初中数学竞赛全辅导第三十讲 从创新构造入手
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初中数学竞赛中的思维方法数学竞赛作为一项考验学生数学思维和解题能力的活动，需要学生掌握多种思维方法。
在初中数学竞赛中，以下几种思维方法尤为重要：一、归纳思维归纳思维是指从一系列具体事实中概括出一般原理的思维方式。
在数学竞赛中，归纳思维常常用于探究数学规律和性质。
例如，通过观察一组数列，归纳出数列的通项公式；或者通过比较几个图形的性质，归纳出一般图形的性质。
二、演绎思维演绎思维是指从一般原理推导出特殊情况的思维方式。
在数学竞赛中，演绎思维常常用于证明题和推理题。
例如，利用已知定理和性质推导出一个新的定理或性质；或者通过逻辑推理，证明一个数学命题的正确性。
三、类比思维类比思维是指根据两个或多个事物的某些属性相似，推出其他属性也可能相似的思维方式。
在数学竞赛中，类比思维常常用于解决几何、代数和概率问题。
例如，通过比较相似三角形的性质，推出另一个相似三角形的性质；或者通过比较两个函数的图像，推断出它们的其他性质。
四、联想思维联想思维是指根据事物的特征或属性，联想到其他相关事物的思维方式。
在数学竞赛中，联想思维常常用于寻找解题思路。
例如，通过观察一个图形的形状，联想到与该图形相关的定理或公式；或者通过分析一个函数的性质，联想到与该函数相关的数学概念和方法。
五、逆向思维逆向思维是指从问题的反面或另一个角度来思考问题的思维方式。
在数学竞赛中，逆向思维常常用于解决一些常规方法难以解决的问题。
例如，通过反证法证明一个命题的错误；或者通过尝试反例来推翻一个错误的命题。
六、创新思维创新思维是指突破传统思维方式，提出新观念、新方法的思维方式。
在数学竞赛中，创新思维常常用于解决一些非常规问题。
例如，通过构造一个新函数或新模型来解决一个复杂的问题；或者通过观察和猜想，发现一个全新的数学规律或性质。
七、逻辑思维逻辑思维是指按照逻辑规则进行推理和论证的思维方式。
在数学竞赛中，逻辑思维是必不可少的思维方式。
通过逻辑推理，我们可以证明一个命题的正确性或推导出新的结论。
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板一、教学目标：1. 让学生掌握数学竞赛中常见的构造方法，提高解决问题的能力。
2. 培养学生创新思维，锻炼逻辑推理和空间想象能力。
3. 通过实例分析，让学生了解构造法在解决数学竞赛题目中的应用。
二、教学内容：1. 构造法的定义和意义2. 构造法的基本原理3. 常见构造方法介绍4. 构造法在数学竞赛中的应用实例5. 构造法解题步骤和技巧三、教学重点与难点：1. 重点：构造法的定义、意义、基本原理和常见构造方法。
2. 难点：构造法在解决实际问题中的应用和灵活运用。
四、教学过程：1. 引入：通过一个简单的数学问题，引发学生对构造法的兴趣。
2. 讲解：介绍构造法的定义、意义、基本原理和常见构造方法。
3. 示范：分析一个数学竞赛题目，展示构造法的应用过程。
4. 练习：让学生尝试解决几个构造法相关的数学问题。
五、课后作业：1. 理解并掌握构造法的定义、意义、基本原理和常见构造方法。
2. 分析课后练习题，运用构造法解决问题。
教学目标：1. 让学生掌握几何构造法的基本概念和技巧。
2. 培养学生运用几何构造法解决几何问题的能力。
3. 通过实例分析，让学生了解几何构造法在数学竞赛中的应用。
教学内容：1. 几何构造法的定义和意义2. 几何构造法的基本原理3. 常见几何构造方法介绍4. 几何构造法在数学竞赛中的应用实例5. 几何构造法解题步骤和技巧教学重点与难点：1. 重点：几何构造法的定义、意义、基本原理和常见几何构造方法。
2. 难点：几何构造法在解决实际问题中的应用和灵活运用。
教学过程：1. 引入：通过一个简单的几何问题，引发学生对几何构造法的兴趣。
2. 讲解：介绍几何构造法的定义、意义、基本原理和常见几何构造方法。
3. 示范：分析一个几何竞赛题目，展示几何构造法的应用过程。
4. 练习：让学生尝试解决几个几何构造法相关的数学问题。
课后作业：1. 理解并掌握几何构造法的定义、意义、基本原理和常见几何构造方法。
最全最新初中数学竞赛专题讲解构造法
初中数学竞赛专题讲解构造法1、构造法的概念：在解答某些数学题时，通过对条件于结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，式子、方程、函数、不等式、某些特殊类型等，以次进行构造，往往能使问题转化，使问题中原来隐晦部清的关系和性质展现出来，从而简捷地解决问题，这种解题方法称为构造法。
2、常用构造的方法：①构造式子（恒等式，不等式）；②构造方差；③构造方程；④构造几何图形；⑤构造函数。
一、基础过关1.已知13,1322=-=-b b a a ，求22b a a b +的值；2.代数式的最小值为 ．3.已知方程0132=-+x x 的两实数根为α、β，不解方程求ββα34322++的值。
