【精品】全国中学生物理竞赛课件24：几何光学问题集成
高中物理竞赛辅导讲义：几何光学
word几 何 光 学§1.1 几何光学基础1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。
2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。
3、光的反射定律：①反射光线在入射光线和法线所决定平面内； ②反射光线和入射光线分居法线两侧； ③反射角等于入射角。
4、光的折射定律：①折射光线在入射光线和法线所决定平面内； ②折射光线和入射光线分居法线两侧；③入射角1i 与折射角2i 满足2211sin sin i n i n =；④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C 时，将发生全面反射现象〔折射率为1n 的光密介质对折射率为2n 的光疏介质的临界角12sin n n C =〕。
§1.2 光的反射、组合平面镜成像：1.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。
先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜〔交于O 点〕镜间放一点光源S 〔图1-2-1〕，S 发出的光线经过两个平面镜反射后形成了1S 、2S 、3S 三个虚像。
用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O 为圆心、OS 为半径的圆上，而且S 和1S 、S 和2S 、1S 和3S 、2S 和3S 之间都以平面镜〔或它们的延长线〕保持着 对称关系。
用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。
两面平面镜AO 和BO 成60º角放置〔图1-2-2〕，用上述规律，很容易确定像的位置：①以O 为圆心、OS 为半径作圆；②过S 做AO 和BO 的垂线与圆交于1S 和2S ；③过1S 和2S 作BO 和AO 的垂线与圆交于3S 和4S ；④过3S 和4S 作AO 和BO 的垂线与圆交于5S ，51~S S 便是SS S 2图1-2-1S 3图1-2-2在两平面镜中的5个像。
双镜面反射。
如图1-2-3，两镜面间夹角a =15º,OA =10cm ，A 点发出的垂直于2L 的光线射向1L 后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，那么从A 点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？如图1-2-4所示，光线经1L 第一次反射的反射线为BC ，根据平面反射的对称性,BC C B ='，且∠a C BO ='。
全国高中物理竞赛几何光学专题
若透镜是放置在空气中，则 ，薄透镜的物像位置关系式可以改写为
这时，焦距表示为
而定义薄透镜的光焦度 是
式中为透镜的折射，为透镜前后表面的曲半径．
⑵物像的放大率，若物像空间的折射率相同，薄透镜的垂直放大率是
2、凸透镜焦距为20cm，一点光源以速度40cm/s沿透镜主轴远离透镜，求当点光源距透镜为60cm时像点的移动速度。
解：设某一时刻此点光源成像的物距为 ，像矩为 ，则由透镜成像公式得
即
当点光源由上述位置移动一个很小的距离 时，其成像的物距变为 ，令其对应的像矩移动 ，则其对应的像矩变为 ，又依成像公式有
1．先求凸球面的曲率半径 。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于 点，如图（a）所示。 点为球面的球心， ，由正弦定理，可得
（1）
由折射定律知
（2）
当 、 很小时， ， ， ，由以上两式得
（3）
所以
（4）
2.凸面镀银后将成为半径为 的凹面镜，如图（b）所示
令 表示物所在位置， 点经平面折射成像 ，根据折射定律可推出
几何光学
【知识点】
1、几何光学的基本定律
⑴光的直线传播定律在各向同性均匀介质中，光沿着直线传播，称为光的直线传播定律。
⑵光的独立传播定律不同发光点发出的光束在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播，称为光的独立传播定律。
⑶光的折射定律与反射定律入射光线、反射光线和分界面上入射点的法线三者在同一平面内：入射角和反射角的绝对值相等而符号相反，即入射光线和反射光线位于法线的两侧．即
