初三上册数学直升班培优讲义学生版第10讲二次函数和方程、不等式综合(学生版)
走进重高培优讲义专题集训 初中综合教练 第10讲 二次函数
第10讲 二次函数例1 已知抛物线与x 轴交于,3().0,1(B A )0两点，与y 轴交于点C(0，3)，求抛物线的表达式.例2 如图，已知抛物线=y c bx x a ++2.与x 轴交于A ，B 两点，顶点C 的纵坐标为-9．现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线+=21x a y ,11c x b +则下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）．;0>b ① ;0<+-c b a ② ③阴影部分的面积为4； ④若,1-=c 则.42a b =例3 如图，抛物线23(0)与2y ax x c a x=++=/轴交于点A，B两点，其中点A的坐标为(-1，O)，与y轴交于点C(O，2)．(1)求抛物线的表达式及点B坐标．(2)点E是线段BC上的任意一点（点E与B，C不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G．①设点E的横坐标为m，用含有m的代数式表示线段EF的长，②线段EF长的最大值是________．例4 【乐山】已知关于x 的一元二次方程2mx ).0(5)51(=/--+m x m(1)求证：无论m 为任何非零实数，此方程总有两个2mx 实数根．(2)若抛物线05)51(2=--+=x m mx y 与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点，且,6||21=-x x 求m 的值．(3)若m>0，点P(a ，b)与点Q(a+n ，b)在(2)中的抛物线上（点P ，Q 不重合），求代数式n n a 8422+-的值．例5 某市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元／千克，y 关于x 的函数表达式为=y 76(120,为正整数),(2030,为正整数),mx m x x n x x ⎧-≤<⎨≤≤⎩且第12天的售价为32元／千克，第26天的售价为25元／千克，已知种植、销售蓝莓的成本是18元／千克，每天的利润是W 元（利润一销售收入一成本）．(1)m=___________，n=___________．(2)销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？例 【杭州】已知函数b ax y bx ax y +=+=221,).0(=/ab 在同一平面直角坐标系中：(1)若函数1y 的图象过点(-1，0)，函数2y 的图象过点(1，2)，求a ，b 的值．(2)若函数2y 的图象经过1y 的顶点．①求证：.02=+b a②当231<<x 时，比较21,y y 的大小．1．对于二次函数3)1(2+-=x y 的图象，下列说法中正确的是( )．A.开口向下 B ．对称轴是直线1-=x C ．顶点坐标是(1，3) D ．与x 轴有两个交点2．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内的说法中正确的是( )．A ．有最小值O ，有最大值3B ．有最小值-1，有最大值OC ．有最小值-1，有最大值3D ．有最小值-1，无最大值3．设),2(),,1(),,2(321y C y B y A -是抛物线+-=x y (m +2)1上的三点，则321,,y y y 的大小关系为( )．321y y y A >>⋅ 231.y y y B >> 123y y y C >>⋅ 312y y y D >>⋅4．【连云港】已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式+-=2t h .124+t下列说法中正确的是( )．A.点火后9s 和点火后13 s 的升空高度相同B.点火后24s 火箭落于地面C.点火后10 s 的升空高度为139m D ．火箭升空的最大高度为145 m5．【泸州】已知二次函数33222+++=a ax ax y （其中x 是自变量），当2≥x 时，y 随x 的增大而增大，且2- 1≤≤x 时，y 的最大值为9，则a 的值为( )．.1或2A - .B -2.C 1.D6．【义乌】如图，已知抛物线212x y -=,2+直线,222+=x y 当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为⋅21,y y 若,21y y =/取21,y y 中的较小值记为M;若,21y y =记⋅==21y y M 例如：当x .1=时，,,4,02121y y y y <== 此时.0=M 下列判断：①当x>0时，;21y y >②当0<x 时，x 的值越大，M 的值越小；③使得M>2的x 值不存在；④使得M=1的x 值是21-或⋅22其中正确的是( )． ①②.A ①④.B ②③.C ③④.D7．已知函数,122++=x x y 当0=y 时，=x ______当21<<x 时，y 随x 的增大而_____（填“增大”或“减小”）．8．如图，已知OP 的半径为2，圆心P 在抛物线221x y =1-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_____.（第8题） （第9题）9．若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解,31=x另一个解=2x __________.10.【金华】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，,10m BC AB =+拴住小狗的10m 长的绳子一端固定在点B 处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为).(2m s(1)如图1，若,4m BC =则=s __________.2m (2)如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一正三角形CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，边BC 的长为______m ．11．如图，A （-1，O ），B(2，-3)两点在一次函数x y -=1m +与二次函数322-+=bx ax y 的图象上．(1)求m 的值和二次函数的表达式．(2)请直接写出当21y y >时，自变量x 的取值范围．12.X 市与W 市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中，在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m 与该列火车每次拖挂车厢节数n 的部分数据如下表：(1)请你根据上表数据，在三个函数模型：+=kx y ①b k b ,(为常数，xk y k =>=/②;0（k 为常数，0）;k =/c b a c bx ax y ,,(2++=③为常数，0=/a )中，选取一个合适的函数模型，求出的m 关于n 的函数表达式为m=________（不用写出 n 的范围）．(2)结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q 最多（每节车厢载客量设定为常数p)．13.【南京】已知函数2（1)(y x m x m m =-+-+为常数）． (1)该函数的图象与x 轴公共点的个数是． 0.A 1.B 2.C .1或2D(2)求证：不论m 为何值，该函数图象的顶点都在函数2)1(+=x y 的图象上．(3)当32≤≤-m 时，求该函数图象的顶点纵坐标的取值范围.14．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（4,-0)和(2,0）,BC =设直线AC 与直线4=x 交于点E(1)求以直线4=x 为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数表达式，并说明此抛物线一定过点E(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C ，N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．1．【上海】下列对二次函数x x y -=2的图象的描述，正确的是( )．A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的2．【广西】将抛物线216212+-=x x y 向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为( )． 5)8(21.2+-=x y A 5)4(212+-=⋅x y B 3)8(212+-=⋅x y C 3)4(212+-=⋅x y D3．【潍坊】已知二次函数2)(h x y --=（h 为常数），当自变量x 的值满足52≤≤x 时，与其对应的函数值y 的 最大值为-1，则h 的值为( )．A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或64．【杭州】四位同学在研究函数2（,y x bx c b c =++是常数）时，甲发现当x-l 时，函数有最小值；乙发现-1是方程02=++c bx x 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2=x 时，.4=y 已知这四位同学中只 有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．【枣庄】如图是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，且过点A(3，O)，二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论中正确的是( )．ac b A 4.2< 0.>ac B 02.=-b a C 0.=+-c b a D（第5题） （第6题） 6．【贵阳】已知二次函数62++-=x x y 及一次函数=y ,m x +-将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图），当直线m x y +-=与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )．3425.<<-m A 2425.<<-m B 32.<<-m C 26.-<<-m D 7．【武汉】飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数表达式为.23602t t y -=在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是________m.8．【绵阳】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，若水面宽4m ，则水面下降2m ，水面宽度增加_______m.（第8题） （第9题）9．【湖州】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线=y )0(2>+a bx ax 的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线)0(2>=a ax y 交于点B ．若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是_________.10.【乐山】对于函数,m n x x y +=我们定义+=-1n nx y 1-m mx (m ，n 为常数)．例如：.24,324x x LJy x x y +=+= 已知：.)1(31223x m x m x y +-+= (1)若方程0=y 有两个相等实数根，则m 的值为_________.(2)若方程41-=m y 有两个正数根，则m 的取值范围是_________.11.【德阳】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--=)4(2)6(),4(2)2(22x x x x y 使a y =成立的x 的值恰好只有3个时，a 的值为________12．【宁波】已知抛物线c bx x y ++-=221经过点,1().23,0(),0 (1)求该抛物线的函数表达式．(2)将抛物线c bx x y ++-=221平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．13.