人教B版高二数学选修2-3教案：2.3离散型随机变量的方差
人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念 （2）能计算简单离散型随机变量的方差 （3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？ 任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？ 任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量， 且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一 随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性． 我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ 问题探究二 常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】 解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值． 解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ， 所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结 重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -； （3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型 师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差》73
离散型随机变量的方差
本节课是高中数学选修2-3的内容。
从以下几个方面进行教材分析。
教学背景
离散型随机变量的方差是学生学习了离散型随机变量的分布列期望之后的进一步学习探究，是继期望之后反映随机变量取值分布的又一特征数。
学生之前在初中已经学习过样本的方差和标准差的概念和意义，对概念已有初步的了解，具备了类比推理的横向思维基础在必修三也学习了概率与统计的基础知识具备了进一步学习的能力。
学习方差将为今后学习概率统计知识做好铺垫，对今后学习概率统计学及其相关学科产生深远的影响。
教学目标
知识与技能
1理解随机变量方差和标准差的含义，
2会根据分布列求出随机变量的方差和标准差。
情感态度与价值观
1.体会解决问题的愉悦情绪，感受与他人合作交流的重要性。
2.使学生养成善于分析总结的习惯。
教学重点：
离散型随机变量的方差与标准差的含义。
教学难点：
通过比较两个随机变量的均值与方差的大小，解决实际问题。
教学方法
根据对教材的理解，结合学生的现状，为贯彻启发性教学原则，体现教师为主导，学生为主体的教学思想确定本节课的教法与学法为
从学生的认知规律出发，进行启发诱导，探索发现,提出问题，分组讨论法，合作探究。
充分调动学生的积极性，大胆放手敢于放手发挥学生的主体作用。
引导学生在自主学习与分组讨论过程中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力。
重视学生学习过程中的参与度，自信心，团队精神与合作意识。
放手让学生通过计算、质疑、讨论等，培养学生善思考会思考，通过观察问题、发现问题、分析和解决问题，提高自学能力。
高二数学(人教B版)选修2-3课件：2.3.2离散型随机变量的方差
中 课 求E(X)，D(X)
程 标
解：依题意知离散型随机变量X服从参数为n=4，
准 p=0.1的二项分布，所以
Liangxiangzhongxue
E(X)=np=4×0.1=0.4，
D(X)=npq=4×0.1×0.9=0.36，
四、应用举例
普 例3.有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把能
通 把大门上的锁打开，用它们去试开大门上的锁。设
1000 0.4
根据工资待遇的差异情况， 你愿意选择哪家单位？
1400 0.3
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.2
1800 0.1
2200 0.1
甲单位不同职位月工资X1/元 获得相应职位的概率P1
乙单位不同职位月工资X2/元 获得相应职位的概率P2
1200 0.4 1000 0.4
1400 0.3 1400 0.3
P
Cn0 p0qn Cn1 p1qn1 … Cnk pk qnk … Cnn pnq0
标
准 则，D(X)=npq，(q=1-p)。
Liangxiangzhongxue
证明：略(见本章附录)
四、应用举例
普 例1.已知两名射手在同一条件下进行射击，供选拔
通 参加大型比赛，其分布列如下：
高
中 所得环数
10
Liangxiangzhongxue
D(X)=q2·p+(0-p)2·q=q2p+p2q=pq。
这表明在二点分布试验中，离散型随机变量X围绕 期望的平均波动大小为pq。
三、概念形成
普 概念2. 离散型随机变量的方差的性质
通 性质2：若随机变量X服从二项分布(q=1-p)，
人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差(第1课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）一、教学目标1．核心素养通过对离散型随机变量的均值的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力．2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的均值的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的期望，并能解决一些实际问题.3．学习重点离散型随机变量的期望的概念、公式及其应用.4．学习难点灵活利用公式求期望.二、教学设计1．预习任务任务1阅读教材P60－P63，思考：何为加权平均、权数？随机变量的均值（数学期望）的定义是什么？它反应了什么？任务2根据数学期望的计算过程，可得到它的什么性质？任务3何为两点分布？如果随机变量服从两点分布，则其数学期望有什么特点？任务4随机变量均值与样本的平均值有何联系与区别？2．预习自测1．已知X的分布列为则E(X)等于()A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．02．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝()A．45 B．40 C．30 D．153．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）何为离散型随机变量． （2）离散型性随机变量的分布列． （3）何为样本平均值？怎么计算？．（4）我们预习本课的数学期望是怎么定义的？怎么计算？ 2.创设情境 引入新知前面我们学习了离散性随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需要进一步了解离散型随机变量取值的特征.比如：某商店为了满足市场需求，要将单价分别为18元/kg ，24元/kg 、36元/kg ，如果按照3：2：1的比例对糖果进行混合销售，其中混合糖果中每颗质量都相等，如何对每千克糖果定价才合理？通过师生探究发现：当定价为混合糖果的平均价格时才合理.进而求混合糖果的平均价格，从而得出如下结论：根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是63kg ，62 kg 和61kg ，则混合糖果的合理价格应该是18×63+24×62+36×61=23（元/kg ）. 问题1：上述分式中36，26和61的意义是什么？在学生思考后，教师指出：上面的平均值其实是一种加权平均数，其中36，26和61表示一种权重系数，简称为权数.在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例.权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响越大.加权平均数是不同比重数据的平均数.加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.通过交流，使学生达成共识：36，26和61分别表示价格为18元/kg 、24元/kg 何36元/kg 的糖果在混合糖果中所占的比例.问题2：如果每一颗糖果的质量都相等，则在搅拌均匀的混合糖果中， 任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是24元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是36元/kg 的糖果的概率是多少？学生讨论，得出共识：在混合糖果中，任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是36，恰好是24元/kg 的糖果的概率是26，恰好是36元/kg 的糖果的概率是61.问题3：假如从混合糖果中随机的选取一颗，记X 为该糖果原来的单价，你能写出X 的分布列吗？学生不难得出随机变量X 的分布列为：问题4：能否将混合糖果的平均价格用X 的取值及其相应的概率来表示呢？