画法几何及土木工程制图 第四章 直线与平面、平面与平面相对位置
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直线与平面平行
• 直线与平面平行，平面与平面平行
• 平面外的一直线若与平面上的一直线平行，到此直线与平面 相互平行。（若该直线投影和该平面上某直线同面投影相平 行，则线面平行。）
• 若一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两相交直线， 则两平面互相平行。（若一平面上两相交直线的投影对应地 平行于另一平面上两相交直线的同面投影，则两平面互相平 行。）
• 直线与平面相交的问题就是求直线和平面的 交点，难点是判断直线的可见性。
1．特殊相交
一般位置直线与有积聚性平面相交，交点的一个投影为 直线与平面积聚性投影的 交点，另一投影可在直线的投影上找到。（面上定点）
一般位置平面与有积聚性直线相交，交点的一个投影与直线的积 聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上求点的方法求出。 （一眼可见）
行。
判别判别已知线面是否平行
判别判别已知线面是否平行
例：判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。
a′
d′
c′
e′
b′
Ｘ
b
aＯ
d
e
c
直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。
例：过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行
a′
m′
c′
b′
Ｘ
b
aＯ
m
Hale Waihona Puke Baidu
c
作直线与已知平面平行
作直线与已知平面平行
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
例：过点Ｄ作已知平面的平行面。
e′ Ｘ
e
d′ b′
f′ b
d
f
a′ c′
aＯ c
例：判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与平行 直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。
a′ c′ Ｘ
b′ e′
d′ g′
f′
k′ Ｏ
a
bg
k
c
d
e
f
两平面不平行
直线与平面相交
• 直线与平面不平行就会相交，其交点是直线 与平面的共有点。
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
平面与平面平Ｍ行
• 若平面上 的两相交 直线分别 平行于另 一平面内 的两相交 直线，则 这两个平 面相互平 行。
Ｎ Ｋ
Ｂ
Ｃ Ａ
两平面平行的作图问题
• 判别两已知平面是否相互平行； • 过一点作一平面与已知平面平行； • 已知两平面平行，完成其中一平面的投影。
• 线面交点法：两一般位置平面的各同面投影都重叠时，通常用求一 般位置直线与一般位置平面交点的方法，求出点。求出组成一平面 的两直线与另一平面的两个交点，然后连线即得所求交线。
直线与平面相交作图方法
• 三面共点法：两一般位置平面的 各同面投影都不重叠或不同时重 叠时，通常用三面共点法求交线， 其作图原理为三个相交的平面必 定有一个公共点，而此点又必定 在两个平面的交线上。三面共点 法求交线的作图步骤如下：
• a、作一特殊位置辅助平面 与两已知面相交；
• b、求辅助平面与两平面的 两条交线；
• c、求两交线的交点，此点 即为两已知平面交线上的点；
• d、同理再作一辅助平面可 求出交线上另外一点，连接 两交点即为两平面的交线。
可见性判定
• 线与面的交点是直线和平面共有点，也是直线被平 面遮掩可见和不可见部分的分界点。
线面的交点
线面的交点
平面与平面相交
• 平面与平面相交，其交线是平面与平面的共 有线。
• 求两平面交线的基本方法是求出两个共有点 或求出一个共有点及交线的方向。
2、一般位置相交
线、面相交作图方法
• （4）一般位置直线与一般位 置平面相交,求交点的方法和
步骤如下：
• a、过直线作特殊位置辅助
平面； b、求辅助平面与已知平面
的交线； c、求交线与已知直线的交
点，交点即为所求。求出 交点后，再利用重影点判 别各投影的可见性。
一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
直线与平面相交作图方法
• （6）两一般平面相交
• 求作两一般位置平面交线的方法有线面交点法和三面共点法两种。
• 直线与投影面垂直面平行
• 直线的投影平行于平面有积聚性的同名投影，直线平行于平 面。
• 两投影面垂面的积聚性投影互相平行，两平面平行。
１.若直线平行于平面内某一直 线，则直线与该平面平行
B
AL
K L
D
C
直线与平面平行作图问题
• 判别已知线面是否平行； • 作直线与已知平面平行； • 包含已知直线作平面与另一已知直线平
• 投影特性：若直线垂直于平面，则直线的正面投影垂直于这个平面上的正平线的正面投影； • 直线的水平投影垂直于这个平面上的水平线的水平投影，直线的侧面投影垂直于这个平面
上的侧平线的侧面投影。 • 利用直线与平面垂直的作图可解决点到平面、点到直线、平面到平面及直线到直线间的距
离问题。
• 可见性判定方法：
• 1、 找出要判定的直线 • 2、 确定可见的交点 • 3、 找出交点一侧的线面重影点，并判别两点的可见性 • 4、 如可见则该直线所在此段可见，不可见则不可见 • 另一侧必反与已判断一侧可见性相反。
直线与平面垂直
• 几何条件：若直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则该直线垂直于平面内的所有直线， 即垂直于平面。
• 直线与平面平行，平面与平面平行