【衢州】某游乐园有一个直径为16 m 的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3m 处达到最高，高度为5m ，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式．(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 32m ，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．14.【江西】已知抛物线).0(54:21>--=a ax ax y C(1)当1=a 时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴．(2)①试说明无论a 为何值，抛物线i C 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．②将抛物线]C 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线,2C 直接写出2C 的表达式．(3)若(2)中抛物线2C 的顶点到T 轴的距离为2，求a 的值．15.【杭州】设二次函数b a b a bx ax y ,)((2+-+=是常数，).0=/a(1)判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，并说明理由．(2)若该二次函数图象经过A （-1，4），B （O ，-1），C(l ，1)三个点中的两个点，求该二次函数的表达式．(3)若,0<+b a 点)0)(,2(>m m P 在该二次函数图象上，求证：.0>a1．若二次函数222+-=x x y 在自变量x 满足≤≤x m 1+m 时的最小值为6，则m 的值为( )．51,5,5.+-A 或21- .1B -+ 1.C .1D --2．【温州】小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出 水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12 cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2．现用高10.2 cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为_______cm.3．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x>，即：当n 为非负整数时，如果,2121+<≤-n x n 则.n x >=< 如：,22,1493.164.0,0)48.0()0(>=<>=>=<<==.412.45.3>=>=<<试解决下列问题： >=<π①)1(__________（π为圆周率）．②如果,312>=-<x 则实数x 的取值范围是_________.①)2(当m x ,0≥为非负整数时，求证：+=+m m x )(.x <>②举例说明x y x y <+>=<>+<>不恒成立．(3)求满足43x x <>=的所有非负实数x 的值． (4)设n 为常数，且为正整数，函数412+-=x x y 的自变量x 在1+<≤n x n 范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为a ；满足n k >=<的所有整数k 的个数记为b ，求证：.2n b a ==4．【全国初中数学联合竞赛】已知抛物线+-=261x y c bx +的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于),0,(1x A ))(0,(212x x x B <两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线，设),23,0(-M 若//AM ,BC 求抛物线的表达式．5．【全国初中数学竞赛】如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A ，B 两点关于x 轴对称，过点A 作任意直线交抛物线 232x y =于P ，Q 两点．(1)求证：.ABQ ABP ∠=∠(2)若点A 的坐标为(0，1)，且,60 =∠PBQ 试求所有满足条件的直线PQ 的函数表达式．答案。
九年级上册数学培优体系讲义
第二十一章 一元二次方程1．一元二次方程预习归纳1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程．2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ．例题讲解【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数．基础训练1．下列方程是一元二次方程的是( )A ．2110x x =＋＋ B ．2110x x=＋＋ C ．210xy －＝ D ．220x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( )A ．2450x x =－＋B ．2450x x =＋＋C ．2450x x =－－D ．2450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( )A ．3、7、4B ．3、7、﹣4C ．3、﹣7、4D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－25．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ．6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ．7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值．9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．中档题训练：10．将一元二次方程2514x x =－化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( ) A ．5、－4 B ．5、4 C ．5x 2、4x D ．5x 2、－4x 11．若0是一元二次方程22610x x m ＋＋－＝的一个根，则m 的取值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不是 12．已知关于x 的方程20x bx a =＋＋有一个根是－a (a ≠0)，则a －b 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 13．若()1160m m xmx -＋＋＋2＝是关于x 的一元二次方程，则m ＝ ．14．已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，求代数式4m 2－4m －2的值．15． 在一次同学聚会时，同学见面后每两人握一次手，共握手28次，求有多少同学参加了这次聚会？学习以下解答过程，并完成填空．解：设参加聚会的同学有x 人，每人共握手 次，握手的总次数用含x 的式子表示为 ． 根据题意，可列出方程 ． 整理，得 ． 化为一般式，得 ．二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ．综合训练题16．已知关于x 的方程(t 2—9)x 2＋(t 十3)x －5＝0．(1)当t 为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．(2)当t 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．2．配方法——解一元二次方程(一)——直接开平方预习归纳1．若x 2＝p (p ≥0)，则x 1＝ ，x 2＝ ．例题讲解【例】用直接开方法解方程．⑴9x 2＝25 ⑵2x 2－98＝0基础题训练1．16的平方根是( )A ．4B ．－4C ．±4D ．±8 2．方程x 2＝9的解是( )A ．x 1＝x 2＝3B ．x 1＝x 2＝－3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x ＝33．方程x 2＝3的解是( )A ．12x x =＝B ．12x x =＝C ．1x 2x =D ．x ＝3 4．方程()210x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－2 5．方程()219x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－4C ．x 1＝4，x 2＝－2D ．x ＝3 6．(2014济宁)若一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋l 与2m －4，则b a＝ ． 7．用直接开方法解方程．⑴3(x －2)2＝0 ⑵3(x －1)2＝278．如果12x =是关于x 的方程22320x ax a -=＋的根，求关于y 的方程23y a -=的解．中档题训练：9．(2013鞍山)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝6的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．有两个实数根10．(2013丽水)一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )．A ．x ＋6＝－4B ．x －6＝4C ．x ＋6＝4D ．x ＋6＝－4 11．一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )A ．()2+1100x = B ．()21100x =﹣ C ．()2+2100x = D ．()22100x -= 12．方程3x 2＝2的根是___________． 13．解下列方程：⑴()22510x +-= ⑵()()11x x -＋1＝⑶()2531250x --= ⑷24415x x -＋＝综合题训练：14．已知x 、y 、z 满足2246130x x y y -=＋＋，求关于ｍ的方程2104m x y z -+-=的根．3．配方法——解一元二次方程(二)预习归纳1．通过配成 解一元二次方程的方法，叫配方法．例题讲解【例】用配方法解方程：⑴ x 2＋2x －3＝0 ⑵ x 2－2x －8＝0基础题训练1．填空： (1) x 2－20x ＋ ＝ (x － )2 (2) x 2＋ x ＋81＝ (x ＋ ) 2 (3) x 2＋5x ＋ ＝ (x ＋ ) 22．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝1，配方后得到的方程是( )A ．(x －2)2＝1B ．(x －2)2＝4C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝3 3．(2013兰州)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得到的方程为( ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝2 4．(2014宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( )A ．x1＝x 2＝1 B ．x 1＝1+，x 2＝1-C ．x1＝1+x 2＝1D ．x 1＝1-x 2＝1--5．用配方法解方程242203x x --＝变形正确的是( ) A ．21839x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ B ．2203x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ C ．211039x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝ D ．211039x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ 6．填空：(1) x 2－4x ＋ ＝ (x － )2 (2) x 2＋6x ＋ ＝ (x ＋ )2 (3) x 2－43x ＋ ＝ (x － ) 2 (4) x 2－3ax ＋ ＝ (x － ) 2 7．用配方法解下列方程：⑴2ｍ2－6ｍ＋3＝0 ⑵6x 2－x －12＝0中档题训练：8．已知方程260x x q -=＋可以配方成()27x p -＝的形式，那么262x x q -=＋可以配方成下列的( ) A ．