《微积分基本定理》教学设计论文

合集下载

微积分基本定理教案

1.4.2 微积分基本定理【学习要求】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【学法指导】本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.1．当x ∈[a ，b]时，若f(x)>0，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝__ ʃb a f(x)dx______.2．当x ∈[a ，b]时，若f(x)<0，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝___－ʃb a f(x)dx______.3．当x ∈[a ，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝__ ʃb a [f(x)－g(x)]dx____________.(如图)探究点一求不分割型图形的面积问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S.解由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃ10xdx －ʃ10x 2dx ＝23 |10－13x 3|10＝23－13＝13. 小结求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4y ＝－x ＋2 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)dx －ʃ2－3(x 2－4)dx＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x)|2－3 ＝252－(－253)＝1256. 32x探究点二分割型图形面积的求解问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？答求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S.解方法一作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x －4 得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)．因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ402xdx ＋⎰⎰--8484]d )4(d 2[x x x x＝403. 方法二把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)dy ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40＝403. 小结两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解画出图形，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10[x －(－13x)]dx ＋ʃ31[(2－x)－(－13x)]dx ＝ʃ10(x ＋13x)dx ＋ʃ31(2－x ＋13x)dx＝223 |40＋223 |84－12(x －4)2|8432x 32x ＝(23 ＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|3132x＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 探究点三定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 的切线方程．解如图，设切点A(x 0，y 0)，由y′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C(x 02，0)，设由曲线和过点A 的切线与x 轴围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ，S △ABC ＝12|BC|·|AB|＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1，从而切点为A(1,1)，切线方程为2x －y －1＝0.小结本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3|10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx)dx ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3|1－k 0＝16(1－k)3. 又知S ＝16，所以(1－k)3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342. 4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是___193___．解析由图形可得S ＝ʃ10(x 2＋4－5x)dx ＋ʃ41(5x －x 2－4)dx ＝(13x 3＋4x －52x 2)|10＋(52x 2－13x 3－4x)|41 ∵S 曲边△AOB ＝ʃ x 2d x ＝13x 3| ＝13x 30，00x00x＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193. 对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.。

微积分基本定理说课稿教案教学设计

微积分基本定理一、教学目标：知识与技能：1.通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2.通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义过程与方法：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点：了解微积分基本定理的含义。

三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程n有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？（1）下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T - ()()S t v t '=。

3.微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰？若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

微积分基本定理说课稿教案教学设计

微积分基本定理【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。

2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。

【要点梳理】要点一、微积分基本定理的引入我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

（1）导数和定积分的直观关系：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。

设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达，即 s=s （b ）－s （a ）。

另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d bav t t ⎰,即 s =()d bav t t ⎰。

所以有： ()d bav t t =⎰s （b ）－s （a ）（2）导数和定积分的直观关系的推证：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ，将区间[a ，b]等分成n 个小区间：[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]，每个小区间的长度均为1i i b at t t n--∆=-=。

当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移111()'()'()i i i i i b as h v t t s t t s t n----∆≈=∆=∆=。

② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是1tan '()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆。

《微积分基本定理》微课教学设计

《微积分基本定理》微课教学设计《微积分基本定理》微课教学设计1. 教学目标1)知识层面：理解并掌握重要极限公式的初始型1lim1nnen→∞+=、标准型1 lim1xxex→∞+=以及推广型()()1lim1()xxex→∞+=的结果及形式，并利用重要极限解决连续复利等实际问题。

2)能力层面：理解重要极限的条件并能够利用重要的极限公式求解一类函数的极限问题。

通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。

学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。

3)认知层面：体会重要极限三种形式（初始型、标准型和推广型）实际是解决未定式1∞型的极限，认识到从这种分析角度打开了求一类幂指函数的极限一个新的视野。

2．教学内容1)重要极限公式的初始型、标准型及推广型。

2)重要极限公式初始型和标准型的证明。

3)未定式1∞型的极限问题的解法。

4)重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。

3．教学重点与难点1)教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。

处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。

2)教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广型的内涵；利用重要极限推广型求极限。

处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌握程度。

4．教学方法1)动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。

2)通过师生互动激发学生的学习兴趣。

5．教材分析微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

其主要内容是微分学和积分学。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分基本定理教学设计专题

微积分基本定理教学设计专题第一篇：微积分基本定理教学设计专题《微积分基本定理》教学设计一、教材分析本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位。

