复变函数四、五、六、七章总复习(钟玉泉)
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。
如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。
定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为或。
注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。
复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。
2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。
比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。
（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。
定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。
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其中 是由 c 与 c k 组成的复合闭路
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f ( z ) 在单连通区域Ｄ内解析，G ( z )
为 f ( z ) 的一个原函数，则
z2 z1
f(z)dzG(z2)G(z1)
４、柯西积分公式
设函数 f ( z ) 在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
第一章：复数与复变函数
❖ 复数的概念 ❖ 复数的运算 ❖ 复数的几何表示 1、复平面 1）复数 zxyi用平面上的点( x , y )表示；
2）复数 zxyi用平面上的向量 O z 表示
3）复数的三角表示式及指数表示式
zz(cos(argz)isin(argz))（三角式）
zeiargz
（指数式）
(1i)i e e iLni()1 i[ln 1 i iA(1 r ig )]
e e i12ln24i2ki
42ki12ln2
e 4 2k c o 1 2lsn 2 isi 1 2 n ln 2
其 k 0 , 1 中 , 2 , . 故 (1 i)i的 辐 角 的 主 值 为 1 ln 2 .
函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在点 z xiy 处的 导数公式：
f(z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
定理2 设函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在区域D
内有定义，则 f ( z ) 在D内解析 u( x , y )与 v ( x , y )
１、 f(z)dz f(z)dz
c
c
２、 ckf(z)dzkcf(z)dz
３、 c [f(z ) g (z )] d z cf(z )d z cg (z )d z
复变函数论_钟玉泉_第三版_高教_答案_清晰版
n 1
z z 0 nM n1 , 故对 0 ,
n
只需取
nM
n 1
,于是当 z z 0 时,就有 z n z 0 .
(2)由连续函数运算法则,两连续函数相除,在分母不为零时,仍连续.因此 f ( z ) 在
z 平面上除使分母为零点外都连续.
arg z, z 0 13.证明:令 f ( z ) arg z 0, z 0
2
2
z 3 z1 为实数. z 2 z1
10.解:(1)令 z x yi t (1 i) ,得 x y ,即曲线为一,三象限的角平分线. (2)令 z x yi a cos t ib sin t , 得 x a cos t , y b sin t ,则有
2
.
因而对任何自然数 p ,也有 z n p z 0
2
.
利用三角不等式及上面两不等式, 当 n N 时,有
z n p z n z n p z 0 z n z 0
充分性 :设对 0, N ( ) 0 ,当 n, n p N 时,有 z n p z 0 ,由定义 得
12.证明:(1)首先考虑函数 f ( z ) z n 在 z 平面上的连续性. 对复平面上任意一点 z 0 ,来证明 lim z n z 0
z z0 n
不妨在圆 z M z 0 1 内考虑. 因为 z n z 0 z z 0 ( z
n n 1
z
n2
z0 z0
3
2k
(k 0,1,2,)
1 i 2
复变函数论自学考试大纲
[10019]复变函数论自学考试大纲浙江省高等教育自学考试办公室二OO四年十二月指定教材：《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社2004年1月第3版一、课程性质与说明复变函数论是高等师范数学专业基础课程之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
共形映射是复变函数几何理论的基本概念。
留数理论和共形映射也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
二、考核目标第一章复数与复变函数复数和平面点集是研究复变函数的基础。
复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因而有其新的含义与特点。
（一）目的和要求1．明确复数、区域、单连通区域、多连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
2．明确复变函数连续性等价于其实部与虚部的连续性。
3．掌握复数的计算，会应用模和辐角的性质。
4．会作点集的图形，掌握一些简单函数的变换性质。
（二）主要内容1．复数复数的表示式及代数运算、复数的模及辐角、共轭复数、复数在几何中的应用。
2．复平面上的点集平面点集、曲线、区域。
3．复变函数复变函数的概念、极限及连续性。
4．复球面及无穷远点复球面、无穷远点及扩充复平面。
第二章解析函数解析函数是本课程的主要研究对象，它是一类特殊的可微函数。
判断函数可微和解析的主要条件是柯西－黎曼条件。
复变函数中各类基本初等函数之间，具有明确的统一性。
