函_数_的_值_域
函数定义域,对应法则,值域
函数的定义域、值域、解析式的求法（求直接函数定义域）例1：221533x x y x --=+- 例2：021(21)4111y x x x =+-+-+-练习1：211()1x y x -=-+练习2：函数22()44f x x x =---的定义域是（ ）A 、[2,2]-B 、(2,2)-C 、(,2)(2,)-∞-+∞UD 、{2,2}-练习3：判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， 33()g x x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸（求抽象函数定义域）例1：设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例2：若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域练习1：若函数()y f x =的定义域是02,⎡⎤⎣⎦，则函数()()11y f x f x =++-的定义域为______________________________________________.练习2：若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。
练习3：已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x f x a f x a a ()()()()=+⋅--<≤120的定义域为 。
（已知定义域求未知数范围）例1：知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
高中数学解题方法系列：函数的值域与最值
①
y
k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y
3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。
高一数学函数的定义域与值域
第2课时函数的定义域与值域函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝12－|x |＋x 2－1；(2)y ＝25－x 2＋lg cos x ；(3)y ＝x －12x －log 2(4－x 2)；(4)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0.解(1)－|x |≠0，2－1≥0，≠±2，≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x≠±2}．(2)－x 2≥0，x >0，5≤x ≤5，k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为－5，－32π－π2，5.(3)0，>0，解得－2<x <0或1≤x <2，∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2)．(4)0.5(x －2)>0，x－5≠0x <3，≠52，∴思维升华(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．函数的值域例1(2019·长沙月考)求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；(2)y ＝2x ＋1x －3；(3)y ＝2x －x －1；(4)y ＝x ＋1＋x －1.解(1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为158，＋∞(4)函数的定义域为[1，＋∞)，∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴当x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．结合本例(4)求函数y＝x＋1－x－1的值域．解函数的定义域为[1，＋∞)，y＝x＋1－x－1＝2x＋1＋x－1，由本例(4)知函数y＝x＋1＋x－1的值域为[2，＋∞)，∴0<1x＋1＋x－1≤22，∴0<2x＋1＋x－1≤2，∴函数的值域为(0，2]．思维升华求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．跟踪训练1求下列函数的值域：(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝x＋41－x；(3)y＝2x2－x＋12x－1x>1 2解(1)方法一y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x2，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<21＋x2≤2.所以－1<－1＋21＋x2≤1.即函数的值域为(－1,1]．方法二由y＝1－x21＋x2，得x2＝1－y1＋y.因为x2≥0，所以1－y1＋y≥0.所以－1<y≤1，即函数的值域为(－1,1]．(2)设t＝1－x，t≥0，则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为2＋12，＋定义域与值域的应用例2(1)(2020·广州模拟)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，<0，＋2＝－b ，×2＝ba ，＝－32，＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围．解令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y |y＝g (x )}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－23，∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}．思维升华已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．跟踪训练2(1)若函数f (x )＝ax －2021在[2021，＋∞)上有意义，则实数a 的取值范围为________．答案[1，＋∞)解析由于函数f (x )＝ax －2021在[2021，＋∞)上有意义，即ax －2021≥0在[2021，＋∞)上恒成立，即a ≥2021x在[2021，＋∞)上恒成立，而0<2021x≤1，故a ≥1.(2)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b >1)，则实数b ＝________.答案3解析f (x )＝12(x －1)2＋1，x ∈[1，b ]且b >1，则f (1)＝1，f (b )＝12(b －1)2＋1，∵f (x )在[1，b ]上为增函数，∴函数值域为1，12(b －1)2＋1.由已知得12(b －1)2＋1＝b ，解得b ＝3或b ＝1(舍)．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．一、抽象函数的函数值例1(1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________.答案12解析因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12.(2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f f f (π)＝－1，则f (0)＝________.答案1解析令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2(1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案1解析由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0)．∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.(2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为________．答案[2，4]解析对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]．1．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为()B ．(2，＋∞)(2，＋∞)，12∪[2，＋∞)解析由题意可知x 满足(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求(2，＋∞)．2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为()A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e x D ．y ＝sin x x答案D 解析因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}，故D 正确．