第22讲 多边形与平行四边形
多边形与平行四边形知识点总结
多边形与平行四边形知识点总结
多边形与平行四边形
一、多边形
1.多边形的定义：平面内由若干条线段首尾相接而成的封闭图形。
2.多边形的对角线：n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。
3.多边形的内角和和外角和：n边形的内角和公式为(n-2)×180°，外角和为360°。
4.正多边形：各边相等，各角也相等的多边形。
二、平行四边形的性质
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。
2.平行四边形的性质：
边：两组对边分别平行且相等。
角：对角相等，邻角互补。
对角线：互相平分。
对称性：中心对称但不是轴对称。
3.平行四边形解题模型：
利用平行四边形相邻两边之和等于周长的一半。
利用平行四边形中有相等的边、角和平行关系，结合三角形全等来解题。
过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长。
三、平行四边形的判定
注意：平行四边形的解题方法有很多种，需要根据具体情况进行选择。
2020河北中考数学分层刷题训练25.数学 第22讲 多边形与平行四边形
第22讲多边形与平行四边形1. (2019，河北)下列图形为正多边形的是(D)A. B. C. D.【解析】根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．2. (2015，河北)如图，平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝24°.第2题图【解析】正三角形的每个内角的度数是180°÷3＝60°，正方形的每个内角的度数是360°÷4＝90°，正五边形的每个内角的度数是[(5－2)×180°]÷5＝108°，正六边形的每个内角的度数是[(6－2)×180°]÷6＝120°，则∠3＋∠1－∠2＝(90°－60°)＋(120°－108°)－(108°－90°)＝24°.3. (2015，河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的．她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.第3题图(2)按嘉淇的想法写出证明；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 平行四边形的对边相等 ．(1)解：CD 平行(2)证明：如答图，连接BD .∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB .∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴AB ∥CD ，AD ∥BC .∴四边形ABCD 是平行四边形．(3)解：平行四边形的对边相等第3题答图4. (2012，河北)如图，在▱ABCD 中，∠A ＝70°.将平行四边形折叠，使点D ，C 分别落在点F ，E 处(点F ，E 都在AB 所在的直线上)，折痕为MN ，则∠AMF 的度数为(B )第4题图A. 70°B. 40°C. 30°D. 20°【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD.根据折叠的性质，可得MN ∥AE ，∠FMN ＝∠DMN.∴AB ∥CD ∥MN.∵∠A ＝70°，∴∠FMN ＝∠DMN ＝∠A ＝70°.∴∠AMF ＝180°－∠DMN －∠FMN ＝180°－70°－70°＝40°.5. (2012，河北)如图①，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．如图②，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接．若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 6 .第5题图【解析】 因为正六边形的每个内角都是120°，所以拼成的正多边形的每个内角的度数为360°－120°－120°＝120°.列方程，得()n －2×180°n＝120°.解得n ＝6.借助多边形边与角的性质解决问题例1 (2019，徐州)如图，A ，B ，C ，D 为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O 为正多边形的中心，则∠OAD ＝ 30° .例1题图【解析】 如答图，连接OB ，OC.正多边形的每个外角相等，且其和为360°.据此可得该正多边形的边数为360°40°＝9.∴∠AOB ＝360°9＝40°.∴∠AOD ＝40°×3＝120°.∴∠OAD ＝180°－∠AOD 2＝30°.例1答图针对训练1 (2019，枣庄)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图①所示)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE .图中，∠BAC ＝ 36° .训练1题图【解析】 ∵∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°，△ABC 是等腰三角形，∴∠BAC ＝∠BCA ＝36°.针对训练2 (2019，铜仁)如图所示的是矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形．若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a ＋b 不可能是(C )训练2题图A. 360°B. 540°C. 630°D. 720°【解析】 一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个选项，只有630不能被180整除，所以a ＋b 不可能是630°.借助平行四边形的性质求边和角例2 (2019，邯郸模拟)如图，在▱ABCD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝2AD ，BD 的垂直平分线分别交AB ，CD 于点E ，F ，垂足为O .(1)求tan ∠ABD 的值；(2)求证：OE ＝OF ；(3)连接DE ，BF .若AD ＝6，求四边形DEBF 的周长．例2题图(1)解：∵∠ADB ＝90°，AB ＝2AD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4AD 2－AD 2＝3AD .∴tan ∠ABD ＝AD BD ＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD .∴∠OBE ＝∠ODF .∵EF 是BD 的垂直平分线，∴OB ＝OD .在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)．∴OE ＝OF .(3)解：由(2)得OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形．∵EF ⊥BD ，∴四边形DEBF 是菱形．∴DE ＝BE ＝BF ＝DF .由(1)得BD ＝3AD ＝63，∴OB ＝3 3.∵sin ∠ABD ＝AD AB ＝12， ∴∠OBE ＝30°.∴BE ＝OB cos 30°＝6. ∴四边形DEBF 的周长为6×4＝24.针对训练3 (2019，遂宁)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于点E ，连接BE .若▱ABCD 的周长为28，则△ABE 的周长为(D )训练3题图A.28B.24C. 21D. 14【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC.∵▱ABCD 的周长为28，∴AB ＋AD ＝14.∵OE ⊥BD ，∴OE 是线段BD 的垂直平分线．∴BE ＝ED.∴△ABE 的周长为AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋AD ＝14.平行四边形的判定和性质例3 (2019，河池)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是(B )例3题图A. ∠B ＝∠FB. ∠B ＝∠BCFC. AC ＝CFD. AD ＝CF【解析】 ∵在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE 綉12AC.根据∠B ＝∠F 不能判定CF ∥AB ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故选项A 错误．根据∠B ＝∠BCF 可以判定CF ∥AB ，即CF ∥AD.由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故选项B 正确．根据AC ＝CF 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故选项C 错误．根据AD ＝CF 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故选项D 错误．针对训练4 (2019，唐山古冶区一模)顺次连接平面上A ，B ，C ，D 四点得到一个四边形，从①AB ∥CD ，②BC ＝AD ，③∠A ＝∠C ，④∠B ＝∠D 四个条件中任取其中两个，不一定能得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的是(A )A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④【解析】 当①AB ∥CD ，③∠A ＝∠C 时，四边形ABCD 为平行四边形．当①AB ∥CD ，④∠B ＝∠D 时，四边形ABCD 为平行四边形．当③∠A ＝∠C ，④∠B ＝∠D 时，四边形ABCD 为平行四边形．当①AB ∥CD ，②BC ＝AD 时，四边形ABCD 可能为等腰梯形，也可能是平行四边形．针对训练5 (2019，遂宁)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，延长BC 到点E ，使CE ＝BC ，连接AE 交CD 于点F ，F 是CD 的中点．求证：(1)△ADF ≌△ECF ；(2)四边形ABCD 是平行四边形．训练5题图证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠DAF ＝∠E .∵F 是CD 的中点，∴DF ＝CF .在△ADF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠E ，∠AFD ＝∠EFC ，DF ＝CF ，∴△ADF ≌△ECF (AAS)．(2)∵△ADF ≌△ECF ，∴AD ＝EC .∵CE ＝BC ，∴AD ＝BC .∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．