4.若关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是5.已知实数、、满足，求证：．6.求所有的实数，使得 ．7.设0，求证．9)12(422+-++x x x 012)1(22=-+-mx x m m a b c 0))((<+++c b a c a )(4)(2c b a a c b ++>-x xx x x 111-+-=10<<z y x ，，1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x8.已知关于的方程有四个不同的实根，求的取值范围．二、例题讲解构造恒等式或不等式例1：设、、、都为实数，，满足()()()()111221221a b a b a b a b ++=++=，求证：．练习1：已知, 1=abc ,2=++c b a ,3222=++c b a ,则代数式111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为（ ）A 、1B 、21-C 、2D 、32-练习2：已知a 、b 、c 均为正实数，满足3=++=++=++c a ac c b bc b a ab ，则()()()111+++c b a 的值为（ ）A 、10B 、9C 、8D 、7练习3：已知x 、y 、z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，求z 的最大值和最小值分别是（ ） A 、1，-1 B 、1,313- C 、1,313 D 、313,1-构造几何图形x k x x =+-1322k 1a 2a 1b 2b 21a a ≠1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a例2：求代数式的最小值．练习1：已知a 、b 是正数，且2=+b a ，求4122+++=b a y 的最小值。
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板一、教学目标：1. 让学生理解创新构造在数学竞赛中的重要性。
2. 培养学生运用创新思维解决数学问题的能力。
3. 通过实例分析，让学生掌握几种常见的创新构造方法。
二、教学内容：1. 创新构造的定义与意义。
2. 常见的创新构造方法：换元法、构造法、赋值法、不等式法等。
3. 创新构造在数学竞赛中的应用实例。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：创新构造方法的讲解与运用。
2. 教学难点：如何引导学生运用创新思维解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入：通过一个有趣的数学故事，引发学生对创新构造的兴趣。
2. 新课导入：讲解创新构造的定义与意义，引导学生认识到其在数学竞赛中的重要性。
3. 实例分析：分析几个数学竞赛题目，讲解如何运用创新构造方法解决问题。
4. 方法讲解：详细讲解换元法、构造法、赋值法、不等式法等创新构造方法。
5. 练习巩固：让学生独立解决一些数学竞赛题目，运用所学的创新构造方法。
6. 总结提升：引导学生总结创新构造的优点与注意事项。
五、课后作业：1. 复习本节课所学的创新构造方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 搜集一些数学竞赛题目，尝试运用创新构造方法解决。
六、教学策略：1. 案例教学：通过分析具体的数学竞赛题目，让学生了解创新构造的方法和技巧。
2. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己在解决问题时的创新构造思路。
3. 练习巩固：提供丰富的练习题，让学生在实践中运用和创新构造方法。
4. 激励评价：对学生在解决问题时的创新构造给予积极的评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
七、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂讨论和练习中的积极性，评价其对创新构造方法的掌握程度。
2. 练习成果：评估学生在课后作业和练习题中的表现，检验其对创新构造方法的运用能力。
3. 竞赛成绩：关注学生在数学竞赛中的表现，从中了解创新构造方法对其竞赛成绩的促进作用。
(完整版)初中数学培优竞赛讲座第30讲__创新命题
第三十讲 创新命题计算机技术与网络技术的迅猛发展，深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式．IT 技术、Cyber 空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷．与时俱进，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法．近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型：1．定义一种新运算； 2．定义一类新数；3．给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题； 4．注重跨学科命题．解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用．例题【例1】 一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 自然数可分为奇数与偶数，从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手． 注： 定义新数，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义，通过推理解决问题．