湖北省武汉外国语学校2017-2018学年高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

武汉外国语学校2017—2018学年度上学期期末考试高二数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A.y 2=﹣8x B.y 2=8xC.y 2=﹣4xD.y 2=4x【答案】B 【解析】试题分析：根据准线方程求得p ，则抛物线的标准方程可得．解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y 2=8x 故选B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．【此处有视频，请去附件查看】2.若R k ∈，则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若3k >，则30,30k k ->+>，22133x y k k -=-+表示双曲线；若方程22133x y k k -=-+表示双曲线，则3030k k ->⎧⎨+>⎩或3030k k -<⎧⎨+<⎩，解得3k >或3k <-则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的充分不必要条件,选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A.A 与C 互斥 B.任何两个均互斥C.B 与C 互斥 D.任何两个均不互斥【答案】A 【解析】本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案解答：解：A 为“三件产品全不是次品”，指的是三件产品都是正品，B 为“三件产品全是次品”，C 为“三件产品至少有一件是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是次品三个事件由此知，A 与B 是互斥事件，A 与C 是对立事件，也是互斥事件，B 与C 是包含关系，故选项B 正确故选A4.从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率()A.不全相等B.均不相等C.都相等，且为251002D.都相等，且为140【答案】C 【解析】试题分析：简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都是等概率抽样，每个个体被抽到的概率都相等，都等于nN，其中N 是个体总数，n 是被抽到的个体数．考点：抽样方法5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. B.2-C.D.2【答案】D 【解析】【分析】该框图的功能是计算:234562017sinsin sin sin sin sin sin 3333333πππππππ+++++++ ,再根据正弦函数的周期性以及特殊角的三角函数值计算可得答案.【详解】该框图的功能是计算:234562017sin sin sin sin sin sin sin 3333333πππππππ+++++++ .因为7132017sinsin sin sin ,33332ππππ===== 281420123sinsin sin sin 33332ππππ=====,39152013sin sin sin sin 03333ππππ===== ,4101620143sinsin sin sin 33332ππππ=====-,511172015sin sin sin sin 33332ππππ=====-,612182016sinsin sin sin 03333ππππ===== ,所以234562017sin sinsin sin sin sin sin 3333333πππππππ+++++++3373363360336(336(336022222=⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯=.故选:D【点睛】本题考查了程序框图的循环结构,考查了三角函数的周期性以及特殊角的三角函数值,理解程序框图的功能是解题关键,属于基础题.6.(2018·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是()A.320πB.20πC.310π D.10π【答案】A 【解析】依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r ，则由等面积法，可得×8×15＝×(8＋15＋17)r ，解得r ＝3，∴向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P ＝＝.选A.7.甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5位评委评分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙、,则下列判断正确的是()A.x x <甲乙,甲比乙成绩稳定B .x x <甲乙,乙比甲成绩稳定C.x x >甲乙,甲比乙成绩稳定D.x x >甲乙,乙比甲成绩稳定【答案】B 【解析】由茎叶图知,甲的得分情况为77,76,88,90,94;乙的得分情况为75,88,86,88,93,因此可知甲的平均分为15x =甲(77+76+88+90+94)=85,乙的平均分为15x =乙(75+86+88+88+93)=86,可知x x <甲乙,排除C,D .同时根据茎叶图数据的分布情况可知,乙的数据主要集中在86左右,甲的数据比较分散,乙比甲更为集中,故乙比甲成绩稳定.故选：B8.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）．A.14B.716 C.12D.916【答案】B 【解析】四个人抛硬币的可能结果有16种，有不相邻2人站起来的可能为：正反正反，反正反正，只有1人站起来的可能有4种，没有人站起来的可能有1种，所以所求概率为：24171616P ++==．选B.9.在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的一个焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，0FB FC ⋅=，则椭圆的离心率为（）A.2B.3C.6D.3【答案】D 【解析】【分析】求出点,,B C F 的坐标后,=,再根据椭圆的离心率公式可得结果.【详解】将2b y =代入()222210x y a b a b +=＞＞可得2x a =±,由题意可知:1(,)22B a b -,1,)22C a b ,(c,0)F ,所以11(,),)2222FB FC c b c ⋅=--⋅-2221())24c a b=--+222231()44c a a c =-+-2231042c a =-=,=,所以3c e a ===.故选:D【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示,考查了椭圆的离心率,属于基础题.10.与正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点()A.有且只有1个 B.有且只有2个C.有且只有3个 D.