一、 选择题1. (2019，白银)如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是(C )第1题图A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【解析】 正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°.2. (2019，湘西州)已知一个多边形的内角和是1 080°，则这个多边形是(D )A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形【解析】设这个多边形的边数为n，则(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8.3. (2019，福建)已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为(B)A. 12B. 10C. 8D. 6【解析】360°÷36°＝10，所以这个正多边形的边数为10.4. (2019，邯郸一模)如图，P为▱ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB的面积分别为S，S1，S2.若S＝2，则S1＋S2的值为(C)第4题图A. 4B. 6C. 8D. 不能确定【解析】∵E，F分别是PB，PC的中点，∴EF为△PCB的中位线．∴EF∥BC，EF ＝1∶S△PBC＝1∶4.∵S△PEF＝2，∴S△PBC＝8.∵四2BC.∴△PEF∽△PBC，且相似比为1∶2.∴S△PEF边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴S1＋S2＝S△PBC＝8.5. (2019，石家庄模拟)证明：平行四边形的对角线互相平分．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O.求证：AO＝CO，BO＝DO.以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是(C)①∴∠ABO＝∠CDO，∠BAC＝∠DCA.②∵四边形ABCD是平行四边形．③∴AB∥CD，AB＝DC.④∴△AOB≌△COD.⑤∴OA＝OC，OB＝OD.第5题图A. ②①③④⑤B. ②③⑤①④C. ②③①④⑤D. ③②①④⑤【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC.∴∠ABO＝∠CDO，∠BAC＝∠DCA.∴△AOB≌△COD.∴OA＝OC，OB＝OD.∴正确的顺序为②③①④⑤.6. (2019，邯郸模拟)如图，在▱ABCD中，E，F分别在BC，AD上．若想要使四边形AECF 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是(B)第6题图A. AF ＝ECB. AE ＝CFC.∠BAE ＝∠FCDD. ∠BEA ＝∠FCE【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AF ∥EC.∵AF ＝EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．故选项A 不符合题意．根据AE ＝CF ，四边形AECF 可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．故选项B 符合题意．由∠BAE ＝∠FCD ，∠B ＝∠D ，AB ＝CD ，可以推出△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF.∵AD ＝BC ，∴AF ＝EC.∵AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．故选项C 不符合题意．∵∠BEA ＝∠FCE ，∴AE ∥CF.∵AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．故选项D 不符合题意．7. (2019，盘锦大洼区一模)已知▱ABCD ，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论不一定成立的是(C )第7题图A. ∠DAE ＝∠BAEB. ∠DEA ＝12∠DAB C. DE ＝BE D. BC ＝DE【解析】 由作法可知AE 平分∠DAB ，∴∠DAE ＝∠BAE.故选项A 不符合题意．∵CD∥AB ，∴∠DEA ＝∠BAE ＝12∠DAB.故选项B 不符合题意．无法证明DE ＝BE ，故选项C 符合题意．∵∠DAE ＝∠DEA ，∴AD ＝DE.∵AD ＝BC ，∴BC ＝DE.故选项D 不符合题意．8. (2019，葫芦岛连山区一模)如图，一个平行四边形被分成面积为S 1，S 2，S 3，S 4的四个小平行四边形．当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1S 4与S 2S 3的大小关系为(C )第8题图A. S 1S 4＞S 2S 3B. S 1S 4＜S 2S 3C. S 1S 4＝S 2S 3D. 无法确定【解析】 如答图，设直线CG 到EF 的距离为h 1，EF 到AB 的距离为h 2.根据平行四边形的性质知，S 1＝AD·h 1，S 4＝BD·h 2，S 2＝AD·h 2，S 3＝BD·h 1，∴S 1S 4＝AD·BD·h 1·h 2，S 2S 3＝AD ·BD ·h 1·h 2.∴S 1S 4＝S 2S 3.第8题答图 9. (2019，广州)如图，在▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是(B )第9题图A. EH ＝HGB. 四边形EFGH 是平行四边形C. AC ⊥BDD. △ABO 的面积是△EFO 的面积的2倍【解析】 ∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，在▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，∴EH ＝12AD ＝2，HG ＝12CD ＝12AB ＝1.∴EH ≠HG .故选项A 错误．∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，∴EH ＝12AD ＝12BC ＝FG ，EH ∥AD ，FG ∥BC.∵AD ∥BC ，∴EH ∥FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．故选项B 正确．由题目中的条件，无法判断AC和BD 是否垂直，故选项C 错误．∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF ＝12AB ，EF ∥AB.∴△EFO ∽△ABO.∴S △EFOS △ABO ＝⎝⎛⎭⎫EF AB 2＝14，即△ABO 的面积是△EFO 的面积的4倍．故选项D 错误．10. (2019，威海)如图，E 是▱ABCD 边AD 延长线上一点，连接BE ，CE ，BD ，BE 交CD 于点F .添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是(C )第10题图A. ∠ABD ＝∠DCEB. DF ＝CFC. ∠AEB ＝∠BCDD. ∠AEC ＝∠CBD【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴DE ∥BC ，∠ABD ＝∠CDB.∵∠ABD ＝∠DCE ，∴∠DCE ＝∠CDB.∴BD ∥CE.∴四边形BCED 为平行四边形．故选项A 不符合题意．∵DE ∥BC ，∴∠DEF ＝∠CBF.在△DEF 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DEF ＝∠CBF ，∠DFE ＝∠CFB ，DF ＝CF ，∴△DEF ≌△CBF(AAS )．∴EF ＝BF.∵DF ＝CF ，∴四边形BCED 为平行四边形．故选项B 不符合题意．∵AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBF.∵∠AEB ＝∠BCD ，∴∠CBF ＝∠BCD.∴CF ＝BF.同理，EF ＝DF.∴不能判定四边形BCED 为平行四边形．故选项C 符合题意．∵AE ∥BC ，∴∠DEC ＋∠BCE ＝∠EDB ＋∠DBC ＝180°.∵∠AEC ＝∠CBD ，∴∠EDB ＝∠BCE.∴四边形BCED 为平行四边形．故选项D 不符合题意．二、 填空题11. (2019，济宁)如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 140°.第11题图【解析】 该正九边形的内角和为180°×(9－2)＝1 260°，则每个内角的度数＝1 260°9＝140°.12. (2019，百色)四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD 按箭头方向变形成▱A ′B ′C ′D ′.当变形后图形面积是原图形面积的一半时，∠A ′＝ 30°.第12题图【解析】 ∵S ▱A ′B ′C ′D ′＝12S 矩形ABCD ，∴▱A ′B ′C ′D ′的底边A′D′上的高等于AB 的一半．∵A ′B ′＝AB ，∴∠A′＝30°.13. (2019，广安)如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则∠AFE ＝ 72 °.第13题图【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠EAB ＝∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°.∵BA ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝36°.同理∠ABE ＝36°.∴∠AFE ＝∠ABF ＋∠BAF ＝36°＋36°＝72°.14. (2019，梧州)如图，在▱ABCD 中，∠ADC ＝119°，BE ⊥DC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，BE 与DF 相交于点H ，则∠BHF ＝ 61 °.第14题图【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝119°，∴∠C ＝61°.∵BE ⊥DC ，DF ⊥BC ，∴∠C ＋∠CBE ＝∠FBH ＋∠BHF ＝90°.∴∠BHF ＝∠C ＝61°.15. (2019，达州)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD 的周长为 16 .第15题图【解析】 ∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴BO ＝DO ＝12BD.∴BD ＝2OB ，O为BD 的中点．∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2BE ，BC ＝2OE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD.∴CD ＝2BE.∵△BEO 的周长为8，∴OB ＋OE ＋BE ＝8.∴BD ＋BC ＋CD ＝2OB ＋2OE ＋2BE ＝16.