2015年上海市春季高考数学模拟试卷6套
2015年上海市春季高考数学模拟试卷四
2015年上海市春季高考模拟试卷四一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、已知集合{}12A x x =-<，{}2B 4x x =<，则A B ⋂= ．2、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .3、在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:2:5A B C =，则最大角等于 ．4、已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ． 5、复数z 满足11z ii i=+，则复数z 的模等于_______________． 6、已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β= ．7、抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中， 数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率．．是 ． 9、已知(12)nx -关于x 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .10、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题：1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ．C DBA第12题11、椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124FF =，则a 等于 ．12、设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△AC D 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 与圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件14、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<15、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B -1 .C 1± .D 216、曲线)0(42≤--=x x y 的长度为（ ） A ．32π B ．23πC ．π2D ．π 17、下列命题正确的是（ ）A ．若B A x ∈，则A x ∈且B x ∈B ．ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件C ．若→→→→⋅=⋅c a b a ，则→→=c bD ．命题“若022=-x x ，则2=x ”的否命题是“若2≠x ，则022≠-x x ” 18、下列命题中（ ） ① 三点确定一个平面；② 若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③ 同时垂直于一条直线的两条直线平行；④ 底面边长为2，侧棱长为5的正四棱锥的表面积为12. 正确的个数为（ ）A . 0B . 1C . 2D . 319、在边长为１的正六边形654321A A A A A A 中，5331A A A A ⋅的值为（ ）．A .23 .B 23- C . 233 D . 233- 20、已知数列}{n a 的各项均为正数，满足：对于所有*N ∈n ，有2)1(4+=n n a S ，其中n S表示数列}{n a 的前n 项和．则=∞→nn a nlim（ ）A ．0B ．1C ．21D ．221、函数)0,0)(cos(3πϕωϕω<<>+=x y 为奇函数，B A 、分别为函数图像上相邻的最高点与最低点，且4=AB ，则该函数的一条对称轴为（ ）．A .1=x .B 2=xC . 2π=x D .π2=x22、函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） .A 8 .B 9 .C 10 .D 1123、已知椭圆191622=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=； ③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ ）．A .0个 .B 1个C .2个D .3个24、在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”．定义如下：对于任意两个复数i 111b a z +=，i 222b a z +=（R ,,,2121∈b b a a ），21z z 当且仅当“21a a >”或“21a a =且21b b >”．按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题： ①若21z z ，则||||21z z >； ②若21z z ，32z z ，则31z z ；③若21z z ，则，对于任意C ∈z ，z z z z ++21 ； ④对于复数0 z ，若21z z ，则21zz zz . 其中所有真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题 25、（本题满分7分）已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数． （1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.26、（本题满分7分） 证明下面两个命题：（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；（2）余弦定理：如右图，在ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，则A bc c b a cos 2222-+=．27、（本题满分8分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ． （1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成的角； （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．PMAOB28、（本题满分13分）已知函数ax x x f +-=22)(R)(∈x 有最小值．（1）求实常数a 的取值范围；（2）设)(x g 为定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，=)(x g )(x f ，求)(x g 的解析式． 29、（本题满分12分）函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．DCBAyxO30、（本题满分13分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，过1F 斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．（1）求证：c b =；（2）设点)1,0(-P 在线段AB 的垂直平分线上，求椭圆C 的方程． 31、（本题满分18分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．2015年春季高考模拟试卷四参考答案1、(1,2)-； 2、4； 3、43π； 4、2()log f x x =； 5、5； 6、3； 7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α；11、31+； 12、2； 13-17ACBDB 18-24BBCAC CB25、解（1）1cos 23sin 22sin(2)16y x x a x a π=+++=+++．T π=.（2）)(x f 的最小值为0，所以210a -++= 故1=a 所以函数2)62sin(2++=πx y 的最大值等于4()262x k k Z πππ+=+∈，即()26k x k Z ππ=+∈时函数有最大值或最小值， 故函数)(x f 的图象的对称轴方程为()26k x k Z ππ=+∈. 26、证明一：（1）设长方形的长，宽分别为a ，b ，由题设b a +为常数由基本不等式2：≥+2b a ab ，可得：2)2(b a ab +≤， 当且仅当b a =时，等号成立，即当且仅当长方形为正方形时，面积ab 取得最大值2)2(b a +． 证明二：（1）设长方形的周长为l ，长为x ，则宽为22xl -于是，长方形的面积16)4(2222l l x x l x S +--=-⋅=， 所以，当且仅当4l x =时，面积最大为162l ，此时，长方形的为4l，即为正方形（2）证法一：2c BC =BC ⋅()()AC AB AC AB =-∙- 222AC AC AB AB =-∙+ 222cos AC AC AB A AB =-∙+222cos b bc A c =-+．故，2222cos a b c bc A =+-．证法二 已知ABC ∆中,,A B C 所对边分别为,,,a b c 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，2222)sin ()cos (||A b c A b BC a +-==A b c b cos 222-+=．故，2222cos a b c bc A =+-．证法三 过AB 边上的高CD ，则2222BD CD BC a +==22)cos ()sin (A a c A b -+=A b c b cos 222-+=．D OCBAMP故，2222cos a b c bc A =+-．27、解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又226425PO =-=，5MD ∴=．又43OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．当60MOC ∠=︒时，∴13MC =．65cos 13MD DMC MC ∠==，∴65arccos 13DMC ∠= 当120MOC ∠=︒时，∴37MC =．185cos 37MD DMC MC ∠==，∴185arccos 37DMC ∠= 综上异面直线MC 与PO 所成的角等于65arccos13或185arccos 37． （2）三棱锥M ACO -的高为MD 且长为5，要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒28、解：（1）⎩⎨⎧<+-≥-+=.2,4)2(,2,4)2()(x x a x x a x f 所以，当22≤≤-a 时，)(x f 有最小值，（2）由)(x g 为奇函数，有)0()0(g g -=-，得0)0(=g ．设0>x ，则0<-x ，由)(x g 为奇函数，得4)2()()(--=--=x a x g x g ． …4分所以，⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-=.0,4)2(,0,0,0,4)2()(x x a x x x a x g 29、（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，x x f 2)(=“圆锥托底型”函数.对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当2Mx =时，由322M M M≥， ∴2MM ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型”函数．（2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．30、解：（1）由题设，得AB 22AF =2BF +， 由椭圆定义AB 2AF +a BF 42=+，所以，a AB 34=． 设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(1c F -，l ：c y x -=，代入椭圆C 的方程，整理得02)(42222=--+b cy b y b a ，（*） 则]4)[(2)(2)()(212212212212212y y y y y y y y x x AB-+=-=-+-=[]22224222422222422222)(84)(2422a b a b b a c b b a b a b b a c b ⋅+=+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 于是有a ba b a ⋅+=222434，化简，得b a 2=，故，c b =． （2）由（1）有c b =，方程（*）可化为02322=--b by y设AB 中点为),(00y x M ，则3)(21210by y y =+=，又l M ∈，于是3200bc y x -=-=．由=PA PB 知PM 为AB 的中垂线，1-=PM k ，由)1,0(-P ，得32131b b -+=-，解得3=b ，182=a ，故，椭圆C 的方程为191822=+y x ．31、（1）由222202y kx b x pkx pb x py =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=- 点2(,)D pk pk b +设切线方程为y kx m =+，由222202y k x m x p k x p m x p y =+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x 轴．（2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（， ∴22248h p k b p -=．232211122216ABC pk h S CD x x h pk b p ∆=⋅-=+-=． C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．（本小题也可以求21AB k h =+⋅，切点到直线l 的距离222222181pk pk b h d k p k -+==++，相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C h x x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p∆∆==⋅． 记3116ABC h a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的无穷项和，此数列公比为14． 所以封闭图形的面积3114131214a h S a p ===-。