【例2】 在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A 、B 、C 、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为B A ⋅，在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中，表示“D A ⋅”和“C A ⋅”的是( ) ．A ．(a)，(b)B ．(b)，(c)C ． (c)，(d)D ．(b)，(d) (江苏省竞赛题)思路点拨 从甲组图形中，两两比较A 、B 、C 、D 分别代表的哪种线段，哪种圆．【例3】 有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 用字母表示数，通过对一般性的考查，探求新增数之和的规律，以此作为解题的突破口． 【例4】 设[x]表示不超过x 的最大整数(如[3.7]＝3，[－3.7]＝－4)解下列了程： (1)[－l. 77x]＝[－1.77]x ；(x 为非零自然数) (四川省选拔赛试题) (2)[3x+1]=2x －21(全国初中数学联赛题) 思路点拨 解与[x]相关的问题，关键是去掉符号“[ ]”，需灵活运用[x]的性质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来．注：解决实际问题及计算机的运算时，常常需要对一些数据进行取整运算，即用不超过它的最大整数取而代之．[x]有以下基本性质：(1)x=[x]+r ，0≤r<l ； (2) [x]≤x ＜[x]+1； (3)x －1＜[x]≤x ； (4)[n+x]＝n+[x]； (5)[x+y]≥[x]+[y]其中当n 为整数，当且仅当x 为整数时等号成立．【例5】 如图，沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不等式(a 一d)(b 一c)>0，那么就可以交换b ，c 的位置，这称为一次操作．(1)若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d 都有(a 一d)(b 一c)≤0?请说明理由．(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d 都有(a 一d)(b 一c)≤0 ?请说明理由．(全国初中数学竞赛题)思路点拨 (1)从1～6中选取满足(a 一d)(b 一c)>0的四个数，按题设条件操作， 直至符合结论的要求；(2)略．注：解按规则要求操作类的问题或写出具体操作步骤，或指出按规则要求不能实现的理由．解题的关键是善于在变化中把握不变量，利用不变量解题，此外，还要能灵活运用整数的整除性、奇偶性、通过赋值数学化等知识与方法．【例6】 假设a#a+b 表示经过计算后a 的值变为a 的原值和b 的原值的和，又b#b.c 表示经过计算后b 的值变为b 的原值和c 的原值和乘飘假设计算开始时a=0，b=1，c=1，对a 、b 、c 同时进行以下计算：(1) a#a+b ；(2) b#b.c ；(3) c#a+b+c(即c 的值变为所得到的a 、b 的值与c 的原值的和)．连续进行上述运算共三次，试判断a 、b 、c 三个数值之和是几位数?思路点拨 对a 、b 运算次数1 2 3 a 1 2 5 b 1 3 24 c3837经过三次运算后，a+b+c=5+24+37=66，它是一个两位数．学力训练1．现定义两种运算： ，对于任意两个整数a ，b ， ＝a+b －1，=a b －1，那么 = ．2．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定bc ad dc b a -=,如果81122<--x ，那么x 的取值范围是 ． 3．餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称此数为“发财数”，在l ～100这100个数中，“发财数”有 个． (“五羊杯”竞赛题) 4．读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n ，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-50112n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算：∑=-512)1(n n＝ （填写最后的计算结果）。
初中数学教学创新思路(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学教学创新思路第一篇范文在新时代背景下，教育改革正在不断深化，初中数学教育也面临着前所未有的挑战。
为了适应新时代教育发展的需求，初中数学教师需要创新教学思路和方法，提高教学质量，培养学生的创新能力和综合素质。
本文从以下几个方面探讨初中数学教学的创新思路。
一、树立以人为本的教育理念教育是为了培养人，而非仅仅是传授知识。
因此，初中数学教学应始终坚持以人为本的教育理念，关注学生的个体差异，尊重学生的兴趣和需求，激发学生的学习积极性，培养学生独立思考和解决问题的能力。
二、注重数学思维的培养数学教育的核心目标是培养学生的数学思维能力。
教师在教学过程中应注重启发式教学，引导学生运用数学逻辑和方法分析问题、解决问题，从而提高学生的数学思维品质。
三、整合信息技术与数学教学信息技术的发展为数学教学提供了新的契机。
教师可以利用多媒体、网络等资源，为学生提供丰富的学习材料，创设生动、直观的学习情境，提高学生的学习兴趣和效果。