有无数个【答案】D【解析】试题分析：由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF=；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选D．点评：本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．【此处有视频，请去附件查看】11.过抛物线y2＝x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，则直线BC 的斜率为（）A.14B.14-C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】依题意设22(,),(,),(4,4)B a a C b b a b ≠≠,根据斜率公式以及倾斜角互补可得4a b +=-,再根据斜率公式可得BC 的斜率.【详解】依题意设22(,),(,),(4,4)B a a C b b a b ≠≠,则22142AB a k a a -==-+,22142ACb k b b -==-+,因为直线AB ，AC 的倾斜角互补,所以11022a b +=++,所以40(2)(2)a b a b ++=++,所以4a b +=-,所以22114BC a b k a b a b -===--+.故选:B【点睛】本题考查了抛物线方程的应用,考查了斜率公式的应用,考查了直线的倾斜角,属于基础题.12.设双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，以12,F F 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切，则双曲线C 的离心率为（）A.B.34-+ C.D.37+【答案】D 【解析】试题分析：解：设以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切于点K ,圆心为点M ，1PF m =，2PF n =，由题意可知：2222222{4n m a m n c c a b -=+==+，解得：{m aa =+，设21PF F α∠=，则22tan m c a b c n bα-==，在2Rt MKF中可得：2tan KM KF α==，据此可得：22c b -=，整理可得：(()422291890c a c a -++=，则：(()4291890e e -++=，分解因式有：(()229910e e ⎡⎤--⨯-=⎣⎦，双曲线的离心率1e ≠，故：(2990e --=，解得：22e ==，双曲线的离心率：37e +==.本题选择D 选项.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立,,a b c 的齐次关系式，将b 用,a c 表示，令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式，进而求解．二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有辆．【答案】80【解析】试题分析：由题意可知没有超速的是指速度不超过60公里/小时的车辆，即第1,2两组的频数，根据频率分布直方图可知没有超速的有()2000.010.031080⨯+⨯=辆.考点：频率分布直方图与频率、频数．【易错点晴】本题主要考查了频率分布直方图与频率、频数，属于基础题.解答时要注意在频率分布直方图中用矩形的面积表示各组的频率，而不是各组矩形的纵坐标，这是最常见的错误，同时样本数据在某范围内的频率就是该范围内各组的频率之和，结合频率的计算公式和样本容量即可求得每组的频数.14.将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为________.【答案】(5)31032【解析】试题分析：100854034 2...2017÷= ,403420172÷=,4034∴与10085最大公约数为2017，43212017351505352=⨯+⨯+⨯+⨯+ ，2017∴的五进制是()531032.考点：辗转相除法及进位制.15.在△ABC 中，()0AB CA CB ⋅+= ，点H 在线段BC 上，0AH BC ⋅= ，33cosB =，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为_____2【解析】【分析】取AB 的中点D ，根据()0AB CA CB ⋅+=,可得三角形ABC 为等腰三角形,设BD ＝x,可计算得,,BC BH AH 的长,从而根据双曲线的定义可得双曲线的实轴长和焦距,再根据离心率公式可得双曲线的离心率.【详解】如图，取AB 的中点D ，∵()0AB CA CB ⋅+=，所以(2)0AB CD ⋅=,∴0AB CD ⋅=，∴CD ⊥AB ，AC ＝BC ，∵0AH BC ⊥=，∴AH ⊥BC ，设BD ＝x，且3cosB =，∴在Rt △BCD中，3AC BC ===，在Rt △ABH中，3sinB =，233AH x x =⋅=，在Rt △AHC中，3CH ==，∴双曲线的焦距23c AH x ==，实轴长233a CA CH x x =-=-=，∴双曲线的离心率2323xc e a ===【点睛】本题考查了平面向量的数量积,考查了双曲线的定义,考查了双曲线的离心率公式,属于基础题.16.如图所示，已知抛物线y 2＝x 的焦点为F ，直线l 过点F且依次交抛物线及圆22(x y -+=2于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |+4|CD |的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】当直线l的斜率不存在时，计算出||4||AB CD +=,当直线l 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣）(0)k ≠，代入抛物线方程,利用韦达定理以及抛物线的定义可求得|AB |+4|CD |＝x 1+4x 2,再利用基本不等式可得最小值为,比较可得答案.【详解】抛物线y 2＝x 的焦点为F （，0），准线方程为x ＝﹣，圆22(x y -+=2的圆心为F 0)，当直线l 的斜率不存在时，x ＝2，联立2y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得y 2＝32，即y ＝±4，所以||AD =,所以11|||(||||)22AB CD AD BC ==-=-=,所以||4||4AB CD +=+⨯=当直线l 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣2）(0)k ≠，代入抛物线方程可得k 2x 2﹣（+k 2）x +8k 2＝0，k ≠0，设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），可得x 1+x 2＝2k，x 1x 2＝8，由抛物线的定义可得|AB |+4|CD |＝|AF |+4（|DF |）＝x 1+4（x 2x 1+4x 2≥=，当且仅当x 1＝，x 2=，综上可得，|AB |+4|CD |的最小值为，故答案为:【点睛】本题考查了直线与抛物线相交的问题,考查了抛物线的定义,考查了利用圆的方程求圆心坐标和半径,考查了基本不等式求和的最小值,考查了韦达定理,利用抛物线的定义求||AF 和||DF 是解题关键,属于中档题.三、解答题（6小题，共70分）17.设不等式组0606x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域为A ，不等式组06x x y ≤≤⎧⎨-≥⎩表示的区域为B ．