（一）目的和要求1．正确理解复变函数的可微、解析函数等基本概念。
2．明确柯西－黎曼条件与函数可微性、解析性的关系。
3．明确复变函数中各类基本初等函数的定义和性质以及它们与实初等函数的异同点。
n的单值解析分支并能求其函数值。
4．能确定根式函数z（二）主要内容1．解析函数的概念与柯西－黎曼条件2．初等解析函数指数函数、三角函数、根式函数和对数函数的单值解析分支、反三角函数、一般幂函数和一般指数函数。
复变函数-总复习
复变函数Complex Function⚫第一章复数与复变函数⚫第二章解析函数⚫第三章复变函数积分⚫第四章复变函数项级数⚫第五章留数及其应用主要内容复数形如 z = x+iy , 其中x 和y 是任意两个实数.=x z Re(), =y z Im()z 的共轭复数记作: ，z =+⇒z x iy =−z x iy共轭复数的性质:+=−=z z z z z i z 2Re(); 2Im()⎝⎭+ ⎪⎛⎫−i i 1117)(()()+−=−i i i 1117714)(=⎣⎦−⎡⎤i 21727)(=−i 2277)(=i .−+−i i i i 121)(()()−+⋅=++−i i i ii i i i 1111)()(−=+−+i i 2111=−−i 2231复数的四则运算: 和 差 积 商复数的几何表示向量的长度==+z r x y22复数的模=z rei θ指数表示式三角表示式=+z r i cos sin θθ)(其中r = |z |, = Arg zθ复数的表示方法幅角的主值：满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.θ=z arg 0)Arg arg 2 0,1,2,.π=+=±±z z k k (复数的幅角θθθθθθ⋅=⋅+++=⋅+ez z r r i r r i [cos()sin()](12212)1212112θθθπ=⎝⎭ ⎪==+⎛⎫+++r e n n w z r i k k n ni k k nncos sin 22121ππ)(复数的方根=θ−θ+θ−θ=θ−θe z r r i z r r i [cos()sin()]21)22121211(12复数乘积和商θθθ=+=r e z r n i n n n n i n [cos()sin()]()θθθ=+=ei r z r i (cos sin )+=z 1604例1: 解方程ππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 4416cos sin 2241ππππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 442cos sin22ππ=k (0,1,2,3)复数的乘幂=−z 164解:幅角的主值).=+=±±πz z k k ,Arg arg 2 0,1,2(满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.记做:=z arg 0θ例2: 的幅角主值=−+z i 13ππππ−−+=+=−+=i 133arg 13arctan 32)(的幅角主值=−z 3π−=arg(3)例3: 证明+=++z z z z z z 2Re ,121212222)(并由此证明+≤+z z z z .1212证明：+=++z z z z z z ()1212122)(=+++z z z z z z z z 11221212+=++z z z z z z 2Re 121212222)(≤++z z z z 2121222=++=+z z z z z z 2121212222)(+=z z z z z z ()2Re 121212)(≤x z=z zz2⇒+≤+z z z z .1212例4: 映射 ,求圆周的象.=+z w z 1=z 2令=+=+z x iy w u iv ,,映射=+1w z z⇒+=++−+u iv x iy x iyx y22,解：于是=++u x x x y 22 ,=−+v y y x y 22,=z 2⇒==u x v y 44,53⇒==x u y v53,44+=u v 25914422+=x y 422映射=w f z (), w 称为z 的象，z 称为w 的原象两个特殊的映射==w zw z (2)(1)2复变函数的极限与连续性定理2: 设 =+f z u x y iv x y ()(,)(,),则 f (z )在处连续 =+z x iy 000的充分必要条件是 u x y (,),v x y (,)都在x y (,)00点连续.结论：arg z 在原点与负实轴上不连续.=→f z f z z z lim ()()00复变函数连续复变函数的极限=→f z A z z lim ()0定理1:=+=+=+f z u x y iv x y A u iv z x iy ,(,),,00000)()(设函数=⇔==→→→→→f z A u x y u v x y v y y y y z z x x x x lim lim ,,lim ,000)()()(−+=+x yi x y f z x x x yi ()= ()22++==x y x y u v x xy , 22222=y kx方法1: 沿++==→→→→x k x k u x y x y y x x 1lim ,lim 1000022222 )(依赖于k ，故极限不存在。
复变函数四五六七章总复习钟玉泉
若a为f (z)的孤立奇点,则在K {a}内可展成Laurent级数
f (z) cn (z a)n cn (z a)n
cn (z a)n
n
n1
n0
f (z)在a的主要部分 f (z)在a的正则部分
f (z)在点a的奇点性质体现在K内收敛于一解析函数
定义5.3 设a为f (z)孤立奇点
(1) fn (z)(n 1, 2,...)在区域D内解析;
(2) fn (z)在D内内闭一致收敛于函数f (z)
n1
f (z) fn(z).
n1
则 (1) 函数f (z)在区域D内解析;
(2) f ( p) (z)
f
( n
p)
(
z),
(
z
D,
p
1,
2,
).
n1
第二节 幂级数
1. 幂级数的敛散性 阿贝尔(Abel)定理
i z
1,
z 1. 2
f
(z)
(z
1 i)(z
2)
1 2
i
z
1
i
2
1
z
1 2i
1 z1
i z
1 21
2z
1 2
i
(i)n zn1
n0
n0
zn 2n1
1 2
i
n0
( i )n z n1
1 2
i
n0
zn 2n1 .
