北京市朝阳区2016届高三二模数学(理)试题【含答案】

北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）2016．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}124xA x =<<，{}10B x x =-≥，则A B I ＝（ ）A ．{}12x x ≤< B ．{}01x x <≤C ．{}01x x <<D ．{}12x x <<2．复数i1iz =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．6B ．10C ．14D ．154．已知非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ∥()+a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．同时具有性质:“①最小正周期是π； ②图象关于直线3x =π对称；③在区间56⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ππ上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ） A ．cos 26x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭π B ．sin 26y x 5⎛⎫=+⎪⎝⎭π C ．cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π D ．sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π 6．已知函数()122log 2a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，，(0a >且)1a ≠的最大值为1，则a 的取值范围是（ ）A ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．()01，C ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．()1+∞，7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ） A ．48B ．72C ．84D ．1688．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且EF ∥平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ ）A．92B．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线22:13x C y -=的渐近线方程是 ；若抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线C 的一个焦点重合，则p = ．10．如图，P 为⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于B C ，两点，且3PC PA =，D 为线段BC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ．若1PB =，则PA 的长为______；AD DE ⋅的值是 ．11．已知等边ABC ∆的边长为3，D 是BC 边上一点，若1BD =，则AC AD ⋅uu u r uuu r的值是______．12．已知关于x y ，的不等式组022x y x x y x y k≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪-≥⎩所表示的平面区域D 为三角形区域，则实数k 的取值范围是 ．13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设()f n 表示前n 年的纯利润（()f n =前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额），则()f n = （用n 表示）；从第______年开始盈利.14．在平面直角坐标系xOy 中，以点A ()20， ，曲线y =B ，第一象限内的点C ，构成等腰直角三角形ABC ，且90A ∠=︒，则线段OC 长的最大值是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin A C =． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积．交通指数值0.25 0.10 0.050.15 02 4 6 8 10 0.20 13 5 7 9 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为()010， ，五个级别规定如下：某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）的交通指数（）平均值），其统计结果如直方图所示． （Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间X 的数学期望．ECDBA图1BFOCDA 1E 图2如图1，在等腰梯形ABCD 中，//BC AD ，122BC AD ==，60A ∠=︒，E 为AD 中点，点O F 、分别为,BE DE 的中点．将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，使得平面1A BE ⊥平面BCDE （如图2）． （Ⅰ）求证：1AO CE ⊥； （Ⅱ）求直线1A B 与平面1ACE 所成角的正弦值； （Ⅲ）侧棱1AC 上是否存在点P ，使得//BP 平面1AOF ？若存在，求出11A PAC 的值；若不存在，请说明理由．已知函数()()()2111ln 2f x x a x a x =-+++-，a R ∈． （Ⅰ）当3a =时，求曲线():C y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当[]12x ∈， 时，若曲线():C y f x =上的点()x y ，都在不等式组1232x x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内，试求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点()()0000P x y y ≠，在椭圆22:12x C y +=上，过点P 的直线l 的方程为0012x xy y +=． