画法几何及土木工程制图 第四章 直线与平面、平面与平面相对位置
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工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
●
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
画法几何与土木工程制图习题集答案第4章习题集答案
平面的投影——平面对投影面的倾角
班级姓名成绩413.求平面ABC内点D的V、H投影，使点D比A点低20，
在A点前20。
14.求三角形对H面的倾角α。
15.求三角形对V面的倾角β。
16.求对H面倾角为α=60º的等腰三角形ABC，C点在V面上。
平面的投影——平面对投影面的倾角
班级
姓名
成绩
5
平面的投影——平面上的点和直线
班级
姓名
成绩
3
10.已知点A的两面投影，过点A作等腰三角形ABC的三面投影，该三角形为正垂面，α=30°，底边BC为正平线，长25mm,三角形的高为20mm.
12.已知一正方形ABCD的一边BC的H、V投影，另一边AB的V投影方向，补全此正方形的V、H投影。
11.已知一正方形ABCD的对角线AC，另一条对角线BD为H面平行线，作出该正方形的三面投影。
1.求作下图的W投影，在投影图上注明各指定表面名称，并在表格内填写各指定表面与投影面的相对位置。
2.判别平面与投影面的相对位置。
平面的投影——各种位置平面的投影
班级
姓名
成绩
1
3.过点、线作已知平面。
1．过点A作正垂面P,其α为30°.2）过AB作铅垂面△ABC.3)过点A作一般面△ABC. 4)过AB作一般面△ABC.
4.过已知直线作平面图形。
1）作等边△ABC∥H面。2）以AB为对角线作正方形垂直V面。
5.判断直线EF或点K是否在给定的平面上。
平面的投影——平面上的点和直线
班级
姓名
成绩
2
6.求平面内点的另一投影。
7.求平面ABC内直线EF的H面投影。
8.求平面ABCD上三角形EFG的H面投影。
班级姓名成绩413.求平面ABC内点D的V、H投影，使点D比A点低20，
在A点前20。
14.求三角形对H面的倾角α。
15.求三角形对V面的倾角β。
16.求对H面倾角为α=60º的等腰三角形ABC，C点在V面上。
平面的投影——平面对投影面的倾角
班级
姓名
成绩
5
平面的投影——平面上的点和直线
班级
姓名
成绩
3
10.已知点A的两面投影，过点A作等腰三角形ABC的三面投影，该三角形为正垂面，α=30°，底边BC为正平线，长25mm,三角形的高为20mm.
12.已知一正方形ABCD的一边BC的H、V投影，另一边AB的V投影方向，补全此正方形的V、H投影。
11.已知一正方形ABCD的对角线AC，另一条对角线BD为H面平行线，作出该正方形的三面投影。
1.求作下图的W投影，在投影图上注明各指定表面名称，并在表格内填写各指定表面与投影面的相对位置。
2.判别平面与投影面的相对位置。
平面的投影——各种位置平面的投影
班级
姓名
成绩
1
3.过点、线作已知平面。
1．过点A作正垂面P,其α为30°.2）过AB作铅垂面△ABC.3)过点A作一般面△ABC. 4)过AB作一般面△ABC.