(2) 在 2 z 内,
i 1, 2 1
1ezຫໍສະໝຸດ n01 n!zn ,
所以
1
z2e z
z21
1 z
1 2! z 2
1 n! z n
《复变函数》第四章习题全解钟玉泉版
第四章 解析函数的幂级数表示法（一）1.解:(1)其部分和数列 14151311()414121(4--++-++++-=n i n S n由交错级数收敛性判别及极限运算法则知n n S 4lim ∞→存在,设为l S n n =∞→4lim ,又有,0241,0142414→+-=→+=++n a n i a n n由此得知l S n n =∞→lim ,因此级数收敛,但非绝对收敛.(2)∑∑∑∞=∞=∞=≤=+111!)34(!1!)53(n nn nn n n bn n i ,可知原级数绝对收敛.(3)由于1226251251limlim>=+=+=∞→∞→i i a nnn nn n ,故原级数发散.2.解:(1)11limlim1=+==∞→+∞→n n c c R n n n n(2)212lim lim 1=+==∞→+∞→n nc c R n n n n(3)01lim lim1==∞→∞→nc R n nnn3.证明:(1)如果∞≠=+∞→λnn n c c 1lim,则∞≠=+∞→λnn n c c 1lim,则级数的收敛半径为⎪⎩⎪⎨⎧∞+==+∞→n n n c cR 1lim 1λ 00=≠λλ(2)由(1)可证其收敛半径为R .(3)由(1)可证其收敛半径为R .4.证明:因为∑∑∞=∞==n nn n n n Rc zc 收敛,而当R z ≤时, ∑∑∞=∞=≤n nn n nn Rc zc ,因此级数在R z ≤上绝对收敛且一致收敛. 5.解:(1)因为1<u 时,∑∞=-=+0)1(11n nnuu,所以当1<z ba 时,有∑∞=-=+=+0)()1(1)1(11n nnz ba bz b a b baz(2)因为∑∞=+∞<=,!n nz z n ze ,而 2ze在z 平面解析,所以∑∞=+∞<=2)(,!2n nzz n ze逐项积分得 )()12(!00122+∞<+=⎰∑∞=+z n n zdz e zn n z(3)因为∑∑∞=∞=++-=+-=2012)!12()1()!12()1(1sin n nnn n nn zn zzzz如果1sin lim=→zz z ,则0=z 为可去奇点,可补充定义被积函数1)0(=f ,于是上式收敛范围为+∞<z ,合于逐项积分条件,所以 ⎰⎰∑∑∞=∞=++∞<++-=+-=zzn n n nn nz i n n zdz n zdz zz 0000122)()!2)(12()1()!12()1(sin(4))()!2()2()1(21)!2()2()1(212122cos 1sin 02122+∞<-=--=-=∑∑∞=-∞=z n z n z zz n nn n nn(5)因为2()()(1),(0)(1)!n f z z f n -=-=+从而()(1),(||1)nn of z n zz ∞==+<∑6.解:因为23451 (2)624120zz zzzze =++++++2345ln(1) (2)345z z zzzz+=-+-++所以23453452ln(1)()()2345234zz z zzzzzzze z +=-+-++-+-++ 345455()()...24661224z z z z z z -++-++523...(1)23403z z z z z =++++<7.解:(1) sin sin[(1)1]sin(1)cos1cos(1)sin 1z z z z =-+=-+-=212(1)(1)cos1(1)sin (1)(21)!(2)!n nn n n z z n n ∞∞+==---+-+∑∑=01sin(1)(1),|1|!2kk k z z k π∞=+--<+∞∑(2)21112111-+⋅-=+-z z z z ,再由公式)1()1(110<-=+∑∞=z zzn nn(3)22)21(11]1)1[(4152-++-=+-z z z z z ,结合)1()1(11022<-=+∑∞=z zzn nn(4)由于3z 的支点为∞,0,沿负实轴)0,(-∞割开平面,则指定分支就在11<-z内单值解析, 3133)]1(1[1-+⋅=z z ,再利用二项式展开.8.解:(1)∑∑∞=∞=-=-=-01)1(24222!)1!()1(2n n n n zn zzn zz ez ,故为4级零点.(2)∑∞=+-++⋅-=-+16312633)6()12()1(6)6(sin 6n nn nz z n zz z z)!7!51(6615+-=zz故为15级零点.9.证明:因为0z 为)(z f 的m 阶零点+-+-=++1010)()()(m m m m z z a z z a z f 又因为0z 为)(z g 的n 阶零点,+-+-=++1010)()()(n n n b z z b z z b z g 如果n m >,则])([)()()(010 +-+-=++z z b b z z z g z f n n n 故0z 为)()(z g z f +的n 阶零点.如果m n >,同理可得0z 为)()(z g z f +的m 阶零点.如果n m =,当0≠+m m b a 时, 0z 为)()(z g z f +的m 阶零点; 当0=+m m b a 时,零点0z 的阶数大于n .+-++-=+++++10110))(()()()(n m n m n m n m n m z z b a b a z z b a z g z f 故0z 为)()(z g z f 的n m +阶零点.+-++-+-=++-)()()()()(01010z z a a z z b b z z z f z g m m n n mn由此可见如果m n >,则0z 为)(/)(z g z f 的m n -阶零点, 如果n m >,则0z 为)(/)(z g z f 的n m -阶零点, 如果n m =,则0z 为)(/)(z g z f 的可去奇点.10.证明:利用定理4.17,因0z 为解析函数)(z f 的至少n 级零点,则有 n m z g z z z f m ≥-=)()()(0 其中0!)()(0)(0≠=m z fz g m .同理 )()()(00z z z z nϕϕ-=,其中0!)()(00≠=n z z nϕϕ,则本题得证.11.解:(1)不存在 (2)不存在 (3)不存在 (4)存在12.