高考数学一轮复习第三章导数及其应用单元质检文新人教B版 (1)
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用3
高考数学一轮复习 第三章 3.7 利用导数研究函数零点 题型一 数形结合法研究函数零点例1 (2020·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋2)． (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －(x ＋2)，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )<0，解得x <0，令f ′(x )>0，解得x >0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)令f (x )＝0，得e x ＝a (x ＋2)，即1a ＝x ＋2ex ，所以函数y ＝1a 的图象与函数φ(x )＝x ＋2e x 的图象有两个交点，φ′(x )＝－x －1e x ，当x ∈(－∞，－1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(－1，＋∞)时，φ′(x )<0， 所以φ(x )在(－∞，－1)上单调递增， 在(－1，＋∞)上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(－1)＝e ，且x →－∞时， φ(x )→－∞；x →＋∞时，φ(x )→0， 所以0<1a <e ，解得a >1e .所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 教师备选已知函数f (x )＝x e x ＋e x .(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)讨论函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点的个数． 解 (1)函数f (x )的定义域为R ， 且f ′(x )＝(x ＋2)e x ，令f ′(x )＝0得x ＝－2，则f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：x (－∞，－2)－2 (－2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减－1e2 单调递增∴f (x )的单调递减区间是(－∞，－2)，单调递增区间是(－2，＋∞)． 当x ＝－2时，f (x )有极小值为f (－2)＝－1e 2，无极大值．(2)令f (x )＝0，得x ＝－1， 当x <－1时，f (x )<0；当x >－1时，f (x )>0，且f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－1e 2，(－1,0)，(0,1)． 当x →－∞时，与一次函数相比，指数函数y ＝e －x 增长更快，从而f (x )＝x ＋1e －x →0；当x →＋∞时，f (x )→＋∞，f ′(x )→＋∞，根据以上信息，画出f (x )大致图象如图所示．函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点的个数为y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 的交点个数． 当x ＝－2时，f (x )有极小值f (－2)＝－1e2.∴关于函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点个数有如下结论：当a <－1e 2时，零点的个数为0；当a ＝－1e 2或a ≥0时，零点的个数为1；当－1e2<a <0时，零点的个数为2.思维升华 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围． 跟踪训练1 设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．解 (1)当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －e x 2＝x －e x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝2. (2)由题意知g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点， ∴x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.结合y ＝φ(x )的图象(如图)可知，①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．题型二 利用函数性质研究函数零点例2 (12分)(2021·全国甲卷)设函数f (x )＝a 2x 2＋ax －3ln x ＋1，其中a >0. (1)讨论f (x )的单调性； [切入点：判断f ′(x )的正负](2)若y ＝f (x )的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. [关键点：f (x )>0且f (x )有最小值]教师备选已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，g (x )＝x 2＋4. (1)讨论f (x )在[－π，π]上的单调性；(2)令h (x )＝g (x )－4f (x )，试证明h (x )在R 上有且仅有三个零点． (1)解 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫π2，π时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－π2，0，⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减． (2)证明 h (x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ， ∵h (－x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ＝h (x )， ∴h (x )为偶函数． 又∵h (0)＝0，∴x ＝0为函数h (x )的零点．下面讨论h (x )在(0，＋∞)上的零点个数： h (x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ＝x (x －4sin x )＋4(1－cos x )． 当x ∈[4，＋∞)时， x －4sin x >0,4(1－cos x )≥0， ∴h (x )>0， ∴h (x )无零点； 当x ∈(0,4)时，h ′(x )＝2x －4x cos x ＝2x (1－2cos x )， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，h ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π3，4时，h ′(x )>0，∴h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫π3，4上单调递增， ∴h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫π3＝π29＋4－4π3sin π3－4cos π3＝π29＋2－23π3<0，又h (0)＝0，且h (4)＝20－16sin 4－4cos 4>0， ∴h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上无零点，在⎝⎛⎭⎫π3，4上有唯一零点． 综上，h (x )在(0，＋∞)上有唯一零点， 又h (0)＝0且h (x )为偶函数， 故h (x )在R 上有且仅有三个零点．思维升华 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．跟踪训练2 已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点．(1)解 当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3. 当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时， f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)， 单调递减区间为(3－23，3＋23)． (2)证明 因为x 2＋x ＋1>0在R 上恒成立， 所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2x 2＋2x ＋3x 2＋x ＋12≥0在R 上恒成立，当且仅当x ＝0时，g ′(x )＝0， 所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点． 又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6⎝⎛⎭⎫a －162－16<0， f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上所述，f (x )只有一个零点．题型三 构造函数法研究函数的零点例3 (2021·全国甲卷)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝x aa x (x >0)．(1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 22x (x >0)，f ′(x )＝x 2－x ln 22x(x >0)，令f ′(x )>0，则0<x <2ln 2，此时函数f (x )单调递增，令f ′(x )<0， 则x >2ln 2，此时函数f (x )单调递减， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，2ln 2，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2ln 2，＋∞. (2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有且仅有两个交点，可转化为方程x a a x ＝1(x >0)有两个不同的解，即方程ln x x ＝ln aa 有两个不同的解．设g (x )＝ln xx (x >0)，则g ′(x )＝1－ln xx 2(x >0)，令g ′(x )＝1－ln xx 2＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， 当x >e 时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减， 故g (x )max ＝g (e)＝1e ，且当x >e 时，g (x )∈⎝⎛⎭⎫0，1e ， 又g (1)＝0，所以0<ln a a <1e ，所以a >1且a ≠e ，即a 的取值范围为(1，e)∪(e ，＋∞)． 教师备选(2022·南阳质检)已知f (x )＝13x 3＋32x 2＋2x ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求f (x )的极值；(2)令g (x )＝f ′(x )＋k e x －1，若y ＝g (x )的函数图象与x 轴有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如表所示：x (－∞，－2)－2 (－2，－1)－1 (－1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗由表可知，函数f (x )的极大值为f (－2)＝－23，极小值为f (－1)＝－56.(2)由(1)知g (x )＝x 2＋3x ＋2＋k e x －1＝x 2＋3x ＋1＋k e x ， 由题知需x 2＋3x ＋1＋k e x ＝0有三个不同的解，即k ＝－x 2＋3x ＋1e x有三个不同的解．设h (x )＝－x 2＋3x ＋1e x，则h ′(x )＝x 2＋x －2e x ＝x ＋2x －1e x ，当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增， 当x ∈(－2,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，又当x →－∞时，h (x )→－∞， 当x →＋∞时，h (x )→0且h (x )<0， 且h (－2)＝e 2，h (1)＝－5e .作出函数h (x )的简图如图，数形结合可知，－5e<k <0.思维升华 涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x ，m >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥1时，讨论f (x )与g (x )图象的交点个数． 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x ＋mx －mx .当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )． (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，题中问题等价于求函数F (x )的零点个数．F ′(x )＝－x －1x －m x ，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，因为F (1)＝32>0，F (4)＝－ln 4<0， 所以F (x )有唯一零点；当m >1时，0<x <1或x >m 时，F ′(x )<0；1<x <m 时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，因为F (1)＝m ＋12>0， F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即函数f (x )与g (x )的图象总有一个交点．课时精练1．(2022·贵阳模拟)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2(a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，g (x )＝f (x )－2x ＋b ，讨论g (x )的零点个数．