∴△BCD 的周长是16.16. (2019，株洲)如图，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角∠EAB 的平分线相交于点P ，且∠ABP ＝60°，则∠APB ＝ 66 °.第16题图【解析】 ∵五边形ABCDE 为正五边形，∴∠EAB ＝108°.∵AP 是∠EAB 的平分线，∴∠PAB ＝54°.∵∠ABP ＝60°，∴∠APB ＝180°－60°－54°＝66°.17. (2019，武汉)如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，AE ＝EF ＝CD ，∠ADF ＝90°，∠BCD ＝63°，则∠ADE 的度数为 21° .第17题图【解析】 设∠ADE ＝x.∵AE ＝EF ，∠ADF ＝90°，∴DE ＝12AF ＝AE ＝EF.∴∠DAE ＝∠ADE ＝x.∵AE ＝EF ＝CD ，∴DE ＝CD.∴∠DCE ＝∠DEC ＝2x.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠BCA ＝x.∴∠DCE ＝∠BCD －∠BCA ＝63°－x.∴2x ＝63°－x.解得x ＝21°，即∠ADE ＝21°.18. (2019，宜宾)如图，六边形ABCDEF 的内角都相等，AD ∥BC ，则∠DAB ＝ 60° .第18题图【解析】 六边形ABCDEF 的内角和为(6－2)×180°＝720°.∵六边形ABCDEF 的内角都相等，∴∠B ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠DAB ＝180°－∠B ＝60°.三、 解答题19. (2019，安徽)如图，点E 在▱ABCD 内部，AF ∥BE ，DF ∥CE . (1)求证：△BCE ≌△ADF ；(2)设▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ，求ST的值．第19题图(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°.∵AF ∥BE ，∴∠EBA ＋∠BAF ＝180°. ∴∠CBE ＝∠DAF . 同理∠BCE ＝∠ADF .在△BCE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBE ＝∠DAF ，BC ＝AD ，∠BCE ＝∠ADF ，∴△BCE ≌△ADF (ASA)．(2)解：∵点E 在▱ABCD 内部， ∴S △BCE ＋S △AED ＝12S ▱ABCD .由(1)知△BCE ≌△ADF ，∴S △BCE ＝S △ADF . ∴S 四边形AEDF ＝S △ADF ＋S △AED ＝S △BCE ＋S △AED ＝12S ▱ABCD . ∵▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ， ∴S T ＝S12S ＝2. 20. (2019，保定二模)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 边上一点，连接CD ，E 为CD 的中点，连接BE 并延长至点F ，使得EF ＝EB ，连接DF 交AC 于点G ，连接CF .(1)求证：四边形DBCF 是平行四边形；(2)若∠A ＝30°，BC ＝4，CF ＝6，求CD 的长．第20题图(1)证明：∵E 为CD 的中点， ∴CE ＝DE . ∵EF ＝BE ，∴四边形DBCF 是平行四边形．(2)解：∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴CF ∥AB ，DF ∥BC .∴∠FCG ＝∠A ＝30°，∠CGF ＝∠ACB ＝90°.∴∠CGD ＝90°. 在Rt △FCG 中，CF ＝6， ∴FG ＝12CF ＝3，CG ＝3 3.∵DF ＝BC ＝4， ∴DG ＝1.在Rt △DCG 中，由勾股定理，得CD ＝27.21. (2019，唐山丰润区二模)如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB ＝CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD .求证：(1)△ABC ≌△DEF ； (2)AD 与BE 互相平分．第21题图证明：(1)∵FB＝CE，∴FB＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF.∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE.∴△ABC≌△DEF.(2)如答图，连接BD，AE.∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE.又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AD与BE互相平分．第21题答图22. (2019，邢台二模)如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC.(1)求证：△ADE≌△BDC；(2)若∠AEB＝36°，求∠EDC的度数；(3)若OB＝OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．第22题图(1)证明：∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ADE＝∠BDC.∵DA＝DB，DE＝DC，∴△ADE≌△BDC.(2)解：∵△ADE≌△BDC，∴∠AED＝∠C.∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C.∵∠AEB＝36°，∴∠AED＝∠DEC＝∠C＝72°.∴∠EDC＝36°.(3)证明：∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.∵△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠DAE＝∠OBE.∴∠OEB＝∠DAE.∴DA∥BC.∴∠ADB＝∠OBE.∴∠ADB＝∠DAE.∴OA＝OD.∴AE＝BD.∴AE＝AD.∴AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形．1. (2019，云南)在▱ABCD 中，∠A ＝30°，AD ＝43，BD ＝4，则▱ABCD 的面积为( 163或83 ).【解析】 过点D 作DE ⊥AB 于点E.在Rt △ADE 中，∵∠A ＝30°，AD ＝43，∴DE ＝12AD ＝23，AE ＝32AD ＝6.在Rt △BDE 中，∵BD ＝4，∴BE ＝BD 2－DE 2＝42－（23）2＝2.如答图①，AB ＝8.∴▱ABCD 的面积为AB ·DE ＝8×23＝16 3.如答图②，AB ＝4，∴▱ABCD 的面积为AB·DE ＝4×23＝8 3.综上所述，▱ABCD 的面积为163或8 3.第1题答图2. (2019，秦皇岛海港区模拟)如图，已知∠XOY ＝60°，点A 在边OX 上，OA ＝2.过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC ，P 是△ABC 围成的区域(包括各边)内的一点，过点P 作PD ∥OY 交OX 于点D ，作PE ∥OX 交OY 于点E .设OD ＝a ，OE ＝b ，则a ＋2b 的取值范围是 2≤a ＋2b ≤5 .第2题图【解析】 如答图①，过点P 作PH ⊥OY 于点H.∵PD ∥OY ，PE ∥OX ，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP ＝∠XOY ＝60°.∴EP ＝OD ＝a.在Rt △HEP 中，∠EPH ＝30°，∴EH ＝12EP＝12a.∴a ＋2b ＝2⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＝2(EH ＋EO)＝2OH.当点P 在AC 边上时，点H 与点C 重合，此时OH 的最小值为OC ＝12OA ＝1，即a ＋2b 的最小值是2.当点P 在点B 时，如答图②，OC ＝1，AC ＝BC ＝ 3.在Rt △CHP 中，∠HCP ＝30°，∴CH ＝32.∴OH 的最大值是OC ＋CH ＝1＋32＝52，即a ＋2b 的最大值是5.∴2≤a ＋2b ≤5.第2题答图3. (2019，玉林)如图，在正方形ABCD 中，分别过顶点B ，D 作BE ∥DF 交对角线AC所在直线于E，F两点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH.(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；(2)已知AB＝22，EB＝4，tan∠GEH＝23，求四边形EHFG的周长．第3题图(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DCA＝∠BAC.∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠BEA.∵∠BAC＝∠BEA＋∠ABE，∠DCA＝∠CFD＋∠CDF，∴∠ABE＝∠CDF.∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF.∵BH＝DG，∴EH＝GF.∵EH∥GF，∴四边形EHFG是平行四边形．(2)解：如答图，连接BD，交EF于点O，过点F作FM⊥EH，交EH的延长线于点M.∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB.∴∠AOB＝∠COD＝90°.∵AB＝22，∴OA＝OB＝2.在Rt△BOE中，EB＝4，∴∠OEB＝30°.∴EO＝2 3.∵DF∥EB，∴∠DFC＝∠BEA，∠FDO＝∠EBO.∴△DOF≌△BOE(AAS)．∴OF＝OE＝2 3.∴EF＝4 3.∴FM＝23，EM＝6.∵EG∥FH，∴∠FHM＝∠GEH.∴tan∠GEH＝tan∠FHM＝FMHM＝2 3.∴23HM＝2 3.∴HM＝1.∴EH＝EM－HM＝6－1＝5，FH＝FM2＋HM2＝（23）2＋12＝13.∴四边形EHFG的周长为2EH＋2FH＝2×5＋2×13＝10＋213.第3题答图。
2015年陕西省中考数学总复习教学案：第22讲 平行四边形(含多边形)
