2016-2017学年第二学期高二数学第一次月考试题(国际班)考试时间60分钟，满分100分命题者：蒋汉加班级_________ 姓名______________得分__________一.选择题本大题共25小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算)1)(1i i -+（=（） A ．i 2 B ．i 21- C ．2 D ．02．函数2)(-=x x f 的定义域是（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．）的最小、最大值分别为（）A ．3，5B ．9-,1C ．1，9D ．1，9-10.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则)()(B C A C U U =A ．}9,7{B ．}9,7,0{C ．}9,7,5,3,1{D ．}8,6,4,2{11．若A(－2,3)，B(3，－2)，C ),1(m 三点共线，则m 的值为( )A .12B ．－1C ．－2D ．012．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为2，则此棱锥的全面积是( )A ． 33+B ． 326+C ．36+D ． 323+13.已知正方体的外接球的体积是323π，则这个正方体的体积是（） A. 2764 B. 9364 C. 964 D. 27364 14．已知正方体的棱长为2，则此正方体全面积是( )A ． 4B ． 12C ．24D ． 4815．湖面上漂着一球，湖结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为cm 24，深为cm 8的空穴，则该球的表面积为( )A ．676πB ．576π C. 320π D ．64π16.若两个球的体积之比为1:8,则这两个球的表面积之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:1617.球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的（）倍.A ．4B ．8C ．16D ．6418.棱长为4的正方体的内切球的体积表面积为（）A ． π4B ． π12C ．π16D ． π2019．若经过点A(3，a )、B(4，－4)的直线与经过点C(－2,0)且斜率为2的直线垂直，则a 的值为( ) A. 415- B. 415 C ．10 D ．－1020．已知直线1l 的斜率为1，且1l 2l ⊥，则2l 的倾斜角为( )(A)0°(B)135° (C)90° (D)180°班级_________ 姓名______________得分__________21．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）12022.经过点M(m,3)和N(1,m)的直线l 与斜率为1-的直线互相垂直，则m 的值是( )A ． 4B ． 1C ．2D ．323.已知A(2,0)，B(3, 3-)，直线 l ∥AB ，则直线l 的倾斜角为（）(A)135° (B) 120° (C)60° (D) 45°24. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为( )A ．21 B ．31 C ．61 D ．32 25．已知函数22)(+=x x f ，则f （2）的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6。

广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校2016-2017学年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案

2016～2017学年度第二学期第一次月考高二数学理科试卷［答卷时长120 分钟总分:150 分] 命题人：何立峰一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确。

请把正确选项序号填在答题表内。

） 1.3)(x x f =，6)(0'=x f ，则=0x (）A.2 B 。

－2C.±2 D. ±12.如果质点A 按照规律23t s =运动，则在30=t 时的瞬时速度为（）A ．12B ．16C ．18D ．27 3。

抛物线2x y =在点)41,21(M 处的切线倾斜角是(）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是（ )A 。

假设至少有两个钝角B 。

假设至少有一个钝角C 。

假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角5．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时, 小赵说:我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；-22xyO1 -1 -11小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（）A ．小赵B ．小李C ．小孙D ．小钱 6．函数])1,0[(43)(3∈-=x x x x f 的最大值是（）A 。

1B.21 C 。

0 D.－17．x x x x f sin cos )(-=在下面哪个区间内是增函数（）A.)23,2(ππB.)2,(ππ C 。

)25,23(ππD.)3,2(ππ8．观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=,…，猜想第*()n n N ∈个等式应为(）A.9(1)109n n n ++=+B.9(1)109n n n -+=-C.9(1)101n n n +-=- D 。

9(1)(1)1010n n n -+-=- 9．利用数学归纳法证明不等式()()11112,2321nf n n n N *++++<≥∈-的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了( ）A.1项 B 。

北京师范大学东莞石竹附属学校高二数学下学期第一次月考试题(国际班,无答案)

2014-2015年国际班高二下学期第1次月考数学试卷时间：120分钟满分：150班级：姓名：考号：一、选择题：本大题10小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{}{}1,2,3,4,2,==|-2≤≤∈P Q x x x R ，则P Q 等于（）A 、{1，2}B 、{3，4}C 、{1}D 、{-2，-1，0，1，2}2、命题“,11a b a b >->-若则”的否命题是（）A.,11a b a b >-≤-若则B.若b a ≥，则11-<-b aC.,11a b a b ≤-≤-若则D.,11a b a b <-<-若则提示：否定条件作条件；否定结论作结论。

3、下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（）A ．x y =B ．x y -=3 C ．x y 1= D ．42+-=x y 4、已知直线b kx y +=经过一、二、三象限，则有（）A ． k<0，b <0B ．k<0，b>0C ．k>0，b>0D ．k>0，b<05、二次函数y=x2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（）A ．3B ．5C ．－3和5D ．3和－56、数列1，3，7，15，…的通项公式an 等于（）．（A ）2n （B ）2n ＋1 （C ）2n －1 （D ）2n －17、如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（）A .11a b < B< C .22a b < D . ||||a b >8、不等式|x ＋5|＞3的解集是 ( )(A){x|－8＜x ＜8} (B){x|－2＜x ＜2}(C){x|x ＜－2或x ＞2 } (D){x|x ＜－8或x ＞－2 }提示：|x|＞a 推出x ＜－a 或x ＞a(a>0)9．不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（0，2）D ．（2，0）提示：代入检验法10、命题“若a b >，则a c b c +>+”的逆否命题为（）（注：原命题：若p 则q ，逆否命题：若¬q 则¬p ）A ．若a b <，则a c b c +<+B ．若a b ≤，则a c b c +≤+C ．若a c b c +<+，则a b <D ．若a c b c +≤+，则a b ≤11、已知x>0，则x x y 43+=有（）A 、最大值34-B 、最小值34-C 、最大值34D 、最小值34（注：,a b R +∈⇒2a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)）．12、不等式02≤-x x 的解集是（）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-021|x x B ．}10|{≥≤x x x 或 C ．{}10|≤≤x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2321|x x x 或注：121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<）、121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.二、填空题：本大题共5小题，每空5分，满分40分13、若函数x x x f 2)(2-=，则)3(f = . 14、函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________。

高二数学下学期第一次月考试题理 2

卜人入州八九几市潮王学校平罗二零二零—二零二壹第二学期第一次月考试卷高二数学〔理〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕“0,02>>∀x x 〞的否认是〔〕A ．0,02≤>∀x xB ．0,02≤>∃x xC ．0,02≤≤∀x xD ．0,02≤≤∃x x 2．设i 是虚数单位，复数i i z -=12，那么=z 〔〕 A ．i +-1B ．i +1C ．i -1-D ．i -13．⎰=-01-)dx e x x （〔〕 A ．e 11--B ．1-C ．e 123-+D ．23- 4．假设椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，那么该椭圆的离心率为() A ．21B ．23C ．43D ．46 5．函数x e x f x =)(的图象大致为〔〕A ．B ．C ．D ．6．用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是() A ．B ．C ．D ． 7．函数22323)(a bx ax x x f -+-=在2=x 时有极值0，那么b a +的值是()A ．14B ．40C ．48D ．14或者408．复数z 满足243=++i z ，那么z 的最大值是()A ．3B ．5C ．7D ．99．某地区高考HY ，实行“〞形式，即“〞指语文、数学、外语三门必考科目“〞指在物理、历史两门科目中必选一门，“〞指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或者物理这五门学科中任意选择两门学科，那么一名学生的不同选科组合有〔〕A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种 10．设点是曲线x x x f ln )(2-=上的任意一点，那么点到直线02--=y x 的间隔的最小值为〔〕 A ．B ．2C ．D ．11．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)10(1)01(1)(2x x x x x f ，那么dx x f ⎰11-）（的值是() A ．21π+B ．421π+C ．41π+D ．221π+ 12．中国诗词大会〔第二季〕亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开始诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗读，别有韵味．假设将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，那么后六场的排法有〔〕A ．144种B ．288种C ．360种D ．720种二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．假设复数)1)(43(i i z -+=〔i 为虚数单位〕，z =________14．函数的导函数为，且x f x x f ln )1(2)(+'=，那么=')1(f __________．15．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成个无重复数字的四位偶数．16．在平面几何中，假设正方形的内切圆面积为外接圆面积为那么，推广到立体几何中，假设正方体的内切球体积为外接球体积为，那么_______．三、解答题〔本大题一一共计70分，解容许写出说明文字、证明过程或者演算步骤〕。

广东省北京师范大学东莞石竹附属学校2024_2025学年高二数学上学期第一次月考试题

广东省北京师范高校东莞石竹附属学校2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题考试范围：解三角形，数列；考试时间：120分钟；题号一二三总分得分留意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，全部答案必需用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，全部答案必需填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=，则b=（）A. B. C. 2 D. 32.设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，，，则B=（）.A. B. C. 或 D.3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=5，c=8，则△ABC的面积S等于（）A. 10B.C. 20D.4.正项等比数列{a n}中，a3=2，a4•a6=64，则的值是（）A. 4B. 8C. 16D. 645.已知等差数列{a n}中，a1+a3+a9＝20，则4a5-a7＝（）A. 20B. 30C. 40D. 506.在△ABC中，假如sin A：sin B：sin C=2：3：4，那么cos C等于（）A. B. C. D.7.在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，S ABC=3，则cos A=（）A. B. C. D.8.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子擅长织布，一天比一天织得快，且从第2天起先，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A. B. C. D.9.等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A. 12B. 10C. 8D.10.在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A、B、C成等差数列，3a、3b、3c成等比数列，则cos A cos B= ( )A. B. C. D.11.在△ABC中，若b，a，c成等差数列，且sin2A=sin B sin C，则△ABC的形态为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形12.定义为n个正数a1，a2，…a n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）A. B. C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，，则此三角形的最大边长为______．14.在数列{a n}中，若a1，a2 - a1，a3 - a2，…，a n - a n－1，…是首项为 1，公比为的等比数列，则a5=__________．15.三角形中，角所对边分别为，已知，且，则三角形外接圆面积为________.16.数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= ______ ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余题目每题12分，共70.0分）17.设等差数列满意．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和的最大值．（10分）18.已知正项等比数列{a n}满意a3=9，a4-a2=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=n•a n，求数列{b n}的前n项的和S n．19.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，，△ABC的面积为．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求cos（B-C）的值．20.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b +a cos C =0，sin A =2sin（A+C）．（1）求角C的大小；（2）求的值．21.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a=c=2,求△ABC的面积；（Ⅲ）求sin A + sin C的取值范围.22.已知数列{a n}满意a1=1，a n+1=1-（n∈N*）．（1）设b n=，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n c n+1}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算实力和转化思想，属于基础题．由余弦定理可得cos A=，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cos A=，∴由余弦定理可得：cos A===，整理可得：3b2-8b-3=0，∴解得b=3或-（舍去）．故选D．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特别角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可求sin B==，利用大边对大角可求B为锐角，利用特别角的三角函数值即可得解B的值．【解答】解：∵a=3，，，∴由正弦定理可得：sin B===，∵a＞b，∴B为锐角，B=．故选A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sin C是解题的关键，属于基础题．利用余弦定理求得cos C，再利用同角三角函数的基本关系求得sin C，代入△ABC的面积公式进行运算即可．【解答】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=5，c=8，由余弦定理可得64=49+25-2×7×5cos C，∴cos C=，∴sin C=，∴S△ABC===10．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．设正项等比数列{an}的公比为q，由a3=2，a4a6=64，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2，a4a6=64，∴，，∴解得q2=4，∴．故选C．5.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式列出方程，利用整体变量替换计算得结论．本题考查等差数列的通项公式，是基础题．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，∴a1+a1+2d+a1+8d=3a1+10d=20，4a5-a7=4（a1+4d）-（a1+6d）=3a1+10d=20．故选A.6.【答案】D【解析】解：由正弦定理可得；sin A：sin B：sin C=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，=故选：D．由正弦定理可得；sin A：sin B：sin C=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0），由余弦定理可求得答案．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题．7.【答案】A【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin A的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．【解答】解：因为：AB=3，AC=4，S ABC=3，可得：S ABC=AB•AC•sin A=6sin A=3，故sin A=，且A是锐角，故cos A==，故选：A．8.【答案】D【解析】解：依题意，每天织布的数量成等差数列.设此等差数列的公差为d，则30×5+d=390，解得d=，故选：D．利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是敏捷利用了等比中项的性质．先依据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而依据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最终依据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a5a6）5答案可得．【解答】解：由等比数列的性质可得a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18，∴a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10.故选B．10.【答案】B【解析】【分析】先依据A，B，C成等差数列和三角形内角和定理求出B的值，依据等比中项的性质可知b2=ac代入余弦定理求得a2+c2-ac=ac，整理求得a=c，即得A=C，最终利用三角形内角和定理求出A和C，最终求出式子的值．本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，三角形的内角和定理，以及余弦定理的应用，三角形问题与数列的综合题，是考试中常涉及的问题。