由之前的知识，学生得出： 每千克混合糖果的平均价格为：18×63+24×62+36×61=23（元/kg ） 即18×P(X=18）+24×P(X=24）+36×P(X=36）=23（元/kg ） 教师总结：这里混合糖果的平均价格为随机变量X 的取值与其相应概率乘积之和.混合糖果的平均价格既为随机变量X 的均值.（设计意图：用实际问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，设置问题串，层层递进，逐步深入，最终得出结论：离散型随机变量X 取值的平均值为离散型随机变量X 的所有取值与其相应概率乘积之和.这样不但可以使学生直观感受到数学与生活的联系，而且可以激发学生的学习兴趣与热情.同时有利于学生进行知识迁移，为下面概括抽象得出科学定义做好铺垫.） 3.概括抽象 构建概念问题5：能否用数学语言表述离散型随机变量的均值这一概念的定义？ 可以使学生自行定义，教师作出修正，最终形成正式的定义：若离散型随机变量X 的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（设计意图：使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.这里渗透了从特殊到一般的数学思想方法）问题6：离散型随机变量ξ的期望与ξ可能取值的算术平均数相同吗？通过师生共同分析得出结论，期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.随机变量ξ取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数.（设计意图：期望源于平均值，但又不同于平均值，通过比较，进一步加深对数学期望的理解.）问题7：能给出两点分布与二项分布的均值吗？根据均值的计算公式，学生不难得出：4.例题分析应用新知例1：设随机变量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝()A．0.2B．0.1 C【知识点：期望】详解：a＋b＝0.8，且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.即a＋b＝0.8，且a＋2b＝1.3，∴a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2.点拨：本题主要考查离散型随机变量的均值的计算公式，且要熟知离散型随机变量的概率之和为1.例2：有一批数量很大的产品，其次品率是15℅.对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望.【知识点：期望】详解：解决这个实际问题的难点是求ξ的分布列，一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的.并且取1～10的整数，前k-1次取到正品，而第k 次取到次品的概率是P （ξ=k ）=15.085.01⨯-k （k=1，2，3，…,9），P （ξ=10）=185.09⨯.然后学生运用数学期望的定义来解题点拨：求离散型随机变量期望的步骤： （1）确定离散型随机变量ξ的取值.（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否. （3）求出期望.例3：某同学代表班级参加设计比赛，每连续设计10次，其中有3次中10环，5次中9环，2次中8环.①求次同学射击一次中靶的环数的均值是多少？②如果把该同学射击一次所得的环数的2倍再加上5记为该同学的设计成绩Y ，即Y=2X+5，那么试求Y 的均值. 【知识点：分布列、期望及性质】详解：(1)击靶数的分布列，根据期望的计算公式可得出E(X)=9.1(2)写出得分Y 的分布列，并求出E （Y ）=23.2点拨：当X 为随机变量时，若Y=aX+b(a,b 为常数)，则Y 也为随机变量，并称随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(X)+b 练习：设E (X )＝10，E (Y )＝3，则E (3X ＋5Y )＝( ) A ．45 B ．40 C ．30 D ．15【知识点：离散型随机变量期望的性质】 详解：E(3X+5Y)=3E(X)+5E(Y)=45.点拨：随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(x)+b 5.课堂总结均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE 为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有()()E aX b aE X b +=+.(1)当0=a 时，()E b b =，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当1=a 时，()()E X b E X b +=+，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；(3)当0=b 时，E aX aE X =（）（），即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.①若X 服从两点分布，则)(X E ＝p ； ②若ξ～),,(p n B 则)(X E ＝np . 6. 随堂检测1．随机抛掷一个骰子，所得点数η的均值为( ) A.16 B.13 C.12 D.3.52．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．123．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （三）课后作业 (一)基础型1．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.642．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E (ξ)的值为( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765 D ．0.223．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为ξ，则ξ的期望是( ) A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.64．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （二）能力型5．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望是( )A.13 B.23 C.43 D.346．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是()A．np(1－p) B．Np C．n D．p(1－p)8．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定9．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．11．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01)：(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(2)平均有多少家煤矿必须整改；(3)至少关闭一家煤矿的概率．12．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．（三）探究型13.设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.14.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：请小牛同学计算ξ“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.15.某企业2014年工作计划中，对每位员工完成工作任务的奖励情况作出如下规定：有一季度完成任务者得奖金300元；有两季度完成任务者得奖金750元；有三季度完成任务者得奖金1 260元；对四个季度均完成任务的员工，奖励 1 800元；若四个季度均未完成任务则没有奖金．假若每位员工在每个季度里完成任务与否都是等可能的，求企业每位员工在2014年所得奖金的数学期望．（四）自助餐1．已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为()A．5 B．6 C．7 D．82．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()A．706元B．690元3．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，那么ξ的期望E(ξ)＝()A.34 B.125 C.197 D.134．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35 B.815 C.1415 D.15．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.66．