第22讲 平行四边形(含多边形)三角形的相似结合考查，有时会在二次函数综合题中涉及平行四边形的性质，多边形的性质在2014年考查过一次，预计2015年中考对本部分内容可能会考查以下内容：1.平行四边形的性质与判定；2.多边形及平面图形的镶嵌，对平行四边形的性质与判定的考查题型仍会以解答题为主，对多边形及平面图形的镶嵌可能会以选择或填空题进行考查，难度不会太大．1．n 边形、四边形的性质、平面图形的镶嵌(1)n 边形的内角和为__(n －2)·180°__，外角和为__360°__，对角线条数为__n （n －3）2__．(2)四边形的内角和为__360°__，外角和为__360°__，对角线条数为__2__．(3)正多边形的定义：各条边都__相等__，且各内角都__相等__的多边形叫正多边形． 正(2n －1)边形是轴对称图形，对称轴有__2n －1__条；正2n 边形既是轴对称图形又是中心对称图形．(4)平面图形的镶嵌①定义：把形状、大小相同的一种或几种平面图形拼接到一起，使得平面上不留空隙，又不重叠，这就是平面图形的镶嵌．②用同一种多边形可以镶嵌的有正三角形，正方形，正六边形等；也可用几种不同的多边形进行镶嵌．③正多边形镶嵌问题的关键是几个多边形的同一顶点的几个角，它们的和等于__360°__．注意：通过正多边形的镶嵌问题，进而理解正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形，任意四边形都能进行平面镶嵌的道理．发现拼成一个不留空隙又不重叠的平面图形的关键是几个多边形的同一个顶点的几个角，它们的和等于360°.2．平行四边形的性质以及判定 (1)性质：①平行四边形两组对边分别__平行且相等__； ②平行四边形对角__相等__，邻角__互补__；③平行四边形对角线__互相平分__； ④平行四边形是__中心__对称图形． (2)判定方法：①定义：__两组对边分别平行__的四边形是平行四边形； ②__一组对边平行且相等__的四边形是平行四边形； ③__两组对边分别相等__的四边形是平行四边形； ④__两组对角分别相等__的四边形是平行四边形； ⑤__对角线互相平分__的四边形是平行四边形． 3．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．一个方法面积法：在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系．一个防范图形的直观性可帮助探求解题思路，但也可能因直观判断失误或用直观判断代替严密推理，造成解题失误．一定要对所有直观判断加以证明，不可以用直观判断代替严密的推理．四个误区误区一：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； 误区二：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；误区三：一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； 误区四：一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 四种辅助线(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题； (2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．(2012·陕西)如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 分别与AC ，AD 交于点E ，F. (1)求证：AB ＝AF ；(2)当AB ＝3，BC ＝5时，求AEAC的值．解：(1)如图，在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠2＝∠3.∵BF 是∠ABC 的平分线，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB ＝AF (2)∵∠AEF ＝∠CEB ，∠2＝∠3，∴△AEF ∽△CEB ，∴AE EC ＝AF BC ＝AB BC ＝35，∴AE AC ＝38平行四边形的判定【例1】 (2014·徐州)如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 在AC 上，且AE ＝CF. 求证：四边形BEDF 是平行四边形．解：证明：如图，连接BD，设对角线交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA ＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．1．(2013·鞍山)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求证：(1)△AFD≌△CEB；(2)四边形ABCD是平行四边形．证明：(1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFA＝∠BEC.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD ∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)运用平行四边形的性质进行推理论证【例2】(2014·聊城)如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF 交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点，交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF∥CE，BE∥DF，∴四边形BHDK和四边形AMCN是平行四边形，∴∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC，在△EBC 和△FDA 中，⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∠EBC ＝∠ADF ，BC ＝AD ，∠BCE ＝∠DAF ，∴△EBC ≌△FDA(ASA )【点评】 利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．2．(2013·宁夏)在▱ABCD 中，P 是AB 边上的任意一点，过P 点作PE ⊥AB ，交AD 于E ，连接CE ，CP ，已知∠A ＝60°.(1)若BC ＝8，AB ＝6，当AP 的长为多少时，△CPE 的面积最大，并求出面积的最大值； (2)试探究当△CPE ≌△CPB 时，▱ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系？解：(1)延长PE 交CD 的延长线于F ，设AP ＝x ，△CPE 的面积为y ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝DC ＝6，AD ＝BC ＝8，∵Rt △APE ，∠A ＝60°，∴∠PEA ＝30°，∴AE ＝2x ，PE ＝3x ，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝∠PEA ＝30°，DE ＝AD －AE ＝8－2x ，∴DF ＝12DE ＝4－x ，∵AB ∥CD ，PF ⊥AB ，∴PF ⊥CD ，∴S △CPE ＝12PE·CF ，即y ＝12×3x ×(10－x)＝－32x 2＋53x ，配方得：y ＝－32(x －5)2＋2532，当x＝5时，y 有最大值为2532，即AP 的长为5时，△CPE 的面积最大，最大面积为2532(2)当△CPE ≌△CPB 时，有BC ＝CE ，∠B ＝∠PEC ＝120°，∴∠CED ＝180°－∠AEP －∠PEC ＝30°，∵∠ADC ＝120°，∴∠ECD ＝∠CED ＝180°－120°－30°＝30°，∴DE＝CD ，即△EDC 是等腰三角形，过D 作DM ⊥CE 于M ，则CM ＝12CE ，在Rt △CMD 中，∠ECD ＝30°，∴cos 30°＝CM CD ＝32，∴CM ＝32CD ，∴CE ＝3CD ，∵BC＝CE ，AB ＝CD ，∴BC ＝3AB ，则当△CPE ≌△CPB 时，BC 与AB 满足的关系为BC ＝3AB三角形中位线定理【例3】(2013·鞍山)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是__11__.【点评】当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．3．(2014·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E.∠A ＝30°，AB＝8，则DE的长度是__2__．试题如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，CD＝10 cm，BC＝8 cm，AB＝8 cm，AF＝5 cm，求此六边形的周长．错解解：如图，连接EB，DA，FC，分别交于点M，N，P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°，∴△DEM是等边三角形．同理，△MAB，△NFA也是等边三角形．∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN.∴四边形EDNF是平行四边形．同理，四边形EMAF也是平行四边形，∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8.∴六边形ABCDEF的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm)．剖析上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质．不可凭直观感觉就以为对角线AD，BE平分∠CDE，∠DEF.切记：视觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理．正解解：如图，分别延长ED，BC交于点M，延长EF，BA交于点N.∵∠EDC＝∠DCB＝120°，∴∠MDC＝∠MCD＝60°，∴∠M＝60°，∴△MDC是等边三角形．∵CD＝10，∴MC＝DM＝10.同理，△ANF也是等边三角形，AF＝AN＝NF＝5.∵AB＝BC＝8，∴NB ＝8＋5＝13，BM＝8＋10＝18.∵∠E＝120°，∠E＋∠M＝180°，∴EN∥MB.∴四边形EMBN是平行四边形，∴EN＝BM＝18，EM＝NB＝13，∴EF＝EN－NF＝18－5＝13，ED ＝EM－DM＝13－10＝3，∴六边形ABCDEF的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋3＋13＋5＝47(cm)．。
平行四边形和多边形知识点
平行四边形和多边形知识点一、平行四边形知识点。
1. 平行四边形的定义。
- 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。
2. 平行四边形的性质。
- 边的性质。
- 平行四边形的对边平行且相等。
即AB = CD，AD = BC；AB∥CD，AD∥BC。
- 角的性质。
- 平行四边形的对角相等，邻角互补。
即∠A = ∠C，∠B = ∠D；∠A+∠B = 180°，∠B + ∠C=180°等。
- 对角线的性质。
- 平行四边形的对角线互相平分。
即AO = CO，BO = DO（设AC、BD相交于点O）。
3. 平行四边形的判定。
- 边的判定。
- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 角的判定。
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
- 对角线的判定。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4. 平行四边形的面积。
- 平行四边形的面积 = 底×高，即S = ah（a为底，h为这条底边上的高）。
二、多边形知识点。
1. 多边形的定义。