()25x p -= B ．()29x p -＝ C ．()229x p -＋＝D ．()225x p -＋＝9．关于x 的一元二次方程()211420m m xx =＋＋＋＋的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝x 2＝1C ． x 1＝x 2＝－1D ．无解 10．添上适当的数，使下列等式成立：⑴22x x ＋＋_____ ＝2(x ＋ )2 ⑵2323x x -＋2＝(x ＋____)2 －11．如果(x －y )2－2(x －y )＋1＝0，那么x 与y 的关系是 ． 12．用配方法解下列方程：⑴x 2－2x ＝5； ⑵2244y y -=13．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，求y x 的值．综合题训练：14．试证明：不论x ，y 为何值，221x y x y -＋＋＋的值都为正数．专题 配方法的应用一、配方法解方程⑴x 2－3x －2＝0 ⑵3x 2－6x －1＝0二、已知a 2、b 2配方求2ab ．2．若代数式9x 2＋kx y ＋y 2是完全平方式，则k 的值为( ) A ．6 B ．±6 C ．±12 D ．12三、已知a 2、2ab 配方求b 23．若代数式x 2－5x ＋k 是完全平方式，则k ＝ ．四、配方法求最值4．求多项式x 2＋3x －1的最小值．5．求多项式－2x 2＋5x ＋3的最大值．五、配方法比较大小6．求证：不论x 为何值，多项式2x 2－4x －1的值总比x 2－6x －6的值大．六、配方法与非负数7．m 2＋n 2＋4m －2n ＋5＝0，求3m 2＋5n 2－4的值．8244410y x x -+++=．求x －ｙ＋ｚ的值．4．公式法——解一元二次方程(一)——根的判别式预习归纳1．式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，常用希腊字母“△”来表示．2．一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0，当____时，它有两个不等的实数根，当时，它有两个相等的实数根，当时，它无实数根．例题讲解【例】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．(1) 3x2－2x－1＝0; (2) 2x2－x＋1＝0．基础题训练1．(2013成都)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是( )．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．方程x2＋16＝8x的根的情况为( )．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根．C．有一个实数根D．没有实数根．3．(2014益阳)一元二次方程x2－2x＋ｍ＝0总有实数根，则ｍ应满足的条件是( )．A．ｍ＞1B．ｍ＝1C．ｍ＜1D．ｍ≤14．(2014宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当ｂ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( )．A．ｂ＝－1B．ｂ＝2C．ｂ＝－2D．ｂ＝05．已知关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k＝．6．(2014广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数ｍ的取值范围为( )．A．m＞94B．m＜94C．m＝94D．m＜－947．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．(1) 4x－x2＝x2＋2⑵3x－1＝2x28．当m为何值时，方程2x2－(4m＋1) x＋2m2－1＝0⑴有两个不相等的实数根？⑵有两个相等的实数根？⑶没有实数根？中档题训练：9．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b＝0有两个相等的实数根，则b的值是．10．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜－2 11．一元二次方程ax2＋b x＋c＝0中a、c异号，则方程根的情况是( )A．有两个不相等实数根B．两个相等实数根C．没有实数根D．无法确定12．(2013潍坊)已知关于x的方程k x2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( )．A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解13．若关于x的一元二次方程mx2－(2m－2) x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是．14．已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．15．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．综合题训练：16．已知关于x的一元二次方程(a＋c) x2－2bx－a＋c＝0有两个相等的实数根，试求以a、b、c为边能否构成三角形？若能，请判断三角形的形状．专题 一元二次方程根的判别式一、已知常数系数直接判断方程根的情况1．不解方程直接判别下列方程根的情况．(1)2104x -= (2)3x 2－6x ＋3＝0 (3) x (2x －4)＝－5－8x 二、含字母系数时将△配方成a 2，－a 2，a 2＋正数，－a 2－正数，来判断方程根的情况2．判别下列关于x 的一元二次方程的根的情况．(1)22125104x mx m -++= (2) x 2－4mx ＋4m 2＝ 0 (3) 211022x mx m -+-= (4) 21402x mx m -+-=三、“结合a ≠0”确定字母的取值范围3．关于x 的一元二次方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足( ． A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠54．当m 为何值时，关于x 的一元二次方程(ｍ2－1)x 2＋2(ｍ－1)x ＋1＝0，有两个不相等的实数根．四、判别式与隐含条件相结合5．已知关于x 的一元二次方程(1－k )x 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是( )．A ．2B ．1C ．0D ．－16．已知关于x 的一元二次方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值．7．(2013西宁)函数y=kx+b 的图象如图所示，试判断关于x 的方程x 2＋x ＋k －1＝0根的情况．5．公式法——解一元二次方程(二)预习归纳1．当△≥0时，一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式是 ．例题讲解【例】用公式法解方程：(1)2520x x -+=； (2)261x x =+基础题训练1．方程2230x x --=中，a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ． 2．方程2515x x +=中的△＝24b ac -＝ ． 3．(2013．广西)一元二次方程2230x x --=的解是( ) A ．121,3x x =-= B ．121,3x x ==- C ．121,3x x =-=- D ．121,3x x == 4．方程210x x +-=的两根是( )A ．1±BC ．1-± D5．方程232x x +=的正根是( )A B C D 6．用公式法解方程：(1)2230x x -=； (2)23650x x +-=(3)20.20.10.4x x -=； (4222x -=；(5)24352x x x --=-； (6)3(3)2(1)(1)x x x x -=-+；中档题训练7．(2014．荆门)已知a 是一元二次方程210x x --=较大的根，则下面对a 的估计正确的是( ) A ．0＜a ＜1 B ．1＜a ＜1．5 C ．1．5＜a ＜2 D ．2＜a ＜38．用适当方法解下列方程：(1)2(31)90x +-= (2)2410x x +-=(3)2324x x -= (4)2(2)12y y +=+9．已知一元二次方程2310x x m -+-=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； (2)若方程有两个相等的实数根，求此方程的根．综合题训练10．(2013．北京)已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．6．因式分解法——解一元二次方程预习归纳1．用因式分解法要先将方程一边化为 ，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．例题讲解【例】用因式分解法解下列方程：(1)20x x += (2)2940x -=基础题训练1．多项式25x x -因式分解结果为 ．2．多项式2(3)5(3)x x x ---因式分解结果为 ． 3．(2014．舟山)方程230x x -=的根为 ．4．经计算整式x ＋1与x －4的积为234x x --，则2340x x --=的所有根为( )． A ．121,4x x =-=- B ．121,4x x =-= C ．121,4x x == D ．121,4x x ==- 5．(2013．河南)方程(2)(3)0x x -+=的解是( )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．122,3x x ==-D ．122,3x x =-= 6．(2013．宁夏)一元二次方程(2)2x x x -=-的根是( )A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2 7．方程2520x x -=的根是( )A ．1225x x == B ．1225x x ==- C ．1220,5x x == D ．1220,5x x ==- 8．用因式分解法解下列方程：(1)2(1)2(1)0x x ---= (2)2(31)40x --=(3)5(3)(3)(1)x x x x -=-+ (4)22(4)(52)0x x ---=中档题训练9． 若关于x 的一元二次方程的两根为121,2x x ==-，则这个方程可以是 ．(任写一个即可)10．a ，b ，c 为△ABC 的三边，且a ，b ，c 满足()()0a b b c --=,则△ABC 的形状是 角形．11．三角形一边长为10，另两边长是方程(6)8(6)0x x x ---=的两实数根，则这是一个 三角形．12．选择适当的方法解下列方程：(1)225x x -= (2)(2)(3)6x x -+=-(3)210x --= (4)3(21)42x x x +=+13．已知关于x 的一元二次方程240x x m ++=． (1)当m ＝1时，请用配方法求方程的根； (2)若方程没有实数根，求m 的取值范围．综合训练14．已知关于x 的一元二次方程210ax bx ++=中，1b m =+． (1)若a ＝4，求b 的值；(2)若方程210ax bx ++=有两个相等的实数根，求方程的根．专题 一元二次方程的解法一、一元二次方程和方程解的概念1．若方程||(2)310m m xmx ++-=是关于x 的一元二次方程，则m ＝ ．2．已知x ＝1是一元二次方程210x mx -+=的一个解，则m 的值是( ) A ．2 B ． 0 C ．0或2 D ．－2二、用公式法解方程3．解方程：(1)210x x +-= (2)2310x x +-=三、用配方法解方程4．解方程：(1)(2)1x x += (2)25(3)125x -=四、用因式分解法解方程5．解方程：(1)(2)x x x -= (2)269x x -=-五、选择你喜欢的方法解方程6．解方程：(1)23(2)0x x +-= (2)(21)(3)4x x -+=(3)3(1)2(1)x x x -=- (4)22(21)(3)x x -=-专题 利用几何构建一元二次方程【方法归纳】：通过几何条件构建一元二次方程．一、利用面积构建一元二次方程1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm /s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm /s 的速度移动，在B 点停止．