它曾被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学。

二、教学目标分析(1)知识与技能：了解微积分基本定理的含义，并会利用定理计算简单的定积分。

(2)过程与方法：以变速直线运动物体在某个时间段上的位移为背景，使学生直观了解微积分基本定理的形成过程。

(3)情感、态度和价值观：揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲；逐步渗透“以直代曲”、“无限逼近”的数学思想。

三、教学重点、难点分析重点：以变速直线运动物体在某个时间段上的位移为背景，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点：微积分基本定理的形成过程四、学情分析首先本节课的授课班级是理科的普通班，大部分学生学习基础薄弱，学习能力还有待提高。

其次本节课是高等数学的内容，理论性较强，抽象不易理解。

针对以上情况，本节课在整体设计紧扣课标要求，充分做到“了解和简单应用”。

五、教法、学法分析(1)教法：通过导学案设置的问题和课堂上讨论、展示、点评、质疑等环节以及多媒体课件动画演示启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。

(2)学法：突出自主学习，研讨发现，主动探索。

学生在教师设置的环节的引导下，通过观察、讨论、交流、合作学习等活动来对知识、方法和规律进行总结。

六、教学过程环节一：自主课学生通过完成导学案的形式进行自主学习，教师课下批阅导学案，找到自主课上学生没有学懂的共性问题，准备在展示课上解决。

环节二：展示课通过恩格斯对微积分的高度评价“人类精神的卓越胜利”引入课题，突出学习本节课的重要性。

微积分基本定理教案

第五章定积分及其应用第三节微积分基本定理))(()(dt t f dx x f xaxa⎰⎰=与之对应.这种对应满足函数的定义.因此,它是定义在区间],[b a 上的函数.记为: ⎰=x adt t f x )()(ϕ（其几何意义如图）例1 判断下列函数是否为变上限积分函数 (提问学生，询问原因)通过例题讲解.使学生进一步体会变上限积分函数的特征: 下限是一常数,上限只有一个自变量x .同时,这是一类函数.这类函数如同其它函数一样,可以计算求其定义域,值域…在这我们根据需要,只学习它的一条性质---导数.从而引出2、变上限积分函数的导数对于定理的证明不要求掌握.例2 求下列函数的导数(提问学生，询问原因)例3 的值计算2arctan limxtdt xx ⎰→该题进一步深化对变上限积分函数是一类函数的理解.同时加深了变上限积分函数的性质的应用.定理2（原函数存在定理）.b],[)f()()( ， b],[ )f(上的一个原函数区间在是则函数上连续在如果a x dt t f x a x xa ⎰=ϕ定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 3、微积分基本定理如果)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数。

则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰证 Θ 已知)(x F 是)(x f 的一个原函数，生，引起对使用条件的重视学生解答练习法（巩固知识）axyo)(x Φxb。

微积分基本定理教案

微积分基本定理（2）知识目标：了解微积分基本定理的含义；会用微积分基本定理求简单的定积分.能力目标：通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法. 情感目标：通过微积分基本定理的学习，学会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，提高理性思维能力；复习回顾一: 定积分的基本性质性质1()()()b ba a kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数；性质21212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；性质3()()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中二：微积分基本定理如果连续函数)(x f 是)(x F 的导函数，即)()(x F x f '=，则有)()()(a F b F dx x f ba -=⎰定理中的式子称为牛顿-莱布尼茨公式，通常称)(x F 为)(x f 的原函数，于是牛顿-考点一. 简单函数的定积分例1【思维总结】求简单的定积分关键注意：掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；dx xx x dx x dx x e x x ⎰⎰⎰+-++-210212sin cos 2cos )3()(cos )2()32)1((ππ练习（1）（2）考点二. 复合函数的定积分例2考点三. 分段函数求定积分例3【思维总结】求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数再求解．练习(1)求)0(2>⎰-a dx aa x(2)等于（），则为偶函数且已知dx x f dx x f x f ⎰⎰-=6660)(8)()(布置作业：课本习题1.6B 组1.2课时小结：会用微积分基本定理求简单的定积分 dx x x ⎰+21)1(1dxx dx e x ⎰⎰461022cos )2()1(ππ已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，0≤x <π2，1，π2x <2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．xdx x x 6312)1(⎰+。

