天津市和平区2017-2018学年高三上学期第三次月考数学(理)试题Word版含答案.doc

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天津市高三数学第三次月考试题理新人教A版

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数=++-ii i 111 A. i - B.C. i -1D. i +12. 条件甲：⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ；条件乙：⎩⎨⎧<<<<3210y x ，则甲是乙的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是A. 4B. 5C. 6D. 75. 已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为A.1631 B. 2 C.1633 D.3316 6. 将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线4π=x 对称，则ϕ的最小正值为 A.8πB. 83πC. 43πD. 2π7. 设F 是抛物线)0(2:21>=p px y C 的焦点，点A 是抛物线与双曲线22222:by a x C -=1)0,0(>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为A. 2B. 3C.25D. 58. 若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）。

天津市第一中学2017-2018学年高三上学期第三次月考数学(理) Word版含解析

天津市第一中学2017-2018学年高三上学期第三次月考数学（理）一、选择题：共8题1．已知全集错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】本题主要考查集合的并集、全集和补集的概念及运算.由条件知，错误！未找到引用源。

,所以错误！未找到引用源。

故选错误！未找到引用源。

.2．设变量错误！未找到引用源。

满足约束条件错误！未找到引用源。

，则目标函数错误！未找到引用源。

的最大值为A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】本题主要考查简单的线性规划，及利用几何意义求最值.如图，阴影部分表示约束条件错误！未找到引用源。

所表示的区域，当直线错误！未找到引用源。

经过点(1,0)时，目标函数错误！未找到引用源。

取得最大值5.故选D.3．设错误！未找到引用源。

，则“错误！未找到引用源。

”是“错误！未找到引用源。

”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，充要条件的概念及判断.由不等式错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

,所以“错误！未找到引用源。

”是“错误！未找到引用源。

”的充分不必要条件.故选A.4．下图是一个算法框图，则输出的错误！未找到引用源。

的值是A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键.由程序框图知，此算法的功能是求满足不等式错误！未找到引用源。

的最小正整数解，由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

,所以输出错误！未找到引用源。

.故选C.5．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=错误！未找到引用源。

，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=错误！未找到引用源。

，则BE的长为A.错误！未找到引用源。

天津市和平区2017-2018学年高三二模考试数学试卷(理科) Word版含解析

天津市和平区2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )A．4 B．8 C．9 D．123．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．54．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( ) A．B．3 C．D．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( )A．m∈（0，1）B．m∈（0，1]C．m∈D．m∈（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．天津市和平区2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行化简即可．解答：解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi．即a﹣+i=2bi．则a﹣=0且=2b，解得a=，b=，故选：D．点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )A．4 B．8 C．9 D．12考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，可得m=4，n=﹣1，结合条件，即可求出z=2x+3y的最大值．解答：解：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，∴m=4，n=﹣1，∴2x+3y=4（x+y）﹣（2x+y）≤12﹣4=8，∴z=2x+3y的最大值为8，故选：B．点评：本题考查目标函数的最大值，考查学生的计算能力，正确运用待定系数法是解题的关键．3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．5考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=11时，满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2，i=1不满足条件i＞10，x=﹣5，i=2不满足条件i＞10，x=﹣，i=3不满足条件i＞10，x=2，i=4不满足条件i＞10，x=﹣5，i=5…观察规律可知x的取值以3为周期，故不满足条件i＞10，x=﹣，i=9不满足条件i＞10，x=2，i=10不满足条件i＞10，x=﹣5，i=11满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识是考查．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( ) A．B．3 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．解答：解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），则，，∴k1•k2===2，∴该双曲线的离心率e==．故选：A．点评：本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．解答：解：∵=+，，∴=+，∵=﹣，，∴=﹣∴=+==+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，则λ+μ=+=，故选：A点评：本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( )A．m∈（0，1）B．m∈（0，1]C．m∈D．m∈，∴m∈（0，1]，故函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为m∈（0，1]，故选：B．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，以及充分条件和必要条件的应用，利用参数分离法是解决本题的关键．7．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：①CD=3；②BC=5；③BD=2AC；④∠CBD=30°．则所有正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．①②③D．①③④考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑；推理和证明．分析：①由PB=10，AB=6，可得PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，解得PC，即可得出CD．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2=，解出BC．③由△PCA∽△PBD，可得，即可判断出正误．④连接OD，则△OCD为正三角形，可得∠COD=2∠CBD=60°即可判断出正误．解答：解：①∵PB=10，AB=6，∴PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∴4×10=8PC，解得PC=5，∴CD=PD﹣PC=3，正确．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2==，解得BC==，因此②不正确．③∵△PCA∽△PBD，∴=，∴BD=2CA，正确．④连接OD，则△OCD为正三角形，∴∠COD=2∠CBD=60°，∴∠CBD=30°，正确．综上可得：只有①③④正确．故选：D．点评：本题考查了割线定理、圆的性质、相似三角形的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．8考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：通过换元法求解x2﹣1的根，然后求解方程的解的个数．解答：解：令t=|x2﹣1|，方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0化为：t2﹣3t+2=0，解得t=1或t=2，即|x2﹣1|=1，或|x2﹣1|=2，由|x2﹣1|=1，解得x=，x=0，由|x2﹣1|=2解得x=．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是：5．故选：C．点评：本题考查函数的零点以及方程根的个数的求法，考查计算能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图把几何体复原成立体图形，进一步根据立体图形的体积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体的表面积是：上面是一个以1为半径的球体，下面是一个以2为半径，高为2的圆柱的组合体．所以：V=故答案为：点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力．10．抛物线y=x2与直线2x+y﹣3=0所围成图形的面积等于．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：解方程组可得图象的交点，由题意可得积S=dx，计算可得．解答：解：联立可解得或，∴所求面积S=dx=（﹣x2+3x﹣x3）=﹣（﹣9）=故答案为：点评：本题考查定积分求面积，属基础题．11．若函数f（x）=log a（ax2﹣x）在上单调递增，则实数a的取值范围是（2，+∞）．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由复合函数的单调性和二次函数的性质分类讨论可得．解答：解：（1）当a＞1时，令t=ax2﹣x，则由题意可得函数t在区间上单调递增，且t＞0，故有，解得a＞2，综合可得a＞2；（2）当0＜a＜1时，则由题意可得函数t在区间上单调递减，且t＞0，故有，解得a∈∅，故此时满足条件的a不存在．综合（1）（2）可得a＞2故答案为：（2，+∞）点评：本题考查对数函数的单调性，涉及分类讨论思想和二次函数的性质，属中档题．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件求得cosB的值，再根据cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）利用两角和的余弦公式求得cosA，从而求得cosA+cosB的值．解答：解：在△ABC中，∵C=120°，sinB=，∴cosB==，cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）=﹣cos120°cosB+sin120°sinB=+=，故cosA+cosB=+=，故答案为：．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．13．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C到直线l距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步转换成标准形式，再把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．解答：解：圆C的方程为ρ=2，转化为：ρ=2sinθ+2cosθ，进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，转化为标准形式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2所以：该曲线是以（1，1）为圆心，为半径的圆．直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：2x﹣y+1=0．所以：圆心到直线的距离为：d=．故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线间的距离公式的应用．主要考查学生的应用能力．14．已知S n=3+7+13+…+（2n+2n﹣1），S10=a•b•c，其中a，b，c∈N*，则a+b+c的最小值为68．考点：基本不等式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意得S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+...+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)=211﹣2+100=2146；再求2146的质因子，从而解得．解答：解：由题意，S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+…+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)=211﹣2+100=2146；又∵2146=2×29×37=1×58×37=1×2×1073=1×29×74=2×29×37；∴a+b+c的最小值为2+29+37=68；故答案为：68．点评：本题考查了等差数列与等比数列前n项和的求法，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数x+b，x∈R，且．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先利用函数f（0）=f（）=1，建立方程组求出a和b的值，进一步听过三角函数的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）x+b由于：f（0）=f（）=1，所以：，解得：所以：2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=，所以：函数的最小正周期：T=，（Ⅱ）由于：函数f（x）=，当时，．所以：即：函数的最大值为，函数的最小值为﹣1．点评：本题考查的知识要点：利用待定系数法求函数的解析式，三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期的确定，利用函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的应用能力．16．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，录用古典概率计算公式即可得出；（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．解答：解：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，∴P（A）==．（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P（X）数学期望E（X）=1+×+2×+3×=．点评：本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）求得则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），运用向量垂直的条件，可得法向量，再由法向量和垂直，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量和平面ACD的法向量，运用向量的数量积的坐标表示，求得它们夹角的余弦，即可得到所求；（Ⅲ）求得向量，的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，求得余弦，即可得到所求角．解答：（Ⅰ）证明：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），D（0，1，0），C1（0，2，1），则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），由，，可得﹣2x1+y1=0，且﹣2x1+2y1+z1=0，可取x1=1，y1=2，z1=﹣2．即有=（1，2，﹣2），由于=﹣2+0+2=0，即有，则A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣1，0），由C1C⊥平面ABC，即有平面ABC的法向量为=（0，0，1），由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量为=（1，2，﹣2），由cos＜，＞===﹣．故二面角C﹣AD﹣C1的余弦值为；（Ⅲ）解：E为A1B1的中点，则E（1，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，1），cos＜，＞===，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=，则AE与DC1所成的角为．点评：本题考查线面平行的判定和二面角的平面角以及异面直线所成角的求法，考查向量的运用，考查运算能力，属于中档题．18．已知数列{a n}满足：a1=6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后直接利用=证得数列{}是公差为的等差数列；（2）由（1）中的等差数列求出通项公式，即可得到数列{a n}的通项公式；（3）把{a n}的通项公式代入b n=，整理后利用裂项相消法求得答案．解答：（1）证明：由a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，得，∴，则==，∴数列{}是公差为的等差数列；（2）解：由（1）知，=，∴；（3）解：b n==，则=．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．19．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=．过F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF1的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的定义，可得a=2，再由离心率公式，可得c，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，可得切点P 的坐标，再令x=﹣4，可得Q的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．解答：（Ⅰ）解：∵|AB|+|AF1|+|BF1|=8，即|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，而|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，∴4a=8，即a=2．∵，∴c=1，则．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．如图，设P点的坐标为（x0，y0），依题意m≠0且△=0，即△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理得4k2+3=m2．此时，，∴P点的坐标为．由解得y=﹣4k+m．∴Q点的坐标为（﹣4，﹣4k+m）．由F1（﹣1，0），求得，，∴．∴直线PF1垂直于直线QF1．点评：本题考查椭圆的定义和方程，性质，主要考查定义和离心率公式及方程的运用，注意联立直线方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，求出f（x）的导数，令f'（x）=0，列出表格即可得出函数的单调性，极值；（2）问题转化为求函数y=ax2﹣x与y=lnx的解得个数问题，通过讨论a的范围即可求出；（3）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，令f′（x）=0得：x1=，x2=1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，）（，1） 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增∴f（x）在（0，）单调递增，在（，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，当x=时：f（x）有极大值，且f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2；当x=1时：f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2；（2）∵f（x）=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣（2a+1）x+lnx=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣x=lnx，x∈（0，+∞），显然a≤0时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，当a=1时，函数y=x2﹣x=﹣，x=时：y min=﹣，而y=ln＜ln，∴0＜a＜≤1时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，a＞1时，画出函数y=ax2﹣x与y=lnx的图象，如图示：，图象有2个交点，综上：a＞1；（3）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，f′（x）=，（1）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，f′（x）=，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．（3）当a＞0时，f′（x）=，f′（x）=0得：x1=，x2=1，a＞时，0＜x1＜1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理0＜a≤时也不成立．综上所述：a的取值范围为．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．。

《精编》天津市高三数学上学期第三次月考试题理(含解析)新人教A版.doc

天津一中2021—2021学年高三数学三月考试卷(理科)一、选择题：1．复数2i2i -=+ A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5+【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-,选A. 2．“1m =-〞是“直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直〞的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】假设0m =，两直线方程为1y =和1x =-，此时两直线垂直。

假设12m =，两直线方程为2x =-和13302x y ++=，此时两直线相交。

当0m ≠且12m ≠时，两直线方程为11212m y x m m =+--和33y x m m =--，两直线的斜率为12m m -和3m-。

假设两直线垂直，那么有3()112m m m⨯-=--，解得1m =-，所以直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直时的条件为1m =-或0m =。

所以1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直的充分不必要条件，选A.3．执行右图所示的程序框图，那么输出的S 的值是A ．-1B ．23C ．32D ．4【答案】D【解析】第一次循环，21,224S i ==-=-;第二次循环，22,32(1)3S i ===--;第三次循环，23,42223S i ===-;第四次循环，24,5322S i ===-;所以该循环是周期为4的周期循环，所以当9i =时，和第四次循环的结果相同，所以4S =.选D.4．函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41C ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．)2,1( 【答案】C【解析】因为2(1)21log 110f =-+=>，2011()21log 10222f =⨯-+=-<，所以根据根的存在性定理可知函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的区间为1(,1)2，选C.5．91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是A ．36-B ．36C ．84-D ．84【答案】C【解析】展开式的通项公式为93921991()(1)kkkk k kk T C C x x--+=-=-，令9302k -=得3k =。