(1)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm ∆=(2)如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC S cm ∆= (3)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒后PQ ＝BQ ？二、利用勾股定理构建一元二次方程2．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，CD ＝2，AB ＝3，AD ＝7，点P 为线段AD 上一点，CP ⊥BP ，求DP 的长．PABCD3．如图，直角梯形AECD 中，AE ∥CD ，∠E ＝90°，AE ＝CE ＝12，M 为EC 上一点，若∠MAD ＝45°，DM ＝10，求EM 的长．7．一元二次方程的根与系数的关系预习归纳1．一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 满足12x x +＝ ，12x x = ．例题讲解【例】若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，求1211x x +的值．基础题训练1．若1x 、2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是( ) A ．1 B ．5 C ．－5 D ．62．(2014．昆明)已知1x 、2x 是一元二次方程2410x x -+=的两个根，则12x x ⋅等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4 3．已知方程23570x x --=的两根为1x 、2x ，则下列各式中正确的是( ) A ．125x x +=，127x x ⋅= B ．125x x +=-，127x x ⋅=- C ．1253x x +=，1273x x ⋅=- D ．1253x x +=-，1273x x ⋅=- 4．(2014．攀枝花)若方程210x x +-=的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) A ．1αβ+=- B ．1αβ=- C ．223αβ+= D ．111αβ+=-5．若0，－3是方程20x px q -+=的两个根，则αβ+＝ ．6．(2013．雅安)已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两根，则12x x +的值是 ． 7．(2014．黄冈)若α、β是一元二次方程2260x x +-=的两根，则22αβ+＝( )． A ．－8 B ．3 C ．16 D ．40 8．若1x 、2x 是一元二次方程22310x x --=的两个根，求下列代数式的值．(1)12x x +； (2)12x x ⋅； (3)12123322x x x x ⋅++ ；(4)2211222x x x x ++； (5)1211x x + ； (6)2212x x +．中档题训练9．当m ＝ 时，关于x 的方程222(4)0x m x --=的两根互为相反数．10．已知1x 、2x 是一元二次方程220x ax c +-=的两个实数根，则12122x x x x +-等于( ) A ．2a c +B ．2a c --C ．2a c -+D ．2a c - 11．一元二次方程2380x x m -+=的两根之比为3:1，则m 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．5 12．一元二次方程240x x c --=的一个根是2+，求另一个根及c 的值．13．若1x 、2x 是一元二次方程的22310x x -++=两个根，求下列代数式的值． (1)212()x x - (2)2112x x x x +(3)12(2)(2)x x -- (4)12||x x -综合题训练14．若关于x 的一元二次方程2(1)40x m x m ++++=的两实数根的平方和为2，求m 的值．专题 一元二次方程的根与系数关系一、直接求两根之和与两根之积1．根据一元二次方程根与系数关系，求下列方程两个根1x 、2x 的和与积． (1)2320x x ++= (2)2550x x +-=(3)256x x x +=+ (4)27583x x -=-二、不解方程求对称式的值2．设1x 、2x 是一元二次方程22510x x --=的两根，求下列代数式的值．(1)221221x x x x + (2)2212123x x x x +- (3)2112x xx x + (4)12||x x -三、已知方程的一根求另一根及未知系数3．已知x ＝1是方程220x bx +-=的一个根，求方程的另一个根及b 的值．4．(2013．玉林)已知关于x 的方程20x x n ++=有两个实数根－2，m ，求m ，n 的值．四、已知方程的两根求新方程5．已知一元二次方程的两根为2+2-，则该一元二次方程为 ．五、与判别式结合求字母系数的值6．已知关于x 的一元二次方程2210mx x -+=． (1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为1x 、2x ，且满足121212x x x x --=，求m 的值．7．已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123340x x x x --+=，求a 的值．六、与绝对值结合求字母系数的值8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k +-+=有两个实数根1x 、2x ． (1)求k 的取值范围；(2)若1212||1x x x x +=-，求k 的值．9．(2013．荆州)已知关于x 的方程2(31)2(1)0kx k x k --+-= (1)求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根1x 、2x ，且12||2x x -=，求k 的值．8．实际问题与一元二次方程（一）传播、循环、数字问题预习归纳1．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，假设每轮传染中，平均一个人传染了几个人？例题讲解 【例】：九⑴班每个同学都能与全班同学交换小礼物一件，共计全班交换小礼物2550件，求九⑴班有多少个同学？基础题训练1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长小分支的个数为x ，则依题意可列为 ．2.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个对参赛，则x 满足的关系式为（ ） A ．28)1(21=+x x B ．1(1)282x x -= C ．(1)28x x += D ．(1)28x x -= 3．两个连续奇偶数的积是323，那么这两个数是（ ）A ．17,19B ．－17,－19C ．17,19或－17,－19D ．17,－19 4.有一人患了流感，经过两轮传染后有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？5．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数为．中档题训练6．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为_______________________．7．要参加一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为_____________________．8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和是91，每个支干长出多少小分支？9．有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给几个人？综合题训练10．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．9．实际问题与一元二次方程（二）增长率与利润问题归预习纳1．某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x ，根据题意，可列方程________________． 例题讲解 【例】．2011年某新建小区一月份的新房均价为每平方米10000元，三月份此新房均价降为每平方米8100元，求二、三月份此新房均价的平均月下降率．基础题训练1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元。
人教版九年级上册数学同步培优第二十二章 二次函数 用二次函数的图象解一元二次方程(不等式)
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第2课时 用二次函数的图象解一元二
次方程(不等式)
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4B
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新知对点练
1．用图象法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解的常用方法： 方法一：画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象与x轴的 公共点的_横__坐__标__就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根； 方法二：先将ax2＋bx＋c＝0变形为x2＝__－__ba_x_－__ac____的形 式，再画出抛物线__y_＝__x_2 __和直线___y_＝__－__ba_x_－__ac____，两 图象交点的_横__坐__标__就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
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2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方 程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为( D ) A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝x2＝－1 C．x1＝x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
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3．【教材P46例题变式】【中考·兰州】下表是二次函数y＝x2 ＋3x－5的自变量x与函数值y的部分对应值： 那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( C ) A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 【点思路】观察表格0.04更接近0，得到所求方
程的近似根为1.2.
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4．【2020·毕节】已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所
示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x1<x2，－1<x1<0，则下列 说法正确的是( B )
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年级数学上册导学案：第二十二章二次函数(10)
第10课时 二次函数的应用（1） ◆学习目标1、学会把一些简单的实际生活中的二次函数问题抽象转化为数学问题，并能应用二次函数的相关性质解决问题，能进一步熟练掌握二次函数解析式的各种求法。
2、以学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，培养学生分析问题和解决问题的能力。
