函数的奇偶性课件(公开课)
合集下载
高一函数的奇偶性ppt(校公开课)
x)2=f(x即) f(∴xf)(x=)偶f(x函) 数
0 x
例3 如图是奇函数y=f(x)图象 的一部分，试画出函数在y轴 左边的图象。
y
02 判断方法
03 性质及用途：
01
04
定义
数形结
小结：
合思想
下节课讲解：
01
例2、
证
明
函
数f
(
x)
x2 x x x2
是奇函数
( x 0) ( x 0)
关系？
O
x
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 2 1 012 …
函数y=f(x)的 图象
关于y轴对称
一．对定义域中的每一
○ 个x，-x是也在定义
01
○ 域内；
三、偶函数的定义
一．都有f(x)=f(-x)
○ 如果对于函数f(x)的定义域为
02
A。如果对任意的x∈A，都
有
○ f(-x)= f(x)，
03 二．图象法: 看图象是否关于原点或 y轴对称.
04 如果一个函数f(x)是奇函数 或偶函数，那么我们就说 函数f(x)具有奇偶性.
非奇非偶函数
如：
y
3
y=3x+1
2
1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1
2
3x
y
y=x2+2x
3
2
1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1
2
3x
即是奇函数又是偶函数的函数
02
例3 已知y=f(x)是R 上的奇函数，当x>0 时，
f(x)=x2 +2x-1 ，求 函数的表达式。
高中数学《函数的奇偶性》课件PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
例1. 判断下列函数旳奇偶性
(1) f(x)=x3+2x
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
(2) f(x)=2x4+3x2
解: 定义域为R ∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 =2x4+3x2 即 f(-x)= f(x) ∴f(x)为偶函数
f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1) f(-x)= - f(x)
y
(x,y)
f(x)
-x o x
x
f(-x)
(-x,-y)
1.奇函数旳概念:
奇函数定义:
假如对于f(x)定义域内旳任意一种x,都有f(-x)=-f(x) ,
那么函数f(x)就叫奇函数.
☆奇函数、偶函数定义旳阐明:
(1).函数具有奇偶性旳前提：定义域有关原点对称 。
①f(x)=x4 _偶__函__数___ ④ f(x)= x -1 __奇__函__数____
② f(x)=x _奇__函__数___ ③ f(x)=x5 _奇__函__数_____
⑤f(x)=x -2 _偶__函__数_____ ⑥f(x)=x -3 ____奇___函___数_____
阐明：对于形如 f(x)=x n 旳函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。
∴f(x)为非奇非偶函数 y
y
o
x
-1 o
3x
阐明：根据奇偶性非奇非偶函数
y
(-a,f(-a))
-a o
(a,f(a))
ax
偶函数旳图象有关y轴对称，反过来， 假如一种函数旳图象有关y轴对称， 那么这个函数是偶函数.
3.3.2函数的奇偶性(1)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第10页
解：f(x)在(0,+∞) 上为增函数，作出f(x) 一部分图象；
(1)依据f(x)为奇函数能够作出另一部分图象， 由图象可知， f(x)在区间(-∞,0)上为增函数。
(2)依据f(x)为偶函数能够作出另一部分图象， 由图象可知， f(x)在区间(-∞,0)上为减函数。
第7页
二.奇函数和偶函数定义域特征
函数f(x)=x2定义 域为(-∞,+∞),函数 为偶函数；
函数f(x)= x3定义 域为[-2, 2],函数为 奇函数；
若定义域改为(-∞,2],
函数不是偶函数(当然 也不是奇函数பைடு நூலகம்。
若定义域改为[-1,2],
函数不是奇函数(当然 也不是偶函数)。
结论：奇函数和偶函数定义域一定关于原点对称。
反之，若函数定义域不关于原点对称，则这个函数一定 是非奇非偶函数。
假如函数图象关于原点对称,则函数就叫做奇函数. 作关于原点对称曲线时，可分两步进行，先作关于y轴对 称曲线，再作关于x轴对称曲线。 二.奇函数和偶函数定义域特征 奇函数和偶函数定义域一定关于原点对称。 反之，若函数定义域不关于原点对称，则这个函数一定 是非奇非偶函数。 三.奇函数和偶函数定义 假如对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,都有: (1) f(x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数；(2) f(-x)=f(x),则这个函数 叫做偶函数。 作业:P824,P858,9 练习册: P368， P375
第3页
再看函数图象：f(x)=x，g(x)=x3，h(x)=x-1 ：
这一组函数特征是： 图象关于原点轴对称。 假如函数图象关于原点轴对称,则函数就叫做 奇函数.