4.过已知直线作平面图形。
1）作等边△ABC∥H面。2）以AB为对角线作正方形垂直V面。
5.判断直线EF或点K是否在给定的平面上。
平面的投影——平面上的点和直线
班级
姓名
成绩
2
6.求平面内点的另一投影。
7.求平面ABC内直线EF的H面投影。
8.求平面ABCD上三角形EFG的H面投影。
土木工程制图直线和平面平面和平面的位置关系
土木工程制图
直线与平面相交于一点，该点称为交点，交点是平面与直线的共有点， 它既在直线上又在平面上。
平面与平面相交于一条直线，该直线称为交线，交线是两平面的共有线， 它应同属于两平面。
直线与平面、平面与平面相交的求解方法一般有两种。 （1）积聚投影法：当直线或平面有积聚投影时，可利用积聚投影来求交 点或交线。 （2）辅助面投影法：当直线或平面均无积聚投影时，可利用辅助平面来 求交点或交线。交点、交线是互相联系的，为叙述方便起见，先介绍几种特殊 情况，然后再讨论一般的作图方法。
p
Ha
c
b
d
直线和投影面垂直面平行，则该直线的同面投影与该投影面垂 直面的积聚投影平行。
【例2】 过E点作直线平行于平面ABCD。
土木工程制图
【分析】过e作ef //ad，过f 向上作连系线，则过e′与连系线相交的直线都 为所求，此处我们取其中一条，即过e′作c′d′的平行线，与连系线相交于 一点即为f′。
【例8】过点A作平面ABC垂直于△DEF且平行于MN。 土木工程制图
【分析】作平面垂直于已知平面时，需先作一直线垂直于已知平面，然后包含所
作垂线作平面即可。因又要求平面平行于直线MN，故作另一直线平行于MN即可。
e
d
X
e
d
n
a
f
m
o
am
n
e
g
d
X
e
g d
f
土木工程制图
作图步骤：
① 过A点作直线垂直于 △DEF。先在△DEF内作水平
平面即为所求。
e X
d a
e
f
O
X
d a
f
b c
O
画法几何及土建制图--点线面相对位置
e´ a´
a
Q
B
C M KF
N
E
e
A
可见性判别方法
f ´ c´ 1´ (2´)
b´ k´
V
判别可见性的原理
是利用重影点。
F
Ⅱ
e´ a ´
ⅠC Ⅲ
B
K
A
f
Ⅳa
b
k
E
c 3(4) e
H
利用重影点判别可见性
f ´ 1´( 2´) c´
4´
b´
k ´ 3´
f 2
e´ a´ a
b
k
4(3)
1
c
e
【基本作图六】两一般位置平面相交
【基本作图二】过空间一点作平面的平行线
d′
过空间点A作一条
水平线AB=35mm，
且平行于△DEF。
f′
g′
a′
b′
e′
f
a
作ab∥fg
b
并量取ab=35mm
e
g d
【基本作图三】过空间一直线作已知直线的平行面 e′
a′
b′
c′
f′
b
f
c
a
e
【基本作图四】判别平面与平面是否平行？
c′
d′
b′ h′
基本作图
（5）一般线与一般面相交； （6）两一般位置平面相交。
Q
C
A M KF
N
E B
B M
KA
F
L
N
C
【基本作图五】一般线与一般面相交
QV f´ m
´ b´
f
b m
c´
k ´
n´
n
k c
a
Q
B
C M KF
N
E
e
A
可见性判别方法
f ´ c´ 1´ (2´)
b´ k´
V
判别可见性的原理
是利用重影点。
F
Ⅱ
e´ a ´
ⅠC Ⅲ
B
K
A
f
Ⅳa
b
k
E
c 3(4) e
H
利用重影点判别可见性
f ´ 1´( 2´) c´
4´
b´
k ´ 3´
f 2
e´ a´ a
b
k
4(3)
1
c
e
【基本作图六】两一般位置平面相交
【基本作图二】过空间一点作平面的平行线
d′
过空间点A作一条
水平线AB=35mm，
且平行于△DEF。
f′
g′
a′
b′
e′
f
a
作ab∥fg
b
并量取ab=35mm
e
g d
【基本作图三】过空间一直线作已知直线的平行面 e′
a′
b′
c′
f′
b
f
c
a
e
【基本作图四】判别平面与平面是否平行？
c′
d′
b′ h′
基本作图
（5）一般线与一般面相交； （6）两一般位置平面相交。
Q
C
A M KF
N
E B
B M
KA
F
L
N
C
【基本作图五】一般线与一般面相交
QV f´ m
´ b´
f
b m
c´
k ´
n´
n
k c
第4章_土木工程制图a
18
m
b
还可通过正面投影直观地进行判别。
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
§4-2 直线与平面、平面与平面相交
⑵
b e m f ● a e
● ● ●
空间及投影分析
n 1 ● 2 c h
平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影， 故mn即MN的正面投影。
求共有元素和判断可见性的方法，与相交元素相对于投 影面的倾斜状态有关。
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
12
§4-2 直线与平面、平面与平面相交
一、参与相交的元素中有积聚投影的情况 直线与平面或平面与平面相交的投影图中有积 聚投影时，交点或交线的一个投影一定包含在该积 聚投影中。根据交点或交线是相交元素所共有这一 条件，便能直接从积聚投影中得出交点或交线的一 个投影，而另一投影则可由此求得。可见性也可根 据积聚投影直接加以判断。
