高三数学一轮复习圆锥曲线 抛物线

2 x2 x2 y＝ (x－x2)＋ ， 2 4
⑥
x1＋x2 x1x2 由⑤⑥得 MA， MB 的交点 M(x0， y0)的坐标为 x0＝ ， y0＝ ， 2 4 因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 x2 0＝－4y0，
2 x1 ＋x2 2 所以 x1x2＝－ . ⑦ 6
4 由③④⑦得 x ＝ y，x≠0. 3
p [听课记录] 依题意， 设抛物线方程是 y ＝2px(p>0)，则有 2＋ ＝ 2
2
3，得 p＝2， 故抛物线方程是 y2＝4x，点 M 的坐标是(2，± 2 2)， |OM|＝ 22＋8＝2 3. 答案 B


[规律方法] 1 ． 求抛物线的方程一般是利用待定系数法， 即求p但要注意判断标准方程的形式． 2 ．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义 转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平 面几何性质的应用．



[典题导入] (1)(2013·新课标全国Ⅱ高考)设抛物线C： y2 ＝ 2px(p ＞ 0) 的焦点为 F ，点 M 在 C 上， |MF| ＝ 5 ，若以 MF 为直径的圆过点 (0 ， 2) ，则 C 的 方程为 ( ) A．y2＝4x或y2＝8x B ． y2 ＝ 2x 或 y2 ＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D ． y2 ＝ 2x 或 y2 ＝16x
2
当 x1＝x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x2 4 ＝ y. 3 4 因此线段 AB 中点 N 的轨迹方程为 x ＝ y. 3
2



[规律方法] 1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋ By ＋ C ＝ 0 ，将直线方程与抛物线方程联立， 消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0. (1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个 公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点． (2) 若 m ＝ 0 ，直线与抛物线只有一个公共点， 此时直线与抛物线的对称轴平行．
2
)
1 B [抛物线的标准方程为 x ＝ y. a 1 1 则 a＜0 且 2＝－ ，得 a＝－ .] 4a 8
x2 y 2 2． (2014· 济南模拟)抛物线的焦点为椭圆 ＋ ＝1 的下焦点， 顶点 4 9 在椭圆中心，则抛物线方程为( A．x2＝－4 5y C．x2＝－4 13y )
B．y2＝－4 5x D．y2＝－4 13x

[跟踪训练] 2．(2014· 南京模拟)已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，准线与 y 轴的 3 交点为 M，N 为抛物线上的一点，且|NF|＝ |MN|，则∠NMF 2 ＝________．
解析 如图，过 N 作准线的垂线，垂足为 H， 3 则|NF|＝|NH|＝ |MN|， 2 3 ∴cos∠MNH＝ ， 2 π π ∴∠MNH＝ ，∴∠NMF＝ . 6 6 π 答案 6
7 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为 ， 2 7 即|PA|＋|PF|的最小值为 ， 2 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴P 点的坐标为(2，2)．

[规律方法] 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题， 可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线 (焦点)的距离问题求解．

(1)求p的值； (2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨 迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
[听课记录]
(1)因为抛物线 C1：x2＝4y 上任意一点(x，y)的切线
x 1 斜率为 y′＝ ，且切线 MA 的斜率为－ ， 2 2 所以 A
1 点坐标为－1，4 ，
4．(2014· 郑州模拟)已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2＝ax(a＞0) 的焦点 F，且与 y 轴相交于点 A，若△OAF(O 为坐标原点)的面 积为 4，则抛物线方程为________． a 解析 依题意得， |OF|＝ ， 又直线 l 的斜率为 2， 可知|AO|＝2|OF| 4 a 1 a2 ＝ ，△AOF 的面积等于 ·|AO|·|OF|＝ ＝4，则 a2＝64.又 a 2 2 16 ＞0，所以 a＝8，该抛物线的方程是 y2＝8x. 答案 y2＝8x
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
对称轴
x轴
顶点坐标
原点 O(0，0)
标准方程
y2＝2px(p＞0)
p ， 0 2
y2＝－2px(p＞0) p ຫໍສະໝຸດ － ， 0 2 焦点坐标
准线方程
p x＝－ 2 e＝1
p x＝ 2
离心率
图形
范围
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R