袋子装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝()A．4 B．5 C．4.5 D．4.757．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为()A．15 B．10 C．20 D．58．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B(5，14)，则E(－X)的值为()A.14B．－14C．54D．－549．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0,1,0<p<1)，则E(X)＝________.10．一个人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他随意地进行试开，并将试开不对的钥匙除去，则打开房门所试开次数ξ的数学期望是________．11．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获得12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．13．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． （四）参考答案 预习自测 1.C 2.A 3.B 随堂检测 1.D 2.B 3.B 课后作业 基础型 1.C 2.B 3.A 4.B 能力型 5.B 6.B 7.B 8.A9.解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为 P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. ∴σ(X 3)＝D X 3＝10×12×12＝ 2.5.10. 解:(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)，ξ的数学期望为 E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(3)由(1)，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.11. 解:(1)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516≈0.31.(2)由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B (5，0.5)，从而ξ的数学期望E (ξ)＝5×0.5＝2.50，即平均有2.50家煤矿必须整改．(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意可知，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12. 解:记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13， P (C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η， 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法二 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3. 由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝3×23＝2. 探究型 13.47 14.215.解:P (X ＝0)＝C 04(12)0(12)4＝116；P (X ＝300)＝C 14(12)1(12)3＝14； P (X ＝750)＝C 24(12)2(12)2＝38；P (X ＝1 260)＝C 34(12)3(12)1＝14；P (X ＝1 800)＝C 44(12)4(12)0＝116. 故X 的分布列为E (X )＝0×116＋300×14＋750×38＋1 260×14＋1 800×116＝783.75(元)． 自助餐 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.p 10.n ＋12 11.4 760 12.49 13.0.5。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差》1
离散型随机变量的方差（教学设计）一、教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，能够根据离散型随机变量的分布列求出方差与标准差。
过程与方法：了解方差公式Da ξb =a 2D ξ，以及若ξ～Βn ，，则D ξ=n 1—，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：通过实际例子，感悟数学在生活中无处不在 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重难重点：离散型随机变量的方差、标准差。
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题。
三、教学过程： （一）复习回顾：1数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望，简称期望。
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 。
2期望的一个性质：()b aE b a E +=+ξξ 3两种特殊分布的均值（1）若X 服从两点分布，则p EX = （2）若X ～B （n,），则np EX = （二）新知探究：问题：已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X 1、X 2的分布列如下：甲同学击中目标靶的环数X 1的分布列为乙同学击中目标靶的环数X 2的分布列为试比较两名射手的射击水平。
如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？分析：∵EX 1 =8×9×10×=9 EX 2 =8×9×10×=9∴甲、乙两射手的设击水平相同思考：这样的分析对吗？（显然两名选手的水平是不同的，这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性）（三）新课讲解 回顾：样本方差对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的，样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度。
在一组数据n x x x ,,,21 中，各数据的平均数为x ，则这组数据的方差为：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-=思考：类似于这个概念,我们如何定义随机变量的方差？ 1离散性随机变量的方差与标准差：设离散型随机变量X 的概率分布为则2(())i x E X -描述职i i=1,2,3，……相对于均值EX 的偏离程度，而 ()i ni i p EX x DX 21∑=-=为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，我们称()X D 为随机变量X 的方差，用()X σ）为随机变量X 的标准差。
人教B版数学选修2-3课件：2.3.2 离散型随机变量的方差
题型一 题型二 题型三
反思 期望反映随机变量取值的平均水平,方差反映随机变量取 值相对于期望的平均波动大小.本题不能由E(ξ甲)=E(ξ乙)就认为甲、 乙两种钢筋性能一样好,而是应进一步再考察D(ξ甲),D(ξ乙),即考察 其稳定性后再作决定.
1234 5
1.下列说法正确的是( ) A.离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 B.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平 C.离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平 D.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 解析:离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映ξ取值的平均水平,方差D(ξ) 反映了ξ取值偏离平均值的平均程度. 答案:C
-
2 =1-
2,
D(X)=[-1-(1- 2)]2× 12+[0-(1- 2)]2×( 2-1)+[1-(1- 2)]2×
3 2
-
2
=
2-1.
答案:1-
2 2
1- 2
2-1
研究均值与方差有何意义? 剖析随机变量的均值与方差都是随机变量的重要特征数(或数字 特征),是对随机变量的一种简明的描写.虽然随机变量的分布列完 全决定了随机变量的取值规律,但是往往不能明显而集中地表现随 机变量的某些特点,例如它取值的平均水平、集中位置、稳定与波 动状况、集中与离散程度等.均值表示随机变量一切可能值的平均 值或集中位置,而方差则表示随机变量一切可能值的集中与离散或 稳定与波动的程度,由于离散型随机变量的均值的计算是从它的概 率分布出发,因而均值是随机变量的概率平均值.
.