同理，这时轴向放大率表示为
物理竞赛-几何光学
第一节光的反射和折射知识导航：几何光学中问题的分析与解决，大都是基于光路图的分析，所以，作出正确的反射光路图、成像光路图，是解决问题的关键。
作图，一方面反映了学生的动手能力，另一面也是把抽象的情景形象化的一种手段，是一种十分有效的帮助分析、解决问题的方法，应关注并加强这方面的训练。
在反射光路中，常常利用平面镜成像作图，如已知入射光线确定出射光线、已知出射光线确定入射光线，或是在此基础上确定平面镜的观察范围等，在作图过程中，往往会借助“像”，所以应正确理解像的概念：像是物点发出的光经光学元件后，所有出射光线的交点，即所有出射光线均要过像点，如为实像则是实际光线的交点，如为虚像则为光线的延长线的交点。
在折射光路中，一方面要关注折射光路与折射率的关系，当介质或是光的频率不同时，折射率会有所不同，这就会带来折射光路的不同，如光的色散现象的分析等，另一方面要关注临界光路问题，如全反射的临界角，折射光路的边缘光线的光路等。
例题展示：例1．激光液面控制仪的原理是，固定的一束激光AO以入射角I照射液面，反射光OB射到水平光屏上，屏上用光电管将光讯号变成电讯号，电讯号输入控制系统用以控制液面高度，如果发现光点B在屏上向右移动了x 的距离到B/，由此可知液面升降多少？解析：若液面下降，光路如图示OO 1=BB’i cot x i cot OO h 221∆==∆ 例2．如图所示的ABCD 是一个用折射率n ＝2.4的透明介质做成的四棱柱镜(图为其横截面),∠A ＝∠C =90,∠B ＝60，AB >BC ，现有平行光线垂直入射到AB 面上(如图),若每个面上的反射都不能忽略，求出射光线。
解析：sinC=4.211=n <21 C<300 （1）从AE 区域射入四棱柱镜的光线发生生两次全反射后，垂直于BC 面射出，光路如a 所示（2）从EF 区域射入四棱柱镜的光线发生生两次全反射后，垂直于AB 面射出，光路如b 所示(3) 从FB 区域射入四棱柱镜的光线发生生两次全反射后，垂直于AB 面射出，光路与b 相反（光路可逆）模仿对比：练习 1 一点光源发出一束光经一平面镜反射，打在离地高为h 的天花板上，平面镜以角速度ω匀速转动，如图所示，当平面镜水平时，入射角为α，则此时光斑的运动速度是多少？解析：平面镜角速度为ω，则反射光线角速度为2ω分解此时光斑的速度：V ┻=2ωR=αωcos 2h ， V= V ┻/cosα=αω2cos 2h。
高中物理奥林匹克竞赛专题----几何光学(共38张PPT)
6.1 几何光学基本规律
几何光学：以光的基本实验定律为基础，研究光的 传播和成像规律的一个重要的实用性分支学科。 6.1.1 光的直线传播
光的直线传播定律：光在均匀介质中沿直线传播。 在描述机械波时，我们用波线表示波的传播方向， 这里，我们用光线表示光的传播方向。
6.1.2 反射定律和折射定律 光在传播的过程中遇到两种介质的分界面时，一部分 光改变方向返回原介质传播，这部分光称为反射光。 反射定律：反射光线总是位于入 射面内，且与入射光线分居在法 线的两侧，入射角等于反射角 。
p
p
物点在主光轴上离球面镜无穷远时，入射光线可看做 近轴平行光线，该物点的像点称为球面镜的焦点。 焦点到球面顶点的距离称为焦距，用f 表示，可知
R f 2
球面反射成像公式又可表示为
1 1 1 p p' f
设物体在垂直于主光轴方向上的高度为 高度为 y ,定义：
y' m y
y
，其像的
为球面反射成像横向放大率
由反射定律和几何关系可以证明
y' p' m y p
m0
表示像是倒立的， m 0 表示像是正立的；
m 1 表示成放大像， m 1 表示成缩小像。
6.3.3 球面反射成像作图法 球面镜成像作图法的三条特殊光线 (1) 平行于主光轴的近轴光线，经凹面镜反射后，反 射光线过焦点；经凸面镜反射后，反射光线的反向延 长线过焦点。 (2) 过焦点（延长线过焦点）的光线，经球面镜反射 后，反射光线平行于主光轴。 (3) 过球面曲率中心的光线，经球面镜反射后按原路 返回。
6.1.3 全反射
当光从光密介质入射到光疏介质的界面上，入射角 达到或大于
几何光学-物理竞赛课件资料
(ni1 'ni2 ) (n 1)
当棱镜中折射光线与棱镜底面平行时
i1 '
i2
2
2i1
i1
2
i1
i1 ' i2
i2 '
sin nsin
2
2
4 光线的独立传播定律和光线可逆原理
5 等光程性