2015年上海市春季高考数学模拟试卷四 Word版含答案
2015年上海市春季高考模拟试卷四一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、已知集合{}12A x x =-<，{}2B 4x x =<，则A B ⋂= ．2、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .3、在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:2:5A B C =，则最大角等于 ．4、已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ． 5、复数z 满足11z ii i=+，则复数z 的模等于_______________． 6、已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β= ．7、抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中， 数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率．．是 ． 9、已知(12)nx -关于x 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .10、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题：1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ．C DBA第12题11、椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124FF =，则a 等于 ．12、设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅= ，0AC AD ⋅= ，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△AC D 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 与圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件14、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<15、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B -1 .C 1± .D 216、曲线)0(42≤--=x x y 的长度为（ ） A ．32π B ．23πC ．π2D ．π 17、下列命题正确的是（ ）A ．若B A x ∈，则A x ∈且B x ∈B ．ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件C ．若→→→→⋅=⋅c a b a ，则→→=c bD ．命题“若022=-x x ，则2=x ”的否命题是“若2≠x ，则022≠-x x ” 18、下列命题中（ ） ① 三点确定一个平面；② 若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③ 同时垂直于一条直线的两条直线平行；④ 底面边长为2，侧棱长为5的正四棱锥的表面积为12. 正确的个数为（ ）A . 0B . 1C . 2D . 319、在边长为１的正六边形654321A A A A A A 中，5331A A A A ⋅的值为（ ）．A .23 .B 23- C . 233 D . 233- 20、已知数列}{n a 的各项均为正数，满足：对于所有*N ∈n ，有2)1(4+=n n a S ，其中n S表示数列}{n a 的前n 项和．则=∞→nn a nlim（ ）A ．0B ．1C ．21D ．221、函数)0,0)(cos(3πϕωϕω<<>+=x y 为奇函数，B A 、分别为函数图像上相邻的最高点与最低点，且4=AB ，则该函数的一条对称轴为（ ）．A .1=x .B 2=xC . 2π=x D .π2=x22、函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） .A 8 .B 9 .C 10 .D 1123、已知椭圆191622=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=； ③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ ）．A .0个 .B 1个C .2个D .3个24、在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”．定义如下：对于任意两个复数i 111b a z +=，i 222b a z +=（R ,,,2121∈b b a a ），21z z 当且仅当“21a a >”或“21a a =且21b b >”．按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题： ①若21z z ，则||||21z z >； ②若21z z ，32z z ，则31z z ；③若21z z ，则，对于任意C ∈z ，z z z z ++21 ； ④对于复数0 z ，若21z z ，则21zz zz . 其中所有真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题 25、（本题满分7分）已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数． （1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.26、（本题满分7分） 证明下面两个命题：（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；（2）余弦定理：如右图，在ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，则A bc c b a cos 2222-+=．27、（本题满分8分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ． （1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成的角； （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．PM AOB28、（本题满分13分）已知函数ax x x f +-=22)(R)(∈x 有最小值．（1）求实常数a 的取值范围；（2）设)(x g 为定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，=)(x g )(x f ，求)(x g 的解析式． 29、（本题满分12分）函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．DCBAyxO30、（本题满分13分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，过1F 斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．（1）求证：c b =；（2）设点)1,0(-P 在线段AB 的垂直平分线上，求椭圆C 的方程． 31、（本题满分18分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．2015年春季高考模拟试卷四参考答案1、(1,2)-； 2、4； 3、43π； 4、2()log f x x =； 5、5； 6、3； 7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α；11、31+； 12、2； 13-17ACBDB 18-24BBCAC CB25、解（1）1cos 23sin 22sin(2)16y x x a x a π=+++=+++．T π=.（2）)(x f 的最小值为0，所以210a -++= 故1=a 所以函数2)62sin(2++=πx y 的最大值等于4()262x k k Z πππ+=+∈，即()26k x k Z ππ=+∈时函数有最大值或最小值， 故函数)(x f 的图象的对称轴方程为()26k x k Z ππ=+∈. 26、证明一：（1）设长方形的长，宽分别为a ，b ，由题设b a +为常数由基本不等式2：≥+2b a ab ，可得：2)2(b a ab +≤， 当且仅当b a =时，等号成立，即当且仅当长方形为正方形时，面积ab 取得最大值2)2(b a +． 证明二：（1）设长方形的周长为l ，长为x ，则宽为22xl -于是，长方形的面积16)4(2222l l x x l x S +--=-⋅=， 所以，当且仅当4l x =时，面积最大为162l ，此时，长方形的为4l，即为正方形（2）证法一：2c BC = BC ⋅()()AC AB AC AB =-∙-222AC AC AB AB =-∙+ 222cos AC AC AB A AB =-∙+222cos b bc A c =-+．故，2222cos a b c bc A =+-．证法二 已知ABC ∆中,,A B C 所对边分别为,,,a b c 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，2222)sin ()cos (||A b c A b BC a +-==A b c b cos 222-+=．故，2222cos a b c bc A =+-．证法三 过AB 边上的高CD ，则2222BD CD BC a +==22)cos ()sin (A a c A b -+=A b c b cos 222-+=．D OCBAMP故，2222cos a b c bc A =+-．27、解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又226425PO =-=，5MD ∴=．又43OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．当60MOC ∠=︒时，∴13MC =．65cos 13MD DMC MC ∠==，∴65arccos 13DMC ∠= 当120MOC ∠=︒时，∴37MC =．185cos 37MD DMC MC ∠==，∴185arccos 37DMC ∠= 综上异面直线MC 与PO 所成的角等于65arccos13或185arccos 37． （2） 三棱锥M ACO -的高为MD 且长为5，要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒28、解：（1）⎩⎨⎧<+-≥-+=.2,4)2(,2,4)2()(x x a x x a x f 所以，当22≤≤-a 时，)(x f 有最小值，（2）由)(x g 为奇函数，有)0()0(g g -=-，得0)0(=g ．设0>x ，则0<-x ，由)(x g 为奇函数，得4)2()()(--=--=x a x g x g ． …4分所以，⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-=.0,4)2(,0,0,0,4)2()(x x a x x x a x g 29、（1）．222x x x=≥ ，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，x x f 2)(=“圆锥托底型”函数.对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当2Mx =时，由322M M M≥， ∴2MM ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型”函数．（2） 1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．30、解：（1）由题设，得AB 22AF =2BF +， 由椭圆定义AB 2AF +a BF 42=+，所以，a AB 34=． 设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(1c F -，l ：c y x -=，代入椭圆C 的方程，整理得02)(42222=--+b cy b y b a ，（*） 则]4)[(2)(2)()(212212212212212y y y y y y y y x x AB-+=-=-+-=[]22224222422222422222)(84)(2422a b a b b a c b b a b a b b a c b ⋅+=+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 于是有a ba b a ⋅+=222434，化简，得b a 2=，故，c b =． （2）由（1）有c b =，方程（*）可化为02322=--b by y设AB 中点为),(00y x M ，则3)(21210by y y =+=，又l M ∈，于是3200bc y x -=-=．由=PA PB 知PM 为AB 的中垂线，1-=PM k ，由)1,0(-P ，得32131b b -+=-，解得3=b ，182=a ，故，椭圆C 的方程为191822=+y x ．31、（1）由222202y kx b x pkx pb x py =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=- 点2(,)D pk pk b +设切线方程为y kx m =+，由222202y k x m x p k x p m x p y =+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x 轴．（2） 22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（， ∴22248h p k b p -=．232211122216ABC pk h S CD x x h pk b p ∆=⋅-=+-=． C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．（本小题也可以求21AB k h =+⋅，切点到直线l 的距离222222181pk pk b h d k p k -+==++，相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C h x x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p∆∆==⋅． 记3116ABC h a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的无穷项和，此数列公比为14． 所以封闭图形的面积3114131214a h S a p ===-。
