直接开平方法(1)
因式分解法直接开平方法配方法
因式分解法直接开平方法配方法一、因式分解法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，使用因式分解法的步骤如下：1.计算二次项系数a、一次项系数b和常数项c的乘积k，k=a*c。
2.找出两个数的乘积等于k且和等于b的数m和n，即m*n=k，m+n=b。
3.将原二次方程进行因式分解，得到(x+m)(x+n)=0。
4.令(x+m)=0，求解得到x=-m。
令(x+n)=0，求解得到x=-n。
举例说明：考虑二次方程2x^2+7x+3=0。
计算k=a*c=2*3=6找出两个数的乘积等于6且和等于7，即3和2因此，可以将原二次方程进行因式分解，得到(2x+3)(x+1)=0。
令(2x+3)=0，求解得到x=-3/2令(x+1)=0，求解得到x=-1二、直接开平方法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，使用直接开平方法的步骤如下：1. 将方程移项，得到ax^2 + bx = -c。
2. 对方程两边同时加上b^2/4a^2，并化简得到(ax + b/2a)^2 =b^2 - 4ac/4a^23. 对等式两边开平方，得到ax + b/2a = √(b^2 - 4ac)/2a。
4.解方程得到x的值。
举例说明：考虑二次方程4x^2-10x+1=0。
对方程两边同时加上(10/4)^2/4*4，并化简得到(4x-5/4)^2=(25/16-1)/16对等式两边开平方，得到4x-5/4=√(16-16)/16，即4x-5/4=0。
解方程得到x=5/16三、配方法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，使用配方法的步骤如下：1. 将方程移项，得到ax^2 + bx = -c。
2. 对方程两边同时加上b^2/4a，并化简得到ax^2 + bx + b^2/4a = b^2/4a - c。
3. 对方程左边进行配方，得到(ax + b/2a)^2 = b^2/4a - c +b^2/4a。
一元二次方程的解题方法
一元二次方程的解题方法一、直接开平方法1. 方法原理- 对于形如x^2=p(p≥0)的一元二次方程，可以直接开平方得x = ±√(p)。
对于形如(ax + b)^2=p(p≥0)的方程，先开平方得ax + b=±√(p)，然后再解关于x的一次方程。
2. 题目解析- 例：解方程x^2=9。
- 解：根据直接开平方法，因为x^2=9，所以x=±√(9)，即x = 3或x=-3。
- 例：解方程(x - 1)^2=4。
- 解：先开平方得x - 1=±√(4)，即x - 1=±2。
- 当x - 1 = 2时，x=2 + 1=3；- 当x - 1=-2时，x=-2 + 1=-1。
二、配方法1. 方法原理- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，将方程左边配成完全平方式(x+(b)/(2a))^2的形式。
具体步骤为：先将二次项系数化为1（方程两边同时除以a），然后把常数项移到方程右边，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，最后用直接开平方法求解。
2. 题目解析- 例：解方程x^2+6x - 7 = 0。
- 解：- 首先将常数项移到右边，得到x^2+6x=7。
- 然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，因为一次项系数6，一半为3，平方是9，所以方程变为x^2+6x + 9=7 + 9，即(x + 3)^2=16。
- 接着用直接开平方法，x+3=±√(16)，x + 3=±4。
- 当x+3 = 4时，x=4 - 3 = 1；当x+3=-4时，x=-4 - 3=-7。
三、公式法1. 方法原理- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，其中b^2-4ac叫做判别式，记作Δ。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。
2022年九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第1课时直接开平方法与配方法
0,
1 3
y
2
1
5,
①
1 y 1 5, ②
3
1 y 1 5, ③
3
y 3 5 1, ④
解：不对，从开始错，应改为
1 3
y
1
5,
y1 3 5 3, y2 3 5 3.
5.解下列方程：
1 x2 4x 4 5
x 22 解5, ： x 2 5,
x 2 5, x 2 5,
第二章 一元二次方程
2.2用配方法求解一元二次方程
（第1课时 直接开平方法与配方法(1)）
学习目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程. （重点） 2.理解配方法的基本思路.（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. （重点）
复习引入
导入新课
1.如果 x2=a,则x叫作a的 平方根 .
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)
4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
的实数根 x1 p ，x2 p ；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.