解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )，若a >0，当x ∈(－∞，0)∪(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，若a <0，当x ∈(－∞，a )∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(a,0)时，f ′(x )<0，综上，当a >0时，f (x )在(－∞，0)，(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减， 当a <0时，f (x )在(－∞，a )，(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减．(2)g (x )＝13x 3－12x 2－2x ＋b ， 令g (x )＝0，所以b ＝－13x 3＋12x 2＋2x ， 令h (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x ， 则h ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)，所以h ′(2)＝0，h ′(－1)＝0，且当x <－1时，h ′(x )<0；当－1<x <2时，h ′(x )>0；当x >2时，h ′(x )<0，所以h (x )极小值＝h (－1)＝13＋12－2＝－76， h (x )极大值＝h (2)＝－13×8＋12×4＋4＝103， 如图，当b <－76或b >103时，函数g (x )有1个零点； 当b ＝－76或b ＝103时，函数g (x )有2个零点； 当－76<b <103时，函数g (x )有3个零点．2．已知函数f (x )＝e x (ax ＋1)，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝bx －e.(1)求a ，b 的值；(2)若函数g (x )＝f (x )－3e x －m 有两个零点，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝e x (ax ＋1)，则f ′(x )＝e x (ax ＋1)＋e x ·a ＝e x (ax ＋1＋a )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′1＝e 2a ＋1＝b ，f 1＝e a ＋1＝b －e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3e ， ∴a ＝1，b ＝3e.(2)g (x )＝f (x )－3e x －m ＝e x (x －2)－m ，函数g (x )＝e x (x －2)－m 有两个零点，相当于函数u (x )＝e x ·(x －2)的图象与直线y ＝m 有两个交点，u ′(x )＝e x ·(x －2)＋e x ＝e x (x －1)，当x ∈(－∞，1)时，u ′(x )<0，∴u (x )在(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0，∴u (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ＝1时，u (x )取得极小值u (1)＝－e.又当x →＋∞时，u (x )→＋∞，当x <2时，u (x )<0，∴－e<m <0，∴实数m 的取值范围为(－e,0)．3．已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若函数f (x )在x ＝0处取得极值，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围．解 (1)由f (x )＝e x ＋ax －a ，得f ′(x )＝e x ＋a .∵函数f (x )在x ＝0处取得极值，∴f ′(0)＝e 0＋a ＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝e x －x ＋1，f ′(x )＝e x －1.∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．易知f (x )在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，且f (－2)＝1e 2＋3，f (1)＝e ，f (－2)>f (1)， ∴f (x )在[－2,1]上的最大值是1e 2＋3. (2)f ′(x )＝e x ＋a .①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上单调递增，且当x >1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)>0，当x <0时，取x ＝－1a， 则f ⎝⎛⎭⎫－1a <1＋a ⎝⎛⎭⎫－1a －1＝－a <0， ∴函数f (x )存在零点，不满足题意．②当a <0时，令f ′(x )＝e x ＋a ＝0，则x ＝ln(－a )．当x ∈(－∞，ln(－a ))时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(ln(－a )，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当x ＝ln(－a )时，f (x )取得极小值，也是最小值．当x →－∞时，f (x )→＋∞，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )>0，解得－e 2<a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2,0)．4．(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x 2－a sin x －2(a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线经过坐标原点，求实数a ； (2)当a >0时，判断函数f (x )在x ∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．解 (1)f ′(x )＝2x sin x －x 2－a cos x sin 2x， f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π，所以f (x )在点⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线方程为y ＝πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22， 即π24－a －2＝π22，a ＝－π24－2. (2)因为x ∈(0，π)，所以sin x >0，所以x 2－a sin x －2＝0可转化为x 2－a －2sin x ＝0， 设g (x )＝x 2－a －2sin x ，则g ′(x )＝2x －2cos x ，当x ∈⎣⎡⎭⎫π2，π时，g ′(x )>0，所以g (x )在区间⎣⎡⎭⎫π2，π上单调递增．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时， 设h (x )＝g ′(x )＝2x －2cos x ，此时h ′(x )＝2＋2sin x >0，所以g ′(x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 又 g ′(0)＝－2<0，g ′⎝⎛⎭⎫π2＝π>0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x )＝0且x ∈(0，x 0)时g (x )单调递减， x ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时g (x )单调递增． 综上，对于连续函数g (x )，当x ∈(0，x 0)时，g (x )单调递减， 当x ∈(x 0，π)时，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－a <0，所以当g (π)＝π2－a >0，即a <π2时，函数g (x )在区间(x 0，π)上有唯一零点，当g (π)＝π2－a ≤0，即a ≥π2时，函数g (x )在区间(0，π)上无零点， 综上可知，当0<a <π2时，函数f (x )在(0，π)上有1个零点； 当a ≥π2时，函数f (x )在(0，π)上没有零点．。
高考数学一轮复习第三章导数及其应用单元质检文新人教B版
单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒2.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于()A.2B.-2C.D.-3.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m>0B.m<0C.m>1D.m<14.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-]∪[,+∞)B.[-]C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-)5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.36.若f(x)=a e-x-e x为奇函数,则f(x-1)<e-的解集为()A.(-∞,0)B.(-∞,2)C.(2,+∞)D.(0,+∞)7.已知a≤+ln x对任意x∈恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.38.已知函数f(x)=ln x+tan α的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为()A. B.C. D.9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)10.(2017辽宁抚顺重点校一模)已知函数f(x)=--x2的最大值为f(a),则a等于()A. B.C. D.11.若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.12.若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2e x)(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.(-∞,0)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017吉林长春三模)函数f(x)=e x·sin x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是.14.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-∞,+∞)内是减函数,则实数a的取值范围是.15.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:①f(0)f(1)<0;②f(0)f(1)>0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0;⑤f(1)f(3)>0;⑥f(1)f(3)<0.。
新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用微专题进阶课3构造法解fx与f′x共存问题课件新人教B版
f(x)<x＋2 1＝12＋12x，整理得 f(x)－12x<12，即 F(x)<F(1)．由函数的单调性 可得不等式的解集为(－∞，1)．
第三章 导数及其应用
微专题进阶课(三) 构造法解f(x)与f′(x)共存问题
以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有f(x)与f′(x)共存 的不等式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题， 是近几年高考中的一个热点．解答这类问题的策略是将f(x)与f′(x)共 存的不等式与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数， 然后利用函数的性质解决问题．
A 解析：构造函数 F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当 x<0 时， F′(x)>0，所以 F(x)在(－∞，0)上单调递增．又因为 f(x)，g(x)分别是 定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 F(x)是定义在 R 上的奇函数，从 而 F(x)在(0，＋∞)上单调递增．而 F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以 F(－3)＝－ F(3)＝0，结合图像(图略)可知不等式 f(x)g(x)>0⇔F(x)>0 的解集为(－3,0) ∪(3，＋∞)．故选 A.
【点评】当题设条件中存在或通过变形出现特征“f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”， 构造可导函数 y＝f(x)g(x)，然后利用函数的性质巧妙地解决问题．
【点评】当题设条件中存在或通过变形出现特征“f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”， 构造可导函数 y＝f(x)g(x)，然后利用函数的性质巧妙地解决问题．
2024届新高考一轮总复习人教版 第三章 重难突破系列(一) 利用导数解决不等式恒成立、有解 课件
[对点练] 1.已知曲线 f(x)＝bex＋x 在 x＝0 处的切线方程为 ax－y＋1＝0. (1)求 a，b 的值； (2)当 x2>x1>0 时，f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)恒成立，求实数 m 的取值范围．
解：(1)由 f(x)＝bex＋x 得，f′(x)＝bex＋1， 由题意得在 x＝0 处的切线斜率为 f′(0)＝b＋1＝a， 即 b＋1＝a，又 f(0)＝b，可得－b＋1＝0，解得 b＝1，a＝2.