天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵集合，集合∴故选C2. “”是“关于的方程有实数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵若关于的方程有实数根∴，即∴不一定等于故选A3. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 9B. 5C. 1D. -5【答案】B【解析】由约束条件作出可行域如图所示：目标函数可化为由图可知当直线过点时，取最大值故选B点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵双曲线的方程为∴双曲线的渐近线方程为，右焦点∵过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点∴直线的斜率在和之间，包括端点故选D5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. 72B. 90C. 101D. 110【答案】B【解析】输入参数第一次循环，，满足，继续循环第二次循环，，满足，继续循环第三次循环，，满足，继续循环第四次循环，，满足，继续循环第五次循环，，满足，继续循环第六次循环，，满足，继续循环第七次循环，，满足，继续循环第八次循环，，满足，继续循环第九次循环，，不满足，跳出循环，输出故选B点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．6. 将函数的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】将函数的图像向左平移个单位，得故选D7. 如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相交于点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，，，∵为的中点，∴，∴直线的方程为，直线的方程为联立，得∴，∴故选A点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用，向量的数量积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.8. 已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知函数的零点不唯一，等价于两函数与图象的交点个数不唯一∵的图象是开口向下、对称轴的抛物线，的图象是恒过的直线，注意到、，则分、、三种情况讨论：①当时，∵在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数（当时为常数函数）∴在上为增函数，在上为减函数∴始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一．②当时，在上为增函数，在上为减函数∵在上为增函数，且∴始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一．③当时，在上为增函数，在上为增函数，欲使始终存在实数使得在上与图象的交点个数不唯一，则必有，即，解得：．综上所述，的取值范围是．故选C点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程根的个数，即为直线与函数图象的公共点的个数；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知是虚数单位，则复数__________．【答案】【解析】结合复数的运算法则有：.10. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为6011. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，其体积为：，下半部分是半个球，球的半径，其体积为据此可得，该几何体的体积为.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．12. 已知，则的最小值为__________．【答案】-1【解析】∵又∵∴，当且仅当，即时取等号∴最小值为故答案为点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中等题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13. 已知函数，若，则的值为__________．【答案】4【解析】依题意函数的自变量满足，即，此时恒成立∴∴∴故答案为414. 现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为__________．【答案】480【解析】假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置,有种情况，故不同排列方法种数种.故答案为480三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 在中，角所对的边分别是，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理角化边可得.则.据此利用余弦定理可得. (Ⅱ)由题意可得.利用同角三角函数基本关系可得.则∴.据此结合三角形面积公式有的面积.试题解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得.∵，∴.由余弦定理，得.（Ⅱ）由已知，，得.∵在中，为锐角，且，∴.∴.由，及公式，∴的面积.16. 甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，则则事件“甲同学进入复赛的”表示为，由与互斥，且、、彼此独立，能求出甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．试题解析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，则事件“甲同学进入复赛的”表示为.∵与互斥，且彼此独立，∴. （Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为数学期望.17. 如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，点在线段上，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求证：平面；（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面可推出，再由，可证平面，从而得出，由及为的中点，推出，即可得证平面；（Ⅱ）依题意，平面，，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，得出，，，，，，，由为平面的一个法向量，再根据，即可得出，从而得证；(Ⅲ) 求出平面的一个法向量，设与平面所成角为，根据，即可求出与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴.∵，为的中点，∴.∵，∴平面.（Ⅱ）证明：依题意，平面，，如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.可得，，，，，，.∵平面的一个法向量，，∴，即.∵平面，∴平面.（Ⅲ）解：设平面的法向量为，则，.由，，得令，得，，即.设与平面所成角为，∵，∴.∴与平面所成角的正弦值为.点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角．18. 已知是等差数列，是等比数列，其中，，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，据此计算可得的通项公式，的通项公式.(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中求得的通项公式可得.错位相减结合等差数列前n项和公式可得.试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，由，得，，由，，得，，∴.∴的通项公式，的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，故.则.令，①则，②由②-①，得.∴.点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有.则椭圆的方程为.(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论：当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设，，，，联立直线方程与椭圆方程有，由弦长公式可得.联立直线与椭圆方程，结合弦长公式有.计算可得.据此可得：为定值.试题解析：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，则有.由，得.∴椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，则.（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，依题意，则直线的方程为，直线的方程为.设，，，，由得，则，，.由整理得，则..∴.综合（1）（2），为定值.20. 已知函数，，且曲线与在处有相同的切线. （Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：在上恒成立；（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)2.【解析】试题分析：(Ⅰ)函数有相同的切线，则，，据此计算可得；(Ⅱ)构造函数，令，原问题等价于在上恒成立，讨论函数的单调性可得，即在上恒成立.试题解析：（Ⅰ）∵，，，∴.∵，，∴，.∵，即，∴.（Ⅱ）证明：设，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴，即在上恒成立.（Ⅲ）设，其中，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴.，设，其中，则，∴在内单调递减，，∴，故，而.结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，∴方程在区间内实根的个数为2.。

天津市南开中学2017-2018学年高三第三次月考理科数学试卷(无答案)

天津市南开中学2017-2018学年高三第三次月考数学试卷（理科）一、选择题1. 设集合{}2<=x x A ，集合{}3,2,1,0,1-=B ,则=B A ( ) A. {}1,0 B.{}2,1,0 C.{}1,0,1- D.{}2,1,0,1-2. 已知3log ,5.0,5.05.03.03===c b a ，则（）A.c b a <<B.c a b <<C.b c a <<D.b a c << 3.在等比数列{}n a 中，若3,24362==a a ，则4a 等于（） A.123 B.27 C.3 D.27±4.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-≤-≥111x y x y x ，则目标函数y x z -=2的最小值为（）A.-4B.-2C.0D.2 5.下列说法错误的是（）A.命题“若012=-x ，则1-=x 或1”的否命题为“若012≠-x ，则1-≠x 或1≠x ” B.命题“R x ∈∃，使得0sin <x x ”的否定为“R x ∈∀，都有0sin ≥x x ” C.若“p 且q ⌝”为假命题，则“p ⌝且q ”为真命题 D.“1<x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件6.已知曲线11-+=x x y 在点()2,3处的切线宇直线01=++y ax 垂直，则a 的值为（）A.2B.21C.21- D.-27. 已知圆()12:22=-+y x C 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的渐近线相切，且和圆b y x =+22外切，则双曲线方程为（）A. 1322=-y x B.1322=-y xC.1322=-y x D.1322=-y x 8.已知点21,F F 是椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的焦点，点B 是短轴顶点，直线2BF 椭圆C 相交于另一点D ，若BD F 1∆是等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（）A.31B.33C.22D.36二、填空题9.已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若()()a bi i =-+11，则bi a +=_________. 10.由曲线x y =，直线x y -=6以及x 轴围成的封闭图形的面积为_________.11.一个简单几何体的三视图如图所示，三个视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积为________.12. 向量a 与b 的夹角为60，若()2,0=a ，1=b ，则b a 2+=_________.13. 已知M 为抛物线()022>=p px y 上一点，若以M 为圆心经过原点的圆与x 轴交于另一点()0,2，且与该抛物线的准线相切，则p 的值为_________.14. 已知函数()()014202>++=a x ax x f ，若对任意实数t,在闭区间[]1,1+-t t 上总存在两个实数21,x x ，使得()()421≥-x f x f ，则实数a 的最小值为_________.三、解答题 15.已知函数18cos 264sin 2+-⎪⎭⎫⎝⎛-=x x y πππ（1）求()x f 得最小正周期；（2）求()x f 在区间[]2,2-上的单调性.16.已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的1个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.（1）求从同一个盒取出球同色的概率；（2）设X 为取出的红球和黑球的个数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. 如图，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 的中点为D ，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面AEF ，点G 为DF 的中点，AD =2AB =2.（1）证明：//BF 平面ACG ；（2）求二面角F BC D --的正弦值；（3）点H 为直线CE 上的点，且5-=,求直线AH 和平面BCF 所成角的正弦值.18. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且32121,6a a a a a ==+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其n 项和为n S ，已知112++=n n n b b S ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b的前n 项和n T19. 已知椭圆()11222>=+a y ax 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .（1）若23=∆ABF S ,求a 的值；（2）点P 在椭圆上，且在第二象限，线段AP 的垂直平分线交y 轴于点Q .若APQ ∆为正三角形，求椭圆的离心率的取值范围.20. 已知函数()()01323>+-=a x ax x f ，定义()()(){}()()()()()()⎩⎨⎧<≥==x g x f x g x g x f x f x g x f x h ,max（1）求函数()x f 的极值；（2）若()()x xf x g '=，且存在[]2,10∈x 使()()x f x h =，求实数a 的取值范围；（3）若()x x g ln =，使讨论函数()()0>x x h 的零点个数. （4）。

[精品]2017年天津市和平区高考数学三模试卷及解析答案word版(理科)

