第3章 屈服条件
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2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
s
物理意义：
1 当材料质点内单位体积的弹性形变能（即形状变化的能 量）达到某临界时，材料形状就屈服。
2 当八面体剪应力为某一临界值时，材料形状就屈服了。
对于绝大多数金属材料，密席斯准则更接近于试验数据。 对于各向同性理想塑性材料共同特点： 1).等式左边都是不变量的函数。 2).拉应力和压应力的作用是一样的。
解：由由密席斯屈服准则：
s
1 2 2 2 x y 2 y z 2 z x 2 6 xy yz xz 2
1 75 15 2 15 02 0 75 2 615 2 0 0 73.5MPa s 2
π平面上的屈服轨迹
3.4 中间主应力的影响 设σ 1 ≥σ 2 ≥σ 3 则：屈雷斯加准则可写成：
1 3 s
这时，中间主应力 准则中是有影响的。 罗氏应力参数 当 2 在
2 不影响材料的屈服，但在密席斯
2 1 3
2 2
1 3
1 至 3 之间变化时，
ij
=
4 2 3
2 6 1
3 1 5
求其主应力，并判断该点处于什么状态（弹性/塑
性）。（应力单位 N/mm2） 。
{提示：σ3-15σ2+60σ-54=0可分解为：
（σ-9）（σ2-6σ+6）=0）}。
5．某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分 量为σx=75，σy=15，σz=0，τxy=15（应力单位为 MPa），若该应力状态足以产生屈服，试问该材 料的屈服应力是多少？
三个主剪力
当 1 2 3
( 1 2 ) / 2 ( 2 3 ) / 2 ( ) / 2 3 1
1 3 C
可用最简单的应力状态，如单向拉伸或纯剪（薄壁管扭转）试 验求C。
单向拉伸时，有
1 s , 2 3 0
平面应变（纯剪叠加球张量），两个准则相差最大，为15.5%。
1 K ( 1 3 ) S 2 2
（K表示屈服时的最大剪应力）
K 0.5 S 屈雷斯加屈服准则 1 3 2 K S K （0.5 ~ 0.577 ） S 按密席斯准则
于各向同性理想刚塑性材料，即屈服应力常数的情况。
屈服准则
f ( ij ) C 理想刚塑性。
对于各向同性硬化屈服准则，Y是随变形而变的变量：
Y f ( )
1 3 Y
Y
各向同性应变硬化材料的后继屈服轨迹
如果把前述屈服准则统一写成 中心位置和形状是由应力状态函数 可以用同样的函数
则： C=
s
屈雷斯加屈服准则：
1 3 s
2、密席斯准则
因为材料的塑性变形是由应力偏张量引起的，且只 与应力偏张量的第二不变量有关。 将应力偏张量和第二不变量作为屈服准则的判据。 表述1 当应力偏张量的第二不变量达到某一定值时， 该点进入塑性变形状态。
表述2 当点应力状态的等效应力达到某一与应力状态无关的 定值，材料就屈服。
应力分量的函数
与材料性质有关的常数
有关材料性质的一些基本概念
无明显物理屈服点 有物理屈服点
实际金属材料
b)理想弹塑性
c)理想刚塑性材料
d)弹塑性硬化
e)刚塑性硬化
3.2 屈服准则
1、屈雷斯加准则 法国工程师屈雷斯加（H.Tresca）提出 材料的屈服与最大切应力有关，即当受力材 料中的最大切应力达到某一极限值（定值） 时，材料发生屈服。
屈雷斯加屈服准则：
1 3 s
2
密席斯屈服准则：
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 S
3.5 平面问题和轴对称问题中屈服准则的简化 对于密席斯屈服准则：
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 S
不考虑包辛格(Banschinger)效应。
基本概念： 屈服应力：质点处于单向应力状态，只要单 向应力达到材料的屈服点，则该点由弹性变 形状态进入塑性变形状态临界的应力。 塑性条件 或屈服条件：多向应力状态下变形 体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行 所必须满足的力学条件。
