成都市田家炳中学必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x = B ．lg y x = C ．()f x x =-D ．()cos f x x =2．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π3．已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性D ．函数()f x 的值域为R4．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定5．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 图象的一条对称轴是（ ） A ．6x π=B ．56x π=C ．512x π=D ．712x π=9．已知将向量13,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭绕起点逆时针旋转4π得到向量b ，则b =（ ） A ．6262,44⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．6262,44⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．2662,44⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭ D ．2626,44⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭10．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=- 11．若4cos ,5αα=-是第三象限角，则sin α等于（ ）A ．35B ．35C ．34D ．34-12．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 二、填空题13．角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 14．若()5sin 4513α︒+=，则()sin 225α︒+=________． 15．下列函数中，以π2为周期且在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是______.①()cos2f x x =；②()sin 2f x x =；③()cos f x x =；④()sin f x x = 16．若3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin2α=_____；17．方程21sin cos 2x x x +=在[0,]4π上的解为___________18．设α、β都是锐角，且()3cos ,sin 55ααβ=+=，则cos β=____________. 19．已知tan 2α=，则cos2=α__．20．某学生对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论： （1）函数()f x 在[]π,0-上单调递增，在[]0,π上单调递减； （2）存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立；（3）点π,02⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图像的一个对称中心；（4）函数()y f x =图像关于直线πx =对称； 其中正确的是______（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案三、解答题21．已知函数()π22sin cos 6f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调增区间.（2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.22．已知函数()sin 1f x x x =++.（Ⅰ）设[0,2π]α∈，且()1f α=，求α的值； （Ⅱ）将函数(2)y f x =的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图像. 当ππ[,]22x ∈-时，求满足()2g x ≤的实数x 的集合.23．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,02A ωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的部分图象如下图所示，最高点的坐标为()1,1．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的π2倍，得到()g x 的图象，求函数()g x 在[]π,2π-上的单调递增区间；（3）若存在5,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，对任意[]1,1a ∈-，不等式()27202f x m am -++≤恒成立，求m 的取值范围．24．（1）在面积为16的扇形中，半径多少时扇形的周长最小； （2(10)x x -. 25．已知02πα<<，4sin 5α. （1）求tan α的值； （2）求cos 2sin 2παα⎛⎫++⎪⎝⎭的值. 26．如图，设矩形()ABCD AB BC >的周长为m ，把ABC 沿AC 翻折到AB C '，AB '交DC 于点P ，设AB x =.（1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求ADP △面积的最大值.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据基本初等函数的性质，以及函数奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，函数()sin f x x =，根据正弦函数的性质，可得函数()sin f x x =在[]1,1-上单调递增，不符合题意；对于B 中，函数lg y x =，满足()()lg lg f x x x f x -=-==，所以函数lg y x =为偶函数，不符合题意；对于C 中，函数()f x x =-，根据一次函数的性质，可得函数()f x x =-为奇函数，且在[]1,1-上单调递减函数，符合题意；对于D 中，函数()cos f x x =，满足()()cos()cos f x x x f x -=-==，所以函数()cos f x x =为偶函数，不符合题意.故选：C.2．B解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==， 故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B3．B解析：B 【分析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B4．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得． 