2015年上海市春季高考数学模拟试卷6套
目录2015年上海市春季高考模拟试卷一 ........................................................... 1 2015年上海市春季高考模拟试卷二 ......................................................... 10 2015年上海市春季高考模拟试卷三 ......................................................... 19 2015年上海市春季高考模拟试卷四 ......................................................... 29 2015年上海市春季高考模拟试卷五 ......................................................... 38 2015年上海市春季高考模拟试卷六 (49)2015年上海市春季高考模拟试卷一一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、函数1()x f x x+=的定义域是 ． 2、已知全集{}21,0,1,2U =--，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3、已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4、双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5、若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2l i m 1n n Sn →∞-= ． 7、直线1310l x y -+=：，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ．8、已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ．9、2151()x x-的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10、已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =-，123b me e =+．若a b ，则实数m = ．11、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12、已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．0a ≥B ．0a ≤C ．2a ≥D ．2a ≤．14、已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ( )A .相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 15、现给出如下命题：①若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面；②空间三点确定一个平面；③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； ④样本数据11011--，，，，的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 ( ) A ．①④ B ．①③ C ．②③④D ．③④16、在关于x 的方程240x ax -+=，()21160x a x +-+=，223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A. 44a -≤≤ B. 9a ≥或7a ≤- C. 2a ≤-或4a ≥ D. 24a -<<17、不等式1|2|≤-x 的解集是（ ）A ．[3,1]--B ．[1,3]C ．[3,1]-D ．[1,3]- 18、已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则""βα⊥是""β⊥m 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19、已知21,F F 是椭圆192522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的任意一点，则||||21PF PF ⋅的最大值是（ ）A.、9B.16C.25D.225 20、函数||y m x =与21y x =+在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是（ ）A.2m >B.2m ≥C.1m ≥D.1m > 21、设函数)12(l 2)(-=x g x f ，则)0(1-f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．10D ．不存在22、已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x （ ）A ．m2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±23、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为（ ）24、已知方程)0(0)]([222222>>=---a b b a b x k a x b 的根大于a ，则实数k 满足（ ） A ．abk >|| B ．a b k <|| C ．ba k >|| D ．bak <||三、解答题 25、（本题满分7分）在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=，443S ≤≤．求函数22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-的最大值、最小值．A DC 1D 1 A 1B 1BC26、（本题满分7分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．求点1C 到平面11AB D 的距离. 27、（本题满分8分）用行列式讨论关于,x y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩的解的情况，并说明各自的几何意义. 28、（本题满分13分） 已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．（1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当[)x A a b ∈=，(A D ⊂≠，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b 、的值．29、（本题满分13分）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是2(2,0)F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线l 的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于BA ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上． （3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．附加题30、（本题满分8分）某公司生产某种消防安全产品，年产量x 台(0100,)x x N ≤≤∈时，销售收入函数2()300020R x x x =-（单位：百元），其成本函数满足()500C x x b =+（单位：百元）．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）．（1）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？（2）在经济学中，对于函数()f x ，我们把函数(1)()f x f x +-称为函数()f x 的边际函数，记作()Mf x ．对于（1）求得的利润函数()P x ，求边际函数()MP x ；并利用边际函数()MP x 的性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等） 31、（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足223()n n S a n N *+=∈.数列1112n n n b a n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）若对于任意n N *∈，不等式(1)n b n λ≥+恒成立，求实数λ的最大值.31、（本题满分14分）已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且2122d d =．（1）求动点P 所在曲线C 的方程；（2）直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；（3）记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c=-、点(0)F c -，、曲线C ：2222221(0)x y a b c a b a b +=>>=-，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．2015年春季高考模拟 一参考答案1、[10)(0)，，-? ；2、{}0；3、21log (1)y x x =+ ；4、63y x =；5、2a = ；6、1；7、6p ；8、1；9、3003；10、6-；11、34；12、38215+；13-16BADC ；17-20BBCD ；21-24BCAA25、∵8BAC x AC AB ∠=⋅=，，443S ≤≤，又1s i n 2S b c x =，∴cos 8bc x =，4tan S x =即 1tan 3x ≤≤∴所求的x 的取值范围是43x ππ≤≤.∵43x ππ≤≤，22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-3sin 2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，∴252366x πππ≤+≤，13sin(2)262x π≤+≤. ∴min max ()()2()()3134f x f f x f ππ====+，.26、建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为(000)A ，，、1(0,,)D a a 、1(,0,)B a a 、1(,,)C a a a ，向量1()C A a a a =---，，，1(0)AD a a =，，，1(,0,)AB a a =．设()n x y z =，，是平面11AB D 的法向量，于是，有1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ay az ax az +=⎧⎨+=⎩．令1z =-，得11x y ==，．于是平面11AB D 的一个法向量是(1)n =，1，-1．因此，1C 到平面11AB D 的距离1||33||C A n d a n ⋅==．(也可用等积法求得) 27、()()4221m D m m m ==-+，()242x m D m m m m +==-，()()2211y m m D m m m+==-+（1）当2m ≠±时，0D ≠方程组有唯一解，此时xy D x DD y D⎧=⎪⎨⎪=⎩，即212m x m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩+； （2）当2m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，通解可表示为()2R 2x t tt y =⎧⎪-∈⎨=⎪⎩； （3）当2m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，此时方程组无解. 几何意义：设1:42l mx y m +=+，2:l x my m += 当2m ≠±时，方程组唯一解，则直线1l 与2l 相交； 当2m =-时，方程组无解，则直线1l 与2l 平行； 当2m =时，方程组无穷多解，则直线1l 与2l 重合.28、（1）∵()y f x =是奇函数，∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121l o g l o g 011aam mx m mxx x---++=+-． 化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间)，必有2210(21)10m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1m =．∴1()log (11)1a x f x D x -==-+，，． （2）当1a >时，函数1()log (11)1a xf x D x-==-+在，上是单调减函数． 理由：令12111x t x x-==-+++． 易知1x +在(11)D =-，上是随x 增大而增大，21x+在(11)D =-，上是随x 增大而减小， 故12111x t x x-==-+++在(11)D =-，上是随x 增大而减小． 于是，当1a >时，函数1()log (11)1axf x D x-==-+在，上是单调减函数 （3） ∵[)A a b D ⊂=≠，，∴011a a b <<<≤，． ∴依据(2)的道理，当01a <<时，函数1()log 1axf x A x-=+在上是增函数， 即1()1log 11a af a a-==+，，解得21(21)a a =-=--舍去．若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为1[1log )1a bb-+，，不满足函数值组成的集合是[1)+∞，的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)∴必有1b =．