您的位置：360文档中心› 第19讲 圆的方程(解析版)

第19讲 圆的方程(解析版)

合集下载

圆的一般方程ppt课件

圆的一般方程ppt课件
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
∴所求圆的圆心坐标为(4， 3),半径为r 5.
所求圆的方程为( x 4)2 ( y 3)2 25.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
圆的方程.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求

解得D 8, E 6, F 0.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
则
a 2 b2 r 2
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
x
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
定点： B(4,3) ，
定圆：( x 1) 2 y 2 4 .
A (主动点)
M (从动点)
x0 4
y0 3
x
,y
.
2
2
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
而方程 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 配方后得 ( x 1)2 ( y 2)2 1 ，
方程无意义，不表示任何图形.
形成概念
一般地，把方程 x 2 y 2 Dx Fy E 0 配方可得：
2
2

六年级下册数学试题-小升初数学思维拓展第19讲 方程(含答案解析)

六年级下册数学试题-小升初数学思维拓展第19讲 方程(含答案解析)

小升初数学思维拓展第19讲 方程一、知识地图⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一元一次方程一元一次方程的解法二元一次方程一元一次方程的应用不定方程等式基本性质（基本数量关系）一元一次方程的解法一元一次方程的应用方程今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。

——《九章算术》这是我国历史上一道三元一次方程组的经典名题，具有传统意义的方程概念及解法，由此可见前人在方程领域的研究和造诣。

百鸡问题今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。

凡百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十，鸡母十八，值钱五十四，鸡雏七十八，值钱二十六； 又答：鸡翁八，值钱四十，鸡母十一，值钱三十三，鸡雏八十一，值钱二十七； 又答：鸡翁十二，值钱六十，鸡母四，值钱十二，鸡雏八十四，值钱二十八。

术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三即得。

——《张丘建算经》百鸡问题是我国历史上的一道数学名题，百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

我国著名数学家陈景润在1978年所著的《初等数论》中也给出了百鸡问题的解法，实际上就是一个二元一次不定方程。

二、基础知识（一）等式的基本性质（1） 等式：表示相等关系的式子；如：2+3=5，A B B A ⨯=⨯，…（2） 等式基本性质1：等式两边同时加上同一个数或减去同一个数，等式性质不变； 即如果A ＝B ，那么A ±m ＝B ±m 。

（3） 等式基本性质2：等式两边同时乘以同一个数或除以同一个不等于零的数，等式性质不变；即如果A ＝B ，那么Am ＝Bm 或A B n n =（m 、n 为两个数，n ≠0）。

（二）一元一次方程（1） 方程：含有未知数的等式；如：37x +=，2113a b +=，326255p q +=，… （2） 一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x +=，71539q +=，214682m +=，… （3） 一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；如：4x =是方程37x +=的解， 247q =是方程71539q +=的解，… （4） 解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1。

圆的方程及空间直角坐标系(讲义及答案)

圆的方程及空间直角坐标系(讲义及答案)

X的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛一、圆的方程1. 圆的标准方程： ______________________ ,圆心： ________, 半径：________.2. 圆的一般方程：圆心： 二、位置关系的判断(1) 点与圆由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r,则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 ,则计算 _____________________ ,与0比较大小.(2) 直线与圆① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小.② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A <O ,直线与圆相离.A = 0,直线与圆相切.△ >0,直线与圆相交(3)圆与圆利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系 判断.三、常见思考角度1. 直线与圆位置关系常见考査角度(1)过定点求圆的切线方程① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程.若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程： 若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式 利用〃二r 建方程求解.[gl（2）直线与圆相交求弦长结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂22. 圆与圆位置关系常见考査角度（1） 两圆相交求公共弦所在直线方程设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0,C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 （0 — D? ）x + （E] — £*2） y + F[—尸2 = 0 -（2） 两圆相交求公共弦长求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离， 垂径定理、勾股定理结合求弦长.四、轨迹方程在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 （X, y ）满足的关系式.五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.zn六、空间直角坐标系中点的坐标如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依 次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀.有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标， 记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ .-1 -- B»1 "Z C'A' BC>1 \ >1 0 X七、空间两点间的距离公式如图3,设空间直角坐标系中点P 的坐标是（兀，y, Z ）,则 IOPI = ____________________ .如图4,设点£（易，y,, Z,）, RC E ，＞'2»空）是空间中任意两点, 则 IA A1= ___________________ .A/ P 、 Pl精讲精练写出下列圆的标准方程：(I)圆心在C(-3,4” 半径长为^/J•(2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5J)・2 . 下列方程：①W+y2-6x=0 ；②-2%+4 V-6=0 ；③W+y，二。

考点19 直线和圆的方程(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)

考点19 直线和圆的方程(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.
二、多选题
6．（2022·湖南衡阳·二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 为 在第一象限上的点，点 在 延长线上，点 的坐标为 ，且 为 的平分线，则下列正确的是（）
方法位置
关系
几何法
代数法
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．
A． B． C． D．
【答案】C

中考数学 第19讲 点、直线和圆的位置关系及其计算(一领三通)(解析版)

中考数学 第19讲 点、直线和圆的位置关系及其计算(一领三通)(解析版)

第19讲点、直线和圆的位置关系及其计算一、考点知识梳理【考点1 切线的性质与判定】1.点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离)位置关系,数量(d与r)点在圆内d＜r,点在圆上d＝r,点在圆外d＞r，数量(d与r)2.直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．3.判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．位置关系,相离,相切,相交公共点个数,0,1,2公共点的名称,无,切点,交点数量关系,d＞r,d＝r,d＜r4.切线的判定：判定切线的方法有三种：①利用切线的定义，即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．5.切线的五个性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于经过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．6.切线长定理：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．【考点2 三角形内切圆】内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．二、考点分析【考点1 切线的性质与判定】【解题技巧】1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．3.由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．【例1】（2019 浙江杭州中考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB ＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B．【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB＝PA＝3．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），∴PB＝PA＝3，故选：B．【一领三通1-1】（2019 重庆中考）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】C．【分析】由切线的性质得出∠BAC＝90°，求出∠ABC＝40°，由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠ABC＝40°，再由三角形的外角性质即可得出结果．【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABC＝40°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC＝40°，∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；故选：C．【一领三通1-2】（2019上海中考）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C．【分析】如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．构建方程组即可解决问题．【解答】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．由题意：，解得，故选：C．【一领三通1-3】（2019 南京中考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P ＝102°，则∠A+∠C＝．【答案】219°．【分析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．【解答】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．【一领三通1-4】（2019浙江温州中考）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于度．【答案】57°【分析】连接OE ，OF ，由切线的性质可得OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，由四边形内角和定理可求∠EOF ＝114°，即可求∠EPF 的度数． 【解答】解：连接OE ，OF∵⊙O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ∴OE ⊥AB ，OF ⊥AC 又∵∠BAC ＝66° ∴∠EOF ＝114° ∵∠EOF ＝2∠EPF ∴∠EPF ＝57° 故答案为：57°【考点2 三角形内切圆】【解题技巧】1.任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．2.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．3.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a ，b 是Rt △ABC 的两条直角边，c 为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R ＝c 2；(2)直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c2.【例2】（2019 云南中考）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF ）的面积是（ ）A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A．【分析】利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE ⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积．【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2+CA2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F∴OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OFAE为正方形，设OE＝r，则AE＝AF＝r，∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，∴5﹣r+12﹣r＝13，∴r＝＝2，∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×2＝4．故选：A．【一领三通2-1】（2019•台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】设AD＝x，利用切线长定理得到BD＝BE＝1，AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，然后根据勾股定理得到（x+1）2+52＝（x+4）2，最后解方程即可．【解答】解：设AD＝x，∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，∴BD＝BE＝1，∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x＝，即AD的长度为．故选：D．【一领三通2-2】（2019•山东济南模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．B．C．D．2【答案】A．【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在R t△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3＝，故选：A．【一领三通2-3】（2019•青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝①这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝（周长的一半），则S＝②（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝，S为三角形面积，则S＝pr．【分析】（1）由公式①得：S＝＝10，由②得：p＝＝10，S＝＝10；（2）求出2p＝a+b+c，把①中根号内的式子可化为：（ab+）（ab﹣）＝（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），即可得出结论；（3）连接OA、OB、OC，S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，由三角形面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）由①得：S＝＝10，由②得：p＝＝10，S＝＝10；（2）公式①和②等价；推导过程如下：∵p＝，∴2p＝a+b+c，①中根号内的式子可化为：（ab+）（ab﹣）＝（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）＝[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]＝（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴＝；（3）连接OA、OB、OC，如图所示：S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝rc+rb+ra＝（）r＝pr．【一领三通2-4】（2019 山西中考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），∴△AIF∽△EDB，∴＝．∴IA•BD＝DE•IF②任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．【分析】（1）直接观察可得；（2）BD＝ID，只要证明∠BID＝∠DBI，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证；（3）应用（1）（2）结论即可；（4）直接代入计算．【解答】解：（1）∵O、I、N三点共线，∴OI+IN＝ON∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d故答案为：R﹣d；（2）BD＝ID理由如下：如图3，过点I作⊙O直径MN，连接AI交⊙O于D，连接MD，BI，BD，∵点I是△ABC的内心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI∴∠BID＝∠DBI∴BD＝ID（3）由（2）知：BD＝ID∴IA•ID＝DE•IF∵DE•IF＝IM•IN∴2R•r＝（R+d）（R﹣d）∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr（4）由（3）知：d2＝R2﹣2Rr；将R＝5，r＝2代入得：d2＝52﹣2×5×2＝5，∵d＞0∴d＝故答案为：．三、【达标测试】（一）选择题1.（2019•哈尔滨）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（）A．60°B．75°C．70°D．65°【答案】D．【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【解答】解：连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．故选：D．2.（2019•广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【答案】C．【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，∵过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C．3.（2019 河北唐山中考模拟）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF 面积的最小值为（）A．B．C．2D．【答案】A．【分析】连接DP，根据直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，求得AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF面积的最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值．【解答】解：如图，连接DP，∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB＝，∵过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，∴DE＝DF，PE⊥DE，∵PE＝PF，PD＝PD，∴△PED≌△PFD（SSS），∵⊙P的半径为，∴DE＝，当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×，∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，∴四边形PEDF面积的最小值为．故选：A．4.（2019 天津北辰区中考模拟）如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD，如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于（）A．70°B．64°C．62°D．51°【答案】B．【分析】连接OC．证明∠CAO＝∠OAB＝∠BAD，从而进一步求解．【解答】解：连接OC．则OC＝OB，AC＝AB，OA＝OA，△AOC≌△AOB．∴∠CAO＝∠BAO．∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB．∵BD＝OB，∴AB是线段OD的垂直平分线，OA＝AD．∴∠OAB＝∠DAB＝∠OAC＝×78°＝26°．∠ADO＝180°﹣∠ABD﹣∠DAB＝180°﹣90°﹣26°＝64°．故选：B．5.（2019 山东威海中考模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D．【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．6.（2019 辽宁葫芦岛中考模拟）设正三角形△1的面积为S1，作△1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△2，面积为S2，如此下去作一系列的正三角形△3，△4，……，其面积相应为S3，S4，……，设S1＝1，T n＝S1+S2+……+S n，则当n充分大时，T n的值最接近以下哪个值？（）A．B．C．D．2【答案】C．【分析】由题意T n＝1++…+（）n﹣1①，两边乘4得到：4T n＝4+1++…+（）n﹣2②，②﹣①得到：3T n ＝4﹣（）n﹣1，由此即可判断．【解答】解：由题意：S1＝1，S2＝，S3＝（）2，…S n＝（）n﹣1，∴T n＝1++…+（）n﹣1①两边乘4得到：4T n＝4+1++…+（）n﹣2②，②﹣①得到：3T n＝4﹣（）n﹣1，当n充分大时，（）n﹣1接近0，∴T n的值接近，故选：C．7.（2019 河南郑州中考模拟）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】A．【分析】根据圆的性质得到AO⊥BE，故①正确；由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，得到的度数＝＝72°求得∠COD＝72°根据圆周角定理得到∠CAD＝36°；连接CD求得∠CGD＝108°，于是得到∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝，∴AO⊥BE，故①正确；∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°∴∠COD＝72°∵∠COD＝2∠CAD∴∠CAD＝36°；连接CD∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝＝＝，∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，∴∠CGD＝108°，∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，∵AB＝AE，∴△ABM≌△AEN（ASA），∴BM＝EN＝AM＝AN，∵∠MAN＝36°，∴AM≠MN，③错误．故选：A．8.（2019 河北沧州中考模拟）如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于点A'，再以点B为圆心，BA'为半径作圆弧交CB的延长线于B'，依次进行．得到螺旋线，再顺次连结EA'，AB'，BC'，CD'，DE'，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5﹣S2＝1，则S4﹣S3的值为（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】设五边形的边长为a．求出各个阴影部分的面积，根据S5﹣S2＝1，寻找关系式，即可解决问题．【解答】解：设五边形的边长为a．则S1＝﹣•a2•sin72°，S2＝﹣•a•2a•sin72°，S3＝﹣•a•3a•sin72°，S4＝﹣•a•4a•sin72°，S5＝﹣•a•5a•sin72°，∵S5﹣S2＝1，∴5πa2﹣πa2﹣a2•sin72°＝1，∴•π•a2﹣a2•sin72°＝1，∴S4﹣S3＝πa2﹣πa2﹣a2sin72°＝π•a2﹣a2sin72°＝，故选：D．（二）填空题1.（2019 山东淄博中考模拟）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为．【答案】．【分析】如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以EC＝DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB＝＝5，∴BA′＝＝，∵AC＝CA′，DE＝EA，∴EC＝DA′，∵DA′≤BD+BA′，∴DA′≤5+，∴DA′的最大值为5+，∴EC的最大值为，故答案为．2.（2019 河北衡水中考模拟）点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为．【答案】4．【分析】延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题；【解答】解：延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．∵I是△ABC的内心，∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，∠BCD＝∠IAB，∴∠DIC＝∠DCI，∴DI＝DC＝DM，∴∠ICM＝90°，∴CM＝＝8，∵AI＝2CD＝10，∴AI＝IM，∵AE＝EC，∴IE＝CM＝4，故答案为4．3.（2019 湖北黄石中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE＝．【答案】6﹣．【分析】设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，由B、F关于EH对称，推出HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，FC＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x，在Rt△EFH中，根据EF2＝EH2+HF2，列出方程即可解决问题．【解答】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，∵B、F关于EH对称，∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，FC＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x，在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2，∴42+x2＝（16﹣3x）2，解得x＝6﹣或6+（舍弃），∴AE＝6﹣，故答案为：6﹣．4.（2019 上海黄浦区中考模拟）如图，ABCDE是正五边形，已知AG＝1，则FG+JH+CD＝．【答案】+1．【分析】根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，推出四边形JHBG是平行四边形，推出JH＝BG，同理可证：四边形CDFB是平行四边形，推出CD＝FB，推出FG+JH+CD＝FG+BG+FB＝2BF，设FG＝x，由△AFG∽△BFA，推出AF2＝FG•FB，由此构建方程求出x即可解决问题；【解答】解：根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，∴四边形JHBG是平行四边形，∴JH＝BG，同理可证：四边形CDFB是平行四边形，∴CD＝FB，∴FG+JH+CD＝FG+BG+FB＝2BF，设FG＝x，∵∠AFG＝∠AFB，∠FAG＝∠ABF＝36°，∴△AFG∽△BFA，∴AF2＝FG•FB，∵AF＝AG＝BG＝1，∴x（x+1）＝1，∴x＝（负根已经舍弃），∴BF＝+1＝，∴FG+JH+CD＝+1．故答案为+1．5.（2019天津南开区中考模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．若AE＝3，CD＝2，则⊙O的直径为．【答案】5．【分析】利用切线的性质，易得OD∥AC，继而证明AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质定理可证得：CD＝DF，AF＝AC，进而证得△BDF≌△EDC，则BF＝CE；根据AC＝AF，BF＝CE即可求解．【解答】解：连接DE，BD．∵DC是圆的切线．∴∠EDC＝∠DAC，OD⊥直线l，∵AC⊥直线l．∴OD∥AC，∴∠ADO＝∠DAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠DAC，∴DF＝CD＝2，∠ADF＝∠ADC，∴AF＝AC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴CD：CA＝CE：CD，∴CD2＝CE•CA，即4＝CE（CE+3），解得：CE＝1，∵DF⊥AB，AC⊥l于C，∴∠BFD＝∠DCE＝90°，在△BDF和△EDC中，，∴△BDF≌△EDC（AAS），∴FB＝CE＝1，∴AB＝BF+AF＝BF+AC＝1+AE+CE＝1+3+1＝5．方法二：连接BE交OD于H，解直角三角形△OEH即可解决问题；故答案为：5．6.（2019 河北廊坊中考模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．【答案】t＝或﹣1≤t＜1．【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得DOC＝45°，即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值．【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．直线y＝x+t与x轴所形成的锐角是45°．当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD＝45°．又OC＝1，则CD＝OD＝，即点C（﹣，），把点C的坐标代入直线解析式，得t＝y﹣x＝，当直线过点A时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝1．当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝﹣1．即当t＝或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点；故答案为t＝或﹣1≤t＜1．7.（2019四川成都中考模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是．【答案】1．【分析】设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．设圆的半径是x．根据切线长定理和勾股定理求解．【解答】解：设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．设圆的半径是x．在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC＝6．又PC＝8﹣2＝6，则BC＝PC，所以∠BPC＝45°，∴PD＝OD＝x，AD＝x+2，根据切线长定理得AE＝x+2，BE＝10﹣（2+x）＝8﹣x，OB＝BP﹣OP＝6﹣x；在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2＝x2+（8﹣x）2，∴x＝1，即⊙O的半径是1．故答案为⊙O的半径是1．8.（2019山东济南中考模拟）图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2）．则边B′C′的长．【答案】（3+）cm．【分析】过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC与A′C′，根据与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，得到OD与AC垂直，可得DE为三角尺的宽，由A′C′与圆O相切，根据切线的性质得到OD为圆的半径，根据直径AB的长，求出半径OA，OB及OD的长，在直角三角形AOE中，根据∠A＝30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的长求出OE的长，再由OD﹣OE求出DE的长，即三角尺的宽为1，设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，则有∠AMH＝30°，AH＝1，得到AM＝2AH＝2，可计算出MN，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三边的关系得到B′N长，即可得出答案．【解答】解：过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，∵AC∥A′C′，∴AC⊥OD，∵A′C′与⊙O相切，AB为圆O的直径，且AB＝4cm，∴OD＝OA＝OB＝AB＝×4cm＝2cm，在Rt△AOE中，∠A＝30°，∴OE＝OA＝×2cm＝1cm，∴DE＝OD﹣OE＝2cm﹣1cm＝1cm，则三角尺的宽为1cm，∵在Rt△ACB中，AB＝4cm，∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝2cm，AC＝BC＝2cm，设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，则有∠AMH＝30°，AH＝1cm，得到AM＝2AH＝2cm，∴MN＝AM+AC+CN＝（3+2）cm，在Rt△MB′N中，∵∠B′MN＝30°，∴B′N＝MN×tan30°＝（3+2）×＝（+2）cm，则B′C′＝B′N+NC′＝（3+）cm，故答案为：（3+）cm．（三）解答题1.（2019 甘肃中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．2.（2019 广东中考）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O 于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB ＝5．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BC•BE，∴BC•BE＝25，∴AB＝5，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．3.（2019 江徐州苏中考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：∠A＝∠DOB；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．【分析】（1）连接OC，由D为的中点，得到＝，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理得到AE∥OD，根据平行线性质得到OD⊥DE，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵D为的中点，∴＝，∴∠BOD＝BOC，∵∠BAC＝BOC，∴∠A＝∠DOB；（2）解：DE与⊙O相切，理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．4.（2019 辽宁大连中考）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．【分析】（1）作DF⊥BC于F，连接DB，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可；（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE＝FC＝3，根据射影定理计算即可．【解答】（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，∵AP是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，∵∠APC＝∠BCP，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC，∵DF⊥BC，∴DF是BC的垂直平分线，∴DF经过点O，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠BDC＝2∠ODC，∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，∴FC＝BC＝3，在△DEC和△CFD中，，∴△DEC≌△CFD（AAS）∴DE＝FC＝3，∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，∴DE2＝AE•EC，则EC＝＝，∴AC＝2+＝，∴⊙O的半径为．5.（2019 天津中考）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．【分析】（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°计算；（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．【解答】解：（Ⅰ）连接OA、OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝50°；（Ⅱ）连接CE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵∠ACB＝50°，∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，∴BAE＝∠BCE＝40°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．6.（2019 云南中考）如图，AB是⊙O的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB•DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED＝．（1）求证：△DEB∽△DAE；（2）求DA，DE的长；（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．【分析】（1）∠D＝∠D，DE2＝DB•DA，即可求解；（2）由，即：，即可求解；（3）在△BED中，过点B作HB⊥ED于点H，36﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，解得：x＝，则cosβ＝＝，即可求解．【解答】解：（1）∵∠D＝∠D，DE2＝DB•DA，∴△DEB∽△DAE；（2）∵△DEB∽△DAE，∴∠DEB＝∠DAE＝α，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又AE＝EF，∴AB＝BF＝10，∴∠BFE＝∠BAE＝α，则BF⊥ED交于点H，∵cos∠BED＝，则BE＝6，AE＝8∴，即：，解得：BD＝，DE＝，则AD＝AB+BD＝，ED＝；（3）点F在B、E、M三点确定的圆上，则BF是该圆的直径，连接MF，∵BF⊥ED，∠BMF＝90°，∴∠MFB＝∠D＝β，在△BED中，过点B作HB⊥ED于点H，设HD＝x，则EH＝﹣x，则36﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，解得：x＝，则cosβ＝＝，则sinβ＝，MB＝BF sinβ＝10×＝，DM＝BD﹣MB＝．7.（2019 浙江杭州中考）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OB sin60°×＝；（2）如图2，连接OC，设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．8.（2019 山东济南中考）（2019•济南）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．【分析】（1）根据半径相等可知∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，再根据对顶角相等和三角形内角和定理证明∠ABD＝∠CAB；（2）连接BC．由CE为⊙O的切线，可得∠OCE＝90°，因为B是OE的中点，得BC＝OB，又OB＝OC，可知△OBC为等边三角形，∠ABC＝60°，所以BC＝AC＝4，即⊙O的半径为4．【解答】解：（1）证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，即∠ABD＝∠CAB；（2）连接BC．∵AB是⊙O的两条直径，∴∠ACB＝90°，∵CE为⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∵B是OE的中点，∴BC＝OB，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝4，∴OB＝4，即⊙O的半径为4．9.（2019•青海）如图，在⊙O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AE⊥CD于点E．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AE＝2，sin∠ADE＝，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA，如图，利用△AOB的中位线得到CD∥OA．则可判断AO⊥AE，即可证得结论；（2）连接OD，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，再在Rt△AED中利用正弦定义计算出AD＝3，接着证明∠OAD＝∠ADE．从而在Rt△OAD中有sin∠OAD＝，设OD＝2x，则OA＝3x，利用勾股定理可计算出AD＝x，从而得到x＝3，然后解方程求出x即可得到⊙O的半径长．【解答】（1）证明：连接OA，如图，∵点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，∵DC∥OA，即EC∥OA，∵AE⊥CD，∴AE⊥AO，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图，∵AD＝CD，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝90°，在Rt△AED中，sin∠ADE＝＝，∴AD＝3，∵CD∥OA，∴∠OAD＝∠ADE．在Rt△OAD中，sin∠OAD＝，设OD＝2x，则OA＝3x，∴AD＝＝x，即x＝3，解得x＝，∴OA＝3x＝，。