【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=， 又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形． 故选：A ．5．B解析：B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 6．B解析：B 【分析】由正弦函数的性质可得121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可. 【详解】由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，()f x 单调递增，又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴12(2)3412(2)33k k πππωπππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪∈⎩，所以当0k =时，有102ω<≤，故选：B 【点睛】关键点点睛：利用整体代入法得到121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.7．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式． 【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．8．D解析：D 【分析】利用三角函数的性质，2()sin()033f A ππϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解 【详解】根据题意得，2()sin()033f A ππϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2πϕ<，进而求得，3πϕ=，所以，()sin(2)3f x A x π=+，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，所以，2,32x k k z πππ+=+∈，解得,k x k z 122ππ=+∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712x π=故选D 【点睛】关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，进而求解，属于中档题 9．C解析：C 【分析】先求出a 与x 轴正方向的夹角为3πθ=，即可得b 与x 轴正方向的夹角为73412πππα=+=， 再利用向量坐标的定义即可求解. 【详解】设a 的起点是坐标原点，a 与x 轴正方向的夹角为θ，1a =由13,2a ⎛=⎝⎭可得2tan 12θ==3πθ=， 设b 与x 轴正方向的夹角为α，则73412πππα=+=且1b=因为7sinsin sin cos cos sin 124343434y πππππππ⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪⎝⎭，7coscos cos cos sin sin 124343434x πππππππ⎛⎫==+=⨯-⨯=⎪⎝⎭，故2b ⎛-= ⎝⎭， 故选：C.10．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误；对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B 错误； 对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x x x xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．B解析：B 【分析】运用同角的三角函数关系式直接求解即可. 【详解】4cos ,5a a =-是第三象限角，3sin 5a ∴==-，故选：B 12．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈.又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A二、填空题13．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】由题意sin θ=1cos 2θ=，所以，1sin cos 622πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-14．【分析】直接利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为故答案为： 解析：513-【分析】直接利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为()5sin 4513α︒+=，()()()5sin 225sin 45180sin 4513ααα︒+=︒++︒=-︒+=-⎡⎤⎣⎦ 故答案为：513-15．①【分析】利用与的关系确定①②的周期在给定区间上去掉绝对值符号后确定单调性化简和后可得其性质从而判断③④【详解】周期是时是增函数①满足题意；周期是时是减函数②不满足题意；周期是③不满足题意；不是周期解析：①【分析】利用()f x 与()f x 的关系确定①②的周期，在给定区间上去掉绝对值符号后确定单调性，化简cos x 和sin x 后可得其性质，从而判断③④【详解】()cos2f x x =周期是2π，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos2cos2f x x x ==-是增函数，①满足题意；()sin 2f x x =周期是2π，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 2sin 2f x x x ==是减函数，②不满足题意；()cos cos f x x x ==，周期是2π，③不满足题意； sin ,0()sin sin ,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩不是周期函数，④不满足题意．故答案为：①． 【点睛】结论点睛：本题考查三角函数的周期性与单调性，解题时可利用如下结论：①()sin()f x A x ωϕ=+（或cos()A x ωϕ+，函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数．16．【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案【详解】故答案为： 解析：725【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案. 【详解】27sin 2cos 2cos 212sin 24425πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：72517．【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论【详解】由得得∴又∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为的形式然后解析：12π 【分析】 由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论． 