人教版数学高一-必修一训练方程的根与函数的零点(教师版)
人教版必修1高一数学方程的根与函数的零点专项练习(带答案)
人教版必修 1 高一数学方程的根与函数的零点专项练习（带答案）方程的学习需要记忆好多公式，以下是方程的根与函数的零点专项练习，请大家仔细练习。
一、选择题1.已知函数 f(x) 在区间 [a，b] 上单一，且 f(a)f(b)0 则方程 f(x)=0在区间 [a， b]上 ()A. 起码有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有独一的实根[答案]D2.已知函数 f(x) 的图象是连续不停的，有以下的x、 f(x) 对应值表：x123456函数 f(x) 在区间 [1,6] 上的零点起码有()A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个[答案]B3.(2019～2019 山东淄博一中高一期中试题)关于函数f(x)=x2+mx+n ，若 f(a)0， f(b)0 ，则 f(x) 在 (a， b)上 ()A. 必定有零点B.可能有两个零点C.必定有没有零点D. 起码有一个零点[答案]B[ 分析 ] 若 f(x) 的图象以下图否认C、 D若 f(x) 的图象与 x 轴无交点，知足 f(a)0 ， f(b)0 ，则否认 A ，应选 B.4.以下函数中，在[1,2] 上有零点的是 ()A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=lnx-3x+6D.f(x)=ex+3x-6[答案]D[ 分析 ] A ：3x2-4x+5=0 的鉴别式0，此方程无实数根，f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上无零点.B：由 f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.在同一坐标系中画出y=x3 ，x[1,2] 与 y=5x+5 ，x[1,2] 的图象，如图 1，两个图象没有交点.f(x)=0 在 [1,2] 上无零点 .C：由 f(x)=0 得 lnx=3x-6 ，在同一坐标系中画出y=lnx 与 y=3x-6的图象，如图 2 所示，由图象知两个函数图象在[1,2] 内没有交点，因此方程f(x)=0 在 [1,2] 内没有零点 .D ：∵ f(1)=e+31-6=e-30 ，f(2)=e20 ，f(1)f(2)0.f(x) 在[1,2] 内有零点 .5.若函数 f(x)=x2-ax+b 的两个零点是 2 和 3，则函数g(x)=bx2-ax-1 的零点是 ()A.-1 和 16B.1 和 -16C.12 和 13D.-12 和 -13[答案]B[ 分析 ] 因为 f(x)=x2-ax+b 有两个零点 2 和 3，a=5，b=6.g(x)=6x2-5x-1 有两个零点 1 和 -16.6.(2019 福建理， 4)函数 f(x)=x2+2x-3 ， x0-2+lnx ， x0 的零点个数为 ()A.0B.1C.2D.3[答案]C[ 分析 ] 令 x2+2x-3=0 ， x=-3 或 1;∵x0， x=-3; 令 -2+lnx=0 ，lnx=2 ，x=e20，故函数 f(x) 有两个零点 .二、填空题7.已知函数 f(x)=x+m 的零点是2，则 2m=________.[答案 ] 14[ 分析 ] ∵ f(x) 的零点是 2， f(2)=0.2+m=0 ，解得 m=-2.2m=2-2=14.8.函数 f(x)=2x2-x-1 ，x0，3x-4，x0 的零点的个数为________. [答案]2[ 分析 ] 当 x0 时，令 2x2-x-1=0 ，解得 x=-12(x=1 舍去 );当 x0 时，令 3x-4=0 ，解得 x=log34 ，因此函数 f(x)=2x2-x-1 ， x0，3x-4 ，x0 有 2 个零点 .9.关于方程 x3+x2-2x-1=0 ，有以下判断：①在 (-2， -1)内有实数根 ;②在 (-1,0)内有实数根 ;③在 (1,2)内有实数根 ;④在 (-， +)内没有实数根 .此中正确的有 ________.( 填序号 )[答案 ] ①②③[ 分析 ] 设 f(x)=x3+x2-2x-1 ，则 f(-2)=-10 ，f(-1)=10 ，f(0)=-10 ， f(1)=-10 ， f(2)=70 ，则 f(x) 在 (-2， -1)，(-1,0) ， (1,2)内均有零点，即①②③正确.三、解答题10.已知函数 f(x)=2x-x2 ，问方程 f(x)=0 在区间 [-1,0] 内能否有解，为何 ?[ 分析 ] 因为 f(-1)=2-1-(-1)2=-120 ，f(0)=20-02=10 ，而函数 f(x)=2x-x2 的图象是连续曲线，因此 f(x) 在区间 [-1,0] 内有零点，即方程f(x)=0 在区间 [-1,0]内有解 .11.判断以下函数能否存在零点，假如存在，恳求出.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=x2+x+2;(3)f(x)=x2+4x-12x-2;(4)f(x)=3x+1-7;(5)f(x)=log5(2x-3).[ 分析 ] (1) 因为 f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1)，令f(x)=0，解得x=-18 或 x=1 ，因此函数的零点为-18 和 1.(2)令 x2+x+2=0 ，因为 =12-412=-70 ，因此方程无实数根，所以 f(x)=x2+x+2 不存在零点 .(3)因为 f(x)=x2+4x-12x-2=x+6x-2x-2，令x+6x-2x-2=0，解得x=-6 ，因此函数的零点为 -6.(4)令 3x+1-7=0 ，解得 x=log373 ，因此函数的零点为log373.(5)令 log5(2x-3)=0 ，解得 x=2，因此函数的零点为 2.12.(2019～2019 北京高一检测 )已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3) 有两个零点，一个大于1，一个小于 1，务实数 m 的取值范围 .[ 分析 ] 设 f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)，如图，有两种状况.第一种状况， m+20， f10，解得 -2要练说，得练听。
人教版高中教材数学必修一《方程的根与函数的零点》教学设计
《方程的根与函数的零点》的教学设计教学内容：《人教课标A版数学必修I》的第三章3.1.1方程的根与函数的的零点。
教学目标：知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。
过程与方法目标：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。
情感、态度、价值观目标：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思维的思想，以及分析问题解决问题的能力。
教材分析：函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是出等数学与高等数学的连接纽带。
在现实生活实践中，函数与方程都有着十分的应用，在注重理论与实践相结合的今天，有着无可替代的作用，在加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一。
因此函数与方程在高一乃止整个高中数学教学中，占有非常重要的地位。
本节课要求学生通过对二次函数的图象的研究，去判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，近而了解函数的零点与一元二次方程根的联系。
它既揭示了初中两大知识方程与函数的内在联系，是对本章函数知识的加深与总结，同时也是对函数知识的总深拓展。
把函数在解方程中加以应用，从而还可以渗透中学的重要数学思想：方程与函数的思想，数形结合的思想。
教学重点难点：1.重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
2.难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
教学方法：采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。
教学流程：一、创设情境、引出问题：1.渗透数学文化：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。