3．函数y ＝x －1＋1的值域为()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案D解析函数y ＝x －1＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x ＝1时，该函数取得最小值1，故函数y ＝x －1＋1的值域为[1，＋∞)．4．(2019·衡水中学调研)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为()A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1)D ．(－4,0)∪(0,1]答案A解析要使函数f (x )x 2－3x ＋4≥0，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1，故选A.5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32，故选B.6．(2019·佛山模拟)函数f (x )＝3x3x ＋2x的值域为()A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1]D ．(0,1)答案D解析f (x )＝3x3x ＋2x＝11，>0，∴1>1，∴0<11<1.7．(多选)下列函数中值域为R 的有()A ．f (x )＝3x －1B ．f (x )＝lg(x 2－2)C ．f (x )2，0≤x ≤2x ，x >2D ．f (x )＝x 3－1答案ABD解析A 项，f (x )＝3x －1为增函数，函数的值域为R ，满足条件；B 项，由x 2－2＞0得x ＞2或x ＜－2，此时f (x )＝lg(x 2－2)的值域为R ，满足条件；C 项，f (x )2，0≤x ≤2，x ，x >2，当x ＞2时，f (x )＝2x ＞4，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2∈[0,4]，所以f (x )≥0，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；D 项，f (x )＝x 3－1是增函数，函数的值域为R ，满足条件．8．(多选)若函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，则实数m 的值可能为()A ．2B ．3C ．4D ．5解析函数y ＝x 2－4x －4的对称轴方程为x ＝2，当0≤m ≤2时，函数在[0，m ]上单调递减，x ＝0时，取最大值－4，x ＝m 时，有最小值m 2－4m －4＝－8，解得m ＝2.则当m ＞2时，最小值为－8，而f (0)＝－4，由对称性可知，m ≤4.∴实数m 的值可能为2,3,4.9．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．答案[－1,7]解析要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．10．函数f (x )＝3x ＋2x ，x ∈[1,2]的值域为________．答案[5,7]解析令g (x )＝3x ＋2x＝x >0，易证g (x )在23，＋∴f (x )在[1,2]上为增函数，从而得f (x )的值域为[5,7]．11．(2020·石家庄模拟)若函数f (x )＝x －2＋2x ，则f (x )的定义域是________，值域是________．答案[2，＋∞)[4，＋∞)解析x －2≥0⇒x ≥2，所以函数f (x )的定义域是[2，＋∞)；因为函数y ＝x －2，y ＝2x 都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f (x )＝x －2＋2x 也是[2，＋∞)上的单调递增函数，所以函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (2)＝4，故函数f (x )＝x －2＋2x 的值域为[4，＋∞)．12．函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为________．答案[26＋4，＋∞)解析令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥26＋4，当且仅当t ＝6t即t ＝6时等号成立．∴函数的值域为[26＋4，＋∞)．13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是()A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案A解析函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，≤2x ≤2，－1≠0，解得0≤x <1，故选A.14．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________．答案[－2,0]∪(4,60]解析由题意知，f (x )x －4，x ∈[1，2]，3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．15．已知函数f (x )x 2＋2x ，0≤x ≤5，，a ≤x <0的值域为[－15,1]，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2,0)C ．[－2，－1]D ．{－2}答案B解析当0≤x ≤5时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，所以－15≤f (x )≤1；当a ≤x <0时，f (x )＝1－为增函数，所以1－a ≤f (x )<0，因为f (x )的值域为[－15,1]，所以≥－15，<0，故－2≤a <0，故选B.16．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y ＝x 2，x ∈[1,2]与函数y ＝x 2，x ∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是()A ．y ＝[x ]([x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.1]＝0)B ．y ＝x ＋x ＋1C ．y ＝1x－log 3x D ．y ＝|x ＋1x ＋1|答案AD 解析根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．对于选项A ，y ＝[x ]，定义域为R ，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A 可以构造“同值函数”；对于选项B ，y ＝x ＋x ＋1，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B 不可以构造“同值函数”；对于选项C ，y ＝1x－log 3x ，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C 不可以构造“同值函数”；对于选项D ，y ＝|x ＋1x ＋1|，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D 可以构造“同值函数”．所以能够被用来构造“同值函数”的是A ，D.。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.已知函数f(x)＝(a≠1)．(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(1)(－∞，](2)(－∞，0)∪(1,3]【解析】(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是(－∞，]．(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上为减函数，则需－a>0，此时a<0.综上a的取值范围(－∞，0)∪(1,3]．2.已知函数f(x)＝ (a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<.其中正确命题的所有序号是________．【答案】①③④【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[，＋∞)上的最小值为f()＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<成立，故④正确．3.函数的定义域是________．【答案】【解析】得.【考点】函数的定义域.4. (2014·荆州模拟)函数y=ln(2-x-x2)+的定义域是()A．(-1,2)B．(-∞,-2)∪(1,+∞)C．(-2,1)D．[-2,1)【答案】C【解析】使函数有意义,则有解得-2<x<1,即定义域为(-2,1).5.某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？