《微积分基本定理》微课教学设计

《微积分基本定理》微课教学设计1. 教学目标1)知识层面：理解并掌握重要极限公式的初始型1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭、标准型1 lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭以及推广型()()1lim1()xxexϕϕϕ→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭的结果及形式，并利用重要极限解决连续复利等实际问题。

2)能力层面：理解重要极限的条件并能够利用重要的极限公式求解一类函数的极限问题。

通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。

学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。

2．教学内容1)重要极限公式的初始型、标准型及推广型。

2)重要极限公式初始型和标准型的证明。

3)未定式1∞型的极限问题的解法。

4)重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。

3．教学重点与难点1)教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。

处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。

2)教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广型的内涵；利用重要极限推广型求极限。

处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌握程度。

4．教学方法1)动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。

2)通过师生互动激发学生的学习兴趣。

5．教材分析微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

其主要内容是微分学和积分学。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分基本定理精品教案

1.6微积分基本定理教学设计总体设计：复习旧知、设题引入、探究归纳、定理导出与应用、定理延伸、课堂小结与布置作业1、复习旧知老师和学生一起复习定积分的几何意义：f (x )d x 的几何意义：表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积。

设计意图：复习定积分的几何定义是为了加深学生对定积分的印象，为微积分基本定理的探究导出做好铺垫。

2、体验探究引例：如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是()t s s =，由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度是()()t s t v '=。

设这个物体在时间段[]b a ,内的位移为S ，你能分别用()()t s t v ,表示S 吗?2.1引导学生把探究的基本思路分解成以下2个方向：（1）根据位移的定义探索发现并得出()()a s b s S -=——基本定理的右端雏形（2）从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s 可以用定积分表示为——基本定理左端雏形 ()d .ba s v t t =⎰3、探究生成综上可得到：()()()a s b s dt t v ba -=⎰——基本定理雏形 4、定理的导出与应用4.1由定理导出得到定理雏形可以直接归纳一般连续函数()x f 在区间[]b a ,的积分与其导数的关系，即微积分基本定理：如果()x f 是区间[]b a ,连续函数，若()()()()()a F b F dx x f x f x F b a -=='⎰则该公式也称作牛顿——莱布尼茨公式4.2可以简要介绍一下牛顿和莱布尼茨。

4.3 活学活用例1.利用微积分基本定理解决前面的问题（1）dx x ⎰214 （2）()⎰≥102n dx x n （3）⎰10d x e x解：（1）令4)(x x f =，取551)(x x F ⋅=，则()()x f x F =' 由微积分基本定理得 ()()5101104=-=⎰F F dx x 同理，可以解出（2）11+n （3）1-e ，同时也可以解出dx x ⎰103 练习：课本例题和课本A 组1.（2）、（4）、（6）5、定理延伸例2.计算下列定积分并给出定积分的几何意义（1）⎰ππ2d sin x x （2）⎰π20d sin x x 通过求解得：（1）1-，（2）0其几何意义如下图:（1）（2）归纳总结：微积分基本定理求的是整个区间的定积分，若要求曲线与x轴围成的面积则需将x轴上下部分分开求解。

微积分基本定理(教案)

1.6微积分基本定理一：教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义情感态度与价值观通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二：教学重难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点：了解微积分基本定理的含义三：教学过程：1、知识链接：定积分的概念：用定义计算的步骤：2、合作探究：⑴导数与积分的关系;我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。

说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰？若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y=()()F b F a -将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[x i-1,x i ]上，记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则⊿y =∑⊿y i 如下图，因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故⊿y =lim ∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x=⎰b a dx x f )( 即⎰b a dx x f )(=()()F b F a - 所以有微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则（此处并不要求学生理解证明的过程）为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