费马原理：光在指定的两点间传播，实际的光 程总是一个极值，即光沿光程为最小值、最大 值或恒定值的路程传播。在一般情况下，实际 光程大多是取极小值。
M1
S
S3
O1
S1
O S2
M2
例8 如图所示，L1和L2分别为凸透镜和凹透镜，L1 前面放一小物，移动屏幕到L2后20cm的S1处屏上有 清晰像。现将凹透镜L2撤去，将屏移前5cm至S2处 ，屏上重新有清晰的像。求凹透镜L2的焦距。
L1
L2
S2 S1
例9 （1）今有一半径为3cm的半球形玻璃透镜，折 射率为1.5，把光点放在凸面前4cm处的主轴上，求
例3 半圆柱形玻璃的折射率 n 2，放置在空气中 。在垂直于半圆柱体的平面内，光线以45度角入射 在半圆柱体的平表面上。试问光线从半圆柱体的什 么范围内透出（以角度表示）。
例4 内径为r、外径为R（r<R）的玻璃管装满了发光液体 ，液体在伦琴射线的照射下发绿光，玻璃对绿光的折射率 为n1，而液体的折射率为n2。若从旁边看玻璃管，管壁玻 璃厚度仿佛是零，这时r/R应满足什么样的条件？
θ'
y' 像距
OF
'
y f
如果将物体直接放在明视距离d处
y
d
凸透镜的放大本领为 M d
f
（3）显微镜
几何光学完整PPT课件
4. 物和像都是相对某一系统而言的，前一系统的像则是后一系统 的物。物空间和像空间不仅一一对应，而且根据光的可逆性，若 将物点移到像点位置，使光沿反方向入射光学系统，则像在原来 物点上。这样一对相应的点称为“共轭点”。
1. 共轴球面系统的结构参量： 各球面半径：r1 、 r2 …… rk-1 、 rk 相邻球面顶点间隔：d1 、 d2 …… dk-1 各球面间介质折射率：n1 、 n2 …… nk-1 、 nk n 、 k+1
精选
31
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间
4. C－球心 r－球面曲率半径 I 、I′－入、折射角
5. A 、A′－物点、象点 L、L′－物距、象距
精选
20
2. 符号法则（便于统一计算） 规定光线从左向右传播
a）沿轴线段 L、L′、r 以O为原点， 与光线传播方向相同，为“＋” 与光线传播方向相反，为“－”
b）垂轴线段 h 在光轴之上，为“＋” 在光轴之下，为“－”
例：某物体通过一透镜成像后在透镜内部，透镜材 料为玻璃，透镜两侧均为空气。问该像所处的空间 介质是玻璃还是空气？
4 5
6
3 2 1
位标器动平衡调试系统光源
第二章 球面与共轴球面系统
§ 2－1 光线光路计算与共轴光学系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。
精选
28
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
物理几何光学竞赛讲解及试题精品
（全反射棱镜的折射率n=1.5）。
BA
6cm
45°
6cm
45°
10cm
15cm
位置为凹透镜右侧距离凹透镜10cm处，是正立实像。 放大率为2。
4.光屏与遮光板互相平行，两者相距为b，遮光板上有 一个半径为r的圆孔。今在此孔中嵌入透镜，设透镜与
晰的像。现在光源和透镜的位置保持不变而在光路中
插入一个厚度为d（d＜f）的平板玻璃（平板与光轴垂
直），若还要在屏上得到光源清晰的像，则屏应怎样
移动（分别就玻璃放在光源和透镜之间以及玻璃放在 透镜和光屏之间两种情况讨论）？
（1）玻璃放在光源和透镜之间时，右移△x1； （2）玻璃放在光源和屏之间时，右移△x2；
由于只讨论近轴光线，所以所有副焦点都位于 垂直于主光轴的平面内，称为焦平面。
ห้องสมุดไป่ตู้
4.焦点到光心的距离叫焦距。 如果透镜两侧介质相同，则两个焦距相等；如
果两侧介质不同，则两个焦距的关系为：
f1:f2 =n1:n2
式中f1、f2相应为物方焦距和像方焦距， n1、n2相应为 物方和像方介质的折射率。
做为一般讨论，除特殊说明外，均限于两侧介 质相同的薄透镜的近轴光线成像问题。
锥的顶点位于焦点F，锥高等于2f，锥的母线与其中心
轴线的夹角等于，求圆锥面的像。 L
2 F
2f
f
圆锥面的像是一个一端在透镜右方距透镜3f/2，另 一端位于无穷远处的半径为R=f tan的圆柱面，是
实像。
10.一个焦距为f 的会聚透镜，在其左侧的主光轴上离 透镜2f 处有一小光源，在右侧屏上观察到此光源的清
几何光学PPT【2024版】
i 介质1
1
分界面
介质2
i2
像 物
13
折射光在入射面内
入射面
n
i1 i1
界面