第4页
例:依据奇偶性,作出 函数f(x)图象另一部分. (1) f(x)为偶函数 ； (2) f(x)为奇函数。
解：f(x)在(0,+∞) 上为增函数，作出f(x) 一部分图象；
(1)依据f(x)为奇函数能够作出另一部分图象， 由图象可知， f(x)在区间(-∞,0)上为增函数。
(2)依据f(x)为偶函数能够作出另一部分图象， 由图象可知， f(x)在区间(-∞,0)上为减函数。
第7页
二.奇函数和偶函数定义域特征
函数f(x)=x2定义 域为(-∞,+∞),函数 为偶函数；
函数f(x)= x3定义 域为[-2, 2],函数为 奇函数；
若定义域改为(-∞,2],
函数不是偶函数(当然 也不是奇函数பைடு நூலகம்。
若定义域改为[-1,2],
函数不是奇函数(当然 也不是偶函数)。
结论：奇函数和偶函数定义域一定关于原点对称。
反之，若函数定义域不关于原点对称，则这个函数一定 是非奇非偶函数。
假如函数图象关于原点对称,则函数就叫做奇函数. 作关于原点对称曲线时，可分两步进行，先作关于y轴对 称曲线，再作关于x轴对称曲线。 二.奇函数和偶函数定义域特征 奇函数和偶函数定义域一定关于原点对称。 反之，若函数定义域不关于原点对称，则这个函数一定 是非奇非偶函数。 三.奇函数和偶函数定义 假如对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,都有: (1) f(x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数；(2) f(-x)=f(x),则这个函数 叫做偶函数。 作业:P824,P858,9 练习册: P368， P375
第3页
再看函数图象：f(x)=x，g(x)=x3，h(x)=x-1 ：
这一组函数特征是： 图象关于原点轴对称。 假如函数图象关于原点轴对称,则函数就叫做 奇函数.
第4页
例:依据奇偶性,作出 函数f(x)图象另一部分. (1) f(x)为偶函数 ； (2) f(x)为奇函数。
函数的奇偶性课件(公开课中职班)
物理学中的应用
电磁学
奇偶性在电磁学中有着广泛的应用， 例如在研究电磁波的传播、电磁场的 分布以及电磁力的作用时，常常需要 利用函数的奇偶性进行分析和计算。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、水波等 ，函数的奇偶性可以帮助我们更好地 理解波的传播规律和特性。
经济学中的应用
金融分析
在金融数据分析中，奇偶性可以帮助我们更好地理解和预测股票、债券等金融 产品的价格走势。例如，股票价格的波动可能呈现出一定的周期性，而函数的 奇偶性可以帮助我们判断这种周期性的规律。
非奇非偶函数的定义
既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数。
非奇非偶函数的特性
非奇非偶函数的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称。
非奇非偶函数的例子
正切函数、正弦函数等。
02 奇偶性的判断方法
定义法
判断步骤包括：首先确定函数定义域是否关于原点对 称，然后计算$f(-x)$并与$f(x)$比较，最后根据定义 判断$f(-x)$与$f(x)$的关系得出结论。
函数的奇偶性课件(公开课中职班)
目录
• 函数奇偶性的定义 • 奇偶性的判断方法 • 奇偶性在生活中的应用 • 奇偶性的扩展知识 • 习题与解答
01 函数奇偶性的定义
奇函数
01
02
03
奇函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$为奇函数。
统计学
在统计学中，数据的分布和变化规律常常可以用函数来描述，而函数的奇偶性 可以帮助我们更好地分析这些数据，例如判断数据的对称性、偏态等。
计算机科学中的应用
图像处理
在图像处理中，奇偶性可以帮助我们分析和处理图像的对称性、翻转等操作。例 如，在图像识别和计算机视觉中，可以利用函数的奇偶性进行特征提取和匹配。
奇偶性第课时函数奇偶性的概念省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
(2)若函数定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不 是偶函数．
2024/2/18
研修班
5
第5页
判断下列函数是否具有奇偶性．
(1)f(x)＝x－1x (2)f(x)＝x2－1，x∈[－3,3] (3)f(x)＝2xx2＋＋36x
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①函数 f(x)的解析式均已知；
2024/2/18
研修班
17
第17页
【证实】 令x＝0，y＝x， 则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)① 又令x＝x，y＝0得 f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)② ①②得f(－x)＝f(x) ∴f(x)是偶函数．
2024/2/18
研修班
18
第18页
1．准确了解函数奇偶性定义
(1)①偶函数(奇函数)定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D
(2)函数按奇偶性能够分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函
数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．
2024/2/18
研修班
19
第19页
判断函数 f(x)＝(x－1)
11＋－xx的奇偶性．
【错解】 将解析式变形为：
f(x)＝－ (1－x)211＋－xx＝－ (1＋x)(1－x)
＝－ 1－x2.
