更高更妙的物理 竞赛课件5：物系相关速度(去密码版)

R v0 v O R sin r rω R v0 v r R sin
α
vn v0
B
如图所示，线轴沿水平面作无滑动的滚动，并且 线端A点速度为v，方向水平．以铰链固定于B点的木板靠在线轴上， 线轴的内、外径分别为r和R．试确定木板的角速度ω与角α的关系．
专题5-例6
板上C点与线轴上C 点有相同的法向速度vn, 且板上vn正是C点关于B轴的转动速度 ： 线轴上C点的速度：它应是C点对轴心 O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度 vO的矢量和，而vCn是沿C点切向的，则C 点法向速度vn应是 ：
ωr
A
rα
n
M
v杆 r tan
一人身高h ，在灯下以匀速率vA沿水平直线 行走．如图所示，设灯距地面高度为H，求人影的顶端Ｍ 点沿地面移动的速度 ． 借用绳杆约束模型 设人影端点M移动速度为v影 ,以光源为基点,将vA和v影 分解为沿光线方向“伸长速度”和对基点的“转动速度” 由一条光线上各点转动角速 度相同： r v An v影 sin v sin
vmax 2 R1 2

2 1 v

如图，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为R2，外 环半径为R1，在二环之间分布的小圆球（滚珠）半径为r，外环以线速度v1顺时针 方向转动，而内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心围绕圆环的中心顺 时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω，设小球与圆环之间无滑动发生．
v=rω，r是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度． 刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．
杆或绳约束物系各点速度的相关特征是： 在同一时刻必具有相同的沿 杆、绳方向的分速度.
v2 v0
θ
θ
v1
接触物系接触点速度的相关特征是： 沿接触面法向的分速度必定相 同，沿接触面切向的分速度在 无相对滑动时相同.
2
如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为 3∶2∶1，顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶 点Ｂ2的速度vB2． B1 B2 这是杆约束相关速度问题 B3 v 分析顶点A2、A1的速度： A1 A2 A3 A
专题5-例2
由图示知
顶点B2，既是A1B2杆上的点， 又是A2B2杆上的点，分别以A1、 A2为基点，分析B2点速度：
A O C
v0 α
V百度文库
B
v0
V0
α
vn
VA
V0
v0 R V0 cos
由于纯滚动，有
V0 r
v0 r cos R
r V0 v0 r cos R
图中的AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为l的A、 Ｂ两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出．小环M 套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求而后任意时刻t（M未落地） M运动的速度大小．
v2
v
O2
顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推 动．凸轮绕O轴以匀角速ω转动，在图示时刻，OA＝r，凸轮轮缘与 A接触处法线n与OA之间的夹角为α，试求顶杆的速度．
杆与凸轮接触点有相同的法向速度! 根据接触物系触点速度相关特 征，两者沿接触面法向的分速度相 同，即
B
v杆K
α
r sin v杆 cos
专题5-例8
vBCM
根据交叉点速度相关特征，该速度沿OA 方向的分量即为小环速度，故将vBCM 沿 MA、MB方向分解成两个分速度: 小环M的速度即为vMA：
OB 10cm/s cos
v M v BCM cot 30 10 3 cm/s

如图所示，一个半径为R的轴环O1立在水平面上， 另一个同样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交 叉点A的速度vA与两环中心之距离d之间的关系．轴环很薄且第二个 轴环紧傍第一个轴环．
v1 v2 v 2 v1 v2 2r
一片胶合板从空中下落，发现在某个时刻板上a 点速度和b点 速度相同：va=vb=v，且方向均沿板面；同时还发现板上c点速度大小比速度v大一 倍，c点到a、b两点距离等于a、b两点之间距离．试问板上哪些点的速度等于3v？
本题属刚体各点速度问题
∵板上a、b两点速度相同，故a、 b连线即为板瞬时转动轴!
2 6
17 vB 2 v 6
如图所示，物体A置于水平面上，物A前固定有动滑轮B，D 为定滑轮，一根轻绳绕过D、B后固定在C点，BC段水平，当以速度v拉绳头时， 物体A沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体A 运动的速度是多大？ v D
专题5-例3
这是绳约束相关速度问题
绳BD段上各点有与绳端D相同 的沿绳BD段方向的分速度v； A 设A右移速度为vx，即相对于 A，绳上B点是以速度vx从动 滑轮中抽出的，即 v BA v x
本题属线状交叉物系交叉点速度问题
因两杆角速度相同，∠AMB=60°不变 套在两杆交点的环M所在圆周半径为
D
C M R θβ B l
杆D转过θ圆周角，M点转过同弧上2θ的圆心角 A
l l R 2cos 30 3
2θ
60° O
α
环M的角速度为2ω! 环M的线速度为
vM
2 3 2 l 3 3
2
2
x 2l
如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A、 B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A．试 问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？
由三位舞者运动的对称性可知， 他们会合点在三角形ABC的中心O
每人的运动均可视作绕O转动的
vn
A
同时向O运动，
B
vx