【精讲优练课】人教版高中数学必修1练习：3.1.1方程的根与函数的零点(含答案解析)
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课时提升作业(二十三)方程的根与函数的零点(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=-x的零点是()A.2B.-2C.2,-2D.(2,-2)【解析】选C.令-x=0,得=0,得x=±2.故函数y=-x的零点是±2.2.若函数f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点,则()A.f(1)·f(2)>0B.f(1)·f(2)=0C.f(1)·f(2)<0D.不确定【解析】选D.当f(x)在区间(1,2)上单调时,f(1)·f(2)<0,当其不单调时,如f(x)=,就没有f(1)·f(2)<0,而是f(1)·f(2)>0,但f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点.3.(2015·梅州高一检测)下列图象表示的函数中没有零点的是()【解题指南】由函数零点的意义可得:函数没有零点⇔函数的图象与x轴没有交点.【解析】选A.由图象可知,只有选项A中的函数图象与x轴无交点.4.若x0是方程lgx+x=2的解,则x0属于区间()A.(0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)【解析】选D.构造函数f=lgx+x-2(x>0),则函数f的图象在(0,+∞)上是连续不断的一条曲线,又因为f(1.75)=f=lg-<0,f=lg2>0,所以f·f<0,故函数的零点所在区间为(1.75,2),即方程lgx+x=2的解x0属于区间(1.75,2).【补偿训练】函数f=2x+3x的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】选B.由题意可知f(-2)=-6<0,f(-1)=-3<0,f=1>0,f>0,f(-1)·f(0)<0,因此在区间(-1,0)上一定有零点.5.(2015·赤峰高一检测)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且α,β(α<β)是方程f(x)=0的两个根,则a,b,α,β的大小关系可能是()A.a<α<b<βB.α<a<β<bC.α<a<b<βD.a<α<β<b 【解析】选C.f(a)=-2,f(b)=-2,而f(α)=f(β)=0,如图所示,所以a,b,α,β的大小关系是α<a<b<β.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·十堰高一检测)函数f(x)=的零点是.【解析】令=0,即x2-4=0且x-2≠0,解得x=-2,故函数的零点为-2.答案:-2【误区警示】本题易认为函数的零点有两个,即由x2-4=0求出x=±2.7.对于方程x3+x2-2x-1=0,有下列判断:①在(-2,-1)内有实数根;②在(-1,0)内有实数根;③在(1,2)内有实数根;④在(-∞,+∞)内没有实数根.其中正确的有.(填序号)【解析】设f=x3+x2-2x-1,则f(-2)=-1<0,f(-1)=1>0,f=-1<0,f=-1<0,f=7>0,则f(x)在(-2,-1),(-1,0)(1,2)内均有零点,即①②③正确.答案:①②③【补偿训练】若函数f=2x2-ax+8只有一个零点,则实数a的值等于. 【解析】因为函数f=2x2-ax+8只有一个零点,即方程2x2-ax+8=0只有一个解,则Δ=a2-4×2×8=0,解得a=±8.答案:±88.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是(填序号).①(-1,0); ②(0,1); ③(1,2); ④(2,3). 【解析】令F(x)=f(x)-g(x),F(-1)=-0.147<0,F(0)=-0.44<0,F(1)=0.542>0,F(2)=0.739>0,F(3)=0.759>0,所以F(0)·F(1)<0,所以f(x)=g(x)有实数解的区间是②.答案:②三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的零点.(1)f=-6x2+5x+1.(2)f=x3+1.(3)f=.【解析】(1)因为f=-6x2+5x+1=-(6x+1)(x-1),令-(6x+1)(x-1)=0,解得x=-或x=1,所以f=-6x2+5x+1的零点是-和1.(2)因为f=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令(x+1)(x2-x+1)=0,解得x=-1,所以f=x3+1的零点是-1.(3)因为f==,令=0,解得x=-1,所以f=的零点是-1.10.(2015·九江高一检测)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点.(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.【解析】(1)函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知Δ>0,即4+12 (1-m)>0,可解得m<.由Δ=0,可解得m=;由Δ<0,可解得m>.故当m<时,函数有两个零点;当m=时,函数有一个零点;当m>时,函数无零点.(2)因为0是对应方程的根,有1-m=0,可解得m=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.二次函数y=x2-kx-1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是()A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选 C.因为Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4,无论k为何实数,Δ>0恒成立,即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.2.(2015·海口高一检测)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1003个,则f(x)的零点的个数为()A.1003B.1004C.2006D.2007【解题指南】利用函数为奇函数,则其图象关于原点对称,又f(0)=0,故可判断该函数图象与x 轴交点的个数.【解析】选D.因为f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内有1003个零点,所以在(-∞,0)上也有1003个零点,又因为f(0)=0,所以共有2006+1=2007个零点.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·玉林高一检测)函数f(x)=-的零点个数为.【解题指南】利用函数与方程思想,把函数的零点个数问题转化为方程解的个数问题,再转化为求两个函数图象的交点个数问题.【解析】函数f(x)=-的零点个数,是方程-=0的解的个数,即方程=的解的个数,也就是函数y=与y=两图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图可得交点个数为1个.答案:1【补偿训练】函数f=lnx-x+2(x>0)的零点个数是.【解析】取g=lnx,h=x-2,(x>0)则f(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点的横坐标,如图:由图可知两函数的图象有两个交点,故原函数有两个零点.答案:24.若函数f=a x-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数g(x)=a x与函数h(x)=x+a交点的个数,由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点,0<a<1时两函数图象有唯一交点,故a>1.答案:(1,+∞)【补偿训练】已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3有两个零点,一个大于1,一个小于1,则实数m的取值范围为.【解析】y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3,如图,有两种情况.第一种情况,此不等式组无解.第二种情况,解得-2<m<-.综上,m的取值范围是-2<m<-.