北京市高二下学期第一次月考数学试题(解析版)

一、单选题1．下列求导运算中错误的是（） A ．B ． (3)3ln 3x x '=2ln 1ln x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．D ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭(sin cos )cos 2x x x ='⋅【答案】C【解析】依据求导公式及法则一一判断即可. 【详解】A 选项：，A 正确；(3)3ln 3x x '=B 选项：，B 正确； ()22ln ln ln 1ln x x x x x x x x x '''⋅-⋅-⎛⎫== ⎪⎝⎭C 选项：，C 错误； 2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D 选项：，D 正确 ()()22(sin cos )sin cos cos sin cos sin cos 2x x x x x x x x x ''⋅-'=⋅+⋅==故选：C2．已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（） {}n a 2q =2616a a =5a =A ．8 B ．4 C ．2 D ．1【答案】A【分析】根据是等比数列，则通项为，然后根据条件可解出，进而求得 {}n a 11n n a a q -=112a =58a =【详解】由为等比数列，不妨设首项为{}n a 1a 由，可得：2616a a =26261216a a a =⋅=又，则有： 0n a >112a =则451282a =⨯=故选：A3．已知函数在处的导数为1，则（）()y f x =0x x =()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆A ．0 B ．C ．1D ．212【答案】B【解析】由已知结合导数的定义即可直接求解.【详解】解：因为函数在处的导数为1， ()y f x =0x x =则.()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆故选：B .【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题． 4．曲线在处的切线如图所示，则（）()y f x =1x =(1)(1)'-=f fA ．0B ．C ．D ．1-112-【答案】C【解析】由图示求出直线方程，然后求出，，即可求解.1(1)=2f -1(1)=2f '【详解】由直线经过，，可求出直线方程为： ()0-1，()2,0220x y --=∵在处的切线 ()y f x =1x =∴，21(1)=22x f -=-1(1)=2f '∴ 11(1)(1)122f f ⎛⎫'-=--= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；00(,)P x y 00(,)P x y 000()()y y f x x x '-=-(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再00(,)P x y 00(,)P x y ()11,x y 写出切线方程：.111()()y y f x x x '-=-5．已知函数，则下列说法正确的是（）()3221f x x x x =-+-A ．的极小值为B ．的极大值为 ()f x 2-()f x 2327-C ．在区间上单调递增D ．在区间上单调递减()f x 1,13⎛⎫⎪⎝⎭()f x (),0-∞【答案】B【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值.【详解】因为，所以，()3221f x x x x =-+-()2341f x x x '=-+令，得或；令，得；()0f x '>1x >13x <()0f x '<113x <<所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，()f x ()1,+∞1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在处有极大值，极大值为；()f x 13x =123327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在处有极小值，极小值为. 1x =()11f =-故选：B.6．已知数列的前项和为，且，则（）{}n a n n S 2410n S n n =-26a a =A ．52 B ．68 C ．96 D ．108【答案】B【分析】根据数列的前项和为，求得数列的通项公式，即可求得的值，得到答案.n n S 26a a 【详解】由题意，数列满足，{}n a 2410n S n n =-可得当时，可得， 2n ≥()()22141041101814n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦所以. ()()268214861468a a =⨯-⨯⨯-=故选：B.7．若曲线在点处的切线与直线平行，则a =（） 2y x ax =+(1,1)a +7y x =A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】根据导数求出切线的斜率等于7即可求解. 【详解】因为，切点为， 2y x a '=+(1,1)a +所以， 217k a =⨯+=解得， 5a =故选：C【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程，属于容易题. 8．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的 {}n a {}n a A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.【解析】等比数列9．已知函数，则的大致图像为（）()()2e 1xf x x =-+()f x A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】通过特殊点的函数值，用排除法选择正确选项. 【详解】，，， ()110ef -=>()1e 40f =-<()222e 30f =-<排除选项ABD. 故选：C.10．在数列，，则数列的通项公式为（）{}n a 18a ={}n a A ．B ．C ．D ．22(1)n a n =+4(1)n a n =+28n a n =4(1)n a n n =+【答案】A【分析】由已知可得的等差数列，从而先利用等差数==n a【详解】，==所以的等差数列，==，(1)n n =-=+所以.22(1)n a n =+故选：A.【点睛】此题考查等差数列的判定和基本量的计算，属于基础题.11．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半l径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用r r 283π仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径的值为（） r A ．1 B CD ．2【答案】C【解析】根据体积公式用表示出，得出费用关于的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.r l r 【详解】解：由题意知，2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=故， 33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=由可知.0l >r <∴ 建造费用，(， ()3222221282562344611723r y rl r r r r r r rπππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+0r <<则. ()3221445614r y rr rπππ-'=-=当时，，时，.(r ∈0'<y r ∈0'>y 当. r =故选：C .【点睛】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题. 12．定义在R 上的函数和的导函数分别为，，则下面结论正确的是 ()f x ()g x '()f x '()g x ①若，则函数的图象在函数的图象上方；'()'()f x g x >()f x ()g x ②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于点（，0）对'()f x '()g x x a =()f x ()g x a 称；③函数，则； ()()f x f a x =-'()'()f x f a x =--④若是增函数，则. '()f x 1212()()()22x x f x f x f ++≤A ．①② B ．①②③ C ．③④ D ．②③④【答案】C【详解】试题分析：①时，说明函数比函数增加的快，但函数的图像'()'()f x g x >()f x ()g x ()f x 不一定在函数图像的上方，故①不正确；()g x ②若函数与的图象关于直线对称，则.'()f x '()g x x a =()()''2f x g a x =-若（m 为常数），此时满足，所以②不正确； ()(2),f x g a x m =-+()()''2f x g a x =-③因为，所以，故③正确.()()f x f a x =-()()'()'()'()''f x f a x f a x a x f a x =-=--=--④由导数的几何意义可知是增函数即函数切线的斜率单调递增，所以函数是“凹型'()f x ()f x ()f x 函数”，则必有.故④正确. 1212()()()22++≤x x f x f x f 综上可得结论正确的是③④. 故选：C.【解析】函数的简单性质.二、填空题13．函数f （x ）=cos x ，则=____________． ()6f π'【答案】-12【详解】由题意可得： .()1'sin ,'sin 662f x x f ππ⎛⎫=-∴=-=- ⎪⎝⎭14．曲线过原点的切线方程是__________．()1e xf x -=【答案】2e y x =-【分析】设出切点坐标，利用导数求切线斜率，表示出切线方程，代入原点，求出切点坐标，从而得到切线方程.【详解】，，()1e xf x -=()1e x f x -'=-设切点是，，，()00,x y ()010e x f x -'=-010e xy -=故切线的斜率，切点，01e x k -=-()010,e xx -切线方程是∶，()00110ee x x y x x ---=--将代入切线方程得∶，()0,000110ee x x x ---=解得：，故过原点的切线方程是. 01x =-2e y x =-故答案为： .2e y x =-15．朱载填（1536-1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载填被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音频率为，则等2f 8f 82f f 于___________．【分析】依题意13个音的频率成等比数列，记为，设公比为q ，推导可得. {}n a 【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为，设公比为q ，{}n a 则且，∴， 12131=a a q 1312=a a 1122q =所以1668122(2)f q f === 16．已知在区间上有极值点，实数a 的取值范围是___________． ()21ln 2f x x a x =-()0,2【答案】()0,4【分析】在上，有极值点表示有零点，即可得，从而求得a 的范围()0,2()f x ()f x '2x a =【详解】 2()a x af x x x x -'=-=由于函数在上有极值点 ()f x (0,2)∴在上有零点，()f x '(0,2)即时，有，可知20x ax -=2x a =(0,4)a ∈故答案为：()0,4【点睛】本题考查了利用导数与极值点的关系求参数范围，原函数在区间内有极值点转化为其导函数的存在零点，进而求得参数范围17．给定集合，对于，如果，那么x 是S 的一个“好元{}1,2,3,4,5,6,7,8S =x S ∈11x S x S +∉-∉,素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【分析】根据题意，要使S 的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．【详解】若不含好元素，则集合S 中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有， {}{}{}{}1,2,3,2,3,43,4,545,6,5,6,7,6,7,8{},{},,共有6个. 故答案为：6．三、解答题 18．已知函数，且是函数的一个极小值点. ()32143f x x ax =-+2x =()f x （1）求实数a 的值；（2）求在区间上的最大值和最小值. ()f x []1,3-【答案】（1）1；（2）最大值4，有最小值.83【解析】（1）求出的导数，由题可知，即可求出； ()f x ()20f '=a （2）令，得或，判断出的单调性，即可求出最值.()0f x '=0x =2x =()f x 【详解】（1）.()22f x x ax '=-∵是函数的一个极小值点，∴. 2x =()f x ()20f '=即，解得.440a -=1a =经检验，当时，是函数的一个极小值点. 1a =2x =()f x ∴实数a 的值为1. （2）由（1）知，，. ()32143f x x x =-+()()222f x x x x x '=-=-令，得或.()0f x '=0x =2x =当x 在上变化时，，的变化情况如下：[]1,3-()f x '()f xx1-()1,0-0()0,2 2()2,3 3()f x '+0-0+()f x83A 4A83A 4当或时，有最小值；=1x -2x =()f x 83当或时，有最大值4.0x =3x =()f x 【点睛】本题考查利用极值点求参数，考查利用导数求函数的最值，属于中档题.19．已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数{}n a d n n S 11a =0d >1a 2a 3S 列．(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记，求数列的前项和．2n an n b a =+{}n b n n T 【答案】(1)21n a n =-(2)2122233n n T n +=+-【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项. （2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1），，成等比数列，故，化简得：因1a 2a 3S ()22213133a a S d d =⇒+=+220,d d --=为，所以，因此 0d >2d =21n a n =-（2），因此212=212na n n nb a n -=+-+()()()()132112214121=222214n n n n n nT a a a -⨯-+-+++++++=+-2122233n n +=+-20．已知函数.2()ln(1)f x x x ax =+-(I)求曲线在点处的切线方程； ()y f x =(0,(0))f (Ⅱ)当时，求证：函数存在极小值； a<0()f x (Ⅲ)请直接写出函数的零点个数．()f x【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当或时，函数有一个零点；当0y =0a ≤1a =()f x 0a >且时，函数有两个零点.1a ≠()f x 【分析】(1) 求出函数f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程；(2)，说明有可变零点即可；(3)由题意可得函数的零点个数． ()()ln 121xf x x a x x =++-+'()f x '()f x 【详解】（1）的定义域为()()2ln 1f x x x ax =+-{1}x x -因为()()200ln 0100f a =+-⋅=所以切点的坐标为 ()0,0 因为 ()()ln 1+21xf x x ax x =-+'+ ()()00ln 01+20001f a -'=+⋅=+所以切线的斜率， 0k =所以切线的方程为 0y =（2）方法一：令 ()()()ln 121xg x f x x a x x ==++-+' ()()211+211g x a x x =-+'+因为且，1x >-0a <所以，， 101x >+()2101x >+20a ->从而得到在上恒成立()0g x '>()1,-+∞所以在上单调递增且， ()0f x '>()1,-+∞()00f '=所以在上递减，在递增；()f x 所以时，取得极小值，问题得证 0x =()f x 方法二：因为 ()()ln 121xf x x a x x =++-+'当时，0a <当时，，所以 0x <()ln 10,0,201xx a x x +<<-<+()0f x '<当时，，所以 0x >ln(10,0,201x x a x x +>>->+()0f x '>所以在上递减，在递增；()f x 所以时，函数取得极小值，问题得证.0x =()f x （3）当或时，函数有一个零点；0a ≤1a =()f x 当且时，函数有两个零点.0a >1a ≠()f x 【点睛】本题考查函数的导数的运用：求切线的方程，确定函数的极值，考查函数的零点个数判断，以及分类讨论思想方法，属于中档题．21．已知函数()()e e 1,0x x f x m m x m -=++-≤(1)当时，求证恒成立：0m =()1f x ≥(2)讨论的单调性：()f x (3)当时，求证：恒成立．e 1m -≤≤-()()0,,2xf x ∀∈+∞≥-【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）代入，求出导数，判断函数单调性，求解最小值即可证明；0m =()f x （2）求出导数，求出导数零点，分类讨论m 的取值范围与对应零点的位置关系即可判断单调()f x 性；（3）根据（2）中单调性判断出的最小值，代入最小值即可得出结论.()f x 【详解】（1）当时，，0m =()e x f x x =-()e 1x f x '=-令，令，()00f x x '>⇒>()00f x x '<⇒<所以在单调递减，在单调递增，()f x (),0∞-()0,∞+故.()()01f x f ≥=（2），()()()()e 1e +e e e 1x x x x x mf x m m -'=-+--=0m ≤令解得或，()0f x '=0x =()ln x m =-①当时，，则在单调递减，在单调递增；0m =()e 1x f x '=-()f x (),0∞-()0,∞+②当时，，和时，，单调递增； ()1,0m ∈-()ln 0m -<()(),ln x m ∈-∞-()0,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 时，，单调递减；()()ln ,0x m ∈-()0f x '<()f x ③当时，恒成立，在R 上是增函数；1m =-()0f x '≥()f x ④当时，和时，，单调递增； (),1m ∈-∞-()ln 0m ->(),0x ∈-∞()()ln ,x m ∈-+∞()0f x ¢>()f x 时，，单调递减；()()0,ln x m ∈-()0f x '<()f x （3）当时，即，也就是，e 1m -≤≤-1e m ≤-≤()0ln 1m ≤-≤由（2）可知，在单调递减，在单调递增，()f x ()()0,ln m -()()ln ,m -+∞所以()()()()()()()ln ln e e 1ln ln m m f x m m f m m ---+--+≥=-化简可得，()()1(1)ln 1(1)12m m m m f x m ≥--+-⨯-≥--+-⨯=-故恒成立.()()0,,2x f x ∀∈+∞≥-【点睛】方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，()y f x =()y f x ''=令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用的定义域和实根把函数()0f x '=()f x ()f x 的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应()f x '区间内的单调性22．已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有n X 12,,,n x x x ⋅⋅⋅()12n S X x x x =++⋅⋅⋅+X ，，则称数列为项0-1数列．若数列A ：，：，均{}0,1k x ∈1,2,,k n =⋅⋅⋅X n 12,,,n a a a ⋅⋅⋅B 12,,,n b b b ⋅⋅⋅为项0-1数列，定义数列：，其中，．n *A B 12,,,n m m m ⋅⋅⋅1k k k m a b =--1,2,,k n =⋅⋅⋅(1)已知数列A ：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值； B ()*S A A ()*S A B (2)若数列A ，均为项0-1数列，证明：；B n ()()()**S A B A S B =(3)对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列A ，，，使得n n B C ，并说明理由()()()***2S A B S A C S B C n ++=【答案】(1)， ()*3S A A =()*1S A B =(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据数列的定义分别求出，，即可得出答案；*A B *A A *A B （2）记数列：，数列：，分和两种情况讨论，从*A B 12,,,n c c c ()**A B A 12,,,n d d d 1k a =0k a =而可得出结论；（3）分是奇数和偶数两种情况讨论，根据定义分析运算，从而可得出结论.n 【详解】（1）解：因为数列A ：1，0，1，：0，1，1，B 所以数列：，数列：，*A A 1,1,1*A B 0,0,1所以，； ()*3S A A =()*1S A B =（2）证明：对于两个0-1数列A ：和：，12,,,n a a a ⋅⋅⋅B 12,,,n b b b ⋅⋅⋅记数列：，对于，*A B 12,,,n c c c (),1,2,,k c k n = 若，则此时； 1k a =1,1k k k k k k k a b b c a b b -=-=--=若，则此时， 0k a =,11k k k k k k k a b b c a b b -==--=-故对于数列：，考虑的值：()**A B A 12,,,n d d d k d ()1,2,,k n = 若，则；1k a =k k k d c b ==若，则，0k a =()111k k k k d c b b =-=--=所以与是同一数列，()**A B A B 所以；()()()**S A B A S B =（3）解：若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A ，，，证明如下：n n B C 对于3个项0-1数列A ，，，n B C 记，()3,0,1,2,,i i i i i i i x a b b c c a i n =------= 则，()()()12***n S A B S A C S B C x x x ++=+++ 当时，，i i i a b c ==33i i i i i i i x a b b c c a =------=当中有一个不同于其他两个时，，,,i i i a b c 31i i i i i i i x a b b c c a =------=所以是奇数，i x则为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为； ()()()12***n S A B S A C S B C x x x ++=+++ 2n 若为偶数，即，n ()2N n k k +=∈可构造：，，，:1,1,,1n A个:1,1,,1n B 个:0,0,,0,1,1,,1k k C 个个此时数列为，数列，相同，都是， *A B 1,1,,1n 个*A C *B C 0,0,,0,1,1,,1k k 个个所以有，()()()***2S A B S A C S B C n k k n ++=++=综上所述，当为偶数时，有可能为，n ()()()***S A B S A C S B C ++2n 当为奇数时，不可能成立.n 【点睛】本题考查了数列的新定义，考查了学生的逻辑思维能力，解题的关键在于对新定义的理解，有一定的难度.。