四、实施分层次教学由于学生的数学基础和能力存在差异，教师应实施分层次教学，针对不同层次的学生制定合适的教学目标和策略，使每个学生都能在数学学习中得到充分发展。
五、开展数学活动，提高实践能力数学教学不应局限于课堂，教师可组织各种数学活动，如数学竞赛、探究性实验、社会实践等，让学生在实践中运用数学知识，提高解决实际问题的能力。
六、强化数学应用意识数学知识来源于生活，也应用于生活。
教师应引导学生关注数学在现实生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的数学素养。
七、开展跨学科教学数学与其他学科之间有着密切的联系。
教师可以开展跨学科教学，与其他学科教师合作，设计综合性的教学项目，让学生在多学科融合中提高创新能力。
八、注重教师自身素质的提升教师是教育教学的关键因素。
初中数学教师应不断提升自身的教育教学能力和专业素养，关注数学教育的发展动态，勇于探索和实践，为学生提供高质量的数学教育。
用构造法巧解初中数学竞赛题
用构造法巧解初中数学竞赛题作者：徐亚培来源：《语数外学习·上旬》2014年第03期构造法就是在数学解题过程中利用题目中已知的条件以及结论原本所具有的性质，从而来构建满足结论的数学对象，并且借助数学对象来解决实际的数学问题。
数学构造法是一种富有创造性的解题方法，也是解决数学问题的基本思维方法。
运用这种方法来解答初中数学竞赛中的有关题目，关键在于如何构造。
充分的挖掘已知条件与结论的关系，将问题与学生现有的公式、概念、图形等理论知识联系起来，将问题原有的蕴涵的关系和性质能够很清晰的呈现出来，从而恰当的构建有关的数学模型，进而解决题目中的有关问题。
通过这种方法来进行解题，是培养学生创新能力、激发学生思维能力的重要手段，同时也是提高学生分析问题、解决问题的能力的有效方法。
下面笔者结合自己多年的教学经验，简要的介绍了几种数学竞赛解题中的构造法。
一、构建方程构建方程式是在初中数学竞赛解题过程中一个较为基本的方法。
在实际的解题过程中我们要善于发现问题、善于与已学过的知识相联系、认真的分析题型，根据问题的结构特征以及题目中的数量关系，来充分的挖掘题目中的有关知识点的联系，从而来构建方程，让解题变得更加的巧妙、合理。
其实在面对有些问题时，如果按照常规方法来进行解答会比较的困难，但是如果可以根据实际问题的特征来构造有关的方程式，然后找到解决问题的答案。
例如：如果关于x的方程式ax+b=2（2x+7）+1有无数个解，那么a和b分别是多少？解：将原方程式ax+b=2（2x+7）+1整理可得，（a-4）x=15-b因为原一元一次方程有无数个解，所以a-4=0，15-b=0，解得a=4，b=15。
二、构建几何图形在进行几何题的解答时，借助几何图形的性质，通过巧妙的构建，可以很容易找到解题的方法，不仅仅能够让问题快速的解决，而且有利于提高学生的几何能力和思维能力。
例如在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。
初中数学竞赛辅导讲义全
初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板教案章节：一、引言教学目标：1. 让学生了解数学竞赛的重要性，激发学生对数学竞赛的兴趣。
2. 让学生掌握创新构造的基本概念和方法。
教学内容：1. 数学竞赛的意义和价值。
2. 创新构造的基本概念和方法。
教学步骤：1. 引导学生思考数学竞赛的重要性，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解创新构造的基本概念和方法，让学生初步了解。
教学评价：1. 学生对数学竞赛的认识和态度。
2. 学生对创新构造的基本概念和方法的理解程度。
教案章节：二、创新构造的基本方法教学目标：1. 让学生掌握创新构造的基本方法。
2. 培养学生的创新思维和解决问题的能力。
教学内容：1. 创新构造的基本方法。
2. 创新构造在数学竞赛中的应用。
教学步骤：1. 讲解创新构造的基本方法，让学生掌握。
2. 举例说明创新构造在数学竞赛中的应用。
教学评价：1. 学生对创新构造的基本方法的掌握程度。
2. 学生运用创新构造解决数学问题的能力。
教案章节：三、创新构造在几何题中的应用教学目标：1. 让学生了解创新构造在几何题中的应用。
2. 培养学生的几何思维和解决问题的能力。
教学内容：1. 创新构造在几何题中的应用。
2. 典型几何题的解题策略。
教学步骤：1. 讲解创新构造在几何题中的应用，让学生了解。
2. 分析典型几何题的解题策略，引导学生运用创新构造解决。
教学评价：1. 学生对创新构造在几何题中应用的理解程度。
2. 学生运用创新构造解决几何问题的能力。
教案章节：四、创新构造在代数题中的应用教学目标：1. 让学生了解创新构造在代数题中的应用。
2. 培养学生的代数思维和解决问题的能力。
教学内容：1. 创新构造在代数题中的应用。
2. 典型代数题的解题策略。
教学步骤：1. 讲解创新构造在代数题中的应用，让学生了解。
2. 分析典型代数题的解题策略，引导学生运用创新构造解决。
教学评价：1. 学生对创新构造在代数题中应用的理解程度。
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板一、教学目标：1. 让学生理解并掌握创新构造的基本方法和思路。
2. 培养学生运用创新构造解决数学问题的能力。
3. 提高学生的数学思维能力和竞赛水平。
二、教学内容：1. 创新构造的概念与意义。
2. 创新构造的基本方法：变换构造、逆向构造、特称构造、归纳构造等。
3. 创新构造的应用实例分析。