一元二次方程的解法(1)直接开平方法
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方 程可以用直接开平方法求解，且有两个
实数根，则m、n必须满足的条件是（ B ）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍 D.m、n同号
C层 解下列方程： 1．（4x- 5）(4x+ 5 )=3 2.(ax+b) 2=b 3. x2-2 x-7=0 4. （2x-1）2 =x2
认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正。
（ 1 y+1）2-5=0
解：
3 （
1
y+1）2=5
13
y+1= 5
31
3 y= 5 -1
（×）
y=3 5 -1 （ × ）
.
3、实力比拼
探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解.
当a≥0时, x－m=± a
二.探究
根据平方根的意义你能解下列方程吗？
（1）x2=4，（2）x2-2=0
直接开平方法
利用平方根的定义用直接开平方解一元二次方程的方法
•能利用直接开平方法解的一元二次方程应 满足的形式为_____________
三.应用 •能利用直接开平方法解的一元二次方程应 满足的形式为_____________
初中数学九年级上册
解一元二次方程
——直接开平方法
●学习目标
• 1．理解解一元二次方程降次的转化思想； • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx
＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； • 3.体会类比的思想；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
直接开平方法
1 x 256; 2 x 9 0; 3 t 45 0 2 2 416x 49 0; 52 x 3 5; 2 2 6x 5 36 0; 7 6 x 1 25;
2 2 2
你认为应该怎样解方程X2+6X+9=2？
2 , x2 3 2 ;
2
93m 5 3 0 例3、用直接开方法解方程：
3m 5
2
1 3
3m 5 0; 无论m取何值，
2
此方程无解。
例4、用直接开方法解方程：32x 52 12 22x 52 4
解：32x 5 22x 5 12 4;
可见，上面的 x
4
实际上就是求4的平方 根。
因此： x
4 2
以上解某些一元二 次方程的方法叫做 直接开平方法。
例2、 解方程 x 3 2
2
解：
x3 2
x 3 2 , 或x 3 2 ;
显然，方程中的(x+3) 是2的平方根。
即： x 3 1 解：
2
c a ;
即：x1 x2
c a
c a
1 a 1 a
ac , ac;
为什么分 母要加绝 对值？
c 2当 a 0时，原方程无实数根。
提问：下列方程有解吗？
(1) x 4 3; (2) 3x 1 3;
2 2
练习1、用直接开平方法解下列方程：
直接开平方法
例1、解方程
x 4 0
2
先移项，得：
x 4
2
2
这里，一个数(x)的平方等于4， 这个数(x)叫做4的什么？ 这个数(x)叫做4的平方根(或二次 方根)。 一个正数有几个平方根？ 一个正数有两个平方根，它们 互为相反数。 求一个数的平方根的运算叫做 什么？ 求一个数的平方根的运算叫做 开平方。
一元二次方程的解法(直接开平方法)
3 ， x2= 3 3 ， x 2= 3 .
答案：x1=
【3 】 （1)x2+2x+1=3.(2)4y2-12y+9=16
【想一想】 两边都含有未知数的方程,例如:(2x-3)2=(3x-2)2怎么求解? 提示:用直接开平方法求解.(2x-3)2=(3x-2)2,两边开平方得 2x-3=〒(3x-2),解得x1=-1,x2=1.
【想一想】 一元二次方程ax2=b在什么情况下有解?说明ax2=b解的情况. 提示:当a,b同号或者b为0时方程有解.当a,b同号时, x 2 b ,
数,此时方程无解;当b=0时,x =0,x1=x2=0.
ab 当a,b异号时, b <0,由于任何数的平方都是非负 x ; a a 2
a
【微点拨】 1.形如x2=p的一元二次方程,只有当p≥0时,才有解. 2.一元二次方程x2=p(p≥0)总有两个根.
பைடு நூலகம்
1.解下列方程：
2
1 2 x 2 32 0 2 25 x 2 16 0 3 x 2 3 28
1 2 4 2 x 8 0 （ ） 2
1 2 x 32 0 2 25 x 2 16 0 2 =16，用直接开平方法解得 2 （1）变形得x 【解析】 3 x 3 28
【 2】
【例】解下列方程：
（1）25x2-36=0 【解析】
(1)变形得x2
36 6 6 6 = , x=〒 ,所以x1= 5 , x2= 5 25 5
1 2 （2 ） x 2 2 0 2
(2)变形得（x+2）2 = 4，所以x1=0 , x2=-4.