2017年天津市和平区高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（x﹣3）≤0，x∈Z}，B={x|（|x|﹣2）2=1}，则A∩B=（）A．{﹣1，1}B．{1，3}C．{﹣1，1，3}D．{﹣3，﹣1，1}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．6 B．4 C．2 D．13．（5分）若（x+）n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为（）A．6 B．7 C．8 D．94．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A．2 B．4 C．6 D．85．（5分）若不等式|x﹣1|+|x+m|≤4的解集非空，则实数m的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣3，5]C．[﹣5，3]D．[3，5]6．（5分）“a=“是“对任意的正数x，x+≥“的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点，若90°＜∠AFB＜120°，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，）8．（5分）定义在实数域上的偶函数f（x）对于∀x∈R，均满足条件f（x+2）=f （x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a （|x|+1）在（0，+∞）上至少有5个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若a，b∈R，+=，则a+b=．10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm311．（5分）函数f（x）=x3﹣x2+1在点（1，1）处的切线与曲线g（x）=﹣x2围成的图形的面积等于．12．（5分）在以O为极点的极坐标系中，直线3ρcosθ+4ρsinθ+m=0与圆（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是．13．（5分）已知△ABC的面积是，∠B为钝角，AB=2，BC=﹣1，则∠C 的度数为．14．（5分）在四边形ABCD中，∠ADC=∠BCD=120°，AD=DC=2CB=1，则•=．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣4cos2+3（其中ω＞0，x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=1的相邻两交点间的距离为，求函数f （x）的单调递减区间．16．（13分）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设固定顺序的5个题中，选手若能正确回答出3个题，即停止答题，晋级成功；否则需答满5个题．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个题回答的正确与否都相互独立．（Ⅰ）求该选手连续答对3道题晋级的概率；（Ⅱ）记该选手在竞赛中答对题的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，CA⊥平面ABB1A1，AC=AB=1，B1C1∥BC，BC=2B1C1．（Ⅰ）求异面直线CA1与BC1所成角的正切值；（Ⅱ）求证：AB1∥平面A1C1C；（Ⅲ）若点M是AB上的一个动点，试确定点M的位置，使得二面角C﹣A1C1﹣M的余弦值为．18．（13分）已知数列{a n}前n项和为S n，且S n=2a n﹣（n﹣1）q﹣1，其中n∈N*，q为常数．（Ⅰ）当q=0时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当q＞1时，对任意n∈N*，且n≥2，证明：+++…+＜1．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=1与椭圆C的两交点间距离为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，设R（x0，y0）是椭圆C上的一动点，由原点O向圆（x﹣x0）2+（y ﹣y0）2=4引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求证：k1•k2为定值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．20．（14分）已知t∈R，函数f（x）=+tlnx．（1）当t=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当t＞0时，若函数f（x）的最小值为g（t），求g（t）的最大值；（3）设函数h（x）=f（x）+|（t﹣2）x|，x∈[1，+∞），求证：h（x）≥2．2017年天津市和平区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（x﹣3）≤0，x∈Z}，B={x|（|x|﹣2）2=1}，则A∩B=（）A．{﹣1，1}B．{1，3}C．{﹣1，1，3}D．{﹣3，﹣1，1}【解答】解：集合A={x|（x+2）（x﹣3）≤0，x∈Z}={x|﹣2≤x≤3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|（|x|﹣2）2=1}={x||x|﹣2=±1}={x||x|=3或|x|=1}={﹣3，﹣1，1，3}，∴A∩B={﹣1，1，3}．故选：C．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．6 B．4 C．2 D．1【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（1，﹣1）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为2×1﹣1=1．故选：D．3．（5分）若（x+）n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：因为的展开式中前三项的系数C n0、、成等差数列，所以，即n2﹣9n+8=0，解得：n=8或n=1（舍）．．令8﹣2r=4可得，r=2，所以x4的系数为，故选：B．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1不满足条件k＞18，执行循环体，满足条件S＜4，S=2，k=3不满足条件k＞18，执行循环体，满足条件S＜4，S=3，k=5不满足条件k＞18，执行循环体，满足条件S＜4，S=4，k=7不满足条件k＞18，执行循环体，不满足条件S＜4，S=2，k=9不满足条件k＞18，执行循环体，满足条件S＜4，S=3，k=11不满足条件k＞18，执行循环体，满足条件S＜4，S=4，k=13不满足条件k＞18，执行循环体，不满足条件S＜4，S=2，k=15不满足条件k＞18，执行循环体，满足条件S＜4，S=3，k=17不满足条件k＞18，执行循环体，满足条件S＜4，S=4，k=19满足条件k＞18，退出循环，输出S的值为4．故选：B．5．（5分）若不等式|x﹣1|+|x+m|≤4的解集非空，则实数m的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣3，5]C．[﹣5，3]D．[3，5]【解答】解：∵不等式|x﹣1|+|x+m|≤4的解集非空，|x﹣1|+|x+m|≥|1+m|，∴|1+m|≤4，∴﹣4≤m+1≤4，求得﹣5≤m≤3，故选：C．6．（5分）“a=“是“对任意的正数x，x+≥“的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a=，对任意的正数x，x+≥2=，当且仅当x=时取等号，反之不成立，例如取a=2．∴a=“是“对任意的正数x，x+≥“的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点，若90°＜∠AFB＜120°，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，）【解答】解：双曲线﹣=1的两条渐近线的两条渐近线方程为y=±x，x=时，y=±，∴A（，），B（，﹣），∵90°＜∠AFB＜120°，F（c，0），由对称性可得tan45°＜k FB＜tan60°，即有1＜＜，即为1＜＜，而e==∈（，）．故选：D．8．（5分）定义在实数域上的偶函数f（x）对于∀x∈R，均满足条件f（x+2）=f （x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a （|x|+1）在（0，+∞）上至少有5个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【解答】解：令x=﹣1得f（1）=f（﹣1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为2．作出f（x）的函数图象如图所示：∵y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有5个零点，∴，解得0＜a＜．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若a，b∈R，+=，则a+b=2．【解答】解：a，b∈R，+=，∴+=+=，化为：10a+10ai+4b+8bi=5+15i，∴10a+4b=5，10a+8b=15，解得a=﹣，b=．则a+b=2．故答案为：2．10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3【解答】解：还原三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，因为底面积S=×2×2=2，高h=2，所以V=×2×2=，故答案为：．11．（5分）函数f（x）=x3﹣x2+1在点（1，1）处的切线与曲线g（x）=﹣x2围成的图形的面积等于．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2x，f′（1）=1，f（1）=1，所以点（1，1）处的切线方程为y﹣1=x﹣1，即y=x，由得交点为（0，0），（﹣1，﹣1），所以围成的图形面积为：S==，故答案为：．12．（5分）在以O为极点的极坐标系中，直线3ρcosθ+4ρsinθ+m=0与圆（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣10）∪（0，+∞）．【解答】解：∵直线3ρcosθ+4ρsinθ+m=0，∴直线的直角坐标方程为3x+4y+m=0，圆（θ为参数）的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣2）2=1，圆心（﹣1，2）到直线的距离d==，∵直线与圆没有公共点，∴d＞r，即＞1，解得m＞0或m＜﹣10．∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣10）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣10）∪（0，+∞）．13．（5分）已知△ABC的面积是，∠B为钝角，AB=2，BC=﹣1，则∠C 的度数为450．【解答】解：由s==，可得sinB=，∵∠B为钝角，∴B=．在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+CB2﹣2AB•CB•cosB，⇒AC=，由正弦定理得，解得sinC=，∵C为锐角，∴C=45°．故答案为：45014．（5分）在四边形ABCD中，∠ADC=∠BCD=120°，AD=DC=2CB=1，则•= 3．【解答】解：在三角形ADC中，∠ADC=120°，AD=DC=1，由余弦定理得：|AC|2=|AD|2+|CD|2﹣2|AD||CD|cos120°=1+1﹣2×（﹣）=3，故|AC|=，又∠DAC=∠DCA=30°，∠BCD=120°，所以，∠ACB=90°，即△ACB为直角三角形，所以，|AB|cos∠CAB=|AC|，所以•=|AB||AC|cos∠CAB=|AC|（|AB|cos∠CAB）=|AC|•|AC|=•=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣4cos2+3（其中ω＞0，x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=1的相邻两交点间的距离为，求函数f （x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（ωx+）﹣4cos2+3=2（sinωx+cosωx）﹣2cosωx+1=2（sinωx﹣cosωx）+1=2sin（ωx﹣）+1，由﹣1≤sin（ωx﹣）≤1，得﹣1≤2sin（ωx﹣）+1≤3，∴函数f（x）的值域为[﹣1，3]；（Ⅱ）由题设条件与三角函数的图象和性质可知，函数f（x）的周期为π，即=π，解得ω=2；∴f（x）=2sin（2x﹣）+1；令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），解得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z）；∴函数f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．16．（13分）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设固定顺序的5个题中，选手若能正确回答出3个题，即停止答题，晋级成功；否则需答满5个题．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个题回答的正确与否都相互独立．（Ⅰ）求该选手连续答对3道题晋级的概率；（Ⅱ）记该选手在竞赛中答对题的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设“该选手连续答对3道题晋级”的事件为A，则P（A）=+×+×=；（Ⅱ）该选手在竞赛中答对题的个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；P（X=0）==；P（X=1）=××=；P（X=2）=××=；P（X=3）=+××+×=（或P（X=3）=1﹣P（X=i﹣1）=1﹣（++）=）；∴随机变量X的分布列为数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=．17．（13分）如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，CA⊥平面ABB1A1，AC=AB=1，B1C1∥BC，BC=2B1C1．（Ⅰ）求异面直线CA1与BC1所成角的正切值；（Ⅱ）求证：AB1∥平面A1C1C；（Ⅲ）若点M是AB上的一个动点，试确定点M的位置，使得二面角C﹣A1C1﹣M的余弦值为．【解答】解：（I）以A为原点，以AC，AB，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系A ﹣xyz，如图所示：则B（0，1，0），C（1，0，0），A1（0，0，1），B1（0，1，1），C1（，，1），∴=（﹣1，0，1），=（，﹣，1），∴cos＜，＞===，设异面直线CA1与BC1所成角为θ，则cosθ=，∴sinθ=，tanθ==．∴异面直线CA1与BC1所成角的正切值为．（II）证明：=（﹣1，0，1），=（，，0），=（0，1，1），设平面A1C1C的法向量为=（x，y，z），则，∵，令x=1得=（1，﹣1，1），∴=0，又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C．（III）设M（0，λ，0）（0≤λ≤1），则=（0，λ，﹣1），设平面MA1C1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1得=（﹣1，1，λ），∴|cos＜，＞|=||=||=，解得λ=1或λ=5（舍）．∴当M位于B点时，二面角C﹣A1C1﹣M的余弦值为．18．（13分）已知数列{a n}前n项和为S n，且S n=2a n﹣（n﹣1）q﹣1，其中n∈N*，q为常数．（Ⅰ）当q=0时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当q＞1时，对任意n∈N*，且n≥2，证明：+++…+＜1．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=2a n﹣（n﹣1）q﹣1…①，∴当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣（n﹣2）q﹣1…②﹣1①﹣②得a n=2（a n﹣a n﹣1）﹣q⇒a n=2a n﹣1+q．故当q=0时，，a1=s1=2a1﹣1，∴a1=1．即数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得a n=2a n﹣1+q．，a1=1．当q＞1时，a n=2a n﹣1+q＞2a n﹣1+1，即∴＞2n﹣1∴，．则：+++…+＜++…+=1﹣＜1．∴+++…+＜119．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=1与椭圆C的两交点间距离为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，设R（x0，y0）是椭圆C上的一动点，由原点O向圆（x﹣x0）2+（y ﹣y0）2=4引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求证：k1•k2为定值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e===，则a2=4b2，由直线过点（4，1），代入，解得：b2=5，则a2=20，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：由直线OP：y=k1x，直线OQ：y=k2x，由直线OP为圆R的切线，=2，（x02﹣4）k12﹣2x0y0k1+（y02﹣4）=0，同理可得：（x02﹣4）k22﹣2x0y0k2+（y02﹣4）=0，∴k1，k2是方程（x02﹣4）k2﹣2x0y0k+（y02﹣4）=0的两个不相等的实根，由x02﹣4≠0，△＞0，则k1•k2=，由R（x0，y0）在椭圆上，即y02=5﹣x02，∴k1•k2===﹣，∴k1•k2为定值﹣；（Ⅲ）经判断|OP|2+|OQ|2为定值，（i）由直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，解得，∴x12+y12=，同理，得x22+y22=，…13分由k1•k2=﹣，得|OP|2+|OQ|2=x12+y12+x22+y22=+，=+，=+，==25，∴丨OP丨2+丨OQ丨2为定值，定值为25．20．（14分）已知t∈R，函数f（x）=+tlnx．（1）当t=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当t＞0时，若函数f（x）的最小值为g（t），求g（t）的最大值；（3）设函数h（x）=f（x）+|（t﹣2）x|，x∈[1，+∞），求证：h（x）≥2．【解答】解：（1）t=1时，f（x）=+lnx，（x＞0），f′（x）=，∵x∈（0，+∞），故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；（2）当t＞0时，f′（x）==0⇒x=，x，f′（x），f（x）的变化如下：f（x）的最小值g（t）=f（）=t+tln，g'（t）=ln2﹣lnt=0⇒t=2，t，g′（t），g（t）的变化如下：g（t）的最大值为g（2）=2；（3）当t≥2时，h（x）=f（x）+（t﹣2）x=+tlnx+（t﹣2）x，h′（x）=+t﹣2≥0，所以h（x）在[1，+∞）上是增函数，故h（x）≥h（1）=t≥2，当t＜2时，h（x）=f（x）﹣（t﹣2）x=+tlnx﹣（t﹣2）x，h′（x）=﹣t+2==0，解得x=﹣＜0或x=1，h（x）≥h（1）=4﹣t＞2，综上所述：h（x）≥2．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：45°45°45°运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

【数学】天津市第一中学2017届高三上学期第三次月考(理)