【答案】（1）y＝＋，定义域（2）32个【解析】(1)设转盘上总共有n个座位，则x＝即n＝，y＝＋，定义域.(2)y＝f(x)＝k2，y′＝k2，令y′＝0得x＝.当x∈时，f′(x)＜0，即f(x)在x∈上单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈上单调递增，y的最小值在x＝时取到，此时座位个数为＝32个．6.设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，3【答案】A【解析】当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故选A．7.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是（）A．∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．D．∪(2，＋∞)【答案】D【解析】令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝当x＜－1或x＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数≤f(x)≤f(－1)，即≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．选D.8.已知则的值为【解析】由题意有，解得，∴原式＝．【考点】函数的定义域．9.已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．【答案】（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.【解析】(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)对于定义域内任意的x，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)所以f(x)是偶函数．(3)①当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以＋>0.又x>0时，x3>0，所以x3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝，当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a>110.求下列函数的值域：(1) y＝x－；(2) y＝x2－2x－3，x∈(－1，4]；(3) y＝，x∈[3，5]；(4) y＝ (x>1)．【答案】（1）（2）[－4，5]．（3）（4）[2－2，＋∞)．【解析】(1) (换元法)设＝t，t≥0，则y＝ (t2＋2)－t＝2－，当t＝时，y有最小值－，故所求函数的值域为.(2) (配方法)配方，得y＝(x－1)2－4，因为x∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．(3) (解法1)由y＝＝2－，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax ＝，ymin＝，故所求函数的值域是.(解法2)由y＝，得x＝.因为x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，即所求函数的值域是.(4) (基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，所以y＝＝t＋－2(t>0)．因为t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[2－2，＋∞)．11.已知函数.（Ⅰ）当a=3时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域。
函数的定义域、值域
函数的定义域、值域函数定义域、值域对于正实数，记M 为满足下述条件的函数f（x ）构成的集合：且＞,有-（-）＜f （）-f （）＜（-）.下列结论正确的是（A ）若（B ）（C ）（D ）＞【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．设函数在内有定义.对于给定的正数K ，定义函数取函数。
若对任意的，恒有，则【 D 】A ．K的最大值为2B ．K 的最小值为2212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-2121()()f x f x x x αα--<<-2121()()f x f x k x x-=-k αα-<<1()f x M α∈2()g x M α∈11,f k αα-<<22g k αα-<<1212f g k k αααα--<+<+12()()f x g x Mαα++∈()y f x =(,)-∞+∞(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩()f x =2xx e ---(,)x ∈-∞+∞()K f x =()f x ααRxx ∈∀21,2x 1x α2x 1x 2x 1x α2x 1x 2121)()(,)(,)(αααα⋅∈⋅∈∈M x g x fM x g M x f 则2121)()(,0)()(,(ααααM x g x f x g M x g M x f ∈≠∈∈则且）若2121)()(,)(,)(αααα+∈+∈∈M x g x f M x g Mx f 则若121,)(,)(ααα且若M x g M x f ∈∈212)()(ααα-∈-Mx g x f ，则C ．K 的最大值为 1D ．K 的最小值为1解: 由恒成立知,故K 有最小值，可排除A,C,又由直觉思维得在时，，排除B,因此选D.12．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为A ． B ． C ． D ．不能确定（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值设f （x ）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f （x ）的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【解析】画出y ＝2x ，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x ≤2时，f （x ）＝2x ，当2≤x ≤3时，f （x ）＝x ＋2，当x ＞4时，f （x ）＝10－x ，f （x ）的最大值在x ＝4时取得为6，故选C 。
函数的定义域和值域
1 函数的定义域和值域要点梳理1．常见基本初等函数的定义域(1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)、y ＝sin x 、y ＝cos x 的定义域是R(2) y ＝log a x 的定义域是{x |x ＞0}或(0，＋∞)，y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }． 求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式典型例题求函数的定义域例1、函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 例2、函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是________． 例3、函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是________． 求函数的值域例4、求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2； (3)y ＝x ＋4x(x ＜0)；(4)f (x )＝x －1－2x (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．例5、若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围。
6函数的概念、定义域、值域求法-教师版
教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。
3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。
分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。
分段函数是一个函数，而不是几个函数。
在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。
4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数 把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。
5函定义域与值域
典例3求下列函数的值域:
1 y x 1 2 x ; 2y x 4 ;
x
3 y sin x ;
2 cosx
4y x 1 x2.