三、教学重点与难点：1. 重点：创新构造的基本方法和思路。
2. 难点：如何运用创新构造解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入：通过一个有趣的数学问题引出创新构造的概念。
2. 知识讲解：介绍创新构造的基本方法和思路，结合实例进行分析。
3. 课堂练习：让学生尝试运用创新构造解决一些数学问题，并提供指导。
4. 案例分析：分析一些数学竞赛题目，运用创新构造的方法进行解答。
五、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况和提问回答。
2. 练习完成情况：检查学生完成课堂练习和创新构造题目的情况。
3. 竞赛成绩：关注学生在数学竞赛中的表现，看是否能够运用创新构造的方法解决问题。
4. 学生反馈：收集学生对创新构造教学的反馈意见，不断改进教学方法。
六、教学策略：1. 案例教学：通过分析典型的数学竞赛题目，让学生了解创新构造的应用。
2. 问题驱动：引导学生提出问题，并尝试用创新构造的方法解决问题。
3. 分组讨论：组织学生进行分组讨论，分享各自的解题思路和创新构造方法。
4. 激励评价：及时给予学生积极的评价和反馈，提高他们的学习兴趣和自信心。
七、教学资源：1. 数学竞赛题目库：提供丰富的数学竞赛题目，供学生练习和创新构造。
2. 教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生理解和掌握创新构造方法。
3. 参考书籍：推荐一些关于创新构造和数学竞赛的参考书籍，供学生深入学习。
4. 在线资源：提供一些在线学习平台和论坛，方便学生交流和学习。
八、教学实践：1. 课堂实践：在课堂上给予学生充分的思考时间和实践机会，让他们尝试用创新构造的方法解决问题。
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板
九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案设计模板一、教学目标1. 让学生掌握数学竞赛中常用的构造方法，提高解决问题的能力。
2. 通过实例分析，让学生学会如何运用构造法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高数学竞赛成绩。
二、教学内容1. 构造法的定义及作用2. 构造法在数学竞赛中的应用实例3. 构造法的基本技巧与策略4. 常见数学竞赛题型的构造法解决方案5. 构造法在实际问题中的应用案例分析三、教学重点与难点1. 重点：构造法的定义、作用及基本技巧。
2. 难点：如何运用构造法解决实际问题，以及在不同题型中灵活运用构造法。
四、教学方法1. 讲授法：讲解构造法的定义、作用、基本技巧及应用。
2. 案例分析法：分析具体实例，让学生学会运用构造法解决问题。
3. 练习法：让学生通过练习题，巩固所学知识。
4. 讨论法：分组讨论，交流构造法的应用经验。
五、教学安排1. 第一课时：介绍构造法的定义及作用。
2. 第二课时：讲解构造法的基本技巧与策略。
3. 第三课时：分析常见数学竞赛题型的构造法解决方案。
4. 第四课时：通过实际问题案例，让学生学会运用构造法解决问题。
5. 第五课时：总结本节课内容，进行课堂练习与答疑。
六、教学评估1. 课堂练习：布置相关构造法的练习题，检查学生对知识的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在讨论中的参与程度，以及对构造法的理解和应用。
七、教学资源1. 教材：九年级数学竞赛教材。
2. 案例素材：挑选具有代表性的数学竞赛题目及解答。
3. 教学PPT：制作课件，辅助讲解和展示案例。
4. 网络资源：查找相关数学竞赛构造法的资料，供学生自主学习。
八、教学建议1. 针对不同学生，给予个性化的指导，提高他们的数学竞赛能力。
2. 鼓励学生参加数学竞赛及相关活动，锻炼他们的实战能力。
3. 注重培养学生的团队合作精神，提高他们的逻辑思维和创新意识。
九、教学反思1. 课后收集学生反馈，了解教学效果，及时调整教学方法。
「精品」初中数学几何培优30讲
「精品」初中数学几何培优30讲
特级老师编写：初中数学几何培优30讲，语言优美，原来学习数学还可以这么文艺，一起来看目录吧。
1.彩蝶翩翩、解法悠悠
2.轴对称变化的“至真”境界
3.抽丝剥茧、层层深入
4.深思寻关联、模型觅巧解
5.为有源头活水来
6.万变不离其宗
7.由因导果、执果索因
8.窥一斑而知全题
9.折叠问题、勾股为王
10.挖掘本质、寻求通法
11.类似相等角度问题的证明
12.“源”于本质“流”向精彩
13.一类问题、一种方法
14.触类旁通、多管齐下
15.以其改变、探索其不变
16.洞察形异质同、应对“动点”问题
17.深入其中、洞悉本质
18.老马识“图”彰显本质
19.纵横不出课本、万“编”不离其宗
20.寻法问道、提升谋略
21.方圆之内、大有乾坤
22.线段倍数关系证明的解题策略
23.就近联想、转化应用
24.多解归一、仍可优化
25.相似三角形与圆的美丽邂逅
26.对圆的基本性质的再认识
27.让“隐圆”现形探“动点”规律
28.一个常见的平面几何问题的拓展与应用
29.从一道课本习题谈研题、变题和解题
30.一个几何试题命制过程中的发现与思考今天分享其中的几个精彩内容，
一、“源”于本质“流”向精彩
二、一类问题、一种方法
三、触类旁通、多管齐下
四、以其改变、探索其不变
五、洞察形异质同、应对“动点”问題
六、深人其中、洞悉本质。