练习
(1)x2=11. (2)64x2=49. (3)9x2-25=0.
1.2.1 一元二次方程的解法(1)-直接开平方法
1.2 一元二次方程的 解法（第1课时）
直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法。
想一想：
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方 体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒 子的棱长吗？
今天你有哪些收获？
1. 直接开平方法的理论根据是：平方根的定义 基本思想是将一元二次方程降幂为一元一次方程.
2. 用直接开平方法可解形如x2=p(p≥0)或 （mx－n）2=p（p≥0)的一元二次方程.
3. 解方程时要注意书写的格式.
小结中的两类方程为什么要加条件：p≥0呢？
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
(2) 2x2 4
√
(3)32 x 5x 1 0 ×
解： x2 =25 根据平方根的定义可知:x是25的 (平方根).
∴ x = 25 即: x =±5 这时,我们常用x1、x2来表示未知数为x的 一元二次方程的两个根。
∴ 原方程的两个根为 x1 =5，x2 =－5.
注：因为棱长为正数，所以 x =5
例1、利用直接开平方法解方程: x2 －900=0
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
7
1
x1= 4 ;x2= 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法(解析版)
1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法考点一、直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（ ）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==【答案】B 【解析】【分析】先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：2250x -=，移项得：2=25x ，开平方得：15=x ，25x =﹣，故选B ．本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．2．若()222a =-，则a 是（ ）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．4【答案】C 【解析】【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可．()2224a =-=Q 2a \=±故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．3．方程x 2- =0的根为_______．【答案】x=± 【解析】【分析】，得出x 2=8，利用直接开平方法即可求解．解： x 2- =0，∴x 2=8，∴x =±故答案为：x =±．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（ ）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根【答案】D【分析】利用直接开平方法求解即可．∵290x +=，∴290x =-<，∴该方程无实数解．故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．【答案】1【解析】【分析】利用直接开平方法得到x =，得到方程的两个根互为相反数，所以4380m m -+-=，解得3m =，则方程的两个根分别是1与1-1=，然后两边平方得到b a 的值．解：∵()20ax b ab =>，∴2b x a=，∴x =，∴方程的两个根互为相反数，∵方程2ax b =的两个根分别是4m -与38m -，∴4380m m -+-=，解得3m =，∴4341m -=-=-，383381m -=´-=，∴一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是1与1-，1=，∴1ba=．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如2x p =或()()20nx m p p +=³的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成2x p =的形式，那么可得x =()()20nx m p p +=³的形式，那么nx m +=6．解方程：（1）23270x -=； （2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=； （4）()()4490+--=y y ．【答案】（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【解析】【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=，2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-+，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（ ）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝23【答案】D 【解析】【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12，解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827，所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．82x = ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==【答案】A 【解析】【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．2x =(23x =，利用直接开方法得：x解得120,x x ==故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－【答案】C 【解析】【分析】方程整理后，判断即可得到结果230x =－移项得23x =，可用直接开平方法求解；2(10)4x -=－移项得2(14)x =－，可用直接开平方法求解；22()(12)4x ==－－，可用直接开平方法求解．故选C.【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（ ）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数【答案】A 【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可．解：∵方程y 2＝﹣a 有实数根，∴﹣a ≥0（平方具有非负性），∴a ≤0；故选：A ．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0．11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是( )A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④【答案】C 【解析】【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果．①x 2-2x=0，因式分解法；②9x 2-25=0，直接开平方法；③(2x-1)2=1，直接开平方法；④21(x 3)273+=，直接开平方法，则能用直接开平方法做的是②③④.故选:C.【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键.12．方程 x 2=（x ﹣1）0 的解为（ ）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=0【答案】A 【解析】【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x 2=1，确定x 的值即可.