天津市第一中学2017届高三上学期第三次月考（理）第Ⅰ卷（本卷共8道题,每题5分,共40分）一、选择题：1.设全集U R =，集合2{|log 2}A x x =≤，{|(3)(1)0}B x x x =-+≥，则()U C B A =∩（） A ．(,1]-∞- B ．(,1](0,3)-∞-∪ C ．[0,3) D ．(0,3)2.下列说法正确的是（）A ．若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C ．若命题:p “sin cos 2x R x x ∀∈+≤，”，则p ⌝是真命题D ．命题“0x R ∃∈，200230x x ++<使得”的否定是“2230x R x x ∀∈++>，”3.设变量,x y 满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为（）A ．5B ．4 C. 3 D ．2 4.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A ．1y x =+的图象上B ．2y x =的图象上 C. 2xy =的图象上 D ．12x y -=的图象上5. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，4cos 5A =，2b =，面积3S =，则a 为（）A ．35B ．13 C.21 D ．176.数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++= （） A ．20152016 B ．20162017 C. 40342017 D ．403220177.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的交点为A B 、，直线AB 经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（） A ．21+ B ．3 C.2 D ．28.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是（）A ．1(,1)2 B ．13(,)24 C. 1(,1)3 D ．1(,2)2第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分）二、填空题： 9.若复数212bii-+（b R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则b =． 10.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ），则该几何体的体积是___________3cm ．11.若1(21)6mx dx -=⎰，则二项式3(12)m x -的展开式各项系数的和为．12.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为2cos()14πρθ+=，曲线N 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）.若曲线M与N 相交于A B ，两点，则线段AB 的长等于．13.ABC ∆是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP BP•的取值范围是．14.若关于x 的不等式|||1|||x x x a +->>对x R ∀∈恒成立，则a 的取值范围是．三、解答题（共6题，80分） 15.函数()cos()(0)2f x x ππϕϕ=+<<的部分图象如图所示.（1）求ϕ及图中0x 的值；（2）设1()()()3g x f x f x =++，求函数()g x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值. 16.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则实验结束.（1）求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；（2）记实验次数为X ，求X 的分布列及数学期望.17. 如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==.（1）求证：//EG 平面ADF ；（2）求二面角O EF C --的正弦值；（3）设H 为线段AF 上的点，且23AH HF =，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 18. 已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.（1）求证:数列{}n a 是等比数列；（2）若()n n n b a f a =+，当12k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值；（3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由.19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为22，其上下顶点分别为12C C ，，点12(1,0)(3,2)A B AC AC ⊥，，.（1）求椭圆E 的方程及离心率；（2）点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠，过点A 任意作直线l 与椭圆E 相交于点,M N 两点，设直线MB BP NB ，，的斜率依次成等差数列，探究,m n 之间是否满足某种数量关系，若是，请给出,m n 的关系式，并证明；若不是，请说明理由.20. 已知函数()2ln h x ax x =-+.（1）当1a =时，求()h x 在(2,(2))h 处的切线方程；（2）令2()()2a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >•，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在02[1,2]2x ∈+，使不等式20()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题1-4: DAAD 5-8:BDBA 二、填空题 9. 23-10. 16311. -1 12.8 13.[1,13] 14.(0,1) 三、解答题15.解：（1）由题图得3(0)2f =，所以3cos 2ϕ=，因为02πϕ<<，故6πϕ=. 由于()f x 的最小正周期等于2，所以由题图可知012x <<，故0713666x ππππ<+<，33cos sin 3sin()226x x x ππππ=-=-. 当11[,]23x ∈-时，2663x ππππ-≤-≤.所以1sin()126x ππ-≤-≤，故62x πππ-=，即13x =-时，()g x 取得最大值3；当66x πππ-=-，即13x =时，()g x 取得最小值32-.16.解：（1）1126283()7C C P A C ==；（2）∵1122622813(1)28C C C P X C +===2112642222869(2)28C C C C P X C C +==⨯=；； 22112642222228645(3)28C C C C C P X C C C +==⨯⨯=；22226422222286421(4)28C C C C P X C C C C ==⨯⨯⨯=. ∴X 的分布列为X 1 2 3 4P1328 928528 1281395125()12342828282814E x =⨯+⨯+⨯+⨯=. 17.试题解析：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为点，分别以AD BAOF，，的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，(1,1,0)A -，(1,1,0)B --，(1,1,0)C -，(1,1,0)D ，(1,1,2)E --，(0,0,2)F ，(1,0,0)G -.（1）证明：依题意(2,0,0)AD = ，(1,1,2)AF =-.设1(,,)n x y z = 为平面ADF 的法向量，则1100n AD n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩••，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩. 不妨设1z =，可得1(0,2,1)n = ，又(0,1,2)EG =- ，可得10EG n =•，又因为直线EG ⊄平面ADF ，所以//EG 平面ADF .（2）解：易证：(1,1,0)OA =-为平面OEF 的一个法向量. 依题意(1,1,0)EF = ，(1,1,2)CF =-.设2(,,)n x y z = 为平面CEF 的法向量，则2200n EF n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩••，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩. 不妨设1x =，可得2(1,1,1)n =-.因此有2226cos ,3|||OA n OA n OA n ==-•|?，于是23sin ,3OA n = ，所以，二面角O EF C --的正弦值为33.（3）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为(1,1,2)AF =- ，所以2224(,,)5555AH AF ==- ，有334(,,)555H -，从而284(,,)555BH = ，因此2227cos ,21||BH n BH n BH n ==-•|?|.所以直线BH 与平面CEF 所成角的正弦值为721. 18.解：（1）证明：由题意可得()42(1)22n f a n n =+-=+，即log 22k n a n =+， ∴22n n a k+=，∴2(1)22122n n n n a k k a k++++==. ∵常数0k >且1k ≠， ∴2k 为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列. （2）当12k =时，112n n a +=，()22n f a n =+，所以2111(1)22411423122212n n n n S n n n +-++=+=++--，因为1n ≥，所以2111322n n n +++-是递增数列，因而最小值为1111713244S =++-=.由（1）知，22lg (22)lg n n n n c a a n k k +==+•，要使1n n c c +<对一切*n N ∈成立，即2(1)lg (2)lg n k n k k +<+••对一切*n N ∈恒成立；当1k >时，lg 0k <，21(2)n n k +>+对一切*n N ∈恒成立，只需2min 1()2n k n ++<. ∵11122n n n +=-++单调递增，∴当1n =时，min 12()23n n +=+. ∴223k <，且01k <<，∴603k <<.综上所述，存在实数6(0,)(1,)3k ∈+∞∪满足条件. 19.解：（1）∵12AC AC ⊥，1(0,)C b ，2(0,)C b -，(1,0)A ，∴21210AC AC b =-= •，∴21b =.∵222c =，解得2c =，∴2223a b c =+=.∴椭圆E 的方程为2213x y +=. 离心率2633c e a ===. （2）,m n 之间满足数量关系1m n =+.下面给出证明： ①当取(3,0)M ，(3,0)N -时，233MB k =-，23BP nk m -=-，233NB k =+.∵直线MB BP NB ，，的斜率依次成等差数列，∴222233333n m -⨯=+--+，化为：1m n =+.②当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1ty x +=，11(,)M x y ，22(,)N x y .联立22113ty x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：22(3)220t y ty ++-=， ∴12223t y y t -+=+，12223y y t -=+. 1123MB y k x -=-，23BP n k m-=-,2223NB y k x -=-. ∵直线,,MB BP NB 的斜率依次成等差数列，∴12122222333y y n m x x ---⨯=+---，由于121221121122(2)(2)(2)(2)33(2)(2)y y y ty y ty x x ty ty ----+--+=---- 1212212122(22)()822()4ty y t y y t y y t y y -+++==-++， ∴213nm-=-，化为：1m n =+. 20.解：（1）1'()2h x a x=-+，1a =时，()2ln h x x x =-+，1'()2h x x =-+，(2)4ln 2h =-+，3'(2)2h =-. ()h x 在(2,(2))g 处的切线方程为322ln 220x y +-+=.（2）2121'()2(0)ax ax f x ax a x x x -+=-+=>， 2'()0210f x ax ax =⇔-+=，所以212124402112a a x x x x a ⎧⎪∆=->⎪+=⎨⎪⎪=>⎩，所以12a <<.（3）由2210ax ax -+=，解得21a a a x a --=，22a a ax a+-=，∵12a <<，∴2121112x a =+-<+. 而()f x 在2()x +∞上单调递增，∴()f x 在2[12]2+，上单调递增. ∴在2[12]2+，上，max ()(2)2ln 2f x f a ==-+. 所以，“存在02[12]2x ∈+，，使不等式20()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++恒成立”等价于“不等式22ln 2ln(1)(1)(1)2ln 2a a m a a -+++>--++恒成立”，即，不等式2ln(1)ln 210a ma a m +--+-+>对任意的(12)a a <<恒成立. 令2()ln(1)ln 21g a a ma a m =+--+-+，则(1)0g =.2122'()2111ma ma ag a ma a a ---=--=++.①当0m ≥时，222'()01ma ma ag a a ---=<+，()g a 在(1,2)上递减. ()(1)0g a g <=，不合题意.②当0m <时，12(1)2'()1ma a m g a a -++=+.若11(1)2m <-+，记1min(2,1)2t m=--，则()g a 在(1,)t 上递减. 在此区间上有()(1)0g a g <=，不合题意.因此有01112m m <⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得14m ≤-，所以，实数m 的取值范围为1(,]4-∞-.安徽省江南十校2017年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则|z |=（） A ．B ．1C ．5D ．252．设集合A ={x ∈Z ||x |≤2}，，则A ∩B =（） A ．{1，2}B ．{﹣1，﹣2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，2}3．已知平面向量=（1，m ），=（2，5），=（m ，3），且（+）∥（﹣），则m =（）A．B．C．D．4．已知，则sinα（sinα﹣cosα）=（）A．B．C．D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．76．质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．7．《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．20 B．22 C．24 D．269．设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，则的值为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．11．已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．12．设⌈x⌉表示不小于实数x的最小整数，如⌈2.6⌉=3，⌈﹣3.5⌉=﹣3．已知函数f（x）=⌈x⌉2﹣2⌈x⌉，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实x，y数满足关系，则|x﹣2y+2|的最大值是．14．若（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x 的次数为1的项的系数为．15．已知双曲线﹣=1上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是．16．将函数y=sin2x﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=k sin x cos x（k ＞0）的图象关于对称，则k+m的最小正值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．（1）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n．18．美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：②记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，DE=BF= CG．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得GH=CG．（1）求证：PH⊥平面AEF；（2）求二面角A﹣EF﹣G的余弦值．20．在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点A，B．（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣1+a，函数g（x）=ax+ln x，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x）≥g（x）+1；（Ⅲ）若函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0），证明：x0＜2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题1．B【解析】==，则|z|==1．故选：B．2．C【解析】A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥或x＜0}，故A∩B={﹣2，﹣1，2}，故选：C．3．D【解析】根据题意，向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），则；若（+）∥（﹣），（m+1）×（m﹣5）=（m+3）×（﹣1）解可得：；故选：D．4．A【解析】，故选：A．5．D【解析】模拟执行程序框图，可得：n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6…∵∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，∴共要循环7次，故j=7．故选：D．6．B【解析】质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．基本事件总数N=42=16，记m2+n2≤4为事件A，则事件A包含听基本事件有：（1，1），（0，1），（1，0），共3个，∴事件A发生的概率为．故选：B．7．D【解析】由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：D．8．C【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．该几何体的体积V=33﹣3×13=24．故选：C．9．D【解析】在△ABC中，∵△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，∴A=45°，B=60°，C=75°，那么△ABC的面积为S1=ac sin B=a2=a2外接圆面积为S2=πR2，R=，∴=．故选D．10．B【解析】由题意，x=0，y＜0，排除A，0＞x＞﹣1，x→﹣1，y→﹣∞，排除C，D选项中，f（﹣2）=5，f（﹣3）=，不符合，排除D．故选：B．11．D【解析】∵球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，∴由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，其体积为=，同理，故棱锥S﹣ABC的体积为．故选：D．12．C【解析】令F（x）=0得f（x）=k（x﹣2）﹣2，作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象如下图所示：若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则函数f（x）和g（x）=k（x﹣2）﹣2的图象在（﹣1，4]上有2个交点，经计算可得k P A=5，k PB=10，k PO=﹣1，k PC=﹣，∴k的范围是[﹣1，﹣）∪[5，10）．故选：C二、填空题13．5【解答】5 由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由解得M（﹣1，3），由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，故答案为：5．14．﹣7【解析】（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，令x=y=1，得23×（a+1）5=256，解得a=1，所以（x+y）3（2x﹣y+1）5的展开式中含字母x且x的系数为：．故答案为：﹣7．15．133【解析】双曲线﹣=1的a=4，b=6，c==2，不妨设点P（x，y）在右支上，由条件可知P点到右焦点（2，0）的距离为9，即为=9，且﹣=1，解出x=2，y=±9，则x2+y2=52+81=133．故答案为：133．16．2+【解析】将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x ﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，根据所得图象与y=k sin x cos x=sin2x（k＞0）的图象关于对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，求得k=2，sin（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），∴﹣2m=﹣+2kπ，k∈Z，即2m=﹣2kπ，k∈Z，故m的最小正值为，则k+m的最小正值为2+．三、解答题17．（1）证明：当n=1时，a1=S1，S1﹣2a1=1﹣4，可得a1=3，S n﹣2a n=n﹣4转化为：S n﹣2（S n﹣S n﹣1）=n﹣4（n≥2），即S n=2S n﹣1﹣n+4，所以S n﹣n+2=2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]注意到S1﹣1+2=4，所以{S n﹣n+2}为首项为4，公比为2等比数列；（2）由（1）知：，所以，于是==．18．解：（Ⅰ）∵百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，∴当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，当送餐单数n＞45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100+（n﹣45）×6=6n﹣170，n∈N*，∴百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系为：（Ⅱ）①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，P（X=100）==0.2，P（X=106）==0.3，P（X=118）==0.4，P（X=130）==0.1，∴X的分布列为：X100 106 118 130P0.2 0.3 0.4 0.1E（X）=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）．②美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元）由①知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元．故推荐小明去美团外卖应聘．19．证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，∴OP∥DE，∴OP⊥面ABCD．∴∠P AO为AP与面ABCD所成角，∵AP与平面ABCD所成角为60°，∴∠P AO=60°．在Rt△AOP中，．Rt△AHC中，．梯形OPHC中，．∴AP2+PH2=AH2，∴AP⊥PH，又EH=FH，∴PH⊥EF，又AP∩EF=P，∴PH⊥面AEF．解：（2）∵CG面ABCD，ABCD为正方形，∴如图所示建立空间直角坐标系．G（0，0，），E（，0，），F（0，，），H（0，0，），P（，，），=（﹣，，0），=（﹣，0，），，∵PH⊥面AEF，∴面AEF的法向量为，设面EFG法向量为，则，取x=，得，设二面角A﹣EF﹣G的平面角为θ，由题意θ为钝角，则cosθ=﹣=﹣．故二面角A﹣EF﹣G的余弦值为．20．解：（1）因为直线不过原点，所以m≠0，将与联立，消去y得：，因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得，所以实数m的范围组成的集合M是；（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，即k P A+k PB=0，令，所以，整理得：，由（1）知x1，x2是的两个根，所以，代入（*）化简得，由题意解得或所以定点P的坐标为或，经检验，满足题意，所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，坐标为或．21．解：（Ⅰ）设曲线y=f（x）在Q（x1，y1）点处切线是y=x，则由于所以x1=1，y1=1，由题意知：，于是a=0．（Ⅱ）证明：令，当x∈（0，1）时，0＜e x﹣1＜1，所以，即，当x∈（1，+∞）时，1＜e x﹣1，所以，即，于是F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣1﹣ln x在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，其最小值是F（1）=1，所以F（x）=f（x）﹣g（x）≥1，于是原不等式成立．（Ⅲ）令G（x）=e x﹣1﹣ln x﹣ax+a（x＞0），则函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）等价于函数G（x）有且只有一个零点x0，，注意到为（0，+∞）上的增函数且值域为R，所以在（0，+∞）上有唯一零点x1，且G'（x）在（0，x1）上为负，（x1，+∞）上为正，所以G（x1）为极小值，又函数G（x）有唯一零点x0，结合G（x）的单调性知x1=x0，所以，即，即，即．令，显然，x0是H（x）的零点，，H'（x）在（0，1）上为正，（1，+∞）上为负，于是H（x）在（1，+∞）上单调递减，注意到，所以H（x）在（1，2）内有一个零点，在[2，+∞）内无零点，所以H（x）的零点一定小于2，从而函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）时一定有x0＜2．22．解：由条件：．设点，点P到C2之距离.．此时cosθ=﹣，此时点．23．解：（Ⅰ）当x∈[0，3]时，2≤|2a﹣1|≤3且，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，设g（a）=t•a+t2﹣3，则，可得或t≥3．。