2020-2021学年广东省东莞市北师大石竹附中高二(下)期中数学复习卷1(含解析)

2020-2021学年广东省东莞市北师大石竹附中高二(下)期中数学复习卷1一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知△ABC 中，∠A =30°，AB ，BC 分别是√3+√2，√3−√2的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于( )A. √32B. √34C. √32或√34D. √32或√3 2. 设F 1、F 2分别是椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积等于( )A. 4√3B. 6C. 12或6D. 4√3或63. 复数(为虚数单位)的虚部是( )A.B.C.D.4. 设x ，y ∈R ，“|x|+|y|<1”的一个充分条件是( )A. |y|≤1B. |x +y|≤1C. x ≤−1D. |x|≤12且|y|≤145. 已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为ρ=6cosθ,ρsin(θ+π4)=√2，求点C 到直线l 的距离是( )A. 4B. 2C. √2D. √226. 一次实验中，四组值分别为(1,2)，(2,3)，(3,5)，(4,6)，则回归方程为( )A. y =x +7B. y =x +8C. y =1.4x +0.5D. y =x +47. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11=22，则a 3+a 7+a 8=( )A. 18B. 12C. 9D. 68. 若“”为真命题，则下列命题一定为假命题的是( ) A.B.C.D.9. 已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，(2a +i)(1+3i)=3+bi ，则a +b =( )A. 22B. −16C. 9D. −910.方程{x=t+1ty=2(t为参数)表示的曲线是()。