17
§4-2 直线与平面、平面与平面相交
例：求两平面的交线并求MN并判别可见性。
⑴ a b e ● m(n) f c
空间及投影分析
平面ABC与DEF都为正 垂面，其正面投影都积聚成直 线。交线为正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出交线 的投影。
d a
●
e n c
d
●
作 图
f ① 求交线 ② 判别可见性
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
4
§4-1 直线与平面、平面与平面平行
在投影图上，对于投影面垂直面，只要空间直线的 一个投影与平面的相应积聚投影平行，则直线与平面 就彼此平行，如图。
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
m
b
还可通过正面投影直观地进行判别。
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
§4-2 直线与平面、平面与平面相交
⑵
b e m f ● a e
● ● ●
空间及投影分析
n 1 ● 2 c h
平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影， 故mn即MN的正面投影。
求共有元素和判断可见性的方法，与相交元素相对于投 影面的倾斜状态有关。
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
12
§4-2 直线与平面、平面与平面相交
一、参与相交的元素中有积聚投影的情况 直线与平面或平面与平面相交的投影图中有积 聚投影时，交点或交线的一个投影一定包含在该积 聚投影中。根据交点或交线是相交元素所共有这一 条件，便能直接从积聚投影中得出交点或交线的一 个投影，而另一投影则可由此求得。可见性也可根 据积聚投影直接加以判断。
17
§4-2 直线与平面、平面与平面相交
例：求两平面的交线并求MN并判别可见性。
⑴ a b e ● m(n) f c
空间及投影分析
平面ABC与DEF都为正 垂面，其正面投影都积聚成直 线。交线为正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出交线 的投影。
d a
●
e n c
d
●
作 图
f ① 求交线 ② 判别可见性
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
4
§4-1 直线与平面、平面与平面平行
在投影图上，对于投影面垂直面，只要空间直线的 一个投影与平面的相应积聚投影平行，则直线与平面 就彼此平行，如图。
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
画法几何第4章 直线与平面、平面与平面之间的相对位置
4
5
（2）作图：见图 4.2（b）所示。 ①作属于平面△ABC 的任一水平线 AD。即在 V 投 影中过 a′作 a′d′∥OX，再依 a′d′求出 ad。 ②过已知点 M 引直线 MN∥AD。其投影作图过程 是在 V投影中过 m′作 m′n′∥a′d′∥OX， 在 H 投影中过 m 作 mn∥ad。MN 为所求水平线。
2
3
（1）一般情况———直线与一般位臵平面平行 例 4.1 过已知点 M 作一水平线 MN 平行于已知平面 △ABC（图 4.2（a））。 解：（1）分析：由图可知，△ABC 为一般位臵平 面，要求所作 MN 既平行于 H，又要平行于平面△ABC， 那么 MN 应平行于平面△ABC 与 H 面的交线，即平面 △ABC 的水平迹线，也是属于平面△ABC 的水平线的 方向。另一种分析是无论平面处于何种位臵，过点 M 可作无数条直线平行于已知平面△ABC，但其中却只有 一条是水平线。
30
31
4.2.4 两个一般位臵平面相交 两平面相交一般会出现全交和互交两种情况。如图 4.17（ a）所示为△DEF 全部穿过△ABC，称为全交。 图 4.17（b）所示为△ABC 与△DEF 的边相互穿过， 称为互交。
32
1.线面交点法 两平面的投影相互重叠，通常用线面交点法求交线。 因为一平面图形的边线与另一平面的交点，是两平面的 共有点，也是属于交线的点，两平面的交线为直线，只 要求得两个这样的交点并连接它们，便获两平面的交线。 可见两平面求交线不过是本节 3一般位臵直线与一般位 臵平面求交点的重复应用。
28
例 4.7 求直线 DE 与△ABC 的交点 K，并判别可见 性（图 4.16（a））。 解：（1）分析：由图 4.16可知投影无积聚性，按 上述空间作图步骤，进行投影作图。 （2）作图：投影作图步骤如下： ①过直线 DE 作辅助铅垂面 P，如图 4.16（b）所 示。 ②求平面 P 和△ABC 的交线 MN。作法同本节 2， 如图 4.16（c）所示。 ③交线的 V投影 m′n′和 d′e′的交点 k′，就是交点 K 的 V投影 k′。由 k′求得 k，K（k′，k）即为所求交点， 如图 4.16（d）所示。 ④判别可见性。因为直线和平面均为一般位臵，故 其 V、H 投影要分别判别可见性，但是判别方法依然同 29 前。