圆的方程——教材解读

圆的方程——教材解读

圆的方程——教材解读山东 杨道叶一、知识清点 （一）圆的标准方程 1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=(0)r >，其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

（1）圆的标准方程是利用圆的定义与两点间的距离公式推导出来的； （2）由于方程的右端20r >，故当右端小于0或等于0时不是圆的方程； （3）当圆心为圆点时，方程化为222x y r +=。

2．确定圆方程的条件圆的标准方程中，有三个参数a 、b 、r ，只要求出a 、b 、r ，这时圆的方程就被确定，因此，确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

3．点与圆的位置关系设点00(,)P x y 到圆C ：222()()x a y b r -+-=的圆心C 的距离为d ，则d PC ==。

当d r >，即当22200()()x a y b r -+->时，点P 在圆C 的外部； 当d r <，即当22200()()x a y b r -+-<时，点P 在圆C 的内部； 当d r =，即当22200()()x a y b r -+-=时，点P 在圆C 上。

4．几种特殊位置的圆的方程（二）圆的一般方程1．当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程。

（1）当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为（2）当2240D E F +-=时，方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）当2240D E F +-<时，方程220x y Dx Ey F ++++=不表示任何图形。

2．圆的一般方程形式特点（1）22,x y 的系数相同且不等于零；（2x 和2y 项的系数如果为不是1的非零常数，只需在方程两边除以这个数即可） （2）不含xy 项。

第19讲 函数的表示法(解析版)

第19讲 函数的表示法(解析版)