∵(x-1)0有意义，∴x-1≠0，即x≠1，∵x 2=（x ﹣1）0∴x 2=1，即x=±1∴x=-1.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.13．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（ ）.A ．0m >B ．7m …C ．7m >D ．任意实数【答案】B 【解析】【分析】根据70-³m 时方程有实数解，可求出m 的取值范围．由题意可知70-³m 时方程有实数解，解不等式得7m …，故选B ．【点睛】形如()2+m =a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．14．已知方程()200ax c a +=¹有实数根，则a 与c 的关系是（ ）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍【答案】B 【解析】【分析】将原方程化为2a=c-x 的形式，根据2x 0³可判断出正确答案．原方程可化为2a=c -x ，∵2x 0³，∴c0a -³时方程才有实数解．当c=0时，20=x 有实数根；当a 、c 异号时，c0a -³，方程有实数解．故选B ．【点睛】形如2=a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C 【解析】【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（ ）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=【答案】B 【解析】【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．解：移项，得224(21)25(1)x x -=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x -=±+，即2(21)5(1)x x -=+或2(21)5(1)x x -=-+，解得：17x =-，213x =-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．【答案】（1）122,2y y =-=--；（2）121,3x x ==．【解析】【分析】（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可；（2）利用直接开平方法求解即可．解：（1）21(2)602y +-=，整理，得2(2)12y +=．∴2y +=±即122,2y y ==-；（2）22(4)(52)x x -=-Q ，4(52)x x \-=±-，∴452x x -=-或()452x x -=--，解得：121,3x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（ ）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解.2251440t -=，214425t =，∴125t =±；249(1)25x -=，715x -=±，∴1125x =，225x =-；∴两个方程有一个相等的根125.故选C.【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2 =b(b>0)的根是（ ）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，【答案】A【解析】【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．∵b>0，∴两边直接开平方,得：∴-a ，故选A【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则20．形如2()(0)ax b p a +=¹的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D【解析】【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ³时，原方程的根为x =故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】移项得416x ==24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题．解：∵4160x -=∴416x ==24，∴x=±2，∴方程4160x -=的根是x=±2.故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为( )A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21【答案】A【解析】【分析】把()222225a b +-=两边开方得到a 2+b 2-2=±5，然后根据非负数的性质确定22a b +的值．解：∵()222225a b +-=，∴a 2+b 2-2=±5，∴a 2+b 2=7或a 2+b 2=-3（舍去），即a 2+b 2的值为7．故选A ．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=×=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444n n n i i i i i +=×=×=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++L 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据()41444nn n i i i i i +=×=×=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=×=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++L ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．一、单选题1．方程()2690x +-=的两个根是（ ）A ．13x =，29x =B ．13x =-，29x =C ．13x =，29x =-D ．13x =-，29x =-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：()2690x +-=，()269x +=，63x \+=±，123,9x x \=-=-，故选：D ．A ．0k ³B ．0h ³C ．0hk >D ．0k <【答案】A 【分析】根据平方的非负性即可求解．【解析】解：()20x h +³Q ，0k \³．故选：A ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关键．5．已知()22230aa x x ---+=是关于x 的一元二次方程，那么a 的值为（ ）A ．2±B ．2C ．2-D ．以上选项都不对【答案】C【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【解析】解：∵()22230aa x x ---+=是关于x 的一元二次方程，∴222,20a a -=-¹，解得2a =-，故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键．6．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【解析】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：【解析】∵根据题意可得：420420a b c a b c ++=ìí-+=î①②，①－②＝40b =，得0b =，①＋②＝820a c +=，∴解得：0b =，4c a =-．将a 、b 、c 代入原方程()200ax bx c a ++=¹可得，∵240ax bx a +-=，240ax a -=24ax a=∴2x =±故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，联立关于a 、b 、c 的方程组，由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键．二、填空题11．方程240x -=的根是______．