f ( ij ) C
1 2 2 ( 4 x xy ) 1 2 x 2 0 1 2 2 3 ( x x 4 xy ) 2
代入屈雷斯加准则：
1 3 x 2 4 xy 2 s
代入密席斯准则：
x 3 xy S
1 2
1 3 s 320MPa, 3 320 10 -330MPa
例2 已知一点的应力状态为：
1.2 s ij 0 0 0 0.1 s 0 0 0 0
试用屈雷斯加屈服准则该判断应力是否存在？如果 存在，材料处于弹性还是塑性变形状态（材料为理 想塑性材料，屈服强度为σs） 解：由屈雷斯加屈服准则 max 1 2 , 2 3 , 3 1 2k σ1=1.2σs，σ2=0.1σs，σ3=0 σ1-σ3=1.2σs-0＞σs， 因是理想塑性材料，屈服强度为σs，故此应力不 存在。
平面应力时，
2
z 3 yz zx 0
12 1 2 22 S 2
平面变形时：
zX zy 0, z 3 (1 2 ) / 2
1 2
2 3
S 2 K或( x y ) 4 xy
f d ij 0 时，为卸载，表示应力由初始屈服表 ij
面向内移动，产生了弹性卸载。
df 0 时，塑性流动继续，仍为加载，不 对于理想塑性材料， f df d ij 0 ij 会出现 df ＞0 的情况。当 df ＜0 时，表示弹性应力状态。
思考
什么是屈服准则、屈服表面、屈服轨迹？ 常用的屈服准则有哪两种？它们有何差别？在什么情况下
在这六点上，两个准则的差别都是15.5%。
如果P点在屈服轨迹的里面，则材料的质点处于弹性状态；如P点在轨迹上， 则质点处于塑性状态；对于理想塑性材料，P点不可能在屈服轨迹的外面。
密席斯屈 服准则
屈雷斯加 屈服准则
屈服准则都是空间曲面，叫做屈服表面。
主应力空间中，屈雷斯 加屈服表面是一个内接 于米塞斯圆柱面的正六 棱柱面
的形式，则屈服轨迹的 所确定的，而常数
决定了轨迹的大小。根据上述假设，各向同性硬化材料的屈服准则 来表示，但此时等式右边的常数C改变成 随变形程度而改变的变量。设这一变量用Y(材料为理想刚塑性材料 时，Y=C)表示。则各向同性硬化材料和理想刚塑性材料的屈服准则 都可表示为:
f ( ijij)
f ( )
2
2
4 2 S 4K 2 3
轴对称问题：
z 0
3.6 屈服准则的实验验证
以上两种屈服条件最主要的差别在于中间主应力是否有影 响。以下介绍的一个实验结果表明Von Mises条件比Tresca条
件更接近于实际。
平面应力状态 ： 承受均匀的拉应力及剪应力。
求主应力（应力特征方程）
f ( ij ) Y
对于应变硬化材料，应力状态有三种情况：
f d ij 0 时，为加载，表示应力状态由初始屈服 （ 1）当 df ij
表面向外移动，发生了塑性流动。
（ 2）当
时，表示应力状态保持在屈服表面上
移动，对于应变硬化材料来说，既不会产生塑性流动，也不会发生 弹性卸载，为中性变载。强化材料变载，理想材料加载。 （ 3）当 df
2 2
2
x s x s
xy 4 1 s xy 3 1 s
2 2
2
2
T resca Von Mises
3.6 应变硬化材料的屈服准则 材料经塑性变形后，要产生应变硬化，因此屈服应力并非 常数，在变形过程的每一瞬间，都有一后继的瞬时屈服表 面和屈服轨迹。而米赛斯和屈雷斯加两个屈服准则只适用
3 2
` 8 3J 2
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 )]2 C 2
单向拉伸时，有
1 s , 2 3 0
1 2 1 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
3).各表达式都和应力球张量无关。
3.3 屈服准则的几何表达-------屈服轨迹和屈服表面
一、两向应力状态的屈服轨迹
3 0
即可得到两向应力状态的密席斯屈服准则：
2 12 1 2 2 s2
1 2 坐标平面上是一个椭圆，它的中心在原点，对称轴与坐标轴
成45°，长半轴为 2 s ，短半轴为 这个椭圆就叫
ij 3. 若变形体屈服时的应力状态为：
试分别按Mises和Tresca塑性条件计算该材料的屈服应力 s 及β 值，并分析差异大小。
30 23 3 ×10MPa ＝ 3 15