i2
n1 sin i1 n2 sin i2 Snell定律
Descartes 定律 14
光的色散
• 一束平行的白光（复色光）从一种媒质 （例如真空或空气）射入另一种媒质时， 只要入射角不等于0，不同颜色的光在空间 散开来。
这种情况就是全反射，也称全内反射
30
全反射临界角
• 光线从光密介质射向光疏介质，折射角比
入射角大
•
入射角满足
i1
arcsin
n2 n1
就会出现全反射
• 出现全反射的最小入射角
称作全反射临界角
n1
iC
iC
arcsin
n2 n1
n2
31
4．全反射棱镜
屋脊形五棱镜
67.5
67.5
倒转棱镜(阿米西棱镜） 32
• 根据这一事实，也可以得出这样的结论， 既然在媒质中，光总是沿直线、折线、或 曲线传播，那么就可以用一条几何上的线 来描述和研究光的传播，这就是“光线”。
8
几何光学的局限
• 几何光学是关于光的唯象理论。 • 不涉及光的物理本质。 • 对于光线，是无法从物理上定义其速度的。 • 在几何光学领域，也无法定义诸如波长、
51
n n n n s s r
平行光入射 s n
n
M
n n
r
Q
O
C
Q
r
n
s
s
s nr f n
n n
O
Q
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对水醇界面
y
n2 n1
h1
对醇气界面
H y h2 n2
H y
1.36 3 2S
醇表面 h2
水醇界面 h1
底
13
如图所示，两块平面镜宽度均为L＝5 cm ，相交 成角α＝12°，构成光通道．两镜的右端相距为d＝2 cm，左端靠在 光接收器的圆柱形的感光面上．试问入射光线与光通道的轴成的最 大角度为多少，才能射到光接收器上？
在A点，从A点到他离湖最近的C点之距离为 h，而到湖湾的一头，即到D点之距离 为．湖对岸B点处有渔人好友的房子，点B位置与A点相对湖岸对称．渔人拥有一 只小船，他可以速度沿岸步行或以速度v/2乘船在湖中划行，他从自己家出发到好 友家里去．求他需要的最短时间．
走“光对称进出三棱镜”时的路径时间最 D
短，即沿图答中折线APQB，其中PQ∥AB，
的传播方向垂直于角A的平分面．求从棱镜射出的单色光C和F之间的夹角．
折射光具之三棱镜 对光路的作用
A 顶角 i r i r
r r A
E i O r r
D
i O
δ i i A min 2i A
i
i
B
C
偏向角δ 反映三棱镜改变光传播方向的程度! 16 解答
1
♠
光总沿着光程为极值的路径传播——在均匀介质里 沿直线传播，因为给定两点间直线路径最短；在不均匀 的介质中，光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳 定的光程的路径传播，即遵从费马原理.
ni
A
Si
N
l
lim
N
i1
ni
si
B
2
P P
PP
F1
F2
F1
F2
lF1PF2 2an lF1PF2 < 2an lF1PF2
lF1PF2 > 2an lF1PF2
3
A
lAOB n1 AO n2 OB
n1 x2 h12 n2 y2 h22 h1
N
iy
n1
n1 x2 h12 n2
光程有最值应满足
lim n1 x x 2 h12 n2
40 现在光束将会聚在离灯__________m处．
L发出的光为会聚光束，A为虚物点 轴以上部分光束经平面镜OM反射仍为会聚光束，顶点
在A1，A1与A关于OM对称 向A1会聚的这束光射向平面镜ON并被二次反射，反射光束会 聚于A3，相当于虚物A1通过ON成实像，A3与A1关于ON对称， 由于同OM理与，OLN发垂出直的，轴易以知下A部3在分L光发束出先的经光平束面轴镜上O且NO反A射3= 、OA再；
n30,T30 1.6m
1m
h
O R
h0
n0 ah0 R h0 n0 ah0 ah R h0 h
n0 ah0 h ah R h0
h0
1 n0 2 a
R
6
♠
光源形成的单心光束的顶点
实物点
虚物点
被光具作用(折射、反射）后的单心光束的会聚 点或发散点称作实像点或虚像点
则F C iF iC 其中
由 sin iF
sin A rC
nF =
sin i sin rC
得
iF
49 24
由 sin iC
sin A rC
nC
sin i sin rC
得
iC
4816
F C 1.08
17
如图．湖湾成顶角为α的楔形，岸上住有一个渔人：他的房子
本题比较三棱镜对C、D、F三
种色光改变传播方向的程度！
A
单色光D对称进出三棱镜，光路如示