第19讲函数的表示法【学习目标】函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容，主要对函数的三个表示法进行讲解，重点是实际问题的函数表示法，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习函数的应用提供依据．【基础知识】1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．2、列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．3、图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．4.三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解．【考点剖析】考点一：解析法例1．已知汽车驶出A站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与A站的距离S（km）表示成t（时）的函数．【难度】★【答案】223033S t tæö=+££ç÷èø．【解析】路程=速度×时间，可知汽车行驶路程s与t的关系即为40s t=，由此汽车与A站的距离2333S s t=+=+，本题注意函数自变量取值范围，汽车运动时间为40分，单位换算即为23h，由此可得23t££．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意函数定义域．例2．若某人以每分钟100米速度匀速行走，那么用行走的时间x （分）表示行走的路程y （米）的解析式为______________，这样行走20公里需要__________小时．【难度】★【答案】100y x =，103．【解析】路程=速度×时间，可知行走路程y 与x 的关系即为100y x =，行走20公里，注意单位换算，令100201000x =´，解得200x =，10200min 3h =．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意题目中的单位统一，进行单位换算．例3．已知物体有A 向B 作直线运动，A 与B 之间的距离为20千米，求运动的速度v （千米/时）与所用时间t （小时）的函数解析式．【难度】★【答案】20v t=．【解析】路程=速度×时间，得速度=路程÷时间，即路程一定的情况下，运动速度与运动时间成反比，则运动速度与所用时间关系即为20v t =．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算．例4．两个变量x 、y 满足：(2)(1)3x y -+=，则用变量x 来表示变量y 的解析式为________________．【难度】★★【答案】52xy x -=-．【解析】由(2)(1)3x y -+=，即得312y x +=-，则有35122xy x x -=-=--．【总结】利用等式的性质进行变形即可．例5．若点P （x ，y ）在第二、四象限的角平分线上，则用变量x 来表示变量y 的函数解析式为_______________．【难度】★★【答案】y x =-．【解析】点P （x ，y ）在二、四象限角平分线上，则角平分线与坐标轴夹角即为45°，过点P向坐标轴作垂线，即可得y x =，点在二、四象限，根据象限内点的正负性可知y x =-．【总结】二、四象限的角平分线表示直线y x =-，一、三象限的角平分线表示直线y x =．例6．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米／小时的平均速度用6小时到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米／小时）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回的速度．【难度】★★【答案】（1）480vt=；（2）100/km h．【解析】（1）路程=速度×时间，得速度=路程÷时间，即路程一定的情况下，运动速度与运动时间成反比，根据题意可得返回路程与去的行程相同，即为806480km´=，则运动速度与所用时间关系即为480vt =；（2）令 4.8t=，则有480100/4.8v km h ==．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可求出函数关系，根据题意代值计算即可．例7．收割机的油箱里盛油65kg，使用时，平均每小时耗油6kg（1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？（2）如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？（3）写出油箱里剩下的油y与使用收割机时间t之间的函数关系式？（4）在此函数关系式中，求函数定义域．【难度】★★【答案】（1）41kg；（2）6h；（3）665y t=-+；（4）656t££．【解析】（1）654641kg-´=；（2）3666h¸=；（3）收割机用油量=平均耗油量×工作时间，可知收割机耗油量即为6t，即得剩余油量656y t=-；（4）实际问题中，xy³ìí³î，即得函数定义域为656t££．【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意函数定义域．考点二：列表法例1．两个变量之间的依赖关系用列表来表达的，这种表示函数的方法叫做_______．【难度】★【答案】列表法【总结】考查函数的表示法中列表法的概念．例2．一位学生在乘坐磁悬浮列车从龙阳路站到上海浦东国际机场途中，记录了列车运行速度的变化情况，如下表：时间t（分）01 1.52345 5.5678速度v（千米/时）01462173003003003003002811210根据表中提供的信息回答下列问题：（1）在哪一段时间内列车的速度逐渐加快？（2）在哪一段时间内列车是匀速行驶的？在这一段时间内列车走了多少路程？（3）在哪一段时间内列车的速度逐渐减慢？【难度】★【答案】（1）0~2分钟时间段；（2）2~5.5分钟时间段，列车走了17.5千米；（3）5.5~8分钟时间段．【解析】分析图表可知，自变量是表示的时间t，函数表示的速度v，图表表示的是函数v 和自变量t之间的依赖关系，观察表格可知：（1）速度逐渐加快的是0~2分钟时间段；（2）匀速行驶的是2~5.5分钟时间段，注意单位换算，这段时间持续75.52 3.5min120h -==，列车行程即为730017.5120km´=；（3）速度逐渐减慢的是5.5~8分钟时间段．【总结】考查列表法表示函数关系，考查读表能力，注意观察表格中变量和变量之间的联系．例3．一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下表:所售豆子数量x(千克)00.51 1.52 2.53 3.54售价y(元)012345678(1)上表反映的变量是_____和____，_______是自变量，________是因变量，_____随_____的变化而变化，_____是______的函数．(2)若出售2.5千克豆子，售价应为_____元．(3)根据你的预测，出售_____千克豆子，可得售价21元(4)请写出售价与所售豆子数量的函数关系式________________．【难度】★【答案】（1）x，y，x，y，y，x，y，x；（2）5；（3）10.5；（4）2y x=．【解析】（1）根据变量和函数的相关定义，即可判定x 和y 是变量，其中x 是自变量，y 是因变量，y 随x 的变化而变化，y 是x 的函数；（2）查看上表可知 2.5x =，5y =；（3）根据上表，可知每1kg 豆子的价格应为2元，21元可购得21210.5kg ¸=豆子；（4）依据上表，可知豆子的单价为2元，根据总价=单价×数量，可知售价与所售豆子关系式为：2y x =．【总结】把握相关定义，根据实际问题等量关系可求出函数解析式作出相应判断．例4．按照我国的税法规定，个人所得税的缴纳方法是：月收入不超过3500元，免缴个人所得税；超过3500元不超过5000元，超出部分需缴纳5%的个人所得税；例如下表：月收入（元）30003200360041004500月缴付个人所得税（元）53050试写出月收入在3500元到5000元之间的个人缴纳的所得税y （元）与月收入x （元）之间的函数解析式，并求出月收入为4800元的职工每月需缴纳的个人所得税．（x 为正整数）【难度】★★【答案】()5%3500y x =-，65元．【解析】月收入在3500元到5000元之间，超过3500元，超过部分即为()3500x -元，这一部分要缴纳5%个人所得税，可知缴税额()5%3500y x =-；令4800x =，即得()5%4800350065y =´-=元．【总结】纳税问题，要弄清楚是哪一部分需要缴税，以及对应的缴税比例，各个部分相加即为所应缴税额．例5．一根弹簧不挂重物时长10厘米，当弹簧挂上质量为xkg 的重物时，其长度用y 表示，测得有关的数据如下表：（1）写出弹簧总长度y （cm ）随所挂重物质量x （kg ）变化的关系式；所挂重物的质量x （kg ）1234……弹簧的长度y （cm ）10+0.510+1.010+1.510+2.0……（2）若弹簧所挂重物的质量为10千克，则弹簧的长度是多少？（3）所挂重物的质量为多少千克时，弹簧的长度是18cm？【难度】★★【答案】（1）0.510y x=+；（2）15cm；（3）16kg【解析】（1）根据上表可知弹簧原长，即不挂重物时长度为10cm，随着挂上重物，弹簧伸长的长度与所挂重物质量成正比，重物质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，所挂重物质量xkg，弹簧伸长长度为0.5xcm，弹簧总长度y=弹簧原长+弹簧伸长长度0.510x+；（2）令10x=，0.5101015y cm=´+=；（3）令0.51018x=．y x=+=，解得16【总结】弹簧在弹性形变范围内伸长量与所挂重物质量成正比，注意观察表格，分清弹簧原长和伸长量的变化规律．考点三：图像法例1．填空：1、两个变量之间的依赖关系用图像来表达的，这种表示函数的方法叫做____________；2、_____________、_____________、_____________是表示函数的三种常用方法；【难度】★【答案】1、图像法；2、解析法、列表法、图像法．【总结】考查函数的三种表示方法及相关概念．例2．图中是某水池有水Q立方米与排水时间t小时的函数图像．试根据图像，回答下列问题：（1）抽水前，水池内有水________立方米；（2）抽水10小时后，水池剩水________立方米；（3）剩水400立方米时，已抽水_________小时；（4）写出Q与t的函数关系式______________．【难度】★【答案】（1）1000；（2）750；（3）24；（4）()251000040Q t t =-+££【解析】（1）直线与纵轴交点，即0t =时，1000Q =，可知水池有水31000m ；（2）根据函数图像，40h 正好把水排干，可知每小时排水量为310002540m =，则10小时后剩水量为310002510750m -´=；（3）剩水3400m 时，排水时间为10004002425h -=；（4）每小时排水量为325m ，排干为止，由此可知Q 与t 的函数关系式即为251000Q t =-+，其中0t Q ³ìí³î，即得：040t ££．【总结】考查函数倾斜程度的意义，本题中表示每小时排水量，在作图精确的前提下也可根据函数图像确定对应函数值．例3．已知A 城与B 城相距200千米，一列火车以每小时60千米的速度从A 城驶向B 城，求：（1）火车与B 城的距离S （千米）与行驶的时间t （小时）的函数关系式；（2）t （小时）的取值范围；（3）画出函数的图象．【难度】★【答案】（1）20060S t =-；（2）1003t ££；【解析】（1）根据路程=速度×时间，可知火车驶离A 城的距离即为60tkm ，火车与B 城的距离20060S t =-；（2）根据行程和时间的意义，可知0200600t t ³ìí-³î，即得：t 的取值范围为1003t ££；（3）图像只是其中一部分，注意取值范围．【总结】考查利用一般的等量关系来建立函数关系式解决问题，即把题目中的各个相关量分别列清楚然后进行相应计算．例4．如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：（1）谁走的快？（2）求甲、乙两个函数解析式，并写出自变量的取值范围．（3）当4t =时，甲、乙两人行程差多少？【难度】★【答案】（1）甲；（2）甲：5s t =，乙：103s t =；（3）203km ．【解析】（1）根据甲、乙行程函数图像，可知甲2h 走10km ，乙3h 走10km ，可知105/2v km h ==甲，10/3v km h =乙，可知甲走的快；（2）根据路程=速度×时间，即可知甲的函数解析式为5s t =，乙函数解析式为103s t =，其中自变量取值范围均为0t ³；（3）4t =时，5420s km =´=甲，1040433s km =´=甲，即得甲乙行程差为：40202033km -=．【总结】考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度．例5．小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示，若返回时，上、下坡的速度不变，则小明从学校骑车回家用的时间是多少？【难度】★★【答案】37.2min ．【解析】由图像可知小明上坡速度为3.60.2/min 18km =，下坡速度为9.6 3.60.5/min 3018km -=-，返回时，先走上坡路，上坡时间为9.6 3.630min 0.2-=，后走下坡路，下坡时间为3.67.2min 0.5=，即所用总时间为307.237.2min +=．【总结】考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度，注意返程时上坡变下坡，下坡变上坡．例6．为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x （单位：千瓦时）与应付电费y （单位：元)的关系如图所示．（1）根据图像，请求出当050x ££时，y 与x 的函数关系式．（2）请回答：①若每月用电量不超过50千瓦时，收费标准是多少?②若每月用电量超过50千瓦时，收费标准是多少?【难度】★★【答案】（1）0.5y x =；（2）①0.5元/千瓦时；②0.9元/千瓦时．【解析】（1）050x ££时，y 与x 是正比例关系，过点()5025，，由此可得：0.5y x =；（2）①用电不超过50千瓦时，收费标准为250.550=元/千瓦时；②用电超过50千瓦时，收费标准为70250.910050-=-元/千瓦时．【总结】考查分段计费函数中直线倾斜程度的意义，本题中表示电费单价．例7．甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程S（千米）关于时间t（分钟）的函数图像如图所示；乙慢跑所行的路程S（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为1(060)12S t t=££．（1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像；（2）甲修车后行驶的速度是每分钟_________千米；（3）甲、乙两人在出发后，中途_________分钟时相遇．【难度】★★【答案】（1）虚线图像即为所求；（2）320；（3）24．【解析】（1）函数图像是一条经过原点的直线，终点与甲相同，即如图所示虚线图像；（2）甲修车后20min行驶523km-=，即得甲速度为3/min 20km；（3）由图像可知甲骑自行车速度较快，甲乙在甲修车期间相遇，即此时乙的行程为2km，令2s=，即得24t=．【总结】考查解读函数图像的能力，同时考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度，倾斜程度变化即速度发生变化．例8．汽车由天津驶往相距120千米的北京，S（千米）表示汽车离开天津的距离，t（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示（1）汽车用几小时可到达北京？速度是多少？（2）汽车行驶1小时，离开天津有多远？（3）当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？【难度】★★【答案】（1）4h，30/km h；（2）30km；（3）103h．【解析】（1）由图像可知汽车4h行驶120km，即到达北京，汽车速度为120430/km h¸=；（2）汽车速度为30/km h，即得行程与时间函数关系式为30s t=，令1t=，得30s=；（3）距北京20km，即行程为12020100km-=，令100s=，解得103t=．【总结】考查函数图像倾斜程度的意义，本题表示汽车速度．例9．一农民带了若干千克土豆进城销售，为了方便他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数x与手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系式如下图所示，结合图像解答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前每千克土豆的出售价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆售完，这时他手里的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？【难度】★★【答案】（1）5元；（2）0.5/kg 元；（3）45kg ．【解析】（1）由函数图像可知，未售出土豆时，农民身上有5元钱，即自带了5元零钱；（2）降价前，农民卖出30千克土豆，身上的钱增加到20元，即卖得20515-=元，由此可得土豆单价为1530¸=0.5/kg 元；（3）最终农民身上有26元，即可得降价后土豆卖得26206-=元，则降价的土豆数量为60.415kg ¸=，则农民带的土豆总量为301545kg +=．【总结】考查函数图像倾斜程度的意义，本题表示土豆单价，同时考查分段函数的计算．【过关检测】一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数1y k x =和2k y x=（120k k <且12k k <）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据反比例函数图象、正比例函数图象分析解答．【详解】由条件12120k k k k <<、可知，12 0,0k k <>，当1 0k <时1y k x =的图像经过第二、四象限，当20k >时2k y x=的图像经过第一、三象限，故选B ．【点睛】本题考查反比例函数图象、正比例函数图象的特征，熟记图象与比例系数k 的关系．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一水池蓄水20 m 3，打开阀门后每小时流出5 m 3，放水后池内剩余的水量Q(m 3)与放水时间t(时)的函数关系用图象表示为( )A ．（A ）B ．（B ）C ．（C ）D ．（D ）【答案】D 【分析】由生活经验可知：水池里的水，打开阀门后，会随着时间的延续，而随着减少．池内剩下的水的立方数Q （m 3）与放水时间t （时）都应该是非负数．由此即可解答.【详解】选项A ，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q（m 3）随着放水时间t （时）的延续而增长，选项A 错误；选项B ，图象显示，打开阀门后池内剩下的水的立方数Q 的量不变，选项B 错误；选项C ，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q（m 3）随着放水时间t （时）的延续而减少，但是，池中原有的蓄水量超出了20 m 3，选项C 错误；选项D ，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q（m 3）随着放水时间t （时）的延续而减少，选项D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象，根据实际情况确定图象是解题的基本思路．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）某次物理实验中，测得变量V 和m 的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（ ）m 123456V2.41 4.910.3317.2125.9337.02A ．21V m =+B ．2V m =C ．31V m =-D ．2V m=．【答案】A 【分析】观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出与之相近的关系式．【详解】解：有四组数据可找出规律，2.41-1=1.41，接近12；4.9-1=3.9，接近22；10.33-1=9.33，接近32；17.21-1=16.21，接近42；25.93-1=24.93，接近52；37.02-1=36.02，接近62；故m与v之间的关系最接近于v=m2+1．故选：A．【点睛】本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的律，然后再答案中找出与之相近的关系式．二、填空题4．（2018·上海八年级期末）已知函数f（x）=，那么f（0）=_____．【答案】﹣．【分析】把x=0代入函数解析式进行计算即可得解．【详解】f(0)==﹣故答案为：﹣.【点睛】本题考查了函数值的知识，将自变量的取值代入函数解析式即可求得答案．5．（2017·上海市青浦区金泽中学八年级期末）如果f（x）＝2x2﹣1，那么f_____．【答案】9．【分析】把自变量【详解】将x代入f（x）＝2x2﹣1得：f2×5﹣1＝9，故答案为：9．【点睛】本题考查函数值，二次根式的化简求值.6．（2019·上海八年级课时练习）把2x﹣y=3写成y是x的函数的形式为 _________ ．【答案】y=2x﹣3【分析】通过移项即可将其变为y是x的函数的形式.【详解】解：2x﹣y=3，移项得y=2x﹣3.故答案为：y=2x﹣3.【点睛】本题主要考查函数的一般形式.y=kx+b （k≠0)是一次函数的解析式，图像是一条直线，斜率是k ，截距是b.7．（2018·上海市闵行区上虹中学）已知常值函数f(x)=3.那么f(7)=_____.【答案】3.【分析】根据常值函数的意义，即可得到答案.【详解】解：∵f(x)是常值函数，且f(x)=3，∴f(7)=3；故答案为：3.【点睛】本题考查了常值函数的意义，解题的关键是掌握常值函数的意义，无论x 取何值，函数值都是3.8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，某港湾某日受台风“默沙”的影响，其风力变化记录如图，根据图像完成下列各题．（1）风力持续增强了______小时．（2）风力最高达到_______ 级．（3）风力从_______点开始明显减弱．【答案】20 12 20【分析】根据图象进行解答即可．【详解】由图象可知，从0点到20点图象呈上升趋势，在20点达到最高，然后图象开始下降，∴风力持续增强了20小时，最高达到12级，从20点开始明显下降．故答案为：20；12；20．【点睛】本题考查了变量之间的关系-图象法，读懂图象是解题的关键．9．（2017·上海）当x_________有意义．【答案】≤1【解析】∴10x -³，解得，1x £.故答案为：≤1.10．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）已知函数f （x ）＝1x x -，则f）＝_____．【答案】【分析】将x =【详解】解：∵f （x ）＝1x x -，∴f，故答案为：．【点睛】本题考查求函数值，及分母有理化，理解求函数值的方法及分母有理化是解题关键．11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数2y ax =的部分对应值如下表：x…1-012…y …202b…根据表格回答：（1）a =_________，b = ________；（2）函数的解析式为 _________，定义域是 ________；（3）请再举一些对应值，猜测该函数的图像关于________轴对称．【答案】2 8 22y x = 一切实数 y【分析】（1）把x=-1，y=2代入2y ax =，得a=2，可得22y x =，把x=2，y=b 代入22y x =中，得b=8；（2）由（1）可得函数解析式，定义域是一切实数；（3）当x=-2，x=-3，x=3时，分别计算出对应的y 值，然后观察数据即可得到结论．【详解】（1）把x=-1，y=2代入2y ax =，得a=2，∴函数解析式为：22y x =，把x=2，y=b 代入22y x =中，得b=8，故答案为：a=2，b=8．（2）函数的解析式为22y x =，定义域是一切实数，故答案为：22y x =，一切实数．（3）当x=-2时，y=8；当x=-3时，y=18；当x=3时，y=18；可得该函数的图像关于y 轴对称．故答案为：y ．【点睛】本题主要考查了二次函数2y ax =的图象和性质，熟练掌握其图象和性质是解题的关键．三、解答题12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）“十一”黄金周的某一天，小王全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到“番茄农庄”游玩，小汽车离家的距离s （千米）与小汽车离家后时间t （时）的关系可以用图中的折线表示，根据图像提供的有关信息，解答下列问题：（1）“番茄农庄”离家________千米；（2）小王全家在“番茄农庄”游玩了________小时；（3）去时小汽车的平均速度是________千米/小时；（4）回家时小汽车的平均速度是________千米/小时.【答案】（1）180；（2）4；（3）90；（4）60【分析】（1）根据s 轴上的最高点即可确定答案；（2）根据s 轴上不变的时间即可解答；（3）根据去时路程除以去的时间即得答案；（4）根据图象上14-15时所走的路程解答即可.【详解】解：（1）由图可知：“番茄农庄”离家180千米；（2）14－10=4小时，所以小王全家在“番茄农庄”游玩了4小时；（3）()18010890¸-=千米/小时，所以去时小汽车的平均速度是90千米/小时；（4）由图象可得：14-15时，汽车行驶了（180－120）=60千米，所以回家时小汽车的平均速度是60千米/小时.故答案为：180；4；90；60.【点睛】本题考查了函数的图象，读懂图象提供的信息、正确理解横、纵坐标的含义是解题的关键.13．（2018·上海市西南模范中学八年级月考）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y （升）与行驶路程x （千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求y 关于x 的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【答案】（1）该一次函数解析式为y=﹣110x+60．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案.【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b ，将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b 中，得1504560k b b +=ìí=î，解得：11060k b ì=-ïíï=î，∴该一次函数解析式为y=﹣110x+60；（2）当y=﹣110x+60=8时，解得x=520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530﹣520=10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米，∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键.。

