数理方程行波法与积分变换法
ch3 行波法与积分变换法
9 2 f1 (3 x ) x C 4 3 2 f2 ( x) x C 4
1 2 f ( x ) x C 1 4 f ( x) 3 x2 C 2 4
代入 u( x , y ) f1 (3 x y ) f 2 ( x y ) 得到所求的解为:
行波法与积分变换法
行波法只适用波动方程的初值问题.
积分变换法可用于任何方程类型，但主要用于
自变量为无限的情形，其主要思想：降维 使用积分变换法的两个困难： 1、选取哪一种积分变换 2、逆变换难求
(1)掌握一维波动方程初值问题的达朗贝尔公式；
(2)了解三维波动方程的泊松公式； (3)理解积分变换法在解微分方程中的应用。 重点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；
常数值f1(C1)，且这两个数值随特征线的移动(即常数
Ci(i=1，2) 的改变)而改变，所以波动实际上是沿特征 线传播的。
x at 变换 常称为特征变换，行波法也称为特征 x at 线法。
注：
容易看出, 一维波动方程的两族特征线xat=常数, 正好是常微分方程 (dx 1 ( x at ) 2 ( x at ) | | 1 ( x at ) 2 2 1 x at 2 ( x at ) | | 1 ( ) 2 ( ) | d 2a x at 1 1 x at d 2 2 2a x at 即: | u1 u2 | (1 t )
1 3 2 u( x , y ) (3 x y ) ( x y )2 3 x 2 y 2 4 4
2 u 2sin x u cos x u yy cos x u y 0 例2 求方程 xx xy
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
数学物理方法_第6章 行波法和积分变换法
___
___
令 r 0 利用L’Hospital（洛必塔）法则 得到
___ ___ ___
___ ___ 1 u (0, t ) 0 (at ) at 0 (at ) t 1 (at ) (at ) 0 (at ) t 1 (at ) a t 1 0 ( x sin cos , y sin sin , z cos , t ) 2 ( at ) sin d d 4 a t Sat at M 1 ( x sin cos , y sin sin , z cos , t ) t 2 ( at ) sin d d 2 4 Sat (at ) M __
.
把确定出来的 f1 ( x) 与 f2 ( x) 代回到式 （6.1.6）中，即得到方程（6.1.1）在 条件（6.1.7）下的解
u( x, t ) 1 1 xat [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a xat
（6.1.11)
式（6.1.11）称为无限长弦自由振动的 D’Alembert（达朗贝尔）公式。 现在来说明D’Alembert解的物理意义。 先讨论初始条件只有初始位移情况下
__
1 u (r , t ) 4 r 2
1 u( , , , t )dS 4 SrM
S1M
u( ,, , t )d
M S 其中 r 表示 以点 M ( x, y, z ) 为中心、以 M 为半径的球面 S1 表示 r 1 的单位球面
r
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
所以得到方程
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
三类典型的数学物理方程
第二类边界条件
规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n x0 ,y0 ,z0 f (x0 , y0 , z0 , t)
（9.1.24）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x0 ,y0 ,z0 f (x0, y0, z0, t) （9.1.25）
utt Tuxx g 0
(9.1.6)
即为
utt a2uxx g
（9.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．
其中 a2 T /
讨论：
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
utt a2uxx
（9.1.16）
2i x 2
LC
2i t 2
(9.1.17)
具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同
(3)无漏导，无电感线
2v x2
RC v t
2i
i
x 2
RC t
（9.1.18） (9.1.19)
它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式， 尽管它们的物理本质根本不同．
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确：
(1)要研究的物理量是什么？
弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设 才能使方程简化．
例9．1．1 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和
数理方程第三章行波法与积分变换法-PPT课件
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2019/3/8
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u x ,0 )0 , 0 , x 2( t 利用齐次化原理，若 满足：
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数学物理方程与特殊函数
2 2 2 u u u ( A B ) AB2 0 2 x x y y u u u u u A B x x x
第3章行波法与积分变换法
yA x y Bx
2 2 2 u u u ( A B ) AB 2 2 x x y y 2 2 2 2 2 2 u u 2 u u u u 2 A 2 2 A B B 2 ( AB ) A ( AB ) B 2 2
2 2 u u 2 1 1 a , x ,t 0 2 2 t x u ( x ,0 ) 1 u ( x ,0 ) ( x ) , ( x ) , x 1 t 2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u ( x ,0 ) 0 , 0 , x 2 t x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d 1 x a t 2 2 a
] e ds
e
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数学物理方程与特殊函数
第三章-行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题：.- ),(u ),(u 0,,- ,0t 022222+∞<<∞==>+∞<<∞∂∂=∂∂==x x x t x x u a t u t t ψϕ （1） 作如下代换;⎩⎨⎧-=+=at x at x ηξ,（2） 利用复合函数求导法则可得22222222))((,ηηξξηξηξηξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u u x u uu x u x u x u同理可得),2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 代入（1）可得ηξ∂∂∂u2＝0。
先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ这里G F ,为二阶连续可微的函数。
再由初始条件可知).()()(),()()(''x x aG x aF x x G x F ψϕ=-=+ （3）由（3）第二式积分可得C dt t a x G x F x+=-⎰0)(1)()(ψ，利用(3)第一式可得.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(00Cdt t a x x G Cdt t a x x F x x --=++=⎰⎰ψϕψϕ所以，我们有⎰+-+-++=atx atx dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx称下常微分方程为其特征方程0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。
数理方程第3讲
(3 .1 0 )
6
由(3.8)与(3.10)解出f1(x),f2(x)得
f1 ( x ) f2 ( x) 1 2 1 2
(x) (x)
2a
1
1
x 0
( ) d ( ) d
C 2 C 2
2a
x 0
把这里确定出来的f1(x)与f2(x)代回到(3.6)中, 即得方程(3.1)在条件(3.7)下的解为
依赖区间
O
xat
xat
x
10
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
2
1 u
2
当u不依赖于q,时, 这个方程可简化为
1 2 u 1 u r 2 2 2 r r r a t
2
a
2
t
2
25
或 但
r
u
2
r
2
2
2 2
u r u r
2
r u
2
a
2 2
t
2
2
.