（1）在区域A 中任取一点（x ，y ），求点（x ，y ）∈B 的概率；（2）若x 、y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x ，y ）在区域B 中的概率．【答案】（1）12（2）712【解析】【分析】(1)依题意可知是几何概型,利用面积比可求得答案;(2)依题意可知是古典概型,利用古典概型的概率公式可求得答案.【详解】（1）设集合A 中的点（x ，y ）∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝18，∴P （M ）181362==，（2）设点（x ，y ）在区域B 为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点（x ，y ）有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36个，其中在区域B 中的点（x ，y ）有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共21个，故P （N ）2173612==．【点睛】本题考查了求几何概型的概率,考查了古典概型的概率公式,属于基础题.18.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2，试判别△MF 1F 2的形状．【答案】（1）22132x y -=；（2）钝角三角形.【解析】【分析】(1)设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，由题得22222941ab a b c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩且程.(2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2，求得|MF 1，|MF 2，|F 1F 2再利用余弦定理判定△MF 1F 2为钝角三角形．【详解】(1)椭圆方程可化为22194x y +=，焦点在x 轴上，且=故设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则有22222941a b a b c ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得a 2＝3，b 2＝2.所以双曲线的标准方程为22132x y -=.(2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2，又|MF 1|＋|MF 2故解得|MF 1，|MF 2又|F 1F 2因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝22221211202MF F F MF MF MF +-<，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．【点睛】（1）本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的简单几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求双曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.19.某校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？【答案】（1）第4组的频率为0.2，作图见解析（2）样本中位数的估计值为2603，平均数为87.25（3）0.9【解析】【分析】(1)利用频率和为1,计算可得答案,计算可得第四个矩形的高度为0.2÷5=0.04,由此作图即可;(2)设样本的中位数为x，由5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5解出x即可得到中位数,根据77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10计算即可得到平均数;(3)通过列举法可得所有基本事件的总数以及至少有一人是“优秀”的总数,再利用古典概型概率公式计算可得.【详解】（1）其它组的频率为（0.01+0.07+0.06+0.02）×5＝0.8，所以第4组的频率为0.2，频率分布图如图：（2）设样本的中位数为x，则5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5，解得x2603 ，∴样本中位数的估计值为260 3，平均数为77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10＝87.25；（3）依题意良好的人数为40×0.4＝16人，优秀的人数为40×0.6＝24人优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，记“从这5人中选2人至少有1人是优秀”为事件M ，将考试成绩优秀的三名学生记为A ，B ，C ，考试成绩良好的两名学生记为a ，b ，从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB ，AC ，BC ，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个基本事件，事件M 含的情况是：AB ，AC ，BC ，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，共9个，所以P （M ）910==0.9．【点睛】本题考查了频率分布直方图,考查了由频率分布直方图计算中位数和平均数,考查了古典概型的概率公式,属于中档题.20.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥BC ，PD ⊥DC ，且PC =（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AC 与PD 所成角的余弦值；（3）求二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）12（3）3【解析】【分析】(1)先证PA ⊥BC,PA ⊥CD ,再根据直线与平面垂直的判定定理可证结论;(2)以A 为原点,以射线,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,利用空间向量的坐标可求得结果;(3)利用平面PDC 和平面PDB 的法向量的坐标,计算可得二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值.