第24页
本题主要考查函数值域问题,考查运算能力, 考查数形结合的 思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于 (2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于(3),由函 数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法求解.
2
22
2
第26页
(2)法 一 ;当 x 0时 , y x 4 2 x g4 4,
x
x
当 且 仅 当 x 2时 , 取 等 号;
当
x
0时 ,
y
x
4 x
2
x g 4
x
4,当 且 仅 当 x 2时 , 取 等 号.
综上,所求函数的值域为(, 4] 4,
第27页
法二：先证此函数的单调性
故
y m ax
(0
1 )2 2
5 4
1.
故 函 数 有 最 大 值 1， 无 最 小 值 ， 其 值 域 为
，1 .
第37页
方法二：Qy=2x与y=- 12x均为定义域上的增函数，
故y=2x-
12x是定义域为x
x
12上的增函数，
故ymax
21 2
121 1,无最小值. 2
故函数的值域为,1.
第31页
由直线与圆的位置关系知识,
可设直线方程为y k x 2 ,即kx y 2k 0,
2k
1, 解得k 3 ,
1k2
3
斜率的范围是
3, 3
3 3
,
基本初等函数
g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}．
∴两函数的定义域不同．故选 A.
1 1 2 跟踪训练 2 (1)已知 f(x＋x)＝x ＋ 2，求 f(x)的解析式． x
1 1 12 2 解 (1)∵f(x＋x )＝x ＋x2＝(x＋x ) －2， 1 1 且 x＋x ≥2 或 x＋x≤－2,
图象 描述 自左向右看图象是
上升的
自左向右看图象是
下降的
2．单调性与单调区间 如 果一 个函 数在某 个区 间 M 上是 增函数 或 是 减函数 ，就说这个函数在这个区间 M 上具有 单调性，区间 M 称为
单调区间 ．
1．函数 f(x)中，满足“对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，当 x1<x2 时， 都有 f(x1)>f(x2)”的是 1 A．f(x)＝x B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex
a(x－m)2＋n(a≠0) a(x－x1)(x－x2) (a≠0) k≠0
)．
． ． ．
2．一次函数与二次函数的定义及性质
函数名称 解析式
一次函数 y＝kx＋b (k≠0) k>0 k<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) a>0 ab>0 b<0，c>0 R b > 0， c < 0
1 3 所以函数 g(x)的定义域是[2，2]．
x＋1>0 (2)由 2 －x －3x＋4>0
，得－1<x<1.
函数的单调性
1．函数单调性的定义 增函数 减函数 设函数 f(x)的定义域为 A：区间 M⊆A，如果取区间 M 中任意两个值 x1，x2，改变量 Δx＝x2－x1>0，则当 定义 Δy＝f(x2)－f(x1)>0 Δy＝f(x2)－f(x1)<0 时， 就称函数 时，就称函数 y＝f(x) y＝f(x)在区间 M 上是减函数 在区间 M 上是增函数
一、函数与映射的基本概念
一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。
例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。
3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|， 半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
求函数值域的常用方法
求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。
一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y =211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y =2－x 的值域。
解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：[-∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2*+5，*∈[-1，2]的值域。
对数函数的定义域值域
(2) y log2 x (x 1)
(3) y log2 x (0 x 1)
3.对数函数与二次函数的复合函数问题。
【例3】求下列函数的定义域，单调区间及值域。
(1) y log 2 (x2 2x 5)
(2) y log 1 (x2 4x 5)
①底数部分大于0且不等于1 ②真数部分大于0
【例1】求下列函数的定义域 (1) y log2 (4 x) (2) y loga x 1(a 0且a 1) (3) y log 2x (x 3)
2.对数函数的值域
（利用对数函数的图像或者单调性）
【例2】求下列函数的值域。
3
【例4】求函数 y (log 2 x)2 2 log2 x 1, x [1,8]的值域。
总结：
• 对数函数的定义域，值域 • 含对数的复合函数的定义域，单调区间，
值域
作业：
• 教学案变式训练
对数函数的定义域和值域
复习回顾
1.对数函数的定义：
y loga x(a 0且a 1)
2.对数函数的图像性质：
对数函数y=logax的图像性质
a>1
0<a<1
图
像
定义域 值域 定点
单调性
奇偶性
（0，+ ∞ ）
R
（1，0）
单调递增
单调递减
非奇非偶
非奇非偶
1、对数函数的定义域
求对数函数的定义域的两个要点：
常见函数定义域和值域
常见函数定义域和值域
1. 线性函数 f(x) = mx + b
定义域: 所有实数
值域: 所有实数
2. 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)
定义域: 所有实数
值域: 如果a > 0, 值域为[最小值, +∞); 如果a < 0, 值域为(-∞, 最大值]
3. 分数函数 f(x) = a / (x - b) (a ≠ 0, b为常数)
定义域: 所有实数, 除了x = b
值域: 所有实数, 除了0
4. 指数函数 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)
定义域: 所有实数
值域: 如果a > 1, 值域为(0, +∞); 如果0 < a < 1, 值域为(0, +∞)
5. 对数函数f(x) = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)
定义域: 所有正实数
值域: 所有实数
6. 三角函数
正弦函数 f(x) = sin(x)
定义域: 所有实数
值域: [-1, 1]
余弦函数 f(x) = cos(x)
定义域: 所有实数
值域: [-1, 1]
正切函数 f(x) = tan(x)
定义域: 所有实数, 除了x = (2n + 1)π/2, n为整数
值域: 所有实数
以上是一些常见函数的定义域和值域。
需要注意的是,函数的定义域和值域可能会受到其他条件的限制,如不等式约束等。