【答案】12x =-，22x =【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：240x -=，24x =，∴2x =±，即12x =-，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．12．方程()219x +=的根是_____．【答案】1224x x ==-，【分析】两边开方，然后解关于x 的一元一次方程．【解析】解：由原方程，得13x +=±．＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．两边开平方，得63x +=第二步所以3x =- 第三步“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．【答案】(1)-1；(2)二 ；正确的解答过程，见解析【分析】（1）利用平方差公式展开，合并同类项即可；（2）根据直接开平方法求解即可．【解析】（1）解：2(1)(1)+--m m m 221m m =--=-1；（2）解：第二步开始出现错误；正确解答过程：移项，得（x +6）2=9，两边开平方，得x +6=3或x +6=-3，解得x 1=-3，x 2=-9，故答案为：二．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．嘉嘉和琪琪用图中的A 、B 、C 、D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按A B C D ®®®的顺序运算，则琪琪列式计算得：222[(23)(3)2](152)(17)289+´--=--=-=．（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B ®®®的顺序运算，请列式并计算结果；。
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题一元二次方程的解法及经典练题方法一：直接开平方法（基于平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
即，如果x²=a，那么x=±√a。
注意，x可以是多项式。
一、使用直接开平方法解下列一元二次方程：1.4x²-1=22.(x-3)²=233.81(x-2)²=1644.(x+1)²/4=255.(2x+1)²=(x-1)²6.(5-2x)²=9(x+3)²7.2(x-4)²/3-6=0.方法二：配方法解一元二次方程1.定义：把一个一元二次方程的左边配成一个平方，右边为一个常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2.配方法解一元二次方程的步骤：1）将方程移项，使等式左边为完全平方，右边为常数。
2）将等式左右两边开平方。
3）解出方程的根。
二、使用配方法解下列一元二次方程：1.y²-6y-6=02.3x²-2=4x3.3x²-4x=94.x²-4x-5=05.2x²+3x-1=06.3x²+2x-7=0方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2.公式的推导：使用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0），解得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3.由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因为1）当b²-4ac>0时，方程有两个实数根，x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)。
2）当b²-4ac=0时，方程有一个实数根，x₁=x₂=-b/(2a)。
直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x .（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x∴232,23221-=+=x x .习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【 】 （A ）032=-x （B ）()0412=--x（C ）022=+x （D ）()()2221-=+x习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=b a【 】 （A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）。
直接开平方法解一元二次方程
探讨交流
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p
（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求 解吗？请举例说明.
当堂练习
1.下列解方程的过程中，正确的是（D ）
(A) x2=-2,解方程，得x=± 2
直
接
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或
开 步 骤 (x+n)2=p (p ≥0).
平
方 法
基本思路
一 元 降次 二次
两个一 元一次
方 程 直接开平方法 方程
课堂作业：课本P16 复习巩固 第1题 课后作业：基础训练
解题归纳
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元 一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方 程了.
例2 解下列方程： （x＋1）2= 2 ；
解析：题中只要将（x＋1）看成是一个整体， 就可以运用直接开平方法求解.
解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= 2. 即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2.
即x1=5，x2=－5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0
解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0.
解:整理，得 x2=-1,
负数不可以作为被开方数.
讲授新课
一 直接开平方法
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这 桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全 部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
2.2.1 配方法——直接开平方法(一) (1)
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
[复习导入]如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根．用式子表示：若x2＝a，则x叫作a的平方根．记作x＝±，即x＝或x＝－.
如：9的平方根是±3，的平方根是±.
平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根．
情感态度
通过直接开平方法的教学，培养学生转化的数学思想和积极思维的能力.
教学重点
会用直接开平方法解一元二次方程．
教学难点
理解直接开平方法与平方根的定义的关系．
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
若一个数的平方等于9，则这个数是________；若一个数的平方等于7，则这个数是________．一个正数有几个平方根？它们具有怎样的关系？
A．x1＝－6，x2＝－1B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝－3，x2＝5D．x1＝－6，x2＝2
活动
四：
课堂
总结
反思
【ห้องสมุดไป่ตู้堂训练】
1．教材P31练习中的T1，T2.
2．教材P41习题2.2中的T1.
【知识网络】
【教学反思】
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1[教材P30例1]解方程：4x2－25＝0.