学圆与方程圆的一般方程

学圆与方程圆的一般方程

《学圆与方程圆的一般方程》xx年xx月xx日•圆的定义与性质•圆的一般方程的表达式•学圆的方程解法•圆的一般方程的几何意义目•圆的一般方程的应用•学习圆的方程和一般方程的感受和收获录01圆的定义与性质圆定义为平面上到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合。

圆是一种几何图形，具有旋转对称性。

圆的定义圆的内部具有紧致性和均匀性。

圆上任意两点间的最短距离为直径。

圆是所有平面图形中最特殊的，因为它是一个连续的、封闭的曲线。

圆的基本性质圆的一般方程圆的一般方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。

通过确定D、E、F的值，可以描述不同圆的位置和大小。

当D²+E²-4F>0时，方程表示一个圆；当D²+E²-4F=0时，方程表示一个点；当D²+E²-4F<0时，方程表示一个椭圆。

02圆的一般方程的表达式圆的一般方程的表达式$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$圆的一般方程的表达式，其中D、E、F为常数，表示在直角坐标系中，圆心在$( - \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})$，半径为$\frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$。

圆心坐标和半径根据圆的一般方程表达式，可以计算出圆的圆心坐标$( - \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})$和半径$\frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$。

将标准方程中的$x^{2}+y^{2}$提取出来得到$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$，其中D、E、F为常数。

将标准方程中的圆心坐标$(x_{0},y_{0})$和半径$r$代入一般方程中得到$x^{2}+y^{2}+(x_{0}+D)x+(y_{0}+E)y+F=0$，化简得到一般方程。

圆的一般方程的表达式推导普遍性圆的一般方程可以表示任意位置的圆，不仅仅局限于平面直角坐标系中的圆。

21 圆的方程(解析版)

21 圆的方程(解析版)

2021-2022学年高二数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019选择性必修第一册）1.圆圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径2.圆的标准方程方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.（r >0）叫作以点（a,b ）,r 为半径的圆的标准方程。

3.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M 在圆上|CM |＝r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2点M 在圆外|CM |>r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2点M 在圆内|CM |<r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r2判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．方法求圆的方程(1)已知圆心坐标和半径大小可直接代人求得圆的标准性方程求圆的一般方程，只需用待定系数法求出D,E,F 三个系数即可.由此可知，确定一个圆的方程需要三个独立的条件.(2)用待定系数法求圆的方程的大致步骤:①根据题意，选择标准方程或一般方程.②根据条件列出关于a,b,r 或D,E,F 的方程组、③解出a,b,r 或D,E,F,代人标准方程或一-般方程例题1过直线1y x =+上的点P 作圆()()22:211C x y -++=的两条切线1l ，2l ，若直线1l ，2l 关于直线1y x =+对称，则PC =（）．A 2B ．22C ．32D ．42【答案】B 【分析】由两条切线关于1y x =+对称可确定PC 与1y x =+垂直，可知所求即为圆心C 到直线1y x =+的距离，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】若直线12,l l 关于直线1y x =+对称，则两直线12,l l 与直线1y x =+的夹角相等，则PC 与1y x =+垂直，∴PC 等于圆心()2,1C -到直线1y x =+的距离，即()21122PC --+=．故选：B.【点睛】本题解题关键是能够根据两条切线关于1y x =+对称确定PC 与对称轴垂直，由此将所求距离转化为圆心到直线的距离.例题2点M 为圆()()22:211C x y +++=上任意一点，直线()()131225x y λλλ+++=+过定点P ，则MP 的最大值为（）A ．23B 13C ．231D 131【答案】D 【分析】由直线方程可构造方程组求得定点P ，由圆的方程确定圆心C 坐标和半径r ，则max MP CP r =+.【详解】整理直线方程得：()()23250x y x y λ+-++-=，由203250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得：11x y =⎧⎨=⎩，()1,1P ∴，由圆的方程知圆心()2,1C --，半径1r =，()()22max 21111131MP CP r ∴=+=--+--+=.故选：D.【点睛】结论点睛：若圆心与圆外一点间距离为d ，圆的半径为r ，则圆外一点到圆上的点的距离最大值为d r +，最小值为d r -.训练1在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2214x y -+=，若直线l ：0x y m ++=上有且只有一个点P 满足：过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（）A ．1B ．C ．3D ．7【答案】C 【分析】根据四边形PMCN 为正方形可得=PC C 到直线l 的距离为.【详解】由()2214x y -+=可知圆心(1,0)C ，半径为2，因为四边形PMCN 为正方形，且边长为圆C 的半径2，所以=PC所以直线l ：0x y m ++=上有且只有一个点P ，使得=PC PC ⊥l ，所以圆心C 到直线l 的距离为=3m =或5m =-（舍）.故选：C【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心C 到直线l 的距离为.训练2圆()2211x y -+=的圆心到直线y =的距离是（）A ．12B C ．1D 【答案】B【分析】求得圆心，利用点到直线距离公式计算出正确选项.【详解】圆心坐标为()1,00y -=，=故选：B例题1若方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆取得最大面积，则直线()12y k x =-+的倾斜角α等于（）A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A【分析】将圆的方程转化为标准方程得到半径22314k r =-，再根据圆取得最大面积时求得k 即可.【详解】方程22220x y kx y k ++++=的标准方程为：()22231124k k x y ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，则22314k r =-，当所表示的圆取得最大面积时，0k =，此时1r =，则直线()12y k x =-+为2y x =-+，所以tan 1α=-，因为[0,180)α∈ ，所以135α=︒故选：A【点睛】考查圆的一般方程与标准方程的转化以及圆的最大面积问题例题2已知圆C 经过两点(0,2)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线:230l x y --=上，则圆C 的方程为（）A ．226160x y y +--=B ．222280x y x y +-+-=C ．226680x y x y +--+=D ．2222560x y x y +-+-=【答案】C 【分析】先求出线段AB 的垂直平分线，利用弦的垂直平分线的交点是圆心即可得到圆心坐标，再算出圆心与A 点的距离即半径，即可得到圆的标准方程，从而得到一般方程.【详解】因为线段AB 的中点坐标为(2,4)，直线AB 的斜率为62140-=-，所以线段AB 的垂直平分线方程为4(2)y x -=--，即6y x =-与直线l 方程联立，得圆心坐标为(3,3).又圆的半径r ==，所以，圆C 的方程为22(3)(3)10x y -+-=，即226680x y x y +--+=.故选：C.【点睛】考查圆的方程以及直线与圆的位置关系.训练1圆心为()1,1-且过原点的圆的一般方程是A ．222210x y x y ++-+=B ．222210x y x y +-++=C ．22220x y x y ++-=D ．22220x y x y +-+=【答案】D【分析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程．【详解】根据题意，要求圆的圆心为(1,1)-，且过原点，且其半径r ==则其标准方程为22(1)(1)2x y -++=，变形可得其一般方程是22220x y x y +-+=，故选D ．【点睛】考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程．训练2圆222660x y x y +-++=的圆心和半径分别为A ．圆心()1,3，半径为2B ．圆心()1,3-，半径为2C ．圆心()1,3-，半径为4D ．圆心()1,3-，半径为4【答案】B 【分析】将圆的一般式化成标准方程，即可得到圆心和半径．【详解】将222660x y x y +-++=配方得()()22134x y -++=所以圆心为()1,3-，半径为2所以选B【点睛】考查了圆的一般方程与标准方程的转化．一、单选题1．两个点()2,4M -、()2,1N -与圆22:2440C x y x y +-+-=的位置关系是（）A ．点M 在圆C 外，点N 在圆C 外B ．点M 在圆C 内，点N 在圆C 内C ．点M 在圆C 外，点N 在圆C 内D ．点M 在圆C 内，点N 在圆C 外【答案】D【分析】本题可将点M 、N 代入方程左边，通过得出的值与0的大小关系即可判断出结果.【详解】将()2,4M -代入方程左边得()()22242244440+--´+´--=-<，则点M 在圆C 内，将()2,1N -代入方程左边得()()2221224490-+-´-+-=>，则点N 在圆C 外，故选：D.2．若圆C 的圆心坐标为(0,0)，且圆C 经过点(3,4)M ，则圆C 的半径为（）．A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】根据根据圆心到圆上点距离求半径.【详解】圆C 的半径为||5CM =．故选：A【点睛】考查圆半径3．若直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，则a =A ．9B ．-9C ．1D ．-1【答案】B【分析】直线平分圆周长，说明直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程可得.【详解】因为直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，所以直线250x y a -+=经过该圆的圆心()2,1-，则()22510a ⨯-⨯-+=，即9a =-.选B.【点睛】考查圆的一般方程.4．经过点A 和(2,B -，且圆心在x 轴上的圆的一般方程为（）A ．2260x y y +-=B ．2260x y y ++=C ．2260x y x ++=D ．2260x y x +-=【答案】D【分析】设圆的一般式方程，由圆心在x 轴上，可得圆心纵坐标为0，再将两点坐标代入方程，即可得圆的标准方程.【详解】设圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，因为圆心在x 轴上，所以02E-=，即0E =．又圆经过点A 和(2B -，，所以222210,2(20,D FD F ⎧+++=⎪⎨+-++=⎪⎩即60,2120,D F D F ++=⎧⎨++=⎩解得6,0.D F =-⎧⎨=⎩故所求圆的一般方程为2260x y x +-=．故选：D【点睛】考查了待定系数法求圆标准方程.5．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是A ．2280x y x y +---=B ．2290x y x y +---=C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=【答案】A【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点，根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==，又||2AB r =，所以圆的标准方程为：221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=，所以本题答案为A.【点睛】考查待定系数法求圆的方程.6．圆()()22232x y -++=的圆心和半径分别是（）A ．()2,3,1-B ．()2,3,3-C ．()2,3-D ．()2,3-【答案】D【分析】直接根据圆标准方程的几何性质求解即可.【详解】圆的标准方程为()()2232x y -++=，∴圆的圆心坐标和半径长分别是()2,3-，故选D.【点睛】考查圆的标准方程应用.7．点2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（）．A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定【答案】A 【详解】将点2(,5)m 代入圆方程，得42524m +>．故点在圆外，选A ．8．圆22(1)(3)2x y ++-=的一般方程是（）A ．226x y +=B ．2280x y ++=C ．222860x y x y +-++=D ．222680x y x y ++-+=【答案】D 【分析】将圆的标准方程展开可得圆的一般方程.【详解】将圆22(1)(3)2x y ++-=展开整理可得圆的一般方程是222680x y x y ++-+=．故选：D.【点睛】考查将圆的标准方程化为一般方程，属于基础题.二、填空题9．圆心在0x y +=上，且与x 轴交于点(3,0)A -和(1,0)B 的圆的方程为__.【答案】22(1)(1)5x y ++-=【分析】根据题意，由圆与x 轴的交点可得圆心在直线1x =-上，由此求出圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，分析可得答案.【详解】解：根据题意，要求圆与x 轴交于点(3,0)A -和(1,0)B ，则其圆心在直线1x =-上，又由要求圆的圆心在0x y +=上，则圆的圆心为(1,1)-，半径为r ，则r ==，故要求圆的方程为22(1)(1)5x y ++-=.故答案为：22(1)(1)5x y ++-=.【点睛】考查圆的标准方程，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题.10．已知圆Ω过点A （5，1），B （5，3），C （﹣1，1），则圆Ω的圆心到直线l ：x ﹣2y +1＝0的距离为_____．【分析】求得线段AB 和线段BC 的垂直平分线，求这两条垂直平分线的交点即求得圆的圆心，在求的圆心到直线l 的距离.【详解】∵A （5，1），B （5，3），C （﹣1，1），∴AB 的中点坐标为（5，2），则AB 的垂直平分线方程为y ＝2；BC 的中点坐标为（2，2），()311513BC k -==--，则BC 的垂直平分线方程为y ﹣2＝﹣3（x ﹣2），即3x +y ﹣8＝0．联立2380y x y =⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩．∴圆Ω的圆心为Ω（2，2），则圆Ω的圆心到直线l ：x ﹣2y +1＝0的距离为d =【点睛】考查根据圆上3点的坐标求圆心坐标，考查点到直线的距离公式.11．在平面直角坐标系中，圆的方程为222610x y x y ++++=，该圆的周长为__________.【答案】6π【分析】把一般方程改写成标准方程后可求其半径，从而可求周长．【详解】由题设可得圆的标准方程为：()()22139x y +++=，所以圆的半径为3R =，故周长为26R ππ=．故答案为：6π．【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，注意圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=中，2240D E F +->，本题属于基础题．三、解答题12．如图，已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y --=，(2,0)M 满足BM MC = ，点(1,1)T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅= .（1）求AC 边所在直线的方程；（2）求ABC ∆外接圆的方程；【答案】（1）320x y ++=；（2）22(2)8x y -+=.【分析】（1）由0AT AB ⋅= ，得到ABC 为Rt ABC ，结合直线AB 的方程，求得直线AC 的斜率，进而求得AC 边所在直线的方程；（2）由（1）AC 边所在直线的方程为320x y ++=，联立方程组求得(0,2)A -，根据BM MC = ，得到M 为ABC 外接圆的圆心，进而求得圆的标准方程.【详解】（1）由0AT AB ⋅= ，可得AT AB ⊥，又由T 在AC 上，所以AC AB ⊥，所以ABC 为Rt ABC ，因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，斜率为13AB k =,所以直线AC 的斜率为3AC k =-，又因为点(1,1)T -在直线AB 上，所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.（2）由（1）AC 边所在直线的方程为320x y ++=，联立方程组360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得(0,2)A -，因为BM MC = ，所以(2,0)M 为Rt ABC 斜边上的中点，即为ABC 外接圆的圆心，又由||r AM ===，所以ABC 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.13．已知()2,0A ，()3,3B ，()1,1C -.（1）求点A 到直线BC 的距离；（2）求ABC 的外接圆的方程.【答案】（1（2）22240x y x y +--=.【分析】（1）由()3,3B ，()1,1C -可求出直线方程，利用点到直线的距离求解；（2）设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，利用三点坐标求解.【详解】（1）()311312BC k -==--，由()1112y x -=+得直线BC 的方程为230x y -+=.所以点A 到直线BC的距离d ==（2）设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意，得()2222222020033330110D E F D E F D E F ⎧++++=⎪⎪++++=⎨⎪-+-++=⎪⎩解得240D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩即ABC 的外接圆的方程为22240x y x y +--=.14．已知△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点分别是D (5，3)，E (4，2)，F (1，1).（1）求△ABC 的边AB 所在直线的方程及点A 的坐标；（2）求△ABC 的外接圆的方程.【答案】（1）x ﹣y =0，(0,0)（2）(x ﹣8)2+(y +6)2=100【分析】（1）设,,A B C 坐标，由中点坐标公式列出方程，可求出,,A B C 坐标，进而取出直线AB 方程；（2）分别求出,AB AC 的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为ABC ∆外接圆圆心坐标，求出半径，可得出结论.【详解】（1）设A (x ，y )，B (a ，b )，C (m ，n )，则8410622x m y n a m b n x a y b +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨+=⎪⎪+=⎪+=⎩.解得028,,024x a y b n π===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩,∴A (0，0)，B (2，2)，C (8，4).∴边AB 所在直线的方程:x ﹣y =0.（2）由（1）得AB 的垂直平分线方程为2y x =-+，AC 的垂直平分线方程为210y x =-+，联立2210y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，解得86x y =⎧⎨=-⎩，所以ABC ∆的外接圆的圆心(8,6)P -，半径为||10PA ==，∴△ABC 的外接圆方程为(x ﹣8)2+(y +6)2=100.【点睛】考查线段中点坐标的应用，考查圆的标准方程，掌握应用垂径定理确定圆心，属于基础题.15．平面直角坐标系xOy 中，已知()10A -，，()21B ，，在ABC ∆中，AC 边上的中线所在直线的方程为1y =，BC 边上的高所在的直线斜率为12．（1）求直线BC 的方程；（2）求以AC 为直径的圆的标准方程．【答案】（1）250x y +-=；（2）22141()(1)416x y -+-=【分析】（1）根据BC 边上的高的斜率为12，可得直线BC 的斜率，再利用点斜式方程，求得直线BC 的方程；（2）求出点C 的坐标，再求,A C 的中点坐标，即为圆心坐标，再利用两点间距离公式求半径，进而得到圆的标准方程.【详解】（1）因为BC 边上的高的斜率为12，所以直线BC 的斜率2-，因为()21B ，，所以直线BC 的方程为12(2)y x -=--，即250x y +-=.（2）设00(,)C x y ，因为AC 边上的中线所在直线的方程为1y =，所以000122y y +=⇒=，由（1）得直线BC 的方程为250x y +-=，所以00032502x y x +-=⇒=，则3(,2)2C ，所以圆心O 为AC 的中点，即1(,1)4O ，半径222141(1)1416r =++=，所以圆的方程：22141()(1)416x y -+-=.【点睛】考查直线的方程、圆的标准方程求.16．已知圆过两点()1,4A 、()3,2B ，且圆心在直线0y =上.（1）求圆的标准方程；（2）判断点()2,4P 与圆的关系.【答案】（1）()22120x y ++=；（2）点P 在圆外.【分析】（1）求出圆心和半径，即可求圆C 的方程；（2）根据点()2,4P 与圆C 的位置关系，即可得到结论.【详解】（1） 圆心在直线0y =上，∴设圆心坐标为(),0C a ，则AC BC =，即()()2211634a a -+=-+，解得1a =-，即圆心为()1,0-，半径r AC ====则圆的标准方程为()22120x y ++=（2）PC = ==5=r >∴点()2,4P 在圆的外面.【点睛】考查（1）圆的标准方程求解（2）判断一点是否在圆上.。