- 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
- 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。
2. 多边形的内角和。
- n边形的内角和公式为(n - 2)×180^∘（n≥3且n为整数）。
- 例如三角形（n = 3）内角和为(3 - 2)×180^∘=180^∘；四边形（n = 4）内角和为(4 - 2)×180^∘=360^∘。
3. 多边形的外角和。
- 多边形的外角和等于360°，与边数无关。
4. 正多边形。
- 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
- 正n边形的每个内角为frac{(n - 2)×180^∘}{n}，每个外角为frac{360^∘}{n}。
第22课 多边形与平行四边形
▱
3．(2011 年江苏泰州)四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相
交于点 O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝
CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( C ) A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，
AB CD ∵ A C AE CF
（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ， ∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴△ABE≌△CDF（SAS）； ∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，
n－3 边形的一个顶点可以引______条对角线，并且这些对角线把多
nn－3 n－2 边形分成了_______个三角形；n 边形对角线条数＝______ 2 n－2· 180° 正n 边形的每个内角为_________ n .
(2)多边形的镶嵌： 360 ①当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为_____度 时，可以镶嵌；
②同一种正多边形可以镶嵌的正多边形是正三角形、 正四边形 _________和正六边形．
题型分类 深度剖析
考点一：多边形内角和、外角和公式 1、（2012贵州）一个多边形的内角和是9000，则这个多边形的边数 是（ ） 300° ． 2（2012•南京）如图1，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个 外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= 到一个五边形，则∠1+∠2= 240 度． 3．（2012•广安）如图2，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得
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2017年中考数学一轮复习第22讲《平行四边形》【考点解析】知识点一、求多边形的边数【例1】（2015某某某某）一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C．【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数.【解析】360°÷60°=6．故这个多边形是六边形．故选C．【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．【变式】（2016·某某·3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是8 ．B．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈11.9 ．（结果精确到0.1）【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．【分析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8（2）3知识点二、求多边形的内角和【例2】（2015某某某某）八边形的内角和等于（）A．360° B．1080° C．1440° D．2160°【答案】B．【分析】直接根据多边形内角和定理计算即可.【解析】（8﹣2）×180°=1080°，故选B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．【变式】（2016·某某某某）如果一个正六边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为1800°．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数，然后利用多边形的内角和公式计算内角和即可．【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是30°，∴n=360°÷30°=12，则内角和为：（12﹣2）•180°=1800°．故答案为：1800°．【点评】本题主要考查了利用外角求正多边形的边数的方法以及多边形的内角和公式，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度．知识点三、平行四边形的性质【例3】（2016·某某某某）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD 于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8B．10C．12D．14【考点】平行四边形的性质．【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，∵EF=AF+DE﹣AD=2，即6+6﹣AD=2，解得：AD=10；故选：B．【变式】如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为__________．【答案】8．【解析】根据平行四边形的性质知：AO=OC，∵OE⊥AC，∴OE为AC的垂直平分线，即：AE=EC，∴△CDE的周长为：CD+AD=5+3=8．知识点四、平行四边形的判定【例4】（2016·某某省某某市）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC 的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．【考点】平行四边形的判定与性质．（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，【分析】DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DE=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．【变式】（2016·某某省滨州市·10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四边形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，∴EM=BE=，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠D=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=，∴MC=3，在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，∴EC===10．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．【典例解析】【例题1】（2016·某某）如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，∵BF=DE，∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD=∠CEB，∴AF∥CE．【例题2】（2016·某某某某·3分）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=45 度．【考点】切线的性质；平行四边形的性质．【分析】连接OD，只要证明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A=45°，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题．【解答】解；连接OD．∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案为45．【例题3】（2016·某某·7分）图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点成为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；（2）图1中所画的平行四边形的面积为 6 ．【考点】作图—应用与设计作图；平行四边形的性质．【分析】（1）根据平行四边形的判定，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可在图1和图2中按要求画出平行四边形；（2）根据平行四边形的面积公式计算．【解答】解：（1）如图1，如图2；（2）图1中所画的平行四边形的面积=2×3=6．故答案为6．【例题4】（2016·某某某某）已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．【中考热点】【热点1】（2016·某某）如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．【考点】平行四边形的性质．【分析】由“平行四边形的对边相互平行”、“两直线平行，同位角相等”以及“直角三角形的两个锐角互余”的性质进行解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．【热点2】（2016·某某某某）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF（1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）如图所示；（2）由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的对应边相等即可．【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴OB=OD，OA=OC．又∵E，F分别是OA、OC的中点，∴OE=OA，OF=OC，∴OE=OF．∵在△BEO与△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（SAS），∴BE=DF．【热点3】（2016·某某某某）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E 处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．【考点】平行四边形的性质【答案】36°【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE ＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．【热点4】（2016·某某随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= 3 ．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．【解答】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴N M=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．。