∴f(－x)＝－ 1－(－x)2＝－ 1－x2 ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 【错因】 没有考察函数定义域的对称性．
2024/2/18
研修班
11
第11页
(3)x∈R， f(－x)＝|－x＋2|－|－x－2| ＝|x－2|－|x＋2| ＝－(|x＋2|－|x－2|)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
已知 f(x)＝x－2＋x2x＋＋x1－1
2024/2/18
研修班
5
第5页
判断下列函数是否具有奇偶性．
(1)f(x)＝x－1x (2)f(x)＝x2－1，x∈[－3,3] (3)f(x)＝2xx2＋＋36x
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①函数 f(x)的解析式均已知；
2024/2/18
研修班
17
第17页
【证实】 令x＝0，y＝x， 则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)① 又令x＝x，y＝0得 f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)② ①②得f(－x)＝f(x) ∴f(x)是偶函数．
2024/2/18
研修班
18
第18页
1．准确了解函数奇偶性定义
(1)①偶函数(奇函数)定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D
(2)函数按奇偶性能够分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函
数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．
2024/2/18
研修班
19
第19页
判断函数 f(x)＝(x－1)
11＋－xx的奇偶性．
【错解】 将解析式变形为：
f(x)＝－ (1－x)211＋－xx＝－ (1＋x)(1－x)
＝－ 1－x2.
∴f(－x)＝－ 1－(－x)2＝－ 1－x2 ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 【错因】 没有考察函数定义域的对称性．
2024/2/18
研修班
11
第11页
(3)x∈R， f(－x)＝|－x＋2|－|－x－2| ＝|x－2|－|x＋2| ＝－(|x＋2|－|x－2|)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
已知 f(x)＝x－2＋x2x＋＋x1－1
3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)
f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1
探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数
函数的奇偶性共课时省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
思索3:普通地，若函数y=f(x)图象关于坐标
原点对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之
成立吗？
f(x)=-f(-x)
思索4:我们把含有上述特征函数叫做奇函数， 那么怎样定义奇函数？
假如对于函数f(x)定义域内任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇 函数.
第7页
思索5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述？
第9页
例3 确定函数 f (x) x2 2 | x | 3单调区间.
y
x -1 o 1
第10页
作业: P36练习：1，2
第11页
1.3.2 函数奇偶性 第二课时 函数奇偶性性质
第12页
问题提出
1.奇函数、偶函数定义分别是什么？ 2.奇函数和偶函数定义域、图象分别有 何特征？ 3.函数奇偶性有那些基本性质？
f(x) + f(-x)是偶函数 f(x) - f(-x)是奇函数
第16页
思索3:二次函数 f (x) ax2 bx c 是偶函
数条件是什么？ 一次函数 f (x) kx b 是奇函数条件
是什么？ b=0
第17页
理论迁移
例1 已知f(x)是奇函数，且当 x 0时，
f (x) x2 3x
思索5:常数函数 f (x) a(a 0) 含有奇）
思索1:假如函数f(x)和g(x)都是奇函数，那 么f(x) + g(x)，f(x) - g(x)， f(x)×g(x) ，f(x)÷g (x)奇偶性怎样？
思索2:假如f(x)是定义在R上任意一个函数， 那么f(x) + f(-x)，f(x) - f(-x)奇偶性怎 样？
第2页
知识探究（一）
函数奇偶性完整(公开课课件)ppt课件
精品课件
21
(3)f(x)=0 (xR)
解:函数f(x)的定义域为R． ∵ f(-x)=f(x)=0， 又 f(-x)=-f(x)=0， ∴f(x)为既奇又偶函数．
(4) f(x)=x+1
解:函数定义域为R． ∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1, ∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x). ∴f(x)为非奇非偶函数.
临沂三中 李法学
精品课件
3
教学目标
➢1、理解奇函数、偶函数的概念； ➢2、函数奇偶性的判断； ➢3、奇、偶函数图象的性质
【重点】函数奇偶性的概念
【难点】函数奇偶性的判断
精品课件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
观察下列两个函数图象并思考以下问题：
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
这两个 函数的图像
（2）当自变量x取一对相反数时,相应的
说明f(-x)与f(x)都有意义，
即-x、x必须同时属于定义域，
因此偶函数的定义域关于原点对称的。
精品课件
7
思考：（1）下列函数图像是偶函数的图像吗?
y
y
y
。
1
x
1x
-1 1
x
f (x) x2
f(x)x2 x(,1] f(x)x2（x1） x(,1] [1,)
（2）下列说法是否正确，为什么？
①若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数． ②若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
● f(x)就叫做偶函数.