2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第19讲圆与圆的位置关系(解析版)

2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第19讲圆与圆的位置关系(解析版)

第19讲 圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系知识一、圆与圆的位置关系图5 图4 图3 图2 图1外离：图1中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离． 外切：图2中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．相交：图3中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．内切：图4中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．内含：图5中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含．当两个圆心重合时，称它们为同心圆．综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含．两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相切．2.相关概念圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距．连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线．3.两圆位置关系的数量表达如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+； 两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．题型一、判断位置关系【例1】（1）若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程4x 2﹣20x+21=0的两个实数根，则这两个圆的位置关系是_____．【答案】内含【解析】解：∵4x 2﹣20x+21=0，∵（2x ﹣3）（2x ﹣7）=0，解得：x 1=1.5，x 2=3.5，∵两圆的半径分别是1.5，3.5，∵两圆的圆心距等于1.5，∵这两个圆的位置关系是：内含．故答案为内含．（2）已知点()4,0A ，()0,3B ，如果∵A 的半径为2，∵B 的半径为7，那么∵A 与∵B 的位置关系（ ） A ．内切B ．外切C ．内含D ．外离【答案】A【解析】题型探究解：∵点A（4，0），B，0，3），∵AB=2243+=5，∵∵A与∵B的半径分别为：2与7，∵半径差为：7-2=5，∵这两圆的位置关系是：内切．故选：A．（3）在Rt∵ABC中，∵B＝90°，BC＝3，4cos5A=，以点A为圆心，5为半径作圆，再以点C为圆心，2为半径作圆，那么这两圆的位置关系是_____．【答案】外离【解析】解：如图，∵∵B＝90°，4cos5ABAAC==，∵设AB＝4x，AC＝5x，∵BC＝3x，∵3x＝3，解得x＝1，∵AC＝5，∵53<，∵255+<，∵以点A为圆心，5为半径作圆和以点C为圆心，2为半径作圆相外离．故答案为外离．题型二、根据位置关系求r【例2】（1）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d ，若两圆没有交点，则d 的取值范围是___________【答案】02d ≤<或8d >． 【解析】 解：两圆相离有两种情况：内含时圆心距大于等于0，且小于半径之差，故02d ≤<；外离时圆心距大于半径之和，故8d >，所以d 的取值范围是02d ≤<或8d >．故答案为：02d ≤<或8d >．（2）已知两圆半径分别为3和7，圆心距为d ，若两圆相离，则d 的取值范围是______________．【答案】04d ≤<或10d > 【解析】 解：两圆相离有两种情况：内含时圆心距大于等于0，且小于半径之差，故04d ≤<；外离时圆心距大于半径之和，故10d >.所以d 的取值范围是04d ≤<或10d >.（3）已知∵1O 和∵2O 的半径长分别为3和4，若∵1O 和∵2O 内切，那么圆心距12O O 的长等于______．【答案】1 【解析】∵∵1O 和∵2O 内切，∵圆心距12O O 为：4-3=1，故答案为：1．（4）如图，已知扇形AOB 的半径为12，OA OB ⊥，C 为OA 上一点，以AC 为直径的半圆1O 和以OB 为直径的半圆2O 相切，求半圆1O 的半径.【答案】半圆1O 的半径为4. 【解析】解：连接12O O ，设两圆半径分别为1r 、2r ，可知：26=r.∵半圆1O 和半圆2O 外切，∵121216O O r r r =+=+.∵1112OO r =-，∵在12Rt O OO ∆中，2221212O O OO OO =+，∵()()222116126r r +=-+，解得14r =，.∵半圆1O 的半径为4.题型三、求圆心距【例3】已知两圆的半径分别为1和3．若两圆相切，则两圆的圆心距为________．【答案】4或2 【解析】解：∵两圆的半径分别为1和3，若两圆内切，则两圆的圆心距为：3-1=2；若两圆外切，则两圆的圆心距为：3+1=4；∵两圆的圆心距为4或2．故答案为4或2．【例4】如图，已知A 、B 和C 两两外切，AB = 5厘米，BC = 6厘米，AC = 7厘米，求这三个圆的半径．【答案】3A R cm =，2B R cm =，4C R cm =．A BC【解析】∵A 、B 和C 两两外切，AB = 5厘米，BC = 6厘米，AC = 7厘米，∵567A B B C A C R R R R R R +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得324A B CR R R =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∵这三个圆的半径分别是3A R cm =，2B R cm =，4C R cm =． 举一反三1．已知A 与B 的半径分别是6和8，圆心距2AB =，那么A 与B 的位置关系是（ ） A ．相交B ．内切C ．外切D ．内含【答案】B 【解析】 A 与B 的半径分别是6和8，圆心距2AB =，又8-6=2AB = ∴A 与B 的位置关系是内切，故选:B ．2．如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）A ．内含B ．内切C ．外切D ．相交【答案】C 【解析】解：∵一个圆的半径R 为4，另一个圆的半径r 大于1，∵R ﹣r ＜4﹣1，R+r ＞5即：R ﹣r ＜3，∵圆心距为3，∵两圆不可能外切，故选：C ．3. 已知∵A 的半径AB 长是5，点C 在AB 上，且3AC =，如果∵C 与∵A 有公共点，那么∵C 的半径长r 的取值范围是（ ）A ．2r ≥B ．8r ≤C ．28r <<D ．28r ≤≤【答案】D 【解析】解：∵∵A 的半径AB 长是5，点C 在AB 上，且3AC =，∵点C 到∵A 的最大距离为8，最小距离为2，∵∵C 与∵A 有公共点，∵28r ≤≤．故选D ．4.如果1O 和2 O 内含，圆心距12 4O O =，1O 的半径长是6，那么2 O 的半径r 的取值范围是（ ）． A ．02r <<B ．24r <<C ．10r >D ．02r <<或10r >【答案】D 【解析】 根据题意得：1206OO r ≤<-，0r >∵124O O = ∵46r <-∵64r ->或64r -<-∵02r <<或10r >∵2O 的半径r 的取值范围是：02r <<或10r >故选：D ．5．如图，∵MON =30°，p 是∵MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Θ相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A【解析】 过点Q 作QA∵AN 于A ，过点P 作PB∵ON 于B ，∵PQ∵ON ，∵PQ∵PB ，∵∵QAB=∵QPB=∵PBA=90°， ∵四边形ABPQ 是矩形，∵QA=PB=4，∵∵MON=30°，∵OQ=2QA=8，∵OP平分∵MON，PQ∵ON，∵∵QOP=∵PON=∵QPO，∵PQ=OQ=8，当以Q为圆心半径为r的圆与PΘ相外切时，r=8-4=4，当以Q为圆心半径为r的圆与PΘ相内切时，r=8+4=12，∵以Q为圆心半径为r的圆与PΘ相交，4<r<12，故选：A.6.半径分别为1和5的两个圆相交，它们的圆心距可以是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】∵半径分别为1和5的两圆相交，∵此时两圆的圆心距为：5−1<d<5+1，∵4<d<6.4个选项中只有C在这个范围内.故选C.7.已知两圆相离，半径分别为2cm、3cm，则两圆圆心距d范围为_____．【答案】d＞5或0≤d＜1．【解析】∵两圆半径分别为2cm和3cm，两圆相离，∵它们的圆心距d满足：d＞5或0≤d＜1，故答案为：d＞5或0≤d＜1．8．如图，已知Q是∵BAC的边AC上一点，AQ＝15，cot∵BAC＝34，点P是射线AB上一点，联结PQ，∵O经过点A且与QP相切于点P，与边AC相交于另一点D．（1）当圆心O在射线AB上时，求∵O的半径；（2）当圆心O到直线AB的距离为34时，求线段AP的长；（3）试讨论以线段PQ长为半径的∵P与∵O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．【答案】（1）92；（2）393173）当∵O与∵P内含时，0＜AP＜12．当∵O与∵P内切时，AP＝12．当∵O与∵P相交时，12＜AP＜18【解析】解：（1）如图，∵点O在P A上，PQ是∵O的切线，∵PQ∵AP，∵cot∵P AQ＝APPQ ＝34，∵可以假设P A＝3k，PQ＝4k，则AQ＝5k＝15，∵k＝3，∵P A＝9，PQ＝12，∵∵O的半径为92．（2）如图，当点O在射线AB的上方时，过点Q作QK∵AB于K，过点O作OH∵AB于H．∵PQ是∵O的切线，∵∵PHO＝∵OPQ＝∵PKQ＝90°，∵∵OPH+∵QPK＝90°，∵QPK+∵PQK＝90°，∵∵PHO∵∵QKP，∵PH OH QK PK=设P A＝2m，则AH＝PH＝m，PK＝9﹣2m，∵34 1292 mm=-解得，m＝32或﹣3，经检验，x＝32是分式方程的解，且符合题意．∵AP＝3．如图，当点O在射线AB的下方时，同法可得AP＝93172+．综上所述，满足条件的AP的值为3或93172+．（3）如图，当∵P与∵O内切时，由∵PHO∵∵QKP，可得12 OP PHPQ QK==,∵OH∵AP，∵AH＝PH，∵AP＝2PH，QK＝2PH，∵P A＝QK＝12，如图，当∵O与AC相切于点A时，∵∵OAQ＝∵OPQ＝90°，OQ＝OQ，OA＝OP，∵Rt∵OAQ∵Rt∵OPQ（HL），∵AQ＝PQ，∵OA＝OP，∵OQ垂直平分线段AP ，∵AP＝2AH＝18，观察图像可知：当∵O与∵P内含时，0＜AP＜12．当∵O与∵P内切时，AP＝12．当∵O与∵P相交时，12＜AP＜18．知识二、公共弦相关定理（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点．题型探究【例5】若三圆两两相交得到三条公共弦，则这三条弦所在直线的位置关系是（）A．平行B ．相交于一点C．平行或交于一点D ．有两条弦平行，第三条与它们相交【答案】C ．【解析】∵三圆两两相交得到三条公共弦，∵三条公共弦垂直于三条连心线，如图：【例6】（1）已知∵1O 与∵2O 相交于A 、B 两点，如果∵1O 、∵2O 的半径分别为10厘米和17厘米，公共弦AB 的长为16厘米，那么这两圆的圆心距12O O 的长为__________厘米．【答案】9或21 【解析】解：当点O 1在∵O 2外时，连接O 1O 2，交AB 于点D ， ∵∵O 1与∵O 2相交于A 、B 两点，∵O 1O 2∵AB ，且AD=BD ；又∵AB=16厘米，∵AD=8厘米，∵在Rt∵AO 1D 中，根据勾股定理知O 1D=2210-8=6(厘米)； 在Rt∵AO 2D 中，根据勾股定理知O 2D=2217-8=15(厘米)， ∵O 1O 2=O 1D+O 2D=21厘米；当点O 1在∵O 2内时，连接O 2 O 1并延长，交AB 于点D ， 同理可得：O 1O 2=15-6=9（厘米）．故答案为：21或9．（2）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为_____．【答案】240 17．【解析】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中，其三边分别为8，15，17，由于172＝152+82，∵这个三角形是以17为斜边的直角三角形，斜边上的高＝81517⨯＝12017，故公共弦长＝2×12017＝24017，故答案为240 17．【例7】如图，已知O的半径为5，P与O外切于点A，经过点A的直线与O、P分别交于点B、C，21 tan2OAB∠=．（1）求AB的长；（2）当OCA OPC∠=∠时，求P的半径．【答案】（1）4AB=；（2）P的半径为9 16．【解析】（1）作OM AB⊥于M，如图，在Rt OAM 中，21tan 2OM OAM AM ∠==， 设21OM x =，2AM x =，∵225OA OM AM x =+=，∵55x =，解得1x =，∵2AM =，21OM =，∵OM AB ⊥，∵AM BM =，∵24AB AM ==； （2）作PN AC ⊥于N ，如图，则AN CN =，设P 的半径为r ， ∵//OM AN ，∵PAN OAM ∽，∵PA AN OA AM=，即52r AN =， 解得25AN r =， ∵425AC AN r ==， ∵425MC AC AM r =+=+， 在Rt OMC 中，222224(21)(2)5OC OM MC r =+=++，∵OCA OPC ∠=∠，而AOC COP ∠=∠，∵OAC OCP ∽，∵::OC OP OA OC =，∵()255OC OA OP r =⋅=+， ∵()224(21)(2)555r r ++=+， 整理得21690r r -=，解得10r =（舍去），2916r =， 即P 的半径为916． 举一反三1.已知两等圆的半径为5cm ，公共弦长为6cm ，则圆心距为________．【答案】8cm【解析】解：连接O 1O 2，设两圆的公共弦为AB ，故O 1O 2∵AB ，∵两等圆的半径为5cm ，公共弦长6cm ，∵AC=BC=3cm ，AO 1=5cm ，CO 1=CO 2=221AO AC -=2253-=4（cm ），∵O 1O 2=8（cm ），故答案为：8cm ．课后作业1．已知∵A 、∵B 、∵C 的半径分别为2、3、4，且AB ＝5，AC ＝6，BC ＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）． A ．∵A 与∵B 、∵C 外切，∵B 与∵C 相交B ．∵A 与∵B 、∵C 相交，∵B 与∵C 外切C ．∵B 与∵A 、∵C 外切，∵A 与∵C 相交D ．∵B 与∵A 、∵C 相交，∵A 与∵C 外切【答案】A【解析】∵∵A 、∵B 、∵C 的半径分别为2、3、4，∵AB ＝5＝2+3，AC ＝6＝2+4，BC ＝6＜3+4根据圆与圆之间的位置关系可知：∵A 与∵B 、∵C 外切，∵B 与∵C 相交．故选：A ．2．已知∵O 的半径OA 长为3，点B 在线段OA 上，且OB ＝2，如果∵B 与∵O 有公共点，那么∵B 的半径r 的取值范围是（ ）A ．r ≥1B ．r ≤5C ．1＜r ＜5D ．1≤r ≤5【答案】D【解析】解：如图，当∵B在∵O内部且有唯一公共点时，∵B的半径为：3-2=1，当∵O在∵B内部且有唯一公共点时，∵B的半径为3+2＝5，∵如果∵B与∵O有公共点，那么∵B的半径r的取值范围是1≤r≤5，故答案为：D．3．对于命题：∵如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；∵如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（）A．∵是真命题，∵是假命题B．∵是假命题，∵是真命题C．∵、∵都是真命题D．∵、∵都是假命题【答案】A【解析】解：∵如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；∵如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题；故选：A．4．∵1O与∵2O的半径分别为l和3，那么列四个叙述中，错误的是（）．A ．当1224O O <<时，∵1O 与∵2O 有两个公共点；B ．当∵1O 与∵2O 有两个公共点时，1224O O <<；C ．