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题(含答案解析)
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题（含答案解析）作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。
所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。
一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。
（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内） 例：()[]223,1,4f x x x x =−−∈−解：()()214f x x =−−∴对称轴为：1x = ()[]4,5f x ∴∈−（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称 （2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →−∞→（4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > 注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a = ② 极值点：,x a x a ==− ③ 极值点坐标：()(),2,,2a a a a −−④ 定义域：()(),00,−∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎤⎡−∞−+∞⎦⎣（5）函数：()0ay x a x=−> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =± ③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。
2021版新高考数学一轮复习讲义：第二章第二讲 函数的定义域、值域 (含解析)
第二讲 函数的定义域、值域ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 函数的定义域 函数y ＝f (x )的定义域1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R . (2)分式函数中分母不等于0.(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为R . (5)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}. (6)指数函数的定义域为R . (7)对数函数的定义域为(0，＋∞). 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域： 1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . 2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}；当a <0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a}.3．y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}.4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞).5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .重要结论1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等B ．函数y ＝xx －1定义域为x >1 C ．函数y ＝f (x )定义域为[－1,2]，则y ＝f (x )＋f (－x )定义域为[－1,1] D ．函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a )的值域为R ，则a 的取值范围为(－∞，14]题组二 走进教材2．(必修1P 17例1改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( C ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，故选C ．3．(必修1P 32T5改编)函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )A ．f (32)，f (－32)B ．f (0)，f (32)C ．f (－32)，f (0)D ．f (0)，f (3)4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f (x )＝x ＋9x ，x ∈[2,4]的值域为[6，132].[解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为[6，132]． 题组三 考题再现5．(2018·江苏，5分)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为[2，＋∞).[解析] 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2.则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)． 6．(2016·北京，5分)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为2. [解析] 解法一：(分离常数法)f (x )＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x ≥2，∴x －1≥1,0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1,2]，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy －y ＝x ，∴x ＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴y y －1－2＝2－y y －1≥0，解得1<y ≤2，故函数f (x )的最大值为2.解法三：(导数法)∵f (x )＝xx －1，∴f ′(x )＝x －1－x (x －1)2＝－1(x －1)2<0，∴函数f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 求函数的定义域——多维探究角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2015·湖北，5分)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( C )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6](2)(2020·衡中调研卷)函数y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0的定义域为(2，52)∪(52，3).[解析] (1)依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2且x ≠3.