C
引入中介参照系-物A ，在沿绳BD方向上，绳上B点速度v 是其相对于参照系A的速度vx与参照系A对静止参照系速度 vxcosθ的合成， 即
v v BA v x cos
v vx 1 cos
由上
如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面 向右运动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，P为其 顶点．求当∠AOP=α时，AB杆的速度．
l
如图,一个球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角作无滑 动的滚动．AB等效于球的瞬时转轴．试问球上哪些点的速度最大？ 这最大速度为多少？
本题属刚体各点速度问题
球心速度为v， 则对瞬时转轴AB:
则球角速度
2 v R 2
2v R
A
O
R
45
B C
根据刚体运动的速度法则: 球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度!
如图所示，水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固 定圆圈上以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑 环M的速度，设OM与竖直方向的夹角为φ．
专题5-例7
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题 将杆的速度u沿杆方向与圆圈切 线方向分解: 滑环速度即交叉点速度,方向沿 圆圈切向; 根据交叉点速度是相交双方沿 对方切向运动分速度的矢量和， 滑环速度即为杆沿圆圈切向分速 度:
R

A
r
H h
α
vA
α
由几何关系
R
M
R H r H h
v影 vn
v影
H vA H h
如图所示,缠在线轴A上的线被绕过滑轮B以恒定速率 v0拉出，这时线轴沿水平面无滑动地滚动．求线轴中心O点的速度随 线与水平方向的夹角α的变化关系．线轴的内、外半径分别为R与r．
考察绳、轴接触的切点A速度 轴上A点具有对轴心的转动速度 V=Rω和与轴心相同的平动速度V0： 绳上A点具有沿绳方向速度v0和 与轴A点相同的法向速度vn： 由于绳、轴点点相切，有
专题5-例4
这是接触物系接触点相关速度问题 根据接触物系触点速度相关特 征，两者沿接触面法向的分速度相 同，即
vA
P
B
α A v0
v A cos v0 sin
α v0
α
O
v A v0 tan
如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光 滑钉子A上，以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线 轴中心O的运动速度v0．线轴的外径为R、内径为r，线轴沿水平面做 无滑动的滚动．
M B
φ O
φ
u v sin
u
如图所示，直角曲杆OBC绕O轴在图示平面内转 动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动．已知OB=10 cm， 曲杆的角速度ω=0.5 rad/s，求φ=60°时，小环M的速度． C 这是线状交叉物系交叉点相关速度问题 C M O vMAA O A 由于刚性 曲杆 OBC以O为 60° 轴 转 动 ， 故 BC 上 与 OA 直 vMB 30° 杆交叉点M的速度方向垂 vBCM B 直于转动半径OM、大小是: B
专题5-例1
这是杆约束相关速度问题
考察杆切点C,由于半圆 静止,C点速度必沿杆! 杆A点速度必沿水平! B C R θ A v2 θ v
以C为基点分解v:
由杆约束相关关系:
v c v1 v cos
v2是A点对C点的转动速度,故
v sin Rcot
v sin R cos
v1 vn
θ
v1 A C
vt v
vn
线状相交物系交叉点的速度是:
相交双方沿对方切向运动分速 度的矢量和.
v1CD α D Ov Bv v2
2AB 1CD
vO
v2AB
如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一 半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及 杆上与半圆相切点C的速度．
♠ 研究对象
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体． 具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距 离是恒定不变的; 任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合 而成的.
♠
刚体运动的速度法则
刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相 同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.
v
b
c
v
xa x
根据刚体运动的速度法则,C点 速度为:
vC v vCn
2
同理,速度为3v的点满足
3 2v v l 2 2v 板角速度 l
2 2
vcn= v
3 l 2
vn=xω
vc=2v V=3v
3v
2
v x
2 2
2 v1 v A1 2
2 v2 v A2 2
0
v1 v 2
v1
A1
B2
v1
vB2 vA2 vA1 A2
2 2 vB 2 2 v A1 2 v A 2 由几何关系 v A1 v , v A 2 5 v
考虑A处舞者沿AO方向分运动,到达O点历时
O
vt C
B
2l t 3v v cos 30
由于舞者匀速率运动,则
AO
2l s vt 3
如图所示，一个圆台，上底半径为r，下底半径为R 其母线AB长为L，放置在水平地面上，推动它以后，它自身以角速 度ω旋转，整体绕Ｏ点作匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转 半径OA及旋转一周所需时间T．
考察板、轴接触的切点C速度
C
vn BC R cot 2
vn
A
v
B
α
vCn
C
C
vn v0 sin
vn
α
v0 r R v0
v
线轴为刚体且作纯滚动，故以线轴 与水平面切点为基点，应有
v0 v R v0 v Rr R Rr
1 cos v Rr
D
专题5-例5
考察绳、轴接触的切点B速度 轴上B点具有与轴心相同的平动 速度v0与对轴心的转动速度rω： 绳上B点具有沿绳方向速度v和 与轴上B点相同的法向速度vn： 由于绳、轴点点相切，有
线轴沿水平面做纯滚动
A α R r O α v
v0
C
v v0 sin r v0 R
若线轴逆时针滚动，则
本题属刚体各点速度及接触点速度问题
滚珠球心速度为v，角速度为ω，
根据刚体运动的速度法则:
滚珠与内环接触处A速度 滚珠与外环接触处B速度
v A v r v 2 v B v r v1
R1
r ω B ω A r R2 v ω v2
v1
∵滚珠与两环无滑动，∴两环 与珠接触处A、B切向速度相同
专题5-例9
本题求线状交叉物系交叉点A速度
轴环O2速度为v，将此速度沿轴环 O1、O2的交叉点A处的切线方向 分解成v1、v2两个分量:
O2 O1
A
O2 d v
由线状相交物系交叉点相关 A 速度规律可知，交叉点A的速度 即为沿对方速度分量v1! R θ 由图示几何关系可得: v1 O1 θ v v R vA d 2 2sin 2 R 2 d v R 2 4 R2 d 2