因此，所求实数a b 、的值是211a b =-=、． 29、（1）2=c 222b ac +=2234a a +=∴ 3,122==∴b a 1322=-∴y x 双曲线为． （2）:l 0)2(=+-y x m 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=13222y x m m x y 得0344)3(2222=--+-m x m x m由0>∆，得0)34)(3(4224>+-+m m m ，0391222>-+m m ，恒成立即012>+m121200x x x x +>⎧⎨⋅>⎩又 ，03340342222>-+>-m m m m ，32>∴m (,3)3,)m ∴∈-∞-+∞ 设),(),,(2211y x B y x A ，则3222221-=+m m x x 36232222321--=+--=+m mm m m y y )36,32(222---∴m mm m M AB 中点3)3(12963)3(36)3()3(3)3(36)132(3222242222222222222=--++⋅=---+⨯=----m m m m m m m m m m m m 上在曲线3)1(322=--∴y x M ．（3）),(),,(2211y x B y x A , 为锐角使设存在实数AOB m ∠,,0>⋅OB OA 则 02121>+∴y y x x因为221221221214)(2)2)(2(m x x m x x m m mx m mx y y ++-=+-+-=04)(2)1(2212212>++-+∴m x x m x x m0)3(48)34)(1(22422>-+-++∴m m m m m 即0123722>-+m m532<∴m ， 矛盾与32>m ，不存在∴ 30、（1）由题意，0,4000x b ==，所以()5004000C x x =+22()()()30002050040002025004000,0100P x R x C x x x x x x x =-=---=-+-≤≤2125()20()741252P x x =--+（0100x ≤≤，x N ∈），所以62x =或63x = max ()(62)63)74120P x P P ===（百元）（2）()(1)()402480MP x P x P x x =+-=-+（099x ≤≤，x N ∈）边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当0x =时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当62x =时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大31、（1）12a =，223n n S a += 11223n n S a +++=()n N *∈ 所以11233n n n a a a ++=- 即：13()n na n N a *+=∈恒成立 所以，{}n a 为以2为首项，公比为3的等比数列。
上海市2015高考模拟(嘉定三模)数学理试题 Word版含答案
上海市2015高考数学模拟卷（嘉定三模）数学试卷（理）注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．设i 为虚数单位，则复数iiz +-=143在复平面内对应的点在第___________象限． 2．已知集合}1||{<=x x A ，}0{2>=x x B ，则=B A ____________________． 3．函数12)(+=x x f （0≥x ）的反函数=-)(1x f________________________．4．若双曲线122=+my x 的焦距是4，则=m __________．5．已知点)0,0(O ，)2,1(A ，)5,4(B ，且t ⋅+=．若点P 在x 轴上，则实数t 的值为_____________．6．设一个圆锥的侧面展开图是半径为a 的半圆，则此圆锥的体积为____________． 7．在nx )12(+（*N ∈n ）的二项展开式中，各项系数之和为n a ，各项的二项式系数之和为n b ，则=++++∞→nn n n n b a b a 11lim___________．8．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，04=+a a k ，72S S =，则=k ________．9．已知直线l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 23,211（t 为参数），曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x （θ为参数），设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，则=||AB ____________．10．在△ABC 中，C A C A B 222sin sin sin sin sin +≥+，则角B 的取值范围是__________． 11．某同学在一次数学考试中有3个选择题（每题5分）不太会做，于是采用排除法，每个题目都有A 、B 、C 、D 四个选项，他对这3个题的每个题都顺利排除了一个干扰选项，在此基础上对每个题随机各选一个答案，则该同学这3个题的得分的数学期望值是________．12．函数x x x x x f 2cos 2sin cos )tan 1()(2++=的定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π，则)(x f 的值域为__________．13．已知数列}{n a ：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，依它的前10项的规律，则10099a a +的值为______________． 14．已知函数x xax f -=)(，对任意)1,0(∈x ，不等式1)1()(≥-⋅x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围是________________．二．选择题（每小题5分，满分20分）15．某高级中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数1650800==k ，即每16人抽取1人．在16~1中随机抽取1个数，如果抽到的是7，则从48~33这16个数中应抽取的数是…………………………………………………………………………………………（ ）A ．37B ．39C ．42D ．46 16．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别为1AB 、1BC 的中点．给出如下结论：①1AA MN ⊥；②MN ∥11C A ；③⊥MN 平面1BC ；④MN 与BC 所成角的大小为︒45．其中正确的结论是……………………………………………………………………………（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．②③④17．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a，则||c的最大值是……………………………………………………………………………（ ）A ．2B ．3C ．2D ．118．在平面直角坐标系xOy 中，)0,1(-A ，)0,1(B ，)1,0(C ，经过原点的直线l 将△ABC分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为1S 、2S ，则22211)1(S S -+取得最小值时，直线l 的斜率为………………………………………………………………………………（ ）A ．1B ．1-C ．21D ．不存在三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分）已知向量)sin ,(cos x x a = ，)sin ,(sin x x b = ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,83ππx ，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求实数λ的值．20．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示的多面体中，ADEF 是正方形，ABCD 是梯形，⊥ED 平面ABCD ， AB ∥CD ，CD AD ⊥，2==AD AB ，4=CD ，M 为EC 的中点．（1）求证：BM ∥平面ADEF ； （2）求点F 到平面BDM 的距离．ACD FEM21．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分）已知抛物线px y 22=（0>p ）的焦点为F ，点P 是抛物线上横坐标为3且位于x 轴上方的点，P 到抛物线焦点F 的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l ，2l ，1l 与抛物线交于A 、B 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，求△FMN 面积的最小值．· F MO NA B CP已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛n S n n ,在直线21121+=x y 上．数列}{n b 满足0212=+-++n n n b b b （*N ∈n ）且113=b ，前9项和为153．（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列}{n c 的前n 项和为n T ，求n T 及使不等式2014kT n <对一切*N ∈n 都成立的最小正整数k 的值； （3）设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈-==,)(2,,)(12,)(**N N l l n b l l n a n f nn 问是否存在*N ∈m ，使得)(5)15(m f m f =+成立？若不存在，请说明理由．若函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数1x 、2x ，有)()()(2121x f x f x x f +<+，则称)(x f 为“V 形函数”．若函数)(x g 定义域为R ，0)(>x g 对R ∈x 恒成立，且对任意实数1x 、2x ，有)](lg[)](lg[)](lg[2121x g x g x x g +<+，则称)(x g 为“对数V 形函数”．（1）试判断函数2)(x x f =是否为“V 形函数”，并说明理由； （2）设2)(2+=x x g ，证明：)(x g 是“对数V 形函数”；（3）若函数)(x f 是“V 形函数”，且满足对任意R ∈x ，有2)(>x f ，问)(x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．。
2015年上海市春季高考数学模拟试卷六
2015年上海市春季高考模拟试卷六一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、不等式304xx -≤+的解集是___________. 2、在ABC ∆中，角,,C A B 满足sin :sin :sin 1:2:7A B C =，则最大的角等于________. 3、若复数z 满足()2z i z =-（i 是虚数单位），则=z ____________. 4、已知全集U R =,集合{}{}0,,13,A xx a x RBx x x R =+≥∈=-≤∈，若()[]2,4U C A B =-,则实数a 的取值范围是___________. 5、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是__________. 6、设直线1:20l ax y +=的方向向量是1d ，直线()2:140l x a y +++=的法向量是2n ，若1d 与2n 平行，则a =_________.7、若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为__________. 8、若不等式101x x a>-+对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.9、若抛物线22y px =的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p =_________.10、设函数()()[)()36log 1,6,3,,6x x x f x x -⎧-+∈+∞⎪=⎨∈-∞⎪⎩的反函数为()1f x -，若119f a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()4f a +=__________. 11、设()8,a Rx a ∈-的二项展开式中含5x 项的系数为7，则()2l i m nn a a a →∞+++=_________.12、已知定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有3个不同的实数根123,,x x x ，则222123x x x ++=____________.二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 14、已知z 是复数，21,2z i i+=+-则z =（ ） A . 1i - B . 2i + C . 12i - D . 3i + 15、不等式11xx <+的解集是（ ） A . {}10x x -<< B . {},1x x R x ∈≠-且 C . R D . {}01x x << 16.已知,,i j k 表示共面的三个单位向量, i j ⊥,那么()()i k j k +⋅+的取值范围是（ ） A . []3,3- B . []2,2- C . 21,21⎡⎤-+⎣⎦ D . 12,12⎡⎤-+⎣⎦17、已知函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线23x π=对称，则ϕ的最小正值等于（ ） A . 8π B . 4π C . 3π D . 2π18、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）.A m αβα⊥⊂且 .B m αβα⊥且 .C m n n β⊥且 .D m n αβ⊥且19、5.