(2)由 f(1)≥0，得 a≥e－1 1>0，则 f(x)≥0 障碍点：不能把a＋a 1看做整体，分离出来
对任意的 x>0 恒成立可转化为a＋a 1≥2xx－ex 1对任意的 x>0 恒成立．················6 分
2x－1 设函数 F(x)＝ xex (x>0)， ··································································7 分
于是a＋a 1≥1e，解得 a≥e－1 1.故实数 a 的取值范围[e－1 1，＋∞). ··················12 分
【点拨】 利用分离参数法确定不等式 f(x，λ)≥0(x∈D，λ 为参数)恒成立问题中参 数范围的步骤：
(1)将参数与变量分离，化为 f1(λ)≥f2(x)或 f1(λ)≤f2(x)的形式； (2)求 f2(x)在 x∈D 时的最大值或最小值； (3)解不等式 f1(λ)≥f2(x)max 或 f1(λ)≤f2(x)min，得到 λ 的取值范围．
(2)由(1)知，f(x)＝ex＋x，所以 f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)， 即为 f(x1)－mx21－x1<f(x2)－mx22－x2， 由 x2>x1>0 知，上式等价于函数 φ(x)＝f(x)－mx2－x＝ex－mx2 在(0，＋∞)为增函数， φ′(x)＝ex－2mx≥0，即 2m≤exx， 令 h(x)＝exx(x>0)，h′(x)＝ex(xx－2 1)， 当 0<x<1 时，h′(x)<0 时，h(x)单调递减； 当 x>1 时，h′(x)>0，h(x)单调递增，h(x)min＝h(1)＝e， 则 2m≤e，即 m≤2e，所以实数 m 的范围为(－∞ 若不等式 2x ln x≥－x2＋ax－3 在区间(0，e]上恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：不等式 2x ln x≥－x2＋ax－3 在区间(0，e]上恒成立等价于 2ln x≥－x＋a－3x， 令 g(x)＝2ln x＋x－a＋3x，x∈(0，e]，则 g′(x)＝2x＋1－x32＝x2＋x22x－3＝(x＋3x)(2x－1)， 则在区间(0，1)上，g′(x)<0，函数 g(x)为减函数； 在区间(1，e]上，g′(x)>0，函数 g(x)为增函数． 由题意知 g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得 a≤4，所以实数 a 的取值范围是(－∞，4].
2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用考点规范练14导数的概念及运算文新人教B版
考点规范练14 导数的概念及运算基础巩固1.已知函数f (x )=√x 3+1,则lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)Δx 的值为 ()A.-13 B.13 C.23D.02.已知曲线y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为() A.e B.-e C.1eD.-1e3.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则切点横坐标为1的切线方程是() A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=04.(2017江西上饶模拟)若点P 是曲线y=x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y=x-2的距离的最小值为() A.1 B.√2 C.√22D.√35.曲线f (x )=x 3-x+3在点P 处的切线平行于直线y=2x-1,则点P 的坐标为() A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)6.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A (1,2),则a b等于() A.-8B.-6C.-1D.57.若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是() A.y=sin x B.y=ln x C.y=e xD.y=x 38.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+154x-9都相切,则a 等于() A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或79.(2017吉林长春二模)若函数f (x )=lnx x,则f'(2)=.10.(2017山西太原模拟)函数f (x )=x e x的图象在点(1,f (1))处的切线方程是. 11.曲线y=log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于. 12.若函数f (x )=12x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是.能力提升13.函数y=f (x ),y=g (x )的导函数的图象如图所示,则y=f (x ),y=g (x )的图象可能是()14.(2017广州深圳调研)如图,y=f (x )是可导函数,直线l :y=kx+2是曲线y=f (x )在x=3处的切线,令g (x )=xf (x ),g'(x )是g (x )的导函数,则g'(3)=()A.-1B.0C.2D.415.设直线l 1,l 2分别是函数f (x )={-lnx ,0<x <1,lnx ,x >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是() A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞)D.(1,+∞)16.已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=e x+x 2+1,则函数h (x )=2f (x )-g (x )在点(0,h (0))处的切线方程是.高考预测17.若函数f (x )=ln x-f'(1)x 2+5x-4,则f'(12)=.参考答案考点规范练14 导数的概念及运算1.A 解析limΔx →0f (1-Δx )-f (1)Δx =-lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)-Δx=-f'(1)=-(13×1-23)=-13.2.C 解析由题意可得y=ln x 的定义域为(0,+∞),且y'=1x.设切点为(x 0,ln x 0),则切线方程为y-ln x 0=1x 0(x-x 0).因为切线过点(0,0),所以-ln x 0=-1,解得x 0=e,故此切线的斜率为1e.3.B 解析由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0).因为y'=-2x+1,所以y'|x=1=-1, 故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.4.B 解析因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-1x ,令2x-1x=1,解得x=1,则曲线在点P (1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=√2=√2.故所求的最小值为√2.5.C 解析∵f (x )=x 3-x+3,∴f'(x )=3x 2-1.设点P (x ,y ),则f'(x )=2,即3x 2-1=2,解得x=1或x=-1, 故P (1,3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C . 6.A 解析由题意得y=kx+1过点A (1,2),故2=k+1,即k=1.∵y'=3x 2+a ,且直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A (1,2),∴k=3+a ,即1=3+a ,∴a=-2.将点A (1,2)代入曲线方程y=x 3+ax+b ,可解得b=3, 即a b=(-2)3=-8.故选A .7.A 解析设曲线上两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k 1=f'(x 1),k 2=f'(x 2). 若函数具有T 性质,则k 1·k 2=f'(x 1)·f'(x 2)=-1.A 项,f'(x )=cos x ,显然k 1·k 2=cos x 1·cos x 2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B 项,f'(x )=1x(x>0),显然k 1·k 2=1x 1·1x 2=-1无解,故该函数不具有性质T;C 项,f'(x )=e x>0,显然k 1·k 2=e x 1·e x 2=-1无解,故该函数不具有性质T;D 项,f'(x )=3x 2≥0,显然k 1·k 2=3x 12×3x 22=-1无解,故该函数不具有性质T .综上,选A .8.A 解析因为y=x 3,所以y'=3x 2.设过点(1,0)的直线与y=x 3相切于点(x 0,x 03),则在该点处的切线斜率为k=3x 02,所以切线方程为y-x 03=3x 02(x-x 0),即y=3x 02x-2x 03.又点(1,0)在切线上,则x 0=0或x 0=32.当x 0=0时,由y=0与y=ax 2+154x-9相切,可得a=-2564; 当x 0=32时,由y=274x-274与y=ax 2+154x-9相切,可得a=-1. 9.1-ln24解析由f'(x )=1-lnxx 2,得f'(2)=1-ln24. 10.y=2e x-e 解析∵f (x )=x e x,∴f (1)=e,f'(x )=e x+x e x,∴f'(1)=2e,∴f (x )的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y-e =2e(x-1),即y=2e x-e .11.12log 2e 解析∵y'=1xln2,∴k=1ln2, ∴切线方程为y=1ln2(x-1),∴所围三角形的面积为S=12×1×1ln2=12ln2=12log 2e .12.[2,+∞)解析∵f (x )=12x 2-ax+ln x ,∴f'(x )=x-a+1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线, ∴f'(x )存在零点,∴x+1x -a=0有解, ∴a=x+1x ≥2(x>0).13.D 解析由y=f'(x )的图象知y=f'(x )在(0,+∞)内单调递减,说明函数y=f (x )的切线的斜率在(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C .又由图象知y=f'(x )与y=g'(x )的图象在x=x 0处相交,说明y=f (x )与y=g (x )的图象在x=x 0处的切线的斜率相同,故可排除B .故选D . 14.B 解析由题图可知曲线y=f (x )在x=3处的切线斜率等于-13,即f'(3)=-13.又g (x )=xf (x ),g'(x )=f (x )+xf'(x ),g'(3)=f (3)+3f'(3).由题图可知f (3)=1,所以g'(3)=1+3×(-13)=0. 15.A 解析由题意得P 1,P 2分别位于两段函数的图象上.设P 1(x 1,ln x 1),P 2(x 2,-ln x 2)(不妨设x 1>1,0<x 2<1),则由导数的几何意义易得切线l 1,l 2的斜率分别为k 1=1x 1,k 2=-1x 2.由已知得k 1k 2=-1,所以x 1x 2=1.所以x 2=1x 1.所以切线l 1的方程为y-ln x 1=1x 1(x-x 1),切线l 2的方程为y+ln x 2=-1x 2(x-x 2), 即y-ln x 1=-x 1(x -1x 1). 分别令x=0得A (0,-1+ln x 1),B (0,1+ln x 1). 又l 1与l 2的交点为P (2x11+x 12,lnx 1+1-x 121+x 12). ∵x 1>1,∴S △PAB =12|y A -y B |·|x P |=2x 11+x 12<1+x 121+x 12=1. ∴0<S △PAB <1,故选A .16.x-y+4=0解析∵f (x )-g (x )=e x+x 2+1,且f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,∴f (-x )-g (-x )=f (x )+g (x )=e -x +x 2+1.∴f (x )=e x +e -x +2x 2+22,g (x )=e -x -e x2.∴h (x )=2f (x )-g (x )=e x +e -x +2x 2+2-e -x -e x2=32e x +12e -x +2x 2+2.∴h'(x )=32e x -12e -x +4x ,即h'(0)=32−12=1.又h(0)=4,∴切线方程为x-y+4=0.-2f'(1)x+5,17.5解析∵f'(x)=1x∴f'(1)=1-2f'(1)+5,解得f'(1)=2,)=2-2+5=5.∴f'(12。