X
-1
0
1
1
P
1-2q
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人教新课标B版高中数学高二选修2-3学案 2.3.2 离散型随机变量的方差
2.3.2离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．知识点一离散型随机变量的方差、标准差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下：X012P 610110310Y012P 510310210思考1试求E(X)，E(Y)．思考2能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理离散型随机变量的方差、标准差(1)方差及标准差的定义一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，x n，这些值对应的概率是p1，p2，…，p n.①方差：D(X)＝_________________________________________________________________.②标准差：________.(2)意义：离散型随机变量的方差、标准差都反映了离散型随机变量的取值相对于______的平均波动大小．(3)方差的运算性质：D(aX＋b)＝a2D(X)．知识点二二点分布和二项分布的方差(1)若X服从二点分布，则D(X)＝________.(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________.类型一求随机变量的方差与标准差例1已知X的分布列如下：X－101P 1214a(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的数学期望和方差．反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的数学期望比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．跟踪训练1已知η的分布列为η010205060P 1325115215115(1)求方差及标准差；(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．类型二 二点分布与二项分布的方差 例2 某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从二点分布，则其方差为p (1－p )；若其服从二项分布，则其方差为np (1－p )(其中p 为成功概率)．跟踪训练2 (1)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.(2)设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，则D (3ξ)＝________. 类型三 方差的实际应用例3 有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？反思与感悟 利用E (X )或D (X )可在实际问题中做决策，当E (X 1)＝E (X 2)时，再比较D (X 1)与D (X 2)的大小．跟踪训练3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为ξ 1 2 3 Pa0.10.6η 1 2 3 P0.3b0.3(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况．1．已知随机变量X 的分布列为X －1 0 1 P121316则下列式子：①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则( ) A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.13．甲、乙两台自动车床各生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲车床生产的1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产的1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别如下表所示．据此判定()ξ0123P0.700.20.1η0123P0.60.20.10.1A.甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同D．无法判定4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b ＝________.X－1012P a b c 1 125．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于数学期望的平均程度．方差D(X)或标准差D(X)越小，则随机变量X 偏离数学期望的平均程度越小；方差D(X)或标准差D(X)越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的数学期望、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由数学期望、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从二点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．答案精析问题导学 知识点一思考1 E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝710，E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2 不能，因为E (X )＝E (Y )． 思考3 方差．梳理 (1)①[x 1－E (X )]2p 1＋[x 2－E (X )]2p 2＋…＋[x n －E (X )]2p n ②D (X ) (2)期望 知识点二(1)p (1－p ) (2)np (1－p ) 题型探究例1 解 (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为(2)方法一 由(1)知a ＝14，所以X 的数学期望E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116.方法二 由(1)知a ＝14，所以X 的数学期望E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的数学期望E (X 2)＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差D (X )＝E (X 2)－[E (X )]2＝1116.(3)因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2，D (Y )＝42D (X )＝11.跟踪训练1 解 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)＝4×384＝1 536. 例2 解 (1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1. ξ服从二点分布，且P (ξ＝0)＝0.02，P (ξ＝1)＝0.98，所以D (ξ)＝p (1－p )＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.(2)用X 表示抽得的正品数，则X ～B (10,0.98)，所以D (X )＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差为D (X )≈0.44. 跟踪训练2 (1)13(2)10例3 解 根据月工资的分布列，可得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，所以两家单位的工资数学期望相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．跟踪训练3 解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质，可知a ＋0.1＋0.6＝1，所以a ＝0.3. 同理，0.3＋b ＋0.3＝1，所以b ＝0.4. (2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (ξ)>E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势． 当堂训练1．C 2.B 3.B 4.512 145．解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.。
2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.3.2 离散型随机变量的方差
2．3.2离散型随机变量的方差[对应学生用书P37]A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床B机床次品数X2012 3P 0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差(1)设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，x n，这些值对应的概率分别为p1，p2，…，p n，则D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x n－E(X))2p n叫做这个离散型随机变量的方差．D(X)的算术平方根D(X)叫做离散型随机变量X的标准差．(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值相对于期望的平均波动大小．方差或标准差越小，则随机变量偏离于期望的平均程度越小．2．二点分布和二项分布的方差1．离散型随机变量的方差的意义：随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中和离散程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差和样本方差之间的关系：(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在； (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．[对应学生用书P37][例1] X 0 10 20 50 60 P1325115215115求随机变量的均值和方差．[思路点拨] 利用方差公式求解，首先求出均值E (X )，然后利用D (X )的定义求方差． [精解详析] E (X )＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (X )＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.[一点通]已知分布列求离散型随机变量的方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．1．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．n ＝100，p ＝0.08 B ．n ＝20，p ＝0.4 C ．n ＝10，p ＝0.2D ．n ＝10，p ＝0.8解析：由于X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6. 所以np ＝8，np (1－p )＝1.6，解之得n ＝10，p ＝0.8. 答案：D2．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝(1－p )k p 1－k (k ＝0,1)，则E (X )、D (X )的值分别是( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．1－p 和p (1－p )解析：随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝(1－p )k ·p1－k(k ＝0,1)，则P (X ＝0)＝p ，P (X ＝1)＝1－p ，所以E (X )＝0×p ＋1×(1－p )＝1－p ，所以D (X )＝[0－(1－p )]2×p ＋[1－(1－p )]2×(1－p )＝p (1－p )．答案：D[例2] 1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X ，求随机变量X 的分布列、均值和方差．[思路点拨] 确定随机变量X 的取值，列出其分布列，再计算均值和方差． [精解详析] 由题意可知，X ＝5,4,3.P (X ＝5)＝C 22C 14C 36＝15；P (X ＝4)＝C 12C 24C 36＝35；P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.故X 的分布列为X 5 4 3 P153515E (X )＝5×15＋4×35＋3×15＝4.D (X )＝(5－4)2×15＋(4－4)2×35＋(3－4)2×15＝25.[一点通]1．离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．2．在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列； (2)求X 的均值和方差． 解：(1)X 的可能的取值为0,1,2，P (X ＝k )＝C k 2C 3－k4C 36，k ＝0,1,2. X 的分布列为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.D (X )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.4．