5.5.向心加速度_课件(人教版必修2)

B．向心加速度之比为1∶2
C．周期之比为1∶2 D．转速之比为2∶1
图 5－ 5－ 6
解析：选 B.根据两轮边缘线速度相等，由 v＝ωr 得， 角速度之比为 ωA∶ωB＝vArB∶(vBrA)＝1∶2， v 故 A 错；由 an＝ 得向心加速度之比为 aA∶aB r
2 ＝v2 r ∶ ( v A B BrA)＝1∶2，故 2
2πr B 对；由 T＝ v 得周
期之比为 TA∶TB＝rAvB∶(rBvA)＝2∶1， 故 C 错； v ω 由 n＝ ＝ 得转速之比为 nA∶nB＝ωA∶ωB＝ 2π 2πr 1∶2，故 D 错．
向心加速度的求解
例3 如图5－5－7所示，定滑轮的半径r＝2
cm.绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由 静止开始释放，测得重物以加速度a＝2 m/s2 向下做匀加速运动．在重物由静止下落1 m 的瞬间，滑轮边缘上P点的角速度ω＝ __________ rad/s，向心加速度an＝ __________ m/s2. 图 5－ 5－ 7
当 Δt 趋近于 0 时，Δθ 也趋近于 0，B 点 接近 A 点， Δv 与 vA 垂直， 指向圆心． 所 以向心加速度方向沿半径指向圆心． 因为 vA、vB 和 Δv 组成的三角形与△ Δv vA OAB 是相似三角形，所以 ＝ AB r AB· vA 即 Δv＝ r 将上式两边同时除以 Δt，得 Δv AB v ＝ × Δt Δt r
第五节
向心加速度
课标定位 学习目标：1.理解向心加速度的产生及向心 加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量， 知道其方向总是指向圆心且时刻改变． 2．知道决定向心加速度的有关因素，并能利 用向心加速度公式进行有关计算． 重点难点：1.对向心加速度概念的理解． 2．向心加速度与半径的关系．
课前自主学案
【精讲精析】
图线甲表明物体的向心加速
v2 度与半径成反比， 由 a＝ 可知， 物体运动的 r 线速度不变，选项 A 正确；图线乙表明物体 的向心加速度与半径成正比， 由 a＝ω2r 可知， 物体的角速度大小不变，选项 D 正确．
【答案】 AD
2 v 【方法总结】 (1)应用 an＝ω2r＝ r 进行
A．向心加速度越大，物体速率变化越快
B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C ．向心加速度的方向始终与速度方向垂 直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
解析：选 C.向心加速度是描述速度变化快慢的物理 量，但它总与速度方向垂直，不改变速度的大小， 只反映速度方向的变化快慢，A 错误；向心加速度 v2 的大小 an＝ 或 an＝ω2r，当 v 一定时，an 与 r 成反 r 比；当 ω 一定时，an 与 r 成正比，可见 an 与 r 的比 例关系是有条件的，故 B 错误；向心加速度的方向 始终与线速度方向垂直，即始终指向圆心，因此它 的方向在不断地变化，所以向心加速度不是恒量， 故匀速圆周运动也不能说是匀变速运动，应是变加 速运动，故 C 正确，D 错误．
v2 对于 an＝ ＝ω2r＝ωv，也适用于非匀 r 速圆周运动．
4．an与r的关系图象，如图5－5－3(a)(b)所 示．由an－r图象可以看出：an与r成正比还 是反比，要看是ω恒定还是v恒定． 图 5－ 5－ 3
5．向心加速度与合加速度的关系 (1)物体做匀速圆周运动时，向心加速度就 是物体运动的合加速度． (2)物体做非匀速圆周运动时，合加速度既 有沿切线方向的分量， 又有指向圆心方向的 分量， 其指向圆心方向的分量就是向心加速 v2 度，此时向心加速度仍满足：an＝ r ＝ω2r.
特别提醒：(1)由于向心加速度的方向时刻在 变，所以匀速圆周运动是一种变加速运动；
(2)向心加速度公式中， ω、 v、 a 必须对应同 一时刻； (3)在非匀速圆周运动中，加速度的两个分量： 切向加速度改变速度大小，向心加速度改变速 度方向．
即时应用 (即时突破，小试牛刀) 关于向心加速度的说法正确的是( )
例2 如图5－5－5所示，O 为皮带传动的主 1
A．1∶2∶3
C．8∶4∶3
B．2∶4∶3
D ． 3 ∶ 6∶ 2
【精讲精析】 因为皮带不打滑，A点与B 点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速 率，根据向心加速度公式：
v2 an＝ r 可得：aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1 由于 B、C 是固定在同一个轮上的两点，所 以它们的角速度相同，根据向心加速度的 公式： an＝ω2r 可得：aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5 由此可得 aA∶aB∶aC＝8∶4∶3.