5
（2）作图：见图 4.2（b）所示。 ①作属于平面△ABC 的任一水平线 AD。即在 V 投 影中过 a′作 a′d′∥OX，再依 a′d′求出 ad。 ②过已知点 M 引直线 MN∥AD。其投影作图过程 是在 V投影中过 m′作 m′n′∥a′d′∥OX， 在 H 投影中过 m 作 mn∥ad。MN 为所求水平线。
2
3
（1）一般情况———直线与一般位臵平面平行 例 4.1 过已知点 M 作一水平线 MN 平行于已知平面 △ABC（图 4.2（a））。 解：（1）分析：由图可知，△ABC 为一般位臵平 面，要求所作 MN 既平行于 H，又要平行于平面△ABC， 那么 MN 应平行于平面△ABC 与 H 面的交线，即平面 △ABC 的水平迹线，也是属于平面△ABC 的水平线的 方向。另一种分析是无论平面处于何种位臵，过点 M 可作无数条直线平行于已知平面△ABC，但其中却只有 一条是水平线。
30
31
4.2.4 两个一般位臵平面相交 两平面相交一般会出现全交和互交两种情况。如图 4.17（ a）所示为△DEF 全部穿过△ABC，称为全交。 图 4.17（b）所示为△ABC 与△DEF 的边相互穿过， 称为互交。
32
1.线面交点法 两平面的投影相互重叠，通常用线面交点法求交线。 因为一平面图形的边线与另一平面的交点，是两平面的 共有点，也是属于交线的点，两平面的交线为直线，只 要求得两个这样的交点并连接它们，便获两平面的交线。 可见两平面求交线不过是本节 3一般位臵直线与一般位 臵平面求交点的重复应用。
28
例 4.7 求直线 DE 与△ABC 的交点 K，并判别可见 性（图 4.16（a））。 解：（1）分析：由图 4.16可知投影无积聚性，按 上述空间作图步骤，进行投影作图。 （2）作图：投影作图步骤如下： ①过直线 DE 作辅助铅垂面 P，如图 4.16（b）所 示。 ②求平面 P 和△ABC 的交线 MN。作法同本节 2， 如图 4.16（c）所示。 ③交线的 V投影 m′n′和 d′e′的交点 k′，就是交点 K 的 V投影 k′。由 k′求得 k，K（k′，k）即为所求交点， 如图 4.16（d）所示。 ④判别可见性。因为直线和平面均为一般位臵，故 其 V、H 投影要分别判别可见性，但是判别方法依然同 29 前。
画法几何及土木工程制图第4章直线与平面平面与平面的相对位置
由初等几何知，如果平面外的一直线平行于平面上的任一 直线，则直线平行于该平面。
图4-1a是直线与平面平行的立体示意图：直线MN与平面P 上的直线KL平行，则MN∥P。 在图4-1b中，由于mn∥kl、m‘n’∥ k‘l ’，即MN ∥KL，KL是平面 P上的直线，所以MN∥P
P’
P
(a)
(b)
图 4-1 直线与平面平行
求空间上点到直线的距离
空间分析
作图
作图步骤：
（1）过A点作BC线的垂 面 （2）包含BC作辅助铅垂 面 （3）求交 点 （4）求距 离
PH
距离
直线垂直投影面垂直面
(a)
(b)
平面与平面垂直的几何条件
(a)
(b)
(c)
过点S做平面垂直于 ABC所给定的平面
判别两平面是否相互垂直
判断可见：两平面垂直
可见性。
a’
d’
c’
k’ f’
b’
e’
X
O
e
f
a(b)
k
d
c
（二）一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是 求两个共有点的问题,由于特殊位置 平面的某些投影有积聚性，交线可 直接求出。
例:已知两特殊位置平面相交，求交线的投影
返回
二、 辅助平面法
求作交线的步骤：
（一）直线与一般位置平面相交
交点与交线的性质 B D
PA
K B
KA
L
F
E
C
➢直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上
，因而交点是直线与平面的共有点。
➢两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。
➢求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有
图4-1a是直线与平面平行的立体示意图：直线MN与平面P 上的直线KL平行，则MN∥P。 在图4-1b中，由于mn∥kl、m‘n’∥ k‘l ’，即MN ∥KL，KL是平面 P上的直线，所以MN∥P
P’
P
(a)
(b)
图 4-1 直线与平面平行
求空间上点到直线的距离
空间分析
作图
作图步骤：
（1）过A点作BC线的垂 面 （2）包含BC作辅助铅垂 面 （3）求交 点 （4）求距 离
PH
距离
直线垂直投影面垂直面
(a)
(b)
平面与平面垂直的几何条件
(a)
(b)
(c)
过点S做平面垂直于 ABC所给定的平面
判别两平面是否相互垂直
判断可见：两平面垂直
可见性。
a’
d’
c’
k’ f’
b’
e’
X
O
e
f
a(b)
k
d
c
（二）一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是 求两个共有点的问题,由于特殊位置 平面的某些投影有积聚性，交线可 直接求出。