甲、乙两个小组，甲组有3名男生2名女生，乙组有3名女生2名男生，从甲、乙两组中各选出3名同学，则选出的6人中恰有1名男生的概率等于（ ）A . 3100B . 4100C . 5100D . 610020、已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,B A 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O为坐标原点），则实数a 等于（ ）.A 2 .B 2- .C 22-或 .D 66-或21、已知曲线210x y ++=与双曲线2221(0)y x b b-=>的渐近线相切，则此双曲线的焦距等于（ ）A . 22B . 23C . 4D . 2522、对于定义在实数集R 上的函数()f x ,若()f x 与(1)f x +都是偶函数，则（ ） A .()f x 是奇函数 B .(1)f x -是奇函数 C .(2)f x +是偶函数 D .(2)f x +是奇函数23、在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，二面角11B AA C --的大小等于060，B 到面1AC 的距离等于3，1C 到面1AB 的距离等于23，则直线1BC 与直线1AB 所成角的正切值等于（ ） A .7 B . 6 C . 5 D . 224、对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①()sin 2x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-. 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） .A ①②③ .B ②③ .C ①③ .D ②③④ 三、解答题25、（本题满分7分）设{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=.（1）若15a =，试判断集合A 与集合B 的关系； （2）若B A ⊆，求实数a 组成的集合C .26、（本题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()2s i n ,2c o s m B B = ，()3cos ,cos n B B =-，且1m n ⋅=-.（1）求角B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.27、（本题满分8分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2,22PA AB AD ===，求 （1）PCD ∆的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成角的大小. 28、（本题满分13分） 在数列{}n a 中，112a =-，()*1212,n n a a n n n N -=--≥∈，设n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； 29、（本题满分12分）抛物线()2:20C y px p =>的焦点恰是椭圆22143x y +=的一个焦点，过点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与抛物线C 交于点,A B .（1）求抛物线C 的方程；（2）O 是坐标原点，求AOB ∆的面积的最小值； （3）O 是坐标原点，证明：OA OB ⋅为定值.PA BCDE30、（本题满分13分）设a 是实数，函数()42x xf x a=+-()x R ∈（1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）当0a ≤时，求满足()2f x a >的x 取值范围；（3）求函数()y f x =的值域（a 表示）. 31、（本题满分18分）设()(),0P a b a b ⋅≠、(),2R a 为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线24y x ab=交于点Q (异于O ). （1）若对任意0ab ≠，点Q 在抛物线()210y mx m =+≠上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2）若点()(,)0P a b ab ≠在椭圆2241x y +=上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足1OA OB ⋅=，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切.2015年春季高考模拟试卷2015年春季高考模拟试卷六参考答案1、()[),43,-∞-+∞；2、23π；3、2；4、(),4-∞-；5、12；6、23-；7、223π；8、()2,2-；9、4；10、2-；11、13-；12、5； 13-17、CABDD 18-24CACDC AB25、（1）由28150x x -+=得3x =或5x =，所以{}3,5A =.若15a =，得1105x -=，即5x =，所以{}5B =，故B A Ü. （2）因为{}3,5A =，又B A ⊆.①当B =∅时，则方程10ax -=无解，则0a =； ②当B ≠∅时，则0a ≠，由10ax -=，得1x a =，所以13a =或15a =，即13a =或15a = 故集合11035C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，.26、（1）【3π】（2）【 3】 27、（1）【23】（2）【 4π】28、（1）略（2）【222n n n T +=-】29、（1）【24y x =】（2）【2】（3）【3-】 30、（略）31、解：（1）222,4y x a aQ b b y xab ⎧=⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪⎝⎭⎪=⎪⎩， 代入22211a y mx m b b ⎛⎫=+∴=+ ⎪⎝⎭2220ma b b ⇒+-=当1m =时，点 (,)P a b 在圆:M ()2211x y +-=上（2）(),P a b 在椭圆2241x y +=上，即()2221a b += ∴可设1cos ,sin 2a b θθ==又2,a Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是2Q Q a x b y b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩222222242cos sin sin Q Q a y mx m m b b θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222164cos 16sin sin m θθθ=-=（令4m =）∴点Q 在双曲线22416y x -=上 （3）圆M 的方程为()2211x y +-=设()()1122:,,,,,AB x ky A x y B x y λ=+由1OA OB ⋅=()()2222222211221122121111221x y x y y y y y y y +⋅+=--+⋅--+=⋅=⇒1214y y = 又()22111x y x ky ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩ ()()2221210k y k y λλ⇒++-+=，21222111421y y k k λλ∴==⇒=++又原点O 到直线AB 距离21d k λ=+ 12d ∴=，即原点O 到直线AB 的距离恒为12∴直线AB 恒与圆221:4S x y +=相切.。
2015年徐汇区一模(春考模拟)试卷
2014学年徐汇区学业水平考（春考）模拟考试高三数学学科（考试时间：90分钟，满分120分） 2014.12一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1、设全集{}{}1,2,3,4,5,6,7=2,4,6U A =，，则=U A ð__________.2、已知i 是虚数单位，则复数1i -的虚部是___________.3、函数()()3log 1f x x =-的定义域为___________.4、函数()f x =的反函数()1f x -=_________.5、已知双曲线2216x y m-=的焦距为14，则实数m =_________.6、函数2sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像中两条相邻对称轴之间的距离是_________.7、若等差数列{}n a 的公差为2，且124,,a a a 成等比数列，则1a =_________.8、直线3x =30y -+=的夹角是________.9、已知圆锥的母线长为2_________. 10、若1sin cos ,,82παααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=_________.11、点(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，则22x y +的取值范围是__________.12、已知ABC ∆得顶点()()4,0,4,0A C -，顶点B 在椭圆221259x y +=上，且B 点不在长轴上，则sin sin sin A C B+=__________.二、选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分. 13.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.以上都有可能14.在数列{}n a 中，若2*(1)()n n a n N =-∈，则数列{}n a 的极限值是（ ）A.1-B.1C.1或1-D.不存在 15.抛物线24y x =的准线方程是（ ）A. 2x =B. 1x =C. 2x =-D. 1x =-16.“ a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 17.函数()2x f x x =+的零点所在的区间是（ ） A. 1(1,)2-- B. 1(,0)2- C. 1(0,)2 D. 1(,1)218.从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，所取的3个球中至少有一个白球的取法种数是（ ）A.10B.3C.6D.919、已知方程()20x x m m R ++=∈有两个虚根,αβ，若3αβ-=，则m 的值是（ ） A. 2-或52B. 2-C.52D. 52-20、设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ）A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 21、某算法如右图所示，若输入27,12A B ==，则输出的结果是（ ）A.27B. 3C. 0D. 1222、若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ）A.10B. 20C. 30D. 3523、若长方体的一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A. B.C. 50πD.200π24、已知函数()()=1xf x x R x∈+，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A.对任意x R ∈，等式()()0f x f x -+=恒成立 B. 函数()f x 的值域为()1,1-C. 对任意12,x x R ∈，若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠D. 方程()0f x x -=在R 上有三个根三、解答题（本大题满分48分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 25、（本题满分6分） 已知集合{{}{}2230,12A x xx B x x =+-<=-≥，求AB .26、（本题满分7分）如图：在长方体1111ABCD A B C D -中，11AC 的中点为1O ，12,3AB BC AA ===，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.27、（本题满分9分）已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且()22f x x x =+.若函数()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围.A 128、（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分 已知椭圆221123x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 做垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P .（1）求2PF ；（2）过右焦点2F 的直线l ，它的一个方向向量()1,1d =，与椭圆相交于A B 、两点，求1F AB 的面积 29、（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量()()()2*,,1,1N n n AB S p a CD p n =-=-∈，满足//AB CD ，（其中p 为正常数，且1p ≠）（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）若87p =，数列{}n b 对任意*N n ∈，都有 ()12121321718n n n n n b a b a b a b a n n +--⎛⎫++++=-+⋅ ⎪⎝⎭成立，问数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，最大项是第几项；若不存在，说明理由.2014学年徐汇区学业水平（春考）模拟卷高三数学学科（附加卷）（考试时间：40分钟，满分30分） 2014.12本大题共有3题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 1. （本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.已知函数()()121,02x x f x a R a a+-+=∈>+.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当2a =时，求函数()f x 的值域.2. （本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.如图，某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径是98米，匀速旋转一圈需要18分钟，如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时.（1）当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟？（2）当此人距离地面不低于59米时可以看到乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到乐园的全貌？3.（本题满分14分）本题共有3个小题，第2小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分4分.已知数列1234,,,n A x x x x x ⋅⋅⋅：，满足{}()0,11,2,3,i x i n ∈=⋅⋅⋅.定义变换():T A T 将数列A 中原有的每个“1”都变成“0,1”，原有的每个“0”都变成“1,0”，顺序保持不变.若数列()()01:1,0,0,1,2,k k A A T A k +==⋅⋅⋅，规定k A 中连续两项都是1的数列（1,1）的个数为k a ，连续两项是1,0的有序数对()1,0的个数为k b . （1）求数列12,A A ；（2）分别写出1k a +与k b ，1k b +与k a 满足的关系式（只须写出结果）； （3）求k a 的表达式.。
