A 几何光学(物理竞赛培训)

例1 光导纤维是由玻璃或塑料制成的细丝，直径只 有几十微米，由折射率n1较大的内芯和n2较小的外 套两层组成，光线在内芯传播。对于入射角大于临 界角的那些光线，在两层界面上经历多次全反射后 从另一端面射出。问：为保证光能在光纤中传播， 在光纤端面上的入射角应满足什么条件？
n2 n1
例2 如图所示，将一截面是矩形的玻璃棒（已知棒 的宽为d，折射率为1.5）弯成马蹄形，弯曲部分是 一个半圆（内半径为R），一束光线从一个端面正方 向射入，若要光线从另一端全部射出，则R/d的值至 少是多少？
分光计调节：先调双面 镜竖直，使得两面的反 射像等高；再调望远镜 轴，使得两面的反射像 和上十字叉丝线等高。
12mm
2
1
1
2
1 2
12 2 2( 2 1 ) 0.075(rad ) 160
0.0375(rad )
平行光管是由十字缝S和凸透镜L组成的，去掉光学系统中的 平面镜M，并用钠光灯照亮S，沿水平方向移动S，当S到与 平行光管中的透镜L距离为8.25cm时，通过望远镜目镜能清 楚地看到十字缝的像成在分划板中心叉丝线上，由此可以推 知，L的焦距等于多少？
例3 半圆柱形玻璃的折射率 n 2 ，放置在空气中。 在垂直于半圆柱体的平面内，光线以45度角入射在 半圆柱体的平表面上。试问光线从半圆柱体的什么 范围内透出（以角度表示）。
例4 内径为r、外径为R（r<R）的玻璃管装满了发光液体， 液体在伦琴射线的照射下发绿光，玻璃对绿光的折射率为 n1，而液体的折射率为n2。若从旁边看玻璃管，管壁玻璃 厚度仿佛是零，这时r/R应满足什么样的条件？
11 如图所示的光学系统是由平行光管、载物台和望远镜组成。 已知望远镜物镜L0的焦距为16.00cm，在L0的焦平面P处，放 置带十字叉丝的分划板和亮十字物。在载物台上放置双面平行 的平面镜M，通过望远镜的目镜Le观察时，能同时清楚地看到 分划面上的十字叉丝线和十字物经过L0折射、M反射、再经L0 折射后在分划面上所成的十字像，十字像位于A点，与上十字 丝线的距离为5.2mm。绕载物台转轴（沿竖直方向）转动载物 台，使平面镜转，此时十了像位于B点，与上十字丝线的距离 为18.8mm。根据以上情况和数据可计算出，此时望远镜与水 平面的夹角为多少？据此结果，调节望远镜，使其光轴与载物 台的转轴垂直。
M1
S
S3
O1
S1
O
S2
M2
例8 如图所示，L1和L2分别为凸透镜和凹透镜，L1 前面放一小物，移动屏幕到L2后20cm的S1处屏上有 清晰像。现将凹透镜L2撤去，将屏移前5cm至S2处， 屏上重新有清晰的像。求凹透镜L2的焦距。
L1 L2 S2 S1
例9 （1）今有一半径为3cm的半球形玻璃透镜，折 射率为1.5，把光点放在凸面前4cm处的主轴上，求 近轴光线通过透镜后成像在何处？是实像还是虚像？ （2）将一薄平凸透镜的平面部分镀银，则此透镜 等效于焦距为28cm的凹镜，如将此透镜的曲面部分 镀银，则此透镜等效于焦距为10cm的凹镜，求此透 镜的折射率。
L1
L2
L3
P
例4 薄玻璃平板M1与曲率半径为20cm 凸面镜M2相距 b=16cm，物点P放在玻璃平板前a远处，要使P在M1 中的像与在M2中的像重合，a应取多大？
例5 图中L为焦距 f 30 3cm 的凸透镜，有 一单色平行光束，其方向与透镜的主轴平行。 现于透镜前方放一正三棱镜，如图所示，缓 缓转动三棱镜，当入射光的入射角和出射光 的出射角相等时，在透镜的焦平面上距焦点 y=30cm处形成一像点，据此求三棱镜材料 对此单色光的折射率之值。
1 1 1 u v近视者远点 f
1 度数 100 f
远视眼：近点远移，明视距离处的物体只能成像 于视网膜后。矫正：把25厘米处的物成像于远视者 近点。
1 u 25cm