● 2、奇函数的图象关于
对称。
● 二、判断正误：
● 1、偶函数的图形不一定关于y轴对称…………（ ）
《函数的奇偶性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
坐标控制
f(x) = x
横坐标相反，纵坐标相反（如图）．
y
A: (–2.12, –2.12) 4
A': (2.12, 2.12)
3
f(xA')
A'
2
1
xA
O
–4 –3 –2 –1
–1
xA' 1 2 3 4x
追问3 你能用函数语言描述该特征吗？
–2
A
f(xA)
–3
–4
当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相反．
1 2xA' 3 4x
此时点A与点A′就是一组对称点．
追问2
新知探究
控刻度线 等单位长
你能说说这组对称点的坐修 坐标改 标刻 控度 制之间的关系吗？
f(x) = x2
横坐标相反，纵坐标相同（如图）．
y
A: (–2.29, 5.25) A': (2.29, 5.25) 8
7
f(xA)6 f(xA')
若点A是原点O，则对称点就是它本身；
A': (2.12, 2.12)
3
f(xA')
A'
2
若点A不是原点，将A绕原点O旋转180°得到A′，
1
xA
O
–4 –3 –2 –1
–1
xA' 1 2 3 4x
此时点A与点A′就是一组对称点．
–2
A
f(xA)
–3
–4
新知探究 坐标初始
坐标网格
隐藏刻度
控刻度线
追问2 你能说说这组对称点等修单改的位刻长度坐标之间的关系吗？
追问4
新知探究 坐标初始
函数的奇偶性(1)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第8页
2 f x 2x是奇函数
第9页
3 f x 2 x 是偶函数
第10页
4 f x x 12
第11页
5 f x 2x ,3 x 1
第12页
6 f x 9 x2 x2 9
第13页
例2 f x x3 5x是奇函数
y
第14页
偶函数图像关于y轴对称 奇函数图像关于原点对称
第1页
复习回顾与情境创设：
说出以下函数单调性：
(1)f(x) ＝x2－2
y
y＝f(x)
O
x
1
(2)f(x) ＝
x
y
y＝f(x)
O
x
在(－，0)上是减函数；
在(－，0)上是减函数；
在(0，＋)上是增函数．
在(0，＋)上也是减函数．
我们从这两个函数图象上除看到了单调性，还能看到什么性质吗？
怎样用数学语言来刻画这一几何性质呢？
第3页
1
(2)f(x) ＝
x
y
y＝f(x)
O
x
对于函数f x 1 x 0,
x 当自变量取一对相反数时，
它们的函数值互为相反数。例如，
f 2 1 f 2
2
f 1 1 f 1
f 1 3 f 1
3
3
对于函数f x 1 定义域R内任意一个x,
x
都有f x 1 f x.
第15页
例3 已知函数f(x)为偶函数， 且当x<0时， f(x)=x+1， 求当x>0时，函数f(x)解析式。
第16页
例4 定义在（-1,1）奇函数f(x)在整个定义域 上是单调减函数，若f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数 a取值范围。
2 f x 2x是奇函数
第9页
3 f x 2 x 是偶函数
第10页
4 f x x 12
第11页
5 f x 2x ,3 x 1
第12页
6 f x 9 x2 x2 9
第13页
例2 f x x3 5x是奇函数
y
第14页
偶函数图像关于y轴对称 奇函数图像关于原点对称
第1页
复习回顾与情境创设：
说出以下函数单调性：
(1)f(x) ＝x2－2
y
y＝f(x)
O
x
1
(2)f(x) ＝
x
y
y＝f(x)
O
x
在(－，0)上是减函数；
在(－，0)上是减函数；
在(0，＋)上是增函数．
在(0，＋)上也是减函数．
我们从这两个函数图象上除看到了单调性，还能看到什么性质吗？
怎样用数学语言来刻画这一几何性质呢？
第3页
1
(2)f(x) ＝
x
y
y＝f(x)
O
x
对于函数f x 1 x 0,
x 当自变量取一对相反数时，
它们的函数值互为相反数。例如，
f 2 1 f 2
2
f 1 1 f 1
f 1 3 f 1
3
3
对于函数f x 1 定义域R内任意一个x,
x
都有f x 1 f x.