【详解】（1）证明：∵底面ABCD 是边长为1的正方形，∴AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，又PB ⊥BC ，AB ∩PB ＝B ，且都在平面PAB 内，∴BC ⊥平面PAB ，又PA 在平面PAB 内，∴PA ⊥BC ，同理，由PD ⊥DC ，CD ⊥AD ，且PD ∩AD ＝D ，都在平面PAD 内，∴CD ⊥平面PAD ，又PA 在平面PAD 内，∴PA ⊥CD ，∵BC ∩CD ＝C ，且都在平面ABCD 内，∴PA ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，PA ⊥平面ABCD，且AC ==1PA ===，建立如图所示空间直角坐标系，由题意可得，A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1），D （1，0，0），B （0，1，0），∴()()110101AC PD ==-，，，，，，∴12AC PDcos AC PD AC PD⋅== ＜，＞，∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为12；（3）由（2）知，()()010101DC DP ==- ，，，，，，()()110011BD BP =-=-，，，，，，设平面PDC 的一个法向量为()n x y z，，=，则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴00y x z =⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，则z ＝1，∴()101n =，，，设平面PDB 的一个法向量为()m a b c，，=，则00m DP m BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴00a c b c -+=⎧⎨-+=⎩，令a ＝1，则b ＝1，c ＝1，∴()111m =，，，∴3cos m n ==＜，＞，即二面角B ﹣PD ﹣C的余弦值为3．【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了异面直线所成的角和二面角的向量求法,属于中档题.21.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1（1）求曲线C 的方程.（2）是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有?若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）设P （x ，y ）是曲线C 上任意一点，那么点P （x ，y）满足：1(0)x x =>化简得24(0)y x x =>.(Ⅱ)设过点M （m ，0）（m>0）的直线l 与曲线C 的交点为A 12(,)x y ，B 22(,)x y ．设l 的方程为x=ty+m ，由2{4x ty m y x=+=得2440y ty m --=，△=16（2t +m ）>0，于是12124{4y y t y y m+==-①又1122(1,),(1,)FA x y FB x y =-=-．·0FA FB <1212(1)(1)x x y y ⇔--+=+1+12y y <0②又24y x =，于是不等式②等价于2222121212·(104444y y y y y y +-++<2212121212()1()210164y y y y y y y y ⎡⎤⇔+-+-+<⎣⎦③由①式，不等式③等价于22614m m t -+<④对任意实数t ，24t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于2610m m -+<，即33m -<<+．由此可知，存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有·0FA FB <，且m 的取值范围(3-+．【解析】(1)由题意知曲线C 上的点到F （1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等.可确定其轨迹是抛物线，即可求出其方程为y 2=4x.(2)设过点M 的直线方程为x=ty+m,然后与抛物线方程联立，消去x,利用韦达定理表示出•FA FB,再证明其小于零即可.【此处有视频，请去附件查看】22.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，左右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心,以3为半径的圆与以F 2为圆心,以1为半径的圆相交，且交点M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆E ：222244x y a b+=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx +m 交椭圆E 于A ，B 两点．射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求OQ OP的值，（ii ）求△ABQ 面积的最大值．【答案】（1）2243x y +=1（2）（i ）|OQ OP |＝2，（ii ）18【解析】【分析】(1)由MF 1+MF 2＝2a ＝3+1＝4以及12c a =,解方程组可得224,3a b ==,由此可得椭圆C 的方程;(2)(i)设P （x 0，y 0），|OQ OP |＝λ，可得Q （﹣λx 0，﹣λy 0）,将其代入椭圆E 的方程可得结果;(ii)设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y ＝kx +m 代入椭圆E 的方程,利用韦达定理可得|x 1﹣x 2|234k ==+，利用S 12=|m |•|x 1﹣x 2|可得S =,根据两个判别式大于0,可得2234m k =+(0,1)t ∈,再利用二次函数的单调性可得结果.【详解】（1）由题意可知，MF 1+MF 2＝2a ＝3+1＝4，可得a ＝2，又12c a =，a 2﹣c 2＝b 2，可得c ＝1，b =C 的方程为2243x y +=1；（2）由（1）知椭圆E 的方程为221612x y +=1，（i ）设P （x 0，y 0），|OQ OP|＝λ，由题意可知，Q （﹣λx 0，﹣λy 0），由于220043x y +=1，又2200()()1612x y λλ--+=1，即24λ（220043x y +）＝1，所以λ＝2，即|OQ OP|＝2；（ii ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y ＝kx +m 代入椭圆E 的方程，可得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣48＝0，由△＞0，可得m 2＜12+16k 2，①则有x 1+x 22834km k =-+，x 1x 22244834m k-=+，所以|x 1﹣x 2|243161234k ==+，由直线y ＝kx +m 与y 轴交于（0，m ），则△AOB 的面积为S 12=|m |•|x 1﹣x 2|12=|m |•234k +＝，设2234m k =+t ，则S ＝，将直线y ＝kx +m 代入椭圆C 的方程，可得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，由△≥0可得m 2≤3+4k 2，②由①②可得0＜t ≤1，则S ＝在（0，1]递增，即有t ＝1取得最大值，即有S ≤6，即m 2＝3+4k 2时,S 取得最大值6，由（i ）知，△ABQ 的面积为3S ，即△ABQ 面积的最大值为18．【点睛】本题考查了利用,,a b c 求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的交点问题,考查了韦达定理,考查了三角形的面积公式,考查了二次函数求最值,考查了运算求解能力,考查了整体换元思想,本题属于较难题.。