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·南京高一检测)若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数k的取值范围.【解析】令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由图象可得只需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即解得因此实数k的取值范围为.【补偿训练】1.已知函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1,讨论a为何值时,(1)函数有一零点.(2)函数有一正一负两零点.【解题指南】对a分类讨论求解.【解析】(1)①当a=0时,f(x)=0即为-2x-1=0,则x=-,符合题意;②当a≠0时,函数为二次函数,若函数有一零点,则Δ=12a+4=0,解得a=-.故当a=0或a=-时,函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1有一零点.(2)若函数有一正一负两零点,则a≠0且Δ=12a+4>0,且a(a-1)<0,解得0<a<1.故当0<a<1时,函数有一正一负两零点.2.讨论函数f=(ax-1)(x-2)(a∈R)的零点.【解析】当a=0时,函数为f(x)=-x+2,则其零点为2.当a=时,则(x-2)=0,解得x1=x2=2,则其零点为2.当a≠0,且a≠时,则(ax-1)(x-2)=0,解得x=或x=2,其零点为和2.6.(2015·南昌高一检测)已知函数f(x)=ax2-4x+2.(1)若f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.(2)已知a≤1,若函数y=f(x)-log2在区间[1,2]内有且只有一个零点,试确定实数a的取值范围. 【解析】(1)因为f(2-x)=f(2+x),所以f(x)的对称轴为x=2,即-=2,即a=1.所以f(x)=x2-4x+2.(2)因为y=f(x)-log2=ax2-4x+5-log2x,设r(x)=ax2-4x+5,s(x)=log2x(x∈[1,2]),则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点,当a=0时,r(x)=-4x+5在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3<s(2)=1,所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点.当a<0时,r(x)图象开口向下,对称轴为x=<0,所以r(x)在区间[1, 2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,则由⇒⇒-1≤a≤1,所以-1≤a<0.当0<a≤1时,r(x)图象开口向上,对称轴为x=≥2,所以r(x)在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,则由⇒⇒-1≤a≤1,所以0<a≤1.综上所述,实数a的取值范围为[-1,1].关闭Word文档返回原板块。
人教版数学高一-新课标 方程的根与函数的零点 同步教案
3.1.1 方程的根与函数的零点教案【教学目标】1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定条件.【教学重难点】教学重点：方程的根与函数的零点的关系。
教学难点：求函数零点的个数问题。
【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为 ； （2）函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号 ② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()f a f b 0；在区间[,]b c 上 零点；()()f b f c 0；在区间[,]c d 上 零点；()()f c f d 0.新知：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b <0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.（三）典型例题例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.解析：引导学生借助计算机画函数图像，缩小解的范围。
人教版教材数学高中必修一《方程的根与函数的零点》教学设计
3.1.1方程的根与函数的零点[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系.知识点一函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.思考函数的零点是点吗？答函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数.知识点二函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.知识点三函数零点的判定定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.思考(1)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0一定成立吗？(2)若函数f(x)在[a，b]上有f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上一定没有零点吗？答(1)不一定.可能y＝f(x)在x＝a或y＝b处无定义；即使有定义，也可能f(a)·f(b)>0.如函数y＝(x－1)2在(0,2)内有零点，但f(0)·f(2)>0.(2)不一定，如y＝(x－1)2，在[0,2]上f(0)·f(2)>0，但f(x)在(0,2)上有零点1.题型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)； (3)f (x )＝2x －1－3； (4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.解 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或x ＝－6，所以函数的零点是－1，－6. (2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1， 所以函数的零点是－1.(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26， 所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.反思与感悟 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.跟踪训练1 函数y ＝x －1的零点是( ) A.(1,0) B.0 C.1 D.不存在 答案 C解析 令y ＝x －1＝0，得x ＝1，故函数y ＝x －1的零点为1. 题型二 判断函数零点所在区间例2 已知函数f (x )＝x 3－x －1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( ) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 答案 C解析 ∵f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (3)＝23>0，f (4)＝59>0. ∴f (1)·f (2)<0，此零点一定在(1,2)内.反思与感悟 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象. 2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点.跟踪训练2 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A.(－2，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2)答案 C解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，∴f(x)在(0,1)内有零点.