【详解】由21sin cos 2x x x =得1cos 212222x x -+=，得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴26x k ππ-=，,212k x k Z ππ=+∈， 又0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12x π=． 故答案为：12π．【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程，解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为sin()x k ωϕ+=的形式，然后由正弦函数的定义得出结论．（2）用换元法，如设sin x t =，先求得方程()0f t =的解0t ，然后再解方程0sin x t =．18．【分析】由α是锐角求出的值再由β是锐角得出的值将角转化成利用两角和差的余弦公式化简计算并验证即可【详解】因为α是锐角所以因为β是锐角所以又所以所以当时此时即与矛盾舍去当时符合要求故答案为：【点睛】本【分析】由α是锐角，cos α=求出sin α的值，再由β是锐角，()3sin 5αβ+=得出()cos αβ+的值，将β角转化成()αβα+-，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验证即可. 【详解】因为α是锐角，cos 5α=，所以sin α==， 因为β是锐角，所以0αβ<+<π，又()3sin 5αβ+=，所以()4cos 5αβ+==±， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++当()4cos 5αβ+=时， 43cos +55555β=⨯⨯=，此时cos sin βα=，即2παβ+=，与()3sin 5αβ+=矛盾，舍去，当()4cos 5αβ+=-时， 43cos +555525β=-⨯⨯=，符合要求.故答案为：25【点睛】本题主要考查了两角和与差的正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.19．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 20．（2）【分析】根据奇偶性奇函数在关于原点对称区间单调性相同确定（1）错误；取M=2可判定（2）正确；可判断（3）不正确；取特殊值判定（3）错误【详解】定义域为R 所以是奇函数在关于原点对称的区间上单调解析：（2） 【分析】根据奇偶性，奇函数在关于原点对称区间单调性相同，确定（1）错误；取M=2，可判定（2）正确；202f x f x ππ++-⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断（3）不正确；取2233f ππ⎛⎫⎪=- ⎝⎭，4433f ππ⎛⎫⎪=-⎝⎭特殊值判定（3）错误. 【详解】()2cos f x x x =定义域为R ，()()2cos f x x x f x -=-=-，所以()2cos f x x x =是奇函数，在关于原点对称的区间上单调性相同，所以（1）错误；cos 1x ≤，令2M =，()f x M x ≤成立，所以（2）正确；()()2sin 2sin 4sin 022x x x x x x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++-+-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以点π,02⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()y f x =图像的一个对称中心，所以（3）不正确； 2422cos 3333f ππππ⎛⎫= =-⎪⎝⎭，4844cos 3333f ππππ⎛⎫= =-⎪⎝⎭，函数()y f x =图像不关于直线πx =对称，所以（4）不正确. 故答案为：（2） 【点睛】此题考查与三角函数性质相关命题的判定，需要熟练掌握奇偶性、单调性、对称性在解题中的处理方法.三、解答题21．（1）π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而根据πππ2π22π232k x k -+≤-≤+解得()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）由ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得5πππ2636x -≤-≤，进而得π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【详解】 解：（1）()11π2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 222223f x x x x x x x ⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ∵πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，()k ∈Z ， ∴π5πππ1212k x k -+≤≤+，()k ∈Z ， ∴()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ππ44x -≤≤， ∴5πππ2636x -≤-≤， ∴π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题解题的关键是根据三角恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而根据整体换元的思想求函数的单调区间与值域，考查运算求解能力，是中档题. 22．（Ⅰ）2=3απ或53π；（Ⅱ）{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤.【分析】（Ⅰ）化简得()2sin()13f x x π=++，则可得sin(+)03πα=，即可求出；（Ⅱ）由题可得2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，不等式化为21sin(2)32x π+≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）由()sin 2sin()131f x x x x π=++=++，由()=2sin()113f παα++=，得sin(+)03πα=，又[0,2]απ∈， 得2=3απ或53π； （Ⅱ）由题知，2sin(23(2)1)x f x π+=+2()2sin 2++12sin 2+1633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()2g x ≤，得21sin(2)32x π+≤， ∴72+22+2,636k x k k Z πππππ-≤+≤∈， 22x ππ-≤≤，252333x πππ-≤+≤， ∴22336x πππ-≤+≤，或5252633x πππ≤+≤， ∴24x ππ-≤≤-，或122x ππ≤≤， 即所求x 的集合为{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为21sin(2)32x π+≤，即可根据正弦函数的性质求解.23．