初中数学竞赛 知识点和真题 第32讲 构造法
第32讲构造法及至进了大学，学习了狄德金分割及其它构造法后，我才理解到整个数学的建构，是如此的美轮美奂。
——丘成桐知识方法扫描解答数学问题时，常规的思考方法是由已知到结论的顺向思考，或由结论到已知的逆向思考.但无论是“顺向思考”还是“逆向思考”，在思考路线上不能保证一帆风顺，有时会遇到一些“天然障碍”，这时，可以构造适当的辅助量(如图形、方程、等式、函数等)来帮助解决困难，促使问题的转化——使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新构造中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题．这种解题方法称为构造法．构造法解题，大致包括两个方面的内容．其一，它是一种辅助手段，如上所述；其二，利用构造法证明某些存在性命题，即具体构造出满足题目要求的“事物”．运用构造法解题首先要认真分析题目，仔细观察，展开联想，从中发现可用构造法的因素；其次，借助于与之相关的知识构造所求问题的具体形式；最后，解出所构造的问题，但必须回到原来的问题上.构造法是数学奥林匹克中最生动、最富有魅力的手段之一，怎样构造辅助量?无固定模式可套，它需要敏锐的观察、丰富的联想、灵活的转换和高度的洞察力．经典例题解析1．构造图形在几何证题时，为了揭示已知条件和结论之间的联系，常常添加辅助线，构造辅助图形(如三角形、圆等)，从而找到证题途径．对于代数问题，本身并没有几何图形，而用代数方法求解又比较困难，这时我们可以从数形结合、数形转化的角度出发，考虑其几何意义，构造几何图形，使题设条件及数量关系通过几何图形直观地反映出来，从而将代数问题转化为几何问题求解．例1已知平面上一点P，证明：存在一个凸四边形，使得P在四边形外，并且P到四边形四个顶点的距离相等．证明如图，任作一个以P为中点的线段MN、以MN为直径作半圆．在圆周上任取四个点A、B、C、D(异于M，N)，得到凸四边形ABCD，显然，P点在四边形外部，并且P到A，B，C，D的距离相等，故我们构作的四边形符合要求．评注所谓存在性命题，就是求证命题的结论可用“有一个”、“存在某些”这些存在量词来表达，它们的基本结构(或许经过改写后)均具有如下形式：已知A，证明：存在具有“某种性质”的事物B，使得“某件事情发生”．例1是典型的存在性命题，我们采用构造法给出了简捷明快的证明，事实上，构造法是证明存在性命题的一种行之有效的方法．其基本想法是：实际地作出所要求的B，使它具有命题中所说的“某种性质”，并且使命题中说的“某种事情发生”.例2正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA＜k 2.分析与解1 两个正数乘积的最简单的几何意义可看作是一个几何图形面积，又a +A =b +B =c +C =k 使我们联想到以k 为边长的正三角形.如图，构造以k 为边长的正△PQR ，分别在其各边上取点L 、M 、N 使QL =A ，LR =a ,RM =B ,MP =b ，PN =C ,NQ =c .由S LRM ∆+S MPN ∆+S NQL ∆＜S PQR ∆， 即cA bC aB 434343++＜43k 2. ∴aB +bC +cA ＜k 2.分析与解2 仍从几何图形的面积出发，k 2可以看作是边长为k 的正方形的面积， aB+bC+cA 可看作边长分别为a 、B ，b 、C ，c 、A 的三个小矩形面积之和，因此欲证结论成立.只须将这三个小矩形不重叠地嵌入边长为k 的正方形即可.据此构造图（如右图）即得证.评注 1 当题目的条件中出现两数的积的问题时，可考虑构造矩形。
初中数学学习中的课程素材创新(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学学习中的课程素材创新第一篇范文：初中数学学习中的课程素材创新在当前教育改革的背景下，初中数学课程素材的创新成为提高教学质量的关键因素之一。
课程素材作为教学过程中的重要组成部分，直接影响着学生的学习兴趣、思维能力和综合素质的培养。
本文旨在探讨初中数学学习中的课程素材创新策略，以期为初中数学教学提供有益的参考。
二、课程素材创新的内涵与价值（1）内涵：课程素材创新是指在初中数学教学中，教师根据学生的认知特点和教学目标，对教材内容进行改编、整合和拓展，形成具有新颖性、趣味性和挑战性的教学资源。
（2）价值：课程素材创新有助于激发学生的学习兴趣，培养学生的问题解决能力和创新思维，提高课堂教学质量，促进学生的全面发展。
三、课程素材创新策略1.结合生活实际，选取贴近学生生活的素材数学课程素材应贴近学生的生活实际，让学生在解决问题的过程中感受到数学的魅力。
例如，在教授几何知识时，可以引入建筑设计、服装设计等生活中的几何元素，让学生在实际情境中理解和运用几何知识。
2.注重学科交叉，整合多元素材数学与其他学科之间存在密切的联系，教师可以在教学中融入其他学科的知识，丰富数学课程素材。
例如，在教授概率统计时，可以结合生物学中的遗传概率、物理学中的概率分布等，让学生从多角度理解和掌握概率统计知识。
3.运用现代技术，开发数字化素材随着信息技术的快速发展，数字化课程素材在教学中发挥着越来越重要的作用。
教师可以利用网络、软件等资源，为学生提供丰富的数字化课程素材。
例如，在教授函数图像时，可以利用计算机软件绘制动态函数图像，让学生直观地感受函数的变化过程。
4.注重培养学生的创新思维，设计富有挑战性的素材在课程素材创新中，教师应注重培养学生的创新思维，设计具有挑战性的教学素材。
