(完整版)初二级竞赛专题：因式分解

初二级竞赛专题：因式分解

一、重要公式

1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；a n－1=(a－1)( a n-1＋a n-2＋a n-3＋…＋a2＋a＋1)

2、a2±2ab＋b2=(a±b)2；

3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b);

4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2);

二、因式分解的一般方法及考虑顺序

1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；

2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。

3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；（5）

）。

其它常用方法与技巧（简单概括为：提十公分

．．．．

三、例题

1、添项拆项

[例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1；（2）a3＋b3＋c3－3abc

（1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x) （2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2

解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2

=(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c)

=(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)

=(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)

[例2]因式分解：（1）x3－11x＋20；（2）a5＋a＋1

（1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）

解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x＋4)

=x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5)

（2）分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方

差公式

解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1

=a2(a－1)( a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1)

2、待定系数法

[例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20

解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法，

可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y＋b)，

其中a,b 是待定的系数，比较右边和左边的x 和y 两项的系数，得

⎩⎨⎧-=-=+3

33142b a b a 解得 54==b a ∴2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=(2x －3y ＋4)(x ＋3y ＋5)

[另解]原式=2x 2＋(3y ＋14)x －(9y 2＋3y －20)，这是关于x 的二次三项式

常数项可分解为－(3y －4)(3y ＋5),用待定系数法，

可设2x 2＋(3y ＋14)x －(9y 2＋3y －20)=[mx －(3y －4)][nx ＋(3y ＋5)] 比较左、右两边的x 2和x 项的系数，得m=2, n=1

∴2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=(2x －3y ＋4)(x ＋3y ＋5)

四、填空题

1、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab=99，则a= ，b= 。

2、计算：(x ＋6)2(x －6)2= 。

3、若x ＋y=4，x 2＋y 2=10，则(x －y)2= 。

4、分解因式：a 2－b 2＋4a ＋2b ＋3= 。

5、分解因式：4x 3－31x ＋15= 。

6、分解因式：x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987= 。

五、选择题

7、x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz 因式分解后的结果是（ ）。

（A ）(y －z)(x ＋y)(x －z) （B ）(y －z)(x －y)(x ＋z)

（C ）(y ＋z)(x －y)(x ＋z) （D ）(y ＋z)(x ＋y)(x －z)

8、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）。

（A ）41，48 （B ）45，47 （C ）43，48 （D ）41，47

9、n 为某一自然数，代入代数式n 3－n 中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是（ ）。

（A ）388944 （B ）388945 （C ）388954 （D ）388948

六、将下列各式分解因式

10、x 4＋x 2y 2＋y 4

11、x 4＋4

12、x 4－23x 2y 2＋y 4 13、x 3＋4x 2－9

14、x3－41x＋30 15、x3＋5x2－18

16、x3＋3x2y＋3xy2＋2y317、x3－3x2＋3x＋7

18、x3－9ax2＋27a2x－26a319、x3＋6x2＋11x＋6

20、a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2

21、3x3－7x＋10 22、x3－11x2＋31x－21

七、解答题

23、已知x－y＋4是x2－y2＋mx＋3y＋4的一个因式，求m的值。

24、求方程xy－x－y＋1=3的整数解。

解：原方程可化为(x－1)(y－1)=3

∵x，y整数,