当1202O O <≤时，∵1O 与∵2O 没有公共点；D ．当∵1O 与∵2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D 【解析】当1224O O <<时，∵1O 与∵2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当∵1O 与∵2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，∵1O 与∵2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当∵1O 与∵2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．5．已知∵1O 的半径长为2，若∵2O （2O 与1O 不重合）上的点P 满足12PO =，则下列位置关系中，∵1O 与∵2O 不可能存在的位置关系是（ ）A ．相交B ．内切C ．外切D ．外离【答案】D 【解析】解：由∵1O 的半径长为2，且12PO =，∵∵1O 与∵2O 的位置关系可能是相交、内切、外切；不可能是相离；故选D ．6．下列命题中，正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．平分弦的直径必垂直于这条弦C ．已知两圆的半径分别为1r 和2r ，圆心距为d ，如果两圆外离，则12d r r >+D ．圆心角相等，它们所对的弧也相等【答案】C 【解析】A 、不在同一条直线上的三点确定一个圆，此项错误B 、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，此项错误C 、由圆与圆的位置关系可知，已知两圆的半径分别为1r 和2r ，圆心距为d ，如果两圆外离，则12d r r >+，此项正确D 、在同圆或等圆中，圆心角相等，它们所对的弧也相等，此项错误故选：C ．7．已知∵O 1与∵O 2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（ ） A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切【答案】B 【解析】解：由题意可知：r 1＝2，r 2＝4，圆心距d ＝2，∵d＝r2﹣r1，∵两圆相内切，故选：B．8．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（）A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7D．0≤d＜3【答案】D【解析】解：由题意知，两圆内含，则0≤d＜5-2（当两圆圆心重合时圆心距为0），即如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是0≤d＜3，故选：D．9．下列命题中，真命题是A．没有公共点的两圆叫两圆外离；B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称；C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点；D．内含两圆的圆心距大于零.【答案】B【解析】A．因为没有公共点的两圆包括外离和内含，所以命题不是真命题；B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称，命题是真命题；C．因为联结内切两圆圆心的线段不经过切点，所以命题不是真命题；D ．因为如果内含两圆同心，则圆心距等于零，所以命题不是真命题.故选B ．10.已知1O 的半径16r =，2O 的半径为2r ，圆心距123O O =，如果1O 与2O 有交点，那么2r 的取值范围是（ ）A ．23r ≥B ．29r ≤C ．239r <<D ．239r ≤≤【答案】D 【解析】由题意得，2O 的圆心2O 在1O 的内部 如果1O 与2O 有交点，则有如图所示的两个临界位置因此有21122112r r O O r r O O ≥-⎧⎨≤+⎩，即226363r r ≥-⎧⎨≤+⎩ 解得239r ≤≤故选：D ．11．如图，已知∵POQ=30°，点A 、B 在射线OQ 上（点A 在点O 、B 之间），半径长为2的∵A 与直线OP 相切，半径长为3的∵B 与∵A 相交，那么OB 的取值范围是（）A．5＜OB＜9B．4＜OB＜9C．3＜OB＜7D．2＜OB＜7【答案】A【解析】设∵A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∵AD∵OP，∵∵O=30°，AD=2，∵OA=4，当∵B与∵A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∵OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当∵A与∵B相外切时，设切点为E，如图2，∵OB=OA+AB=4+2+3=9，∵半径长为3的∵B与∵A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选A．故选C.12．如图，半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】如下图，（1）当半径为2的圆同时和圆O1、圆O2外切时，该圆在圆O3的位置；（2）当半径为2的圆和圆O1、圆O2都内切时，该圆在圆O4的位置；（3）当半径为2的圆和圆O1外切，而和圆O2内切时，该圆在圆O5的位置；综上所述，符合要求的半径为2的圆共有3个.13．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是32和72，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】根据题中条件，在Rt∵AOB中，OA=4，OB=3，∵AB=2222435AO BO+=+=，∵两圆半径为32和72，∵圆心距＝32+72＝5，∵两圆外切，有三条公切线．故选C．14．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（）A ．52B ．62C ．21252π-D ．21162π-【答案】D【解析】解：∵AB ，CD 为两等圆的公切线， ∵四边形ABCD 为矩形，BC=2，设中间一块阴影的面积为S ，∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和， ∵BC•AB -（S 半圆AD +S 半圆BC -S ）=S ，即2AB -π•12+S=S ， ∵AB=2π．如图，EF 为公共弦，PO∵EF ，OP=12AB=4π，∵EP=22OE OF -=222161()44ππ--=，∵EF=2EP=21162π-．故选：D ．15．两圆的半径分别为3和4，圆心距为d ，且这两圆没有公切线，则d 的取值范围为（ ）A．d >7B．1< d<7C．3<d<4D．0≤d< 1【答案】D【解析】解：∵两个圆没有公切线，∵两圆内含，∵两圆的半径分别为3和4，圆心距为d，∵0≤d＜4−3，即0≤d＜1．故选：D．16．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作∵A，以B为圆心BC为半径作∵B，如果∵A与∵B内切，那么∵ABC的面积等于_____．【答案】37【解析】解：∵∵A的半径为2，∵B的半径为6，∵A与∵B内切，∵AB＝6﹣2＝4，过点A作AD∵BC于D，则BD＝12BC＝3，由勾股定理得，AD＝222243AB BD-=-＝7＝7，∵∵ABC的面积＝167=372⨯⨯，故答案为：37．17．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则S 四边形ADCE ∵S 正方形ABCD 的值为__________．【答案】58【解析】如图：过点E 作EF 垂直于AD ，交AD 于点F ，可得90EFA ∠=︒，设EC x =，AB y =， 四边形ABCD 为正方形，∴AD AB BC CD y ====，90ADC DAB ABC BCD ∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形DFEC 为矩形，EF DC y ∴==，AF AD DF AD CE y x ∴=-=-=-，∴在Rt AEF 中，根据勾股定理得：222AE EF AF =+，即()()222x y y y x +=+-，整理得：4y x =，即14x y =， ∴S 梯形ADCE ()()1122EC AD CD y x y =+⨯=+， 将14x y =代入()12y x y +得：1124y y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 整理得：S 梯形ADCE 258y =， S正方形ABCD 2y =，∴ S 梯形ADCE :S 正方形ABCD 225:8y y =58= 18．如图，已知Rt∵ABC ，∵C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A 、B 为圆心画圆．如果点C 在∵A 内，点B 在∵A 外，且∵B 与∵A 内切，那么∵B 的半径长r 的取值范围是__________．【答案】8＜r ＜10【解析】试题分析：如图1，当C 在∵A 上，∵B 与∵A 内切时，∵A 的半径为：AC=AD=4，∵B 的半径为：r=AB+AD=5+3=8；如图2，当B在∵A上，∵B与∵A内切时，∵A的半径为：AB=AD=5，∵B的半径为：r=2AB=10；∵∵B的半径长r的取值范围是：8＜r＜10．故答案为8＜r＜10．19．如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E在正方形内部，且AE∵BE，cot∵BAE＝2，如果以E为圆心，r为半径的∵E与以CD为直径的圆相交，那么r的取值范围为_____．【答案】355355-<<+r【解析】解：设AB的中点为G，连接EG，延长BE交CD于H，∵AE∵BE，∵∵AEB＝90°，∵EG＝12AB＝5，∵在正方形ABCD中，∵C＝∵ABC＝90°，∵∵BAE+∵ABE＝∵ABE+∵CBH＝90°，∵∵CBH＝∵BAE，∵cot∵BAE＝cot∵CBH＝BCCH＝2，∵CH＝12BC＝12CD＝5，∵点H是以CD为直径的圆的圆心，设BE＝k，AE＝2k，∵AB＝5k＝10，∵k＝25，∵BE＝25，∵∵C＝90°，BC＝10，CH＝5，∵BH＝22105+＝55，∵EH＝BH﹣BE＝35，∵r为半径的∵E与以CD为直径的圆相交，∵r的取值范围为355355r-<<+，故答案为：355355r-<<+．20．如图，∵A和∵B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，∵O与∵A、∵B都内切，那么∵O 半径是________．【答案】32或92．【解析】当点O在点A左侧时，∵O半径r=101922-=,当点O在点B右侧时，∵O半径r=107322-=.故填92或32.21．如图，如果两个圆只有一个公共点，那么我们称这两个圆相切，这个公共点就叫做切点，当两圆相切时，如果其中一个圆（除切点外）在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切；其中一个圆（除切点外）在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．如图所示：两圆的半径分别为R，r（R＞r），两圆的圆心之间的距离为d，若两个圆外切则d=R+r，若两个圆内切则d=R﹣r，已知两圆的半径分别为方程x2+mx+3=0的两个根，当两圆相切时，已知这两个圆的圆心之间的距离为4，则m的值为________．【答案】-4或-27 【解析】 解：当两圆外切时，d=r+R=-m=4，解得：m=-4；当两圆内切时，d=R -r=4，则R=r+4，∵Rr=3，∵（r+4）r=3，解得：r=7-2或r=7+2（舍去） ∵R=r+4=7+2，∵R+r=-m ，即：7-2+7+2=-m ，解得：m=-27，故答案为：-4或-27．22．已知：如图，∵1O 与∵2O 外切于点T ，经过点T 的直线与∵1O 、∵2O 分别相交于点A 和点B ． （1）求证：12//O A O B ；（2）若12O A =，23O B =，7AB =，求AT 的长．【答案】（1）见解析；（2）145AT = 【解析】（1）证明：联结12O O ，即12O O 为连心线， 又∵∵1O 与∵2O 外切于点T ，∵12O O 经过点T ；∵1122,O A O T O B O T ==,∵12,A O TA B O TB ∠=∠∠=∠,∵12O TA O TB ∠=∠，∵A B ∠=∠，∵12//O A O B ．（2）∵12//O A O B ， ∵12AO AT BO BT =； ∵12O A=，23O B =，7AB =，∵237AT AT=-， 解得：145AT =． 23．已知：如图，在∵ABC 中，∵ABC ＝45°，3tan 4A =，AB ＝14，（1）求：∵ABC 的面积；（2）若以C 为圆心的圆C 与直线AB 相切，以A 为圆心的圆A 与圆C 相切，试求圆A 的半径．【答案】(1)42;(2) 4或16【解析】（1）过C 作CD∵AB 于D ，∵3tan 4CD A AD ==， ∵4CD 3AD ，∵∵ABC＝45°，∵BD＝CD，∵AB＝14，∵4143CDCD，∵CD＝6，∵∵ABC的面积1114642 22AB CD；（2）∵以C为圆心的圆C与直线AB相切，∵∵C的半径＝6，∵AD＝8，∵2210AC CD AD，设∵A的半径为r，当圆A与圆C内切时，r﹣6＝10，∵r＝16，当圆A与圆C外切时，r+6＝10，∵r＝4，综上所述：以A为圆心的圆A与圆C相切，圆A的半径为：4或16．24．如图，在Rt∵ABC中，∵ACB=90°，∵ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以3cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．（1）当t=2.5s时，判断直线AB与∵P的位置关系，并说明理由．（2）已知∵O为Rt∵ABC的外接圆，若∵P与∵O相切，求t的值．【答案】（1）相切，证明见解析；（2）t为53s或53 3s【解析】（1）直线AB与∵P相切．理由：作PH∵AB于H点，∵∵ACB=90°，∵ABC=30°，AC=10，∵AB=2AC=20，BC=103，∵P为BC的中点∵BP=53∵PH=12BP=532，当t=2.5s时，PQ=5533=22 ，∵PH=PQ=532∵直线AB与∵P相切，（2）连结OP，∵O为AB的中点，P为BC的中点，∵OP=12AC=5，∵∵O为Rt∵ABC的外接圆，∵AB为∵O的直径，∵∵O的半径OB=10 ，∵∵P与∵O相切，∵ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP 即3t-10=5或10-3t =5，∵ t=53或t= 53，2s时，∵P与∵O相切．故当t为53s或53225．如图，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点.⊙A的半径为3，动点O从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒.（1）当以OB为半径的⊙O与⊙A相切时，求t的值；（2）探究：在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切？若存在，求出此时t的值及相应的⊙O的半径；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当t =9122或t =9110时，⊙O 与⊙A 相切；（2）存在，当t =72或t =252时，r =92，⊙O 与直线AM 相切并且与⊙A 相外切，理由见解析.【解析】解：（1）在ΔABC 中，∵AB =AC ，M 为BC 中点， ∵AM ⊥BC .在RtΔABM 中，AB =10，BM =8，∵AM =6. 当⊙O 与⊙A 相外切，可得(t +3)2=(8−t)2+62解得t =9122. 当⊙O 与⊙A 相内切，可得(t −3)2=(t −8)2+62解得t =9110， ∵当t =9122或t =9110时，⊙O 与⊙A 相切. （2）存在.当点O 在BM 上运动时（0<t ≤8），可得(8−t)2+62=(8−t +3)2解得t =72， 此时半径r =92.当点O 在MC 上运动时（8<t ≤16）可得(t −8)2+62=(t −8+3)2解得t =252. 此时半径r =92.当t=72或t=252时，r=92，⊙O与直线AM相切并且与⊙A相外切.。

第19讲 一次函数与方程、不等式(解析版)

第19讲 一次函数与方程、不等式(解析版)