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以10016枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80； 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n ＜16，80，n ≥16.(n ∈N )． (2)X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差为D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.[例3] (10分以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：加较好？[思路点拨]可以先比较两运动员的平均得分(即均值)，再比较两运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁．[精解详析]由题意，E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1.(4分)∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，(8分)∴D(X1)<D(X2)，所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加．(10分)[一点通]离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．5．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．答案：乙6．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数变量为X，乙射击时射中的环数变量为Y.(1)求X，Y的分布列．(2)求X，Y的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解：(1)依据题意，0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1，解得a ＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以X ，Y 的分布列分别为(2)结合(1)中X ，Y 的分布列可得：E (X )＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E (Y )＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D (X )＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D (Y )＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E (X )＞E (Y )，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D (X )＜D (Y )，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解． 2．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算．[对应课时跟踪训练(十六)]1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 解析：E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.答案：A2．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m .令随机变量Z ＝⎩⎨⎧1，A 发生，0，A 发生，则Z的方差D (Z )等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )解析：由题意知，E (Z )＝m ，则D (Z )＝m (1－m )． 答案：D3．某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( )A ．0.48B ．1.2C ．0.72D ．0.6解析：∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴D (X )＝3×0.4×0.6＝0.72.答案：C4．若X ～B (n ，p )且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8解析：∵X ～B (n ，p )， ∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6，np (1－p )＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝12，p ＝12.∴P (X ＝1)＝C 112·(12)1(1－12)11＝3·2－10. 答案：C5．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：256．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：成功次数X ～B (100，p )，所示D (X )＝100p (1－p )≤100×⎝⎛⎭⎫p ＋1－p 22＝25，当且仅当p ＝1－p 即p ＝12时，成功次数的标准差最大，其最大值为5.答案：1257．根据以往经验，一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元，小雨天盈利163元，中雨天盈利90元．根据天气预报，明天无雨的概率是0.2，有小雨的概率是0.3，有中雨的概率是0.5.问：明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元？方差和标准差各是多少？解：用X 表示明天发一辆车的盈利，由题意知P (X ＝230)＝0.2，P (X ＝163)＝0.3，P (X ＝90)＝0.5，所以E (X )＝230×0.2＋163×0.3＋90×0.5＝139.9(元)． 所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是139.9元．方差D (X )＝(230－139.9)2×0.2＋(163－139.9)2×0.3＋(90－139.9)2×0.5＝3 028.69， 标准差D (X )＝ 3 028.69≈55. 所以方差和标准差各是3 028.69,55.8．有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位 月工资X 1/元 1 200 1 400 1 600 1 800获得相应职位的概率P 10.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，可得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位．。
人教版高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差
导入新课复习回顾1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 . 两种特殊分布的均值（1）若随机变量X 服从两点分布，则EX=p.（2）若X~B(n ，p) ，则EX=np.ni ii=1EX =x p数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.2.3.2离散型随机变量的方差教学目标知识与技能（1）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.过程与方法了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ~Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 .情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重难点重点离散型随机变量的方差、标准差.难点比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 .思考要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X1 5 6 7 8 9 10P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X2 5 6 7 8 9P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算E(X1)=8，E(X2)=8，发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.思考除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？图(1)(2)分别表示X 1和X 2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1X 0.10.20.30.40.5O 5 6 7 9 8 P 2X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (1) (2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性?1.方差设离散型随机变量X 的分布列为知识要点X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E(X))2描述了x i (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX 为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X 的标准差(standard deviation). 记为 n2i ii=1DX =(x -EX)p DX σX 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得∑102DX=(i-8)P(X=i)=1.50,11i=5∑92DX=(i-8)P(X=i)=0.8222i=5因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.知识要点2.几点重要性质（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：0 1 2 3次品数ξ1概率P 0.7 0.2 0.06 0.040 1 2 3次品数ξ1概率P 0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好？解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1< Dξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.例题2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：/元1200 1400 1600 1800 甲单位不同职位月工资X10.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X/元1000 1400 1800 220020.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得1EX =12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400⨯⨯⨯⨯2221DX = (1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2⨯⨯⨯2+(1800-1400) 0. 1= 40 000⨯2EX =1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400⨯⨯⨯⨯2222DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2⨯⨯⨯2+ (2200-1400 )0.l = 160000 .⨯分析：因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.1212EX =EX ,DX <DX例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.（1）求随机变量的概率分布；（2）求X的数学期望和方差.4411689P(X =4)==,P(X =3)=0,P(X =2)=,P(X =1)=,P(X =0)=A 242424249861E(X)=0+1+2+30+4=124242424⨯⨯⨯⨯⨯222229861V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=124242424⨯⨯⨯⨯⨯解：（1）因此X 的分布列为（2） X 0 1 23 4 P 9/24 8/24 6/24 0 1/24例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 246810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30=⨯⨯⨯⨯⨯⨯3636363636369因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.1.熟记方差计算公式课堂小结n 2i i i=1DX =(x -EX)p 2=E(X-EX)22=EX -(EX)2. 三个重要的方差公式（1）若 X 服从两点分布，则 （2）若 ，则 X ~B(n,p)DX =np(1-p)DX =p(1-p)2(3)D(aX +b)=a DX3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX；④根据方差、标准差的定义求出、σXDX高考链接1. （2005年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.