2015年上海春季高考数学试卷
2015年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷考生注意：1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共36道试题，满分150分．考试时间130分钟（学业水平考，共29题，满分120分．考试时间90分钟；附加题共7题，满分30分．考试时间40分钟）．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．第I 卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．设全集{1,2,3}U =．若{1,2}A =，则U A =ð ． 2．计算：1i i += （i 为虚数单位）．3．函数sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ．4．计算：223lim 2n n n n→∞-=+ ．5．以点(2,6)为圆心、1为半径的圆的标准方程为 ．6．已知向量(1,3)a =r ，(,1)b m =-r．若a b ⊥r r ，则m = ． 7．函数[]224,0,2y x x x =-+∈的值域是 ．8．若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += ． 9．方程lg(21)lg 1x x ++=的解为 ．10．在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为 ． 11．用数字1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示）．12．已知点(1,0)A ，直线:1l x =-，两个动圆均过A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ．若动点M满足22122C M C C C A =+uuuu r uuuu r uuu r，则M 的轨迹方程为 ．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） （A ）11a b>（B ）a b ->（C ）22a b > （D ）33a b <14．函数()21y x x =≥的反函数为（ ）（A ）)1y x =≥ （B ）)1y x =≤- （C ）)0y x =≥ （D ）)0y x =≤ 15．不等式2301x x ->-的解集为（ ）（A ）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）()2,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ （D ）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭16．下列函数中，是奇函数且在()0,+∞单调递增的为 （ ） （A ）2y x =（B ）13y x =（C ）1y x -= （D ）12y x-=17．直线3450x y --=的倾斜角为 ( )（A ）3arctan 4 （B ）3arctan 4π- （C ）4arctan 3 （D ）4arctan 3π-18．底面半径为1、母线长为2的圆锥的体积是 （ ）（A ）2π（B （C ）23π （D ）319．以点()3,0-和()3,0为焦点、长轴长为8的椭圆方程为（ ）（A ）2211625x y += （B ）221167x y += （C ）2212516x y += （D ）221716x y +=20．在复平面上，满足1z z i -=+（i 为虚数单位）的复数z 所对应的点的轨迹为（ ） （A ）椭圆 （B ）圆 （C ）线段 （D ）直线 21．若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）n S 单调递减 （B ）n S 单调递增 （C ）n S 有最大值 （D ）n S 有最小值22．已知0a >，0b >.若4a b +=，则（ ） （A ）22a b +有最小值 （B（C ）11a b+有最大值（D23．组合数()12**22,,m m m n n n C C C n m m N n N --++≥≥∈∈恒等于（ ）（A ）2m n C + （B ）12m n C ++ （C ）1m n C + （D ）11m n C ++ 24．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b R ∈．下列说法正确的是（ ）（A ）对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 （B ）对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 （C ）存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 （D ）存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 25．（本题满分8分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1D B 和平面ABCD所成角的大小为1A26．（本题满分8分）已知a是实数，函数24()x axf xx++=是奇函数，求()f x在()0,+∞上的最小值及取到最小是时x的值.27．（本题满分8分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30︒方向，与A相距6.0海里.船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B在船的什么方向（精确到1︒）？28．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，126F F =，()10,B b -， ()20,B b .（1）若a =(3,4)d =-u r为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若在双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-uuu r uuu r，求b 的取值范围.第II 卷一、选择题（本大题满分9分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分． 1．对于集合A B 、，“A B ≠”是“A B A B ⊂≠I U ”的( )(A)充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 (C)充要条件 （D ）既非充分又非必要条件2．对于任意实数a 、b ，2()a b kab -≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） (A) {}4,0- （B ）[]4,0- (C) ](0-∞， （D ）][(40-∞-∞U ，,+)3．已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ++++=+（n N *∈），那么（ ）(A) {}n a 是等差数列 （B ）{}21n a -是等差数列 (C) {}2n a 是等差数列 （D ）{}3n a 是等差数列二、填空题（本大题满分9分）本大题共有3小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．4．关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ．5．已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则BC =u u u r．6．函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数的解析式可以为 ．三、解答题（本大题满分12分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 7． 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x =⋅，则称()f x 是()g x 的 “()h x 关联函数”。
上海市一般高等学校春季招生统一考试数学试卷一卷二卷附加题
二、选择题（满分 36 分）
13． 若 a 0 b ，则下列不等式恒成立的是（ ）
（A） 1 1 ab
14． 函数 y x2 x 1的反函数为（ ）
（A） y x x 1
（A） a2 b2 有最小值
（C） 1 1 有最大值 ab
（B） a b
（B） y x x 1
x y
（C） a2 b2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，过力根管保据线护生0高不产中仅工资可艺料以高试解中卷决资配吊料置顶试技层卷术配要是置求指不，机规对组范电在高气进中设行资备继料进电试行保卷空护问载高题与中2带2资，负料而荷试且下卷可高总保中体障资配2料3置2试3时各卷，类调需管控要路试在习验最2；3大2对3限2设题度备到内进位来行。确调在保整管机使路组其敷高在设中正过资常程料工1试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且2作5尽5下2可2都2能护可地1以关缩正于小常管故工路障作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保连破护接坏进管范行口围整处，核理或对高者定中对值资某，料些审试异核卷常与弯高校扁中对度资图固料纸定试，盒卷编位工写置况复.进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
上海市徐汇、宝山、杨浦2015年高考模拟考数学试卷(理)及答案
y
3cos 4sin
(
为参数，
2
)的交点坐标是
．
8．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是 0.6 和 0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙
至多一人击中目标的概率为
．
B1
C1
1
2
a12 a22
a1i a2i
a1n a2n
A1
则平面 A1B1C 与平面 ABC 所成的二面角的大小为
．
11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
a
，二项式
mx2
1 4 x 的展
开式中
x3
项的系数为
a 2
，则常数
m
．
12．设 f (x) 是定义域为 R 的奇函数， g(x) 是定义域为 R 的偶函数，若函数
f (x) g(x) 的值域为[1,3) ，则函数 f (x) g(x) 的值域为
9．矩阵 3
a32
a3i
a3n
中每一行都构成公比为
2
的等比数列，第
n an2 ani ann
B
C
i
列各元素之和为
Si
，则
lim
n
Sn n2 2n
．
A
10．如图所示：在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB BC ， AB BC BB1 ,
点 O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁
的焊接点 A, B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为 C, D ．已知梯形的高是
2001-2015上海春季高考数学答案汇总.doc
an 对任意的 n N 都成立，则下列数列中可取
B． a3k 1
三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17． （本题满分 12 分） 已知 R 为全集，A= {x | log 1 (3 x) ≥ 2} ，B= {x |
2
5 ≥ 1} ，求 A B ． x2
2 2
）
2 / 92
A．充分不必要条件 B．充要条件 14．若直线 x =1 的倾斜角为 ，则 A．等于 0 B．等于
C．必要不充分条件 D．既非充分条件也非必要条件 （ ）
4
C．等于
2
D．不存在 ）
15．若有平面 与 ，且 l , , P , P l ，则下列命题中的假命题 （ A．过点 P 且垂直于 的直线平行于 C．过点 P 且垂直于 的直线在 内 16．若数列 {an } 前 8 项的值各异，且 an8 遍 an 前 8 项值的数列为（ A． a2 k 1 ） C． a4 k 1 D． a6 k 1 B．过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 D．过点 P 且垂直于 l 的直线在 内
17．[解]由已知 log 1 (3 x) ≥ log 1 4 ．