例:已知两特殊位置平面相交，求交线的投影
返回
二、 辅助平面法
求作交线的步骤：
（一）直线与一般位置平面相交
交点与交线的性质 B D
PA
K B
KA
L
F
E
C
➢直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上
，因而交点是直线与平面的共有点。
➢两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。
➢求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有
工程制图第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
m
b k f n
c
l
a O
m
m
k b
f
a l
n
二、辅助平面法
A E
K 1
2
D
C
B 过AB作平面P垂直于H投影面
a
d
2
k 作题步骤： 1、 过AB作铅 垂平面P。 2、求P平面与 ΔCDE的交线 e ⅠⅡ。 O 3、求交线 ⅠⅡ与AB的交 e 点K。
c
1
X
PH
b
a
1
第一节
第二节
平行问题
相交问题
4.2 相交问题
第三节
第四节
垂直问题
综合问题分析及解法
第一节 平行问题
一、直线与平面平行
C P A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线 与该平面平行。
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c g d f
e
b
a
X
f d e
O
a
g c
e f d
a
b r
X
c
O
e s
SH
d
a c b
f
结论：两平面平行
r P H
第二节
相交问题
D B
交点与交线的性质
P K A
K
A
B
C
L
E
F
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交 有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的 共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与 面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。
X
m k b
土木工程制图第4章直平面与平面的相对位置线与平面
4.2
【例4-9】
(1) ①过直线DE作一个辅助平面P(P面是铅垂面，也可作正垂面)， 过程如图4-13(c) ②求铅垂面P与已知平面ABC的交线MN，过程如图4-13(d)所 ③求辅助交线MN与已知直线DE的交点K，过程如图4-13(e)
4.2
【例4-9】
(2)可见性利用重影点法来判别。如图4-13(f)所示，在水平投 影上标出交错两条直线AC、DE上的重影点F和M的重合投影 f(m)，过点f和点m向上作投影联系线求出点f′和点m′。从图 中可看出F点高于M点，说明DK段高于平面ABC，水平投影 mk可见，画成粗实线，而kn不可见，画成虚线。同理通过判 别正面重影点P、Q的前后关系，可知dk段可见，ke段不可见。
4.1平行问题
图4-6 过点E作一个平面与已知平面平行
4.1平行问题
2.两个特殊位置平面平行 判定方法
若两个特殊位置平面平行，则它们的同 面积聚投影必然平行。因此，当判断两 个特殊位置平面是否平行时，只需检查 它们的同面积聚投影是否平行即可。
4.2
1
(1)相交的特殊情况，即 直线或平面的投影具有 积聚性，此时可利用投 影的积聚性直接求出交 点或交线。
4.2
图4-15 三面共点法求两平面共有点
4.2
如图4-16所示，平面UVW和一对平行线JL、MN各决
定一个平面。为求出这两个平面的交线，根据图4-15
所示的原理，取水平面P为辅助平面，利用积聚性分别
作平面P
AB(ab，a′b′)、
CD(cd，c′d′)。AB和CD的交点K1(k1、k1′)便为一
4.3
1.一般位置直线与一般位置平面垂直
结论
直线与平面垂直的投影特性是垂线的水平投影 必垂直于平面内的水平线的水平投影，垂线的 正面投影必垂直于平面内的正平线的正面投影。 反之，若直线的水平投影垂直于平面内的水平 线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面内 的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。
画法几何工程图学点线面相对位置
f
【例题4】过点N作直线，使其与△平行，且与直线相交。
a′
m′
f′
2′
e′
1′ n′
c′
2
m a
1
n e
f c
作图步骤
1、过点M作平面
b′
MⅠⅡ平行于已知
平面；
2、求平面M ⅠⅡ 与已知直线的交点 N；
3、连接 b
【例题5】过点K作直线与直线垂直，并与△平行。
c′ a′ a
c
b′ g′
l′
m′ k′
k g
b l m
作图步骤 1、过 作平面 垂直于平
面； n′ 2、过点K作直线垂直
于平面。
n