题型三判断函数零点的个数例3判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数.解方法一函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x 与y＝3－x2的图象交点个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.方法二由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，所以f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.反思与感悟判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一直角坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.跟踪训练3函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为()A.1B.2C.0D.不能确定答案B解析如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图象，可知两函数有两个交点，即f(x)有两个零点.题型四一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的区间根问题例4关于x的方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围.解方法一(应用求根公式)方程x2－2ax＋4＝0的两根为x ＝2a ±4a 2－162＝a ±a 2－4，要使两根均大于1，只需较小根a －a 2－4>1即可. 解得2≤a <52.方法二 (应用根与系数的关系)设x 1，x 2为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根， 则有x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝4.①要使原方程x 2－2ax ＋4＝0的两根x 1，x 2均大于1， 则需满足⎩⎪⎨⎪⎧(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，Δ≥0.将①代入上述不等式组，解得2≤a <52.方法三 (应用二次函数的图象) 设f (x )＝x 2－2ax ＋4，图象如图所示. 由图可知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，－－2a 2>1，解得2≤a <52.反思与感悟 1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：(1)Δ与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向. 2.设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根，则x 1，x 2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.根的分布图象等价条件x 1<x 2<k⎩⎨⎧ Δ>0f (k )>0－b 2a <kk <x 1<x 2⎩⎨⎧Δ>0f (k )>0－b 2a >kx 1<k <x 2f(k)<0x 1，x 2∈(k 1，k 2)⎩⎨⎧Δ≥0f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k2x 1，x 2(x 1≠x 2)中有且仅有一个在(k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)<0或f (k 1)＝0，k 1<－b 2a <k 1＋k 22或f (k 2)＝0，k 1＋k 22<－b2a<k 2跟踪训练4 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1有两个零点x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(－4，－2)，求a 的取值范围.解 ∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的图象是连续的且两点x 1，x 2满足x 2∈(－4，－2)，x 1∈(0,1).∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)·f (1)<0⇒3a ＋1<0，f (－4)·f (－2)<0⇒8a ＋1<0⇒a <－13.∴a 的取值范围为a <－13.数形结合思想例5 已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是_____. 答案 1解析 如图所示，由图象知直线y ＝1与y ＝|x 2－4x ＋3|的图象有三个交点，则方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a ＝1.反思与感悟 求解这类问题可先将原式变形为f (x )＝g (x )，则方程f (x )＝g (x )的不同解的个数等于函数f (x )与g (x )图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解.跟踪训练5 当m 为何值时，方程x 2－4|x |＋5＝m 有4个互不相等的实数根？ 解 令f (x )＝x 2－4|x |＋5，作出其图象，如图所示，由图象可知，当1<m <5时，方程x 2－4|x |＋5＝m 有4个互不相等的实数根.1.函数y ＝4x －2的零点是( ) A.2 B.(－2,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0 D.12 答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12.2.对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( ) A.方程f (x )＝0一定有实数解 B.方程f (x )＝0一定无实数解 C.方程f (x )＝0一定有两实数解 D.方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1,3)上有实数解.3.方程2x －x 2＝0的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 及y ＝x 2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x －x 2＝0的解的个数为3.4.已知函数f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，2)解析 由题意可知f (0)＝a －2<0，解得a <2.1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.2.方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.一、选择题1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析 B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点.2.函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 ∵f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10) ＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，∴由f (x )＝0得x ＝－5或x ＝1或x ＝2.3.下列区间中，存在函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点的是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2，e)D.(3,4) 答案 B解析 f (1)＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，故在区间(1,2)上存在函数f (x )的零点.4.