◆学习过程一、复习回顾1.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是一条 ，它的对称轴是 ,顶点坐标是 .当a>0时，抛物线开口向 ，当x= 时，函数有最 值是当 a<0时，抛物线开口向 ，当 x= 时，函数有最 值是___________2.当x= 时, y=3（x-5）2+6 有最__ _值= .3.当x= 时,y=-2x 2+8x-7有最_ _值为 .二、新课学习 1、问题：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化。
当L 是多少时，场地S 最大？分析：先写出S 与L 的函数关系式，再求出使S 最大的L 值。
矩形场地的周长是60m ，一边长为L ，则另一边长为 ,场地面积S= .化简得s=画出这个函数的图像.可以看出，这个函数的图像是一条_______的一部分。
这条抛物线的顶点是函数的图像的_______，也就是说，当L 取顶点的横坐标时，这个函数有_________. 因此，当=-=ab l 2 时，S 有最大值=-a b ac 442 . l sO 5 10 100 20015 20 25 30也就是说，当L是时，场地的面积S最大（S= m2）1、总结：当a>0时，抛物线开口向，当x= 时，函数有最值是当a<0时，抛物线开口向，当x= 时，函数有最值是___________三、典型例题1、例题、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t （单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？2、例题2、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m 的栅栏围住（如下图）．设绿化带的 C D边长为x m，绿化带的面积为y m 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？B A25 mDC小结：3、练习巩固：（1）二次函数y=2x2-8x+1的图象顶点坐标是（2，-7），x= 时，y的最值为（2）图为某二次函数y=ax2+bx+c(2≤x≤7)的完整图像，根据图像回答。
初三上册数学直升班培优讲义学生版补充讲义《与圆有关的角的计算》(学生版)
课程名称：与圆有关的角的计算学生姓名年级九年级校区上课时间月日任课教师学管师: :学科数学课次第次课课时教学主题与圆有关的角的计算圆是重要的平面图形，与圆有关的角（圆心角，圆周角，圆内接四边形的内角，与切线有关的夹角，扇形的圆心角等）是圆中最基础最重要的内容之一纵观近年来各地的中考数学试卷，与圆有关的角相关的考题都占有一定的比重，有的直接单一考查圆周角、圆心角的有关知识点，这类问题多以选择题和填空题的形式出现；有的则与其他知识点或生活实际相结合，成为综合解答类试题，以考查学生综合运用有关知识分析问题与解决问题的能力•其考点则主要聚焦在以下几个方面考点1求圆心角的度数例1如图1, 一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在圆上，边AB,AC分别与O O考点2 求圆周角的大小例2 （2017?重庆）如图3, BC是O O的直径，点A在圆上，连接AO,AC, AOB 64，则ACB交于点D, E，则DOE的度数为=(同步练习1（2017?兰州）如图2•在O O中，AB BC ,点D在O O上，CDB 25 ，则AOB)A.45°B.50C.55°D.60°考点4圆内接四边形的内角例4 （2017?南京）如图8,四边形ABCD 是菱形，O O 经过点A,C,D ，与BC 相交于点E ，连接AC,AE ，若 D 78，贝U EAC = _________________同步练习4 如图9,在圆内接四边形ABCD 中，若 A, B, C 的度数之比为 4:3:5，则 D 的度数是 _______________同步练习2 （2017?自贡）如图4, AB 是O O 的直径，PA 切O O 于点A,PO 交O O 于点C ，连接BC , 若 P 40，贝UB =() A.20°B.25°0.30°D.40考点3求与圆心角和圆周角相关的其它角的度数例 3 （2017? 泰安 ）如图5, ABC 内接于O O ，若 A，贝U OBC =()A. 1802图5图6B. 2C. 90D. 90同步练习3（2017?扬州）如图7,已知O O 是 ABC 的外接圆，连接AO ，若40，则OAC考点5弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系例5 （2017?湖州）如图10,已知，在ABC中，AB AC，以AB为直径作半圆O，交BC于D.若BAC 40，则A D的度数是度.同步练习5如图12, AB为o O的直径，C,D为o O上的点，A D C D，若CAB 40，则CAD =图12考点6与圆心角有关的弧长计算例6如图13,已知等边ABC的边长为6，以AB为直径的O O与边AC,BC分别交于D,E两点，贝y D E的长为.同步练习6如图15,在YABCD 中，AB 为O O 的直径，O O 与DC 相切于点E ，与AD 相交 于点F ,已知AB 12, C 60，则?E 的长为考点7与切线有关的夹角问题求证:直线DM 是O O 的切线.图16 图17同步练习7 (2017?福建)如图18,四边形ABCD 内接于O O , AB 是O O 的直径，点P 在CA的延长线上，例7如图16,点E 是 ABC 的内心, AE 的延长线交BC 于点F ，交ABC 的外接圆O O 于点D ，连接BD ，过点D 作直线DM ，使 BDM DAC .CAD 45 .(1)若AB=4, 求CD 的长;(2)若BC A D , AD AP，求证:PD是O O的切线.图18考点8与其他知识结合的综合性问题例8 （2017?台州）如图19，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B,C重合）,PE是ABP的外接圆O O的直径.图19AT 是O O 的切线， ABT 50 , BT 交O（1）如图20,求 T 和 CDB 的大小； ⑵如图21,当BE BC 时，求 CDO 的大小.同步练习8（2017?天津）已知AB 是O O 的直径,。
九年级上册二次函数专题讲义
九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。
其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。
练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。
练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。
画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。
需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。
通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。
同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。
因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。
当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。
当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。
初三上册数学直升班培优讲义学生版第2讲可化为一元二次方程的其他方程(学生版)
可化为一元二次方程的其他方程I -模块一可化为一元二次方程的高次方程模块二可转化为一元二次方程的分式方程模块三可化为一元二次方程的绝对值方程模块四可转化为一元二次方程的根式方程模块一可化为一元二次方程的高次方程在遇到这类可转化为一元二次方程的高次方程时，通常有两种转化方法.1.因式分解法：如果所遇到的高次方程可以因式分解成两个或者多个一元二次式或一元一次式的乘积的形式，可以用因式分解法.2 .整体换元法：在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的，可以用整体换元法，实现降次的目的.模块二可化为一元二次方程的分式方程在遇到这类可转化为一元二次方程的分式方程时，通常有两种转化方法.1.去分母法：在遇到分式方程时，往往先去分母，即通分然后求解.2 .整体换元法：在一个分式方程中，如果有的式子含有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的时候可以考虑整体换元法，实现化简的目的.注意：在分式方程中，不管用什么方法解出来，最后一定要验根，因为要使得分式方程有意义, 分母不为0，在这个过程中可能产生增根.模块三可化为一元二次方程的绝对值方程在遇到这种可转化为一元二次方程的绝对值方程时，通常有两种转化方法.1.分类讨论法：遇到绝对值方程时，可以先去绝对值，而去绝对值，就意味着要分类讨论.第一步，找出分段点，考虑当绝对值符号内的式子等于0时，x的取值，由此划分x取值.第二步，根据x取值讨论去绝对值，得到相应转化的一元二次方程.第三步，用合适的方法求解，但是解得的解应该在讨论的x取值内.第四步，依次写出满足绝对值方程的所有根.2 .整体换元法：在遇到一个特定的方程时，如果分类讨论，虽然可行但较为繁琐，可以考虑用整体换元法.注意：在绝对值方程中，要记着考虑绝对值的非负性.模块四可转化为一元二次方程的根式方程在遇到这类可转化为一元二次方程的根式方程时，通常有两种转化方法.1.两边平方法：等式的两边同时平方，然后化简得到相应的一元二次方程.2 .整体换元法：在含根式方程的一个方程中，如果几个式子存在特殊的关系，可以考虑整体换元法.特别注意：在根式中解的时候，解一定要使得根号下非负；在整体换元的时候要考虑到换的元的取值范围内，在取值范围内的解才有意义，最后也要像分式方程那样进行验根.0 模块一可化为一元二次方程的高次方程解方程：(1) x(2)(x(3)(x xx ) x xx) (x )=模块二可转化为一元二次方程的分式方程解分式方程：（1）-x x(X )xxxx xXXX模块三可化为一元二次方程的绝对值方程IIUJ(2) (x )(x ) x可转化为一元二次方程的根式方程IIIJ 解方程：（1）x解方程：• x x x练1解方程：（x x )(x x)xx x(X )x x(3) x -解方程：（1）x x x x （2）x 2 x 2 x +2 x 29x+演练5」解方程：x |x| |x|x。
著名机构初中数学培优讲义.二次函数.第10讲(C).教师版
内容基本要求略高要求较高要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；1． 能从函数图像上认识函数的性质； 2． 会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 3． .能用二次函数解决简单的实际问题．愤怒的小鸟和人类对抛物线的迷恋人类似乎沉迷于对抛物线轨迹的预测，否则，你如何解释高尔夫运动？或者我们为何如此尊敬橄榄球运动中的四分卫和板球运动中的出色投球手？我们的身体在对准 目标投掷物品上很在行。
在投射物离开手指之前，首先在头脑中预测轨道，转动肩膀，活动肩胛骨，扭动屁股，弯曲胳膊，伸展手指。
中考要求重难点课前预习二次函数这是一系列运动的精确配合。
发射！当投射物全速冲向目标的时候，会有短暂的焦虑和期待。
人类的祖先在早期的狩猎活动中，就已经开始投射标枪，远程制服猎物。
这种活动展示了速度和力量，以及对运动轨迹的预测，并且有丰盛的食物作为报酬。
对抛物线的利用体现了人类作为高级生物的智慧，因为相比直线投射来说，抛物线投射通过对角度的调节，能够为攻击提供更多的灵活性和准确性。
其它动物的捕猎行为更多的是利用直线发射：除了射水鱼 ——它的捕猎行为是针对特定方位喷射水柱，将昆虫打下树叶——没有其它动物使用抛物线。
变色龙喷吐舌头（捕食）时是直线，狗能够捕捉球但无法投射。
没有其它动物有我们这样善于投射的臂膀……鸟类，无论疯狂与否，唯一接近投射的行为是埃及秃鹰向大致方位投射石头，试图打碎鸵鸟蛋的时候。
现代人早已无需通过狩猎获取食物，但是那种原始的快感却一直保留着。
也许这就是愤怒的小鸟成功的原因，当弹弓射出小鸟的那一刻，我们原始的欲望得到了满足，而焦虑得到了释放。
九年级数学上册《二次函数》优秀课件
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点是 它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y 0
y x2
y = x2、y= - x2
y ห้องสมุดไป่ตู้2
0
y x2
二次函数
y = x2
y = - x2
顶点坐标 对称轴
（0，0）
y轴
（0，0）
y轴
位置
在x轴上方(除顶点外)
注意 x 的取值范围是全体实数.