【例题6】已知直线与△平面的夹角为60°，在△上的正投影为，求作的两投影。
e′
a′ △ZAC
f′
△ZAC
e A0 a
f
1′
g′ c′
b′ △ZC 1
g c
1 b
A B0 △1
B
60 °
= A0 c
C
【例题7】已知等边△与H面的倾角α=30°，试完成该等边△的两面投影。
2′
c′
1′
a′
a 2
c 1
b′
作图步骤
1、过点Ａ作直线的垂直面 AⅠⅡ；
2、在垂直面AⅠⅡ上，运用 平面定线方法确定边；
3、连线完成直角三角形的投 影。
b
【例题3】作一直线与两交叉直线和相交，同时与直线平行。
F C
1
E A
N
M B D
f′
a′
m′
e′
1′
n′
b′
c′
d′
2′
土建工程制图 第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置关系
p'
a'
b'
a
e d
a
c
直线DE 直线与平面、平面与平面平行
b'
相交 平面ABC 班级
p
姓名
直线AB
相交 成绩
平面P 1
土木工程制图 习题集
2.过点A 作直线AB 平行于平面R。 3.过直线AB 作铅垂面Q平行于直线CD。
b' r' c' a' c a r a
4.过点K 作平面R垂直于水平线CD。
c' a' c' d'
c
b c
d
5.过点S 作一水平线平行于平面ABC 。
c'
d'
k' r'
s'
b'
d'
a' d r k c
直线与平面、平面与平面平行 s
c' c
a
d
b
班级 姓名 成绩 2
土木工程制图 习题集
1.判断两平面的相对位置关系。 a' d' b' e' c' f'
q' p'
b
a
c d
e p f q
平面ABC
平行
平面DEF
平面P
相交
平面Q
c' b'
e'
b'
f' d' 1' 2' 2 f
d' e' g' c' c f' f g e
a'
a' a
c b
工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置ppt课件
二、两平面相交
两平面相交时要讨论的问题： ① 求两平面的交线
方法：确定交线的两个端点。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系， 即：
判别可见性。 先讨论两平面中至少有一个处
于特殊位置的情况。
d’
c’
l’ b’
e’ k’ a’
f’
c
df
lb
e
k
a
空间及投影分析：
DEF为铅垂面， 在H面投影积聚成直线， 交线应在此直线上，
⒉ 求两平面的交线的方法 ⑴ 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画 出交线的投影。
⑵ 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。
（3）两一般位置平面相交：法一：用一般位置线面相交 法二：三面共点法
直线与平面、平面与平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。
一、直线与平面平行
若平面外的一直线与平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行。
利用该定理：① 在平面外作一直线与平面平行 ② 判断平面外直线与平面是否平行
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a
a
b c m
●
b
●
mc
三、平行问题
⒈ 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。
⒉ 两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行于
另一个平面上的一对相交直线。
四、相交问题
⒈ 求直线与平面的交点的方法 ⑴ 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的 共有性和平面的积聚性直接求解。
⑵ 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的 共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。
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平面； b、求辅助平面与已知平面
的交线； c、求交线与已知直线的交
点，交点即为所求。求出 交点后，再利用重影点判 别各投影的可见性。
一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
直线与平面相交作图方法
• （6）两一般平面相交
• 求作两一般位置平面交线的方法有线面交点法和三面共点法两种。
线面的交点
线面的交点
平面与平面相交
• 平面与平面相交，其交线是平面与平面的共 有线。
• 求两平面交线的基本方法是求出两个共有点 或求出一个共有点及交线的方向。
2、一般位置相交
线、面相交作图方法
• （4）一般位置直线与一般位 置平面相交,求交点的方法和
步骤如下：
• a、过直线作特殊位置辅助
行。