证明:因为)(z f 在0z 点解析,由泰勒定理),:()(!)()(0000)(D K R z z K z z z n z fz f nn n ⊂<-∈-=∑∞=再由题设 ,2,1,0)(0)(==n z fn ,则)(),()(0D K z z f z f ⊂∈=由唯一性定理得 )(),()(0D z z f z f ∈≡.13.证明:(反证法)假设)(0z f 是)(z f 在D 内的最小值,因0)(0≠z f ,则)(10z f是)(1z f 在D 内的最大值, )(z f 为解析函数,由最大模原理,)(1z f 在D 内恒为常数,与题设矛盾,故)(0z f 不可能是)(z f 在D 内的最小值.14.证明:(反证法)设)(z f 在D 内处处不为零,则由最小,最大模原理,在D 内)(z f 既不能达到最小值,也不能达到最大值.而题设)(z f 在闭域D 上连续,故)(z f 在闭域D 上有最大值M 和最小值m ,而由上所述,这些都只能在边界C 上达到,但题设)(z f 在C 上为常数,故 C z mz f M ∈==)(再由最大,最小模原理,D z m M z f m ∈=<<)(,即D z mz f ∈=)(由上, )(z f 在闭域D 上恒为常数,由第二章习题(一)6(3)知, )(z f 在D 内必为常数,矛盾.(二)1.证明:由于级数∑∞=1)(n n z f 收敛于)(z f ,故)(,0εεN ∃>∀,当N n >及一切E z ∈,有Mz f z s n ε<-)()(.由题设)(,)(+∞<<M M z g 推得ε<-)()()()(z g z f z g z s n 故得证.2.证明:该级数的部分和n n n n z z z z z z z s =-++-+=-)()()(12 显然,对任何)1(<z z ,有0)(lim =∞→z s n n .另一方面,对于任何固定的n ,取121<=nz ,有21=nz,因而nz 不可能任意小,这就证得级数在圆1<z 内非一致收敛.3.证明:(1) n n n v v v v v +≤+++=121σ,两边取极限 ++≤=∞→n n n v v 1lim σδ(2) 1!!2!!2122-=++++≤++++=-znnzen zzz n zzz e)!!21(!!2112++++≤++++=--n zz z n zzz en nzznez n zz z =++++≤)!1( (3)因为在0||1z <<内任意一点z ，11!nzn n z e ∞=-=∑ 所以3213|1|||||2213||||zz z z z e -≤++-≤117||(1)||244z z ++=另一方面：321||||13|1|||||||||2224413zzzz z e z z z z -≥+-≥--=-4.证明:由柯西不等式||,n nMa ρ≤当||z ρ<时，01|||()|||||,||n n z f z a a z Mz ρ∞=-≤≤-∑因此 |()f z |0000|()||||()|f z a a a f z a =-+≥--000000||||||||||||||||a a Mz a Ma Ma z a Mρρρρ+≥->---+=0||a -0||a =0故()f z 在00||||||a z a Mρ<+上无零点.5.证明：因为2201()2i f re d πθθπ⎰=201()()2i i f re f re d πθθθπ⋅⎰=201()()2nin nin n n n n a r ea r ed πθθθπ∞∞-==⋅∑∑⎰对任意自然数,m k 若m k ≠，则20ik im eed πθθθ-⋅⎰=2()()021|()i k m i k m d k m ieeπθθπθ--==-⎰因此，根据逐项可积公式即得：222222011222|||()|||nni n i d d n n f r r ra e a ππθθθππ∞===∑⎰⎰6.证明：取,r R >则对一切正整数k n >时，()1||!()!|(0)|||||2nk k kz rk f z k M r fdz zrπ+=≤≤⎰于是由r 的任意性知对一切k n >均有()(0)k f =0故()f z 0nnnk c z ==∑,即()f z 是一个至多n 次的多项式或常数.7.证明:(1)设0z 是)(z f 的m 阶零点,于是在0z 的某邻域K 内)0()()()(1010≠+-+-=++m m m mm c z z c z z c z f取)0(,δδδ<'<',于是在区域),(0δ''z N 内)0()()()(1010≠+-+-=++m m m mm c z z c z z c z f一致收敛,逐项积分可得ζζζζζd z c z c d f zz zz m m mm ])()([)(001010 +-+-=⎰⎰++⎰⎰+-+-=++zz m m zz mm d z c d z c 01010)()(ζζζζ+-++-+=+++20110)(2)(1m m m m z z m c z z m c令 +-++-+=+++20110)(2)(1)(m m m m z z m c z z m c z F故0z 是)(z F 的1+m 阶零点. (2)设⎰=zz d f z 1)()(ζζϕ,作函数⎰-=zz d f z z F 1)()()(ζζϕ,则⎰⎰⎰=-=zz z z zz d f d f d f z F 011)()()()(ζζζζζζ由(1)知0z 是)(z F 的1+m 阶零点,故 ⎰-01z )( )(z d f z ζζϕ以0z 为1+m 阶零点.8.证明:设),(),()(1y x iv y x u z f += )0,()0,()(2x iv x u z f +=依唯一性定理,在L 上有)()(1z f z f =,而L 每一点都是L 的极限点,而且)(),(,21z f z f G L ⊂都在G 内解析,由唯一性定理有)()(21z f z f =.9.证明:(反证法)设存在这样的周线C ,D C I ⊂)(,且有一复数A ,使得A z f =)(,在C 内部)(C I 有无穷多个根,即0)(=-A z f 在C 内部)(C I 有无穷多个零点,必存在零点列{}D z z n ∈→0,从而由唯一性定理,)()(D z A z f ∈≡,与题设矛盾.10.证明:由最大模原理)(max )(z f r M rz <=,显然)(r M 是单调上升函数,若存在21r r <,使得)()(21r M r M =,即在2r z <内存在点θi e r z 11=使得)()(21r M z f =,即在内点达到最大模,由最大模原理知)(z f 恒为常数.。