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点，试求OAB ∆面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证：点2Q P F 、、三点共线．20．（本小题满分13分）已知集合(31122n S k k k N n *⎧⎫-⎪⎪=≤≤∈≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，且)n N *∈．若存在非空集合12n S S S ，，，，使得12n S S S S =，且()1i j S S i j n i j =∅≤≤≠，，，并()12i x y S i n x y ∀∈=>，， ，，，，都有i x y S -∉，则称集合S 具有性质P ，i S （12i n =， ，，）称为集合S 的P 子集． （Ⅰ）当2n =时，试说明集合S 具有性质P ，并写出相应的P 子集12S S ，；（Ⅱ）若集合S 具有性质P ，集合T 是集合S 的一个P 子集，设{}3nT s s T '=+∈，求证：x y T T '∀∈，，x y >，都有x y TT '-∉；（Ⅲ）求证：对任意正整数2n ≥，集合S 具有性质P ．北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．5一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分） [0,1)（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（）Ⅰ） 0A <<π，由正弦定理sin sin a cA C=…………………6分（）Ⅱ） cos A =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=． 解得5b =或3b =-（舍负）．…………………13分 解: （Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25， 据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为 260×0.25=65天. ……………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知X 的可能取值为30,35,40,50,70．且(30)0.05P X ==；(35)0.10P X ==；(40)0.45P X ==； (50)0.25P X ==；(70)0.15P X ==；所以300.05+350.1+400.45+500.25+700.15=46EX =⨯⨯⨯⨯⨯．…………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD 中，由//BC AD ，122BC AD ==，60A ∠=︒，E 为AD 中点，所以ABE ∆为等边三角形．如图2, 因为O 为BE 的中点，所以1AO BE ⊥． 又因为平面1A BE ⊥平面BCDE ， 且平面1A BE平面BCDE BE =，所以1AO ⊥平面BCDE ，所以1AO CE ⊥．………4分 （Ⅱ）连结OC ，由已知得CB CE =，又O 为BE 的中点，图2所以OC BE ⊥．由（Ⅰ）知1AO ⊥平面BCDE ， 所以11,AO BE AO OC ⊥⊥， 所以1,,OA OB OC 两两垂直．以O 为原点，1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为2BC =，易知1OA OC ==所以1(00(100),(0(100)A B C E -，，，，，所以111(103),(033),(10A B AC A E =-=-=-，，，，，． 设平面1ACE 的一个法向量为(,,)x y z =n ， ECDBA图1DCBFODA 1E由 110,0 AC A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0, 0.x -=--=⎪⎩即0, 0. y z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1z =，得(,1)=n ． 设直线1A B 与平面1ACE 所成角为θ，则1sin cos ,A B θ=〈〉===n ． 所以直线1A B 与平面1ACE 所成角的正弦值为5． …………………9分 （Ⅲ）假设在侧棱1AC 上存在点P ，使得//BP 平面1AOF ． 设11A P AC λ=，[0,1]λ∈．因为1111BP BA A P BA AC λ=+=+，所以(10(0(1)BP λ=-+=-． 易证四边形BCDE 为菱形，且CE BD ⊥，又由（Ⅰ）可知，1AO CE ⊥，所以CE ⊥平面1AOF ．所以(1,CE =-为平面1AOF 的一个法向量．由(1)(1,130BP CE λ⋅=-⋅-=-=，得1[0,1]3λ=∈． 所以侧棱1AC 上存在点P ，使得//BP 平面1AOF ，且1113A P AC =． …………14分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当3a =时, 21()42ln 2f x x x x =-+-，0x >． 2()4f x x x'=-+-． 则(1)1421f '=-+-=，而17(1)422f =-+=． 所以曲线在点（1,(1)f ）处的切线方程为712y x -=-，即2250x y -+=．…………………………………………………………………………4分C（Ⅱ）依题意当时，曲线上的点都在不等式组12,,32x x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内，等价于当时，3()2x f x x ≤≤+恒成立． 设211)ln 2x ax a x （=-++-，． 所以21(1)()=+=a x ax a g x x a+x x---++-'(1)(1))=x x a x ---(-．（1）当11a -≤，即2a ≤时，当[]1,2x ∈时，()0g x '≤，()g x 为单调减函数，所以(2)()(1)g g x g ≤≤． 依题意应有131,222221ln20,()()()g a g a a ⎧=-≤⎪⎨⎪=-++-≥⎩ 解得21a a ,.≤⎧⎨≥⎩所以12a ≤≤．（2）若 112a <-<，即23a <<时，当[)1,1x a ∈-，()0g x '≥，()g x 为单调增函数，当x ∈(]1,2a -，()0g x '<，()g x 为单调减函数．