A. 一条直线B. 两条射线C. 一条线段D. 抛物线的一部分11.如图，纵轴表示行走距离d，横轴表示行走时间t，下列四图中，哪一种表示先快后慢的行走方法()A. B.C. D.12.已知△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，且a=x(x>0)，b=2，A=60°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A. x>√3B. 0<x<2C. √3<x<2D. √3<x≤2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.现有一个三位密码锁，已知以下五个条件，可以推断正确的密码是______．①只有一个号码正确，而且位置正确；②只有一个号码正确，但是位置不正确；③恰有两个号码正确，但是位置都不正确；④没有一个号码正确；⑤只有一个号码正确，但是位置不正确．14.已知曲线y=sinx在x=0处的切线与曲线y=lnx−x+a相切，则实数a=15.定义运算a∗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则(cos5π12)∗(sin5π12)的值为______ ．16.若x，y满足条件{x+y−1≤0x−y+1≥0y≥0，则z=x+2y的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立，命题q：a>|x−1|−|x−2|对x∈R恒成立，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．18.某大学志愿者协会是由中文系、数学系、英语系以及其它系的一些志愿者组成，各系的具体人数如表：(单位：人)现需要采用分层选样的方法从中选派10人到山区进行支教活动(Ⅰ)求各个系需要派出的人数；(Ⅱ)若需要从数学系和英语系中选2人当领队，求2个领队恰好都是数学系学生的概率．19. 已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+ a 5=12，S 7=56．(1) 求数列{a n }的通项公式a n ；(2) 若数列{b n }满足b n = a 1+ a 2+ a 3+⋯+ a n ，求数列的前n 项和T n ．20. 已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P(2,√3)，且它的离心率e =12．(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x −1)2+y 2=1相切的直线l ：y =kx +t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的取值范围．21.已知f(x)=e x2−x4，其中e为自然对数的底数．(1)设g(x)=(x+1)f′(x)(其中f′(x)为f(x)的导函数)，判断g(x)在(−1,+∞)上的单调性；(2)若F(x)=ln(x+1)−af(x)+4无零点，试确定正数a的取值范围．22.求曲线C：{x=√3cosθy=sinθ(θ为参数)上的点到直线ρsin(θ+π4)=2√2的距离的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵AB ，BC 分别是√3+√2，√3−√2的等差中项与等比中项， ∴AB =√3，BC =1，又A =30°，根据正弦定理ABsinC =BCsinA 得：sinC =√32，∵C 为三角形的内角，∴C =60°或120°，当C =60°时，由A =30°，得到B =90°，即三角形为直角三角形，则△ABC 的面积为12×√3×1=√32；当C =120°时，由A =30°，得到B =30°，即三角形为等腰三角形，过C 作出AB 边上的高CD ，交AB 于点D ，在Rt △ACD 中，AC =BC =1，A =30°，∴CD =12，则△ABC 的面积为12×√3×12=√34，综上，△ABC 的面积为√32或√34．故选C ．由题意，根据等差数列及等边数列的性质分别求出AB 与BC 的值，再由A 的度数，求出sin A 的值，利用正弦定理求出sin C 的值，由C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C 的度数，根据A 和C 的度数，利用内角和定理求出B 的度数，根据B 的度数判断出三角形的形状为直角三角形或等腰三角形，分别求出三角形的面积即可．此题考查了等差数列、等比数列的性质，正弦定理以及特殊角的三角函数值，利用数形结合及分类讨论的思想，由C的度数有两解，得到三角形的形状有两种，故求出的三角形面积有两解，不要漏解．2.答案：B解析：本题着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和三角形的面积计算等知识，属于中档题．根据椭圆方程求得c=2<b，从而判断出点P对两个焦点张角的最大值小于90°，可得直角三角形的直角顶点在焦点处，再利用椭圆的方程算出点P到F1F2的距离，利用三角形面积公式加以计算，可得△PF1F2的面积．解：∵设椭圆短轴的一个端点为M，O为原点，点P坐标为(x,y)，∵椭圆x216+y212=1中，a=4，b=2√3，∴c=√a2−b2=2，由此可得∠OMF1=30°，得到∠F1MF2<90°，∴若△PF1F2是直角三角形，只能是∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°，当x=±2时，y2=9，解得|y|=3，即P到F1F2的距离为3，∴△PF1F2的面积S=12|F1F2|×3=12×4×3=6，故选：B．3.答案：B解析：试题分析：因为，所以该复数的虚部是.本题易错选C，复数的虚部是一个实数．考点：复数的虚部概念4.答案：D解析：解：A.当x =2，y =0时，满足|y|≤1时，但|x|+|y|=1<1不成立，不满足条件． B .当x =1，y =0时，满足|x +y|≤1时，但|x|+|y|=1<1不成立，不满足条件． C .当x =−2时，满足x ≤−1，但|x|+|y|<1不成立，不满足条件． D .当|x|≤12，|y|≤14，则|x|+|y|≤1，满足条件．故选：D ．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．5.答案：D解析：解：由ρ=6cosθ⇒ρ2=6ρcosθ⇒x 2+y 2−6x =0⇒(x −3)2+y 2=9， ρsin(θ+π4)=√2⇒ρcosθ+ρsinθ=2⇒x +y −2=0， ∴圆心C 到直线距离为： d =√2=√22．故选：D ．先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆和直线的直角坐标方程，再在直角坐标系中算出圆心到直线距离即可．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．6.答案：C解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求．解：由已知得，x −=1+2+3+44=2.5，y −=2+3+5+64=4，∴b ̂=∑x i 4i=1y i −4xy ∑x i 24i=1−4x2=(1×2+2×3+3×5+4×6)−4×2.5×4(1+4+9+16)−4×(2.5)2=1.4， â=y −bx =4−1.4×2.5=0.5． ∴回归方程为y =1.4x +0.5．故选：C ．7.答案：D解析：解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11=22， ∴11(a 1+a 11)2=22，解得a 6=2．则a 3+a 7+a 8=a 4+a 6+a 8=3a 6=6，故选：D ．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11=22，可得11(a 1+a 11)2=22，解得a 6.可得a 3+a 7+a 8=a 4+a 6+a 8=3a 6．本题考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：试题分析：由“”为真命题，知命题p 与q 至少有一个是真命题，因此与可能为真命题，排除A ，B ；当p 与q 都为真命题时，为真命题；与至少有一个假命题，所以为假命题，故选D ．考点：复合命题的真假判断．9.答案：A解析：解：∵(2a +i)(1+3i)=3+bi ， ∴(2a −3)+(6a +1)i =3+bi ， ∴{2a −3=36a +1=b ，解得{a =3b =19，∴a +b =22，故选：A ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，利用复数相等的概念求出a ，b 的值即可．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的概念，是基础题．10.答案：B解析：解：∵x=t+1t的定义域为{t|t≠0}．当t>0时，x=t+1t ≥2√t⋅1t=2；当t<0时，x=t+1t =−(−t+1−t)≤−2．∴方程{x=t+1ty=2(t为参数)表示的曲线是两条射线．如图：故选：B．由t的范围求出x的范围，直接得到方程{x=t+1ty=2(t为参数)表示的曲线是两条射线．本题考查了参数方程化普通方程，考查了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．11.答案：C解析：解：随着时间的增加，行走的距离逐步增大是增函数，∴B，D不合适．若表示先快后慢，则前段先快的图象单位时间内的距离的增量变大，后慢的图象单位时间内距离的增量逐步减小，∴对应的图象为C，故选：C．根据函数图象的意义即可得到结论．本题主要考查函数图象的识别和判断，比较基础．12.答案：C解析：解：∵在△ABC中，a=x(x>0)，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：sinB=bsinAa =√3x∵A=60°，∴0<B<120°，要使三角形有两解，得到60°<B<120°，且B≠90°，即√32<sinB<1，∴√32<√3x<1，解得：√3<x<2，故选：C．利用正弦定理列出关系式，将a，b，sin A的值代入表示出sin B，根据A的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域求出x的范围即可．此题考查了正弦定理，以及正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13.答案：042解析：解：由④可知三位密码中不含有3，7，8；则结合⑤可知密码中含有0，且不位于第三位；由①和②可知密码中不含有6，则此时可知密码中第三位是2；至此可知密码中含有0，2两个数，且2位于第三位，结合③可知0在第一位；此时空出来第二位的数字未知，但不是6，由此结合②可知第二位是4．故答案为042依据五个条件逐个分析即可．本题考查逻辑推理能力，依据体重所给条件进行组合判断即可．属于中档题目．14.答案：1+ln2解析：先求出曲线y=sinx在x=0处的切线方程，再设与曲线y=lnx−x+a的切点坐标为(x0,lnx0−x0+ a)，根据导数的几何意义求出x0的值，进而求出a的值．解：y=sinx,y′=cosx，在x=0处的切线斜率为1，而x=0时，y=0，所以在x=0处的切线方程为y=x．曲线y=lnx−x+a,y′=1x−1，设切点为曲线(x0,lnx0−x0+a)，依题意，在x =x 0处的切线斜率1x 0−1=1，解得x 0=12，所以切点为(12,12)，则ln 12−12+a =12,∴a =1−ln 12=1+ln2．故答案为1+ln2． 15.答案：12解析：解：由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S ={a −b,a ≥b b 2−√3ab,a <b的值， ∵a =cos 5π12<b =sin 5π12， ∴S =sin 25π12−√3×cos 5π12×sin 5π12=12−(12cos 5π6+√32sin 5π6) =12−sinπ=12．故答案为：12．由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S ={a −b a ≥b b 2−√3ab a <b的值，由已知计算出a ，b 的值，代入可得答案．本题考查的知识点是程序框图，特殊角的三角函数，其中根据已知的程序框图，分析出程序的功能是解答的关键． 16.答案：2解析：解：由x ，y 满足条件{x +y −1≤0x −y +1≥0y ≥0作出可行域如图，由z =x +2y ，得y =−12x +12z ，由图可知，当直线y =−12x +12z 过可行域内点A 时直线在y轴上的截距最大，z 最大．联立{x +y −1=0x −y +1=0，解得A(0,1)． ∴目标函数z =x +2y 的最大值为0+2×1=2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，化目标函数z =x −2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在y 轴上的截距最小时z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z 的最大值．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题． 17.答案：解：若p 为真命题，则4a 2−16<0，即−2<a <2．令g(x)=|x −1|−|x −2|={−1,x ≤12x −3,1<x <21,x ≥2，其图形如图：则f(x)∈[−1,1]，∴若q 为真命题，则a >1．∵p 或q 为真，p 且q 为假，则p ，q 一真一假，当p 真q 假时，{−2<a <2a ≤1，即−2<a ≤1；当p 假q 真时，{a ≤−2或a ≥2a >1，即a ≥2． ∴实数a 的取值范围为(−2,1]∪[2,+∞)．解析：由判别式小于0求得p 为真命题的a 的范围；利用分段函数值域求解q 为真命题的a 的范围，再由复合命题的真假判断求解．本题考查复合命题的真假判断与应用，考查恒成立问题的求解方法及分段函数最值的求法，是中档题．18.答案：解：(Ⅰ)志愿者总人数为：20+15+10+5=50，要从中选派10人，每人被选到的概率为1050=15，∴应从中文系中选20×15=4人，从数学系中选15×15=3人，从英语系中选10×15=2人，从其他系中选5×1人，∴应从中文系、数学系、英语系、其他系中分别选4人、3人、2人、1人．(Ⅱ)若记数学系的3人分别为s1，s2，s3，英语系的2人分别为y1，y2，从这5人中选2人有如下这些情形：s1s2，s1s3，s1y1，s1y2，s2s3，s2y1，s2y2，s3y1，s3y2，y1y2共10种，其中都是数学系的有s1s2，s1s3，s2s3，3种情形，故恰好2人都是数学系学生的概率为310．解析：(Ⅰ)根据每个人被选到的概率相等进行求解；(Ⅱ)一个古典概型，先列出所有可能的基本事件，再找出符合题意的基本事件的个数，根据古典概型的概率公司求解即可．本题主要考查分层抽样和古典概型，属于基础题．19.答案：(Ⅰ)设{an}的首项为a1，公差为d，则即解得d=2，a1=2．∴an=2+(n −1)2=2n(n∈N∗).(Ⅱ)bn=a1+a2+a3+⋯+an∴，∴解析：(Ⅰ)利用通项公式与前n项和公式，构造方程组求解．(Ⅱ)利用裂项法求和即可．20.答案：解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1,a>b>0，由已知得：{4a2+3b2=1c a =12c2=a2−b2，解得{a2=8b2=6，所以椭圆的标准方程为：x 28+y 26=1．(2) 因为直线l ：y =kx +t 与圆(x −1)2+y 2=1相切，所以√1+k 2=1，2k =1−t 2t ，t ≠0，把y =kx +t 代入x 28+y 26=1，并整理得：(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−24=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=−8kt 3+4k ，y 1+y 2=kx 1+t +kx 2+t=k(x 1+x 2)+2t =6t 3+4k 2，因为λOC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)，所以C(−8kt (3+4k 2)λ,6t (3+4k 2)λ)，又因为点C 在椭圆上，所以8k 2t 2(3+4k 2)2λ2+6t 2(3+4k 2)2λ2=1，λ2=2t 23+4k 2=2(1t 2)2+(1t 2)+1，因为t 2>0，所以(1t 2)2+(1t 2)+1>1，所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(−√2,0)∪(0,√2).解析：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．(1)由已知得：{4a 2+3b 2=1c a =12c 2=a 2−b 2，由此能求出椭圆的标准方程． (2) 因为直线l ：y =kx +t 与圆(x −1)2+y 2=1相切，所以2k =1−t 2t ，把y =kx +t 代入x 28+y 26=1，得：(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−24=0，由此能求出实数λ的取值范围．21.答案：解：(1)∵f(x)=e x 2−x 4， ∴f′(x)=12e x 2−14，∴g(x)=(x +1)(12e x 2−14)， ∴g′(x)=14[(x +3)e x 2−1]，当x>−1时，g′(x)>0，∴g(x)在(−1,+∞)上单调递增．(2)由F(x)=ln(x+1)−af(x)+4知，F′(x)=ax+1(1a−g(x))，由(1)知，g(x)在(−1,+∞)上单调递增，且g(−1)=0可知当x∈(−1,+∞)时，g(x)∈(0,+∞)，则F′(x)=ax+1(1a−g(x))有唯一零点，设此零点为x=t，易知x∈(−1,t)时，F′(x)>0，F(x)单调递增；x∈(t,+∞)时，F′(t)<0.F(x)单调递减．知F(x)max=F(t)=ln(t+1)−af(t)+4，其中a=1g(t)，令G(x)=ln(x+1)−f(x)g(x)+4，则G′(x)=f(x)g′(x)[g(x)]2，易知f(x)>0在(−1,+∞)上恒成立，∴G′(x)>0，G(x)在(−1,+∞)上单调递增，且G(0)=0，①当0<a<4时，g(t)=1a >14=g(0)，由g(x)在(−1,+∞)上单调递增，知t>0，则F(x)max=F(t)=G(t)>G(0)=0，由F(x)在(−1,t)上单调递增，−1<e−4−1<0<t，f(x)>0，g(t)>0在(−1,+∞)上均恒成立，则F(e−4−1)=−af(e−4−1)<0，∴F(t)F(e−4−1)<0∴F(x)在(−1,t)上有零点，与条件不符；②当a=4时，g(t)=1a =14=g(0)，由g(x)的单调性可知t=0，则F(x)max=F(t)=G(t)=G(0)=0，此时F(x)有一个零点，与条件不符；③当a>4时，g(t)=1a <14=g(0)，由g(x)的单调性知t<0，则F(x)max=F(t)=G(t)<G(0)=0，此时F(x)没有零点．综上所述，当F(x)=ln(x+1)−af(x)+4无零点时，正数a的取值范围是a∈(4,+∞)．解析：(1)对函数f(x)求导后知g(x)，对g(x)求导后得到单调性．(2)利用导函数求得F(x)的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F(x)无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．本题考查函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．22.答案：解：将ρsin(θ+π4)=2√2化简为：√22ρcosθ+√22ρsinθ=2√2，即ρcosθ+ρsinθ=4，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴直线l的直角坐标方程为x+y=4，设点P的坐标为(√3cosθ,sinθ)，可得点P到直线l的距离d=√3cosθ+sinθ−4|√2=|2sin(θ+π3)−4|√2∵θ∈R，∴d min=√2．解析：将直线l的极坐标方程左边利用两角和与差的余弦函数公式以及特殊角的三角函数值化简，整理后化为直角坐标方程，设曲线C上的点P坐标为(2cosα,sinα)，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线l的距离，利用两角和与差的正弦函数公式整理后，利用正弦函数的值域即可求出d 的最小值．此题考查了圆的参数方程，直线的极坐标方程，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及点的极坐标与直角坐标的互化，其中弄清极坐标与直角坐标的互化是本题的突破点．。