高考数学总复习 3-1 导数的概念及运算但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 3-1 导数的概念及运算但因为测试 新人教B版1.(文)(2011·龙岩质检)f ′(x )是f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝3.(理)(2011·青岛质检)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2[答案] B[解析] f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2， ∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，故选B.2．(2011·皖南八校联考)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( )A ．－3B ．9C ．－15D ．－7[答案] C[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x 3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3. 又k ＝y ′|x ＝2＝(3x 2－3)|x ＝2＝9， ∴b ＝3－2k ＝3－18＝－15.3．(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y ＝18x 2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．4B ．3C ．2 D.12[答案] C[解析] k ＝y ′＝14x ＝12，∴x ＝2.(理)(2011·广东华南师大附中测试)曲线y ＝2x 2在点P (1，2)处的切线方程是( ) A ．4x －y －2＝0 B ．4x ＋y －2＝0 C ．4x ＋y ＋2＝0 D ．4x －y ＋2＝0[答案] A[解析] k ＝y ′|x ＝1＝4x |x ＝1＝4，∴切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 4．(文)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当y ′＝2时，x 等于( )A.π3B.23πC.π4D.π6[答案] C[解析] y ′＝(tan x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝2，∴cos 2x ＝12，∴cos x ＝±22， ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x ＝π4. (理)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝sin x 1＋cos x ，x ∈(0，π)，当y ′＝2时，x 等于( )A.π3B.2π3 C.π4 D.π6[答案] B[解析] y ′＝cos x ＋cos x －sin x －sin x＋cos x 2＝11＋cos x＝2，∴cos x ＝－12，∵x ∈(0，π)，∴x ＝2π3.5．(2011·山东淄博一中期末)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1 B.19 C.13 D.23[答案] B[解析] ∵y ′＝x 2＋1，∴k ＝2，切线方程y －43＝2(x －1)，即6x －3y －2＝0，令x ＝0得y ＝－23，令y ＝0得x ＝13，∴S ＝12×13×23＝19.6．(文)已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A[答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝fa ＋－fa a ＋－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .(理)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最大值为3， 即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3 (k ∈Z)．故A 正确．7．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2.8．(文)(2011·北京模拟)已知函数f (x )＝3x 3＋2x 2－1在区间(m,0)上总有f ′(x )≤0成立，则m 的取值范围为________．[答案] [－49，0)[解析] ∵f ′(x )＝9x 2＋4x ≤0在(m,0)上恒成立，且f ′(x )＝0的两根为x 1＝0，x 2＝－49，∴－49≤m <0. (理)设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3) 对任意x ∈R 都成立，所以a ＝0，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3， 曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x .9．(2011·济南模拟)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 点(1,1)在曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)上，点(1,1)为切点，y ′＝(n ＋1)x n ，故切线的斜率为k ＝n ＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得切点的横坐标为x n ＝n n ＋1，故a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg(x 1x 2…x 99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1100＝－2.10．(文)设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0. 若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析] ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P (0，d )，又曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，P 点坐标适合方程，从而d ＝－4； 又切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x ＝0＝12而y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12； 又函数在x ＝2处取得极值0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′|x ＝2＝0f ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋4b ＋12＝08a ＋4b ＋20＝0解得a ＝2，b ＝－9所以所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.(理)(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． [解析] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋bx.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝0f ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0a ＝12， 可得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝x ＋x －x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗所以函数y11.(文)(2011·聊城模拟)曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22[答案] D[解析] y ′|x ＝2＝e 2，∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝1， ∴所求面积S ＝e 22.(理)(2011·湖南文，7)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－ 12B.12 C ．－22D.22[答案] B[解析] ∵y ′＝cos xx ＋cos x －sin xx －sin xx ＋cos x 2＝1x ＋cos x 2，∴y ′|x ＝π4 ＝12. 12．(文)(2011·江西理，4)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝x 2－x －x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2－x －2>0，解得x >2，故选C.(理)(2011·广东省汕头市四校联考)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] D[解析] 令φ(x )＝f (x )－x 2－12，则φ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴φ(x )在R 上是减函数，φ(1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴φ(x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}，选D.13．(文)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 24a )在第三象限，故选C.(理)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A. 14．(文)(2011·山东省济南市调研)已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.[答案] 53[解析] 由题意知点M 在f (x )的图象上，也在直线2x －3y ＋1＝0上，∴2×1－3f (1)＋1＝0，∴f (1)＝1，又f ′(1)＝23，∴f (1)＋f ′(1)＝53.(理)(2011·朝阳区统考)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0)[解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0⇒a ＝－13x3(x >0)⇒a ∈(－∞，0)．15．(文)(2010·北京市延庆县模考)已知函数f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，(0<a <b )． (1)若函数f (x )在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，求f (x )在区间[0,3]上的最值； (3)设f (x )在x ＝s 与x ＝t 处取得极值，其中s <t ， 求证：0<s <a <t <b .[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，tan 3π4＝－1.由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝0f ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＋ab ＝03－a ＋b ＋ab ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1，因为a <b ，所以a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，f ′(x )＝3x 2－6x ＋2， 令f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0，解得x 1＝1－33，x 2＝1＋33. 在区间[0,3]上，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(3)证明：f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，依据题意知s ，t 为二次方程f ′(x )＝0的两根． ∵f ′(0)＝ab >0，f ′(a )＝a 2－ab ＝a (a －b )<0， f ′(b )＝b 2－ab ＝b (b －a )>0，∴f ′(x )＝0在区间(0，a )与(a ，b )内分别有一个根． ∵s <t ，∴0<s <a <t <b .(理)已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x ) (x >0)．[解析] (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)的公共点为(x 0，y 0)，∴x 0>0. ∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x，由题意f (x 0)＝g (x 0)，且f ′(x 0)＝g ′(x 0)．