已知函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的，且满足f (a )·f (b )<0(a ，b ∈R ，a <b )，则函数f (x )在(a ，b )内( ) A.有且只有一个零点 B.至少有一个零点 C.无零点 D.无法确定有无零点答案 B解析 函数y ＝f (x )在定义域内连续，且满足f (a )·f (b )<0，故函数f (x )在(a ，b )内至少有一个零点.5.若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A.－1和16B.1和－16C.12和13D.－12和3答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1，∴g (x )的零点为1和－16，故选B.6.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上的零点( ) A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有答案 C解析 若a ＝0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是一次函数，由已知f (1)·f (2)<0，得只有一个零点；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则应有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾.故仅有一个零点. 二、填空题7.若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 答案 0或－14解析 a ＝0时，f (x )只有一个零点－1， a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.8.设x 0是方程ln x ＋x ＝4的根，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 答案 2解析 令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0， f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.9.函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是_____.答案 (－3,0)解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (0)<0，f (2)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a >0，a <0，a <0，3＋a >0，解得－3<a <0.10.如果函数f (x )＝ax －b 有一个零点是3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是______. 答案 0，－1解析 由f (x )＝ax －b 有零点3，即3a －b ＝0，b ＝3a . ∴bx 2＋3ax ＝0，即3ax 2＋3ax ＝0， ∴x ＝0或x ＝－1. 三、解答题11.已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点. 解 由题意得x 2－ax －b ＝0有两根2和3，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2＋3，－b ＝2×3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6，∴g (x )＝－6x 2－5x －1.令g (x )＝0，得6x 2＋5x ＋1＝0即(2x ＋1)(3x ＋1)＝0，得x ＝－12，或x ＝－13.∴g (x )的零点为－12，－13.12.已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围. (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内. 解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1.解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.(3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得103＜a ＜174.13.已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的取值范围. 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3. f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3 ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3， ∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点. 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＞0，114＋m ＜0，解得－3＜m ＜－114，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，－114.。
新人教版高中数学必修一《方程的根与函数的零点》教学设计
《方程的根与函数的零点》教学设计【学习目标】1．理解函数零点的意义2．会求简单函数的零点，了解函数零点与方程根的关系【教学流程】一、复习回顾，奠定基础{课件投影}（一） 问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数的图象与x 轴的交点坐标问题2 从上面的表格，你能发现方程的实数根与函数图象和X 轴的交点具有什么样的关系吗？要求：先独立完成，画出标准函数图象，然后小组内部交流答案并派代表展示结果，其它组的同学若有不同意见请及时补充完善.设计意图：从学生熟知的、具体的二次函数入手，设置学生的最近思维发展区，使新知识与原有知识形成联系{课件投影} 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（要求：请同学们根据下面的表格，独立完成。
然后小组内部交流意见和解题方法，并派代表展示结果，其它组的同学若有不同意见请及时补充完善.）方 程 x 2－2x+1=0 x 2－2x+3=0 y= x 2－2x －3 y= x 2－2x+1 函 数 函数的 图象 方程的实数x 2－2x －3=0 函数图象与X 轴的y= x 2－2x+3函数的图象函数y= ax 2 +bx+c (a>0)的图象 方程ax 2 +bx+c=0 (a>0)的根 判别式△ =b 2－4ac △＞0 △=0 △＜0设计意图：由具体的一元二次方程和二次函数到一般的一元二次方程和二次函数，既有利于学生掌握知识，又有助于学生抽象思维能力的形成。
二、合作探究 发现规律（一）直观感知，形成思路{课件投影} 1、零点是点吗？2、方程的实数根，函数的零点、函数y=f(x)的图象与x 轴的交点有什么关系？3、求函数零点的方法有几种？（要求：独立思考上面的问题，2分钟后小组讨论给出答案，并说明理由。
其它同学认真聆听，有不同意见及时补充完善）设计意图：让学生自己探究出函数零点的性质，以及函数的零点和方程的根之间的关系，记忆更加深刻{课件投影} 请同学们认真阅读习题，独立完成，2分钟后举手回答下列问题，其它同学如果有不同意见，请补充完善。
人教课标版高中数学必修一《方程的根与函数的零点(第2课时)》教案(1)-新版
3.1.1 方程的根与函数的零点第二课时一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，理解零点存在定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间。
通过对具体函数图形的观察、零点左右函数符号的特点归纳出零点存在定理，培养学生直观想象、数学抽象素养，在用零点存在定理确定函数零点所在区间的学习过程中培养学生数学运算、数据分析素养，在用零点定理解决一元二次方程根的分布问题中培养学生逻辑推理、数学运算素养. （二）学习目标1.从具体的二次函数出发，观察零点两侧函数符号，归纳出函数零点存在定理.2.正确理解零点存在定理，了解图像连续不断的意义及作用，知道定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个。