2022-2023学年北师大版高二下数学月考试卷(含解析)

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：146 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 已知集合S ={x |−2x >−4}， T ={x |x 2<3x }，则S ∩T =( )A.(0,2)B.(2,3)C.(−∞,2)D.(−∞,3)2. 若(1−mi)(m +i)<0，其中 i 为虚数单位，则 m 的值为（）A.−1B.−2C.−3D.−43. 设直线x +y +a =0与圆C:x 2+y 2−2x +4y +1=0相交于P ，Q 两点．若CP =PQ ，则实数a 的值为( )A.√6−1B.√6−1或√6+1C.1+√6D.1+√6或1−√64. 某地区植被破坏，土地沙化越来越重，最近三年测得沙漠增加的面积分别为198.5公顷、399.6公顷和793.7公顷，则沙漠增加面积y （公顷）关于年数x 的函数关系较为近似的是（）A.y =200x B.y =100x 2+100x S ={x|−2x >−4}T ={x|<3x}x 2S ∩T =(0,2)(2,3)(−∞,2)(−∞,3)(1−mi)(m +i)<0i m−1−2−3−4x +y +a =0C :+−2x +4y +1=0x 2y 2P Q CP =PQ a −16–√−16–√+16–√1+6–√1+6–√1−6–√198.5399.6793.7y xy =200xy =100+100xx 2xC.y =100×2xD.y =0.2x +log 2x5. 直线y =x −2被圆x 2+y 2−4x +2y +1=0所截得的弦长为( )A.4B.3√2C.2√3D.√146. 已知sin2α=cos2α+1，α为锐角，则tanα=（）A.12B.2C.1D.−17. 已知一组数据的平均数是3，方差是4，且这组数据的平方和是这组数据和的平方的19，则这组数据的个数是( )A.10B.13C.15D.168. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6,2π3]上是单调递减，且值域为[−1,1]，则f(7π4)=( )A.−√32B.−12C.12D.√32 9. 圆台的上，下底面半径分别为3和4，母线长为6．则其表面积等于( )A.72y =100×2xy =0.2x +x log 2y =x −2+−4x +2y +1=0x 2y 2()432–√23–√14−−√sin 2α=cos 2α+1αtan α=1221−13419()10131516f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0|φ|<)π2[,]π62π3[−1,1]f()=(7π4)−3–√2−12123–√234672B.42πC.67πD.72π10. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和为（）A.π3B.2π3C.3π4D.5π6 11. 已知双曲线x 216−y 29=1，点M 是双曲线上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若△MF 1F 2是直角三角形，那么这样的△MF 1F 2 的面积之和为（）A.81B.63C.45D.3612. 已知函数f(x)=x 2+alnx −2x ，f(x)=ax 在[1e ,e ]有唯一实数解，则实数a 的取值范围是（）A.(−1,e 2−2ee −1]B.(1−2ee +e 2,e 2−2ee −1]∪{−1}C.(−1,1−2ee +e2]D.[1−2ee +e 2,e 2−2ee −1]∪{−1}卷II （非选择题）42π67π72π578π32π33π45π6−=1x 216y 29M F 1F 2△MF 1F 2△MF 1F 281634536f (x)=+a ln x −2x ，f (x)=ax x 2[,e]1e a (−1,]−2e e 2e −1(,]∪{−1}1−2e e +e2−2e e 2e −1(−1,]1−2e e +e 2[,]∪{−1}1−2e e +e 2−2e e 2e −1二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知向量→a =(1,−√3)，→b =(1,0)，→c =(−1,k)．若→a +2→b 与→c 共线，则k =________. 14. 设x ，y 满足{2x +y ≥4,x −y ≥−1,x −2y ≤2,则z =x +y 的最小值为________． 15. 定义在R 上的偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，且f(−2)=0，则使不等式(x −1)[f(x)+f(−x)]<0成立的x 的取值范围是________ .16. 在平面四边形PACB 中，已知∠APB =120∘，PA =PB =2√3，AC =10，BC =8．沿对角线AB 折起得到四面体P −ABC ，当PA 与平面ABC 所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为________.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17. 已知{a n }是递增的等比数列，a 1=1，且2a 2,32a 3,a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =1log 2a n+1⋅log 2a n+2,n ∈N ∗．求数列{b n }的前n 项和S n . 18. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC =45∘，O 在AB 上，且OB =OC =23AB ，又PO ⊥平面ABC ，DA//PO ，DA =AO =12PO ．(1)求证：PD ⊥平面COD ；(2)求二面角B −DC −O 的余弦值． 19. 某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．(Ⅰ)求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；(Ⅱ)设X 为乙公司正确回答的题数，求随机变量X 的分布列和数学期望．=(1,−)a →3–√=(1,0)b →=(−1,k)c →+2a →b →c →k =x y2x +y ≥4,x −y ≥−1,x −2y ≤2,z =x +y R f (x)(−∞,0]f (−2)=0(x −1)[f (x)+f (−x)]<0x PACB ∠APB =120∘PA =PB =23–√AC =10BC =8AB P −ABC PA ABC {}a n =1a 12,,a 232a 3a 4(1){}a n(2)=,n ∈b n 1⋅log 2a n+1log 2a n+2N ∗{}b n n S n △ABC ∠ABC =45∘O AB OB =OC =AB 23PO ⊥ABC DA //PO DA =AO =PO 12(1)PD ⊥COD(2)B −DC −O6364()2()X X20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2，上顶点为B ，右焦点为F ，且△A 1A 2B 的面积为4√2，→A 1B ⋅→A 2B =−4 . (1)求C 的方程；(2)过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于M ，N 两点，y 轴上存在点P 满足|PM |=|PN |，求点P 纵坐标的取值范围 .21. 已知函数f(x)=(x −2)e x +1e .(1)证明：函数f(x)有且只有2个零点；(2)求证：lnx <x[f(x)+e]. 22. 曲线C 1的参数方程是：{x =√22s ，y =s 2（s 为参数），曲线C 2的参数方程是：{x =1−2t1+t ，y =3t1+t （t 为参数）．(1)求曲线C 1，C 2的普通方程；(2)求曲线C 1与曲线C 2所围成的封闭图形的面积．C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2,A 1A 2B F △B A 1A 242–√⋅=−4B A 1−→−B A 2−→−(1)C(2)F l x C M N y P |PM|=|PN|P f (x)=(x −2)+e x 1e (1)f(x)2(2)ln x <x [f (x)+e]C 1 x =s ，2–√2y =s 2s C 2 x =，1−2t 1+t y =3t 1+t t (1)C 1C 2(2)C 1C 2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：∵S={x∣−2x>−4}={x|x<2}，T={x∣x2<3x}={x|0<x<3}，∴S∩T={x|0<x<2}=(0,2).故选A.2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部小于0，虚部等于0求得m值．【解答】由(1−mi)(m+i)=2m+(1−m 2)i<0，得{2m<01−m2=0 ，即m=−1．3.【答案】D直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】本题考查直线与圆的位置关系．【解答】解：由x 2+y2−2x+4y+1=0，得(x−1)2+(y+2)2=4，所以圆心为(1,−2)，半径为2.所以|PQ|=2，那么圆心(1,−2)到直线x+y+a=0 的距离为2×√32=√3，即d=|1−2+a|√2=√3，所以a=1+√6或1−√6.故选D．4.【答案】C【考点】函数模型的选择与应用【解析】利用所给函数，分别令x=1，2，3，计算相应的函数值，即可求得结论．【解答】解：对于A，x=1，2时，符合题意，x=3时，相差较大，不符合题意；对于B，x=1，2时，符合题意，x=3时，相差较大，不符合题意；对于C，x=1，2，3时，y值都近似符合题意；对于D，x=1，2，3时，相差较大，不符合题意；故选C.5.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析解：圆的方程化为标准方程为(x −2)2+(y +1)2=4，圆心到直线的距离为1√2=√22，所求弦长为2√4−(√22)2=√14.故选D ．6.【答案】C【考点】同角三角函数间的基本关系二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得sin2α=2sinαcosα，cos2α+1=2cos 2α−1+1=2cos 2α，即 sin acosα=cos 2α，解得cosα=0（舍去）或sinα=cosα，所以tanα=1．故选C ．7.【答案】B【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无【解答】解：设这组数据分别为x 1，x 2，⋯，x n ，则x 1+x 2+⋯+x n =3n ，(x 1−3)2+(x 2−3)2+⋯+(x n −3)2=4n ，从而x 21+x 22+⋯+x 2n =13n ．因为这组数据的平方和是这组数据和的平方的19，所以13n =19×(3n)2=n 2，得n =13．故选B ．8.【答案】A【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数的求值【解析】根据函数的单调性和最值求出ω和φ的值即可得到结论．【解答】解：∵f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6,2π3]上是单调减函数，且值域为[−1,1]，∴T2=2π3−π6=π2，即函数的周期T =π，∵T =2πω=π，∴ω=2，则f(x)=sin(2x +φ)，∵f(π6)=sin(2×π6+φ)=1，∴sin(π3+φ)=1，即π3+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，即φ=π6+2kπ，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴当k =0时，φ=π6，即f(x)=sin(2x +π6)，则f(7π4)=sin(2×7π4+π6)=−sin(π2+π6)=−cos π6=−√32，故选A ．9.【答案】C【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】圆台的表面积=圆台侧面积+圆台上底面面积+圆台下底面面积；首先根据圆台侧面积的计算公式可得S 圆台侧=π(3+4)⋅6接下来再结合圆的面积计算公式求出上、下底面的面积，并代入圆台表面积计算公式求解即可．【解答】解：因为圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，所以S 圆台表=S 圆台侧+S 上底+S 下底，=π(3+4)⋅6+π⋅32+π⋅42=67π．故选C ．10.【答案】B【考点】余弦定理的应用【解析】利用余弦定理解出第二大的角，结合三角形的内角和得出答案．【解答】解：设a =5，b =7，c =8，则A <B <C ．∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =12，∴B =π3，∴A +C =π−B =2π3．故选：B ．11.【答案】A【考点】双曲线的特性双曲线的定义【解析】本题考查双曲线定义的应用及分类讨论思想．先考虑当点Ｍ位于第一象限时\triangleM{F_1}{F_2}是直角三角形．则\angle{F_1}M{F_2}=90∘或\angleM{F_2}{F_1}=90∘分别计算{S_\triangleM{F_1}{F_2}}的值．由双曲线的对称性即可把满足条件的\triangleM{F_1}{F_2}的面积求出．【解答】解：由双曲线x 216−y 29=1可知a 2=16，b 2=9，c 2=a 2+b 2=25.当点M 在第一象限时，若△MF 1F 2是直角三角形，则∠F 1MF 2=90∘，或∠MF 2F 1是直角．①∠F 1MF 2是直角时，有双曲线定义可知：|PF 1|−|PF 2|=2a =8，∴|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|=64，又|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2=4×25=100，∴|PF 1||PF 2|=100−642=18，∴ S △MF 1F 2=12|PF 1||PF 2|=9.②当∠MF 2F 1是直角时，把x =5代入x 216−y 29=1，得y M =94，∴S △MF 1F 2=12|F 1F 2|⋅y M =12×10×94=454，由双曲线的对称性可知，这样的△MF 1F 2的面积之和为4S △MF 1F 2+4S MF 1F 2=4×9+4×454=81.故选A.12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由f(x)=ax 得x 2+alnx −2x =ax ，即a(x −lnx)=x 2−2x ，当x ∈[1e ,e ]时，令h(x)=x −lnx ，则h ′(x)=1−1x =x −1x ，令h ′(x)=0，得x =1，则x ∈[1e ,1]时，h ′(x)<0，h(x)单调递减，x ∈(1,e]时．h ′(x)>0，h(x)单调递增，故h(x)min =h(1)=1，故x −lnx >0，所以a =x 2−2xx −lnx ，设g(x)=x 2−2xx −lnx (1e <x <e )，则直线y =a 与y =g(x)在x ∈[1e ,e ]有唯一交点，又g ′(x)=(x −1)(x −2lnx +2)(x −lnx)2，当x ∈[1e ,e ]时，x −2lnx +2=x +2(1−lnx)>0，当1e <x <1，g ′(x)<0，g(x)单调递减，当1<x <e ，g ′(x)>0 ，g(x)单调递增，又g (1e )=1−2ee +e 2<0，g(e)=e 2−2ee −1>0，g(1)=−1，所以g(x)max =g(e)=e 2−2ee −1，所以a =−1或1−2ee +e 2<a ≤e 2−2ee −1．故选B.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】√33【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】根据题意，先得到→a +→b =(3,−√3)，再由向量共线的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果．【解答】解：∵→a =(1,−√3)，→b =(1,0)，∴→a +→2b =(3,−√3)，∵→a +2→b 与→c 共线，c =(−1,k)，∴由3k −(−√3)×(−1)=0，∴k =√33．故答案为：√33．14.【答案】2【考点】求线性目标函数的最值【解析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件{2x+y≥4x−y≥−1x−2y≤2的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．