2
2
由 由
3 x ≤4 解得-1≤ x ＜3．所以 A {x | 1 ≤ x 3} ． 3 x 0,
5 ≥1，解得-2＜ x ≤3．所以 B {x | 2 ＜ x ≤ 3} ． x2
于是 A {x | x 1或x ≥ 3} ，故 A B {x | 2 x 1或x 3} ．
上海市高中数学综合练习试卷第 1 套
考生注意：本试卷共有 22 道试题，满分 150 分． 一、填空题 1． x 1( x ≥ 1) ．
上海市春季高考数学试卷(含答案).doc
上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。
若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。
11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
2015年上海市春季高考数学模拟试卷五
2015年上海市春季高考模拟试卷五一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________．2、已知i 是虚数单位，复数z 满足1)31(=+⋅i z ，则=||z _______．3、已知函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(，则)1(1-f的值是___________．4、已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________． 5、已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π202cm ，则此圆锥的体积为________3cm ．6、已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________． 7、已知双曲线12222=-b y a x （0>a ，0>b ）满足021=b a ，且双曲线的右焦点与 抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．8、分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________．9、在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为)2,1(A ，)3,7(-B ，点C 在直线4=y 上运动，O 为坐标原点，G 为△ABC 的重心，则OC OG ⋅的最小值为__________．10、若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．11、设集合}1)4(),{(22=+-=y x y x A ，}1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B ，若存在实数t ，使得∅≠B A ，则实数a 的取值范围是___________．12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________．二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、设向量)1,1(-=x a，)1,3(+=x b ，则“a ∥b ”是“2=x ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件14、若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．120C ．90D ．4515、将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n （0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为（ ）A ．32π B ．65π C ．π D ．34π 16、已知α为锐角，4sin 5α=，则tan()4πα+=（ ）A ．17- B ．17 C ．-7D ．717、复数11z i=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 是（ ）A ．1-iB ．1+iC ．1122i +D ．1122i - 18、建立从集合{1,2,3,4}A =到集合{5,6,7}B =的所有函数，从中随机抽取一个函数，则其值域是B 的概率为（ ） A ．916B ．316C ．49D ．8919、将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小正值为（ ） A ．18πB ．38πC ．34πD ．12π20、已知数列{}n a 满足*111,2()n n n a a a n N +=⋅=∈，则2012S =（ ） A ．201221-B ．1006323⨯-C ．1006321⨯-D ．1005322⨯-21、已知函数()f x 的导函数的图像如图所示，a 、b 、c 分别若ABC ∆所对的边且222334a b c ab +-=角三角形，则一定成立的是（ ） A ．(sin )(cos )f A f B ≤ B ．(sin )(cos )f A f B ≥ C ．(sin )(sin )f A f B ≥D ．(cos )(cos )f A f B ≤22、若关于x 的不等式|2||3|x x a -++<的解集为∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．(],5-∞D ．(,5)-∞23、定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()8f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(](],10,3-∞-B ．((,30,3⎤⎤-∞-⎦⎦C ．[)[)1,03,-+∞D ．))3,03,⎡⎡-+∞⎣⎣24、设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间”B ．函数xe xf =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间” C ．函数14)(2+=x xx f (0≥x ）存在“和谐区间” D ．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”三、解答题 25、（本题满分7分）已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．26、（本题满分7分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为159,6,63.n A a a A +== （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和;n A（2）数列{}n b 的前n 项和n B 满足：*681,()n n B b n N =-∈，数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，求证：1.48n n S ≥-27、（本题满分8分）A 的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点．如图，正三棱锥BCD（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求该三棱锥的体积V．ABDEC28、（本题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点31,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量()2,1d =的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：22PA PB +为定值．29、（本题满分12分） 已知函数2)(++=xmx x f （m 为实常数）． （1）若)(x f y =图像上动点P 到定点)2,0(Q 的距离的最小值为2，求实数m 的值； （2）若)(x f y =在区间),2[∞+上是增函数，试用单调性的定义求实数m 的取值范围.（3）设0<m ，若不等式kx x f ≤)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解，求k 的取值范围． 30、（本题满分13分）过点(42)P ，作直线l 交x 轴于A 点、交y 轴于B 点，且P 位于AB 两点之间. （1）3AP PB =，求直线l 的方程；（2）求当AP PB ⋅取得最小值时直线l 的方程.31、（本题满分18分）已知1m >，直线l ：202m x my --=，椭圆C ：2221x y m +=，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.（1）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （ⅰ）求线段AB 长度的最大值；（ⅱ）12AF F V ，12BF F V 的重心分别为G ，H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.xylAOB2015年春季高考模拟试卷五参考答案13-17BACCD 18-24CBBAC CD 25、详细解答如下：26、223,2n n a n A n n =-=-；11161111111,0418********n n n n n n n n S S S n +++-=+-=->⋅⋅. 27、详细解答如下：28、详细解答如下：29、详细解答如下：30、解：显然直线l 的斜率k 存在且0k ≠，设l ：(4)2y k x =-+，得2(40)A k-，，(024)B k -， 因为P 位于AB 两点之间，所以244k->且242k ->，所以0k <. 2(2)AP k =，，(44)PB k =--，. （1）3AP PB =，所以23(4)k=⋅-，所以16k =-. 直线l 的方程为6160x y +-=.（2）18(()())16AP PB k k⋅=-+-≥，当1k k -=-即1k =-时，等号成立. 所以当AP PB ⋅取得最小值时直线l 的方程为60x y +-=31、解：（1）因为直线l ：202m x my --=经过22(10)F m -，， 所以2212m m -=，得22m =， 又因为1m >，所以2m =，故直线l 的方程为210x y --=（2）设11()A x y ，，22()B x y ，由222221m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得222104m y my ++-=， 则由2228(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <， 且有122m y y +=-，212182m y y ⋅=- （ⅰ）222212121212||()()(1)(()4)AB x x y y m y y y y =-+-=++-2222222111817(1)(()4())(1)(8)()2822242m m m m m m =+--⋅-=+-=-- 所以，当272m =时，max 9||4AB = （ⅱ）由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，可知11()33x y G ，，22()33x y H ，， 因为原点O 在以线段GH 为直径的圆内，所以0OH OG ⋅<，即12120x x y y +<， 所以2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++221(1()082m m =+-<）， 解得24m <（符合28m <）又因为1m >，所以m 的取值范围是(12)，。
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目录2015年上海市春季高考模拟试卷一 ........................................................... 1 2015年上海市春季高考模拟试卷二 ......................................................... 10 2015年上海市春季高考模拟试卷三 ......................................................... 19 2015年上海市春季高考模拟试卷四 ......................................................... 29 2015年上海市春季高考模拟试卷五 ......................................................... 38 2015年上海市春季高考模拟试卷六 (49)2015年上海市春季高考模拟试卷一一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、函数1()x f x x+=的定义域是 ． 2、已知全集{}21,0,1,2U =--，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3、已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4、双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5、若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2l i m 1n n Sn →∞-= ． 7、直线1310l x y -+=：，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ．8、已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ．9、2151()x x-的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10、已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =-，123b me e =+．若a b ，则实数m = ．11、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12、已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．