[答案]4760提示：分布列为ξ0.6 -2.5P 192/200 8/192故1928Eξ=0.6-2.5=4760()200200元⨯⨯2.（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．[答案]甲种3.（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）[解析]①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；继续④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1.填空课堂练习（1）已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____. 50 25 59910010（1）已知随机变量x 的分布列如上表,则E x 与D x 的值为( )A. 0.6和0.7B. 1.7和0.3C. 0.3和0.7D. 1.7和0.21（2）已知x~B(n ，p)，E x =8，D x =1.6，则n ， p 的值分别是（ ）A ．100和0.08；B ．20和0.4；C ．10和0.2；D ．10和0.8 2.选择 √ x1 2 P 0.3 0.7√3.解答题（1）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）= ②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）= 43129=449119123=⨯③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P （ξ=2）= ④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P （ξ=3）= 所以，Eξ= 3299=121110220⨯⨯32191=1211109220⨯⨯⨯399130+1+2+3=44422022010⨯⨯⨯⨯继续（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.习题解答1. E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2. D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.4+(3- 2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.2.D(X) 1.095.2. E(X)=c×1=c，D(X)=(c-c)2×1=0.3. 略.。
高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案 新人教B版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差一、教学目标：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
二、课前预习：1 方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么=2S _____________________________________叫做这组数据的方差 2 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,_______________________________________称为离散型随机变量X 的方差，式中的__________是随机变量X 的期望． 3 标准差:)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的___________. 4 假设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，那么___________________________。
三、例题分析例1 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：例2 某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：k k kC k X P -==449.01.0)((4,3,2,1,0=k )，求E(X)和 D(X).例3离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为X服从的分布列为,且0<p<1,q=1-p,求D(X).四、课堂练习1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ2 设离散型随机变量X的分布列为,求D(X).3从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望与方差。
4五、课堂小结。
人教B版高中数学高二选修2-3学案 2.3.2 离散型随机变量的方差
2.3.2离散型随机变量的方差1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.(重点)3.掌握方差的性质以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.(难点)教材整理1离散型随机变量的方差的概念阅读教材P62例1以上部分，完成下列问题.离散型随机变量的方差与标准差名称定义意义方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，x n，这些值对应的概率是p1，p2，…，p n，则D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x n－E(X))2p n，叫做这个离散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度).标准差D(X)的算术平方根D(X)叫做离散型随机变量X的标准差.1.下列说法正确的有________(填序号).①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平.【解析】①错误.因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平.②错误.因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度.③错误.因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平.④正确.由方差的意义可知. 【答案】 ④2.已知随机变量X ，D (X )＝19，则ξ的标准差为________.【解析】 X 的标准差D (X )＝19＝13. 【答案】 13教材整理2 二点分布、二项分布的方差 阅读教材P 63例2以下部分，完成下列问题. 服从二点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从二点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).若随机变量X 服从二点分布，且成功概率P ＝0.5，则D (X )＝________，E (X )＝________.【导学号：62980055】【解析】 E (X )＝0.5，D (X )＝0.5(1－0.5)＝0.25. 【答案】 0.25 0.5预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：离散型随机变量的方差的性质及应用设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X 和Y 分别表示取出次品和正品的个数.(1)求X 的分布列、期望及方差； (2)求Y 的分布列、期望及方差.【精彩点拨】 (1)可先求出X 分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y 分布列及其期望、方差、公式求解，也可由期望、方差性质求解.【自主解答】 (1)X 的可能取值为0,1,2.若X ＝0，表示没有取出次品，其概率为P (X ＝0)＝C 310C 312＝611，同理，有P (X ＝1)＝C 12C 210C 312＝922， P (X ＝2)＝C 22C 110C 312＝122.∴X 的分布列为∴E (X )＝0×611＋1×922＋2×122＝12，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－122×611＋⎝⎛⎭⎫1－122×922＋⎝⎛⎭⎫2－122×122＝322＋988＋988＝1544. (2)Y 的可能取值为1,2,3，显然X ＋Y ＝3. 法一：P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝122， P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝922，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝611，∴Y 的分布列为E (Y )＝1×122＋2×922＋3×611＝52，D (Y )＝⎝⎛⎭⎫1－522×122＋⎝⎛⎭⎫2－522×922＋⎝⎛⎭⎫3－522×611＝1544. 法二：E (Y )＝E (3－X )＝3－E (X )＝52，D (Y )＝D (3－X )＝(－1)2D (X )＝1544.1.由本例可知，利用公式D (aX ＋b )＝a 2D (X )及E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 来求E (Y )及D (Y )，既避免了求随机变量Y ＝aX ＋b 的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.2.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )，若X 服从二点分布，则D (X )＝p (1－p )，其中p 为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程.1.为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，已知E (X )＝3，D (X )＝32，求n ，p 的值.【解】 由题意知，X 服从二项分布B (n ，p )， 由E (X )＝np ＝3，D (X )＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，∴p ＝12，n ＝6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ).【精彩点拨】 首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E (ξ)和D (ξ)的值. 【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了. 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以，ξ的分布列为ξ 0 1 3 P131216E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1.已知分布列型(非二点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下， (1)求均值；(2)求方差.2.已知分布列是二点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下， (1)若X 服从二点分布，则D (X )＝p (1－p ). (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).3.未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况.4.对于已知D (X )求D (aX ＋b )型，利用方差的性质求解，即利用D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解.2.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ).【解】 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为ξ 6 9 12 P715715115∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.期望、方差的综合应用探究1 A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A 机床次品数X 10 1 2 3 P0.70.2 0.060.04次品数X 20 1 2 3 P0.80.060.040.10试求E (X 1)，E (X 2【提示】 E (X 1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44. E (X 2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2 在探究1中，由E (X 1)和E (X 2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？ 【提示】 不能.因为E (X 1)＝E (X 2).探究3 在探究1中，试想利用什么指标可以比较A 、B 两台机床加工质量？ 【提示】 利用样本的方差.方差越小，加工的质量越稳定.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a ，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.【精彩点拨】 (1)由分布列的性质先求出a 和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列.(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值.