【解答】解：满足约束条件{2x+y≥4,x−y≥−1,x−2y≤2,的平面区域如图示：由图得当过点B(2,0)时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．15.【答案】(−2,1)∪(2,+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合其他不等式的解法【解析】【解答】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴(x−1)[f(x)+f(−x)]<0，可化为2(x−1)f(x)<0，即(x−1)f(x)<0.画出函数f(x)的简图如图，∴不等式等价于{x >1,f(x)<0或{x <1,f(x)>0,即x >2或−2<x <1.故答案为：(−2,1)∪(2,+∞). 16.【答案】2√7【考点】球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】【解答】解：当PA 与平面ABC 所成的角最大时，最大角为∠PAB ，此时平面PAB ⊥平面ABC ，在△PAB 中，由余弦定理可得AB =6，又∵AC 2=AB 2+BC 2，∴△ABC 为直角三角形，CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面PAB ，如图，设四面体的外接球的球心为O ，截面ABC 对应圆的圆心为O 1，截面PAB 对应圆的圆心为H ，E 为AB 的中点，则球心O 到平面PAB 的距离为OH =O 1E =12BC =4，设△PAB 的外接圆半径为r ，由正弦定理可得2r =6sin120∘=4√3，则r =2√3，设四面体的外接球半径为R ，连接OA ，AH ，在Rt △OAH 中，R 2=42+(2√3)2=28，解得R =2√7.故答案为： 2√7.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】解：(1)设数列{a n}的公比为q，由题意及a1=1，知q>1．∵ 2a2，32a3，a4成等差数列，∴ 3a3=a4+2a2，∴ 3q 2=q3+2q，即q2−3q+2=0．解得q=2或q=1（舍去）．∴ q=2．∴数列{a n}的通项公式为a n=2n−1．(2)∵ b n=1log2a n+1⋅log2a n+2=1n(n+1)=1n−1n+1，∴ S n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．【考点】数列的求和等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】求等比数列的通项公式，较简单.暂无【解答】解：(1)设数列{a n}的公比为q，由题意及a1=1，知q>1．∵ 2a2，32a3，a4成等差数列，∴ 3a3=a4+2a2，∴ 3q 2=q3+2q，即q2−3q+2=0．解得q=2或q=1（舍去）．∴ q=2．∴数列{a n}的通项公式为a n=2n−1．(2)∵ b n=1log2a n+1⋅log2a n+2=1n(n+1)=1n−1n+1，∴ S n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．18.【答案】(1)证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA//PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，∴DA⊥AO．从而DO=√2，PD=√2，在△PDO中，∵PO=2，∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．又∵OC=OB=2，∠ABC=45∘，∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC，又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，∴CO⊥平面PAB．故CO⊥PD．∵CO∩DO=O，∴PD⊥平面COD．(2)解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z 轴，建立直角坐标系如图．则由(1)知，C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0,−1,1)，∴→PD=(0,−1,−1)，→BC=(2,−2,0)，→BD=(0,−3,1)，由(1)知PD⊥平面COD，∴→PD是平面DCO的一个法向量，设平面BDC的法向量为→n=(x,y,z)，{→n⋅→BC=0,→n⋅→BD=0.∴∴{2x−2y=0,−3y+z=0.令y=1，则x=1，z=3，∴→n=(1,1,3)，∴cos<→PD，→n>=→PD⋅→n|→PD||→n|=−1−3√2√11=−2√2211.√2211．由图可知：二面角B−DC−O为锐角，二面角B−DC−O的余弦值为2【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】（1）设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA//PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45∘，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可证明．（2）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可．【解答】(1)证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA//PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，∴DA⊥AO．从而DO=√2，PD=√2，在△PDO中，∵PO=2，∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．又∵OC=OB=2，∠ABC=45∘，∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC，又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，∴CO⊥平面PAB．故CO⊥PD．∵CO∩DO=O，∴PD⊥平面COD．(2)解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z 轴，建立直角坐标系如图．则由(1)知，C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0,−1,1)，∴→PD=(0,−1,−1)，→BC=(2,−2,0)，→BD=(0,−3,1)，由(1)知PD⊥平面COD，∴→PD是平面DCO的一个法向量，设平面BDC的法向量为→n=(x,y,z)，{→n⋅→BC=0,→n⋅→BD=0.∴∴{2x−2y=0,−3y+z=0.令y=1，则x=1，z=3，∴→n=(1,1,3)，∴cos<→PD，→n>=→PD ⋅→n |→PD ||→n |=−1−3√2√11=−2√2211.由图可知：二面角B −DC −O 为锐角，二面角B −DC −O 的余弦值为2√2211．19.【答案】（I ）由题意可知甲公司至少能答案对1题．甲，乙公司各答对1题的概率为：•（）2•，甲公司答对2题，乙公司全答错的概率为：•（）3，∴甲、乙两家公司共答对2道题的概率为．(II)X 的可能取值为0，1，2，3，P(X ＝0)＝（）3,P(X ＝1)（）2•，P(X ＝2)⋅（）2•，P(X ＝3)＝（）3．∴X 的分布列为：X 0123P∴E(X)＝（32）【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（I ）根据超几何分布计算甲公司答对题的概率，根据二项分布计算乙公司答对题的概率，再根据相互独立事件的概率公式得出两家公司共答对2题的概率；(II)根据二项分布的概率公式计算X 的分布列和数学期望．【解答】（I ）由题意可知甲公司至少能答案对1题．甲，乙公司各答对1题的概率为：•（）2•，甲公司答对2题，乙公司全答错的概率为：•（）3，∴甲、乙两家公司共答对2道题的概率为．(II)X 的可能取值为0，1，2，3，P(X ＝0)＝（）3,P(X ＝1)（）2•，P(X ＝2)⋅（）2•，P(X ＝3)＝（）3．∴X 的分布列为：X 0123P∴E(X)＝（32）20.【答案】解：(1)依题知A(−a,0),A 2(a,0)，B(0,b)，所以S △A 1A 2B =12⋅2a ⋅b =ab =4√2，且→A 1B ⋅→A 2B =(a,b)⋅(−a,b)=−a 2+b 2=−4，解得{a =2√2,b =2, ，所以椭圆C 的方程为x 28+y 24=1 .(2)设点P 的纵坐标为y p ，当直线l 垂直于x 轴时，依题易知y p =0；当直线l 不垂直于x 轴时，不妨设直线l:y =k(x −2),k ≠0，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，联立{x 28+y 24=1,y =k(x −2),消y 得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0，有x 1+x 2=8k 21+2k 2 . 取MN 的中点为Q (x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22=4k 21+2k 2，那么y 0=k (x 0−2)=−2k1+2k 2，所以直线PQ 的方程为y +2k1+2k 2=−1k (x −4k 21+2k 2)，令x =0，y p =2k1+2k 2=21k +2k ，易知1k +2k ∈(−∞,−2√2]∪[2√2,+∞)，所以y P ∈[−√22,0)∪(0,√22] .综上，点P 纵坐标的取值范围[−√22,√22] . 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】（1）依题知A(−a,0),A 2(a,0),B(0,b)，所以S △A 1A 2B =12⋅2a ⋅b =ab =4√2，且→A 1B ⋅→A 2B =(a,b)⋅(−a,b)=−a 2+b 2=−4，解得{a =2√2,b =2 . 所以椭圆C 的方程为x 28+y 24=1 .（2）设点P 的纵坐标为y p ，当直线l 垂直于x 轴时，依题易知y p =0；当直线l 不垂直于x 轴时，不妨设直线l:y =k(x −2),k ≠0，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，联立{x 28+y 24=18+y 24=1，消y 得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0，有x 1+x 2=8k 21+2k 2. 取MN 的中点为Q (x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22=4k 21+2k 2，那么y 0=k (x 0−2)=−2k1+2k 2. 所以直线PQ 的方程为y +2k1+2k 2=−1k (x −4k 21+2k 2)，令x =0，y p =2k1+2k 2=21k +2k ，易知1k +2k ∈(−∞,−2√2]∪[2√2,+∞)，所以y 0∈[−√22,0)∪(0,√22] .综上，点P 纵坐标的取值范围[−√22,√22] . 【解答】解：(1)依题知A(−a,0),A 2(a,0)，B(0,b)，所以S △A 1A 2B =12⋅2a ⋅b =ab =4√2，且→A 1B ⋅→A 2B =(a,b)⋅(−a,b)=−a 2+b 2=−4，解得{a =2√2,b =2, ，所以椭圆C 的方程为x 28+y 24=1 .(2)设点P 的纵坐标为y p ，当直线l 垂直于x 轴时，依题易知y p =0；当直线l 不垂直于x 轴时，不妨设直线l:y =k(x −2),k ≠0，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，联立{x 28+y 24=1,y =k(x −2),消y 得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0，有x 1+x 2=8k 21+2k 2. 取MN 的中点为Q (x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22=4k 21+2k 2，那么y 0=k (x 0−2)=−2k1+2k 2，所以直线PQ 的方程为y +2k1+2k 2=−1k (x −4k 21+2k 2)，令x =0，y p =2k1+2k 2=21k +2k ，易知1k +2k ∈(−∞,−2√2]∪[2√2,+∞)，所以y P ∈[−√22,0)∪(0,√22] .综上，点P 纵坐标的取值范围[−√22,√22]. 21.【答案】证明：(1)由题知， f ′(x)=(x −1)e x ，∴当x <1时，f ′(x)<0，当x >1时， f ′(x)>0，∴f(x)在区间(−∞,1)上是减函数，在区间(1,+∞)上是增函数.∴当x =1时，f(x)min =f(1)=−e +1e <0，∵0<5e 2<1，∴−5e 3>−1e ，∴f(−3)=−5e 3+1e >0，∴存在唯一x 1∈(−3,1)，使得f (x 1)=0，即f(x)在(−∞,1)上存在唯一零点x 1；∵f(2)=1e >0，f(1)=−e +1e <0，∴存在唯一x 2∈(1,2)，使得f (x 2)=0，即f(x)在(1,+∞)上存在唯一零点x 2.∴函数f(x)有且只有2个零点．(2)要证lnx <x[f(x)+e]成立，即证lnx <x [(x −2)e x +e +1e ]，只需证lnxx <(x −2)e x+e +1e ，设h(x)=lnxx ，m(x)=(x −2)e x +e +1e (x >0)，∴h ′(x)=1−lnxx 2，m ′(x)=(x −1)e x ，∵当0<x <e 时，h ′(x)>0，当x >e 时， h ′(x)<0，∴h(x)在区间(0,e)上是增函数，在区间(e,+∞)上是减函数，∴当x =e 时，h(x)max =1e .由(1)知，m(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1,+∞)上是增函数，∴当x =1时，m(x)min =m(1)=1e .∴h(x)<m(x)，∴lnx <x[f(x)+e]．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)由题知， f ′(x)=(x −1)e x，∴当x <1时，f ′(x)<0，当x >1时， f ′(x)>0，∴f(x)在区间(−∞,1)上是减函数，在区间(1,+∞)上是增函数.∴当x =1时，f(x)min =f(1)=−e +1e <0，∵0<5e 2<1，∴−5e 3>−1e ，∴f(−3)=−5e 3+1e >0，∴存在唯一x 1∈(−3,1)，使得f (x 1)=0，即f(x)在(−∞,1)上存在唯一零点x 1；∵f(2)=1e >0，f(1)=−e +1e <0，∴存在唯一x 2∈(1,2)，使得f (x 2)=0，即f(x)在(1,+∞)上存在唯一零点x 2.∴函数f(x)有且只有2个零点．(2)要证lnx <x[f(x)+e]成立，即证lnx <x [(x −2)e x +e +1e ]，只需证lnxx <(x −2)e x+e +1e ，设h(x)=lnxx ，m(x)=(x −2)e x +e +1e (x >0)，∴h ′(x)=1−lnxx 2，m ′(x)=(x −1)e x ，∵当0<x <e 时，h ′(x)>0，当x >e 时， h ′(x)<0，∴h(x)在区间(0,e)上是增函数，在区间(e,+∞)上是减函数，∴当x =e 时，h(x)max =1e .由(1)知，m(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1,+∞)上是增函数，∴当x =1时，m(x)min =m(1)=1e .∴h(x)<m(x)，∴lnx <x[f(x)+e]．22.【答案】解：(1)曲线C1的普通方程是：y=2x 2，曲线C2中两式相加得：x+y=1．因为x=1−2t1+t=−2+31+t，所以x≠−2．故曲线C2的普通方程是：x+y=1(x≠−2)．(2)由{x+y=1，y=2x2，解得两曲线的交点分别是：A(−1,2)，B(12,12)，所以围成的面积是：∫12−1(1−x−2x2)dx=(x−12x2−23x3)|12−1=98．【考点】参数方程与普通方程的互化直线的参数方程抛物线的参数方程定积分在求面积中的应用【解析】无无【解答】解：(1)曲线C1的普通方程是：y=2x 2，曲线C2中两式相加得：x+y=1．因为x=1−2t1+t=−2+31+t，所以x≠−2．故曲线C2的普通方程是：x+y=1(x≠−2)．(2)由{x+y=1，y=2x2，解得两曲线的交点分别是：A(−1,2)，B(12,12)，所以围成的面积是：∫12−1(1−x−2x2)dx=(x−12x2−23x3)|12−1=98．。