1 v远视者近点
1 f
（2）放大镜
当眼睛位于放大镜的焦点附近时，虚像对眼睛的视 角表示为 y' y
θ' 像 距 OF ' f
K
B
O
C
A
O
150o
30 o
C
p1
例2 在充满水（折射率 为4/3）的容器底放一 平面镜，人在水面上看 自己的像，设人眼高出 水面h1=5cm，镜在水 面下深h2=-8cm。问人 眼与像之距离为多少？
p
h1
h2
p4
p3
例3 在制作氦氖激光管的过程中，往往采用内调焦 平行光管粘贴凹面反射镜，其光学系统如图所示。 已知目镜和物镜的焦距均为2cm，凹面镜的曲率半 径为8cm。（1）调节L2使L1与L2之间距离为5cm， L2与L3之间距离为10cm，试求位于L2前1cm的叉丝 P经光学系统所成的像的位置。（2）当L1与L2之间 的距离仍为5cm时，若人眼通过目镜能观察到一个 清晰的叉丝像，L3与L2之间的距离应为多少？
n 为物空间的折射率，n ' 为像空间的折射率
曲率中心在像空间 r 0 ，曲率中心在物空间 r 0
v / n' 横向放大率 m u/n
3 薄透镜成像 跟透镜主轴平行的光线经折射后会聚在主轴上 的一点，这点叫做像方焦点（第二焦点）。 如果物体放在主轴上的一点，经透镜成的像在 无限远，这点叫做物方焦点（第一焦点）。
将载物台平面调至与载物台的转轴垂直，在载物台上放置长、 宽、高均为3.00cm、折射率为1.52的分束棱镜abcd（分束棱 镜是由两块直角三棱镜密接而成，接触面既能透光也能反光） 和待测凹球面镜，凹球面镜顶点O到L的距离为15.00cm，保证 分束棱镜的ab面与图中的XX’轴垂直，凹球面镜的光轴与 图中的XX’轴重合；再将 望远镜绕载物台的转轴 转，如图所示。向右移 动S，当S移动的距离为 3.75cm时，通过望远镜 刚好能看清楚十字缝S的 像成在分划板中心十字 叉丝线上，试求凹球面 镜的曲率半径。
2 光在球面上反射和折射
R
B
（1）球面反射
P
C
P
O
成像规律
1 1 1 u v f
u
v
R f （凹面镜 f 0 ，凸面镜 f 0） 2
横向放大率
y' v m y u
m 0 表示像正立， m 0 表示像倒立
（2）球面折射
n
P
O
B
n'
C
v
P
u
成像规律
n' n n' n v u r
例6 想用两个薄凸透镜，最后在物体所在处形成一个 与物体大小相等的倒立的虚像，已知靠近物体的那 个透镜的焦距为f1，物体与此透镜的距离为u1，试求 第二个透镜的焦距f2及它与第一个透镜间的距离L。
例7 如图所示，两个小平面镜OM1、OM2相交成直 角，两镜的反射面相向，在镜面交角平分线内放一 小光源S，垂直于此平分面放一凸透镜L，使透镜主 光轴通过S并与两镜的交线垂直，其垂足为O1。已知 SO=0.9m，O1O=0.3m，透镜焦距f=0.15m，问S在透 镜主光轴上生成几个像？试分别指出其虚、实，并 求出它们的位置。

i1 'i2
(i1 i2 ' )
i1

i1 '
i2
i2 '
当 i1 , 很小时
(ni1 'ni2 ) (n 1)
当棱镜中折射光线与棱镜底面平行时 i1 ' i2 （i1 i1 ' ) (i2 'i2 ) 2 i1 'i2
1 1 1 u v f
v 横向放大率 m
2f
f f
2f
u
凸透镜成像规律与凹 面镜成像规律相同
凹透镜成像规律与凸 面镜成像规律相同
5 简单光学仪器
（1）眼睛
正常眼：远点在无限远，近点约10厘米。 近视眼：远点近移，远处物体只能成像于视网膜前。 矫正：把无限远处的物成像于近视者远点。
例9 （2）将一薄平凸透镜的平面部分镀银，则此透 镜等效于焦距为28cm的凹镜，如将此透镜的曲面部 分镀银，则此透镜等效于焦距为10cm的凹镜，求此 透镜的折射率。
56cm
20cm
1 n n 1 56 R
1 n n 1 20 R
例10 设有两薄凸透镜，其焦距都为10cm，相距 15cm，用作图法和计算法找出该光学系统物像等 大且同方向的物和像的位置。
（2）不同波长的光在同一媒质中传播的速度不相 等，因而 n 与波长有关，一束白光入射某一媒质后， 不同波长光的折射角不同，就出现色散现象。
（3）全反射：当光由光密媒质射向光疏媒质时， 可能出现全反射。
（4）棱镜的偏向角：入射光经三棱镜折射后改变了 方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角。
（i1 i1 ' ) (i2 'i2 )
y 如果将物体直接放在明视距离d处 d
凸透镜的放大本领为
d M f
（3）显微镜 第一个透镜：实物成放大实像 第二个透镜：实物成放大虚像
（4）望远镜
开普勒望远镜成倒立像
f1 望远镜放大率 f2
伽利略望远镜成正立像
f1 f2
望远镜放大率
例1 两平面镜A和B的镜面分别与图中纸面垂直，两镜面的交 线过图中的O点，两镜面间夹角为=15o，今自A镜面上的C点 处沿与A镜面夹角=30o的方向在纸面内射出一条光线，此光 线在两镜面间经多少次反射后不再与镜面相遇。设两镜面均足 够大，CO=1m。试求：（1）上述光线的多次反射中，最后一 次反射是发生在哪块镜上？（2）光线自C点出发至发生最后 一次反射，共经历多长的时间？
2i1

2
i1