∴⎩⎨⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b x 0＋2a ＝3a2x，由x 0＋2a ＝3a 2x 0得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．则有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (a )＝52a 2－3a 2ln a (a >0)，则h ′(a )＝2a (1－3ln a )．由h ′(a )>0得，0<a <e 13， 由h ′(a )<0得，a >e 13.故h (a )在(0，e 13)为增函数，在(e 13，＋∞)上为减函数， ∴h (a )在a ＝e 13时取最大值h (e 13)＝32e 23.即b 的最大值为32e 23.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝x －ax ＋3ax (x >0)．故F (x )在(0，a )为减函数，在(a ，＋∞)为增函数，于是函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．1．(2011·安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，故选B. 2．(2011·茂名一模)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12[答案] A[解析] ∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2，由条件知，g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝4，故选A.3．(2010·新课标高考)曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[答案] A [解析] ∵y ′＝x x ＋－xx ＋x ＋2＝2x ＋2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2011·湖南湘西联考)下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13C.53 D ．－53[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∵a ≠0， ∴其图象为最右侧的一个． 由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1. 由导函数f ′(x )的图象可知，a <0， 故a ＝－1，f (－1)＝－13－1＋1＝－13.5．(2011·广东省佛山市测试)设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) [答案] C[解析] 因为f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′，所以[f (x )g (x )]′<0，所以函数y ＝f (x )g (x )在11 给定区间上是减函数，故选C.6．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.7．(2010·东北师大附中模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α [答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1，∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β.[点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥1矛盾． 8．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.。
高考数学一轮复习第三章高考大题专项(一)导数的综合应用课件新人教B版
=
((+1)ln)'
+
(-1)'
x→1
1
= lim+
→1
1++ln
1
=2,于是 a≤2,于是 a 的
(方法 2 最值法)
由 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1),得 f'(x)=ln
1
x++1-a.
①当 1-a≥0,即 a≤1 时,f'(x)>0,所以 f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以 f(x)>f(1)=0.
1.与ex,ln x有关的常用不等式的结论
(1)由f(x)=ex图像上任一点(m,f(m))的切线方程为y-em=em(x-m),得ex≥em(x+1)-mem,
当且仅当x=m时,等号成立.当m=0时,有ex≥1+x;当m=1时,有ex≥ex.
(2)由过函数f(x)=ln x图像上任一点(n,f(n))的切线方程为y-ln
0
0
当 m<2 时,f(x0)>0;当 m=2 时,等号成立的条件是 x0=-1,
但显然 f(-1)=e
2
2<0,所以 φ(m)<0 在(4,+∞)上恒成立,即
2
1- -ln
h'(m)<0.所以 h(m)在(4,+∞)上为减函数.所以 h(m)<h(4)=ln 2.
所以 a≥ln 2,即 a 的取值范围是[ln 2,+∞).
m<0.所以
m
解题心得对于含有两个变量的不等式恒成立求参数取值范围的问题,一般
+
1
(全国通用)高考数学一轮复习单元滚动检测三导数及其应用理新人教B版
（全国通用）高考数学一轮复习单元滚动检测三导数及其应用理新人教B 版考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·北京朝阳区模拟)曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π22．(2016·福建三明一中月考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋1n x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e3．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(0，12)和(1，＋∞)B ．(0,1)和(2，＋∞)C ．(0，12)和(2，＋∞)D ．(1,2)4．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式(x ＋1)f (x ＋1)＞f (x 2－1)·f (x 2－1)的解集是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,2)D ．(2，＋∞)5．函数y ＝x －2sin x ，x ∈[－π2，π2]的大致图象是( )6．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是( )A ．①② B．②③ C．③④⑤ D．③7．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜128．(2016·山师大附属中学高三上学期模拟)设函数f (x )＝e x－e －x－2x ，下列结论正确的是( )A ．f (2x )min ＝f (0)B ．f (2x )max ＝f (0)C ．f (2x )在(－∞，＋∞)上单调递减，无极值D ．f (2x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值9．(2016·长沙一模)若函数f (x )＝x ＋b x(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( ) A ．(－2,0) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)10．(2016·许昌模拟)已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f xx＞0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＞b 时，有( )A ．af (a )＜bf (b )B ．af (a )＞bf (b )C ．af (b )＞bf (a )D ．af (b )＜bf (a )11．ʃπ40cos 2x cos x ＋sin x d x 等于( )A ．2(2－1) B.2＋1 C.2－1D ．2－ 212．(2016·兰州高三实战考试)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意的实数x 都有f (x )≥0，则f 1f ′0的取值范围是( )A ．[32，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[52，＋∞)D ．[3，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围为________．14(2016·新余二模)函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在[π6，π]上的最大值为________．15．已知函数f (x )＝1n x －a ，若f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．16．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． (1)若a ＞0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值．18.(12分)已知函数f (x )＝ln x －a x.19.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x (a ∈R )．(1)若f (x )在(2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若f (x )在(0，e)内有极小值12，求a 的值.20.(12分)设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d (x ∈R ),已知F (x )＝f (x )－f ′(x )是奇函数,且F (1)＝－11.(1)求b ，c ，d 的值； (2)求F (x )的单调区间与极值.21.(12分)(2016·广西质检)设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)； (2)若f (x )＝0恰有两解，求实数c 的取值范围．22.(12分)已知f (x )＝a ln x ＋12x 2－x (a ∈R )．(1)若x ＝2是函数f (x )的一个极值点，求f (x )的最小值； (2)对任意x ∈(e，＋∞)，f (x )－ax ＞0恒成立，求a 的取值范围.答案精析1．B [∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1， 又∵直线倾斜角的取值范围是[0，π)． ∴f (x )在(1，f (1))处的切线的倾斜角为π4.]2．B [因为f (x )＝2xf ′(1)＋1n x ， 所以f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1， 解得f ′(1)＝－1.故选B.]3．C [函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x＝x －22x －1x＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f (x )的单调递增区间是(0，12)，(2，＋∞)．]4．D [因为f (x )＋xf ′(x )＜0，所以[xf (x )]′＜0，故xf (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，又(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)·f (x 2－1)，所以x ＋1＜x 2－1，解得x ＞2.] 5．D [因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A ，B. 函数的导数为f ′(x )＝1－2cos x ， 由f ′(x )＝1－2cos x ＝0，得cos x ＝12，又x ∈[－π2，π2]，所以x ＝±π3.当0＜x ＜π3或－π3＜x ＜0时，f ′(x )＜0，函数单调递减，当π3＜x ＜π2或－π2＜x ＜－π3时，f ′(x )＞0，函数单调递增， 所以当x ＝π3时，函数取得极小值，当x ＝－π3时，函数取得极大值．故选D.]6．D [当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，①错； 当x ∈(－12，2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，②错； 当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值，④错； 当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.]7．B [∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得a ＝x 2.