例如，在教授几何证明时，可以引导学生运用逆向思维、转换思维等方法，解决几何问题，提高学生的创新思维能力。
5.注重课程素材的趣味性，增加游戏化元素课程素材的趣味性有助于激发学生的学习兴趣。
初中数学课堂教学创新思维(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学课堂教学创新思维在当今社会，科技的飞速发展对教育提出了新的挑战和机遇。
作为一名初中数学教师，我们需要不断创新教学思维和方法，以适应新时代的教育需求。
本文将从以下几个方面探讨初中数学课堂教学创新思维的实践与探索。
1. 教学目标的创新传统的初中数学教学目标主要是传授知识和解题技巧，而现代教育强调培养学生的综合素质和创新能力。
因此，我们在制定教学目标时，应注重培养学生的数学思维能力、问题解决能力和创新能力。
例如，在教授几何知识时，我们不仅要让学生掌握几何图形的性质和判定，还要引导学生运用几何知识解决实际问题，培养他们的空间想象能力和创新思维。
2. 教学内容的创新随着科技的进步和社会的发展，一些传统的教学内容已经不能满足学生的需求。
因此，我们需要对教学内容进行创新和更新，引入更多与现代生活和社会发展相关的数学知识。
例如，在教授概率统计时，我们可以结合现实生活中的数据分析和决策问题，让学生了解概率统计在实际应用中的重要性，提高他们的学习兴趣和创新能力。
3. 教学方法的创新传统的教学方法往往以教师为中心，学生被动接受知识。
而现代教育强调以学生为中心，教师应扮演引导学生探索和发现的角色。
因此，我们需要创新教学方法，让学生主动参与课堂，激发他们的学习兴趣和创新思维。
例如，在教授函数概念时，我们可以组织学生进行小组讨论，探究函数的定义和性质，引导学生通过思考和交流得出结论，提高他们的创新能力和团队合作精神。
4. 教学评价的创新传统的教学评价主要依赖笔试和考试，往往只关注学生的知识掌握程度和解题能力。
而现代教育强调全面评价学生的综合素质和创新能力。
因此，我们需要创新教学评价方法，关注学生的过程表现和实践能力。
例如，在教授几何知识时，我们可以设置一些开放性问题，让学生运用几何知识解决实际问题，通过学生的创新解决方案评价他们的数学思维能力和创新能力。
5. 教师专业发展的创新教师是教育创新的主体，只有不断提高自身的专业素养和创新能力，才能更好地引导学生。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义全册(213页)
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B （E ）OC F 图③DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
创新方法,构建初中数学新航道
创新方法，构建初中数学新航道一、形成化学记忆传统的教学方法主要侧重于理解和应用，而新的创新方法则注重形成化学记忆。
可以通过使用有趣的图表、图像和动画等来帮助学生形成记忆。
比如在解方程的教学中，可以使用色彩鲜艳和简洁的图表来帮助学生记忆解方程的基本步骤。
二、引入实际问题数学与实际问题的联系较大，在教学中可以引入实际问题，让学生在解决实际问题的过程中理解数学概念和方法。
可以选择与学生生活相关的问题，如购物计算、旅行预算等等，通过这些实际问题的引导，学生可以更好地理解数学的应用。
三、培养创造性思维数学是一门逻辑性很强的学科，但也需要培养学生的创造性思维。
可以通过提出一些有趣的数学问题，激发学生解决问题的兴趣，同时鼓励他们展示自己的创造性解决方案。
这样可以培养学生的创造性思维能力，激发他们对数学的兴趣。
四、利用技术手段在构建初中数学新航道中，可以充分利用技术手段来创新教学方法。
比如利用互联网资源和数学软件，通过在线学习平台、电子书籍和虚拟实验等方式来丰富教学内容，提供更多实践机会和复习资源，使学生能够更高效地学习数学知识。
五、合作学习合作学习是一种创新的教学方法，可以促进学生之间的交流和合作，培养学生的团队合作能力。
可以在教学中组织小组讨论、合作解决问题等活动，引导学生相互合作，互相学习，从而更好地掌握数学知识。
六、个性化教学在构建初中数学新航道时，可以根据学生的不同特点和学习习惯开展个性化教学。
可以通过对学生进行分层教学、不同课堂活动的安排和学习任务的设定等方式来满足学生的个性化需求，提高学习效果。
构建初中数学新航道需要注重形成化学记忆、引入实际问题、培养创造性思维、利用技术手段、合作学习和个性化教学等创新方法。
这些方法可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高学习效果。
学生在学习过程中也能够培养创造性思维和团队合作能力，为未来的发展打下坚实的基础。
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【例题求解】
【例1】 设1a 、2a 、1b 、2b 都为实数，21a a ≠，满足))(())((22122111b a b a b a b a ++=++，求证：
1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a ．
思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点，1a 、2a 可看作方程1))((21=++b x b x 的两根，则))((1))((2121a x a x b x b x --=-++，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．