4、某理想塑性材料，其屈服应力为100N/mm2 ，某
点的应力状态为
将在-1～1之间变化
我们利用
将密席斯准则改写成接近于屈雷斯加准则
的形式：
2
1 3
2
2
1 3
2
2
1 3
3
2
s
若设
3
2Hale Waihona Puke Baidu
1 3 s
值的变化范围为1～1.155
两个屈服准则的数学表达式相同
1
1.155 两个屈服准则差别最大
1 2 平面上的屈服轨迹。
2 s 3
，与坐标轴的截距± s
同样以 3 0 代入屈雷斯加屈服准则：
1 2 s 2 s 1 s 这是一个六边形，内接于密席斯椭圆，在六个角点上，两个准则是一致
的。 椭圆在外，意味着按密席斯准则需要较大的应力才能使材料屈服。
屈服表面几何意义： 主
应力空间中一点应力状态矢
1 2 s 2 3 s 3 1 s
量的端点 P 点位于屈服表面 上，该点处于塑性状态，若 P 点位于屈服表面内，则该 点处于弹性性状态。
π平面：在主应力空间中，通过坐标原点并垂 直于等倾角直线ON的平面。
它们相同?在什么应力状态下它们差别最大？分别写出其
数学表达式。
对各向同性的硬化材料的屈服准则是如何考虑的？ 米塞斯屈服准则的物理意义？
例题讲解
例1 一直径为50mm的圆柱体试样，在无摩擦的光滑 平板间墩粗，当总压力到达628KN时，试样屈服，现 设在圆柱体周围方向上加10MPa的压力，试求试样屈 服时所需的总压力。 4 628 103 320MPa 解：材料屈服应力： s 2 50 圆柱体加压后： 10MPa, 10MPa 由Mise屈服准则得：
第3章 屈服条件
第3章 屈服条件
3.1 基本假设 3.2 屈服准则
回顾并思考
均匀塑性变形 塑性失稳
屈服 断 裂
弹性变形
应力增加到什么程度材料屈服？
3.1 基本假设
材料为均匀连续，且各向同性；
体积变化为弹性的,塑性变形时体积不变；
静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性 变化； 不考虑时间因素，认为变形为准静态；
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
s
物理意义：
1 当材料质点内单位体积的弹性形变能（即形状变化的能 量）达到某临界时，材料形状就屈服。
2 当八面体剪应力为某一临界值时，材料形状就屈服了。
对于绝大多数金属材料，密席斯准则更接近于试验数据。 对于各向同性理想塑性材料共同特点： 1).等式左边都是不变量的函数。 2).拉应力和压应力的作用是一样的。
解：由由密席斯屈服准则：
s
1 2 2 2 x y 2 y z 2 z x 2 6 xy yz xz 2
1 75 15 2 15 02 0 75 2 615 2 0 0 73.5MPa s 2
π平面上的屈服轨迹
3.4 中间主应力的影响 设σ 1 ≥σ 2 ≥σ 3 则：屈雷斯加准则可写成：
1 3 s
这时，中间主应力 准则中是有影响的。 罗氏应力参数 当 2 在
2 不影响材料的屈服，但在密席斯
2 1 3
2 2
1 3
1 至 3 之间变化时，
ij
=
4 2 3
2 6 1
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求其主应力，并判断该点处于什么状态（弹性/塑
性）。（应力单位 N/mm2） 。
{提示：σ3-15σ2+60σ-54=0可分解为：
（σ-9）（σ2-6σ+6）=0）}。
5．某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分 量为σx=75，σy=15，σz=0，τxy=15（应力单位为 MPa），若该应力状态足以产生屈服，试问该材 料的屈服应力是多少？
三个主剪力
当 1 2 3
( 1 2 ) / 2 ( 2 3 ) / 2 ( ) / 2 3 1
1 3 C
可用最简单的应力状态，如单向拉伸或纯剪（薄壁管扭转）试 验求C。
单向拉伸时，有
1 s , 2 3 0
平面应变（纯剪叠加球张量），两个准则相差最大，为15.5%。
1 K ( 1 3 ) S 2 2
（K表示屈服时的最大剪应力）