能初步用零点定理确定具体函数存在零点的区间.3.能用零点定理解决一些具体函数零点问题，特别是能用函数零点存在定理解决一元二次方程根的分布问题。
（三）学习重点1.探索零点存在定理，对零点存在定理的理解;2.零点存在定理的应用，确定函数零点所在区间，特别是一元二次函数零点分布区（四）学习难点1.零点存在定理的探究、对定理的理解；2.用零点存在定理解决函数零点分布特别是一元二次函数零点的分布问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第87页探究至88页.（2）想一想：一元二次函数的零点有几个？零点左、右函数值符号有什么特点？（3）写一写：试找出函数f(x)=-x3-3x+5零点所在的大致区间.2.预习自测（1）求函数y=x2-5x-6的零点.【知识点】函数零点 【数学思想】函数与方程【解题过程】令y =0可得126,1,x x ==-即函数零点为6，-1. 【思路点拨】函数零点转化为方程的根. 【答案】-1,6.（2）函数y =x 2-5x -6在（0,2）上零点个数是（ ）A.1B.2C.0D.不确定 【知识点】函数零点 【数学思想】函数与方程【解题过程】令y =x 2-5x -6=0解得126,1,x x ==-故在(0,2)上无零点. 【思路点拨】由（1）可得方程两根，但要考虑跟根所在区间. 【答案】C.（3）函数y =-x 3-3x +5的的零点所在区间为（ ） A.（0,1） B.（-1,0） C.（1,2） D.（2,3） 【知识点】函数零点 【数学思想】数形结合思想x +5=0即x 3=-3x +5，由图像可得其交点在（1,2）之间.【思路点拨】分解为y =x 3与y =-3x +5图像的交点所在区间. 【答案】C (二)课堂设计 知识回顾1.一元二次方程根的判断：△>0时有两个实根，△=0时有一个实根，△<0时无实根.2.函数零点定义：对于函数y =f(x )，我们把使f(x )=0的实数x 叫做函数y =f(x )的零点.3.函数零点与方程根的关系：方程f(x )=0有实数根函数y =f(x )的图像与x 轴有交点函数y =f(x )有零点. 2.问题探究探究一 从具体函数中归纳零点定理★▲ ●活动① 从实际问题初步体会零点存在定理.新疆位于我国最北部，它的昼夜温差比较大.若已知新疆某地白天最高气温是零上10C ， 夜晚时最低气温零下5C .请问这一天是否有某个时刻的温度为0C ？试用已知画出本地这天温度的大致变化趋势.【设计意图】从实际问题出发，学生很容易理解。
人教版教材高中数学必修一《方程的根与函数的零点》教学设计
§ 3.1.1 方程的根与函数的零点一、教学目标1、知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念。
②领会函数零点与相应方程的根的关系，掌握零点存在的判定条件。
2、过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。
②让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生的观察能力和抽象概括能力。
二、教学重点、难点重点零点的概念及存在性的判定。
难点零点的确定。
三、教学方法学生在老师的引导下，通过教师对本节内容的讲解，完成本节课的教学目标。
四、教学过程1、提出问题：一元二次方程 a x2+bx+c=0 ( a≠ 0) 的根与二次函数y=ax2+bx+c( a≠0) 的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程 x2-2x-3=0 与函数 y=x2-2x-3,②方程 x2-2x+1=0 与函数 y=x2-2x+1③方程2x -2x+3=0与函数2y=x -2x+3y yyx0xx学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，从而引出零点的概念。
函数零点的概念：对于函数 y f ( x) ，把使 f (x) 0 成立的实数 x 叫做函数 y f ( x) 的零点。
函数零点的意义：函数 y f ( x) 的零点就是方程 f ( x) 0 实数根，亦即函数 y f ( x) 的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程 f ( x) 0 有实数根函数y f ( x) 的图象与 x 轴有交点函数y f (x) 有零点。
函数零点的求法：求函数 y f (x) 的零点：①（代数法）求方程 f ( x)0 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f (x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
若将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，总结概括形成结论。
高一数学人教A版必修一教案：方程的根与函数的零点 含答案
方程的根与函数的零点教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．教学程序与环节设计：结合二次函数引入课题．研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．教学过程与操作设计：环节教学内容设置师生双边互动创设情境先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：○1方程0322=--xx与函数322--=xxy○2方程0122=+-xx与函数122+-=xxy○3方程0322=+-xx与函数322+-=xxy师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=xxxf的图象：○1在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f_______，=)1(f_______,)2(-f·)1(f_____0（＜或＞）．○2在区间]4,2[上有零点______；)2(f·)4(f____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(xfy=的图象○1在区间],[ba上______(有/无)零点；)(af·)(bf_____0（＜或＞）．○2在区间],[cb上______(有/无)零点；)(bf·)(cf_____0（＜或＞）．○3在区间],[dc上______(有/无)零点；)(cf·)(df_____0（＜或＞）．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．。
人教版数学高中必修一《方程的根与函数的零点》教学课件
3.1.1． 方程的根与函数的零点
学习目标
1、能够结合二次函数的图象判断一元二次方程 根的存在性及根的个数． 2、理解函数的零点与方程根的联系．
2019/11/29
研修班
2
学习导图
研究具体的二次方程的 根和二次函数图象与 x轴的关系
研究一般的二次方程的 根和二次函数图象与 x轴的关系
研修班
11
(3) x2 ＝4x－4
解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x ＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 函数f(x)的图象，如下：
它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
y
.6
.
.
5 4
.
3 2
1
.
－1 0 1 2 3 4 x
2019/11/29
研修班
12
方程ax2 bx c 0(a 0) f ( x) 0 函数y ax2 bx c(a 0) 函数y f ( x)
方程f ( x) 0的实根情况 函数y f ( x)图象与x轴的交点情况
2019/11/29
研修班
7
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。 等价关系
[2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0 （2,4）x＝3 x2－2x－3＝0的另一个根
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
y
[0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)·f(1.5)<0
1
（0.5 , 1.5) x＝1 lgx=0的一个根.