天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学理试题含答案精品

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}0,1,2,3,4A =---，{}212B x x =<，则A B =I （）A ．{}4B ．{}1,2,3--C ．{}0,1,2,3--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---2．“2a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设变量x y 、满足约束条件24,20,20,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为（）A ．9B ．5C ．1D ．-54．已知双曲线221412x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭ B．( C．⎡⎢⎣⎦D．⎡⎣ 5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为（）A ．72B ．90C ．101D ．1106．将函数1sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到图象对应的解析式为（）A ．1sin2y x = B ．12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，2DF FC =u u u r u u u r，且AE 与BF 相交于点G ，则AG BF ⋅uuu r uu u r的值为（）A ．47 B ．47- C ．35 D ．35- 8．已知函数()2,1,25,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若始终存在实数b ，使得函数()()g x f x b =-的零点不唯一，则a 的取值范围是（）A ．[)2,4B ．(),2-∞C ．(),4-∞D ．(],4-∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知i 是虚数单位，则复数3i2i-=+ ． 10．62x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为．（用数字作答） 11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．已知0a >，则()()141a a a--的最小值为．13．已知函数()f x =，若()4f a =-，则()f a -的值为．14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22a bc =. （Ⅰ）若sin sin A C =，求cos A ；（Ⅱ）若cos23A =，6a =，求ABC ∆的面积. 16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34、23、12，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 17．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为PC 的中点，E 为AD 的中点，点F 在线段PB 上，4PA AC ==，2BC =.（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若34PF PB =，求证：EF ∥平面ABC ；（Ⅲ）求PE 与平面ADB 所成角的正弦值.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其中111a b ==，234a b a +=，347a b a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记()()12121n n n c a a a b b b n=++++++L L ，求数列{}n c 的前n 项和n S . 19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆的短轴为直径的圆与直线0x y -=相切.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点F 的弦为AB 、过原点的弦为CD ，若CD AB ∥，求证：2CDAB为定值.20．已知函数()2f x ax x =-，()lng x b x =，且曲线()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）求证：()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立；（Ⅲ）当[)6,n ∈+∞时，求方程()()f x x ng x +=在区间()1,ne 内实根的个数.和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科期末质量调查试卷参考答案一、选择题1-4:CABD 5-8:BDAC二、填空题9．1i - 10．60 11．4233π+ 12．-1 13．4 14．480三、解答题15．解：（Ⅰ）由sin sin A C =及正弦定理，得a c =. ∵22a bc =， ∴2a c b ==.由余弦定理，得222cos 2b c a A bc +-=222244144b b b b +-==.（Ⅱ）由已知22a bc =，6a =，得18bc =.∵在ABC ∆中，2A 为锐角，且cos 2A =∴1sin23A ==.∴1sin 2sincos 222339A A A ==⨯⨯=.由18bc =，sin 9A =及公式1sin 2S bc A =，∴ABC ∆的面积11829S =⨯⨯=. 16．解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件,,A B C ，则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC ABC U . ∵ABC 与ABC 互斥，且,,A B C 彼此独立， ∴()()()P ABC ABC P ABC P ABC =+U()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+32131134324328=⨯⨯+⨯⨯=. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3211011143224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()1111211432432P X ==⨯⨯+⨯⨯31114324+⨯⨯=， ()1213112432432P X ==⨯⨯+⨯⨯3211143224+⨯⨯=，()321134324P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为数学期望()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 17．（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥.∵AC BC ⊥，PA AC A =I ，∴BC ⊥平面PAC . ∵AD ⊂平面PAC ， ∴BC AD ⊥.∵PA AC =，D 为PC 的中点， ∴AD PC ⊥. ∵PC BC C =I ， ∴AD ⊥平面PBC .（Ⅱ）证明：依题意，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，如图，以A 为原点，分别以,,CB AC AP u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.可得()0,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,4P ，()0,2,2D ，()0,1,1E ，3,3,12F ⎛⎫⎪⎝⎭. ∵平面ABC 的一个法向量()0,0,4AP =uu u r ，3,2,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r ，∴0AP EF ⋅=uu u r uu u r，即AP EF ⊥.∵EF ⊄平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .（Ⅲ）解：设平面ADB 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n AD ⋅=r uuu r ，0n AB ⋅=r uu u r. 由()0,2,2AD =uuu r ，()2,4,0AB =uu u r ，得220,240,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1z =，得1y =-，2x =，即()2,1,1n =-r.设PE 与平面ADB 所成角为θ，∵()0,1,3PE =-uur，∴sin cos ,PE nPE n PE nθ⋅==⋅uur ruur r uur r==∴PE 与平面ADB 18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，由111a b ==，得()11n a n d =+-，1n n b q -=，由234a b a +=，347a b a +=，得22q d =，34q d =， ∴2d q ==.∴{}n a 的通项公式21n a n =-，{}n b 的通项公式12n n b -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n a a a n +++=L ，1221n n b b b +++=-L ，故()21212nn n c n n n n=-=⋅-. 则()()21222212nn S n n =⨯+⨯++⋅-+++L L .令231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，① 则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ，②由②-①，得()12322222n n n T n +=⋅-++++L ()1122n n +=-⋅+.∴()()112212n n S n n +=-⋅+-+++=L ()()111222nn n n ++-⋅-+. 19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线0x y -=的距离为b ，则有b ==12=，得22443a b ==.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）证明：（1）当直线AB 的斜率不存在时，易求3AB =，CD =则24CDAB=. （2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，依题意0k ≠，则直线AB 的方程为()1y k x =-，直线CD 的方程为y kx =. 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，12AB x =-= ()2212134k k +=+.由22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩整理得221234x k =+，则34x x -=34CD x =-=∴()()2222248134434121k CD k ABk k ++=⋅=++. 综合（1）（2），24CDAB=为定值.20．解：（Ⅰ）∵()11f a =-，()10g =，()()11f g =， ∴1a =.∵()21f x ax '=-，()bg x x'=， ∴()121f a '=-，()1g b '=. ∵()()11f g ''=，即21a b -=， ∴1b =.（Ⅱ）证明：设()()()()2ln 0u x f x g x x x x x =-=-->，()()()211121x x u x x x x+-'=--=. 令()0u x '=，则有1x =.当x 变化时，()(),u x u x '的变化情况如下表：∴()()10u x u ≥=，即()()f x g x ≥在()0,+∞上恒成立.（Ⅲ）设()()()2ln h x ng x f x x n x x =--=-，其中()1,n x e ∈，()22x x n h x x x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=-=-.令()h x '，则有2x =当x 变化时，()(),h x h x '的变化情况如下表：∴()ln 1222n n h x h ⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝⎭极大值()3ln310≥->. ()()()22n n n n h e n e n e n e =-=+-，设()x t x x e =-，其中()6,x ∈+∞，则()10xt x e '=-<， ∴()t x 在()6,+∞内单调递减，()()60t x t <<，∴x x e <，故()0n h e <，而()11h =-.结合函数()h x 的图象，可知()h x 在区间()1,n e 内有两个零点，∴方程()()f x x ng x +=在区间()1,n e 内实根的个数为2.。