课程简介：《复变函数》课程是高等师范院校和综合性大学数学类专业本.doc
课程编码（）课程总学时：54学分：3数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲一、课程说明1.课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似Z 处，而只在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪,Cauchy> Weierstrass及Riem ann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及口动控制学等，冃前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，冇其自身的特点，有其特冇的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它H身所固有的理论和方法。
2.课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生学握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将來从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的止确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提髙学生的数学修养。
同时注意扩展学牛的学习思路，使他们了解更多的和现代牛活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在冇关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。
3.选用教材与参考书目选用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。
参考书目：《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。
《多复变函数》［美］那托西姆汉著，科学出版社。
《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
复变函数论第四版钟玉泉
复变函数论第四版钟玉泉
目录
第一章复数与复变函数
第二章解析函数
第三章复变函数的积分
第四章解析函数的幂级数表示法
第五章解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点
第六章留数理论及其应用
第七章共形映射
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复变函数与积分变换解读
复变函数与积分变换课程名称：复变函数与积分变换英文译名：Complex Function and Integral Transformation课程编码：070102B06适用专业：信息与计算科学课程类别：专业必修学时数：48 学分：3编写执笔人：韩仲明审定人：刘晓华编写日期：2005年4月一、本课程的内容、目的和任务：复变函数与积分变换是高等师范院校数学专业的基础课程之一，是数学分析的后续课程，其任务是使学生获得复变函数与积分变换的基本理论与方法。
它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，其方法是自动控制、自动化、信号处理的常用方法之一，本课程主要讨论复变函数和积分变换。
内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，保形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。
复变函数与积分变换是微积分学在复数域上的推广和发展，通过本课程的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数与积分变换在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，通过学习，学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
二、课程教学内容及教学基本要求由于该课程的基础课地位，及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的理解与掌握。
凡涉及自动化或自动控制专业、信号处理的各类专业，都要用复变函数与积分变换的理论，因此学生必须熟练掌握（1）复变解析函数理论（2）复变函数的积分理论及留数理论（3）拉氏变换与富氏变换理论。
学生还应掌握复变函数的一些基础理论如罗朗级数理论及奇点理论。
学生还应理解调和函数理论。
学生还应初步了解保形映射的理论。
第一章复数与复变函数(4学时)1、教学内容复数的概念；复球面、无穷远点及扩充复平面。
区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域；复变函数的概念；复变函数的极限与连续的概念、性质。
2、教学目的和要求：理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
复变函数复习要点
复变函数复习要点第一章复习要点1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。
5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。
第二章复习要点1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；7、熟悉幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的一般计算（即直接利用这些函数的结构表示来计算）；8、熟练幅角连续改变量的计算公式；熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的分支函数的已知初值求终值的公式，并能用这些公式正确计算相应的分支函数的函数值；P z是多项式）的单值化方法（包括支点的确定方法，支割线的作法），9、()以及它的分支函数的已知初值求终值的公式。