K 0.5 S 屈雷斯加屈服准则 1 3 2 K S K （0.5 ~ 0.577 ） S 按密席斯准则
于各向同性理想刚塑性材料，即屈服应力常数的情况。
屈服准则
f ( ij ) C 理想刚塑性。
对于各向同性硬化屈服准则，Y是随变形而变的变量：
Y f ( )
1 3 Y
Y
各向同性应变硬化材料的后继屈服轨迹
如果把前述屈服准则统一写成 中心位置和形状是由应力状态函数 可以用同样的函数
则： C=
s
屈雷斯加屈服准则：
1 3 s
2、密席斯准则
因为材料的塑性变形是由应力偏张量引起的，且只 与应力偏张量的第二不变量有关。 将应力偏张量和第二不变量作为屈服准则的判据。 表述1 当应力偏张量的第二不变量达到某一定值时， 该点进入塑性变形状态。
表述2 当点应力状态的等效应力达到某一与应力状态无关的 定值，材料就屈服。
应力分量的函数
与材料性质有关的常数
有关材料性质的一些基本概念
无明显物理屈服点 有物理屈服点
实际金属材料
b)理想弹塑性
c)理想刚塑性材料
d)弹塑性硬化
e)刚塑性硬化
3.2 屈服准则
1、屈雷斯加准则 法国工程师屈雷斯加（H.Tresca）提出 材料的屈服与最大切应力有关，即当受力材 料中的最大切应力达到某一极限值（定值） 时，材料发生屈服。
屈雷斯加屈服准则：
1 3 s
2
密席斯屈服准则：
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 S
3.5 平面问题和轴对称问题中屈服准则的简化 对于密席斯屈服准则：
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 S
不考虑包辛格(Banschinger)效应。
基本概念： 屈服应力：质点处于单向应力状态，只要单 向应力达到材料的屈服点，则该点由弹性变 形状态进入塑性变形状态临界的应力。 塑性条件 或屈服条件：多向应力状态下变形 体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行 所必须满足的力学条件。
f ( ij ) C
1 2 2 ( 4 x xy ) 1 2 x 2 0 1 2 2 3 ( x x 4 xy ) 2
代入屈雷斯加准则：
1 3 x 2 4 xy 2 s
代入密席斯准则：
x 3 xy S
1 2
1 3 s 320MPa, 3 320 10 -330MPa
例2 已知一点的应力状态为：
1.2 s ij 0 0 0 0.1 s 0 0 0 0
试用屈雷斯加屈服准则该判断应力是否存在？如果 存在，材料处于弹性还是塑性变形状态（材料为理 想塑性材料，屈服强度为σs） 解：由屈雷斯加屈服准则 max 1 2 , 2 3 , 3 1 2k σ1=1.2σs，σ2=0.1σs，σ3=0 σ1-σ3=1.2σs-0＞σs， 因是理想塑性材料，屈服强度为σs，故此应力不 存在。
平面应力时，
2
z 3 yz zx 0
12 1 2 22 S 2
平面变形时：
zX zy 0, z 3 (1 2 ) / 2
1 2
2 3
S 2 K或( x y ) 4 xy
f d ij 0 时，为卸载，表示应力由初始屈服表 ij
面向内移动，产生了弹性卸载。
df 0 时，塑性流动继续，仍为加载，不 对于理想塑性材料， f df d ij 0 ij 会出现 df ＞0 的情况。当 df ＜0 时，表示弹性应力状态。
思考
什么是屈服准则、屈服表面、屈服轨迹？ 常用的屈服准则有哪两种？它们有何差别？在什么情况下
在这六点上，两个准则的差别都是15.5%。
如果P点在屈服轨迹的里面，则材料的质点处于弹性状态；如P点在轨迹上， 则质点处于塑性状态；对于理想塑性材料，P点不可能在屈服轨迹的外面。
密席斯屈 服准则
屈雷斯加 屈服准则
屈服准则都是空间曲面，叫做屈服表面。
主应力空间中，屈雷斯 加屈服表面是一个内接 于米塞斯圆柱面的正六 棱柱面
的形式，则屈服轨迹的 所确定的，而常数
决定了轨迹的大小。根据上述假设，各向同性硬化材料的屈服准则 来表示，但此时等式右边的常数C改变成 随变形程度而改变的变量。设这一变量用Y(材料为理想刚塑性材料 时，Y=C)表示。则各向同性硬化材料和理想刚塑性材料的屈服准则 都可表示为:
f ( ijij)
f ( )