u r
2
( ru ) r
2 2 2 2u u u 2 u , 2 a 2 2 2 t y z x x , y , z , t 0 . (3 .2 2 ) (3 .2 3) u |t 0 0 ( x , y , z ), u x, y, z . 1 ( x , y , z ), (3 .2 4 ) t t0
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( )d
xat
下午5时49分
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u2 t 2
a2
2u2 x2
f
( x, t ),
x ,t 0
u2 (x, 0)
0,
u2 (x, t
0)
0,
x
利用齐次化原理，若 满足：
2
t
2
a2
(x, )
2
x2 ,
0, (x,
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数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u
t
2
u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
t
(x),
u f1(x at) f2 (x at)
x ,t 0
x
t1
f2
行波法
f1
u(x,0) f1(x) f2 (x) (x)
u(x,0) t
af1( x)
af 2( x)
(x)
t2
f1(x)
f2 (x)
1 a
x
( )d C
0
f1(x)
1 2
(x)
1 2a
x
(
)d
C
0
2
f2
(x)
1 (x)
2
1 2a
x
(
)d
C
0
2
u 1 (x at) 1
xat
(
)d
C
1
(x
at)
1
xat
( )d
C
2
2a 0
22
2a 0
2
u 1 (x at) (x at) 1
x
行波法又叫特征线法
6
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数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
7 非齐次问题的处理(齐次化原理)
2u
t
2
a2
2u x2
f
( x, t ),
u(x, 0) (x), u(x, 0) (x),
t
x ,t 0 x
利用叠加原理将问题进行分解：u u1 u2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定
特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。
2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐
次二阶偏微分方程。
3 适用范围： 无界域内波动方程，等…
1
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1 2
[e
(
x
at
)
2
e(xat)2 ]
1 2a
xat 2ases2 ds
x at
1 2
[e
(
x
at
)2
e( xat)2 ]
1 2
xat es2 ds2
x at
1 2
[e
(
x
at
)
2
e( xat)2
]
1 2
[
es2
xat xat
e ( xat)2
5
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数学物理方程与特殊函数
t
)
f
(x, ),
t
则：u2 (x,t)
(x,t, )d
0
令：t1 t
x ,t
x
8
2
t12
( x,
a2 0)
2
x2 ,
0, (x,
t1
0)
f (x, ),
x ,t1 0 x
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第3章行波法与积分变换法
2
t12
( x,
a2 0)
2
, x2
( x,
0, t1
0)
f (x, ),
x ,t1 0 x
(x,t1)
1 2a
xat1 f ( , )d 1
xat1
2a
xa(t )
f ( , )d
xa(t )
t
u2 (x,t)
(x,t, )d
0
1
t xa(t )
f ( , )dd
x
t
t
x at
2a t
x
1 a
t
x
1 a
t
u
0
1 1 2 x a t
1
x a t
1
x a t
x t
x t
2u
u
0
u f ( ) 2
u f1( ) f2 ()
1 1 2 x a t
u f1(x at) f2 (x at)
2u1 t 2
a2
2u1 x2
,
u1(x, 0)
( x),
u1(x, 0) t
( x),
x ,t 0 x
2u2 t 2
a2
2u2 x2
f
( x, t ),
u2 (x, 0)
0,
u2 (x, 0) t
0,
x ,t 0 x
7
u1
(
x,
t)
1 2
(
x
at)
(
x
第3章行波法与积分变换法
6 相关概念
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
t2
2a xat
t
P( x, t )
依赖区间
x
x at x at
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x1
x2
x x2 at
x at C 特征线 x at x at 特征变换
xat
( )d
2
2a xat
一维波动方程的达朗贝尔公式
3
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数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
4 解的物理意义
a. 只有初始位移时，u(x,t) 1 (x at) (x at)
2
(x at) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
(x at) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
b. 只有初始速度时： u(x,t) 1
xat
( )d
2a xat
假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u(x,t) 1(x at) 1(x at)
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u
t
2
u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
t
(x),
2u 1 2u 0 x 2 a 2 t 2
2 x 2
1 a2
2 t 2
u
2
1
2
u
0
x a t
x x 0
,t 0
x at x
2 x
2a 0 xa(t )
从而原问题的解为
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
1
t xa(t )
f ( , )dd
2a 0 xa(t )
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第3章行波法与积分变换法
2u x 2
(A
B)
2u xy
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第3章行波法与积分变换法
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
5 达朗贝尔公式的应用
utt
a
u |t0
2u e
xx x2
,
0, ut
x |t 0 2axex2
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x)