注意
y ax2 bx c 的三种特殊表示形式
（1） y=ax²
（a≠0，b = 0，c = 0）
（2） y=ax² + c （a≠0，b = 0，c≠0）
（3） y=ax² + bx （a≠0，b≠0，c = 0）
等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没 有二次项.
y 1 x的2 图象的关系吗? 3
3
y 1 x 12 2
3
y 1 x2 3
y 1 x 12 2
3
y 1 x2 3
y 1 x2 向右平移1 3 个单位
y 1 x 12
3
向上平移2 个单位
——或者——
y 1 x2 向上平移2
3
个单位
y 1 x2 2 3
向右平移1 个单位
二次函数
学习目标
【知识与能力】
理解二次函数的意义. 会用描点法画出二次函数 y = ax2 的图象. 知道抛物线的有关概念.
【过程与方法】
通过二次函数的教学进一步体会研究函数的一般方 法.
加深对数形结合思想的认识.
【情感态度与价值观】
九年级数学上册 第二十二章 二次函数 专题10 二次函数与不等式
4．当－1≤x≤1时，抛物线y＝x2＋ax＋3的最小值为－3，则a的值为_±__7_． 5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_－__1_＜__x＜__3_．
6．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式a(x－2)2＋b(x－2)＋c＜0的解集为 ___x_＜__3_或__x_＞__5__．
7．(2016·江岸期中)已知抛物y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，A(1，0)，B(0，3)． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图象，写出当y＜3时x的取值范围(做适当说明)．
第二十二章 二次函数
专题10 二次函数与不等式
武汉专版·九年级上册
1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，那么方程ax2＋bx＋c＝0的根是 x1＝__－__1_，__x_2_＝_，3 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为__－__1_＜__x_＜__3__．
2．二次函数y＝x2＋2x＋m的图象与x轴有且只有一个公共点，则一元二次不等式x2＋2x＋m＞0的解集 为___x_≠_－__1__． 3．如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y2＝mx＋n(m≠0)的图象，当y2＞y1时，x的取值 范围是_－__2_＜__x_＜__1．
九年级数学上册《二次函数》优秀课件
描点法画二次函数 y = ax2 的图象.
数与形相互联系.
实际问题
要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花 圃，怎样的围法才能使围成的花圃的面积最大?
1.设矩形花圃的周长不变，垂直于墙的一边AB的长为x m， 先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的 面积 y m2.试将计算结果填写在下表的空格中：
AB的长x（m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC的长（m）
12
面23积..x我y的（们值发m是现2否），可当以AB任的意长取（?有x）限确定定4范8后围，吗矩?形的面积（y）
也随之确定，即y是x的函数，试写出这个函数的关系式.
探究
观察函数关系式
y 100x2 100，x 200
（1）函数关系式的自变量有几个?
二次函数
学习目标
【知识与能力】
理解二次函数的意义. 会用描点法画出二次函数 y = ax2 的图象. 知道抛物线的有关概念.
【过程与方法】
通过二次函数的教学进一步体会研究函数的一般方 法.
加深对数形结合思想的认识.
【情感态度与价值观】
通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性.
学习重、难点
观察姚明的投篮……
再看一下林书豪的投篮. 二次函数的图象是不是跟图中他们的投篮路线很像？
知识要点
抛物线：
像这样的曲线通常叫做抛物线.
二次函数的图象都是抛物线.
一般地，二次函数
y ax2 b的x图象c叫做抛
物线 y ax2 bx c.
抛物线
抛物线
抛物线
对称轴、顶点、最低点、最高点
y=ax2 (a>0) （0，0）
九年级上册二次函数专题讲义
1九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数． 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．例1、下列函数：① 23y x =；② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x=+；⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = .例2、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 练习1、当m = 时，函数()2221m m y m m x--=+是关于x 的二次函数练习2、当m = 时，函数()2564mm y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数练习3、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿二、二次函数的基本形式 1. y=ax ²的图象与性质.画二次函数y=x 2的图象.(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表：(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x 2的图象如图所示：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点.像这样的曲线通常叫做抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．思考：(1)在同一直角坐标系中，画函数y=x 2与y=-x 2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?(2)在同一直角坐标系中，画函数y=2x 2与y=-2x 2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?(3)将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 …2结论：由函数y ＝x 2、y=-x 2、y ＝2x 2、y=-2x 2的图象的共同特点，得到结论.函数y=ax 2的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=ax 2开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_____是抛物线上位置最低的点.当x=_____时，函数值y ＝ax 2取得最小值，最小值是y ＝______.当a ＜0时，抛物线y=ax 2开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_____是抛物线上位置最高的点.当x=_____时，函数值y ＝ax 2取得最大值，最大值是y ＝______. a 的绝对值越大，图像的开口________.例1.（1）抛物线221x y =的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；（2）抛物线221x y -=的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；练习1.对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 .练习2.抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点例2.函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2－2与函数y ＝2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?结论：函数y=ax 2+c 的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=ax 2+c 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_______是抛物线上位置最低的点.当x=_______时，函数值y ＝ax 2+c 取得最小值，最小值是y ＝________.当a ＜0时，抛物线y=ax 2+c 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_______是抛物线上位置最高的点.当x=_______时，函数值y ＝ax 2+c 取得最大值，最大值是y ＝________.y=ax ²+c 的图象可以看成是将函数y ＝ax ²的图象向上（c ＞0）或向下（c ＜0）平移c 个单位得到的.例1.抛物线322--=x y 的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.练习1.将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .练习2.任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .练习3.将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最（填大或小）值，是 .练习4.已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________.4在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2与函数y ＝2(x 一1)2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别? 结论：函数y=a(x-h)²的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=a(x-h)²开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；______是抛物线上位置最低的点.当x=_____时，函数值y=a(x-h)²取得最小值，最小值是y ＝________.当a ＜0时，抛物线y=a(x-h)²开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；______是抛物线上位置最高的点.当x=_____时，函数值y ＝y=a(x-h)²取得最大值，最大值是y ＝______.y=a(x-h)²的图象可以看成是将函数y ＝ax ²的图象向左（h ＞0）或向右（h ＜0）平移h 个单位得到的.例1.抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ，当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 .练习1.函数y=3(x-2)2的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 .练习2.抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上练习3.将抛物线y=3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）A ．y=3(x+2)2+4B ．y=3(x-2)2+4C ．y=3(x-2)2-4D ．y=3(x+2)2-454. y=a(x-h)²+k （顶点式）的图象与性质在同一直角坐标系中画出函数y=2(x －1)2＋1与函数y ＝y=2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?结论：函数y=a(x-h)²+k 的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=a(x-h)²+k 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_____是抛物线上位置最低的点.当x=_____时，函数值y=a(x-h)²+k 取得最小值，最小值是y ＝________.当a ＜0时，抛物线y=a(x-h)²+k 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；______是抛物线上位置最高的点.