• 平面外的一直线若与平面上的一直线平行，到此直线与平面 相互平行。（若该直线投影和该平面上某直线同面投影相平 行，则线面平行。）
• 若一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两相交直线， 则两平面互相平行。（若一平面上两相交直线的投影对应地 平行于另一平面上两相交直线的同面投影，则两平面互相平 行。）
• 直线与平面相交的问题就是求直线和平面的 交点，难点是判断直线的可见性。
1．特殊相交
一般位置直线与有积聚性平面相交，交点的一个投影为 直线与平面积聚性投影的 交点，另一投影可在直线的投影上找到。（面上定点）
一般位置平面与有积聚性直线相交，交点的一个投影与直线的积 聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上求点的方法求出。 （一眼可见）
行。
判别判别已知线面是否平行
判别判别已知线面是否平行
例：判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。
a′
d′
c′
e′
b′
Ｘ
b
aＯ
d
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直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。
例：过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行
a′
m′
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Ｘ
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aＯ
m
Hale Waihona Puke Baidu
c
作直线与已知平面平行
作直线与已知平面平行
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
例：过点Ｄ作已知平面的平行面。
e′ Ｘ
e
d′ b′
f′ b
d
f
a′ c′
aＯ c
例：判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与平行 直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。
a′ c′ Ｘ
b′ e′
d′ g′
f′
k′ Ｏ
a
bg
k
c
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f
两平面不平行
直线与平面相交
• 直线与平面不平行就会相交，其交点是直线 与平面的共有点。
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
平面与平面平Ｍ行
• 若平面上 的两相交 直线分别 平行于另 一平面内 的两相交 直线，则 这两个平 面相互平 行。
Ｎ Ｋ
Ｂ
Ｃ Ａ
两平面平行的作图问题
• 判别两已知平面是否相互平行； • 过一点作一平面与已知平面平行； • 已知两平面平行，完成其中一平面的投影。
• 线面交点法：两一般位置平面的各同面投影都重叠时，通常用求一 般位置直线与一般位置平面交点的方法，求出点。求出组成一平面 的两直线与另一平面的两个交点，然后连线即得所求交线。
直线与平面相交作图方法
• 三面共点法：两一般位置平面的 各同面投影都不重叠或不同时重 叠时，通常用三面共点法求交线， 其作图原理为三个相交的平面必 定有一个公共点，而此点又必定 在两个平面的交线上。三面共点 法求交线的作图步骤如下：
• a、作一特殊位置辅助平面 与两已知面相交；
• b、求辅助平面与两平面的 两条交线；
• c、求两交线的交点，此点 即为两已知平面交线上的点；
• d、同理再作一辅助平面可 求出交线上另外一点，连接 两交点即为两平面的交线。
可见性判定
• 线与面的交点是直线和平面共有点，也是直线被平 面遮掩可见和不可见部分的分界点。
线面的交点
线面的交点
平面与平面相交
• 平面与平面相交，其交线是平面与平面的共 有线。
• 求两平面交线的基本方法是求出两个共有点 或求出一个共有点及交线的方向。
2、一般位置相交
线、面相交作图方法
• （4）一般位置直线与一般位 置平面相交,求交点的方法和
步骤如下：
• a、过直线作特殊位置辅助
平面； b、求辅助平面与已知平面
的交线； c、求交线与已知直线的交
点，交点即为所求。求出 交点后，再利用重影点判 别各投影的可见性。
一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
直线与平面相交作图方法
• （6）两一般平面相交
• 求作两一般位置平面交线的方法有线面交点法和三面共点法两种。
• 直线与投影面垂直面平行
• 直线的投影平行于平面有积聚性的同名投影，直线平行于平 面。
• 两投影面垂面的积聚性投影互相平行，两平面平行。
１.若直线平行于平面内某一直 线，则直线与该平面平行
B
AL
K L
D
C
直线与平面平行作图问题
• 判别已知线面是否平行； • 作直线与已知平面平行； • 包含已知直线作平面与另一已知直线平
• 投影特性：若直线垂直于平面，则直线的正面投影垂直于这个平面上的正平线的正面投影； • 直线的水平投影垂直于这个平面上的水平线的水平投影，直线的侧面投影垂直于这个平面
上的侧平线的侧面投影。 • 利用直线与平面垂直的作图可解决点到平面、点到直线、平面到平面及直线到直线间的距
离问题。
• 可见性判定方法：
• 1、 找出要判定的直线 • 2、 确定可见的交点 • 3、 找出交点一侧的线面重影点，并判别两点的可见性 • 4、 如可见则该直线所在此段可见，不可见则不可见 • 另一侧必反与已判断一侧可见性相反。
直线与平面垂直
• 几何条件：若直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则该直线垂直于平面内的所有直线， 即垂直于平面。