复变函数复习资料
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值()Arg z =()arg z +2k π3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
复变函数论
复变函数论大家认识这个人？他就是大名鼎鼎的法国数学家Cauchy，初学数学分析时，经常遇到以他命名的定理。
比方说柯西收敛准则，柯西中值定理，还有一个著名的不等式柯西施瓦茨不等式等等，并且柯西在复变函数论中也作出了杰出的贡献，奠定了复变函数论的基础：柯西黎曼方程（C-R方程）、柯西积分定理、柯西积分公式、柯西阿达马公式（求解级数的收敛半径）等等.复变函数的指定教材是四川大学出版的《复变函数论》—钟玉泉第四版考察的范围主要在前6章，分别是：一、复数与复变函数；二、解析函数；三、复变函数的积分；四、解析函数的幂级数表示法；五、解析函数的洛朗展式与孤立奇点；六、留数理论及其应用.首先看看第一章考察的主要内容：会求某一个复数的模与幅角、主幅角，不管是简单复数还是复杂的，直接套公式就行了.会将某一个复数化为指数形式或者三角形式：比方说以下这个5.知道一些关于简单的复函数的连续性。
比方说：f(z)=z共轭在z平面上处处连续；f(z)=1/(1-z)在单位圆-1<z<1上连续，但是并非一致连续全都是类比数学分析中实函数连续的情形第二章主要内容知道解析的概念，什么是函数在区域内解析最重要的自然是柯西黎曼方程——以它来判断某一个函数的解析性与可微性，知道可微的充要条件.会用定义来判断某一个复函数在平面上的可微性。
比方说：f(z)=z共轭在z平面上处处不可微f(z)=z^n在z平面上处处可微知道某一些初等多值函数的支点根式函数z^(1/n)仅以z=0与z=无穷为支点；对数函数InZ只以z=0与z=无穷为支点；如果是In（z-a），那么显然支点是z=a与z=无穷这个很重要，在第六章计算实积分的时候，经常先要判断被积函数的支点，前提是被积函数或者辅助函数是多值解析函数的情形，一定要适当的割开平面，使其能分出单值解析分支，才能应用柯西积分定理或者留数理论求解.。
复变函数课件1-1资料
10
法国著名的物理学家、数学家和 天文学家。1717 年11月 17 日生 于巴黎，1783年10月29日卒于同 地。他是圣让勒隆教堂附近的一 个弃婴 ，被一位玻璃匠收养，后
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
16
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
课程概况
课程名称 复变函数
教材 总学时
《复变函数论》 高教第三版(钟玉泉编)
76学时
1
第一章 复数与复变函数
8
第二章 解析函数
12
第三章 复变函数的积分
12
第四章 解析函数的幂级数表示法
10
第五章 解析函数罗朗展示与孤立奇点 12
第六章 留数理论及其应用
12
第七章 共形映射（选学）
10
2
课程简介
13
第一章 复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点
14
第一节 复数
•1 复数域 •2 复平面 •3 复数的模与辐角 •4 复数的乘幂与方根 •5 共轭复数 •6 复数在几何上的应用举例
15
复变函数论钟玉泉第五章
在 0
z
内的洛朗级数。
例3 求函数
1
f z ez
在 0 z 内的洛朗级数。
例4
求函数
f
z
(z2
1 1)( z
3)
在
1 z 3 内的洛朗级数。
7
4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式
定义5.2 如果f(z)在点a的某一去心邻域
K-{a}： 0<|z-a|<R 内解析，点a是f(z)的奇点，
(2)在对应点z与z/上,函数 f (z) (z')
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
20
定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点)、 m级极点或本性奇点,则相应地称z=∞为f(z) 的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点.
21
定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可 去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(3)
=>(1).
因主要部分的系数
cn
1
2i
f
a n1
d
其中 : a , 可任意小，故
cn
1
2
f
a n1
d
1
2
M
n1
2
M n
cn 0 n 1，2,
13
3. 施瓦茨(Schwarz)引理
Schwarz引理 如果函数f(z)在单位圆|z|<1内解析, 并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，则在单位圆 |z|<1内恒有|f(z)|≤|z|,且有 | f (0) |1. 如果上式等号成立,或在圆|z|<1内一点z0≠0 处前一式等号成立,则(当且仅当)
2020年复变函数论钟玉泉第四章.ppt
.
2
证
如果lim n
n
,
那末对于任意给定的
0
就能找到一个正数N, 当 n N 时,
(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a. 同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
根据 {sn } 极限存在的充要条件 :
{ n } 和 { n }的极限存在,
于是 级数 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
6
注：复数项级数的收敛问题可转化为实数项级数 的收敛问题
1) an , bn分别收敛于a及b n s( a ib)
n1
n1
n1
2)
an ,
bn至少一个
发散
发散
n
n1
于即sln,i且m称sns为 s(4(.1)的) 和则,称写复成数s 项 无穷n 级数(4.1)收敛
否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有n限1 极限,则称级数 (4.1)为发散.