当x=_____时，函数值y=a(x-h)²+k 取得最大值，最大值是y ＝______.y=a(x-h)²+k 的图象可以看成是将函数y ＝ax ²的图象向左（h ＞0）或向右（h ＜0）平移h 个单位，向上（k ＞0）或向下（k ＜0）平移k 个单位得到的.例1.请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上:练习1.二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值.练习2.函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大.练习3.已知函数()9232+--=x y（1）当x= 时，抛物线有最 值，是 .（2）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小.例2.二次函数有最小值为－1，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式为65. 二次函数图象的平移 ①. 平移步骤：保持抛物线y=ax ²的形状不变，将其顶点平移到（ h , k ）处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位②. 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．6. 二次函数y=a(x-h)²+k 与y ＝ax 2＋bx ＋c 的比较从解析式上看，y=a(x-h)²+k 与y ＝ax 2＋bx ＋c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a ，当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下.对称轴是x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a )例1.抛物线942++=x x y 的对称轴是 .练习1.抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .练习2.写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=－2，与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解式 .练习3.函数x x y +-=22有最________值，最值为_________.练习4.抛物线2y ax bx c =++过点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么acb=例2.将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝ .例3.把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是 .7中考链接：（2009昆明，15 , 3分）如图，四边形ABCD 是矩形，A 、B 两点在x 轴的正半轴上，C 、D 两点在抛物线y ＝－x 2＋6x 上．设OA ＝m (0＜m ＜3)，矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为 ．7. 二次函数解析式的求法（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2）顶点式：y=a(x-h)²+k （a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.例1.求下列函数解析式（1）抛物线过点A ( 0 , 2 ) , B ( 1 , 2 ) , C ( 2 , 4 )三点（2）已知抛物线的顶点为A （ 1 , 2 ），过点B （ 3 , 4 ）（3）抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ( -1 , 0 ), B ( 3 , 0 ) , C ( 0 , 1 )三点8三、二次函数与一元二次方程（1）二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 当函数值y ＝0时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当Δ=b ²－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点； ② 当Δ=b ²－4ac =0时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当Δ=b ²－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点.（2）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为（0，c ）.例1.已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .练习1.抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、以上都不对例2.关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_________象限；例3.二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A 、0,0>∆>aB 、0,0<∆>aC 、0,0>∆<aD 、0,0<∆<a例4.12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ）A 、0B 、-1C 、2D 、419四、二次函数图像题① 当0a >时，抛物线开口向上； 当0a <时，抛物线开口向下；b 的符号的判定：对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边则ab ＞0，在y 轴的右侧则ab ＜0，概括的说就是“左同右异”当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．② 当Δ=b ²－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当Δ=b ²－4ac =0时，图象与x 轴只有一个交点；当Δ=b ²－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点.③ a+b+c_____0，当x=1时；a-b+c_____0，当x=－1时.例1.满足a ﹤O ，b ＞0，c=0的函数y=ax 2+bx+c 的图象是图中的（ ）练习1.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个练习2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(acb M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限O xy10C. 第三象限D. 第四象限例2.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）A ．y= -（x+1）2+2B ．y= -（x-1）2+4C ．y= -（x-1）2+2D ．y= -（x+1）2+4中考链接：（2011昆明，8,3分）抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A 、b 2﹣4ac ＜0B 、abc ＜0C 、12ba-<-错误!未找到引用源。
(家教培优专用)人教版数学九年级上册--实际问题与二次函数—知识讲解(基础)
实际问题与二次函数—知识讲解（基础）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1.（2015•东海县二模）“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y （件）与售价x （元/件）之间的函数关系如图（20≤x≤60）：（1）求每天销售量y （件）与售价x （元/件）之间的函数表达式；（2）若该商品每天的利润为w （元），试确定w （元）与售价x （元/件）的函数表达式，并求售价x 为多少时，每天的利润w 最大？最大利润是多少？【思路点拨】（1）分别利用当20≤x≤40时，设y=ax+b ，当40＜x≤60时，设y=mx+n ，利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用（1）中所求进而得出w （元）与售价x （元/件）的函数表达式，进而求出函数最值．【答案与解析】解：（1）分两种情况：当20≤x≤40时，设y=ax+b ， 根据题意，得， 解得， 故y=x+20；当40＜x≤60时，设y=mx+n ， 根据题意，得， 解得，故 y=﹣2x+140；故每天销售量y （件）与售价x （元/件）之间的函数表达式是：20(2040)2140(4060)x x y x x +⎧=⎨-+⎩≤≤＜≤ （2）22(20)(20)400(2040)(2140)(20)21802800(4060)x x x x w x x x x x ⎧+-=-⎪=⎨-+-=-+-⎪⎩≤≤＜≤， 当20≤x≤40时，w=x 2﹣400，由于1＞0抛物线开口向上，且x ＞0时w 随x 的增大而增大，又20≤x≤40，因此当x=40时，w 最大值=402﹣400=1200；当40＜x≤60时，w=﹣2x 2+180x ﹣2800=﹣2（x ﹣45）2+1250，由于﹣2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60，所以当x=45时，w 最大值=1250．综上所述，当x=45时，w 最大值=1250．【点评】1．读懂题意，弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键；2．在实际问题中遇到最大(小)值问题时，往往先建立函数关系式，然后通过配方化为顶点式求解．举一反三：【高清课程名称：实际问题与二次函数高清ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：练习讲解】【变式】（2015•营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．【答案】22.【解析】解：设定价为x 元，根据题意得：y=（x ﹣15）[8+2（25﹣x ）] =﹣2x 2+88x ﹣870∴y=﹣2x 2+88x ﹣870，=﹣2（x ﹣22）2+98∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x=22时，y 最大值=98．故答案为：22．类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?【答案与解析】(1)M(12，0)，P(6，6)．(2)设抛物线解析式为：2(6)6y a x =-+．∵ 抛物线2(6)6y a x =-+经过点(0，0)，∴ 20(06)6a =-+，即16a =-． ∴ 抛物线解析式为：21(6)66y x =--+，即2126y x x =-+．(3)设A(m ，0)，则B(12-m ，0)，C 2112,26m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，D 21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． ∴ 支撑架总长22112(122)266AD DC CB m m m m m ⎛⎫⎛⎫++=-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212123m m =-++21(3)153m =--+． ∵ 此二次函数的图象开口向下．∴ 当m ＝3时，。
第十课二次函数培优一
x=1，若其 .
六、形积专题
例 1.如图，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为 D,交 y 轴于 C
(1)、求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。
(2)、在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，
若存在，求出点 M 的坐标。若没有，请说明理由
y
x2
4x
5
的图象上的三点，则
y1
，y2
，y3
的大小关系是（ ）
A． y1 y2 y3
B． y2 y1 y3
C． y3 y1 y2
D． y1 y3 y2
3.（天津市）已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，下列结论：① abc 0 ；②
b a c ；③ 4a 2b c 0；④ 2c 3b ；其中正确的结论有（ ）
6.已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为 6.且顶点坐标为（2，3），求解析式？
课堂练习：