2023中考数学复习-专题22 四边形(讲通)(学生版)
专题22 四边形1.掌握平行四边形、菱形、矩形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.2.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.3.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.例1.一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8二、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．5．平行四边形的面积：1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．例2．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE▭BD，BM▭AC、DN▭AC，CF▭BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN▭MF．三、矩形的定义、性质与判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．四、菱形的定义、性质与判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质①菱形的四条边都相等;②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.注意：菱形也具有平行四边形的一切性质.3.菱形的判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四条边都相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形4.菱形的面积①对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a²·sinx5.菱形的周长菱形周长=边长×4用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a例3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)判断四边形EHFG的形状；(2)在什么情况下，四边形EHFG为菱形？五、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).六、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：▭n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；▭n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.1．（2022·泉州市东海中学）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2022·黑龙江九年级期末）如图，矩形ABCD中8AB=把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．若254AF=，则AD的长为（）A．4B．5C．6D．7 3．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．四条边相等的四边形是矩形D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4．（2022·深圳市罗湖区翠园初级中学）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC▭BD时，它是菱形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当AC垂直平分BD时，它是正方形5．（2022·沙坪坝·重庆八中九年级月考）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定ABE ADF≌的是（）A．BE DF∠=∠∠=∠C．AE AF=B．BAF DAE=D．AEB AFD 6．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）下列说法不正确的是（）A．平行四边形两组对边分别平行B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对角互补，邻角相等D．平行四边形的两组对边分别平行且相等7．（2020·浙江杭州市·九年级）若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别________．8．（2022·沈阳市第四十三中学九年级月考）如图，在▭ABC中，▭A＝50°，AB＝AC，点D 在AC边上，以CB、CD为边作平行四边形BCDE，则▭E的度数为_____．9．（2022·济南市章丘区实验中学九年级月考）已知：如图，平行四边形ABCD中，AC，BD⊥于点F．交于点O，AE BD⊥于点E，CF BD求证：OE OF=．10．（2019·宁波市慈湖中学九年级）如图，在梯形ABCD中，AD▭BC，AB＝DC，若点M为线段AD上任意一点(M与A、D不重合)．问：当点M在什么位置时，MB＝MC，请说明理由．。
平行四边形与多边形教案
平行四边形与多边形教案一、教案名称：平行四边形与多边形的性质及应用二、教学目标：1. 理解平行四边形的定义和性质；2. 掌握平行四边形的判定方法；3. 理解多边形的定义和性质；4. 掌握多边形的分类方法；5. 运用平行四边形和多边形的性质解决实际问题。
三、教学内容：1. 平行四边形的定义和性质：a. 定义：具有两对对边平行的四边形；b. 性质：i. 对角线互相平分；ii. 对边互相等长；iii. 对角线互相等分；iv. 相邻内角互补，即和为180°。
2. 平行四边形的判定方法：a. 判定两对对边是否平行；b. 判定对边是否相等；c. 判定对角线是否互相等分。
3. 多边形的定义和性质：a. 定义：由三个或者三个以上的线段组成的封闭图形；b. 性质：i. 边数大于3；ii. 内角和公式：(n-2) × 180°，其中n为多边形的边数；iii. 外角和公式：360°；iv. 正多边形的特殊性质。
4. 多边形的分类：a. 按边数分类：三角形、四边形、五边形等；b. 按角数分类：凸多边形、凹多边形；c. 特殊多边形：正多边形、等腰三角形、等边三角形等。
5. 平行四边形和多边形的应用：a. 计算平行四边形的面积；b. 利用平行四边形的性质解决实际问题；c. 利用多边形的性质解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一些实际生活中的平行四边形和多边形的图片，引起学生对该话题的兴趣，并复习相关的几何知识。
2. 知识讲解：a. 介绍平行四边形的定义和性质，通过示意图和实例进行解释和演示。
b. 讲解平行四边形的判定方法，提供一些练习题供学生进行实践操作。
c. 介绍多边形的定义和性质，重点讲解多边形的内角和外角和公式，并展示一些实例进行说明。
d. 分类介绍多边形，讲解各种多边形的特点和性质，引导学生进行分类思维。
e. 介绍平行四边形和多边形的应用，给出一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
多边形与平行四边形知识点归纳
第 部分 四边形第一单元第1课时 多边形与平行四边形二、知识梳理(一) 多边形1．多边形的概念：（1）多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上 的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形叫做多边形。
（2）正多边形：在平面内，各内角 都相等， 各边 也都相等的多边形叫正多边形。
各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形；各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形。
正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形。
2．多边形的内角和与外角和:（1）内角和：n 边形的内角和等于（n ─2）∙180 ；正n 边形的一个内角等于nn180)2( .（2）外角和：多边形的外角和等于360°.（注：多边形的外角和是定值，与边数无关）. 3.多边形的对角线:（1）概念：在多边形中，连接 互不相邻 的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. (2) n 边形有2)3( n n 条对角线 4.平面图形的镶嵌:（1）概念：用形状 、大小 完全相同的一种或几种 平面图形 进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的 镶嵌 . （2）镶嵌的条件：在同一顶点的几个角的和等于360°. (二) 平行四边形1.平行四边形的概念： 两组对边分别平行 的四边形是平行四边形。
2.平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的两组对边分别 平行且相等 . （2）角：平行四边形的对角 相等 ，邻角 互补 。
图1图2图4 （3）对角线：平行四边形的对角线 互相平分 。