注 复级数
n收敛于s的
N定义： n
0, N 0,n N,有 | k s | .
k 1
5
复数项级数收敛的条件
n
(
z
z0
)
n
绝对收敛，
当| z z0 | R时，级数
n0
n
(
z
z0
)
n
发散；
(2)若R ,则级数
n0
n
复变函数答案 钟玉泉 第七章习题全解
d 时，则三圆周在分式线 c
11. 证明：由施瓦茨引理
f ( z) z ( z 1 ) ，
（1）
z f 1 ( w ) w( w 1 )
由（1） （2）得到
f ( z ) z ,f z( ) eia z
（2）
（3）
再由条件 arg f (0) 0 ，知 0 ，即 f ( z ) z . 12. 证明：设 f (0) w0 ， w0 1 ，则由教材中例 7.8，必有一线性变换 L(w) ， 它将 w 1 保形变换成 1 ，且 L( w0 ) 0 ，即 ei
2
D
3.证明：圆周 z C 的参数方程为
z cei , 0 2
1 在映射 w z 之下像曲线的参数方程为 z 1 i w ce i ce
即像曲线为椭圆
1 1 u (c ) cos , v (c )sin c c (0 2 )
4 z2
3
2） i 3） g 14.解：作如下变换 1） z 4 2） w
2
4） w e g
i i
z4 i z4 i
z 1 z 1
故所求的线性变换为 w
15.解：作如下变换 1）
2） g 2 3） w
1 g 1 g
6.解：为使分式函数 w
ai b 不为常数，应有 ad bc 0 cz d
其次， 若使 S z 上的圆周 z 1 变成 S w 上的圆周通过无穷远点 ，因而在 S z 上对 应点必过点
d ，且 z 1 ， c Nhomakorabea所以 ad bc 0 ， c d 是系数应满足的条件。 7.解： （1 ） 根据线性变换的饿保对称点性知 i 关于实轴的对称点 i 应该变到 w 0 关于单位圆周的对称点 w ，故可设 w k 又由 L' i k
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+∞
(5.3)
H : r < z - a < R (r ≥ 0, R ≤ +∞)
则(1) (5.3)在H内收敛且内闭一致收敛于
(2) 函数f ( z )在H内解析;
(3) 函数f ( z ) =
n =−∞
∑
+∞
cn ( z − a ) n在H内可逐项
n =1 +∞
节
幂级数
1. 幂级数的敛散性 阿贝尔(Abel)定理
定理4.10 如果(4.3)在某 点z1 (≠ a )收敛, 则必在 圆K : z − a < z1 − a 内绝
对收敛且内闭一致收敛.
推论4.11 如果(4.3)在某 点z2 (≠ a )发散, 则它以a 为心通过z2的圆外发散.
将函数 f ( z ) 在a 展开成幂级数.
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式, 结合解 析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等), 求函数 的泰勒展开式.
附: 常见函数的泰勒展开式
∞ z2 zn zn z 1) e = 1 + z + + L + + L = ∑ , ( z < ∞ ) 2! n! n = 0 n! ∞ 1 2) = 1 + z + z 2 + L + z n + L = ∑ z n , ( z < 1) 1− z n= 0
2. 最大模最小模原理
定理4.23 设f ( z )在区域D内解析, 则 f ( z ) 在D内任何 点都不可能达到最大值, 除非在D内f ( z )恒等于常数.
Ex13． Ex13．(最小模原理)若区域D内不恒为常数的解析
函数 f ( z )，在D内的点z0有f ( z0 ) ≠ 0，则 | f ( z0 ) | 不可能是 | f ( z ) | 在D内的最小值，试证之。
7) (1 + z ) = 1 + α z +
α
α (α − 1)
2!
n!
z +
2
α (α − 1)(α − 2)
3!
n
z +
3
L+
α (α − 1)L(α − n + 1)
z + L,
( z < 1)
第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性 定理 1. 解析函数零点的孤立性
定理4.17 不恒为零的解析函数f ( z )以a的m级 m (4.14) 零点的充要条件是: f ( z ) = ( z − a) ϕ ( z )
定理4.9（魏尔斯特拉斯定理） 定理 （魏尔斯特拉斯定理）设
(1)
(2)
f n ( z )(n = 1, 2,...)在区域D内解析;
∑f
n =1
∞
n
( z )在D内内闭一致收敛于函数f ( z )
f ( z ) = ∑ f n ( z ).
n =1 ∞
则
(1) 函数f ( z )在区域D内解析;
(2) f ( p ) ( z ) = ∑ f n( p ) ( z ), ( z ∈ D, p = 1, 2,L).
、
、
、
总复习
数 幂级数 数 开 数 论 应 共
总结与复习
在学习过程中，有一个环节是必不可少 的，那就是总结与复习，也就是我们通常所 说的念书的时候，从厚到薄的过程，学习伊 始是从薄到厚，为了更好掌握已学知识，还 必须通过从厚到薄的过程，也就是对所学过 的内容进行系统的复习和总结。 如何复习与总结，因人而异，没有统一 的模式和方法，本人采用顺藤摸瓜的方法复 习，列表比对模式总结。
推论4 推论4.21
内恒等.