1.若 b 0 ，则二次函数 y x2 bx 1的图象的顶点在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.若抛物线 y x2 2x a 的顶点在 x 轴的下方，则 a 的取值范围是（ ）
B．3
C．4
D．5
5.在同一平面直角坐标系中，一次函数 y ax b 和二次函数 y ax2 bx 的图象可能为（ ）
y
y
y
y
y
y
O x Ox O x
Ox
C
O 第6题
x
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
6.二次函．数 y ax2 ．bx c 的图．象如图所示．，则直线 y bx c 的图象不经过（
初三上册数学直升班培优讲义学生版第6讲二次函数的图像、性质和解析式(学生版)
例题 6
（ 1）已知二次函数
y
(x
2
3)
1 ．下列说法： ①其图象的开口向下； ②其图象的对称轴为直线
③其图象顶点坐标为 (3, 1) ；④当 x 3 时， y 随 x 的增大而减小．则其中说法正确的有（
x 3； ）
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．4 个
（ 2）对于二次函数 y x2 2mx 3(m 0) ，有下列说法： ①如果 m 2 ，则 y 有最小值 1； ②如果当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小，则 m 1 ； ③如果当 x 1 时的函数值与 x 2015 时的函数值相等，则当 x 2016 时的函数值为 3． 其中正确的说法是 ________________ ．（把你认为正确的结论的序号都填上）
________．（填序号）
（ 2）抛物线 y 2( x 1)(x 3) 的顶点坐标是 ________．
（ 3）抛物线 y
2
x
x 2 的对称轴是 _________ ，顶点坐标为 _________，当 x
______值是 ________．
_____时， y 有最
（ 4）已知抛物线 y 和 _________．
4．二次函数 y
2
a( x h)
k (a
0 )的性质：
a的 符号 a0
a0
开口 方向 向上
向下
顶点 坐标
对称轴
增减性
（ h， k）
x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x
x=h
的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k．
（ h， k）
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x
著名机构初中数学培优讲义.二次函数.第10讲(C).学生版
内容基本要求略高要求较高要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；1． 能从函数图像上认识函数的性质； 2． 会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 3． .能用二次函数解决简单的实际问题．愤怒的小鸟和人类对抛物线的迷恋人类似乎沉迷于对抛物线轨迹的预测，否则，你如何解释高尔夫运动？或者我们为何如此尊敬橄榄球运动中的四分卫和板球运动中的出色投球手？我们的身体在对准 目标投掷物品上很在行。
在投射物离开手指之前，首先在头脑中预测轨道，转动肩膀，活动肩胛骨，扭动屁股，弯曲胳膊，伸展手指。
中考要求重难点课前预习二次函数这是一系列运动的精确配合。
发射！当投射物全速冲向目标的时候，会有短暂的焦虑和期待。
人类的祖先在早期的狩猎活动中，就已经开始投射标枪，远程制服猎物。
这种活动展示了速度和力量，以及对运动轨迹的预测，并且有丰盛的食物作为报酬。
对抛物线的利用体现了人类作为高级生物的智慧，因为相比直线投射来说，抛物线投射通过对角度的调节，能够为攻击提供更多的灵活性和准确性。
其它动物的捕猎行为更多的是利用直线发射：除了射水鱼 ——它的捕猎行为是针对特定方位喷射水柱，将昆虫打下树叶——没有其它动物使用抛物线。
变色龙喷吐舌头（捕食）时是直线，狗能够捕捉球但无法投射。
没有其它动物有我们这样善于投射的臂膀……鸟类，无论疯狂与否，唯一接近投射的行为是埃及秃鹰向大致方位投射石头，试图打碎鸵鸟蛋的时候。
现代人早已无需通过狩猎获取食物，但是那种原始的快感却一直保留着。
也许这就是愤怒的小鸟成功的原因，当弹弓射出小鸟的那一刻，我们原始的欲望得到了满足，而焦虑得到了释放。
九年级数学上册 第二十二章 二次函数 专题10 二次函数
x≠－1
为_________．
3．如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y2＝mx＋n(m≠0)的图象，当y2＞y1时，x的取值
－2＜x＜1
范围是_________．
4．当－1≤x≤1时，抛物线y＝x2＋ax＋3的最小值为－3±，7则a的值为____． 5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范－围1是＜_x_＜__3_____．
6．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式a(x－2)2＋b(x－2)＋c＜0的解集为
x＜3或x＞5
______________．
7．(2016·江岸期中)已知抛物y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，A(1，0)，B(0，3)． (1)求抛物线的解析式；
(2)结合图象，写出当y＜3时x的取值范围(做适当说明)．
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第二十二章 二次函数
专题10 二次函数与不等式
武汉专版·九年级上册
1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，那么方程ax2＋bx＋c＝0的根是
x1＝－1，x2＝3
__________，不等式ax2＋－bx1＋＜cx＜＞30的解集为____________．
2．二次函数y＝x2＋2x＋m的图象与x轴有且只有一个公共点，则一元二次不等式x2＋2x＋m＞0的解集
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二次函数和方程、不等式综合
模块一二次函数和方程综合
模块二二次函数和不等式综合
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1
J
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1/JF
模块一：二次函数和方程综合
1 .函数y a1x b1和二次函数y2
a2X6x c的交点
(1) 交点求解，联立方程组
y a1x b
，并代入求解.
y2
a2X b2x c
(2) 交点个数，联立方程组
y a1x b
，消元得到一元二次方程，看判别式（△）.
y2
a2X b2X c
(3) 交点关系，联立方程组
y a1X bi
，看判别式（△）,再用韦达定理.
y2
a2X b2X c
2 . 一元二次方程ax b12
a2x b2x c的解也可以看成函数y a/ b1和二次函数
2
y a2X b2X c的交点的横坐标.
模块二：二次函数和不等式综合
1.数形结合，可以通过二次函数和其它函数的图象解不等式.
2 .根的分布:
元二次方程根的分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，实质就是其相应次函数的零点（图象与x轴的交点）问题，因此，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来
研究是非常有益的.
（1）0分布或k分布
X x20
m x x2n
X x2k k x x2
点个数，并说明理由. a 例题2,
(1)
_______________________________________________________________________ 抛物线y x 2 5x a 2与一次函数y ax 2a 1有交点，则a 的取值范围 ____________________________________ .
(2) 已知函数y mx 3x 2 ( m 是常数)，若一次函数y x 1的图象与该函数的图象恰好只有
个交点，则交点坐标为 __________________ .
模块 二次函数和方程综合 11
已知二次函数y x 2 x c . (1) 若点 A 1,n)、B(2, 2n 1)在二次函数 y x 2 (2) 若D(2, %)、E(X 2,2)关于坐标原点成中心对称，
X c 的图象上，求此二次函数的最小值；
试判断直线DE 与抛物线y x 2 x c 3的交
C例题3
已知二次函女啊! x1 2 2x 3及一次函数y2 x m .
(1)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2 x m有三个不同公共点时m的值.
例题4 F
1 抛物线y x
2 Vmx m2与x轴两交点间距离的最大值为 ___________________ .
2 设二次函数y ax2 bx c经过点A(0, 2)、B(1, 1)，且其图象在x轴上所截得的线段长为2 2 .求这个二次函数的解析式.
j□例题5
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2 bx c过点(2, 2)，且当x 0时，y取得最小值1 .
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点C(1,3)，试探索是否存在满足下列条件的直线I ;①直线I过点C(1,3);②直线I交抛物线于E、F 两点且C点恰好是线段EF的中点•若存在，请求出直线I的函数解析式：若不存在，请说明理由.
(1 )二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则关于x的方程ax2 bx c 3 0的根的情
况是( )
A .有两个相等的实数根
B .无实数根
C.有两个同号不相等实数根
D .有两个异号实数根
r r . 、 2
(2)若方程| x 4x 3 m有两个相异的实数解，则m的取值范围是
围是 ________
___ ___ Q
(1)已知关于x 的方程x (2 a)x 5 a 0的一个根大于 0而小于2,另一个根大于 4而小于6, 则实数a 的取值范围是 _____________________________________ .
(2)若关于x 的方程4x 2 2mx n 0的解都位于0 x 1的范围中，求正整数 m , n 的值
.
2
已知二次函数y x bx C 的图象如图所示，它与 坐标为(0,
3).
(1)
求二次函数的解析式；并求图象与 x 轴的另
-
(1)已知关于x 的方程x 2 (m 5)x m 2 0有实根，且方程的两根都大于 0,则实数m 的取值范
(2)已知方程ax 2 (a 2)x 9a 0的两个实根 捲和X 2，且为 1 X 2，求实数a 取值范围
.
2
(1)二次函数y x kx k 1的图像与x轴的交点个数
(2)给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线，有下列命题：
1
①直线y 0是抛物线y — x2的切线；
4
②直线x 2与抛物线y 3x2相切于点(2,1);
4
1
③直线y x b与抛物线y — x2相切，则相切于点(2,1)；
4
④直线y kx 2与抛物线y - x2相切，则k 「2.
4
其中正确的命题是 _______________ .
(3) ____________________________________________________________ 若方程|x2 5x| a有四个不相等实根，则a的取值范围是_________________________________________ .
已知：抛物线与x轴交于A( 2,0)、B(4, 0)，与y轴交于C(0,4).
(1)求抛物线顶点D的坐标；
3已知方程x2 11x (30 a) 0有两实根，且两根都大于5,则实数a的取值范围是__________
(2)设直线CD交x轴于点E,过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点.试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？
n 演练3
已知的函数y (k 1)x 1 4 2kx k 2的图象与x 轴有交点.
(1) 求k 的取值范围；
(2) 若捲、X 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标(为X 2)，且满(k 1)x ： 2kx 2 k 2 4x^2.
① 求k 的值；
② 当k x k 2时，求y 的最大值与最小值. f 0)模块二二次函数和不等式综合
a 寅练
4 方程7x (p 13)x p p 2 0的两根 、满足0 1 2，求实数p 的取值范围.
如图，一次函数y kx m 和抛物线y
(1) 求一次函数和抛物线的解析式；
(2) 求不等式x 2 bx c x m 的解集 2 x bx c 都经过点A(1,0), (直接写出答案)。