又∵x ∈(0,1)，∴0＜a ＜1.故选B.] 8．D [∵f (2x )＝e 2x－e －2x－4x ，∴f ′(2x )＝2e 2x＋2e－2x －4≥4e 2x·e －2x－4＝0，f (2x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值．]9．D [由题意知f ′(x )＝1－b x2，∵函数f (x )＝x ＋b x(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点， ∴当1－b x2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)， ∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)， ∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.] 10．B [f ′(x )＋f x x ＞0⇒xf ′x ＋f x x ＞0⇒[xf x ]′x＞0， 即[xf (x )]′x ＞0. ∵x ＞0，∴[xf (x )]′＞0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a ＞b ，得af (a )＞bf (b )，故选B.]11．C [ʃπ40cos 2x cos x ＋sin x d x ＝ʃπ40cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x＝ʃπ40(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|π40＝2－1.] 12．B [由题意得，f ′(x )＝2ax ＋b ， ∵f ′(0)>0，∴b >0，又∵∀x ∈R ，都有f (x )≥0，∴a >0，∴Δ＝b 2－4ac ≤0⇔ac ≥b 24⇒ac b 2≥14⇒a b ·c b ≥14，∴c >0.∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ＝1＋a b ＋cb≥1＋2a b ·cb≥1＋214＝2， 当且仅当a b ＝c b ＝12⇒a ＝c ＝12b >0时，等号成立，∴f 1f ′0的取值范围是[2，＋∞)，故选B.]13．(－∞，2)解析 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，又f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，即a ＝2－1x在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，所以2－1x＜2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2)．14π2解析 因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 所以f ′(x )＝0在[π6，π]上的解为x ＝π2.又f (π6)＝π12＋32，f (π2)＝π2，f (π)＝－1，所以函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在[π6，π]上的最大值为π2.15．[－1，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝ln x －a ，且f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∴函数f (x )＝ln x －a ＜x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ＞ln x －x 2，令h (x )＝ln x －x 2，有h ′(x )＝1x－2x ，∵x ＞1， ∴1x－2x ＜0，∴h (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜h (1)＝－1， ∴a ≥－1. 16．[54，＋∞)解析 因为f ′(x )＝1x －34×1x 2－14＝－x 2＋4x －34x 2＝－x －1x －34x 2，易知，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下，所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得，即g (x )min ＝min {}g 1，g 2.要使对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ，即12≥g (1)且12≥g (2)，所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54. 17．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2， ∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. (2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)． ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)·(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.18．解 (1)由题意知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2，a ＞0，显然f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax 2. ①若a ≥－1，则当x ∈(1，e)时，x ＋a ＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则当x ∈(1，e)时，x ＋a ＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )在[1，e]上为减函数，所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e ＜a ＜－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a ＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )在(－a ，e)上为增函数． 所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e. 综上所述，a ＝－ e.19．解 (1)∵f (x )在(2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝x 2－a ＋1x ＋a x≥0在(2，＋∞)上恒成立，即x 2－(a ＋1)x ＋a ≥0在(2，＋∞)上恒成立，即(1－x )a ＋x 2－x ≥0在(2，＋∞)上恒成立， 即(1－x )a ≥x －x 2在(2，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 在(2，＋∞)上恒成立． ∴实数a 的取值范围是(－∞，2]． (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－a ＋1x ＋a x ＝x －a x －1x.①当a ＞1时，令f ′(x )＞0，结合f (x )定义域解得0＜x ＜1或x ＞a ， ∴f (x )在(0,1)和(a ，＋∞)上单调递增，在(1，a )上单调递减， 此时f (x )极小值＝f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a ，若f (x )在(0，e)内有极小值12，则1＜a ＜e ，但此时－12a 2－a ＋a ln a ＜0与f (x )＝12矛盾．②当a ＝1时，此时f ′(x )恒大于等于0，不可能有极小值．③当a ＜1时，不论a 是否大于0，f (x )的极小值只能是f (1)＝－12－a ，令 －12－a ＝12，即a ＝－1，满足a ＜1.综上所述，a ＝－1.20．解 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ， 所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .从而F (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d －(3x 2＋2bx ＋c ) ＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x ＋(d －c )，由F (x )是一个奇函数，所以F (0)＝0，F (－x )＝－F (x )， 得d －c ＝0，b －3＝0，故b ＝3，d ＝c .又由F (1)＝－11可得1＋(b －3)＋(c －2b )＋(d －c )＝－11， 即b －d ＝9，所以d ＝c ＝－6.(2)由(1)知F (x )＝x 3－12x ，从而F ′(x )＝3x 2－12， 令3x 2－12＝0，得x ＝±2，由F ′(x )＝3x 2－12＞0，得x ＞2或x ＜－2， 由F ′(x )＝3x 2－12＜0，得－2＜x ＜2.故(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数F (x )的单调递增区间，(－2,2)是函数F (x )的单调递减区间．F (x )在x ＝－2时取得极大值，极大值为16，F (x )在x ＝2时取得极小值，极小值为－16. 21．解 f ′(x )＝c x ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋cx.因为f ′(1)＝0，所以b ＋c ＋1＝0，f ′(x )＝x －1x －cx且c ≠1.(1)因为x ＝1为f (x )的极大值点，所以c ＞1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当1＜x ＜c 时，f ′(x )＜0； 当x ＞c 时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )． (2)①若c ＜0，则f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 若f (x )＝0恰有两解，则f (1)＜0，即12＋b ＜0.所以－12＜c ＜0.②若0＜c ＜1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ，f (x )极小值＝f (1)＝12＋b .因为b ＝－1－c ，所以f (x )极大值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0.f (x )极小值＝－12－c ＜0，从而f (x )＝0只有一解．③若c ＞1，则f (x )极小值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0.f (x )极大值＝－12－c ＜0，则f (x )＝0只有一解．综上，使f (x )＝0恰有两解的c 的取值范围为(－12，0)．22．解 (1)f ′(x )＝a x＋x －1. 由f ′(2)＝0，得a ＝－2，此时f ′(x )＝－2x ＋x －1＝x 2－x －2x，可知，f (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (2)＝－2ln 2.(2)由f (x )－ax ＝a ln x ＋12x 2－x －ax ＞0在(e ，＋∞)内恒成立，11 又因为x ∈(e，＋∞)，所以x －ln x ＞0，因而a ＜12x 2－x x －ln x .设g (x )＝12x 2－xx －ln x ，x ∈(e，＋∞)．因为g ′(x )＝x －1x －ln x －1－1x 12x 2－xx －ln x 2＝x －112x ＋1－ln xx －ln x 2，当x ∈(e，＋∞)时，x －1＞0，令r (x )＝12x ＋1－ln x ，则r ′(x )＝12－1x (x ＞e)，所以r ′(x )＞0，所以r (x )在(e ，＋∞)上单调递增， 所以对任意x ∈(e，＋∞)，r (x )＞r (e)＝e2＞0.所以g ′(x )＞0，所以g (x )在(e ，＋∞)上为增函数，所以a ≤g (e)＝e 2－2e2e －1.。
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
高考数学一轮复习第3章一元函数的导数及其应用1导数的概念意义及运算课件新人教版
导函数
f'(x)=0
f'(x)=αxα-1
f'(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f'(x)=axln a
f'(x)=ex
1
f'(x)=
ln
1
f'(x)=
4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ;
(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
3.通过函数的图象直观理解导数的几何意义.
1
,y=
x
4.能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3, y=
x 的导数.