第19讲 一次函数与方程、不等式一、一次函数与一元一次方程的关系一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.二、一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．四、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，y kx b =+k b y 0kx b +=x kx b +y kx b =+k b x 24y x =-+31322y x =-2431322y x y x =-+ìïí=-ïî35y x =-31y x =+ax b +ax b +ax b +ax b +a b a y ax b =+x ax b +a x函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.五、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.六、如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．A ．13x y =ìí=îB 2．如图，直线153l x y -=：A ．12x y =ìí=îB ．3．直线2y ax =+与直线A ．3a =y axb =+y ax b =+x y ax b cx d +>+ac 0ac ¹Ûy ax b =+y cxd =+x Ûy ax b =+y cx d =+A ．12x =题型2：一次函数与一元一次方程6．若关于x 的方程2x A ．()1,0-． ．． ．．已知方程0ax b +=的解为，则一次函数y ax b =+的图象与A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =10．如图，直线5y x =+和直线y ax b =+相交于点(2025)P ，，则方程5x ax b +=+的解是（ ）A ．25x =B ．20x =C ．15x =D ．5x =题型3：一次函数与一元一次不等式(组)11．如图，直线()0y ax b a =+¹过点()0,3A ，()4,0B ，则不等式0ax b +>的解集是（ ）A ．4x >B ．4x <C ．3x >D ．3x <12．如图，已知一次函数y kx b =+的图像经过点()2,1，则不等式10kx b +->的解集为（ ）A ．2x <B ．2x >C ．1x >D ．1x <13．直线y kx b =+经过点()1,2--A 和点()2,0B -，则不等式20x kx b <+<的解集为（ ）A ．<2x -B ．2<<1x --C ．20x -<<D ．10x -<<14．如图，已知直线1y x m =+与21y kx =-相交于点()1,1P -，关于x 的不等式1x m kx +>-的解集是（）A ．1x >-B ．1x ³-C ．1x £-D ．1x <-15．如图，在平面直角坐标系中，若直线1y x a =-+与直线24y bx =-相交于点P ，则下列结论错误的是（ ）A ．方程4x a bx -+=-的解是1x =B ．不等式3x a -+<-和不等式43bx ->-的解集相同C ．不等式组40bx x a -<-+<的解集是2<<1x -D ．方程组4y x a y bx +=ìí-=î，的解是13x y =ìí=-î16．一次函数1y ax b =+与2y cx d =+的图象如图所示，下列说法：①对于函数1y ax b =+来说，y 随x 的增大而减小；②函数y ax d =+的图象不经过第一象限；③不等式ax b cx d +>+的解集是3x >；④()23a b a c -=-．其中正确的有（ ）A ．①②B ．②③④C ．①②④D ．②③一、单选题1．如图，若一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1A -，()1,1B ，则不等式1kx b +>的解集为（ ）A ．1x >B ．1x <C ．0x >D ．0x <【答案】A【分析】利用图象得出答案即可．【解析】解：如图：不等式1kx b +>的解集为：1x >．故选：A ．【点睛】此题主要考查用函数的观点看方程（组）或不等式，利用数形结合思想解题是关键．2．如图，一次函数y mx n =+和y kx =的图象交于点P ，则关于x ，y 的方程组0y mx ny kx =+ìí-=î的解是（ ）A ．23x y =ìí=îB ．23x y =-ìí=-îC ．32x y =-ìí=-îD ．32x y =-ìí=î【答案】C【分析】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标进行求解即可．【解析】解：由函数图象可知，一次函数y mx n =+和y kx =的图象交于点()32P --，，∴关于x ，y 的方程组0y mx n y kx =+ìí-=î的解是32x y =-ìí=-î．故选C ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3．如图，一次函数()0y kx b k =+¹的图像经过点()1,2--A 和点()2,0B -，一次函数2y x =的图像过点A ，则不等式2x kx b £+的解集为（ ）A ．1x £-B ．2x £-C ．1x ³D ．21x -£<-【答案】A【分析】根据图像知正比例函数2y x =和一次函数()0y kx b k =+¹的图像的交点，即可得出不等式2x kx b £+的解集．【解析】解：∵由图像可知：正比例函数2y x =和一次函数()0y kx b k =+¹的图像的交点是()1,2--A ，∴不等式2x kx b £+的解集是1x £-，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图像的关系是解答此题的关键．4．已知方程组1122y k x b y k x b =+ìí=+î的解为35x y =ìí=-î，则直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为（ ）A ．(3,5)B ．(3,5)-C ．(3,-5)-D ．(3,5)-【答案】D【分析】由二元一次方程组的解对应两个方程所表示的一次函数的交点坐标，从而可得答案．【解析】解：Q 方程组1122y k x b y k x b =+ìí=+î的解为35x y =ìí=-î，\直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为(3,5)-，故选：D ．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解与两个一次函数的交点坐标之间的联系，掌握“二元一次方程组的解是这两个方程对应的一次函数的交点坐标”是解题的关键．5．在直角坐标平面内，一次函数y ax b =+的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A ．当0x <时，20y -<<B ．方程 0ax b +=的解是2x =-C ．当2y >-时，0x >D ．不等式 0ax b +<的解集是0x <【答案】C【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．【解析】解：由函数y ax b =+的图象可知，当0x <时，2y <-，A 选项错误，不符合题意；方程 0ax b +=的解是1x =，B 选项错误，不符合题意；当2y >-时，0x >，故C 正确，符合题意；不等式 0ax b +<的解集是1x <，故D 错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．6．如图所示，已知一次函数y 1=kx +b 的图象经过A （1，2）、B （-1，0）两点，y 2=mx +n 的图象经过A 、C （3，0）两点，则不等式组0＜kx +b ＜mx +n 的解集是（ ）A ．01x <<B ．13x -<<C ．11x -<<D ．13x <<【答案】C【分析】由函数图象可知，当-1＜x ＜1时一次函数y 1=kx +b 的图象在x 轴的上方且在一次函数y 2=mx +n 的图象的下方，故可得出结论．【解析】解：∵当-1＜x ＜1时一次函数y 1=kx +b 的图象在x 轴的上方且在一次函数y 2=mx +n 的图象的下方，∴不等式组0＜kx +b ＜mx +n 的解集是-1＜x ＜1．故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式组，能利用数形结合求出不等式组的取值范围是解答此A ．关于x 的方程mx kx b =+的解是1x =B ．关于x 的不等式mx kx b ³+的解集是1x >C ．当0x <时，函数y kx b =+的值比函数y mx =的值大D ．关于,x y 的方程组 0y mx y kx b-=ìí-=î的解是 12x y =ìí=î【答案】B 【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【解析】解：Q 一次函数,y kx b k b =+（是常数，0k ¹）与正比例函数y mx m =（是常数，0m ¹）的图象相交于点()1,2M ，\关于x 的方程mx kx b =+的解是1x =，选项A 判断正确，不符合题意；关于x 的不等式mx kx b ³+的解集是1x ³，选项B 判断错误，符合题意；当0x <时，函数y kx b =+的值比函数y mx =的值大，选项C 判断正确，不符合题意；关于,x y 的方程组0y mx y kx b-=ìí-=î的解是12x y =ìí=î，选项D 判断正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．9．一次函数y mx n =+与y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．根据图像有下列五个结论：①0a >；②0n <；③方程0mx n +=的解是1x =；④不等式3ax b +>的解集是0x >；⑤不等式mx n ax b +£+的解集是2x £-．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据一次函数图像所经过的象限、一次函数图像与y 轴交点的位置以及函数与一元一次不等式的关系进行一一判断即可．二、填空题x>【答案】1【分析】观察图象，根据两函数图象的交点即可得出结论．=【解析】解：Q直线1y kx<\当1x>时，不等式y y∴当12y y >时，求x 的取值范围为x ＜-2或x ＞1，故答案为：x ＜-2或x ＞1．【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数与不等式，解题的关键是画出图像，利用数形结合的方法解决问题．16．已知一次函数124y kx k =+-的图象不过第二象限．（1）k 的取值范围为 ．（2）对于一次函数()10y ax a a =-+¹，若对任意实数x【答案】84m --≤≤【分析】解方程组求出交点C 的坐标，过点C 时，分别求出m 的值即可得到答案．【解析】解：∵直线24y x =-+与直线三、解答题19．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3A -和点()2,3B -．(1)求出这个一次函数的解析式；(2)直接写出不等式0kx b +³的解集．【答案】(1)一次函数的解析式为：y =(2)12x £【分析】（1）根据直线y kx b =+的图象经过点解出k ，b ，即可；（2）由（1）得，函数的解析式：y =-(1)求直线AB 的表达式；(2)求点C 的坐标．【答案】(1)5y x =-+(2)()3,2C 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解．【解析】（1）解：Q 直线y kx b =+经过点(5,0)(1,4)，，A B 得504k b k b +=ìí+=î，解得：15k b =-ìí=î，直线AB 的表达式为5y x =-+；（2）解：联立245y x y x =-ìí=-+î，解得：32x y =ìí=î，故点C 的坐标为()3,2C ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，及求两条直线的交点问题，本题的关键是求两条直线的交点，转化为解两个函数解析式组成方程组．21．如图，根据图中信息解答下列问题：(1)求关于x 的不等式1mx n +<的解集；(2)当12y y £时，求x 的取值范围；(3)当210y y <<时，求x 的取值范围．【答案】(1)0x <(2)当12y y £时， 2x £(3)当210y y <<时， 24x <<【分析】（1）利用直线y mx n =+与x 轴的交点为()0,1，然后利用函数图象可得到不等式1mx n +<的解集．（2）结合两条直线的交点坐标为()2,1.8来求得12y y £解集．（3）结合函数图象直接写出答案．【解析】（1）解：∵直线1y mx n =+与y 轴的交点是()01，，∴当0x <时，11y <，即不等式1mx n +<的解集是0x <；（2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是()2,1.8，当函数1y 的图象在2y 的下面时，有2x £．∴当12y y £时， 2x £；（3）解：由图可知，两条直线的交点坐标是()2,1.8，当函数1y 的图象在2y 的上面时21y y <，则2x >，又20y =Q 时，4x =，(1)直按写出关于x 的不等式组1122k x b k x b +>ìí+>î(2)若点C 坐标为()2,3，①关于x 的不等式1122k x b k x b +>+的解集是②求ABC V 的面积为______．【答案】(1)23x -<<(1)求一次函数表达式；(2)求D 点的坐标；(3)求COP V 的面积；(4)不解关于x y 、的方程组y y kx =-ìí=î(1)求点B的坐标及b的值；V的面积；(2)求AOB∴2AD =，3OB =，∴11233S AD OB =·=´´=∵3AOB S =△，1131S S ==´=(2)以自变量x 的值为横坐标，相应的函数值线；(3)根据表格及函数图象，探究函数性质：①该函数的最小值为__________；②当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而③若关于x 的方程11x b +=-有两个不同的解，则【答案】(1)1k =，6m =（3）根据图象可得，①该函数的最小值为1；②当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；③∵关于x 的方程11x b +=-有两个不同的解，∴由图象可得，b 的取值范围为1b >．故答案为：1；增大；1b >．【点睛】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一(1)求点A的坐标；V(2)若点C在第二象限，ACD①求点C的坐标；x+>②直接写出不等式组4V沿x轴平移，点③将CAD把0x =代入4y x =+得：y ∴点B 的坐标为()0,4，设直线BD 的解析式为y k =4b ¢=ìí，(1)求直线AB 的表达式；(2)由图象直接写出关于x 的不等式102x kx b <<+的解集；(3)如图②所示，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt V 90BPM Ð=°，直线MA 交y 轴于点Q ．当点P 在x 轴上运动时，线段求出线段OQ 的长度；若变化，求线段OQ 的取值范围．【答案】(1)直线AB 的表达式为6y x =-+(2)04x <<∵90BPM Ð=°，∴90BPO MPN ÐÐ+=°．∵90BPO PBO ÐÐ+=°，∴MPN PBO ÐÐ=．∵90BOP PNM ÐÐ==°，PB =∴6OQ OA ==．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元一次不等式与一次函数的关系，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．。

圆的方程知识点总结及相关高考习题详解

圆的方程知识点总结及相关高考习题详解

圆的方程1。

圆的定义 ：在平面内到定点(圆心）的距离等于定长(半径)的点的集合。

2。

圆的方程标准式：222()()x a y b r -+-=,其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心． 一般式：220x y Dx Ey F ++++=(2240D E F +->)。

其中圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径为22142D E F +- 参数方程：cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，cos (sin x a r y b r ααα=+⎧⎨=+⎩是参数). 消去θ可得普通方程3。

点与圆的位置关系判断点(,)P x y 与圆2()x a -+22()y b r -=的位置关系代入方程看符号.4。

直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.判断方法： （1)代数法：(判别式法）0,0,0∆>∆=∆<时分别相离、相交、相切。

（2）几何法：圆心到直线的距离 ,,d r d r d r >=<时相离、相交、相切.5．弦长求法(1)几何法：弦心距d ，圆半径r ,弦长l ，则2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（2）解析法:弦长公式= │x1—x2│√（k^2+1）=│y1—y2│√[（1/k^2)+1］6．圆与圆的位置关系:相交、相离、相切直线与圆的经典例题解析1.已知圆x2+y2+x —6y+m=0和直线x+2y —3=0交于P ，Q 两点,且OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.解： 将x=3—2y 代入方程x2+y2+x —6y+m=0，得5y2—20y+12+m=0.设P （x1，y1），Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：y1+y2=4， y1y2=.512m+ ∵OP ⊥OQ ， ∴x1x2+y1y2=0。

而x1=3—2y1，x2=3-2y2。

∴x1x2=9-6（y1+y2）+4y1y2。

∴m=3,此时Δ＞0，圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-321，, 半径r=25.圆的方程1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a 的取值范围是 （ D ）A 。

圆的方程(带解析)

圆的方程(带解析)

圆的方程A 级——保大分专练1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( )A ．1B ．2 C. 2D ．4 解析：选B 由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2.∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.3．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5解析：选A 由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2x －y ＋4＝0的距离d ＝|2a －1＋4|5＝|2a －1－6|5，解得a ＝1，d ＝5，∵直线与圆相切，∴r ＝d ＝5， ∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.4．(2019·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.5．已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( )A ．(－2，－4)B.⎝⎛⎭⎫－12，－1 C ．(－2，－4)或⎝⎛⎭⎫－12，－1 D ．不确定解析：选A ∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0.配方，得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，此时方程不表示圆．故选A.6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2， 则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.7．圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________． 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)． 半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2.答案：x 2＋(y －3)2＝28．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m的取值范围为________．解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2＜10，解得0＜m＜4.答案：(0,4)9．若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝d＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.答案：x2＋(y－1)2＝210．(2019·德州模拟)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的标准方程为________________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝911．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210.所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3， 所以y x ＋1·y x －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．B 级——创高分自选1．(2019·伊春三校联考)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C 1为(－1,1)，半径为1.易知点C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称的点为C 2，设C 2(a ，b )，则⎩⎨⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以C 2(2，－2)，所以圆C 2的圆心为C 2(2，－2)，半径为1，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.2．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝23．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0.又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )，∴x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255. 把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．。