天津市和平区2017-2018学年高三数学三模试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年天津市和平区高考数学三模试卷（理科）一、选择题(每题5分，共40分)1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．2 B．C．D．12．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）A．0 B．C． D．3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．1 B．C．D．24．设P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（）A．B．C．D．6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．D．7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A．（0，6﹣）B．（6﹣，2）C．（，6﹣）D．（，2﹣）二、填空题(每小题5分，共30分)9．的展开式中x8的系数是______（用数字作答）．10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为______cm3．11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是______．12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为______．13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为______．14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为______．三、解答题(本题共6题，共80分)15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a3及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=﹣，n∈N*，记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）若S k≥S n恒成立，求正整数k的值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．2016年天津市和平区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(每题5分，共40分)1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵=i，∴1+z=i﹣zi，则（1+i）z=﹣1+i，∴，∴|z|=1．故选：D．2．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）A．0 B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】设z=，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，则由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，），此时z=×1+=2，故选：C3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，利用对数的运算法即可得解．【解答】解：模拟程序的运行过程，可得S=0，n=3执行循环体，M=，S=log2=2﹣log23，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=4，M=，S=log2+log2=log25﹣log23，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=5，M=，S=log2+log2+log2=log26﹣log23，…不满足条件S∈Q，执行循环体，n=11，M=，S=log212﹣log23=log24=2，满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为2．故选：D．4．设P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【考点】的否定．【分析】利用特称的否定是全称写出结果即可．【解答】解：因为特称的否定是全称，所以P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．故选：C．5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】运用圆的切线的性质和切割线定理，求得BD=2，再由勾股定理，求得AB，AC的值，再由切割线定理，可得CB2=CE•CA，即可得到所求值．【解答】解：由AB⊥BC，可得DB为切线，由切割线定理可得，BD2=DF•DA，由AF=3，FD=1，可得BD2=1×（1+3）=4，解得BD=2，在直角三角形ABD中，AB===2，在直角三角形ABC中，AC===2，由BC为切线，可得CB2=CE•CA，即有16=（2﹣AE）•2，解得AE=．故选：B．6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（2，0），所以双曲线中，c=2，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以=2c，c2=a2+b2=4，解得a=2+，双曲线的离心率e==1+．故选：B．7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】函数的值．【分析】可得f（m）=2m+2﹣m=3，2m＞2，从而化简比较大小．【解答】解：∵f（m）=2m+2﹣m=3，m＞0，∴2m=3﹣2﹣m＞2，∴b=2f（m）=2×3=6，a=f（2m）=22m+2﹣2m=（2m+2﹣m）2﹣2=7，c=f（m+2）=2m+2+2﹣m﹣2=4•2m+2﹣m＞8，∴b＜a＜c；故选D．8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A．（0，6﹣）B．（6﹣，2）C．（，6﹣）D．（，2﹣）【考点】分段函数的应用；函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】画出函数y=f（x﹣1）的图象，可得y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，求出函数图象交点为4个时的临界值，可得答案．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，∴函数y=f（x﹣1）的图象如下图所示：y=k （x ﹣2）+表示过（2，）点斜率为k 的直线，由图可得：y=k （x ﹣2）+与y=f （x ﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f （x ﹣1）﹣﹣k （x ﹣2）至多有5个零点，当k=时，直线y=k （x ﹣2）+过原点，此时y=k （x ﹣2）+与y=f （x ﹣1）的图象有4交点，即函数y=f （x ﹣1）﹣﹣k （x ﹣2）有4个零点；当k=6﹣时，直线y=k （x ﹣2）+与y=f （x ﹣1）的图象抛物线部分相切，此时y=k （x ﹣2）+与y=f （x ﹣1）的图象有4交点，即函数y=f （x ﹣1）﹣﹣k （x ﹣2）有4个零点；故当函数y=f （x ﹣1）﹣﹣k （x ﹣2）（其中k ＞0）的零点个数取得最大值时，k ∈（，6﹣），故选：C ．二、填空题(每小题5分，共30分)9．的展开式中x 8的系数是（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于8，求得r 的值，即可求得展开式中的x 8的系数．【解答】解：由于的展开式的通项公式为 T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x 8的系数是•=，故答案为：．10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm ），则该几何体的体积为 6+cm 3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r=．利用球的体积计算公式与三棱柱的体积计算公式．【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r==1．∴该几何体的体积=13+=+6．故答案为：6+．11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，把y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即可化为直角坐标方程．可得圆心C，半径r．即可得出|PA|的取值范围是[|CA|﹣r，|CA|+r]．【解答】解：点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．可得圆心C（0，1），半径r=1．则|CA|=．则|PA|的取值范围是．故答案为：．12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为．【考点】几何概型．【分析】欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，∴在边长为1的正方形OABC内取一点M，点M恰好落在阴影内部的概率为．故答案为：．13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为．【考点】余弦定理．【分析】在△ABD中使用正弦定理求出∠ADB，得出∠ABD，从而得出∠ABC，∠ACB，再在△ABC中使用正弦定理计算BC．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理得，即，解得sin∠ADB=．∴∠ADB=45°，∴∠ABD=15°，∠ABC=30°．∴∠C=30°，在△ABC中，由正弦定理得，即，解得BC=．故答案为：．14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，求出•关于λ的函数，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：以CB，CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（2，2），B（2，0），M（2﹣2λ，0），N（0，2﹣）．∴=（﹣2λ，﹣2），=（﹣2，）．∴•=4λ﹣=4λ+1+﹣5﹣5=﹣1．当且仅当4λ+1=即λ=时取等号．故答案为：﹣1．三、解答题(本题共6题，共80分)15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数诱导公式及二倍角公式，辅助角公式化简f（x），由此得到最值与周期．（2）由f（x）解析式得到单调增减区间，由此得到在[，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，=cosxsinx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣，=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小正周期为T=π，f（x）的最大值为1﹣．（2）由（1）可知，f（x）在[﹣，]上的单调递增，在[，]上的单调递减，而[，]⊆[﹣，]，[，]⊆[，]．∴函数f（x）在[，]上的单调递增，在[，]上的单调递减．16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，由事件A 与事件B为对立事件，能求出该顾客获奖概率．（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，∵事件A与事件B为对立事件，∴该顾客获奖概率为P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）3=．（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，P（X=﹣10）=（）3=，P（X=10）==，P（X=20）=，P（X=30）=（）3=，∴E（X）=+10×++30×=﹣．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥平面PAC．（Ⅱ）求出平面PAC的一个法向量，设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|，由此能求出AD与平面PAC所成角的正切值．（Ⅲ）设存在点E，且，求出平面ADE的一个法向量和平面PDE的法向量，由此能求出存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．【解答】证明：（Ⅰ）如图，以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y 轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（，，0），P（0，0，2），=（，，0），=（0，0，2），设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），则，则，取y=﹣1，得=（），∵=（，﹣，0）=，∴∥，∴BC⊥平面PAC．解：（Ⅱ）∵D为PB的中点，D（0，1，1），∴=（0，1，1），∵平面PAC的一个法向量为=（），设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===，∴cosθ==，tanθ==，∴AD与平面PAC所成角的正切值为．（Ⅲ）设存在点E，且，则，∴E（），D（0，2λ，2﹣2λ），λ∈（0，1），∴=（），=（，0），设平面ADE的一个法向量为=（a，b，c），则，取y=1，得=（），设平面PDE的法向量=（x1，y1，z1），则，取x1=，得=（），∵二面角A﹣DE﹣P为直二面角，∴==0，解得，∴存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意M（），从而得a=，由此能求出椭圆的离心率．（Ⅱ）由a=b，得直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由此能求出椭圆E的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为，∴M（），整理，得a=，∴c==2b，∴椭圆的离心率e===．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=b，则直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由线段NS的中点T的坐标为（，），∵点T在直线AB上，且k NS•k AB=﹣1，∴，解得，∴a=3，∴椭圆E的方程为=1．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a3及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=﹣，n∈N*，记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）若S k≥S n恒成立，求正整数k的值．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，由b3=6+b2．可得b3﹣b2=6．由数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，n≥2时，利用递推关系可得：a n=，可得a3==8．利用等比数列的通项公式可得a n．进而得到b n．（Ⅱ）（i）c n=﹣=﹣=﹣，利用等比数列的前n项和公式及其“裂项求和”方法可得数列{c n}的前n项和为S n．（ii）n≤4时，c n＞0．当n≥5时，c n=＜0，即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵b3=6+b2．∴b3﹣b2=6．∵数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，∴n≥2时，a1a2…a n﹣1=，可得：a n=，∴a3===8．又a1=2，∴8=2q2，解得q=2（﹣2舍去）．∴a n=2×2n﹣1=2n．∴（）=21+2+…+n=，∴b n=n（n+1）．（Ⅱ）（i）c n=﹣=﹣=﹣，∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣=﹣．（ii）c1=0，c2=，c3=，c4=﹣=．当n≥5时，c n=．由﹣=＜0，∴c n＜0．若S k≥S n恒成立，∴k=4．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）e x，y′=（x+1）（x+2）e x，令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴函数y=f（x）•g（x）在[﹣2，﹣1]递减，在[﹣1，0]递增，而x=﹣2时，y=，x=0时，y=1，故函数在[﹣2，0]上的最大值是1；（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，令h（x）=，则h′（x）=，故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，则有，在[0，2]恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，因为﹣（e x+2x）在[0，2]单调递减，所以﹣（e x+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，因为e x﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，所以e x﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2．2016年9月22日。

天津市和平区2017-2018学年高三第三次模拟考试文数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数z 满足()11(i z i i +=-为虚数单位), 则z 等于（）A ．2C ．2D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：由题设可得i iiz -=+-=11,故1||=z ,因此应选D ．考点：复数的运算．2.已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，集合{}1,3,5B =，从集合A 中随机选取一个数a ，从集合B 中随机选取一个数b ，则b a >的概率为（） A ．19 B ．16 C ．13D ．12【答案】C考点：古典概型的计算公式及运用．3.阅读下边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：由于12425811211,12116143,434121,214321>=+==+==+==S S S S ,所以输出S ,此时8=n ,因此应选B ．考点：算法流程图的识读和理解．4.设命题2:,2n p n N n *∃∈>,则p ⌝为（）A ．2,2n n N n *∀∈>B ．2,2n n N n *∃∈≤C ．2,2n n N n *∀∈≤D ．2,2n n N n *∃∈< 【答案】C考点：含有一个量词的命题的否定．5.如图, 在直角ABC ∆中,,AB BC D ⊥ 为BC 的中点, 以AB 为直径作圆O ,分别交AC 、AD 于点E 、F ,若3,1AF FD ==,则AE 等于（）A ．B CD 【答案】A 【解析】试题分析：由于B F A Rt ∆与DFB Rt ∆相似，因此312⨯=BF ，即3=BF ，又1,3==FD AF ，所以4,2,32===BC BD AB ，所以721612=+=AC ；由切割线定理)72(7216AE -=，解之得776=AE ，因此应选A ．考点：圆中的定理及运用．【易错点晴】平面几何证明问题是新高考的新增内容之一,也是高考命题的必考内容.解答这类问题的关键是熟悉圆中的一些重要定理和圆与直线的位置关系.本题在求解时,充分借助题设中的一些条件,先运用两个三角形BFA Rt ∆与DFB Rt ∆的相似求出3=BF ,再在ABC ∆中运用勾股定理求出72=AC ,最后运用切割线定理建立了关于AE 的方程)72(7216AE -=,通过解方程从而使得本题获解.6.已知456log 28,log 35,log 42a b c ===,则,,a b c 的大小关系为（） A ． b c a << B ． c b a << C ． a c b << D ． a b c << 【答案】B考点：对数的运算性质及运用．7.已知()f x 在()0,+∞上非负可导，且满足0)()(/≤-x f x xf ，对于任意正数,m n ，若m n <，则必有（）A ．()()nf m mf n ≤B ．()()mf m f n ≤C ．()()nf n f m ≤D ．()()mf n nf m ≤ 【答案】D 【解析】试题分析：构造函数x x f x F )()(=,则由0)()()(2//≤-=x x xf x f x F 可知函数x x f x F )()(=是单调递减函数,因为n m ≤,所以)()(n F m F ≥,即nn f m m f )()(≥,也即)()(n mf m nf ≥,因此应选D ．考点：导数的运算和灵活运用．【易错点晴】本题是一道抽象型的函数性质判断题.考查的是运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解答本题的难点是不清楚函数的解析式也无法弄清楚,所以具有较大的难度.求解时通过深刻的观察和抽象概括,先构造一个新的函数x x f x F )()(=,然后再带该函数进行求导,借助题设中的条件0)()(/≤-x f x xf ,判断出函数xx f x F )()(=是单调递减函数.从而运用单调函数的定义使得本题巧妙获解.8.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且()()221,10,10x x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≤≤⎪⎩,则函数()()1112y f x x =---的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D考点：函数的图像和零点的计算．【易错点晴】分类整合思想是高考命题中最受青睐的数学思想,也解答许多数学问题的法宝,本题设置的目的是考查分类整合的数学思想和分析问题解决问题的能力以及运算求解能力.本题在解答时充分借助题设条件,先将函数)1(-=x f y 的解析式表示出来,在分类求出方程的解析式,通过解方程确方程根的个数,从而使问题简捷获解.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．）9.在矩形ABCD 中，2,1,AB BC O ==为AB 边的中点，若在该矩形内随机取一点，则取到的点与O 点的距离大于1概率为．【答案】14π- 【解析】试题分析：由题设所求质点应在矩形ABCD 内且在以O 为圆心半径为1的半圆外.由于矩形的面积为2,以O 为圆心半径为1的半圆的面积为2π,所以满足条件的概率为41222ππ-=-=P . 考点：几何概型的计算公式及运用．10.一个几何体的三视图如图所示(单位cm ),则刻几何体的体积为 3cm ．【答案】23π考点：三视图的识读和几何体的体积的计算．11.经过圆22230x x y ++-=的圆心C ，并且与直线10x y +-=垂直的直线方程是．【答案】10x y -+= 【解析】试题分析：由题设可知圆心C 的坐标为)0,1(-C ,所求直线的斜率为1,则所求直线的方程为1+=x y ,即01=+-y x .考点：直线与圆的方程．12.已知函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是．【答案】32【解析】试题分析：由题设可知函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小周期为43π,即342πωπ=,所以23=ω. 考点：三角函数的图象和周期性．13.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的半焦距为c ，原点到直线:l ax by ab +=的距离等于113c +，则c 的最小值为．【答案】6考点：双曲线的几何性质、点到直线的距离公式和基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含c b a ,,的方程,然而本题当得到基本量的等式后,却是转化为建立方程后的最值问题.解答时充分借助题设条件,运用点到直线的距离公式建立了关于c b a ,,的方程ab c c 332=+,然后再借助基本不等式求出其中的参数c 的最小值,立意较为新颖.14. 在平行四边形ABCD 中, E 为BC 的中点，F 为DC 的中点，若 AC AE BF λμ=+,则λμ+的值为．【答案】85【解析】试题分析：+=，由题设可知21+=+=, 21-=-=，所以AD AB AB AD AD AB AC )21()21()21()21(μλμλμλ++-=-++= ，而+=，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121121μλμλ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5256μλ，所以58=+μλ. 考点：向量的几何形式的运算和待定系数法的运用．【易错点晴】本题考查的是向量的几何形式为背景的数量的解方程问题.解答时充分借助题设条件和向量运算的三角形法则,将向量AE 表示为21+=+=;将向量BF 表示为21-=-=,这是解答好本题的关键.然后运用向量的乘法运算建立关于μλ,为变量的方程组,通过解方程组从而使本题巧妙地获解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足5,cos210A bc ==（1）求ABC ∆的面积；（2）若sin 5sin B C =,求,,a b c 的值. 【答案】(1)23；(2)5,1b c ==,23=a .考点：正弦定理余弦定理等有关知识的运用．【易错点晴】本题设置的目的是考查正弦定理余弦定理在解三角形中的运用.正弦定理的作用是实现三角形中的边角转化；而余弦定理的重要作用是建构方程或不等式.解答本题第一问的关键是如何求出A sin 的值,为求三角形的面积创造条件.第二问是借助正弦定理先将角化为边的关系,再运用正弦定理建立方程组求出了5,1b c ==,最后运用余弦定理求出23=a . 16.（本小题满分13分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱, 已知生产甲种棉纱1吨消耗一级子棉2吨、二级子棉1吨, 生产乙种棉纱1吨消耗一级子棉1吨、二级子棉2吨, 每吨甲种、乙种棉纱的利润分别是900元和600元, 工厂在生产中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过270吨, 且甲种棉纱的产量不能超过乙种棉纱的产量60吨. （1）请列出符合题意的不等式组及目标函数；（2）甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能获得最大利润？并求出最大利润.【答案】(1) 23002270600,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥≥⎩，目标函数为900600z x y =+；(2)14.7.【考点：线性规划有关知识及运用．【易错点晴】线性规划的知识是高考必考的考点之一,运用线性规划的有关知识解答最值问题不仅简捷而且明快.本题是一道求解生活实际中的最值问题,解答这类问题的一般步骤是先依据题设条件建立不等式组,继而画出不等式组所表示平面区域.再搞清所求最值的解析式所表示的几何意义,数形结合求出目标函数的最值.本题在求解时,先画出不等式组23002270600,0x yx yx yx y+≤⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥≥⎩表示的区域,将目标函数32600zy x=-+看做是平行于xy23-=的动直线,所求最值问题转化为求动直线32600zy x=-+在y轴上的截距的最大值问题.17.（本小题满分13分）如图所示的几何体中,ABC ∆是正三角形, 且EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,M 是AB 的中点.（1）求证：CM EM ⊥；（2）若1,2AB AE BD ===,求DE 与平面EMC 所成角的正切值；（3）在（2）的条件下, 求点M 到平面CDE 的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)2；(3)26.（3）在四棱锥D EMC -中, 底面EMC的面积为11222EM CM =⨯=,高13D EMC DM V -==四棱锥而四棱锥MCDE -的底面CDE 的三条边3,3CD CE DE =====,∴等腰CDE ∆的面积为∴点M 到平面CDE的距离为D EMC CDE V S -∆==四棱锥考点：空间线面的位置关系的判定和角度距离的计算．18.（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>,点O 为坐标原点, 点A 的坐标为(),0a ，点B 的坐标为()0,b ,点M 在线段AB 上, 满足2BM AM =,直线OM 的斜率为10. （1）求椭圆E 的离心率；（2）设点C 的坐标为(),0a -,N 为线段BC 的中点, 点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为132,求椭圆 E 的方程.【答案】(1)552；(2)221459x y +=.故a =所以椭圆E 的方程为221459x y +=. 考点：椭圆的有关知识及运用．19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足12...,nb n a a a n N *=∈,若{}n a 为等比数列,且1322,6a b b ==+.（1）求3a 及数列{}n b 的通项公式；（2）设11,n n nc n N a b *=-∈,记数列{}n c 的前n 项和为n S . ①求n S ；②若k n S S ≥恒成立，求正整数k 的值.【答案】(1) 83=a ,()1,n b n n n N *=+∈；(2)①1112n n S n =-+；②4k =.（2）①由（1）可知11111,21n n n n c n N a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭,则21111111111...1...,,222223112n n n nS S n N n n n *⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--+-++-∴=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ②12341110,0,0,0122480c c c c ==>=>=>,当5n ≥时,()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦, 而()()()1121022n nn n n n ++++-<,故5(1)5(51)1512216nn n ++≤=<,即5n ≥时,()()111012n nn n c n n +⎡⎤=-<⎢⎥+⎣⎦, 综上所述, 对任意4,n n N S S *∈≥恒成立, 故正整数k 的值为4.考点：等比数列的定义与数列的通项和前n 项和等有关知识的运用．20.（本小题满分14分）已知函数()()21,xf x x axg x e =++=(其中e 为自然对数的底数).（1）若1a =,求函数()()y f x g x =在区间[]2,0-上的最大值；（2）若1a =-,关于x 的方程()()f x k g x =有且仅有一个根, 求实数k 的取值范围；（3）若对任意[]1212,0,2,x x x x ∈≠,不等式()()()()1212f x f x g x g x -<-均成立, 求实数a 的取值范围.【答案】(1)1；(2)2130,,e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(3)[]1,22ln 2a ∈--.考点：函数的导数在研究函数的单调性等方面的运用．。