第15页
例3 已知函数f(x)为偶函数， 且当x<0时， f(x)=x+1， 求当x>0时，函数f(x)解析式。
第16页
例4 定义在（-1,1）奇函数f(x)在整个定义域 上是单调减函数，若f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数 a取值范围。
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
例如
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4
x
f ( x) x 2
-3 -2 -1 0 1 2
3
x
f ( x) x
-3 -2 -1 0 1 2
3 3
9 4
1 0 1 4 9
3 2 1 0 1 2
函数图 象关于y 轴对称
这样的函数我们称之为偶函数
函数奇偶性的定义一（“形”的角度）
一般地，图象关于原点对称的函数叫做奇函数 . 反之，奇函数的图象一定关于原点对称 . y 一般地，图象关于 轴对称的函数称为偶函数 . y 反之，偶函数的图象一定关于 轴对称. f ( x) 当函数 是奇函数或偶函数时，称函数具有 奇偶性.
请同学们回答一下什么是轴对称图形？
轴对称图形：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线 两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条 直线叫做对称轴.
1 请同学们观察函数 f ( x) x与函数 f ( x) 的图象 . x
函数图 象关于 原点对 称
这样的函数我们称之为奇函数
请同学们观察函数 f ( x) x2与函数f ( x) x的图象 .
答：定义域必须关于原点对称！
偶函数定义： 一般地，如果对于函数 f ( x ) 定义域内的任意一个x ， 都有 f ( x) f ( x)成立，则称函数 f ( x ) 为偶函数. f ( x ) 和 f ( x )的值相等，即 反之，偶函数 f ( x ) 中， f (- x) f ( x) .
该函数是非奇非偶函数
（4）f ( x) x 1
解：（4）该函数定义域为（ ， ） , 对于任意x （ ， ） , f ( x) （ x） 1 x 1 f ( x) f ( x ) ( x ) 1 ( x 1) f ( x )
偶函数对定义域有什么 特殊要求吗？
答：定义域必须关于原点对称！
例2、判断下列函数的奇偶性. （ 1 ）f ( x) x 3
解：（ 1）该函数定义域为 R, 且对于任意x （ ， ） , 都有 f ( x) ( x)3 x 3 f ( x)
该函数是奇函数
（2）f ( x) 2 x 2 1
课堂小结：
如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x
f ( x) f ( x)
奇函数
函数图象关于原点对称
f ( x) f ( x)
偶函数
函数图象关于 y轴对称
课后作业：
课本36页 练习1.2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
-3
-3
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
3
3
f ( x) x
x
1 f ( x) x
-3
1 3
-2
1 2
-1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1 2
3
1 3
-1
1
f ( x) x
2
y
5 4 3 2 1
f ( x) x
函数奇偶性的定义二（“数”的角度）
奇函数定义： 一般地，如果对于函数 f ( x ) 定义域内的任意一个x ， 都有 f ( x) f ( x) 成立,则称函数 f ( x ) 为奇函数. 反之，若函数 f ( x ) 为奇函数，则一定有f ( x) f ( x) .
奇函数对定义域有什 么特殊要求吗？
定义域不关于原点对称 的函数都是非奇非偶函 数
该函数是非奇非偶函数
当堂练习．判断下列函数的奇偶性：
1 1 1 f ( x ) x （2）f ( x ) 2 x x 2 （3）f ( x ) 3x 1 ( 4) f ( x ) 3x 2
判断函数奇偶性的方法： 1、图象法：由函数图象的对称性观察. 2、定义法： 第一步： 求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对 称.若定义域不关于原点对称,则函数肯定是非奇非偶函数. 若定义域关于原点对称，则进入第二步. 第二步：用 x代替 x，若 f ( x) f ( x)，则 f ( x) 为奇函数. 若 f ( x) f ( x)， 则 f ( x)为偶函数. 若 f ( x) f ( x) 且 f ( x) f ( x)， 则 f ( x) 为非奇非偶函数.
1.3函数的基本性质
1.3.2奇偶性
请同学们观察下列图形，并说一下它们具 有什么特征？
请同学们观察下列图形，思考并回答它们有 什么共同特征？
请同学们回答一下什么是中心对称图形？ 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个 图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
解：（ 2）函数定义域为 R, 且对于任意x （ ， ） , 都有 f ( x ) 2( x ) 2 1 2 x 2 1 f ( x )
该函数是偶函数
（ 3 ）f ( x)
x
x | x 0 解：（ 3）该函数定义域为 ，定义域没有关于原点 对称
函数的奇偶性反映到函数图象上是函数图象的什么性质？
答：对称性.
例1、下列函数具有奇偶性吗？
y y y
2 o 1
y x 2 , x 2,1
x
o
y x 3 x 1
x
o
y x2
x
, x 2,2
y 3 2 1
f ( x) x
y 3 2 1
1 f ( x) x