定积分与微积分基本定理》教案

《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。

2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。

3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。

二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。

2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。

3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。

4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。

三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。

2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。

四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。

3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。

2. 第二课时：微积分基本定理的证明。

3. 第三课时：微积分基本定理的应用。

4. 第四课时：定积分的综合练习。

六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。

2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。

3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。

七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。

2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。

3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。

八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。

2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。

《微积分基本定理》的教学设计

《微积分基本定理》的教学设计作者：袁玲荣来源：《新校园·学习（中旬刊）》2012年第07期有数学专家说过：当前数学课堂教学的品位不高是普遍性的，许多教师的“匠气”十足，一切围绕高考转，以题型教学、技巧训练代替数学教学，功利化色彩浓厚，缺少起码的思想、精神追求，极大的损害了数学的育人功能。

没有“目标”的教学，因为缺乏数学思想方法为纽带，概念间的关系无法认识、联系，也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣。

没有“目标”的教学把“思维的体操”降格为“刺激—反应”训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。

可见，想使数学成为“有思想的教学”，成为提高学生思维能力的舞台和培育其理性精神的阵地，在教学中都应该坚持“目标与结果并重”的原则。

为了更好地实践这一原则，使有效教学真正落到实处，笔者把自己上的一节《微积分基本定理》课，结合专家的观点和自己在授课中的体会，以教学设计的形式呈现给大家。

一、教材分析《微积分基本定理》是人教B版《选修2—2》第一章第4节的内容，本节内容分两个部分授完。

通过对这节课的学习，不仅使学生掌握微积分基本定理，同时要让学生在探索的过程中感受数学之“美”，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点，提高学生的理性思维能力。

本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念的继续，它不仅揭示了求导和定积分之间的内在联系，同时也为计算定积分提供了一种有效的方法，为后面的学习奠定基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用。

这节课的推导过程比较“难”，在教学中，教师应该以问题为核心构建课堂教学，注重引导，由浅入深，充分发挥学生的主观能动性，培养学生的创造性思维。

根据本节课的教学目标和学生的认知规律，可采用类比、启发、引导、探索相结合的方法，使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，充分体现学生的主体地位。

微积分基本定理教案

微积分基本定理教案教案标题：微积分基本定理教案教学目标：1. 理解微积分基本定理的概念和意义；2. 掌握微积分基本定理的两个部分：第一部分——积分与原函数的关系，第二部分——定积分的计算；3. 能够运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。

教学准备：1. 教材：微积分教材；2. 教具：黑板、粉笔、投影仪；3. 学生辅助教学资料：练习题、习题答案。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用导数的概念引出积分的概念，复习导数的定义和求导法则。

2. 提问学生：如果已知一个函数的导数，能否还原出原函数？为什么？二、讲解微积分基本定理的第一部分（10分钟）1. 定义积分和原函数的关系：如果函数F(x)在[a, b]上连续，且F'(x) = f(x)，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。

2. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第一部分求函数的不定积分。

三、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。

3. 对部分练习题进行讲解和解答，引导学生理解微积分基本定理的应用。

四、讲解微积分基本定理的第二部分（10分钟）1. 定义定积分的概念：如果函数f(x)在[a, b]上连续，则∫[a, b] f(x) dx表示函数f(x)在[a, b]上的面积或曲线长度。

2. 引出微积分基本定理的第二部分：如果函数f(x)在[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。

3. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第二部分计算定积分。

五、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。

3. 对部分练习题进行讲解和解答，巩固学生对微积分基本定理的掌握。

六、拓展应用（10分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。

微积分基本定理教学设计

微积分基本定理教学设计教学目标：1.理解微积分基本定理的概念和意义；2.掌握微积分基本定理的基本公式和推导方法；3.能够应用微积分基本定理求解相关问题。

教学内容：1.微积分基本定理的概念和意义-解释微积分基本定理的两个部分：第一部分是对函数的原函数求导，第二部分是对函数的不定积分；-引导学生思考为什么微积分基本定理成立。

2.微积分基本定理的基本公式和推导方法- 给出微积分基本定理的基本公式：若函数F(x)是区间[a, b]上的连续函数，且f(x)是F(x)的导数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)；-通过几个简单函数的实例，对基本公式进行演示和讲解；-推导微积分基本定理的基本公式：从定义出发，通过逐步推导，让学生了解为什么基本公式成立。