【天津市第一中学】2017届高三上学期第三次月考数学(理科)试卷-答案

当时，，对一切恒成立，
只需．
∵ 单调递增，
∴当时，．
∴ ，且，∴ ．
综上所述，存在实数满足条件．
19．解：（1）∵ ，，，，
∴ ，∴ ．
∵ ，解得，∴ ．
∴椭圆的方程为．
离心率．
（2）之间满足数量关系．下面给出证明：
当取，时，，，．
∵直线的斜率依次成等差数列，∴ ，化为：．
因此．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．解：（1）证明：由题意可得，
即，
∴ ，
∴ ．
∵常数且，
∴ 为非零常数，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）当时，，，
所以，
因为，所以是递增数列，
因而最小值为．
由（1）知，，
要使对一切成立，
即对一切恒成立；
∴在上，．
所以，“存在，使不等式恒成立”等价于“不等式恒成立”，
即，不等式对任意的恒成立．
令，则．
．
当时，，在上递减．
，不合题意．
当时，．
若，记，则在上递减．
在此区间上有，不合题意．
因此有，解得，
所以，实数的取值范围为．
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，，．
联立，化为：，
∴ ，．
，，．
∵直线的斜率依次成等差数列，
∴ ，
由于
，
∴ ，化为：．
20．解：（1），
时，，，，．
在处的切线方程为．
（2），
，
所以，所以．

高三数学上学期第三次月考试题理3

2017届高三年级第三次月考数学试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分）已知集合M={x x:+x - 12^0}, N= {y' y=3\ xWl},则集合{x xGM 且x年N}为（）1.A. (0, 3] B.[-4, 3] C. [-4, 0) D. [-4, 0]2. 已知角0的终边过点(2, 3),则tarn (晋+0 )等于A.3.15已知集合A={xGR 丄<2'<8}, B={xGR2■f B.C. -5D. 5若xEB成立的一个充分不必要的条件A. m$2 B・ mW24.若xG (e'\ 1), a=lnx> b=(—2A. c>b>a B・ b>c>a2x+a, x<05.已知函数f （x）二x-^5 x>0I KA. (4, +8)B・[4, +8)6.设函数/(x) = a x-ka x{a>g(x) = log“(x + £)的图象是(是xEA,则实数m的取值范II是（）)ln^C. m>2D. - 2<m<2c二』J则a, b, c的大小关系为（） C. a>b>c D. b>a>c有最小值，则实数a的取值范用是（）C・(・ 8, 4] D. (- 8, 4)（XfidHl）在（Y,+ S）上既是奇函数又是减函数，则)(A) (B) (C) (D)7”已知cos -■a)< aG(0,cos2^8•设函数f (x)=V3sin(2x+4> )+cos(2x+4>)(" <TT尹且其图象关于直线口对称，则（）兀A. y=f （x）的最小正周期为n,且在（0,半）上为增函数B. y=f (x)的最小正周期为艺，且在(0,—)上为增函数2 4 C. y=f (x)的最小正周期为n,且在(0,—)上为减函数2TT TTD. y 二f 心)的最小正周期为丄，且在(0,―)上为减函数 2 49. 已知泄义在 R 上的函数 y = f(x)满足 /(-x) = f(x), /(4-x) = /(x).当xe(—1,3]时，f(x) = C °SI 儿"(一口],则函数g(x) = 4/(x)-x 的零点的个数为()个. [I — \x — 2|, x e (1,3]A3 B ・4 C.5 £).610. 已知a>b,二次三项式cix 2+2x + b> 0对于一切实数x 恒成立，又3x () e R ,使2.2“尤+2心+〃 = 0成立，则的最小值为()a-bC. 212.已知函数f(x) = alnx -丄x 2+bx 存在极小值，且对于”的所有可能取值，/(兀)的极小值恒大 2于0,,则"的最小值是(rD. -1e二、填空题(共4小题，每小题5分) 13-在中’内角A4C 的对边分别为—"34 =心心=普，则“ 1、♦若a = /(lg5) , /? = / lg-,则 a + b =315.已知/(x+1)是周期为2的奇函数，当一 1K0时，/(x) = —2x(x + l),则/(-|)的值为A. 111. 已知函数 /(x) = 2sin (Qr + 0)(e >0.材5 织相邻两对称中心之间的距离为心且/(%)>!对于任意的xe7T 7T-恒成立，则0的取值范困是()A.B.4^2C.D.A. -e14、已知 /(x) = sin 2文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑•欢迎下载支持.16、•已知函数/（%）= <■■ " •若存在实数b,使得方程/（T）-b = 0（其中£为自然对数的底2 9 x V d数）有且仅有两个不等的实数根，则实数"的取值范国为n|p—18.—汽车4S店新进A.B^C三类轿车，每类轿车的数咼如下表:（1）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率：（2）若一次性提取4辆车，其中A, 5C三种型号的车辆数分别记为a,b,c ,记纟为gb,c的最大值, 求歹的分布列和数学期望.19.如图，斜三棱柱ABC-ABC 中，AB = AC = 2^平Wi ABC丄平而B^BCC、, BC = BB、=23 ZB/C = 60, D为BG的中点(1)求证：AC J!平而ABD(2)求二而角妨-儿8-》的平而角的余弦值.20.函数f（X）=2V3cos:G>x+2sin COS x - Vs （>0）,其图象上相邻两个最髙点之间的距离为2刃.3（I）将函数尸f（X）的图象向右平移2L个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的26倍，纵坐标不变，得到尸g （x）的图象，求g（X）在［0,辽］上的单调增区间：3（II）在（I ）的条件下，求方程g （x） =t （0<t<2）在［0,旦町内所有实根之和.321 •函数f （x）旦竺生（苴中狂2且aHO）,函「数f （x）在点（1, f （1））处的切线过点（3, 0）・ x（I）求函数f （x）的单调区间：（II）若函数f（X）与函•数g （x）=a+2 - x - 的图象在（0, 2］有且只有一个■交点，求实数a的取x值范围・22.设函「数f(x) = \2x+a\+ x--.(1)当0 = 1 时，解不等式/(x)<x+3： (2)当a>0时，证明：f(x)>y/2.2017届高三年级第三次月考数学试题(理科)答案1-12 DBCBB CACCD BA 13、2>/614. 115> 一丄 16、(0, 2)U(4, +s)217、试题解析：(1)由2c — 2xicQsB = b 及正弦泄理可得2sinC —2sin A cos B = sin B,sin BsinC = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B,：. cos Asin B = —— , •/ sin B 丰 0,.・. cos A =亍又因为0 <Av 如・・・A = ?・3(2) V c 2 + obcosC+z? = 4①，2 . L 2_ 2又由余弦定理得亦cos C = -—，代入①式得i 2 + c 2=g-3a 2, 2 由余弦定理/ =沪-2bg\ji = H + C 1 -be .=—2?csijD A =a /.be = 1,J. a 1=8—3a 2 ~1a = .2 4218、试题解析：(1)设提取的两辆车为同一类型的概率为P , p = c；+c(+c ；=6^3+1=2- ，C ：3618(2)随机变虽^的取值为2,3,4*(加4)=字丄，P(g)/C+£孔辿』 '7C ： 1267C ； 126 63§234P1113 11463126陀=2)= 1_陀=4)_吃=3)= ]_1126 26 _ 99 _ 11 126~T26"1411 13 1 20数学期望为砖= 2xii + 3x' + 4x-?- = ^14 63 126 919. （】2分）（］）证明；连结力场交勺B 于连纯DE,由棱柱的性质知ABB.A,为平行四边形ACJIDE '=> E 为4$中点,又D 为妫G 的中点，故DEu 面ABD 尸虫C\ 〃面川〃0；（或证：取3C 中点F.然后证明面XCf 〃面人39）4。

2018年天津市和平区高考数学三模试卷(理科)