设在区域D内解析的函数f1 ( z )及f 2 ( z )在D
内的某一子区域(或一小段弧)上相等,则它们必在D
推论4 推论4.22
一切在实轴上成立的恒等式
（例如 sin 2 z + cos 2 z = 1， 2 z = 2sin z cos z等等）,在 sin z平面上也成立；只要这个恒等式的等号两边在z平 面上都是解析的.
y
收敛圆
z2
•
收敛半径
a•
R • z1.
x
2. 收敛半径 的求法、柯西 阿达马公式 收敛半径R的求法 柯西-阿达马公式 的求法、
定理4.12 定理4.12
cn +1 lim = l , (D' Alembert) n →∞ c n 或 lim n cn = l , (Cauchy)
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
4 3 2
的泰勒展开式.
分析:利用部分分式与几何级数结合法 分析 利用部分分式与几何级数结合法. 即把函 利用部分分式与几何级数结合法 数分成部分分式后, 应用等比级数求和公式. 数分成部分分式后 应用等比级数求和公式 解
2 1 f (z) = z + 2 + + z − 3 ( z + 1)2
∞ 1 1 z 1 n = − 1 − = ∑ − n + 1 z z−3 3 3 3 n= 0
推论4.24 设 (1) 函数f ( z )在有界区域D内解析, 在闭域 D = D + ∂D上连续; (2) f ( z ) ≤ M , z ∈ D;
则除f ( z )为常数外, f ( z ) < M , z ∈ D.
z + z − 5z − 8z − 7 在点 z = 0 例1 求 f ( z ) = 2 ( z − 3)( z + 1)
f ( p ) ( z ) = ∑ n(n − 1) L (n − p + 1)cn ( z − a ) n − p p ! ( p = 1, 2, L) (4.6)
n= p
∞
∞
n =1 ∞
n=2
(4.6)与(4.5)有相同的收敛半径;
(3) c p = f
( p)
(a) , ( p = 0,1, 2, L) p!
∞ 1 2 2 n n = 2 − 1 z + ∑ ( −1) ( n + 1) − n+1 z 3 9 3 n= 2
( z < 1)
第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
第一节 解析函数的洛朗展式 1. 双边幂级数
定理5.1 设双边幂级数 ∑ cn ( z − a) n 定理 n =−∞ 的收敛圆环为
−1
( z < 3)
∞ 1 1 = ( z < 1) = ∑(−1)nzn z + 1 1 − (−z) n=0 ∞ 1 两端求导得 − = ∑n(−1)n zn−1, ( z < 1) (1+ z)2 n=1
∞ 1 n −1 n −1 n n 即 = ∑ ( −1) nz = ∑ ( −1) ( n + 1) z ( z < 1) 2 (1 + z ) n= 0 n =1
一般而言，对每一个问题，都围绕四个 方面来考虑，（1）主要内容；（2）重点； （3）注意问题；（4）实例。
第四章 解析函数的幂级数表示法
第一节 复级数的基本性质
1.复级数的条件收敛和绝对收敛 1.复级数的条件收敛和绝对收敛 2.复函数数项级数的一致收敛以及判别 2.复函数数项级数的一致收敛以及判别 特别是优级数准则（M-判别法）：
其中ϕ ( z )在点a的邻域 z - a < R内解析, 且ϕ (a ) ≠ 0.
定理4 定理4.18
如在 z − a < R内的解析函数f ( z )不恒为
零, a为其零点, 则必有a的一个邻域, 使得f ( z )在其中 无异于a的零点(不恒为零的解析函数零点必孤立). 推论4.19 设 (1) 函数f ( z )在邻域K : z − a < R内解析; 推论4
2. 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况
定理4.16 如果幂级数∑ cn ( z − a) n的收敛半径R > 0, 且 定理
f ( z ) = ∑ cn ( z − a) , z ∈ K : z − a < R;
n ∞
n =0 ∞
则f ( z )在其收敛圆周C : z − a = R上至少有一个奇点.
积分形式
(Γ ρ : ζ − a = ρ , ) < ρ < R; n = 0,1, 2,L)
且展式是惟一的.
微分形式
刻划解析函数的第四个等价定理 定理4.15 函数f ( z )在区域D内解析的充要条件为 : 定理
f ( z )在D内任一点a的邻域内可展成z - a幂级数, 即 Taylor级数
z2 z4 z 2n 5) cos z = 1 − + − L + ( −1)n + L, 2! 4! ( 2n)!
2 3 n +1
( z < ∞)
z z n z 6) ln(1 + z ) = z − + − L + ( −1) + L, 2 3 n+1 n +1 ∞ n z = ∑ ( −1) ( z < 1) n+1 n=0
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞
1 , l R = 0,
n =0
当l ≠ 0, +∞时
+∞
当l = +∞时
当l = 0时
3. 幂级数和的解析性
f ( z ) = ∑ cn ( z − a ) n , 定理4.13 (1) 幂级数 定理