讲评策略：根据直接开平方法解一元二次方程的一般步骤，先化方程为x2＝，再利用开平方的方法求解．
变式一方程(1－x)2＝2的根是()
A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝1－，x2＝1＋D．x1＝－1，x2＝＋1
一元二次方程及其解法--直接开平方法—知识讲解
一元二次方程及其解法--直接开平方法—知识讲解解一元二次方程有多种方法，其中一种是直接开平方法。
直接开平方法的基本思想是通过将方程左边的二次项转化为一个完全平方，并利用完全平方公式求解方程。
下面，我们通过一个例子来说明直接开平方法的具体步骤：例子：解方程$2x^2+7x+5=0$。
解：首先，我们观察方程的二次项系数$a$，发现它不是$1$。
如果二次项系数$a$不是$1$，我们需要先将方程化为一元二次方程的标准形式，即首项系数为$1$的形式。
对于本例，我们可以通过除以$2$来得到方程的标准形式：$\frac{2x^2}{2} + \frac{7x}{2} + \frac{5}{2} = 0$化简得到：$x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{5}{2} = 0$接下来，我们将方程的二次项和一次项进行拆分。
具体步骤如下：2. 将方程的常数项和第一步的结果相减，即 $\frac{5}{2} -\frac{49}{16}$。
得到：$x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{5}{2} - \frac{49}{16} = 0$化简得到：$x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{5}{2} - \frac{49}{16} = 0$接下来，我们将方程进行重组。
具体步骤如下：1. 括号中的第一项是一个完全平方，即 $(x + \frac{7}{4})^2$。
2. 括号中的第二项是一个完全平方，即 $(\frac{5}{4} -\frac{49}{16})$。
得到：$(x + \frac{7}{4})^2 - (\frac{49}{16} - \frac{20}{16}) = 0$化简得到：$(x + \frac{7}{4})^2 - \frac{29}{16} = 0$最后，我们可以得到方程的解。
具体步骤如下：1. 移项得到 $(x + \frac{7}{4})^2 = \frac{29}{16}$。
一元二次方程及其解法(一)直接开平方法—知识讲解(基础)
一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：． 【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( ) A．-3，2 B．3，-2 C．2，-3 D．2，3【答案】A；【解析】∵ x＝2是方程x2+px+q＝0的根，∴ 22+2p+q＝0，即2p+q＝-4 ①同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1 ②联立①，②得24,1,p qp q+=-⎧⎨+=-⎩解之得：3,2.pq=-⎧⎨=⎩【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x的值，得到两个关于p、q的方程，解方程组可求p、q的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程(1)（2015•铜陵县模拟）4（x+3）2=25（x﹣2）2；(2)（2015•祁阳县模拟） (x-2)2-16=0．【答案与解析】解：（1）：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．（2） (x-2)2=16，x-2=±4∴x1=6或x2=-2．【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解下列方程：(1)（2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，∴ 2x+3=5或2x+3=-5．∴x1=1，x2=-4．(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3或1﹣2x=﹣（x﹣3），∴x1=43，x2=﹣2．。
直接开平方法的步骤
直接开平方法的步骤直接开平方法是一种用于解决三角形的计算问题的数学方法。
它可以帮助我们找到三角形的各个属性，例如边长、角度和面积。
下面是一个全面详细的方法，来介绍如何使用直接开平方法。
一、理解直接开平方法在开始学习直接开平方法之前，我们需要先了解一些基本概念。
首先，我们需要知道什么是三角形，以及三角形有哪些属性。
三角形是由三条线段组成的图形，在这个图形中，有三个顶点和三条边。
每个顶点都有一个对应的内角度数，并且这些内角度数加起来总是等于180度。
二、确定已知量在使用直接开平方法时，我们需要先确定已知量。
这些已知量可能包括任意数量的边长和/或内角度数。
一旦我们确定了已知量，就可以开始计算未知量。
三、绘制图形在进行计算之前，我们需要将所给出的信息转换为一个几何图形。
为此，我们可以使用尺子和圆规来绘制一个精确的三角形。
四、计算未知量现在我们可以开始计算未知量了。
根据所给出的信息和已知量，我们可以使用以下公式来计算未知量：1. 计算边长如果我们已知两条边长和它们之间的夹角，我们可以使用余弦定理来计算第三条边长。
余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2ab cos C其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三个边长，C 表示夹角。
通过代入所给出的信息和已知量，我们可以解出未知量。
2. 计算内角度数如果我们已知两条边的长度和它们之间的夹角，我们可以使用正弦定理来计算第三个内角度数。
正弦定理的公式如下：a/sin A = b/sin B = c/sin C其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三个边长，A、B 和 C 分别表示对应的内角度数。
通过代入所给出的信息和已知量，我们可以解出未知量。
3. 计算面积一旦我们确定了三角形的所有属性，就可以计算它的面积了。
使用以下公式：A = 1/2 bh其中，A 表示面积，b 表示底边长度，h 表示高度。
通过代入所给出的信息和已知量，我们可以解出未知量。
一元二次方程及其解法--直接开平方法—知识讲解
一元二次方程及其解法--直接开平方法—知识讲解解一元二次方程的方法有很多种，其中直接开平方法是一种较为简单和常用的方法。
该方法基于二次方程的平方根公式，即x= (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
下面将详细说明直接开平法的步骤：步骤一：将一元二次方程转化为标准形式。
步骤二：计算判别式D=b^2-4ac。