2018年天津市和平区高考数学三模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合＝，＝且，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】可解出集合，，然后进行并集的运算即可．【解答】＝，＝；∴＝．2. 设变量，满足约束条件，则目标函数＝的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】由＝得，作出变量，满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时也最小，将代入目标函数＝，得＝．3. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得＝，＝不满足条件，＝，＝不满足条件，不满足条件，＝，＝不满足条件，满足条件，＝，＝不满足条件，不满足条件，＝，＝不满足条件，满足条件，＝，＝不满足条件，不满足条件，＝，＝此时，满足条件，退出循环，输出的值为．4. “函数＝在上单调递增”是“＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先根据复合函数的单调性得到，再判断““是““的什么条件即可．【解答】设＝，∵函数＝在上单调递增，∴＝在上单调递增，∴，由，不能推出，但是由能推出，∴ “函数＝在上单调递增”是“”的必要不充分条件．5. 设和分别为双曲线的左、右焦点，若，，为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过,点，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【考点】双曲线的标准方程【解析】根据双曲线的几何性质求得与的值，即可写出双曲线的方程．【解答】和分别为双曲线的左、右焦点，，，构成正三角形，∴，即有＝＝，∴＝；双曲线过点,，∴，解得＝，∴＝，∴双曲线方程为．6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数＝，则函数＝A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】化简函数的表达式，然后图象向左平移个单位得到函数的表达式的图象，即可得到函数的表达式，然后判定奇偶性即可得解．【解答】函数＝，图象向左平移个单位得到函数＝的图象，所以函数＝＝，∵＝＝＝，＝，∴函数＝是奇函数．7. 如图，已知在梯形中，，＝，＝，且梯形的面积等于，则可取得的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】利用梯形的面积求出高，建立平面直角坐标系，利用坐标表示、，从而求出的最大值．【解答】梯形中，，＝，＝，设梯形的高为，则梯形的面积为＝，解得＝；建立平面直角坐标系如图所示，设，则，又，，∴，，∴＝，当＝时，取得最大值为＝．8. 若定义在上的函数，且＝，，函数＝在区间上的所有零点为，，…，，则等于（）A. B. C. D.【答案】【考点】函数与方程的综合运用【解析】作出函数图象，根据函数的对称性和交点个数得出答案．【解答】解；∵＝，∴的函数图象在上关于点对称，又＝，∴的周期为，∴的图象关于点对称，又的图象关于点对称，∴＝在上的所有零点两两关于点对称，作出与的函数图象如图所示：由图象可知与在区间上有个交点，∴＝＝．故选：．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.设________是虚数单位，复数________，则________等于________．【答案】,,,【考点】复数的模【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】，则．在（）的展开式中，常数项为________．【答案】【考点】二项式定理及相关概念【解析】根据二项式展开式的通项公式求得展开式的常数项．【解答】（）的展开式中，通项公式为：•＝•，令，解得＝；∴展开式的常数项为：＝．若直线（________为参数）与曲线（为参数）相切，则实数________的值为________．【答案】,,或【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把参数方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得的值．【解答】直线：（为参数）即＝．曲线：曲线（为参数）即＝，表示以为圆心，半径等于的圆．再根据圆心到直线的距离等于半径，可得，求得＝或，如图，将一块边长为的正方形铁片裁下四个全等的等腰三角形（阴影部分）把余下的部分沿虚线折叠后围成一个正四棱锥，若被裁下阴影部分的总面积为，则正四棱锥的体积等于．【答案】．【考点】柱体、锥体、台体的体积【解析】设出所截等腰三角形的底边边长为，在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，根据实际意义写出定义域．再由三元基本不等式即可得到所求最大值．【解答】如图，设所截等腰三角形的底边边长为，＝，解得＝，所得四棱锥的底面边长为，即＝＝＝＝四棱锥的斜高为：，四棱锥的高为：，该容器的体积为：．已知________________，则________的最小值为________．【答案】,,,【考点】基本不等式及其应用【解析】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式求出结果．【解答】由于：，则：，则：＝，当且仅当：，即：时，代数式的最小值为．已知函数________________，若曲线________＝________________上的点________到________的距离为，则满足条件的________点共有________个．【答案】,,,,,,,,【考点】分段函数的应用【解析】作出分段函数的图象，考虑点，与圆心的距离，结合图象即可得到所求个数．【解答】作出分段函数的图象，可得点在图象上，且与圆心的距离等于半径，点与圆心的距离大于，则曲线＝上的点到的距离为，满足条件的点共有个，三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在中，已知内角，，的对边分别为，，，且＝，＝．若，求及的值；Ⅱ求角的取值范围．【答案】（本题满分为（1）在中，由余弦定理可得：＝＝，…分解得：＝，…分而，…分，…分可得：（）＝分（2）在中，由正弦定理可得，…分由＝，＝，可得：，…分∵，∴，…分∴，…分∵，可得，可得为锐角，…分∴的取值范围是：,]…分【考点】正弦定理【解析】Ⅰ由已知及余弦定理可得＝，进而根据余弦定理可求，，代入所求即可计算得解．Ⅱ由正弦定理可得，由范围，可求，结合大边对大角为锐角，进而可求的取值范围．【解答】（本题满分为（1）在中，由余弦定理可得：＝＝，…分解得：＝，…分而，…分，…分可得：（）＝分（2）在中，由正弦定理可得，…分由＝，＝，可得：，…分∵，∴，…分∴，…分∵，可得，可得为锐角，…分∴的取值范围是：,]…分在某班参加物理考试的学生中随机抽取名，他们的考试分数依次为：，，，，，，，，规定分数不低于的为“优秀”．Ⅰ求从这人中随机选取人，至多有人为“优秀”的概率；Ⅱ以这人的样本数据来估算整个班的总体数据，若从该班任选人，设表示被选出物理考试为“优秀”的人数，求的分布列和数学期望．【答案】（1）设表示所取人中个人为“优秀”，至多有人为“优秀”记为事件，按照规定，被抽取的人中有人为“优秀”，依题意得．（2）由已知得的所有可能取值为，，，，＝＝（）．＝，＝，＝＝（）．∴随机变量的分布列为：．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】Ⅰ设表示所取人中个人为“优秀”，至多有人为“优秀”记为事件，按照规定，被抽取的人中有人为“优秀”，由此能求出从这人中随机选取人，至多有人为“优秀”的概率．Ⅱ由已知得的所有可能取值为，，，，由此能求出随机变量的分布列和．【解答】（1）设表示所取人中个人为“优秀”，至多有人为“优秀”记为事件，按照规定，被抽取的人中有人为“优秀”，依题意得．（2）由已知得的所有可能取值为，，，，＝＝（）．＝，＝，＝＝（）．∴随机变量的分布列为：．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，＝＝，＝，为的中点．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求证：平面平面；Ⅲ求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】证明：Ⅰ依题意，，两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，为平面的一个法向量，∵，，∴ •，∴，∵平面，∴平面．，，设平面的法向量，则，取＝，得，同理，，，设平面的法向量，则，令＝，得，∵＝，∴，∴平面平面．Ⅲ由Ⅱ知平面的法向量，而平面的法向量，∴，．∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【考点】直线与平面平行平面与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】Ⅰ依题意，，两两垂直以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．Ⅱ求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能证明平面平面．Ⅲ求出平面的法向和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：Ⅰ依题意，，两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，为平面的一个法向量，∵，，∴ •，∴，∵平面，∴平面．，，设平面的法向量，则，取＝，得，同理，，，设平面的法向量，则，令＝，得，∵＝，∴，∴平面平面．Ⅲ由Ⅱ知平面的法向量，而平面的法向量，∴，．∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．已知数列满足条件＝，，对于，都有．Ⅰ设＝，求证：为等比数列；Ⅱ设，求证：．【答案】证明：Ⅰ＝，，对于，都有，可得当为奇数时，＝（）；当为偶数时，＝（）；＝＝（）（）＝（），则为首项为，公比为的等比数列；（），则（）（）．【考点】数列的求和数列递推式【解析】Ⅰ运用等比数列的定义和通项公式，讨论为奇数和偶数，即可定值；Ⅱ运用等比数列的求和公式可得（），则（），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】证明：Ⅰ＝，，对于，都有，可得当为奇数时，＝（）；当为偶数时，＝（）；＝＝（）（）＝（），则为首项为，公比为的等比数列；（），则（）（）．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点（点在第二象限），为坐标原点，椭圆的离心率为，且的最小值为．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过点的直线与椭圆相切，分别交轴、轴于、两点，、为椭圆的两个顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形面积的最小值，并求出此时直线的方程．【答案】（1）设，，由，可得＝，依题意•＝＝，，当＝时，的最小值为，∴，由，解得＝，＝，＝，∴椭圆的方程为，（2）设直线＝，，由，得＝，依题意＝＝，即＝，则有，故,，由，得，令＝，得,，由,得，令＝，得,，而,，，∴四边形＝•，由＝，得，，∴四边形（）（)，•，••，（2）•，•，当且仅当，，即时，等号成立，此时，∴四边形的最小值为，直线的方程为．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】Ⅰ，，根据向量的数量积和二次函数的性质可得，再由，解得即可，Ⅱ设直线＝，，根据直线和椭圆相切，可得＝，分别求出，，，的坐标，根据四边形＝•，利用基本不等式即可求出．【解答】（1）设，，由，可得＝，依题意•＝＝，，当＝时，的最小值为，∴，由，解得＝，＝，＝，∴椭圆的方程为，（2）设直线＝，，由，得＝，依题意＝＝，即＝，则有，故,，由，得，令＝，得,，由,得，令＝，得,，而,，，∴四边形＝•，由＝，得，，∴四边形（）（)，•，••，（2）•，•，当且仅当，，即时，等号成立，此时，∴四边形的最小值为，直线的方程为．设函数＝．Ⅰ当＝时，求函数的最大值；Ⅱ令＝若其图象上的任意点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；Ⅲ当＝，＝时，方程＝（其中）有唯一实数解，求的值．【答案】（I）依题意，知的定义域为，当时，，令＝，解得＝．∵因为＝有唯一解，所以＝，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以的极大值为，此即为最大值，，则有，在上恒成立，所以，，当＝时，取得最大值，所以因为方程＝有唯一实数解，所以＝有唯一实数解，设＝，则．令＝，＝．因为，，所以（舍去），，当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增当＝时，＝，取最小值．则既所以＝，因为，所以＝设函数＝，因为当时，是增函数，所以＝至多有一解．因为＝，所以方程的解为＝，即，解得．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（I）函数的定义域是，把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；即函数的导数在小于或者等于恒成立，分离参数后转化为函数的最值；研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程＝有唯一实数解，得到所满足的方程，解方程求解．【解答】（I）依题意，知的定义域为，当时，，令＝，解得＝．∵因为＝有唯一解，所以＝，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以的极大值为，此即为最大值，，则有，在上恒成立，所以，，当＝时，取得最大值，所以因为方程＝有唯一实数解，所以＝有唯一实数解，设＝，则．令＝，＝．因为，，所以（舍去），，当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增当＝时，＝，取最小值．则既所以＝，因为，所以＝设函数＝，因为当时，是增函数，所以＝至多有一解．因为＝，所以方程的解为＝，即，解得．。

和平区2018高三数学(理科)(三)

高三年级数学（理）试卷第1页（共4页）高三年级数学（理）试卷第2页（共4页）≥≥≤≤≤结束S输出是开始1,3n S 否?5S 12S S5S S 1n n?7n是否≤≤≤DCBA温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件B A ，互斥,那么如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B AP )()()(B P A P AB P .锥体的体积公式Sh V31. 球的体积公式334R V.其中S 表示锥体的底面积,其中R 表示球的半径.h 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合}0)2)(1({2x xx A,x x B {N *,且x4N *},则B A等于(A) }2,1{(B) }4,1{(C)}4,2,1,1{(D) }4,3,2,1,1{(2) 设变量y x,满足约束条件,0,51,102,42y x y xy x 则目标函数y xz23的最小值为(A) 6(B) 7(C) 12(D) 15(3) 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为(A) 9(B) 5(C) 4(D) 3(4) “函数)1ln()(axx f 在),0(上单调递增”是“1a”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 设1F 和2F 分别为双曲线12222by ax (0,0ba)的左、右焦点,若1F ,2F ,)2,0(b P 为等边三角形的三个顶点,且双曲线经过)3,5(Q 点,则该双曲线的方程为(A) 1322yx(B)12222yx(C)19322yx(D)112422yx(6) 将函数x xx f 2sin 2cos 3)((xR )的图象向左平移6个单位长度后得到函数)(x g y,则函数)(x g y(A) 是奇函数(B) 是偶函数(C) 既是奇函数,又是偶函数(D) 既不是奇函数,也不是偶函数(7) 如图,已知在梯形ABCD 中,BC AD //,5AD,3BC,且梯形ABCD 的面积等于8,则BD AC 可取得的最大值为(A) 10(B) 11(C) 12(D) 15(8) 若定义在R 上的函数21),1(,10,88)(2x x f xx xx f 且)1()1(x f x f ,x x g 11)(,函数)()()(x g x f x h 在区间]5,1()1,3[上的所有零点为n x x x ,,,21, 则ni ix 1等于(A) 2(B) 4(C) 6(D) 8第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

天津市高三数学上学期第三次月考试题理

第三次月考数学理试题一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分） 1．已知全集R U =，函数x x x f 52)(-=的定义域为M ，则=M C U （）A ．]0,(-∞B ．),0(+∞C ．)0,(-∞D ．),0[+∞2. 已知幂函数)(x f 的图象过点)21,4(，则()8f 的值为（）A.42B.64C. 22D. 6413．已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．当210≤<x 时，x a xlog 4<，则实数a 的取值范围是（） A ．)2,1( B ．),2(+∞ C ．)22,0( D ．)1,22( 5．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式5)32(≤+x f 的解集为（）A ．]5,5[-B ．]2,8[-C ．]1,4[-D ．]4,1[6．已知奇函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 为偶函数，且1)1(=f ，则=+)2015()2014(f f （）A ．2-B ．1-C ．0D ．17．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=0,20,2)(22x x x x x x x f ，且关于x 的方程)(,)(R m m x f ∈=恰有3个不同的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是（）A ．)0,1(-B ．),21(+∞-C ．)1,0(D ．)0,21(-8. 已知函数x x f x2log 2)(+=，1log 2)(2+=x x g x，1log 2)(2-=x x h x的零点分别为,,a b c ，则 ,,a b c 的大小关系为 ( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．若对任意R x ∈，a a x x 4|3||2|2-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 .10．已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 的圆心到直线l 的距离为 . 11．函数)2(log log )(24x x x f ⋅=的值域用区间表示为________．12．函数⎩⎨⎧>≤+=)0(,log )0(,1)(2x x x x x f ，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 .13．如图，ABC ∆内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于点E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在点A 切线于点P ，若3,2,3===EF ED PE ，则PA 的长为． 14．设R b a ∈,，已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的方程0)()]([2=++b x af x f 有且只有7个不同实数根，则ab的取值范围是．三、解答题（本题共6题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39xxa -<对一切R x ∈均成立。