注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等． 【例2】 求代数式
13
4222
2
+-+++x x
x x
的最小值．
思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．
2
22
22
2
)
30()2()
10()1(13422-+-+-++=
+-+
++x x x x x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点
C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C 点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．
【例3】 已知b 、c 为整数，方程052=++c bx x 的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．
思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出b 、c 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令c bx x y ++=25，从讨论抛物线与x 轴交点在1-与0之间所满足的约束条件入手．
【例4】 如图，在矩形ABCD 中，AD=a ，AB=b ，问：能否在Ab 边上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E 点有几个?若不能找到，请说明理由． 思路点拨 假设在AB 边上存在点E ，使Rt △ADE ∽Rt △BEC ∽Rt △ECD ，又设AE=x ，则
BC
BE AE
AD =，即
a
x b x a -=，于是将问题转化为关于x 的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过
构造方程解决问题．
【例5】 试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．
思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：
已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．
注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在： (1)几何问题代数化；
(2)利用图形图表解代数问题；
(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．
利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．
特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．
有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握． 对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．
学历训练
1．若关于
x
的方程012)1(22=-+-mx x m 的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围
是 ．
2．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数，且1))((=++d a c a ，1))((=++d b c b ，那么))((c b c a ++的值是 ．
3．代数式9)12(422+-++x x 的最小值为 ．
4．A 、B 、C 、D 、E 、F 六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是 ．
5．若实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的取值范围是 ． 6．设实数分别s 、t 分别满足0199192=++s s ，019992=++t t ，并且1≠st
，求
t
s st 1
4++的值．
7．已知实数a 、b 、c 满足0))((<+++c b a c a ，求证：)(4)(2c b a a c b ++>-．
8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由． 9．求所有的实数x ，使得x
x x x
111-
+
-
=
．
10．若是不全为零且绝对值都小于106
的整数．求证：21
10
132>
++
c b a ．
11．已知关于x 的方程k x x =+-1322有四个不同的实根，求k 的取值范围． 12．设10<<
z y x ，，0，求证1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x ．
13．从自然数l ，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为177． 14．已知a 、b 、c 、d 、e 是满足8
=++++e d
c b a ，162222=++++e
d c b a 的实数，试确定
e 的最大值．
参考答案。