单色光D通过三棱镜偏向角为
D 2i A
i
r
r
i
i
sin1
nD
sin
A 2
sin1
0.750
单色光C通过三棱镜偏向角小于D C i iC A
单色光F通过三棱镜偏向角大于D F i iF A
借助光折射模型：
sin i sin r
v v
2
r
2
l
P
Q r
B
由几何关系 AP QB 2 h
i
PQ 2
cos i
l 2 h2 htan i
sin
则最短时间为
2
A
h
C
t
2h
4
l 2 h2 htan i sin 2
2h
4
l 2 h2 h
x0
a x2 h22 a
a x x 2 h22 n1
x
a
xO
n2
r h2
x2 h12 n2 a x 2 h22 0
x
y
n1 x2 h12 n2 y2 h22
B
即 n1 sin i n2 sin r
4
专题24-例1 某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照n＝n0－
B
端射进到入的报光纸线，B经D恰由发纸生面全反反射射，回则棱镜
AD再间出没射有到射观向报察纸者的视光场线中，！是看若不投射
到到其文下A字Cal的面面区文某1域字部，0就.分即9看5有的不光 见A发C了生；了l 全反射，
由几何关系，在三角形ADB中有 A a D
C
l
2 sin90
由于(n-1)∝ρ，温度 T越高，空气密度越小，折 射率也越小，大沙漠地表 温度较高，高处景物（例 如白云）的光自上向下行 进，连续从光密介质向光 疏介质折射，在地面附近 发生全反射，反射光进入 人眼的结果是看到了景物 的虚像，形似水面
沙漠蜃景
20
解答
根据克拉珀龙方 程，压强一定时有
T C, 而n 1
2sin 2
sin
v cos i 4sin 2
t 2vl 若PQ 0,
l2 h2
即
v
2h 1 4sin2 v
l 2 h2
v 1 4sin2
2
2
l2 h2
htan i, h2
v
v 1 4sin2
4sin2
1
2
4sin2
_________b___．
左半平面镀银成平面镜，通过左球面
的折射光线通过平面镜反射不改变光 束敛散性只是再次由左球面折射而已
S
S
b
S 与 S 两像情况完全相同,关于平面镜对称
12
深度为3 cm的水面上（n1=1.33）漂浮着2 cm厚的醇
（n2=1.36）层，则水底距醇表面的像视深度为____3__.7__c_m__．
v
h22x2u1
1y
v
2rh
2
x hB h h
2 2r
对近轴光线
u
ux2xu11 21vyuyuhhxx22122f
v
v
x
kx
2 1y
y
yv v u
n2 n1
n0 ni
ri
xx
n0
n( y)
1, nm 2.5
R y n0
m 90 sin1
1 2.5
661.54
专题24-例4通常用阿贝数 nD 1/nF来 n表C 示光学材料的色散特性，其中
nD 、nC、nF 分别表示材料对单色光D及单色光C及F的折射率．一束白光照射到一 顶角A=60°，冕牌玻璃（n=1.500，n=1.495，）制的棱镜上，使单色光D在棱镜中
ah的规律而减小，行星的半径为R，行星表面某一高度h0处有光波道，它始终在 恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度h0．
查阅 依据费马原理求解:
l n0 h0 2 R h0
2
a
n0 a
h0
R
h0
由基本不等式:
n0 a
h0
7
Ax S
根据费马原理可以推论，任 y 一发光点所发光束经球面反 射或折射后能成像于一点的 P 条件是，从物点到达像点的
Q C y F
i
O1
i h
2
O
所有光线的光程都相等
S
OP u OQ v
llSO1
Su
v
uy2 x 2y2 2u 2v
yhhuy2yv
sin
a 45
tan 0.9
sin 1
n
1 0.92
n
1.5 19
0.9
假定你站在水平的大沙漠上．在远处，你会看见好似水面的东
西，当你靠近“水面”时，它会同时后退，并保持你同它的距离不变，试解释这 一现象．假定你的两眼离地面1.6m，且你同“水面”的距离保持为250 m，试计算 地表温度．空气在15℃，一个大气压下的折射率为1.0002760，假定在距地面1 m 以上空气温度恒为30℃，大气压强为0.1013 MPa．折射率用n表示，并假定(n-1)同 空气密度成正比．
不经反射，入射光能射到感光面 上，入射光与轴所成最大角如图
经一次反射而能入射光面上，