（1）()ππsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）π2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（3）(][),33,-∞-+∞【分析】（1）根据图像可得1A =，8T =，进而求出ω，再将()1,1代入，即可求出()f x 的解析式；（2）先根据题意得到()g x 的图像，再利用换元法即可求得()g x 在[]π,2π-上的单调递增区间；（3）不等式()27202f x m am -++≤恒成立等价于()2min 722f x m am ≤--，求出()f x 的最小值代入得到2230ma m -+≤，把它看成以a 为自变量的不等式()0M a ≤，解不等式即可. 【详解】解：（1）由题图可知：1A =，()4318T =⨯-=，2π8ω∴=， 即π4ω=， 将()1,1代入()πsin 4f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 即πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， π2π,4k k Z ϕ∴=+∈， 又π02ϕ<<， π4ϕ∴=， ()ππsin 44f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）根据题意可得：()1πsin 24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令1π24t x =+， 则π5π,44t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令π5π24t ≤≤，即π1π5π2244x ≤+≤， 解得：π2π2x ≤≤， ∴()g x 在[]π,2π-上的单调递增区间为π2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； （3）()27202f x m am -++≤， ()2722f x m am ∴≤--，5,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ,446x ππππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦， ()1,12f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，由题意可知：217222m am -≤--， 即2230ma m -+≤，即以a 为自变量的不等式()0M a ≤，()()1010M M ⎧≤⎪∴⎨-≤⎪⎩， 解得：3m ≥或3m ≤-，m ∴的取值范围为(][),33,-∞-+∞．【点睛】方法点睛：已知()(0)()0f x Asin x A ωϕω=+>>，的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和ϕ，常用如下两种方法： (1)由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+= (或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ；(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 24．（1）4，16；（2）5. 【分析】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据面积为16，可得32l r=，列出周长表达式，利用基本不等式即可求得答案；（2）利用基本不等式，即可求得所求乘积的最大值. 【详解】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ， 所以面积1162S l r =⋅=，即32l r=，且08r <<，则周长322216c l r r r =+=+≥=，当且仅当322r r =即4r =时等号成立，所以当半径4r =时，周长有最小值16. （2）由题意得(10)0x x -≥，解得010x ≤≤，1052x x+-≤=，当且仅当(10)x x =-，即5x =时等号成立，5. 25．（1）43；（2）825. 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系先得cos α的值，再得tan α的值； （2）根据诱导公式以及二倍角的余弦可得结果. 【详解】 （1）因为02πα<<，4sin 5α，故3cos 5α=，所以4tan 3α=.（2）23238cos 2sin 12sin cos 1225525παααα⎛⎫++=-+=-+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了通过同角三角函数的基本关系以及诱导公式求三角函数的值，属于基础题.26．（1）(34m ；（2）(2316m ⋅-. 【分析】（1）设CAB CAP θ∠=∠=，求得222PAD APD πθθ∠=-∠=，，得到且tan 23tan θθ=，结合正切的二倍角公式，即可求解.（2）设CAB CAP θ∠=∠=，则2APD θ∠=，且()tan 01θ∈，，由()tan 2x x m θ+⨯=，求得x 得值，求得()tan 21tan m AD BC θθ==+，1tan 4PD m θ-=，设1tan t θ+=，得到()12t ∈，，利用三角形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，在ABC 中，可设CAB CAP θ∠=∠=，则由角度关系可得222PAD APD πθθ∠=-∠=，，设BC y = ，且tan tan 23tan 3y yx xθθθ===，， 则有22tan tan 23tan 1tan θθθθ==-，解得tan 3θ=，则有y x =，所以2x x m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得(34x m =. （2）设CAB CAP θ∠=∠=，则222PAD APD πθθ∠=-∠=，，且()tan 01θ∈，， 则有()tan 2x x m θ+⨯=，解得()21tan m x θ=+，即()tan 21tan m AD BC θθ==+，所以()2tan 1tan 1tan tan 221tan 2tan 4AD PD m m θθθθθθ--==⋅=+， 则S △ADP =()2221tan 1tan tan tan 221tan 4161tan m m θθθθθθ--⋅⋅=⋅++，令()1tan 12t t θ+=∈，， 所以S △ADP =()22222113223161616t t m m t t m t t t t ---⎡⎤-+-⎛⎫⋅=⋅=⋅-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(2316m ≤⋅-，当且仅当2t t t==，时取等号. 则ADP △面积的最大值为(2316m ⋅-.【点睛】对于三角函数模型的应用问题，解答的关键是建立符合条件的函数模型，结合示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学的三角恒等变换的公式及三角函数的性质求解.。