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单
函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
6.会使用导数公式表.
备考指导
导数是高中数学的重点,而求给定函数的导数则是解决导数问题的基本.复
由 f'(x)= 2 ,得 f'(2)=
.
4
.
4.函数y=sin 3x的导函数是 y'=3cos 3x .
设y=sin u,u=3x,则yx'=yu'·
ux'=(sin u)'·
(3x)'=cos u·
3=3cos 3x.
5.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为
y=3x
.
由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,得k=y'|x=0=3.
数学一轮复习单元质检卷三导数及其应用理
单元质检卷三导数及其应用（时间：100分钟满分：140分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
（2020福建福州模拟,理7)已知函数f(x）为偶函数，当x<0时，f（x）=x2-ln(-x），则曲线y=f(x）在x=1处的切线方程为(）A。
x—y=0 B.x-y-2=0C。
x+y-2=0 D。
3x—y-2=02.设函数f(x）在R上可导，其导函数为f’（x)，若函数f（x)在x=1处取得极大值，则函数y=—xf'(x)的图像可能是()3。
已知函数f（x）=x+1，g（x）=ln x,若f（x1）=g（x2），则x2—x1的最小值为()A.1 B。
2+ln 2C。
2-ln 2 D.24.（2020广东惠州调研)设x∈R,函数y=f（x）的导数存在，若f（x)+f’（x)>0恒成立，且a>0，则下列结论正确的是(）A.f（a）〈f(0) B。
f（a）>f（0）C.e a·f（a）〈f(0）D。
e a·f（a）〉f(0)5。
已知定义在(0,+∞）上的函数f（x)满足xf'（x)—f（x）〈0,且f（2）=2，则f(e x)-e x〉0的解集是(）A。
(—∞，ln 2）B。
（ln 2,+∞)C。
（0,e2）D。
（e2，+∞）6.（2020北京房山区二模,5）函数f(x)=e x-x2的零点个数为(）A。
0 B.1 C。
2 D.37.(2020山东青岛5月模拟,8）已知函数f（x）=lnx，若f(x）x2<m-1在（0，+∞)上恒成立，e为自然对数的底数，则实数m x2的取值范围是（）A。
m>e B.m>e2C.m>1 D。
m〉√e8。
下列关于函数f（x）=x3—3x2+2x的叙述不正确的为() A。
函数f（x）有三个零点B.点（1,0）是函数f（x）图像的对称中心C。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案
第三章导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sinx .2．(选修2－2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3t2，所以s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：134[易错纠偏](1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 2导数的计算求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ；(4)y ＝ln(2x －5)．【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5.[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018， 所以2 018＋ln x 0＝2 018， 所以x 0＝1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x .(3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值． 角度一 求切线方程(1)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1， 所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)． 又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l 的方程为y ＝x －1. 【答案】 (1)y ＝x ＋1 (2)y ＝x －1 角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝e－x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x， 所以y ′＝－e －x，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2， 所以y 0＝eln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2020·宁波调研)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2(2)(2020·绍兴调研)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．【解析】 (1)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.【答案】 (1)C (2)2e －12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2020·杭州七校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D.因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.2．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.答案：23．(2020·台州高三月考)已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017的值为________．解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以x 1·x 2·…·x 2 017＝12×23×34×…×2 0162 017×2 0172 018＝12 018.则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 01812 018＝－1.答案：－1两条曲线的公切线若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.【答案】 1－ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.1．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为( ) A ．三条 B ．二条 C ．一条D ．0条解析：选A.设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x－4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g （n ）－f （m ）n －m ，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数f (x )＝8x 3－8x 2＋1，f ′(x )＝8x (3x －2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增，极大值f (0)＞0，极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜0，故函数和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.2．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝0[基础题组练]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1D ．1解析：选B.因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2020·衢州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.3．(2020·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A.12 B ．1C.32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.4．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.5.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.7．已知f (x )＝ln x x 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2， g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2. 答案：29．(2020·金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)10．如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________． 解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.由题图可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝12.由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316. 答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[综合题组练]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2020·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B.12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D.2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝cos (πx )＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝－πsin (πx )＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝05．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
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单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒2.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于()A.2B.-2C.D.-3.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m>0B.m<0C.m>1D.m<14.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-]∪[,+∞)B.[-]C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-)5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.36.若f(x)=a e-x-e x为奇函数,则f(x-1)<e-的解集为()A.(-∞,0)B.(-∞,2)C.(2,+∞)D.(0,+∞)7.已知a≤+ln x对任意x∈恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.38.已知函数f(x)=ln x+tan α的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为()A. B.C. D.9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)10.(2017辽宁抚顺重点校一模)已知函数f(x)=--x2的最大值为f(a),则a等于()A. B.C. D.11.若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.12.若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2e x)(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.(-∞,0)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017吉林长春三模)函数f(x)=e x·sin x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是.14.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-∞,+∞)内是减函数,则实数a的取值范围是.15.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:①f(0)f(1)<0;②f(0)f(1)>0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0;⑤f(1)f(3)>0;⑥f(1)f(3)<0.其中正确的结论是.(填序号)16.已知过点A(1,m)恰能作曲线f(x)=x3-3x的两条切线,则m的值是.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)(2017宁夏银川一中二模)已知函数f(x)=a(x2+1)+ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]时,恒有ma-f(x)>a2成立,求实数m的取值范围.18.(12分)已知f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求f(x)的单调区间;(2)过点(0,a)可作y=f(x)的三条切线,求a的取值范围.19.(12分)(2017福建南平一模)已知函数f(x)=+ln x(a,b∈R).