3.应用微积分基本定理求解相关问题-通过实例引导学生应用微积分基本定理求解相关问题：如计算定积分，求解函数定积分的上限和下限变化等；-引导学生将实际问题转化为数学问题，使用微积分基本定理进行求解；-提供一些实际问题的习题，让学生进行练习和巩固。

教学方法与活动安排：1.讲授与讨论-通过讲解和讨论，向学生介绍微积分基本定理的概念、意义和基本公式；-引导学生思考微积分基本定理的背后原理和推导方法。

2.练习与演示-给学生一些简单的函数，让他们尝试求导和积分，从而巩固基本定理的概念和用法；-进行一些演示，详细讲解和证明微积分基本定理的基本公式。

3.课堂互动-设计一些小组或个人活动，让学生在小组内讨论、解决问题，加强合作与交流；-鼓励学生提问和回答问题，促进课堂互动。

评价与反馈：1.小测验-每个课堂结束前，进行一个小测验，检测学生对微积分基本定理的理解和应用；-将小测验的结果作为学生学习情况的参考。

2.课后作业-布置一些练习题和思考题，让学生进行课后巩固和深化；-对学生的作业进行评改和评价。

3.学生反馈-向学生征求对本节课的反馈和建议，了解学生对教学设计的理解和认可程度，从而对今后的教学进行改进。

微积分基本定理时教案

微积分基本定理时教案学习目标：1.了解微积分基本定理的概念和含义。

2.掌握计算不定积分的方法和技巧。

3.理解积分和导数之间的关系。

教学重难点：1.理解微积分基本定理的思想和原理。

2.掌握使用微积分基本定理计算不定积分的方法。

3.理解积分和导数之间的关系。

教学准备：1.教师准备：黑板、彩色粉笔、教学课件。

2.学生准备：课本、笔记本。

教学过程：Step 1：导入新知教师用简单的例子引入微积分基本定理的概念和背后的思想，例如：求其中一点速度为v(t)的运动物体在其中一时间段内的位移。

Step 2：引入微积分基本定理教师介绍微积分基本定理的两个部分：第一部分是在一定条件下，求定积分可以通过求原函数来实现；第二部分是定积分可以看作是函数在区间上面积的累加。

Step 3：推导微积分基本定理教师通过具体的例子和图示，让学生感受到定积分和原函数之间的关系。

然后推导出微积分基本定理的两个部分，并用数学符号进行表达。

Step 4：示例演练教师给出一些简单的函数，引导学生根据微积分基本定理计算它们的不定积分。

同时，教师强调几个常用的积分公式和技巧，如换元法、分部积分等。

Step 5：拓展应用教师给出一些与实际问题相关的函数表达式，并引导学生根据微积分基本定理计算相关的不定积分，用数学语言解释问题的本质。

Step 6：总结归纳教师总结微积分基本定理的概念、原理和计算方法，并强调积分和导数的互为逆运算的重要性。

Step 7：练习巩固教师布置一些练习题，让学生独立完成并批改。

同时，教师监督并答疑。

Step 8：课堂小结教师对本节课所学内容进行总结，并与学生一起回顾重点、难点。

Step 9：课后拓展教师布置一些拓展作业，让学生自行查找相关资料，进一步了解微积分基本定理的应用和推广。

Step 10：课堂检测教师布置一些题目，让学生在课后进行自主学习和思考，以检验对微积分基本定理的理解和掌握程度。

教学反思：本节课通过引入实际问题和具体的例子，让学生从直观的角度理解微积分基本定理的概念和原理。

教案----微积分基本定理

第三节微积分基本公式在第一节的例1，我们学习了利用定积分的定义来计算定积分⎰12dx x 。

通过这个例子我们看到，虽然被积函数只是简单的二次函数2()f x x =，但是直接按定义来计算它的定积分⎰12dx x已经很复杂了。

如果被积函数是其它更复杂的函数，则复杂程度更大了。

于是，我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法。

下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法。

先来下面这个例子：变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体作直线运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴。

时刻t 时物体所在的位置为)(t s ，速度为()v t 。

（为讨论方便，假设()0v t ≥。

）物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在],[21T T 上的定积分来表达，即⎰21)(T T dx t v ；另一方面，这段路程又可以通过位置函数)(t s 在区间],[21T T 上的增量来表示，即21()()s T s T -。