2
2
4 2 S 4K 2 3
轴对称问题：
z 0
3.6 屈服准则的实验验证
以上两种屈服条件最主要的差别在于中间主应力是否有影 响。以下介绍的一个实验结果表明Von Mises条件比Tresca条
件更接近于实际。
平面应力状态 ： 承受均匀的拉应力及剪应力。
求主应力（应力特征方程）
f ( ij ) Y
对于应变硬化材料，应力状态有三种情况：
f d ij 0 时，为加载，表示应力状态由初始屈服 （ 1）当 df ij
表面向外移动，发生了塑性流动。
（ 2）当
时，表示应力状态保持在屈服表面上
移动，对于应变硬化材料来说，既不会产生塑性流动，也不会发生 弹性卸载，为中性变载。强化材料变载，理想材料加载。 （ 3）当 df
2 2
2
x s x s
xy 4 1 s xy 3 1 s
2 2
2
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T resca Von Mises
3.6 应变硬化材料的屈服准则 材料经塑性变形后，要产生应变硬化，因此屈服应力并非 常数，在变形过程的每一瞬间，都有一后继的瞬时屈服表 面和屈服轨迹。而米赛斯和屈雷斯加两个屈服准则只适用
3 2
` 8 3J 2
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 )]2 C 2
单向拉伸时，有
1 s , 2 3 0
1 2 1 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
3).各表达式都和应力球张量无关。
3.3 屈服准则的几何表达-------屈服轨迹和屈服表面
一、两向应力状态的屈服轨迹
3 0
即可得到两向应力状态的密席斯屈服准则：
2 12 1 2 2 s2
1 2 坐标平面上是一个椭圆，它的中心在原点，对称轴与坐标轴
成45°，长半轴为 2 s ，短半轴为 这个椭圆就叫
ij 3. 若变形体屈服时的应力状态为：
试分别按Mises和Tresca塑性条件计算该材料的屈服应力 s 及β 值，并分析差异大小。
30 23 3 ×10MPa ＝ 3 15
4、某理想塑性材料，其屈服应力为100N/mm2 ，某
点的应力状态为
将在-1～1之间变化
我们利用
将密席斯准则改写成接近于屈雷斯加准则
的形式：
2
1 3
2
2
1 3
2
2
1 3
3
2
s
若设
3
2Hale Waihona Puke Baidu
1 3 s
值的变化范围为1～1.155
两个屈服准则的数学表达式相同
1
1.155 两个屈服准则差别最大
1 2 平面上的屈服轨迹。
2 s 3
，与坐标轴的截距± s
同样以 3 0 代入屈雷斯加屈服准则：
1 2 s 2 s 1 s 这是一个六边形，内接于密席斯椭圆，在六个角点上，两个准则是一致
的。 椭圆在外，意味着按密席斯准则需要较大的应力才能使材料屈服。
屈服表面几何意义： 主
应力空间中一点应力状态矢
1 2 s 2 3 s 3 1 s
量的端点 P 点位于屈服表面 上，该点处于塑性状态，若 P 点位于屈服表面内，则该 点处于弹性性状态。
π平面：在主应力空间中，通过坐标原点并垂 直于等倾角直线ON的平面。
它们相同?在什么应力状态下它们差别最大？分别写出其
数学表达式。
对各向同性的硬化材料的屈服准则是如何考虑的？ 米塞斯屈服准则的物理意义？
例题讲解
例1 一直径为50mm的圆柱体试样，在无摩擦的光滑 平板间墩粗，当总压力到达628KN时，试样屈服，现 设在圆柱体周围方向上加10MPa的压力，试求试样屈 服时所需的总压力。 4 628 103 320MPa 解：材料屈服应力： s 2 50 圆柱体加压后： 10MPa, 10MPa 由Mise屈服准则得：
第3章 屈服条件
第3章 屈服条件
3.1 基本假设 3.2 屈服准则
回顾并思考
均匀塑性变形 塑性失稳
屈服 断 裂
弹性变形
应力增加到什么程度材料屈服？
3.1 基本假设
材料为均匀连续，且各向同性；
体积变化为弹性的,塑性变形时体积不变；
静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性 变化； 不考虑时间因素，认为变形为准静态；