由于13(1)(1)22g a g a ->=->，又因为max 3()(1)2g x g a =-≤，矛盾，所以不合题意． （3）当12a -≥，即3a ≥时，注意到max 15()(2)(1)22g x g g a =>=-≥，又因为max 3()(2)2g x g =≤，矛盾，显然不合题意．综上所述，12a ≤≤． …………………………………………13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）依题意可知a =1c ==，所以椭圆C离心率为e ==． …………… 3分 （Ⅱ）因为直线l 与x 轴，y 轴分别相交于,A B 两点，所以000,0x y ≠≠． 令0y =，由0012x x y y +=得02x x =，则02(,0)A x ． []1,2x ∈C (),x y 12x ≤≤()()g x f x x =-[]1,2x ∈令0x =，由0012x x y y +=得01y y =，则01(0,)B y ． 所以OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===． 因为点00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=．所以220012x y =+≥．即00x y ≤，则001x y ≥所以00112OAB S OA OB x y ∆==≥． 当且仅当22002x y =，即001,2x y =±=±时，OAB ∆… 9分 （Ⅲ）①当00x =时，(0,1)P ±．当直线:1l y =时，易得(1,2)Q -，此时21F P k =-，21F Q k =-．因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线． 同理，当直线:1l y =-时，三点2,,Q P F 共线．②当00x ≠时，设点(,)Q m n ，因为点Q 与点1F 关于直线l 对称，所以000011,22202() 1.1212x m n y n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得000000240,220.x m y n x y m x n y +--=⎧⎨-+=⎩解得220002200000220044,448.4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩所以点22000000222200004448(,)44x x y x y y Q y x y x +-+++． 又因为200(1,)F P x y =-，220000002222200004448(1,)44x x y x y y F Q y x y x +-+=-++， 且22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++2200000220048(448)4x y x x y y x --+-=⋅+ 222200000002222220000008484(2)84280444y x y x y y y y x y x y x --+-++-⨯+=⋅=⋅=⋅=+++． 所以2//F P 2F Q ．所以点2,,Q P F 三点共线．综上所述，点2,,Q P F 三点共线． …………………………………14分 20．（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）当2n =时，{1,2,3,4}S =，令1{1,4}S =，2{2,3}S =,则12S S S =, 且对,(1,2),i x y S i x y ∀∈=>，都有i x y S -∉，所以S 具有性质P ．相应的P 子集为1{1,4}S =，2{2,3}S =． ………… 3分（Ⅱ）①若31,(1)2n x y T y x -∈≤<≤,由已知x y T -∉, 又31132n n x y --≤-<,所以x y T '-∉．所以'x y T T -∉．②若,x y T '∈,可设3,3nnx s y r =+=+，,r s T ∈,且3112n r s -≤<≤，此时31(3)(3)132n nnn x y s r s r --=+-+=-≤-<．所以'x y T -∉，且x y s r T -=-∉．所以x y T T '-∉．③若y T ∈, 3nx s T '=+∈,s T ∈，则313331(3)()3(1)3222n n n nnnx y s y s y -+--=+-=-+≥-+=>, 所以x y T -∉．又因为,y T s T ∈∈，所以s y T -∉．所以(3)()3nnx y s y s y T '-=+-=-+∉． 所以'x y TT -∉．综上，对于,'x y T T ∀∈，x y >，都有'x y T T -∉． …………… 8分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当2n =时，命题成立，即集合S 具有性质P ． （2）假设n k =（）2k ≥）时，命题成立．即1231{1,2,3,,}2k k S S S S -==，且(1,,)ij S S i j n i j =∅≤≤≠，,(1,2,,),i x y S i k x y ∀∈=>，都有i x y S -∉．那么 当1n k =+时，记{3|}ki i S s s S '=+∈,，并构造如下个集合：111S S S '''=,222S S S '''=,,k k kS S S '''=， 1313131{1,2,,21}222k k k k S +---''=++⨯+，显然()i j S S i j ''''=∅≠．又因为131313122k k +--=⨯+，所以112131{1,2,3,,}2k kk S S S S ++-''''''''=．下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素(1,2,,1)i k =+．①若两个元素13131,22k k k r s S +--''++∈,31112k r s -≤<≤+, 则313131()()222k k k s r s r ---+-+=-≤, 所以13131()()22k k k s r S +--''+-+∉． ②若两个元素都属于i ii S S S '''=(1)i k ≤≤,由（Ⅱ）可知，i S ''中任意两个元素之差不等于i S ''中的任一数(1,2,,1)i k =+．从而，1n k =+时命题成立．综上所述，对任意正整数2n ≥，集合S 具有性质P ．………………………13分k +1 ¢¢S i¢¢S i。