（4）平行四边形对称性：平行四边形是中心对称图形，其对称中心是 对角线交点 ；经过对称中心的任意一条直线将平行四边形面积平分. 3.平行四边形的判定方法：（1）边：①两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形（平行四边形的概念）；②一组对边 平行且相等 的四边形是开行四边形； ③两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形.（2）角：两组对角分别 相等 的四边形是平行四边形. （3）对角线：对角线 互相平分 的四边形是平行四边形. 4.平行四边形面积：平行四边形面积=底×高.三、课堂训练考查目标：多边形的内角和与外角和 1．已知一个多边形的内角和是外角和的23，则这个多边形的边数是 5 . [举一反三]一个多边形的内角和是720°，则这个多有的边数为 6 . [举一反三]矩形的外角和等于 360° 考查目标：正多边形的概念2．一个正多边形的每一个外角都是40°，这个多边形的边数是 9 .[举一反三]一个正多边形的一个内角是144°，它是一个 10 边形. 考查目标：平面图形的镶嵌3．下列多边形中，不能单独铺满地面的是（ C ） （A ）正三角形 （B ）正方形 （C ）正五边形 （D ）正六边形[举一反三]现有四种地砖，它们的形状分别为正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺地面.选择的方式有（ B ） （A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 考查目标：平行四边形的性质4．如图1.在□ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB .垂足为E ，若∠EAD =53°，则∠BCE 的度数为（ B ）（A ）53° （B ）37° （C ）47° （D ）123°[举一反三] 如图2.在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是（ A ）（A ）AC ⊥BD （B ）AB =CD （C ）BO =OD （D ）∠BAD =∠BCD5．如图3.在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB =3.则□ABCD 的周长（ C ） （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）15图5图5 第3题第6题第7题[举一反三]如图4在□ABCD 中，已知AB =6cm ，AD =8cm ， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ A ）（A ）2cm （B ）4cm （C ）6cm （D ）8cm 考查目标：平行四边形的判定6．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ B ）（A ）两组对边分别平行 （B ）一组对边平行另一组对边相等 （C ）一组对边平等且相等 （D ）两组对边分别相等 [举一反三]在四边形ABCD 中，已知AB =CD ，再添加一个条件：_AD =BC (答案不唯一)______,使四边形ABCD 成为平行四边形 考查目标：平行四边形的面积 7．平行四边形花坛的底是6m ，高是4m ，则它的面积是 24cm 2[举一反三].如图5，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点， 且A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4、6）.（1）请直接写出这个平行四边形的第四个顶点的坐标；（2）求此平行四边形的面积. 解：（1）第四个顶点的坐标为（7，7）或（5，1）或（1，5）（2）把⊿ABC 补成正方形，面积为9，减去三个小直角三角形 的面积可得S ⊿ABC =4，∴平行四边形的面积为8 【达标训练】1.（2013.长沙市）下列多边形中，内角和与外角和相等的是( A ) ．（A ）四边形 （B ）五边形 （C ）六边形 （D ）八边形 2.（2013.梅州市）已知一个多边形的内角和小于它的外角和.则这个多边形的边数是（ A ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.（2013.襄阳市）如图□ABCD 的对角线相交于点O ，且AB =5， ⊿OCD 的周长为23,则□ABCD 的两条对角线的和是（ C ） （A ）18 （B ）28 （C ）36 （D ）464.（2013.杭州市）在□ABCD 中，下列结论一定正确的是( B ) ．（A ）AC ⊥BD （B ）∠A +∠B =180° （C ）AB =CD （D ）∠A ≠∠C5.（2011.泰州）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O .给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB =CD ，AD =BC ；③AO =CO ，BO =DO ；④AB ∥CD ，AD =BC .其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ C ） （A ）1组 （B ）2组 （C ）3组 （D ）4组6.（2013.江西省）如图. □ABCD 与□DCEF 的周长相等，且∠BAD =60°，∠F =110°，则∠DAE 的度数为 25° ．7.（2013.安徽省）如图.P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点.⊿PEF 、⊿PDC 、⊿P AB 的面积分别为S 、S 1、S 2.若S =2.则S 1+S 2= 8 .8.（2013.烟台市）如图.□ABCD 的周长为36，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BC =12，则⊿DOE 的周长为 15 ．C 9.（2013.北京市）如图.在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连接DE、CF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形.（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°.求DE的长答案：（1）证明：在□ABCD中AD∥BC，AD=BC.∵F是AD的中点，∴DF=12AD.又∵CE=12BC，∴DF=CE且DF∥CE，∴四边形CEDF为平行四边形.（2）解：过点D作DH⊥BE于H，在□ABCD，AB∥CD.∵∠B=60°，∴∠DCE=60°.∵AB=4，∴CD=4.∴在Rt⊿CDH中，CH=12CD=2，DH=32.在□CEDF中，CE=DF=12AD=3，∴EH=CE-CH=3-2=1.在Rt⊿DHE中，DE=22HEDH =221)32( =13.10.（2011.常德）如图.已知四边形ABCD是平行四边形（1）求证：⊿MEF∽⊿MBA（2）若AF、BE分别是∠DAB和∠CBA的平分线，求证DF=EC.【答案】（1）证明：在□ABCD中，∵CD∥AB，∴∠MEF=∠MBA，∠MFE=∠MAB，∴⊿MEF∽⊿MBA.（2）证明：在□ABCD中，CD∥AB，∠DF A=∠F AB，又∵AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF=∠F AB∴∠DAF=∠DF A，∴AD=DF，同理可得EC=BC，∵在□ABCD中，AD=BC，∴DF=EC.。
第1部分 第22讲 多边形与平行四边形
☞ 方法指导
• 利用平行四边形性质进行有关计算时，一般 运用平行四边形的性质将问题转化为角度或 线段之间的等量关系： • (1)对边平行可得相等的角，进而可得相似三 角形； • (2)对边相等、对角线互相平分可得相等的线 段； • (3)当有角平分线的条件时，可利用“平行＋ 角平分线⇒等腰三角形”的结论得到等角、 等边．
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☞ 方法指导
已知一组 证这组对边平行 对边相等 证另一组对边相等 平行 已知一组 证这组对边相等 四边 对边平行 证另一组对边平行 形的 判定已知一组对角相等，证另一组 思路对角相等 已知一条对角线平分另一条 对角线，证对角线互相平分
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知识点二
平行四边形的性质
字母表示(如图)
文字描述
相等 (1)对边平行且①__________ 相等 (2)对角②__________
AB CD，AD BC ∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC ∠DAB＋∠ABC＝180° ，∠DAB＋∠ADC＝ 180° ，∠ABC＋∠BCD＝180°
(3)邻角互补
过 n(n＞3)边形的一个顶点可引(n－3)条对角线，n 边形共 nn－3 有 条对角线 2
第2页
正n 边形 (n≥3) 性质
(1)各边相等，各内角相等，各外角相等； n－2· 180° (2)正 n 边形的每一个内角为③_______________ ； n 360° (3)正 n 边形的每一个外角为 n ； (4)当正多边形为(2n－1)边形时，正多边形是轴对称图形， 不是中心对称图形，对称轴有(2n－1)条；当正多边形为 2n(偶数)边形时，正边形既是轴对称图形，又是中心对称图 形，对称轴有 2n 条
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第22讲 多边形与平行四边形(可编辑PPT)
夯基础·学易 栏目索引
1.(2018·济宁,8,3分)如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别 平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是 ( C ) A.50° B.55° C.60° D.53°
2.(2018·白银,13,3分)若正多边形的内角和是1 080°,则该正多边形的边数是8.
图1
图2
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命题亮点 本题主要考查多边形外角和定理,并且符合PISA理念测试,提升学生对数学 美的认识. 解题思路 能将实际问题转化为数学问题,知道多边形外角和定理是解决本题的关键.
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1.一个正多边形,它的每一个内角是135°,则该正多边形是 A.正六边形 B.正七边形 C.正八边形 D.正九边形
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学法提点 (1)平行四边形的定义既是性质又是判定; (2)平行四边形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形; (3)平行四边形的对角线不一定平分一组对角; (4)四边形具有不稳定性.
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.521.9.5Sunday, September 05, 2021
探难疑·知易 栏目索引
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由图①得CD=DE+CF-EF=2+2-1=3, ∴▱ABCD的周长为10; 由图②得CD=DE+CF+EF=2+2+1=5, ∴▱ABCD的周长为14. ∴▱ABCD的周长为10或14.
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答案 10或14 错解 10 错误鉴定 没有图形的题目要画图分析,注意分类讨论是解决本题的关键.