抛物线的定义及应用
[典题导入] (1)(2013· 江西高考)已知点 A(2，0)，抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F， 射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M， 与其准线相交于点 N，则|FM|∶|MN|＝ ( A．2∶ 5 C．1∶ 5 B．1∶2 D．1∶3 )
[听课记录] 射线 FA 的方程为 x＋2y－2＝0(x≥0)． 1 如图所示，知 tan α＝ ， 2 5 ∴sin α＝ . 5 由抛物线的定义知|MF|＝|MG|， |FM| |MG| 5 1 ∴ ＝ ＝sin α＝ ＝ . |MN| |MN| 5 5 答案 C
标准方 程 对称轴
顶点坐 标
x2＝2py(p＞0)
y轴
x2＝－2py(p＞0)
原点O(0，0)
焦点坐标
p 0 ， 2
p 0 ，－ 2
准线方程
p y＝－ 2
p y＝ 2
离心率
e＝1
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝2，则 a 的值是 ( 1 A. 8 C．8 1 B．－ 8 D．－8
D [设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点 F(0，1)，准线 方程是 y＝－1，直线 l：y＝
y＝ 3x＋1， 3x＋1，由 2 消去 x ＝4y，
x 得 y2
－14y＋1＝0， y1＋y2＝14， |AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1 ＋y2)＋2＝16.]
解析 由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在 y 轴上，下焦点 坐标为(0，－c)，其中 c＝ a2－b2＝ 5，∴抛物线焦点坐标为 (0，－ 5)，∴抛物线方程为 x2＝－4 5y. 答案 A
3．已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2＝4y 的焦点，且与 抛物线相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( A．4 C．10 B．6 D．16 )
x＝ ， y ＝ 2 2 （ x － 1 ）， 又 2 解得 2 y ＝4x， 1 由图知，点 B
1 的坐标为 2，－
y＝－ 2，
2 ，
x＝2， 或 y＝2 2.
1 3 ∴|BF|＝ －(－1)＝ . 2 2 3 答案 2
抛物线的标准方程及几何性质
第七节
抛物线



[主干知识梳理] 一、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过 点相等的点 F)距离 的轨迹叫做抛物线，点 F 准线 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线 的 ．


二、抛物线的标准方程与几何性质 标准方 程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0)
图形
选 A. 答案 A
1 2 2 ＋ 2 ＝ 2
17 ， 2
[互动探究] 在本例条件下，求点 P 到点 A(3，2)的距离与点 P 到抛物线焦点 F 距离之和的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标． 解析 将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6＞2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点 P 到准线 l： 1 x＝－ 的距离为 d， 2 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
1 1 故切线 MA 的方程为 y＝－ (x＋1)＋ . 2 4 因为点 M(1－ 2，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上， 3－2 2 1 1 于是 y0＝－ (2－ 2)＋ ＝－ ， ① 2 4 4 （1－ 2）2 3－2 2 y0＝－ ＝－ . ② 2p 2p
由①②得 p＝2. (2)设

2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)
2 p (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ . 4
＝4. 由 y2 0＝2px0，得
p 16＝2p5－2 ，解之得
p＝2，或 p＝8.

所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C. 答案 C
(2)(2012· 四川高考)已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原 点 O，并且经过点 M(2，y0)．若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3， 则|OM|＝ ( A．2 2 C．4 B．2 3 D．2 5 )
直线与抛物线的位置关系
[典题导入] (2013· 辽宁高考)如图， 抛物线 C1： x2＝4y， C2： x2＝－2py(p＞0)． 点 M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为 原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－ 2时，切线 MA 的斜率为 1 － . 2
2 2 x x 1 2 x ， x ， N(x，y)，A ， B 1 2 ，x1≠x2， 4 4
x1＋x2 由 N 为线段 AB 中点知 x＝ ， 2
2 x2 1＋x2 y＝ . 8
③
④ ⑤
x1 x2 1 切线 MA，MB 的方程为 y＝ (x－x1)＋ ， 2 4

[跟踪训练] 1． (2012· 安徽高考)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________． 解析 由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1， 0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点 A 到准线 x＝－1 的距离为 3，∴点 A 的横坐标为 2. 将 x＝2 代入 y2＝4x 得 y2＝8，由图知，y＝2 2， ∴A(2，2 2)，∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)．
l，由抛
物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离，因此 要求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的 最小值，可以转化为求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到焦点 F 的 距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点
F 到点(0，2)的距离．因此所求的最小值等于
(2)(2014· 福州质检)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到点(0， 2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( 17 A. 2 C. 5 B．3 9 D. 2 )
[听课记录] 记抛物线 y ＝2x 的焦点为
2
1 F ，0 ，准线是 2

[听课记录] 设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF| p p ＝x0＋ ＝5，则 x0＝5－ . 2 2 又点 F
p 的坐标为2，0 ，所以以
MF 为直径的圆的方程为 (x－
p x0)x－2 ＋(y－y0)y＝0.
2 y0 将 x＝0，y＝2 代入得 px0＋8－4y0＝0，即 －4y0＋8＝0，所以 y0 2
5． 设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4， 则点 P 到该抛物 线焦点的距离是________． 解析 其准线方程为 x＝－2， 又由点 P 到 y 轴的距离为 4，则 P 点横坐标 xP＝4， p 由定义知|PF|＝xP＋ ＝6. 2 答案 6



[关键要点点拨] 1 ．抛物线方程中，字母 p 的几何意义是抛物 p 线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛 2 物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助． 2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换 思想的应用． 3 ．由 y2 ＝ mx(m≠0) 或 x2 ＝ my(m≠0) 求焦点坐 标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点 位置即可．