广东高二高中数学月考试卷带答案解析

广东高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合，，则（）A．B．C．D．2.已知复数，则等于（）A．B．C．D．3.“”是“曲线过坐标原点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．B．C．D．5.有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本，若将其[随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是（）A．B．C．D．6.已知随机变量服从正态分布，则（）A．B．C．D．7.等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．C．D．8.若椭圆的面积为，则（）A．B．C．D．9.设、为椭圆的两个焦点，以为圆心作圆，已知圆经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点，若直线恰与圆相切，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（）A．B．C．D．二、解答题1.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由得，．附表：参照附表，下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”2.已知，（1）写出图像的对称中心的坐标和单调递增区间；（2）三个内角、、所对的边为、、，若，．求的最小值．3.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：若幸福度不低于9．5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这16人中随机选取3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望，并求出至多有1人是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望．4.如图，菱形与矩形所在平面互相垂直，．（1）求证：平面；（2）若，当二面角为直二面角时，求的值；（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成的角的正弦值．5.已知数列满足：．（1）求证：数列是等比数列；（2）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围．6.如图，过点作抛物线的切线，切点在第二象限．（1）求切点的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点，设切线交椭圆的另一点为，记切线，，的斜率分别为，，，若，求椭圆方程．7.已知函数，其中．若函数在上有极大值0，求的值；（提示：当且仅当时，）（2）讨论并求出函数在区间上的最大值；（3）在（1）的条件下设，对任意，证明：不等式恒成立．三、填空题1.若，则．2.在矩形中，，，则实数．3.已知等差数列中，有成立．类似地，在等比数列中，有_____________________成立．4.函数是定义在上的偶函数，且满足．当时，．若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为．广东高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，故选B．【考点】集合的运算2.已知复数，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，那么【考点】1．复数的代数运算；2．复数的模3.“”是“曲线过坐标原点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，函数过原点，如果函数过原点，那么，解得，所以是充分不必要条件．【考点】三角函数的性质4.已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先取出三个数的方法是，构成不同的坐标的方法，则再乘以,所以共有种方法．【考点】1．排列；2．空间坐标．5.有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本，若将其[随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】公有种方法，同一科目的书都相邻的方法有种方法，所以概率是【考点】1．古典概型；2．排列；3．排列数6.已知随机变量服从正态分布，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正态曲线的对称轴是，,若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．997 4．，所以，所以,故选C．【考点】服从正态分布的概率计算7.等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据等比数列的性质知道，，依据对数运算法则，原式等价于，故选B．【考点】1．等比数列的性质；2．对数运算法则．8.若椭圆的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，整理为，此定积分所表示的面积是椭圆在第一象限与坐标轴布偶围成的面积，，根据椭圆的对称性，为椭圆面积的，所以最后定积分是．【考点】1．定积分表示的面积；2．椭圆的对称性．9.设、为椭圆的两个焦点，以为圆心作圆，已知圆经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点，若直线恰与圆相切，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，根据已知直线恰与圆相切知：,所以三边满足勾股定理，，整理得，两边同时除以，得到：，所以【考点】椭圆的几何性质10.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（）A．B．C．D．【答案】【解析】因为当时，是单调函数，所以等价于，等价于，，或是，等价于，所以，所以所有的和是【考点】1．函数的奇偶性；2．根与系数的关系．二、解答题1.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由得，．附表：参照附表，下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选C．【考点】独立性检验2.已知，（1）写出图像的对称中心的坐标和单调递增区间；（2）三个内角、、所对的边为、、，若，．求的最小值．【答案】（1）；；（2）【解析】（1）首先通过二倍角降幂公式将降幂成，然后通过化一成，最后求对称中心，将函数值等于0，求，将落在函数的递增区间，求；（2）首先三角形内根据条件，先求出角,然后通过余弦定理，结合基本不等式，求出的最小值．试题解析：解：（1）化简得：，对称中心为：，单调递增区间为：（2）由（1）知：，，，，，，根据余弦定理：，当且仅当时，取最小值1．【考点】1．二倍角公式；2．三角函数的性质；3．余弦定理；4．基本不等式．3.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：若幸福度不低于9．5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这16人中随机选取3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望，并求出至多有1人是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望．【答案】(1)详见解析；（2）．【解析】(1)首先写出极幸福的人数可能取得的数值、、、，然后判断符合超几何概型，写出概率，最后列表，求期望；至多有一人是极幸福包含或两个互斥事件的和事件，所以将其概率相加;(2)随机抽取一人是极幸福的概率是，随机变量满足二项分布，所以数学期望是，或是列表，然后求期望．试题解析：．解：（1）的可能取值为、、、，，，，，的分布列为1数学期望，至多有1人是“极幸福”记为事件，则．（2）解法一：的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“极幸福”的概率为∴；；∴的分布列为数学期望．解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为，故随机变量满足二项分布，故数学期望．【考点】1．超几何分布；2．二项分布；3离散型随机变量的分布列和数学期望．4.如图，菱形与矩形所在平面互相垂直，．（1）求证：平面；（2）若，当二面角为直二面角时，求的值；（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)详见解析；（2）；（3）【解析】（1）通过证明面面平行即平面∥平面，得到线面平行；（2）首先取中点,构造为二面角的平面角，然后通过直角三角形边的计算得出的值；（3）法一：几何法是根据（2）知道平面，所有求直线与平面所成的角的正弦值，就是求与所成角的余弦值；法二：以为原点，为轴、为轴，建立如图的直角坐标系，可以先求平面的法向量，求直线与平面法向量夹角的余弦值．试题解析：（1）证明：，，，平面∥平面，故平面（2）解：取的中点．由于所以，就是二面角的平面角．当二面角为直二面角时，，即（3）几何方法：由（2）平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角．连结，设则在中，，，（3）向量方法：以为原点，为轴、为轴，建立如图的直角坐标系，设则，，平面的法向量，．【考点】1．线面平行的判定定理；2．二面角；3．线面角的求法．5.已知数列满足：．（1）求证：数列是等比数列；（2）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)详见解析；（2）【解析】（1）第一步，令，构造一个式子，与原式相减，得到关于数列的递推，然后证明常数；（2）原式恒成立，等价于恒成立，即，所以要求数列的最大值，第一步，先求得通项公式，第二步，判定数列的单调性，求出最大值，最后代入不等式，求出范围．试题解析：解：（1）由题可知：①②②—①可得．即：，又．所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．（2）由（1）可得，．由，可得．而由可得．所以，故有最大值．所以，对任意，有．如果对任意，都有，即成立，则，故有：．解得或．所以，实数的取值范围是．【考点】1．递推公式；2．等比数列；3．数列的函数特征．6.如图，过点作抛物线的切线，切点在第二象限．（1）求切点的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点，设切线交椭圆的另一点为，记切线，，的斜率分别为，，，若，求椭圆方程．【答案】(1)；（2）【解析】（1）此类问题都可以先设切点，然后根据导数的几何意义，写出切线方程，最后代入,得出纵坐标；（2）此问是直线与椭圆相交的综合问题，第一步，根据点的坐标先求出直线的斜率，直线方程与化简后的椭圆方程联立，得到根与系数的关系，将点的坐标得到，代入，最后写成关于的方程，求解．试题解析：解：（1）设切点，且，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，，即点的纵坐标．……4分（2）由（1）得，切线斜率，设，切线方程为，由，得，所以椭圆方程为，且过，．由．，将，代入得：，所以．椭圆方程为．【考点】1．导数的几何意义；2．切线；3．直线与椭圆相交的综合应用．7.已知函数，其中．若函数在上有极大值0，求的值；（提示：当且仅当时，）（2）讨论并求出函数在区间上的最大值；（3）在（1）的条件下设，对任意，证明：不等式恒成立．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析．【解析】(1)第一步，先求函数的导数，第二步，在定义域内求极值，并判断单调性，确定极大值，建立方程，求解；（2）因为函数当时，函数取得极大值，所以需要讨论极大值点是否在区间内分三种情况进行讨论，求得函数的最大值；（3）此题为导数与不等式证明的综合性问题，首先通过分析法将不等式将不等式转化，将不等式进行整理，这是设，转化为函数问题，证明函数的最大值小于0．试题解析：分析：（1）明显，当时，，当时，故函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在上有极大值∴，解得（2）∵①若，即，则当时，有，函数在上单调递增，则．②若，即，则函数f (x)在上单调递增，在上单调递减，∴．③若，即，则当时，有，函数f (x)在上单调递减，则．综上得，当时，；当时，；当时，．（3）要证明，只需证明只需证明即证明，不妨设，令，则，则需证明令，则，故不等式得证【考点】1．导数的综合应用；2．利用导数求函数的极值，函数的最值，以及证明不等式．三、填空题1.若，则．【答案】【解析】【考点】1．二倍角公式；2．同角三角函数2.在矩形中，，，则实数．【答案】【解析】因为是矩形，所以,两向量的数量积等于0，所以，所以【考点】向量垂直的充要条件3.已知等差数列中，有成立．类似地，在等比数列中，有_____________________成立．【答案】【解析】类比等差数列，根据等比数列的性质，，，所以【考点】1．类比推理；2．等比数列的性质；3．等差数列的性质．4.函数是定义在上的偶函数，且满足．当时，．若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为．【答案】【解析】函数的周期是,将方程转化为，如图，转化为函数的交点问题，为过的直线，此直线在与函数由4个不同的交点，如图：只需满足当时对应的两点的不等式，，所以解得【考点】1．函数的性质；2．函数的图像的应用．。

