2019版一轮优化探究理数练习:第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性 含解析
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一、填空题
1.已知函数f (x )=x 2+x +1x 2+1
、若f (a )=23、则f (-a )=________. 解析:根据题意、f (x )=x 2+x +1x 2+1=1+x x 2+1、而h (x )=x x 2+1
是奇函数、 故f (-a )=1+h (-a )=1-h (a )=2-[1+h (a )]=2-f (a )=2-23=43.
答案:43
2.若函数f (x )=(x +a )(bx +2a )(常数a 、b ∈R)是偶函数、值域为(-∞、4]、则该函数的解析式为f (x )=________.
解析:由f (x )=bx 2+a (b +2)x +2a 2是偶函数、可得a (b +2)=0.又其值域为(-∞、4]、∴b <0、且2a 2=4、从而b =-2、∴f (x )=-2x 2+4.
答案:-2x 2+4
3.若f (x )=12x -1
+a 是奇函数、则a =________. 解析:∵f (x )为奇函数、∴f (-x )=-f (x )、
则12-x -1+a =-(12x -1
+a )、∴a =12. 答案:12
4.定义在R 上的偶函数f (x )、对任意x 1、x 2∈[0、+∞)(x 1≠x 2)、有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1
<0、则f (3)、f (-2)与f (1)的大小关系是________.
解析:由已知f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1
<0、得f (x )在[0、+∞)上单调递减、由偶函数性质得f (3) 答案:f (3) 5.已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数、且对任意实数x 都 有xf (x +1)=(1+x )f (x )、则f (32)=________. 解析:由xf (x +1)=(1+x )f (x )、x ∈R 、 令x=-1 2、得- 1 2f( 1 2)= 1 2f(- 1 2). 又f(x)为偶函数、∴f(1 2)=0. 又令x=1 2、得 1 2f( 3 2)= 3 2f( 1 2)、∴f( 3 2)=0. 答案:0 6.设函数f(x)=x(e x+a e-x)(x∈R)是偶函数、则实数a的值为________. 解析:因为f(x)是偶函数、所以恒有f(-x)=f(x)、 即-x(e-x+a e x)=x(e x+a e-x)、 化简得x(e-x+e x)(a+1)=0. 因为上式对任意实数x都成立、所以a=-1. 答案:-1 7.偶函数f(x)是以4为周期的函数、f(x)在区间[-6、-4]上是减函数、则f(x)在[0,2]上的单调性是________. 解析:∵T=4、且f(x)在[-6、-4]上单调递减、 ∴函数在[-2,0]上也单调递减、 又f(x)为偶函数、故f(x)的图象关于y轴对称、 由对称性知f(x)在[0,2]上单调递增. 答案:单调递增 8.定义在R上的奇函数f(x)、当x∈(0、+∞)时、f(x)=log2x、则不等式f(x)<-1的解集是________. 解析:∵f(x)是奇函数、 ∴x<0时、f(x)=-f(-x)=-log2(-x). 当x>0时、f(x)<-1、即log2x<-1、得0 当x<0时、f(x)<-1、即-log2 (-x)<-1、得x<-2. 故解集为(-∞、-2)∪(0、1 2). 答案:(-∞、-2)∪(0、1 2) 9.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎨⎧ 3x -1, x ≤0,f (x -1)-f (x -2), x >0,则f (2 016)=________. 解析:x >0时、f (x )=f (x -1)-f (x -2)、f (x +1)=f (x )-f (x -1)、相加得f (x +1)=-f (x -2)、即f (x +3)=-f (x )、所以f (x +6)=-f (x +3)=f (x );进而f (2 016)= f (336×6)=f (0)=3-1=13. 答案:13 二、解答题 10.已知函数f (x )=⎩⎨⎧ -x 2+2x ,x >0,0, x =0, x 2+mx , x <0 是奇函数. (1)求实数m 的值; (2)若函数f (x )在区间[-1、a -2]上单调递增、求实数a 的取值范围. 解析:(1)设x <0、则-x >0、 所以f (-x )=-(-x )2+2(-x )=-x 2-2x . 又f (x )为奇函数、所以f (-x )=-f (x )、 于是x <0时、f (x )=x 2+2x =x 2+mx 、所以m =2. (2)要使f (x )在[-1、a -2]上单调递增、 结合f (x )的图象知⎩⎨⎧ a -2>-1,a -2≤1,