判别判别已知线面是否平行
判别判别已知线面是否平行
例：判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。
a′
ห้องสมุดไป่ตู้
d′
c′
e′
b′
Ｘ
b
aＯ
d
e
c
直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。
例：过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行
a′
m′
c′
b′
Ｘ
b
aＯ
m
c
作直线与已知平面平行
作直线与已知平面平行
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
• 线面交点法：两一般位置平面的各同面投影都重叠时，通常用求一 般位置直线与一般位置平面交点的方法，求出点。求出组成一平面 的两直线与另一平面的两个交点，然后连线即得所求交线。
直线与平面相交作图方法
• 三面共点法：两一般位置平面的 各同面投影都不重叠或不同时重 叠时，通常用三面共点法求交线， 其作图原理为三个相交的平面必 定有一个公共点，而此点又必定 在两个平面的交线上。三面共点 法求交线的作图步骤如下：
直线与平面平行
• 直线与平面平行，平面与平面平行
• 平面外的一直线若与平面上的一直线平行，到此直线与平面 相互平行。（若该直线投影和该平面上某直线同面投影相平 行，则线面平行。）
• 若一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两相交直线， 则两平面互相平行。（若一平面上两相交直线的投影对应地 平行于另一平面上两相交直线的同面投影，则两平面互相平 行。）
• 可见性判定方法：
• 1、 找出要判定的直线 • 2、 确定可见的交点 • 3、 找出交点一侧的线面重影点，并判别两点的可见性 • 4、 如可见则该直线所在此段可见，不可见则不可见 • 另一侧必反与已判断一侧可见性相反。
直线与平面垂直
• 几何条件：若直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则该直线垂直于平面内的所有直线， 即垂直于平面。
例：过点Ｄ作已知平面的平行面。
e′ Ｘ
e
d′ b′
f′ b
d
f
a′ c′
aＯ c
例：判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与平行 直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。
a′ c′ Ｘ
b′ e′
d′ g′
f′
k′ Ｏ
a
bg
k
c
d
e
f
两平面不平行
直线与平面相交
• 直线与平面不平行就会相交，其交点是直线 与平面的共有点。
• 投影特性：若直线垂直于平面，则直线的正面投影垂直于这个平面上的正平线的正面投影； • 直线的水平投影垂直于这个平面上的水平线的水平投影，直线的侧面投影垂直于这个平面
上的侧平线的侧面投影。 • 利用直线与平面垂直的作图可解决点到平面、点到直线、平面到平面及直线到直线间的距
离问题。
• 直线与投影面垂直面平行
• 直线的投影平行于平面有积聚性的同名投影，直线平行于平 面。
• 两投影面垂面的积聚性投影互相平行，两平面平行。
１.若直线平行于平面内某一直 线，则直线与该平面平行
B
AL
K L
D
C
直线与平面平行作图问题
• 判别已知线面是否平行； • 作直线与已知平面平行； • 包含已知直线作平面与另一已知直线平
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
平面与平面平Ｍ行
• 若平面上 的两相交 直线分别 平行于另 一平面内 的两相交 直线，则 这两个平 面相互平 行。
Ｎ Ｋ
Ｂ
Ｃ Ａ
两平面平行的作图问题
• 判别两已知平面是否相互平行； • 过一点作一平面与已知平面平行； • 已知两平面平行，完成其中一平面的投影。
• 直线与平面相交的问题就是求直线和平面的 交点，难点是判断直线的可见性。
1．特殊相交
一般位置直线与有积聚性平面相交，交点的一个投影为 直线与平面积聚性投影的 交点，另一投影可在直线的投影上找到。（面上定点）
一般位置平面与有积聚性直线相交，交点的一个投影与直线的积 聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上求点的方法求出。 （一眼可见）
• a、作一特殊位置辅助平面 与两已知面相交；
• b、求辅助平面与两平面的 两条交线；
• c、求两交线的交点，此点 即为两已知平面交线上的点；
• d、同理再作一辅助平面可 求出交线上另外一点，连接 两交点即为两平面的交线。
可见性判定
• 线与面的交点是直线和平面共有点，也是直线被平 面遮掩可见和不可见部分的分界点。
的交线； c、求交线与已知直线的交
点，交点即为所求。求出 交点后，再利用重影点判 别各投影的可见性。
一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
直线与平面相交作图方法
• （6）两一般平面相交