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2015-2016学年广东省北京师范大学东莞石竹附属学校高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．设函数f（x）在x0处可导，则等于（）A．f′（x0）B．f′（﹣x0）C．﹣f′（x0）D．﹣f（﹣x0）2．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A．10 m/s B．9 m/s C．4 m/s D．3 m/s3．函数在x=1处切线的倾斜角为（）A．B．C．D．4．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=15．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（）A．2 B．3 C．4 D．56．设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．B．[0，）∪[，π）C．D．7．若，则λ等于（）A．0 B．1 C．2 D．﹣18．函数的导数为（）A．B．C．D．9．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1 B．3，﹣17 C．1，﹣17 D．9，﹣1911．若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．函数的导数为．14．dx= ．15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，＞0（x＞0），则不等式x2f（x）＞0的解集是．三．解答题（共6个小题，共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x．（Ⅰ）求f′（2）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．18．已知函数f（x）=x2+xlnx（1）求这个函数的导数f′（x）；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．19．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求实数k的取值范围．20．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1．（1）当k=1时，求函数f（x）的最大值；（2）若函数f（x）没有零点，求实数k的取值范围．22．已知函数，g（x）=2alnx（e为自然对数的底数）（1）求F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间，若F（x）有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省北京师范大学东莞石竹附属学校高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．设函数f（x）在x0处可导，则等于（）A．f′（x0）B．f′（﹣x0）C．﹣f′（x0）D．﹣f（﹣x0）【考点】导数的几何意义．【分析】根据导数的几何意义，以及导数的极限表示形式f'（x0）=进行化简变形，得到结论．【解答】解： =﹣=﹣f′（x0），故选C．2．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A．10 m/s B．9 m/s C．4 m/s D．3 m/s【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据导数的物理意义，求函数的导数即可．【解答】解：∵S=t+t3，∴S′（t）=1+t2，则当t=3s时的瞬时速度是S′（3）=1+×32=1+3=4m/s，故选：C．3．函数在x=1处切线的倾斜角为（）A．B．C．D．【考点】导数的几何意义．【分析】先求函数的导函数，求出f′（1），根据导数的几何意义可知在x=1处切线的斜率，最后根据斜率和倾斜角的关系可求出所求．【解答】解：∵∴f′（x）=2﹣则f′（1）=2﹣1=1=tanα∴α=故选A．4．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x2+ax+b的导数，由切点得到切线的斜率，由切线方程得到a，再由切点在曲线上求出b．【解答】解：y=x2+ax+b的导数是y′=2x+a，则在点（0，1）处的切线斜率为a，由切线方程得a=1，再由切点（0，1）在曲线上，则b=1．故选D．5．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5故选：D．6．设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．B．[0，）∪[，π）C．D．【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【解答】解：y′=3x2﹣≥﹣，tanα≥﹣，∴α∈[0，）∪[，π），故答案选 B．7．若，则λ等于（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【考点】微积分基本定理．【分析】欲求λ的值，只须求出函数2x+λ的定积分值即可，故先利用导数求出2x+λ的原函数，再结合积分定理即可求出用λ表示的定积分．最后列出等式即可求得λ值．【解答】解：∵∫01（2x+λ）dx=（x2+λx）|01=1+λ．由题意得：1+λ=2，∴λ=1．故选B．8．函数的导数为（）A．B．C．D．【考点】简单复合函数的导数．【分析】根据函数商的求导法则再结合函数和的求导法则f（x）+g（x）=f（x）′+g（x）′代入计算化简即可．【解答】解：∵∴∴=故选D9．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】观察函数y=f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增；从而确定导数的正负，从而求解．【解答】解：观察函数y=f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，故y=f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，故排除B，D，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增，故y=f′（x）在（﹣∞，0）从左到右，先“+”再“﹣”最后“+”恒成立，故排除C，故选：A．10．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1 B．3，﹣17 C．1，﹣17 D．9，﹣19【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】首先求出函数的导数，然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最小值．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，故f（x）的极小值、极大值分别为f（﹣1）=3，f（1）=﹣1，而f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，故函数f（x）=x3﹣3x+1在[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是3、﹣17．故答案为：B11．若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由题意得，区间（k﹣1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，从而求出实数k的取值范围．【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，而f′（x）=3x2﹣12的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，故选 B．12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】导数的运算．【分析】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．【解答】解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．函数的导数为．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则可得答案．【解答】解：∵∴y'==故答案为：14．dx= π．【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理的几何意义即可得出．【解答】解：令y=，画出图象：由微积分基本定理的几何意义可得： =π．故答案为π．15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于18 ．【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的值．【分析】对函数f（=x）求导的导函数，利用导函数与极值的关系进行求解．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）∴x∈（，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴适合∴f（2）=8+16﹣22+16=18．故答案为18．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，＞0（x＞0），则不等式x2f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据[]′=＞0判断函数的单调性，进而分别看x＞1和0＜x＜1时f（x）与0的关系，再根据函数的奇偶性判断﹣1＜x＜0和x＜﹣1时f （x）与0的关系，最后取x的并集即可得到答案．【解答】解：[]′=＞0，即x＞0时是增函数，当x＞1时，＞f（1）=0，f（x）＞0．0＜x＜1时，＜f（1）=0，f（x）＜0，又f（x）是奇函数，所以﹣1＜x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）＞0，x＜﹣1时f（x）=﹣f（﹣x）＜0，则不等式x2f（x）＞0即f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．三．解答题（共6个小题，共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x．（Ⅰ）求f′（2）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导函数f'（x），把2代入即可求得f′（2）的值；（Ⅱ）求导，令导数f'（x）＞0，解此不等式即可求得单调增区间；令导数f'（x）＜0，解此不等式即可求得单调减区间；【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣3，所以f'（2）=9．（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣3，令f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1．令f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1．所以（﹣∞，﹣1），（1，+∞）为函数f（x）的单调增区间，（﹣1，1）为函数f（x）的单调减区间．18．已知函数f（x）=x2+xlnx（1）求这个函数的导数f′（x）；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】（1）运用导数的运算性质，以及导数公式，求得函数f（x）的导数；（2）运用导数的几何意义，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+xlnx的导数为f′（x）=2x+lnx+x•=2x+lnx+1；（2）由题意可知切点的横坐标为1，所以切线的斜率是k=f'（1）=2×1+ln1+1=3，切点纵坐标为f（1）=1+1×ln1=1，故切点的坐标是（1，1），所以切线方程为y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．19．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间和极值；（2）画出函数的大致图象，结合图象从而求出a的范围；（3）问题转化为k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，结合二次函数的性质求出即可．【解答】解：（1）f′（x）=3（x2﹣2），令f′（x）=0，得x1=﹣，x2=∴，x＜﹣或x＞时，f′（x）＞0，当﹣时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间（﹣）和（），单调递减区间是（﹣，），当x=﹣，f（x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值5﹣4．（2）由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图示：∴当5﹣4＜a＜5+4时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，即当5﹣4＜a＜5+4时方程f（x）=a有三解．（3）f（x）≥k（x﹣1）即（x﹣1）（x2+x﹣5）≥k（x﹣1）∵x＞1，∴k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立．令g（x）=x2+x﹣5，由二次函数的性质，g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴g（x）＞g（1）=﹣3∴所求k的取值范围是k≤﹣3．20．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n 的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．21．已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1．（1）当k=1时，求函数f（x）的最大值；（2）若函数f（x）没有零点，求实数k的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当k=1时，利用导数研究函数的单调习惯，根据函数的单调性求函数f（x）的最大值．（2）若函数f（x）没有零点，分k≤0和k＞0两种情况，分别求得实数k的取值范围，再取并集，即得所求．【解答】解：（1）当k=1时，f（x）=ln（x﹣1）﹣（x﹣1）+1=ln（x﹣1）﹣x+2，，函数f（x）的定义域为（1，+∞），令f′（x）=0，求得x=2，∵当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，2）内是增函数，在（2，+∞）上是减函数∴当x=2时，f（x）取最大值f（2）=0．（2）函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1没有零点，即函数y=ln（x﹣1）的图象与函数y=k（x﹣1）﹣1的图象没有交点．①当k≤0时，由于函数y=ln（x﹣1）图象与函数y=k（x﹣1）﹣1图象有公共点，∴函数f（x）有零点，不合要求．②当k＞0时，，令，∵，，∴内是增函数，上是减函数，∴f（x）的最大值是，∵函数f（x）没有零点，∴﹣lnk＜0，求得k＞1．综上可得，实数k的取值范围为（1，+∞）．22．已知函数，g（x）=2alnx（e为自然对数的底数）（1）求F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间，若F（x）有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出导数F'（x），再对a进行讨论：分a≤0，a＞0两种情况讨论，由F'（x）＞0得增区间，F'（x）＜0得减区间，从而判断函数的极值和最值；（2）这是探索性题目，首先假设存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，方法一：构造F（x）=f（x）﹣g（x），运用函数零点的思想，由（1）的结论得a=1，从而求出公共点的坐标和切线方程；方法二：设出公共点的坐标，由假设列出两个方程，解这个方程组得，另外要运用（1）的结论说明除了这个点再没有其它点，最后求出公共点的坐标和切线方程．【解答】解：（1）①当a≤0时，（x＞0），导数F'（x）=＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）上是增函数，所以F（x）只有一个单调递增区间（0，+∞），无减区间，没有最值②当a＞0时，导数F'（x）==，若，则上单调递减；若，则上单调递增，所以时，F（x）有极小值，也是最小值即为a﹣2aln=﹣alna所以当a＞0时，F（x）的单调递减区间为单调递增区间为，最小值为﹣alna，无最大值；当a≤0时，函数F（x）只有增区间（0，+∞），无减区间，无最值．（2）方法一，若存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）﹣g（x）=0有且只有一解，所以函数F（x）有且只有一个零点由（1）的结论可知F（x）min=﹣alna=0得a=1此时，，，所以，所以f（x）与g（x）的图象的唯一公共点坐标为，又因为，所以f（x）与g（x）的图象在点处有共同的切线，其方程为，即综上所述，存在a=1，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为方法二：设存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，设f（x）与g（x）图象的公共点坐标为（x0，y0），根据题意得即解得，所以，从而a=1此时由（1）可知所以时，F（x）＞0，即f（x）＞g（x）因此除外，再没有其它x0，使f（x0）=g（x0）故存在a=1，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为。