【自主解答】 (1)由题意得：0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1，解得a ＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P 0.50.30.10.1η10987P 0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.2.在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.3.下结论.依据方差的几何意义做出结论.3.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X 0123P 0.30.30.20.2乙保护区：Y 012P 0.10.50.4【解】 甲保护区的违规次数X 的数学期望和方差分别为： E (X )＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D (X )＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y 的数学期望和方差分别为：E (Y )＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，D (X )>D (Y )，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.1.设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A.mB.2m (1－m )C.m (m －1)D.m (1－m )【解析】 随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P1－mm∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m ). 【答案】 D2.已知X 的分布列为X －1 0 1 P0.50.30.2则D (X )等于( ) A.0.7 B.0.61 C.－0.3D.0 【解析】 E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3， D (X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61. 【答案】 B3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好.【导学号：62980056】【解析】 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定. 【答案】 乙4.一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________.【解析】 由题意知X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝89. 【答案】 895.已知离散型随机变量X 的分布列如下表：X －1 0 1 2 Pabc112若E (X )＝0，D (X )＝1【解】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，(－1)×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，解得a ＝512，b ＝c ＝14.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D (X 甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( )A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较 【解析】 ∵D (X 甲)>D (X 乙)， ∴乙种水稻比甲种水稻整齐. 【答案】 B2.设二项分布B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A.n ＝4，p ＝0.6B.n ＝6，p ＝0.4C.n ＝8，p ＝0.3D.n ＝24，p ＝0.1【解析】 由题意得，np ＝2.4，np (1－p )＝1.44， ∴1－p ＝0.6，∴p ＝0.4，n ＝6. 【答案】 B3.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )【导学号：62980057】A.6B.9C.3D.4【解析】 E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.【答案】 A4.同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)＝( ) A.158 B.154 C.52D.5【解析】 两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，14， 因此D (ξ)＝10×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝158.故选A. 【答案】 A 5.已知X 的分布列为则①E (X )＝－13，②D (X )＝2327，③P (X ＝0)＝13，其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】 E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，故②不正确；③P (X ＝0)＝13显然正确.【答案】 C 二、填空题6.(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【解析】 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.【答案】 257.(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.【解析】 由独立重复试验的方差公式可以得到 D (ξ)＝np (1－p )≤n ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 22＝n 4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max ＝100×12×12＝25，D (ξ)max ＝25＝5.【答案】 1258.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________.【解析】 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6， E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42× D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【答案】 60,96 三、解答题9.海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列如下：. 【解】 ∵E (X 1)＝0，E (X 2)＝0，∴E (X 1)＝E (X 2).∵D (X 1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D (X 2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. ∴D (X 1)<D (X 2).由上可知，A 面大钟的质量较好.10.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号.(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值. 【解】 (1)X 的分布列为：∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2.又∵E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求.1.若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C.3D.113【解析】 ∵E (X )＝23x 1＋13x 2＝43.∴x 2＝4－2x 1，D (X )＝⎝⎛⎭⎫43－x 12×23＋⎝⎛⎭⎫43－x 22×13＝29. ∵x 1＜x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.【答案】 C2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k ·⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( )A.8B.12C.29D.16【解析】 由题意可知ξ～B ⎝⎛⎭⎫n ，23， ∴23n ＝E (ξ)＝24，∴n ＝36. 又D (ξ)＝n ×23×⎝⎛⎭⎫1－23＝29×36＝8. 【答案】 A3.变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值是________.【解析】 由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c ， 又a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23.又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12，故分布列为∴D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫－1－132×16＋⎝⎛⎭⎫0－132×13＋⎝⎛⎭⎫1－132×12＝59. 【答案】 594.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2-3-3所示.图2-3-3将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个.”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为X 0123P 0.0640.2880.4320.216因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。
[推荐学习]高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差教案 理 新人教B版选修2-3
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[k12]最新K122.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】 应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题 【教学难点】 对离散型随机变量的方差、标准差的理解 一、 课前预习 1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差.离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________ 2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________. 3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D二、 课上学习[k12]最新K12例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲： 射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为 另一随机变量32-=X Y ，求).(),(Y D X D三、 课后练习1.如果随机变量X服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为： 甲保护区： 乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.。
高中数学人教B版选修2-3第二篇精要离散型随机变量的方差课件
【学习要求】
填一填 研一研 练一练
1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
本 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
课 时
3．掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的方差的求法，
栏 目
会利用公式求它们的方差．
开 关
【学法指导】
1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会
6
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3 随机变量的方差与样本的方差有何不同？
答 样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随
机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随
机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常量而
本
课 非变量．
时 栏
问题 4 方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？
参加正式比赛？
高中数学人教B版选修2-3第二篇精要离散型随机变量的方 差
4
研一研·问题探究、课堂更高效
答 x 甲＝ x 乙＝7，利用样本的方差公式
填一填
本
s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]，求得：
课
研一研
时
s2甲＝2.2，s2乙＝1.2.