《平行四边形》多边形的认识PPT赏析
4 多边形的认识
平行四边形
情境导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
多边形的认识 平行四边形
情境导入 说一说：下图各是什么图形？
三角形
正方形
长方形
圆形
这是什么图形？
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多边形的认识 平行四边形
探究新知 找出下面物体中的平行四边形。
例1
伸缩门
扩缩尺 升降机
多边形的认识 平行四边形
图号
①②③④⑤
每行扣子的个数 1 2 3 4 5 （个）
每列扣子的个数 1 2 3 4 5 （个）
扣子的总个数（个） 1 4 9 16 25
（1）从上面的统计表中，你发现各图中每 行、每列扣子的个数和扣子的总个数有什 么关系？
多边形的认识 平行四边形
（2）按照这个规律，图⑥应该有多少个 扣子？
从平行四边形的一条边上的任意一点向对边引 一条垂线，这一点和垂足之间的线段叫做平行 四边形的高。这条对边叫做平行四边形的底
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多边形的认识 平行四边形
小组合作，总结正方形、长方形和平行四边形 的特征。
正方形
长方形 平行四边形
两组对边分别平行，两组对边分别 两组对边分别
边 四条边都相等
平行且相等 平行且相等
扣子的总个数＝6×6＝36（个）
多边形的认识 平行四边形
你发现了什么规律？用含 有字母的式子表示出来。
（3）当n=8时，摆出的图形要用多少 个扣子？ 当n=8时，摆出的图形要用3n=3×8=24Байду номын сангаас扣 子。
多边形的认识 平行四边形
用2、3、4、5、6五个数字组成一个三位数和一个两位 数。怎样组数，可使两个数的乘积最大？
第22课 多边形和平行四边形
按时完成“B本”课后强化训练22，全面提升自我！
单击此处进入课后强化训练22
图 22-5
(典例 1 解)
【解析】 如解图，连结 AD． ∵AB⊥BC，∴∠B＝90°. 又∵∠C＝120°，∴∠BAD＋∠ADC＝360°－∠B－∠C＝360°－90°－ 120°＝150°. ∵CD∥AF，∴∠ADC＝∠DAF. 又∵∠CDE＝∠BAF，∴∠EDA＝∠BAD， ∴∠EDA＋∠DAF＝∠BAD＋∠ADC＝150°， ∴∠F＋∠E＝360°－(∠BAD＋∠ADC)＝360°－150°＝210°.
题型一 多边形
如果已知 n 边形的内角和，根据公式“n 边形的内角 和＝(n－2)·180°”可以求出它的边数 n.多边形的外角和 360°与边数 n 无关．正多边形问题常转化为三角形问题解 决．
【典例 1】 如图 22-5，CD∥AF，∠D＝∠A，AB⊥BC，∠C＝120°， ∠E＝80°.求∠F 的度数．
【答案】 21°
4．如图 22-15，在▱ ABCD 中，
AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD
于点 F.若∠EAF＝60°，则
∠B＝
．
【解析】 ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，∴∠C＝360°－ 90°－90°－60°＝120°. ∵AB∥CD，∴∠B＝180°－∠C＝60°.
【答案】 60°
1．如果一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被 一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线 等分平行四边形的面积．
2．四边形中四种常用的辅助线： (1)常用连结对角线的方法把四边形问题转化为三角形问题．
(2)有平行线时，常作另一组平行线构造平行四边形． (3)有中线时，常用倍长中线法构造平行四边形． (4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、
多边形与平行四边形46页PPT
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢！
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例3: 某企业存入银行甲、乙两种不同性质和 用途的款项共20万元,甲种存款的年利率为 5.5%,乙种存款的年利率为4.5%,上缴国家的利息税
率为20%,该企业一年共获利息7600元,则甲、乙存 款 5 15 各＿＿＿＿ 、＿＿＿＿万元.
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业额为2000元,为扩大销售量,5月份该商店对这种纪念品 打9折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元.
(1)求该种纪念品4月份的销售价格;
(2)若4月份销售这种纪念品获利800元,5月份销售这种纪念品获利多少元?
2000 解 : (2)由(1)知,4月份销售件数为 40 50
800 四月份每件盈利 20元. 40 5月份销售件数为40+20=60件，且每件售价为 50×0.9=45,
§2.7
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考点整合
考点一 平均增长(降低)率问题
基数×(1±平均增长(降低)率)n=n次增长(降低)后到达数 一般形式为a(1 ±x)n=b
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例1:
某商场将某种商品的售价从原来的每件
40元经两次调价后调至每件32.4元. (1)若该商场两次调价的降价率相同,求这个降价率;
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考点二 打折销售
x 商品打x折， 指按定价的 __________ __ 销售. 10
商品利润 ____ 商品售价 进价(成本); (1) __________
折扣数 (2)标价 售价; 10 利润 (3)利润率 100%; 成本 成本 利润率 (4)售价 __________ ____ ( 1 __________ ___). - 新世纪教育网版
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跟进训练1:
1.(2009.安微)某市2008年国内生产总值(GDP) 比2007年增长了12%,由于受到国际金融危机的 影响,预计2009年比2008年增长7%,若这两年GDP 年平均增长率为x%,则x%满足的关系是D ( ) A.12%+7%=X%; B.(1+12%)(1+7%)=2(1+X%); C.12%+7%=2.X%; D.(1+12%)(1+7%)=(1+X%)2
总量,要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计,
从2010年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量 的10%,假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车
- 新世纪教育网版 数量最多不能超过多少万辆 ? 权所有
归类示例 例4(2010.成都)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的 快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新 的增长点,据某市交通部门统计,2007年底全市汽车拥有量为 150万辆,而截止到2009年底,全市的汽车拥有量已达216万辆. (1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的平均增长率; (2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到 2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计,从2010年初起,该市此后 每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%,假定每年新增汽车数量相同,请 你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆?
(2)经调查,该商品每降价0.2元,即可多售出10件,如果该商
品原来每月可销售500件,那么两次调价后,每月可销售该商品多少件?
解(1)设降价率为x.依题意得 40(1-x)2=32.4 ∴x1=0.1=10％，x2=1.9(舍去） (2)两次共降价40-32.4=7.6元 7.6 ∴降价后的月销售= 500 10 880(件) 0.2
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跟进训练2:
(2010.泰安)某商店经销一种泰山旅游纪念品,4月份的营
业额为2000元,为扩大销售量,5月份该商店对这种纪念品 打9折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元.
(1)求该种纪念品4月份的销售价格;
(2)若4月份销售这种纪念品获利800元,5月份销售这种纪念品获利多少元?
解（1）设该种纪念品4月份的销售价格为x元，
根据题意，得
2000 2000 700 20 x 0.9 x
解得x=50 经检验x=50是所得方程的解 ∴该 种纪念品4月份的销售价格是50元。
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跟进训练2:
(2010.泰安)某商店经销一种泰山旅游纪念品,4月份的营
归类示例
例4(2010.成都)随着人们经济收入的不断提高 及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入 普通家庭,成为居民消费新的增长点,据某市交通部门统计,2007 年底全市汽车拥有量为150万辆,而截止到2009年底,全市的汽车 拥有量已达216万辆. (1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的平均增长率; (2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车
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例2:
(2010.泰安)某商店经销一种泰山旅游纪念品, 4月份的营业额为2000元,为扩大销售量,5月份
该商店对这种纪念品打9折销售,结果销售量增
加20件,营业额增加700元. (1)求该种纪念品4月份的销售价格; (2)若4月份销售这种纪念品获利800元,5月份销售这种纪念 品获利多少元?
每件比4月份少盈利5元,即为15元,
所以5月份销售这种纪念品获 ×15=900元. - 60 新世纪教育网版
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跟进训练:
某种商品进价为800元,标价为1200元,
由于该商品积压,商品准备打折销售,但要 保证利润率为20%,则应该打( C ) A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
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考点三 储蓄问题
本金 顾客存入银行的钱叫＿＿＿＿＿＿＿＿ ,银行付给顾客的酬金 利息 期数 叫＿＿＿＿＿＿＿ ,存入的时间叫＿ 期数 本金 (2)利息=＿＿＿＿＿＿＿×＿＿＿＿＿＿＿×＿＿＿＿＿＿＿ ; 本金 利息 (3)本息和=＿＿＿＿＿＿＿ +＿＿＿＿＿＿＿ =本金(1+利率期数). 注:有时还要考虑利息税.