判别式是二次方程的重要参数，用来判断方程的解的性质。
当判别式为正数时，方程有两个不同实根；当判别式为零时，方程有两个相同的实根；当判别式为负数时，方程没有实数解，而有两个共轭复根。
步骤三：根据判别式的值确定解的类型。
根据判别式D的值，可以得出方程的解的类型。
若D>0，则方程有两个不同实根；若D=0，则方程有两个相同实根；若D<0，则方程没有实数解。
步骤四：根据解的类型给出解的表达式。
根据解的类型，对解的表达形式进行讨论：1.当D>0时，方程有两个不同实根x_1和x_2、根据平方根公式，可得x_1=(-b+√D)/(2a)，x_2=(-b-√D)/(2a)。
2.当D=0时，方程有两个相同实根x_1=x_2、根据平方根公式，可得x_1=x_2=-b/(2a)。
3.当D<0时，方程没有实数解。
步骤五：计算解的近似值（可选）。
如果问题要求近似解，可以使用计算器或其他工具计算出解的近似值。
通过以上步骤，便可以使用直接开平方法解一元二次方程。
举例说明：假设我们要解方程x^2+2x-3=0。
步骤一：将方程转化为标准形式，即1x^2+2x-3=0。
步骤二：计算判别式D=b^2-4ac，即D=2^2-4(1)(-3)=16步骤三：根据判别式的值确定解的类型。
因为D>0，所以方程有两个不同实根。
步骤四：根据解的类型给出解的表达式。
根据平方根公式，可得x_1=(-2+√16)/(2(1))=(2+4)/(2)=3，x_2=(-2-√16)/(2(1))=(2-4)/(2)=-1所以，方程x^2+2x-3=0的解是x=3和x=-1步骤五：计算解的近似值。
习题课一元二次方程的解法
习题课 一元二次方程的解法类型1 直接开平方法1.用直接开平方法解下列方程： (1)3x 2－27＝0.(2)2(x ＋1)2－8＝0.类型2 配方法2.用配方法解下列方程： (1)x 2－2 3 x ＋1＝0.(2)14 x 2－6x ＋3＝0. .类型3 因式分解法3.用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x ＝0.(2)(x －3)2－9＝0.(3)2(t －1)2＋8t ＝0.(4)5x(x －3)＝6－2x. .(5)(2020·徐州)2x 2－5x ＋3＝0.类型4 公式法4.用公式法解下列方程： (1)3x 2＋x －5＝0.(2)x 2－2 3 x ＋2＝0.类型5 选择合适的方法解一元二次方程5.用适当的方法解下列方程：(1)(x＋1)2－81＝0.(2)x2－4x－95＝0.(3)3(x－2)2＝4－2x.(4)(2x－5)2＝(x－2)2..(5)(x－3)2＝2x－3.类型6 换元法6.阅读下面的材料：解方程x4－7x2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2.∴原方程可化为y2－7y＋12＝0. ∴a＝1，b＝－7，c＝12.∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×12＝1.∴y＝－b±b2－4ac2a＝－（－7）±12.解得y1＝3，y2＝4.当y＝3时，x2＝3，x＝± 3 .当y＝4时，x2＝4，x＝±2.∴原方程有四个根是：x1＝ 3 ，x2＝－ 3 ，x3＝2，x4＝－2.以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想.请你运用上述方法解答下列问题.(1)解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0.(2)已知实数a，b满足(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－10＝0，试求a2＋b2的值.。
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配方法
第1课时 直接开平方法
1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程．
3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．
一、情境导入
一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？
二、合作探究
探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程 运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；
(2)(x ＋3)2－2＝0.
解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3
是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．
解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32
，x 2＝－32
. (2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.
方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为
一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的
方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .
【类型二】直接开平方法的应用
ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m
－4，则b
a
＝________.
解析：∵ax2＝b，∴x＝±b
a
，∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1＋2m－4＝0，解
得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴b
a
＝2，∴
b
a
＝4，故
答案为4.
【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用
若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.
【类型四】直接开平方法的实际应用
有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？
分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．
解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.
方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．
三、板书设计
教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.。