人教新课标版数学高一必修1导学案 方程的根与函数的零点教师版
3.1.1方程的根与函数的零点教学目标1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《3.1.1 方程的根与函数的零点》课件“情景引入”部分，让学生与大家分享自己的了解。
通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习三、合作探究除了韦达定理和求根公式和函数的图像存在关系，为后面的零点进行铺垫通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备。
问题2：由二次函数与其所对应方程之间存在的关系你能否类比得到函数和方程之间的关系吗？设计意图：培养学生识图和归纳总结的能力问题3：你能将你得到的特殊结论推广到一般的形式的函数吗？并将你所得的结论总结出来吗？设计意图：让学生参与概念的生成，并将学生的主体地位显现问题4：对于如图所示的函数图象什么时候会存在零点呢？设计意图：通过将零点存在定理分割让学生理解零点为什么要定义在区间上同时也让学生了解图象在区间上也必须连续，也为寻找特殊二次函数在区间有零点提供依据，同时为零点存在定理的形成进行铺垫。
问题5：在怎样的条件下，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上一定有零点？ 探究：（1）观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______；f (-2)=_______，f (1)=_______，f (-2)·f (1)_____0（或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点______；f (2)·f (4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”）．②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）． 设计意图：通过归纳总结得出特殊到一般数学思想得到零点存在性定理．从而强调零点存在的条件为后面概念的辨析做好铺垫。
人教新课标版数学高一-数学必修1训练 方程的根与函数的零点
数学·必修1(人教A版)函数的应用本章概述学习内容1.函数与方程(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．2.函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识结构3．1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点►基础达标1．设函数f(x)＝x3＋ax＋b是定义域[－2,2]上的增函数，且f(－1)f(1)＜0，则方程f(x)＝0在[－2，2]内()A．可能有三个实数根B．可能有两个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析：∵f(x)在[－2,2]上是增函数，且f(－1)f(1)＜0，∴f(x)在[－1,1]上有唯一的实根，故在[－2,2]上也只有唯一实根．答案：C2．方程lg x＋x＝0在下列的哪个区间内有实数解() A．[－10，－0.1]B．[0.1,1]C．[1,10] D．(－∞，0]解析：记f(x)＝lg x＋x，∵f(0.1)·f(1)＝(lg 0.1＋0.1)(lg 1＋1)＝－0.9×1＜0，∴在[0.1,1]内有解．答案：B3．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则下列判断中正确的是() A．方程f(x)＝0一定有根B．方程f(x)＝0一定无根C．方程f(x)＝0一定有两根D．方程f(x)＝0可能无根解析：∵题中没说f(x)的图象是连续不断的一条曲线．答案：D4．函数y＝x2－64x的零点的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C5．函数y＝ln x＋2x－6的零点，必定位于下列哪一个区间() A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)解析：记f(x)＝ln x＋2x－6.∵f(2)·f(3)＝(ln 2－2)(ln 3)＜0.答案：B6．若函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围为________．解析：∵当m＋1＝0时，f(x)＝－4x－3是一次函数，不可能满足题意，∴m≠－1.当m＋1≠0时，只需Δ＝16m2－4×2(m＋1)(2m－1)＞0，解得m＜1且m≠－1.答案：m＜1且m≠－1►巩固提高7．方程|x＋1|＝2x根的个数为()A．0 个B．1个C．2 个D．3个解析：∵|x＋1|＝2x根的个数就是函数y＝|x＋1|与函数y＝2x的图象交点的个数．故有3个交点．答案：D8．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值范围是____________．9．已知函数f(x)＝3ax＋1－2a在[－1,1]上存在零点x0，且x0≠±1，求实数a的取值范围．10．若关于x的方程4x＋2x a＋a＋1＝0有实数根，求实数a的取值范围．1．学习函数零点的概念要注意联系函数、方程、不等式内容以及数形结合，理解其本质．2．零点不是点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，是一个实数．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．应用以前已学习过知识解决函数零点问题，如二次方程判别式、求根公式、根与系数的关系等．。
人教版数学高一A版必修1学案 方程的根与函数的零点
3.1.1方程的根与函数的零点使用说明：“自主学习”15分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”8分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”7分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握的知识点、方法进行总结，并找出理解不到位的问题。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2、通过对零点定义的探究掌握零点存在性的判定方法．3、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．学习重点：零点的概念及存在性的判定．学习难点：零点的确定．学习过程（一） 自主探究1、 观察下面几个一元二次方程及其相应的二次函数如：方程0322=--x x 与函数322--=x x y方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y 方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y (在下面坐标系中分别做出上述二次函数的图象，并解出的方程根)试说明方程的根与图象与x 轴交点的关系。
(1) (2) (3)2、利用上述关系，试说明一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根及其对应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象有怎样的关系？3、利用以上两个问题的的发现，试总结函数)(x f y =零点的定义，并说明函数)(x f y =的零点，方程0)(=x f 实数根，函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标的关系？（二）合作探讨1、（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象 (见图1) ，完成下面各小题。
1) 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）．2) 在区间]4,2[上有零点______； )2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象(如图)，完成下面各小题。
人教版高一数学必修13.1方程的根和函数的零点课件牛老师
的实数解的个数
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
3.1.1方程的根与函数的零点
先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相 应的二次函数的图象：
一元二次方程 方程的根 二次函数
图象与x轴的 交点
x2-2x-3=0 x2-2x+1=0
x1 1 y=x2-2x-3 1,0,3,0
x2 3
x1 x2 1 y=x2-2x+1
1,0
x2-2x+3=0
注意： 零点指的是一个实数；
方程f(x)=0有实数根
零点是一个点吗?