(1)试讨论函数f(x)的单调区间与极值;(2)若b>0,且ln b=a-1,设g(b)=-m(m∈R),且函数g(x)有两个零点,求实数m的取值范围.20.(12分)已知函数f(x)=ln x-x.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)函数g(x)=f(x)+x+-m有两个零点x1,x2,且x1<x2.求证:x1+x2>1.21.(12分)(2017天津,文19)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=e x f(x).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,①求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;②若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=ln x-ax+a-2,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=xf(x)+2,求证:当a<ln 时,g(x)>2a.参考答案单元质检三导数及其应用1.C解析根据瞬时速度的意义,可得3s末的瞬时速度是v=s'|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.B解析因为y=的导数为y'=,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-,又直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a·=-1,解得a=-2.3.B解析求导得y'=e x+m,由于e x>0,若y=e x+mx有极值则必须使y'的值有正有负,故m<0.4.B解析由题意,知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-≤a≤.5.A解析由f'(x)=2x+1-=0,得x=或x=-1(舍去).当0<x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增.则f(x)的最小值为f+ln2>0,所以无零点.6.D解析∵f(x)在R上为奇函数,∴f(0)=0,即a-1=0.∴a=1.∴f(x)=e-x-e x,∴f'(x)=-e-x-e x<0.∴f(x)在R上单调递减.∴由f(x-1)<e-=f(-1),得x-1>-1,即x>0.∴f(x-1)<e-的解集为(0,+∞).7.A解析令f(x)=+ln x,则f'(x)=.当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.∴f(x)在上单调递减,在(1,2]内单调递增,∴在x∈上,f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0.8.A解析∵f(x)=ln x+tanα,∴f'(x)=.令f(x)=f'(x),得ln x+tanα=,即tanα=-ln x.设g(x)=-ln x,显然g(x)在(0,+∞)内单调递减,而当x→0时,g(x)→+∞,故要使满足f'(x)=f(x)的根x0<1,只需tanα>g(1)=1,又0<α<,∴α∈.9.D解析∵当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0,即[f(x)g(x)]'>0,∴当x<0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数,且g(3)=0,∴g(-3)=0,∴f(-3)g(-3)=0.故当x<-3时,f(x)g(x)<0;因为f(x)g(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0,故当0<x<3时,f(x)g(x)<0.故选D.10.B解析∵f'(x)=--2x,∴f'(1)=-f'(1)-2,解得f'(1)=-,∴f(x)=-x2,f'(x)=,令f'(x)>0,解得x<,令f'(x)<0,解得x>,故f(x)在递增,在递减,故f(x)的最大值是f,a=.11.C解析若f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.由x2-ax+1=0,得a=x+.因为x∈,y=x+的值域是,当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是,故选C.12.A解析由题意知,a=.设=t(t>0,且t≠1),则a==(2e-t)ln t.令f(t)=(2e-t)ln t,f(t)≠0,则f'(t)=-(1+ln t),令=(1+ln t),得t=e,由数形结合可知,当t>e时,f'(t)<0,当0<t<e时,f'(t)>0.所以f(t)≤e,且f(t)≠0,所以0<≤e或<0,解得a<0或a≥. 13.y=x 解析∵f(x)=e x·sin x,f'(x)=e x(sin x+cos x),f'(0)=1,f(0)=0,∴函数f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程为y-0=1×(x-0),即y=x.14.(-∞,-3]解析由题意可知f'(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立,则解得a≤-3.15.①③⑥解析∵f(x)=x3-6x2+9x-abc,∴f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).∴当1<x<3时,f'(x)<0;当x<1或x>3时,f'(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞),单调递减区间为(1,3).∴f(x)极大值=f(1)=1-6+9-abc=4-abc,f(x)极小值=f(3)=27-54+27-abc=-abc.∵f(x)=0有三个解a,b,c,∴a<1<b<3<c,∴f(1)=4-abc>0,且f(3)=-abc<0.∴0<abc<4.∵f(0)=-abc,∴f(0)<0,∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0,f(1)f(3)<0.16.-3或-2解析设切点为(a,a3-3a).∵f(x)=x3-3x,∴f'(x)=3x2-3,∴切线的斜率k=3a2-3,由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a).∵切线过点A(1,m),∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=-3-m.∵过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的两条切线,∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根.令g(x)=2x3-3x2,∴g'(x)=6x2-6x.令g'(x)=0,解得x=0或x=1,当x<0时,g'(x)>0,当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,∴当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1.关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有两个不同的交点,∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,∴实数m的值是-3或-2.17.解(1)f'(x)=2ax+(x>0),①当a≥0时,恒有f'(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数.②当a<0时,0<x<,f'(x)>0,则f(x)在上是增函数;当x>时,f'(x)<0,则f(x)在上是减函数.综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,f(x)在上是增函数,在上是减函数.(2)由题意,ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max,因为a∈(-4,-2),所以<1.由(1)知:当a∈(-4,-2)时,f(x)在[1,3]上是减函数,所以f(x)max=f(1)=2a,所以ma-a2>2a,即m<a+2.因为a∈(-4,-2),所以-2<a+2<0,所以实数m的取值范围为(-∞,-2].18.解(1)f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),故f(x)在,(1,+∞)内单调递增,在内单调递减.(2)设切点为(x0,f(x0)),则切线的方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),即y-(-2x0+5)=(3-x0-2)(x-x0).又点(0,a)在切线上,故a-=(3-x0-2)(0-x0),即a=-2+5.令g(x)=-2x3+x2+5,由已知得y=a的图象与g(x)=-2x3+x2+5的图象有三个交点,g'(x)=-6x2+x,令g'(x)=0,得x1=0,x2=,g(x1)=5,g(x2)=5,故a的取值范围为.19.解(1)f(x)=+ln x,求导得f'(x)=-(x>0).①当b≤0时,f'(x)>0恒成立,函数f(x)单调递增,所以f(x)的递增区间为(0,+∞),无极值;②当b>0时,x∈(0,b),f'(x)<0,函数f(x)单调递减,x∈(b,+∞),f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数的单调减区间为(0,b),函数的单调增区间为(b,+∞),f(x)有极小值f(b)=1-a+ln b,无极大值.(2)(方法一)由b>0,且ln b=a-1,代入g(b)=-m,可得g(b)=-m(b>0),所以g(x)=-m,x>0,g'(x)=,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,e)递增,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(e,+∞)递减,g(x)有极大值g(e)=-m,当x→0(x>0)时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→-m,故函数g(x)有两个零点,需解得0<m<,所以实数m的取值范围为.(方法二)由b>0,且ln b=a-1,代入g(b)=-m,可得g(b)=-m(b>0),所以g(x)=-m,x>0,由g(x)=0,可得ln x=mx,即ln x-mx=0,函数g(x)有两个零点,即方程ln x-mx=0在(0,+∞)有两个解.设h(x)=ln x-mx,x>0,h'(x)=-m.①当m≤0时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)单调递增,不合题意,舍去.②当m>0时,由h'(x)>0,得x<,由h'(x)<0,得x>,所以h(x)在单调递增,在单调递减,方程ln x-mx=0在(0,+∞)有两个解,只需h>0,即ln-1>0,解得0<m<,所以实数m的取值范围为.20.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1=.令f'(x)>0,解得0<x<1;令f'(x)<0,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)证明根据题意得g(x)=ln x+-m(x>0).因为x1,x2是函数g(x)=ln x+-m的两个零点,所以ln x1+-m=0,ln x2+-m=0.两式相减,可得ln,即ln,故x1x2=,因此x1=,x2=.令t=,其中0<t<1,则x1+x2=.构造函数h(t)=t--2ln t(0<t<1),则h'(t)=.因为0<t<1,所以h'(t)>0恒成立,故h(t)<h(1),即t--2ln t<0,可知>1,故x1+x2>1.21.(1)解由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f'(x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a).(2)①证明因为g'(x)=e x(f(x)+f'(x)),由题意知所以解得所以,f(x)在x=x0处的导数等于0.②解因为g(x)≤e x,x∈[x0-1,x0+1],由e x>0,可得f(x)≤1.又因为f(x0)=1,f'(x0)=0,故x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4-a,由(1)知f(x)在(a-1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减, 故当x0=a时,f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立,从而g(x)≤e x在[x0-1,x0+1]上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.令t(x)=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],所以t'(x)=6x2-12x,令t'(x)=0,解得x=2(舍去)或x=0.因为t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,因此,t(x)的值域为[-7,1].所以,b的取值范围是[-7,1].22.(1)解f'(x)=(x>0).若a≤0时,f'(x)>0,则函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);若a>0,当0<x<时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;综上,若a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),若a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)证明g(x)=xf(x)+2=x ln x-ax2+(a-2)x+2(x>0),则g'(x)=-ax+ln x+a-1(x>0).因为ln<0,所以当a<ln时,g'(x)=-ax+ln x+a-1在(0,+∞)内单调递增.又g'(1)=-1<0,g'(2)=-a+ln2-1>-ln+ln2-1=0,且g'(x)的图象是连续的,故g'(x)在(1,2)内存在唯一的零点x0,即g'(x0)=0.则当0<x<x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x≥x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;故而g(x)≥g(x0)=x0ln x0-+(a-2)x0+2.又g'(x0)=-ax0+ln x0+a-1=0,且1<x0<2,∴g(x)≥g(x0)=-x0+2>2a.。