即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]． (2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x －2)>02x －5≠0，解得2<x <3且x ≠52，定义域为(2，52)∪(52，3)．角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)[分析] 求抽象函数定义域的关键，f 后面括号内部分取值范围相同．[解析] 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为(－1，－12)．[引申1]若将本例中f (x )与f (2x ＋1)互换，结果如何？[解析] f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，∴－1<2x ＋1<1，∴f (x )的定义域为(－1,1)． [引申2]若将本例中f (x )改为f (2x －1)定义域改为[0,1]，求y ＝f (2x ＋1)的定义域，又该怎么办？[解析] ∵y ＝f (2x －1)定义域为[0,1]．∴－1≤2x －1≤1，要使y ＝f (2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x ≤0， 因此y ＝f (2x ＋1)定义域为[－1,0]．名师点拨 ☞函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( B )A ．(－1,3]B ．(－1,0)∪(0,3]C ．[－1,3]D ．[－1,0)∪(0,3](2)(角度1)(2020·安徽芜湖检测)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(3)(角度2)(2020·广东华南师大附中月考)已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数g (x )＝f (2x －1)ln (1－x )的定义域是( B )A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1][解析] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得x ∈(－1,0)∪(0,3]．故选B ．(2)因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D ．(3)由题意，函数f (x )的定义域为[－1,1]，即－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1.又g (x )满足1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0,1)，故选B ．考点二 求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域． (1)y ＝1－|x |1＋|x |；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋1－x 2；。
函数定义域与值域
函数定义域与值域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。
因此在求函数值域时，应注意函数定义域。
例3：求函数3254-+-=x x y 的值域．
错解：令32,322+=-=t x x t 则
∴ 8
787)41(2125)3(2222≥++=++=+-+=t t t t t y 故所求的函数值域是),8
7[+∞． 剖析：经换元后，应有0≥t ，而函数122++=t t y 在[0,+∞)上是增函数， 所以当t=0时，y min =1．
故所求的函数值域是[1, +∞）．
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。
也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
在上例的选取中，我精心设置了问题，以及学生可能出现的错误，在教学过程中精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R 来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。
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根据基本函数的值域及不等式性质、非负数性质，通过观 察分析直接得出函数值域的方法叫直接法。也叫观察分析法。 ——常用于一些解析式结构比较简单的函数。
题组1：求下列函数的值域：（抢答）
1) y x 1;
3) y 1 2x ;
2) y 2 x ;
2
4) y 2x x 2
2) y x 2 x 2。 方法三
2
配方法
通过把已知函数（或其部分）配成完全平方， 再利用非负数的性质求得函数值域的方法叫配方法。 ——常用于二次函数及与其有关的函数。
解析：
因为y
2x 1 启示：让我们先看看如何求函数y 的值域。 k x 1 2x 1 1
x 1 ＝2 x 1 。 由反比例函数y
当 1 3 x 1 3时，因为 3 ( x 1)2 0
所以0 ( x 1)2 3 3。
0 y 3。 故所求函数的值域为 0, 3 。
例题2
求下列函数的值域：
1) y 2x 4 1 x；
方法四
换元法
通过换元把求已知函数的值域转化为求关于新元 的函数值域，从而求得原函数值域的方法叫换元法。 ——常用于部分根式函数。
例1．求下列函数的值域
• ① y=3x+2( 1 x 1 )
② f ( x) 2 4 x ③ y 3
x
2.分离常数法：
例2. 求函数
x 1 y x2
的值域 （换为X2）
3.反解法：
例3.求函数
x y x 1
的值域
4.配方法：
例4．求下列函数的值域 2 y x 6x 5 ② y 2 x 2 4 x ① ③ y x2 x 2
有时一题有多种解法，而有时 一题又要同时使用多种方法才能解 决。只有灵活选用最恰当的方法， 才能快捷解题。
2) 由函数的表达式可知x R,
x 由y 2 yx 2 x y 0。 x 1
1 1 当y 0时，＝1-4y 0 y ( y 0)。 2 2 1 1 综上可得所求函数的值 域为 , 。 2 2
4 2
答： 1)1,； 2) ,2 ； 3)0,； 4) 2,。
例题1
求下列函数的值域：
5x 1 1) y ; 方法二 4x 2
分离常数法
把已知函数分离成一个常数与另一个函数 的和，从而求得函数值域的方法叫分离常数法。 ——常用于分子分母都是一次式的分式函数。
x 2) y 2 。 x 1
方法五
判别式法
把已知函数转化为关于变量的二次方程，再利用方程有 解则判别式非负。从而求得原函数值域的方法叫判别式法。 ——常用于分子或分母中有二次式的分式函数。
解析：
1）中含二次根式，要设法转化。
一）（换元升次）
设 1 x t 0 （注意新元的取值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ围 ） x 1 t 2，
① y
③ y
2x x 4x 3
2
②
x 2 3x 5 y x 1
2x 2 2x 4
x 2 4x 3 x 2 ax 2 2.求使函数 y 2 x x 1
x 2 3x 2 ④ y x 1
的值域为 (, 2)
的a的取值范围.