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 y 5
象，如右图，我们发现函数 f (x) x2 2x 3在 4 3
区间 2,1 上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 2
例
a
b
a
b
a
b
a
b
例1：求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数
x 1 2 3 4 56 7 8 9 f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2
人教版高一数学必修1第27课时方程的根与函数的零点(含详细答案)
B．至少有一个零点
C．无零点
D．无法确定有无零点
答案：D
解析：对于条件f(m)·f(n)＞0(m，n∈R，且m＜n)，根据下列三种函数图象可知D正确．
3．如果二次函数y＝x2＋2x＋(k＋3)有两个不同的零点，则k的取值范围是()
A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
10．(12分)求下列函数的零点．
(1)y＝－x2＋x＋6；
(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．
解：(1)令y＝0，得－x2＋x＋6＝0，
∴(x＋2)(－x＋3)＝0，
解得x1＝－2，x2＝3，
∴函数y＝－x2＋x＋6的零点是－2,3.
(2)令y＝0，得(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，
∴x2－2＝0或x2－3x＋2＝0，
13．(15分)已知函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2，求：
(1)函数f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)在定义域内为增函数；
(3)求函数f(x)的零点所在的大致区间，并求出零点的个数．
解：(1)函数的定义域为(－1，＋∞)；
(2)设x1，x2∈(－1，＋∞)且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝2 ＋lg(x1＋1)－2－(2 ＋lg(x2＋1)－2)＝(2 －2 )＋lg(x1＋1)－lg(x2＋1)．
∵x1<x2，∴2 <2 ，lg(x1＋1)<lg(x2＋1)，
∴2 －2 <0，lg(x1＋1)－lg(x2＋1)<0，f(x1)－f(x2)<0，
所以函数f(x)在定义域内为增函数．
(3)因为f(0)＝－1，f(1)＝lg2>0，所以f(0)f(1)<0.所以函数f(x)的零点所在的区间为(0,1)，又因为函数f(x)在定义域内为增函数，所以函数f(x)的零点只有一个．
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f (x )＝x －4
x 的零点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
解析： 令f (x )＝0，即x －4
x ＝0.
∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个，选C.
答案： C
2．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是(
) A ．－1 B ．1
C ．－2
D ．2
解析： 由根与系数的关系得
－3＋x ＝－2a
a ，∴x ＝1.
即另一个零点是1，故选B.
答案： B
3．设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫1
2x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析： 方法一：令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫1
2x －2，
则f (0)＝0－⎝⎛⎭⎫1
2－2＝－4<0，
f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫1
2－2＝－1<0，
f (2)＝23－⎝⎛⎭⎫1
20＝7>0，
f (3)＝27－⎝⎛⎭⎫1
21＝261
2>0，
f (4)＝43－⎝⎛⎭⎫1
22＝633
4>0，
∴f (1)·f (2)<0，
故x 0所在的区间是(1,2)．
方法二：数形结合法，如图所示．
答案： B
4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋1
1－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则(
) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0
C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0
D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0
解析： y ＝2x 在(1，＋∞)上是增函数
y ＝1
1－x 在(1，＋∞)上是增函数
∴f (x )＝2x ＋1
1－x 在(1，＋∞)上是增函数．
∴y ＝f (x )只有x 0一个零点
∴x 1<x 0时，f (x 1)<0
x 2>x 0时，f (x 2)>0.故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0零点的个数为________．
解析： x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0
解得x ＝－3
x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增
f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0
故在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
答案： 2
6．已知f(x)是R上的奇函数，函数g(x)＝f(x＋2)，若f(x)有三个零点，则g(x)的所有零点之和为________．
解析：∵f(x)是R上的奇函数，图象关于原点对称，
∴f(x)的三个零点中，一个是原点，另两个关于原点对称，不妨设为－x0，x0，即f(－x0)＝f(x0)＝f(0)＝0.
∵g(x)＝f(x＋2)，设g(x)的零点为x1，
∴g(x1)＝f(x1＋2)＝0.
∴x1＋2＝－x0或x1＋2＝x0或x1＋2＝0.
∴g(x)的所有零点之和为－x0－2－2＋x0－2＝－6.
答案：－6
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解析：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg 3－2>0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．
方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
8．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1
∵f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0
∴12<k <23
. 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .
(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；
(2)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，且f (x 1)≠f (x 2)，若方程f (x )＝12
[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．
解析： (1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.
又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.
∴Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0.
∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根，
∴f (x )必有两个零点．
(2)令g (x )＝f (x )－12
[f (x 1)＋f (x 2)]，则 g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12
[f (x 1)－f (x 2)]， g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12
[f (x 2)－f (x 1)]． ∵g (x 1)·g (x 2)＝－14
[f (x 1)－f (x 2)]2， 且f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)g (x 2)<0.
∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．。