• 求作两一般位置平面交线的方法有线面交点法和三面共点法两种。
线面的交点
线面的交点
平面与平面相交
• 平面与平面相交，其交线是平面与平面的共 有线。
• 求两平面交线的基本方法是求出两个共有点 或求出一个共有点及交线的方向。
2、一般位置相交
线、面相交作图方法
• （4）一般位置直线与一般位 置平面相交,求交点的方法和
步骤如下：
• a、过直线作特殊位置辅助
行。
判别判别已知线面是否平行
判别判别已知线面是否平行
例：判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。
a′
ห้องสมุดไป่ตู้
d′
c′
e′
b′
Ｘ
b
aＯ
d
e
c
直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。
例：过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行
a′
m′
c′
b′
Ｘ
b
aＯ
m
c
作直线与已知平面平行
作直线与已知平面平行
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
• 线面交点法：两一般位置平面的各同面投影都重叠时，通常用求一 般位置直线与一般位置平面交点的方法，求出点。求出组成一平面 的两直线与另一平面的两个交点，然后连线即得所求交线。
直线与平面相交作图方法
• 三面共点法：两一般位置平面的 各同面投影都不重叠或不同时重 叠时，通常用三面共点法求交线， 其作图原理为三个相交的平面必 定有一个公共点，而此点又必定 在两个平面的交线上。三面共点 法求交线的作图步骤如下：
直线与平面平行
• 直线与平面平行，平面与平面平行
• 平面外的一直线若与平面上的一直线平行，到此直线与平面 相互平行。（若该直线投影和该平面上某直线同面投影相平 行，则线面平行。）
• 若一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两相交直线， 则两平面互相平行。（若一平面上两相交直线的投影对应地 平行于另一平面上两相交直线的同面投影，则两平面互相平 行。）
• 可见性判定方法：
• 1、 找出要判定的直线 • 2、 确定可见的交点 • 3、 找出交点一侧的线面重影点，并判别两点的可见性 • 4、 如可见则该直线所在此段可见，不可见则不可见 • 另一侧必反与已判断一侧可见性相反。
直线与平面垂直
• 几何条件：若直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则该直线垂直于平面内的所有直线， 即垂直于平面。
例：过点Ｄ作已知平面的平行面。
e′ Ｘ
e
d′ b′
f′ b
d
f
a′ c′
aＯ c
例：判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与平行 直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。
a′ c′ Ｘ
b′ e′
d′ g′
f′
k′ Ｏ
a
bg
k
c
d
e
f
两平面不平行
直线与平面相交
• 直线与平面不平行就会相交，其交点是直线 与平面的共有点。
• 投影特性：若直线垂直于平面，则直线的正面投影垂直于这个平面上的正平线的正面投影； • 直线的水平投影垂直于这个平面上的水平线的水平投影，直线的侧面投影垂直于这个平面
上的侧平线的侧面投影。 • 利用直线与平面垂直的作图可解决点到平面、点到直线、平面到平面及直线到直线间的距
离问题。
• 直线与投影面垂直面平行
• 直线的投影平行于平面有积聚性的同名投影，直线平行于平 面。
• 两投影面垂面的积聚性投影互相平行，两平面平行。
１.若直线平行于平面内某一直 线，则直线与该平面平行
B
AL
K L
D
C
直线与平面平行作图问题
• 判别已知线面是否平行； • 作直线与已知平面平行； • 包含已知直线作平面与另一已知直线平
包含已知直线作平面与另一已知直线平行
平面与平面平Ｍ行
• 若平面上 的两相交 直线分别 平行于另 一平面内 的两相交 直线，则 这两个平 面相互平 行。
Ｎ Ｋ
Ｂ
Ｃ Ａ
两平面平行的作图问题
• 判别两已知平面是否相互平行； • 过一点作一平面与已知平面平行； • 已知两平面平行，完成其中一平面的投影。
• 直线与平面相交的问题就是求直线和平面的 交点，难点是判断直线的可见性。
1．特殊相交
一般位置直线与有积聚性平面相交，交点的一个投影为 直线与平面积聚性投影的 交点，另一投影可在直线的投影上找到。（面上定点）
一般位置平面与有积聚性直线相交，交点的一个投影与直线的积 聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上求点的方法求出。 （一眼可见）
• a、作一特殊位置辅助平面 与两已知面相交；
• b、求辅助平面与两平面的 两条交线；
• c、求两交线的交点，此点 即为两已知平面交线上的点；
• d、同理再作一辅助平面可 求出交线上另外一点，连接 两交点即为两平面的交线。
可见性判定
• 线与面的交点是直线和平面共有点，也是直线被平 面遮掩可见和不可见部分的分界点。