高中数学圆的方程专题讲解

高中数学圆的方程专题讲解

圆的方程考纲解读 1.利用圆的几何要素，求圆的标准方程和一般方程；2.利用代数法、几何法处理圆的问题．[基础梳理]1．圆的定义、方程2.点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.[三基自测]1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)答案：D2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案：C3．(必修2·习题4.1A组改编)△AOB中，A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)，则△AOB外接圆的方程为________．答案：x2＋y2－4x－3y＝04．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1y ≤x 表示的区域面积为________．答案：π2考点一 求圆的方程|方法突破[例1] (1)(2018·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0(2)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________．(此题可用多种方法求解)[解析] (1)根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B.(2)法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为(－D 2，－E 2)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－D 2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.[答案] (1)B (2)(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10 [方法提升] 求圆的方程的方法[母题变式]1．本例(2)变为已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理，得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A.答案：A2．本例(1)变为经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上，求圆的方程． 解析：法一：由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )， ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.考点二 与圆有关的最值问题|方法突破[例2] (1)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞) (2)已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0. ①求yx 的最大值与最小值；②求y －x 的最大值、最小值； ③求x 2＋y 2的最大值、最小值．[解析] (1)∵直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切， ∴圆心(1,1)到直线的距离为 d ＝|(m ＋1)＋(n ＋1)－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，∴mn ＝m ＋n ＋1≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22.设t ＝m ＋n ，则14t 2≥t ＋1，解得t ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．选D. (2)①原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3. 所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.②y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.③如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. [答案] (1)D [方法提升]1．与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2．与圆有关的参数范围问题常见思路(1)直接利用条件，画出几何图形，结合图形用几何法求参数的范围． (2)根据位置关系列不等式组，用代数法求参数范围． (3)构造关于参数的函数关系，借助函数思想求参数的范围．[跟踪训练]1．(2018·洛阳模拟)在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0|－a |>2|2a |>2⇒a <－2，故选A.答案：A2．(2018·聊城模拟)已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点， (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解析：①因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22， 设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝|1×2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得：16－210≤t ≤16＋210， 所以，所求的最大值为16＋210.②记点Q (－2,3)．因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有公共点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.考点三 与圆有关的轨迹问题|模型突破[例3] (1)过原点O 作圆x 2＋y 2－8x ＝0的弦OA ，则弦OA 中点M 的轨迹方程为________． (2)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP (O 为坐标原点)，求点P 的轨迹．[解析] (1)法一：(几何法)如图，∵M 为OA 的中点，∴∠OMC ＝∠OAD ＝90°.∴动点M 在以OC 为直径的圆上，圆心坐标为(2,0)，半径为2. ∴所求点的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0.法二：(代入法)设中点M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由中点坐标公式得x 0＝2x ，y 0＝2y ，将点A (x 0，y 0)代入圆的方程，并化简，得x 2＋y 2－4x ＝0.(2)如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋4 2.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求点P 的轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，12 5和⎝⎛⎭⎫－215，28 5(此两点坐标由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ，(x ＋3)2＋(y －4)2＝4解得，是点P 在直线OM 上时的情况)．[答案] (1)x 2＋y 2－4x ＝0 [模型解法]有关圆的求轨迹问题的关键点 (1)设出动点的坐标(x ，y )．(2)根据动点满足的条件，结合圆的定义，几何性质，点、直线与圆的位置关系，利用几何法、定义法、代入法、建立动点满足的等式关系(方程)．(3)化简方程、得出轨迹．[高考类题](2013·高考新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22. 又P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.1.[考点二](2014·高考北京卷)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：若∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝m 2.由题意知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1与圆O ：x 2＋y 2＝m 2有公共点，所以|m －1|≤|OC |≤m ＋1，易知|OC |＝5，所以4≤m ≤6，故m 的最大值为6.选B.答案：B2.[考点一](2016·高考全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以(|a |2)2＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.答案：4π3.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解析：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4， 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径 r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12， 圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. 4.[考点三](2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解析：(1)由已知得，圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)由题意可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)⎝⎛⎭⎫其中x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22， 将y ＝tx 代入圆C 1的方程，整理得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0. 则有x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t 2. 因为x 20＋y 20＝9(1＋t 2)2＋9t 2(1＋t 2)2＝9(1＋t 2)(1＋t 2)2＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94.又因为方程(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0有两个不相等的实根， 所以Δ＝36－20(1＋t 2)>0，解得t 2<45，所以53<x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －3 2 2＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3 .。

第19讲 圆的有关概念及性质

第19讲 圆的有关概念及性质

模块六圆第19讲圆的有关概念及性质一、选择题1.下列语句中正确的是( D )(A)长度相等的两条弧是等弧(B)平分弦的直径垂直于弦(C)相等的圆心角所对的弧相等(D)经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴解析:能完全重合的两条弧是等弧,所以A选项错误;平分弦(非直径)的直径垂直于弦,所以B选项错误;在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所以C选项错误;经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴,所以D选项正确.故选D.2. (2016赤峰)如图,☉O的半径为1,分别以☉O的直径AB上的两个四等分点O1,O2为圆心,为半径作圆,则图中阴影部分的面积为( B )(A)π (B)π(C)π(D)2π解析:S阴影=π×12×=π×1×=π.所以图中阴影部分的面积为π.故选B.3. (2017阿坝州)如图将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为( D )(A)2 cm(B) cm(C)2 cm(D)2 cm解析: 过点O作OD⊥AB交AB于点D,连接OA,∵OA=2OD=2 cm,∴AD===(cm),∵OD⊥AB,∴AB=2AD=2 cm.故选D.4. 如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合,点D对应54°,则∠BCD的度数为( C )(A)27°(B)54°(C)63°(D)36°解析:∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合,∴点A,B,C,D都在以AB为直径的圆上,∵点D对应54°,即∠AOD=54°,∴∠ACD=∠AOD=27°,∴∠BCD=90°-∠ACD=63°.故选C.5. 已知:如图,在☉O中,OA⊥BC,若∠AOB=70°,则∠ADC的度数为( B )(A)30°(B)35°(C)45°(D)70°解析:∵OA⊥BC,∠AOB=70°,∴=,∴∠ADC=∠AOB=35°.故选B.6. (2017苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且=,连接OE.过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( C )(A)92°(B)108°(C)112° (D)124°解析:∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠ABC=34°,∵=,∴2∠ABC=∠COE=68°,又∵∠OCF=∠OEF=90°,∴∠F=360°-90°-90°-68°=112°.故选C.7. 如图,MN是☉O的直径,MN=4,若∠AMN=40°,点B为的中点,点P 是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为( C )(A)2 (B)2(C)2 (D)3解析: 过A作关于直线MN的对称点A′,连接A′B,由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值,连接OB,OA′,AA′,∵A,A′关于直线MN对称,∴=,∵∠AMN=40°,∴∠A′ON=∠AON=2∠AMN=2×40°=80°,∠BON=∠AON=40°,∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=80°+40°=120°,过O作OQ⊥A′B于Q,∵MN=4,∴OA′=MN=×4=2=r.在Rt△A′OQ中,OA′=2,∠OA′B=∠OBA′=(180°-∠A′OB)=×(180°-120°)=30°,∴A′B=2A′Q=2,即PA+PB的最小值为2.故选C.二、填空题8.如图,直角坐标系中一条圆弧经过格点A,B,C,其中B点坐标为(3,4),则该弧所在圆心的坐标是(1,1) .解析:如图所示,作弦AC和BC的垂直平分线,交点即为圆心.则圆心D(1,1).9. 如图,两边平行的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与直径为6.5 cm的圆交于一点,另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm),则刻度尺的宽为 2 cm.解析: 作OE垂直AB于E交☉O于D,设OB=r,根据垂径定理,BE=AB=3,根据题意列方程得(3.25-DE)2+9=3.252,解得DE=2,∴该刻度尺的宽度为2 cm.10. 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=137°,则∠AOC的度数为86°.解析:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=137°,∴∠D=180°-137°=43°,∴∠AOC=2∠D=86°.11.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0),B在☉A上,BD是☉A的一条弦.则sin∠OBD= .解析: ∵D(0,3),C(4,0),∴OD=3,OC=4,∴CD=5,连接CD,∵∠OBD=∠OCD,∴sin∠OBD=sin∠OCD==.三、解答题12. 如图,AB是半圆的直径,C,D是半圆上的两点,若∠BAC=20°,= ,求:∠BCD的度数.解:∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°,∵∠BAC=20°,∴∠B=70°,∵四边形ABCD是圆的内接四边形,∴∠D=180°-∠B=180°-70°=110°,∵=,∴DA=DC,∴∠DAC=∠DCA=(180°-∠D)=×(180°-110°)=35°,∴∠BCD=∠DCA+∠ACB=35°+90°=125°.13. 如图,四边形ABCD内接于☉O,AC平分∠BAD,延长DC交AB的延长线于点E.(1)若∠ADC=86°,求∠CBE的度数;(2)若AC=EC,求证:AD=BE.(1)解:∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ADC+∠ABC=180°,又∵∠ADC=86°,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-86°=94°,∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-94°=86°.(2)证明:∵AC=EC,∴∠E=∠CAE,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠E,由(1)知∠ADC=∠CBE=86°,在△ADC和△EBC中,∴△ADC≌△EBC(AAS),∴AD=BE.14. 如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,且CD=24,点M在☉O 上,MD经过圆心O,连接MB.(1)若BE=8,求☉O的半径;(2)若∠DMB=∠D,求线段OE的长.解:(1)设☉O的半径为x,则OE=x-8,∵CD=24,由垂径定理得DE=12,在Rt△ODE中,OD2=DE2+OE2,即x2=(x-8)2+122,解得x=13.(2)∵OM=OB,∴∠M=∠B,∴∠DOE=2∠M,又∠M=∠D,∴∠DOE=2∠D,又CD⊥AB,∴∠OED=90°,∴∠D=30°,在Rt△OED中,∵DE=12,∠D=30°,∴OE=4.15. 如图,已知ED为☉O的直径且ED=4,点A(不与E,D重合)为☉O上一个动点,线段AB经过点E,且EA=EB,F为☉O上一点,∠FEB=90°,BF 的延长线交AD的延长线于点C.(1)求证:△EFB≌△ADE;(2)当点A在☉O上移动时,求四边形FCDE的最大面积为多少. 解:(1) 连接FA,∵∠FEB=90°,∴EF⊥AB,∵BE=AE,∴BF=AF,∵∠FEA=∠FEB=90°,∴AF是☉O的直径,∴AF=DE,∴BF=ED,在Rt△EFB与Rt△ADE中,∴Rt△EFB≌Rt△ADE(HL).(2)∵Rt△EFB≌Rt△ADE,∴∠B=∠AED,∴DE∥BC,∵ED为☉O的直径,∴AC⊥AB,∵EF⊥AB,∴EF∥CD,∴四边形FCDE是平行四边形,∴E到BC的距离最大时,四边形FCDE的面积最大,即点A到DE的距离最大,∴当A为的中点时,点A到DE的距离最大是2,∴四边形FCDE的最大面积S四边形FCDE=4×2=8.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

答案：C
解析：若方程a2x2 + (a + 2)y2 + 2ax + a = 0表示圆，
则 ，解得 ． a2 = a + 2 ≠ 0
{ (
2a a+2
)2
−
4a a+2
>
0
a = −1
故选：C．
一般 已测：4296次 正确率：68.5%
5. 过点A(1, −1), B(−1, 1),且圆心在直线x + y − 2 = 0上的圆的方程是()
联立{x
+
y y
= −
x 2
=
0
,得圆心为(1,
1),半径r
=
, [1 − (−1)]2 + (1 − 1)2 = 2
所以所求圆的方程为(x − 1)2 + (y − 1)2 = 4.故选C.
简单 已测：154次 正确率：84.4%
6. P是圆(x − 5)2 + (y − 3)2 = 9上点，则点P到直线3x + 4y − 2 = 0的最大距离是（）
过点(−1, 0)能做圆的两条切线，则点在圆外,即有1 − 2k + 3k + 8>0, 联立以上两个关于k的不等式，解得k ∈(−9, −1) ∪ (4, +∞).
一般 已测：1918次 正确率：76.0%
10. 圆心在直线x − 2y = 0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的⻓为2 3,则圆C的标
中等 已测：4425次 正确率：73.8%
9. 过定点(−1, 0)可作两条直线与圆x2 + y2 + 2kx + 4y + 3k + 8 = 0相切，则k的取值范围是
.
考点：二元二次方程表示圆的条件、点与圆的位置关系 知识点：点与圆的位置关系、二元二次方程表示圆的问题 答案：(−9, −1) ∪ (4, +∞) 解析：方程表示圆，则有(2k)2 + 42 − 4(3k + 8)>0,
B. x − 2y − 2 = 0
C. x − 2y + 1 = 0
D. x + 2y + 2 = 0
考点：两直线的平行关系、求圆的标准方程 知识点：平行直线系与垂直直线系、圆的要素与定义 答案：A 解析：由圆的方程可知圆心坐标是(1, 0),设所求直线方程为x + 2y + t = 0,将圆心坐标代入,求得t = −1,故所求的
考点：关于点、直线对称的圆的方程 知识点：圆的对称性 答案：(x − 2)2 + y2 = 5 解析：圆(x + 2)2 + y2 = 5的圆心A(−2, 0)，半径等于 5，
而圆心A关于原点(0, 0)对称的圆的圆心为B(2, 0)， 故对称圆的方程为(x − 2)2 + y2 = 5， 故答案是：(x − 2)2 + y2 = 5.
A. 2
B. 5
C. 8
D. 9
考点：点到直线的距离问题、与圆有关的最值问题
知识点：点到直线的距离、与圆有关的最值问题
答案：C
解析：由(x − 5)2 + (y − 3)2 = 9，可知该圆的圆心为(5, 3)，半径为3.
则圆心到直线l：3x
+
4y
−
2
=
的距离为 0
∣3×5+4×3−2∣ 32 +42
直线方程为.x + 2y − 1 = 0.
简单 已测：418次 正确率：82.9%
3. 已知以点A (2, −3)为圆心，半径⻓等于5的圆O，则点M (5, −7)与圆O的位置关系是（） A. 在圆内
B. 在圆上
C. 在圆外
D. 无法判断
考点：求圆的标准方程、点与圆的位置关系 知识点：圆的标准方程、点与圆的位置关系 答案：B 解析：∣AM∣ = ， (5 − 2)2 + (−7 + 3)2 = 5 = r
=
25 5
=
5.
所以圆上的点P到直线l：3x + 4y − 2 = 0的距离的最大值是3 + 5 = 8. 故选C.
一般 已测：621次 正确率：72.6%
7. 直线y = x + b平分圆x2 + y2 + 4x − 4y − 8 = 0的周⻓,则b =
.
考点：求圆的标准方程、考查直线与圆的位置关系
所以点M在⊙A上．
一般 已测：4088次 正确率：66.6%
4. 若方程a2x2 + (a + 2)y2 + 2ax + a = 0表示圆，则a的值为()
A. 或 a = 1 a = −2
B. 或 a = 2 a = −1
C. a = −1
D. a = 2
考点：二元二次方程表示圆的条件
知识点：二元二次方程表示圆的问题
知识点：圆的标准方程、圆关于直线对称
答案：4
解析：依题意,直线y = x + b平分圆x2 + y2 + 4x − 4y − 8 = 0的周⻓,则直线过圆心(−2, 2),圆心代入直线方程
得2 = −2 + b,得b = 4,故填4.
简单 已测：4323次 正确率：84.4%
8. 圆(x + 2)2 + y2 = 5关于原点对称的圆的方程是 .
A.(x + 3)2 + (y − 1)2 = 4
C. (x − 1)2 + (y − 1)2 = 4
D. (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4
考点：中点坐标公式的运用、求圆的标准方程
知识点：圆的标准方程、与圆有关的轨迹问题
答案：C
解析：由题意可知,圆心在线段AB的中垂线上, 又∵kAB = −1,且线段AB的中点为(0, 0),则线段AB的中垂线方程为y = x,
答案：D
解析：因为方程x2 + y2 + ax + 2ay + 2a2 + a − 1 = 0表示的曲线是圆，
所以 即 解得 a2 + (2a)2 − 4(2a2 + a − 1)>0, 3a2 + 4a − 4<0,
−2<a<
2 3
.
故选D
简单 已测：461次 正确率：84.9%
2. 经过圆x2 − 2x + y2 = 0的圆心且与直线x + 2y = 0平行的直线方程是(). A. x + 2y − 1 = 0
简单 已测：2350次 正确率：96.4%
1. 方程x2 + y2 + ax + 2ay + 2a2 + a − 1 = 0表示的曲线是圆，则a的取值范围是（）
A. R
B. (−∞,
−2)∪(
2 3
,
+∞)
C. (−
2 3
,
2)
D. (−2,
2 3
)
考点：二元二次方程表示圆的条件
知识点：圆的要素与定义、二元二次方程表示圆的问题
相关文档
最新文档