方法一
直接法
1．直接法：利用常见函数值域来求
• 一次函数y=ax+b(a 0) 定义域为R，值域为R； • 反比例函数的定义域为{x| x 0 }，值域为{y| }； y0 • 二次函数的定义域为 R， 当a>0时，值域为{ }； 2
(4ac b ) y| y 4a (4ac b 2 ) 当a<0时，值域为{ y | y }. 4a
7.判别式法：
例7.求下列函数的值域：(定义域为R,没有 公因式的，未限制x的值，要检验） 2 2 x 2x x x 1 ① y ② y 2
x x6
2
x 2x 2
2x
③
x2 x 2 y 2 x 1
④ y
x 2 4x 3
练习:
1.求下列函数的值域
y 2x 4 1 x ( y 2x) 2 16(1 x)
4 x 2 4(4 y) x y 2 16 0
4 2 (4 y) 2 4 4( y 2 16) 0 y 4。
,4。 所求函数的值域为
数学小博士 特别提示3：
函数的值域
1）什么叫函数的值域？函数的值域应该怎样表示？ 答：由自变量对应的所有函数值构成的集合叫 函数的值域。函数的值域应该用集合的描述法或区 间表示。 2）正比例函数y=kx、一次函数y=ax+b的值域分别 是什么？ 答：都是R。 k
3）反比例函数 y x y y R且y 0 答： 。 (k 0)的值域是什么？
2
当 y=0时，x=0,所以y可以为0；
方法总结
方法名称
直接法 配方法 分离常数法 （反函数） 换元法 判别式法
求函数值域的常用方法
主要适用函数 注意事项
简单函数 一般与非负数有关 与二次函数有关的函数 取等号条件 分子分母都是 一次式的分式函数 部分根式函数 分子或分母中有 二次三项式的分式函数 可直接用结论 新元的取值范围 判断——讨论 ——检验
复
习
4)二次函数 y ax2 bx c(a 0)的值域是什么？
4ac b 2 4ac b 2 答：a 0时为 y y ；a 0时为 y y 。 4a 4a
无论采用什么方法 求函数的值域，均应优 先考虑定义域。 求函数值域没有通用 的方法和固定的模式。只 能依据函数解析式的结构 特征来确定相应的解法。
再
见
1 1 不能为0, 那么y 2 中y 2, x 1 x 1
x
(k 0)的值域知，
2x 1 即是说函数 y 的值域为 y y R且y 2 。 x 1 说明：分子分母都是一次式的分式函数可以分离成一个常 数与一个反比例型函数的和。
5 10 ( 4 x 2) 1 5x 1 4 7 5 4 5 于是有： 1 ）y y 。 4x 2 4x 2 4 2(4 x 2) 4
5.数形结合法
2
例5．求下列函数的值域（t,t+1) ① y x 2 4x 1, x [3,4] ② y x 4x 1, x [0,5] ③ y=|x+1|+|x-2|
6.换元法：
例6．求下列函数的值域 (注意新元的值）
② y x 2 1 x
2 2 y ( x 5 x 12 )( x 5x 4) 21 ①
则y 2t 2 4t 2 2(t 1) 2 4(t 0) 4。
二）（整体配方）
y 2(1 x) 4 1 x 2 2( 1 x 1)2 4
因为 1 x 0， 所以y= 2( 1 x 1)2 4 4。
三）（平方升次再用判别式）
5 故所求函数的值域为 y y R 且 y 。 4
启示2 由二次函数 y ax2 bx c(a 0)的值域是 通过配方法（也可用判 别式法或图象法）求得 的。
所以用配方法解2）得：
由 x2 2 x 2 0得 1 3 x 1 3。