栏
目
∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛.
DX≈1.71.
高中数学人教B版选修2-3第二篇精要离散型随机变量的方 差
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研一研·问题探究、课堂更高效
填一填 研一研 练一练
小结 充分应用离散型随机变量的均值和方差的定义及性质
本
课 时 栏
高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差教案 理 新人教B版选修2 3 教案
2.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】 应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题【教学难点】 对离散型随机变量的方差、标准差的理解一、 课前预习1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差. 离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________.3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D 二、 课上学习例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲： 射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为另一随机变量32-=X Y，求).(),(Y D X D 三、 课后练习1.如果随机变量X 服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为：甲保护区： 乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.。
高三数学选修2-3(B版)_《离散型随机变量的方差》教学课件2
X 1 2 …n
P
1 n
1
1
n …n
E(X)＝
1 n
(1+2+...+n)＝
n1 2
V(X)＝
1 n (k n 1)2 1 n [(n 1)2 4k(n 1) 4k 2 ] n2 1
n k 1
2
4n k 1
12
n
n
n
V(X) ( xi )2 pi ( xi 2 pi 2xi pi 2 pi ) xi2 pi 2
离散型随机变量X的标准差：σ＝ V ( X )
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，
他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表 示， X1，X2的概率分布下：
X1 0 1 2 3 pk 0.6 0.2 0.1 0.1
X2 0 1 2 3 pk 0.5 0.3 0.2 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？
D 0 p2 1 p 1 p2 p p 1 p
p
1
2
p
2
1 4
二、离散型随机变量的方差与标准差
对于离散型随机变量X的概率分布如下表，
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
设μ＝E(X)，则(xi－μ)2描述了xi(i=1,2,...,n)相对于均 值μ的偏离程度，故
(x1－μ)2 p1＋ (x2－μ)2 p2＋...＋ (xn－μ)2pn (其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1) 称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或σ2
则V(X)＝
nM
(N N
2(
M N
)( N 1)
人教版高中选修2-3数学2.3离散型随机变量的均值与方差教案(5)
2．3．1离散型随机变量的均值教学设计一,教材分析1、教材的地位和作用均值是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的特征数值,学习均值将为今后学习概率统计知识做铺垫。
同时,它在实际生活中很多领域有着广泛的应用,为今后进一步学习数学及相关学科产生深远的影响。
2、教学重点与难点重点:离散型随机变量均值的概念及其实际含义。
难点:离散型随机变量均值的性质及其实际应用。
二,教学目标1、知识与技能目标通过实例,让学生理解离散型随机变量均值的概念,了解其实际含义,掌握离散型随机变量均值的性质并会运用公式求解。
会计算简单的离散型随机变量的均值,并解决一些实际问题。
2、过程与方法目标经历概念的建构这一过程,让学生进一步体会从特殊到一般的思想,培养学生归纳,概括等合情推理能力。
通过实际应用,培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
3、情感与态度目标通过创设情境激发学生学习数学的情感,培养其严谨治学的态度。
在学生分析问题,解决问题的过程中培养其积极探索的精神,培养其创新意识,发挥其创造能力三、教法选择探究合作法四、教学用具多媒体辅助教学五、,教学过程教学环节问题设置或任务设计意图师生活动情境创设某班一组有10个人，他们在某次数学考试中的成绩依次为80，80，80，85，85，90，90，90，95，95。
请同学们计算他们的平均成绩。
从学生最熟悉的平均值入手，让学生更容易体会均值的意义与产生的价值1、学生计算平均成绩；2、教师把计算式写出来1095959090908585808080+++++++++=95102901038510280103⨯+⨯+⨯+⨯探究新知问题1、102,103分别是什么意思？问题2、在样本中它们叫做频率，在总体中它们叫什么呢？引导学生将平均值的概念往均值过渡，让学生体会到均值实际上是变量在概率意义下的平均值。
学生回答问题1，叫做频率学生回答问题2，叫做概率。
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一、教学目标：
1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，
则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳
四、内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x
得差的平方分别是21)(x x -，2
2)(x x -，…，2)(x x n -，那么[1
2n
S =
21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差
五、教学过程： 探析新课：
1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,
ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．
3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2
)(=+；（2）2
2
)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则
=ξD np (1-p )
4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 （三）、例题探析：
例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 例2、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
例3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
例4．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A 机床
B 机床
问哪一台机床加工质量较好 （四）、课堂练习：
1、设ξ～B (n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p 2．设随机变量ξ的分布列为
求Dξ
机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。