0a ≥B ．0a ≤C ．2a ≥D ．2a ≤．14、已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ( )A .相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 15、现给出如下命题： ①若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面；②空间三点确定一个平面； ③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； ④样本数据11011--，，，，的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 ( ) A ．①④ B ．①③ C ．②③④D ．③④16、在关于x 的方程240x ax -+=，()21160x a x +-+=，223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A. 44a -≤≤ B. 9a ≥或7a ≤- C. 2a ≤-或4a ≥ D. 24a -<<17、不等式1|2|≤-x 的解集是（ ）A ．[3,1]--B ．[1,3]C ．[3,1]-D ．[1,3]- 18、已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则""βα⊥是""β⊥m 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19、已知21,F F 是椭圆192522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的任意一点，则||||21PF PF ⋅的最大值是（ ）A.、9B.16C.25D.225 20、函数||y m x =与21y x =+在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是（ ）A.2m >B.2m ≥C.1m ≥D.1m > 21、设函数)12(l 2)(-=x g x f ，则)0(1-f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．10D ．不存在22、已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x （ ）A ．m2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±23、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为（ ）24、已知方程)0(0)]([222222>>=---a b b a b x k a x b 的根大于a ，则实数k 满足（ ） A ．abk >|| B ．a b k <|| C ．ba k >|| D ．bak <||三、解答题 25、（本题满分7分）在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=，443S ≤≤．求函数22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-的最大值、最小值．A DC 1D 1 A 1B 1BC26、（本题满分7分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．求点1C 到平面11AB D 的距离. 27、（本题满分8分）用行列式讨论关于,x y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩的解的情况，并说明各自的几何意义. 28、（本题满分13分） 已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．（1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当[)x A a b ∈=，(A D ⊂≠，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b 、的值．29、（本题满分13分）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是2(2,0)F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线l 的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于BA ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上． （3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．附加题30、（本题满分8分）某公司生产某种消防安全产品，年产量x 台(0100,)x x N ≤≤∈时，销售收入函数2()300020R x x x =-（单位：百元），其成本函数满足()500C x x b =+（单位：百元）．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）．（1）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？（2）在经济学中，对于函数()f x ，我们把函数(1)()f x f x +-称为函数()f x 的边际函数，记作()Mf x ．对于（1）求得的利润函数()P x ，求边际函数()MP x ；并利用边际函数()MP x 的性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等） 31、（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足223()n n S a n N *+=∈.数列1112n n n b a n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）若对于任意n N *∈，不等式(1)n b n λ≥+恒成立，求实数λ的最大值.31、（本题满分14分）已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且2122d d =．（1）求动点P 所在曲线C 的方程；（2）直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；（3）记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c=-、点(0)F c -，、曲线C ：2222221(0)x y a b c a b a b +=>>=-，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．2015年春季高考模拟 一参考答案1、[10)(0)，，-? ；2、{}0；3、21log (1)y x x =+ ；4、63y x =；5、2a = ；6、1；7、6p ；8、1；9、3003；10、6-；11、34；12、38215+；13-16BADC ；17-20BBCD ；21-24BCAA25、∵8BAC x AC AB ∠=⋅=，，443S ≤≤，又1s i n 2S b c x =，∴cos 8bc x =，4tan S x =即 1tan 3x ≤≤∴所求的x 的取值范围是43x ππ≤≤.∵43x ππ≤≤，22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-3sin 2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，∴252366x πππ≤+≤，13sin(2)262x π≤+≤. ∴min max ()()2()()3134f x f f x f ππ====+，.26、建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为(000)A ，，、1(0,,)D a a 、1(,0,)B a a 、1(,,)C a a a ，向量1()C A a a a =---，，，1(0)AD a a =，，，1(,0,)AB a a =．设()n x y z =，，是平面11AB D 的法向量，于是，有1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ay az ax az +=⎧⎨+=⎩．令1z =-，得11x y ==，．于是平面11AB D 的一个法向量是(1)n =，1，-1．因此，1C 到平面11AB D 的距离1||33||C A n d a n ⋅==．(也可用等积法求得) 27、()()4221m D m m m ==-+，()242x m D m m m m +==-，()()2211y m m D m m m+==-+（1）当2m ≠±时，0D ≠方程组有唯一解，此时xy D x DD y D⎧=⎪⎨⎪=⎩，即212m x m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩+； （2）当2m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，通解可表示为()2R 2x t tt y =⎧⎪-∈⎨=⎪⎩； （3）当2m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，此时方程组无解. 几何意义：设1:42l mx y m +=+，2:l x my m += 当2m ≠±时，方程组唯一解，则直线1l 与2l 相交； 当2m =-时，方程组无解，则直线1l 与2l 平行； 当2m =时，方程组无穷多解，则直线1l 与2l 重合.28、（1）∵()y f x =是奇函数，∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121l o g l o g 011aa m mx m mxx x---++=+-．化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间)，必有2210(21)10m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1m =．∴1()log (11)1a x f x D x -==-+，，． （2）当1a >时，函数1()log (11)1a xf x D x-==-+在，上是单调减函数． 理由：令12111x t x x-==-+++． 易知1x +在(11)D =-，上是随x 增大而增大，21x+在(11)D =-，上是随x 增大而减小， 故12111x t x x-==-+++在(11)D =-，上是随x 增大而减小． 于是，当1a >时，函数1()log (11)1axf x D x-==-+在，上是单调减函数 （3） ∵[)A a b D ⊂=≠，，∴011a a b <<<≤，． ∴依据(2)的道理，当01a <<时，函数1()log 1axf x A x-=+在上是增函数， 即1()1log 11a af a a-==+，，解得21(21)a a =-=--舍去．若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为1[1log )1a bb-+，，不满足函数值组成的集合是[1)+∞，的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)∴必有1b =． 因此，所求实数a b 、的值是211a b =-=、． 29、（1）2=c 222b ac +=2234a a +=∴ 3,122==∴b a 1322=-∴y x 双曲线为． （2）:l 0)2(=+-y x m 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=13222y x m m x y 得0344)3(2222=--+-m x m x m由0>∆，得0)34)(3(4224>+-+m m m ，0391222>-+m m ，恒成立即012>+m121200x x x x +>⎧⎨⋅>⎩又 ，03340342222>-+>-m m m m ，32>∴m (,3)3,)m ∴∈-∞-+∞ 设),(),,(2211y x B y x A ，则3222221-=+m m x x 36232222321--=+--=+m mm m m y y )36,32(222---∴m mm m M AB 中点3)3(12963)3(36)3()3(3)3(36)132(3222242222222222222=--++⋅=---+⨯=----m m m m m m m m m m m m 上在曲线3)1(322=--∴y x M ．（3）),(),,(2211y x B y x A , 为锐角使设存在实数AOB m ∠,,0>⋅OB OA 则 02121>+∴y y x x因为221221221214)(2)2)(2(m x x m x x m m mx m mx y y ++-=+-+-=04)(2)1(2212212>++-+∴m x x m x x m0)3(48)34)(1(22422>-+-++∴m m m m m 即0123722>-+m m532<∴m ， 矛盾与32>m ，不存在∴ 30、（1）由题意，0,4000x b ==，所以()5004000C x x =+22()()()30002050040002025004000,0100P x R x C x x x x x x x =-=---=-+-≤≤2125()20()741252P x x =--+（0100x ≤≤，x N ∈），所以62x =或63x = max ()(62)63)74120P x P P ===（百元）（2）()(1)()402480MP x P x P x x =+-=-+（099x ≤≤，x N ∈）边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当0x =时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当62x =时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大31、（1）12a =，223n n S a += 11223n n S a +++=()n N *∈ 所以11233n n n a a a ++=- 即：13()n na n N a *+=∈恒成立 所以，{}n a 为以2为首项，公比为3的等比数列。