于是，位置函数)(t s 与速度函数()v t 之间有如下关系：2211()()()T T v t dx s T s T =-⎰。

注意到()()s t v t '=（我们称)(t s 是)(t v 的原函数）。

上式表明，()t v 在区间],[21T T 上的定积分⎰21)(T T dx t v 恰好等于其原函数()t s 在区间],[21T T 上的增量21()()s T s T -。

上面提到了)(t s 是)(t v 的原函数，对于一般情况，我们给出如下定义：定义：设函数()(),F x f x 在区间I 上有定义，I x ∈∀，若有()='x F ()x f ，则称()x F 是()x f 在区间I 上的一个原函数。

也称)(x f 为)(x F 在区间I 上的的导函数。

原函数与导函数是一种互逆关系。

问题：引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下是否具有普遍性？下面介绍微积分基本定理（也叫Newton —Leibniz 公式）：牛顿莱布尼兹（Newton —Leibniz ）公式设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且)(x F 是)(x f 在区间[,]a b 上的一个原函数，即对[,]x a b ∀∈，有()()x f x F ='，则()()a F b F dx x f b a-=⎰)(也称作微积分基本公式。

高三数学《微积分的基本定理》数学分析教案

高三数学《微积分的基本定理》数学分析教案第一章：引言微积分是高中数学中的一门重要学科，它是研究函数极限、导数、积分和微分方程等的数学分支。

其中，微积分的基本定理是微积分中最基本且重要的概念之一。

本教案旨在通过详细介绍微积分的基本定理，让学生全面了解和掌握微积分的核心内容。

第二章：微积分的基本定理2.1 定义微积分的基本定理包括不定积分与定积分两部分。

不定积分主要研究函数的原函数问题，而定积分主要研究曲线下的面积问题。

2.2 不定积分的基本定理不定积分的基本定理是指，如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，那么f(x)的不定积分就是F(x)加上一个常数C，表示为∫f(x)dx =F(x) + C。

其中，C为常数。

不定积分的基本定理可以用来求解函数的原函数，从而能够解决一些重要的实际问题。

例如，通过对速度函数求不定积分得到位移函数。

2.3 定积分的基本定理定积分的基本定理是指，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它在该区间上的定积分可以通过求原函数在区间端点的函数值之差来计算，表示为∫(a->b)f(x)dx = F(b) - F(a)。

其中，F(x)为f(x)的一个原函数。

定积分的基本定理可以帮助我们计算曲线下的面积、弧长、体积等，解决许多与变化率有关的实际问题。

例如，通过对速度函数在某时间区间上的定积分可以求得在该时间区间上的位移。

第三章：教学方法3.1 理论讲解通过简洁明了的语言，结合具体的例题，详细解释不定积分与定积分的基本定理。

引导学生理解定积分与不定积分的概念，并能够正确运用相应的定理解决相关运算问题。

3.2 基础练习给予学生一些基础的练习题，使他们能够巩固所学内容，并熟练掌握不定积分与定积分的基本定理的运用方法。

3.3 拓展应用给予学生一些拓展性较强的应用题，让他们能够运用所学的知识解决实际问题。

如求曲线下的面积、求解变化率等。

第四章：教学流程4.1 知识导入通过引入一道与定积分相关的问题，如“某物体匀速运动的速度函数是v(t)=2t，求3秒内物体移动的距离。

《微积分基本定理》教学设计论文

微积分基本定理教案

微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计

微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计

《微积分基本定理》微课教学设计

微积分基本定理教学设计专题

微积分基本定理教案

微积分基本定理教案

《微积分基本定理》微课教学设计

微积分基本定理 精品教案

微积分基本定理(教案)

定积分与微积分基本定理》教案

《微积分基本定理》的教学设计

微积分基本定理教案

微积分基本定理教学设计

微积分基本定理时教案

教案----微积分基本定理

高三数学《微积分的基本定理》数学分析教案

微积分基本定理说课稿教案教学设计

微积分基本定理说课稿教案教学设计

微积分基本定理精品教案