定性讨论两个量之间的关系时，一定要 保持第三个量不变，否则不能确定这两 个量之间的关系； (2)利用该式进行计算时一定要明确 r 的 含义，即物体做圆周运动的轨道半径．
变式训练1 (2011年厦门高一检测)关于质 点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是
(
)
A．线速度大，加速度一定大 B．角速度大，加速度一定大 C．周期大，加速度一定大 D．加速度大，速度一定变化快
【思路点拨】 物体下落的速度大小等于P 点的速度大小．
【自主解答】 由 v2＝2ah 得下落 1 m 时物体的速度． v＝ 2ah＝ 2×2×1 m/s＝2 m/s 即 vP＝v＝2 m/s. ∴ω＝v/r＝2/0.02 rad/s＝100 rad/s 2 v 22 an ＝ ＝ m/s2＝200 m/s2. r 0.02
2 v2 4π r 2 解析：选 D.由 a＝ r ＝ω r＝ 2 可知， T
当 r 一定时，a 与线速度 v 的平方成正 比，与角速度 ω 的平方成正比，与周期 T 的平方成反比，A、B、C 错误；加速 度是描述速度变化快慢的， 加速度越大， 速度变化越快，D 正确．
传动装置中向心加速 度的计算 动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴 心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小 轮半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分 别是3个轮边缘上的点，则质点A、B、C的 向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( ) 图 5－ 5－ 5
2．在直线运动中，Δvv2和Δv不 在同一直线上，但Δv同样能用上述方法求得 ．
注意：任何一个矢量的变化量的求法都与Δv 的求法类似．
二、向心加速度 1．定义：任何做匀速圆周运动的物体，
圆心 ， 加速度都指向_____ 这个加速度被称为
向心加速度．
课堂互动讲练
对向心加速度公式的 理解和应用 (2011年陕西师大附中高一考试)如图5 －5－4是甲、乙两球做匀速圆周运动时，向 心加速度随半径变化的图象，其中图线甲为 一双曲线．由图象可以知道( )
例1
图 5－ 5－ 4
A．甲球运动时，线速度大小保持不变
B．甲球运动时，角速度大小保持不变
C．乙球运动时，线速度大小保持不变 D．乙球运动时，角速度大小保持不变 【思路点拨】 根据图象提供的曲线的性质 建立起质点做匀速圆周运动的向心加速度a 随半径r变化的函数关系，再根据这个函数 关系，结合向心加速度的计算公式作出判断 ．
v2 r . 2．公式：an＝_____ ω2r 或 an＝____
思考感悟 匀速圆周运动的向心加速度是否变化？ 提示：向心加速度的方向时刻改变．
核心要点突破
一、向心加速度的推导 如图5－5－2所示，物体从A点经时间Δt沿 圆周匀速率运动到B点，转过的角度为Δθ， 物体在B点的速度vB可以看成是它在A点的 速度vA(vA＝vB＝v)和速度的变化量Δv的合速 度，如图所示． 图 5－ 5－ 2
【答案】 C
【方法总结】
解决传动问题，首先弄
清哪些物理量相等，挖掘隐含条件是解 题关键．在讨论中，若两点线速度大小 v 相等，用 ω＝ 讨论 ω 与 r 的关系较为 r 方便；若两点角速度相等，用 v＝ωr 讨 论 v 与 r 的关系较为方便．
变式训练 2 (2011年武汉调研)在图5－5－ 6中，A、B为咬合传动的两齿轮，rA＝2rB， 则A、B两轮边缘上两点的( ) A．角速度之比为2∶1
核心要点突破 第 五 节
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
一、速度变化量Δv 1．Δv的求法 从同一点O作出物体在一段时间的始末两个 速度矢量v1和v2，从初速度矢量v1的末端至末 速度矢量v2的末端作一个矢量Δv，矢量Δv就 等于速度的变化量． v1、v2及Δv的关系，如图5－5－1所示． 图 5－ 5－ 1
二、对向心加速度的进一步理解
1．物理意义：描述速度方向改变的快慢． 2．方向：向心加速度的方向总是沿着半径 指向圆心，即方向始终与运动方向垂直．由 于向心加速度始终与速度垂直，故向心加速 度只改变速度的方向，不改变速度的大小， 故向心加速度的大小表示速度方向改变的快 慢．
3．公式
2 v2 4π an＝ ＝ω2r＝ 2 r＝4π2n2r＝ωv r T
【答案】
100
200
【方法总结】 重物下落过程中滑轮边缘的 线速度、向心加速度及滑轮的角速度在不断 增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系 及向心加速度与线速度、角速度的关系仍然 成立．
变式训练3 (2011年山西临汾模拟)飞机由俯 冲转为拉起的一段轨迹可以看成圆弧，如图 5－5－8所示，如果这段圆弧的半径r＝800 m，飞行员承受的加速度为8g.飞机在最低点 P的速率不得超过多少？(g取10 m/s2) 图 5－ 5－ 8
解析： 飞机在最低点做圆周运动， 其向心加 速度最大不得超过 8g 才能保证飞行员的安 v2 全 ． 由 公 式 an ＝ r 得 v ＝ 8×10×800 m/s≈253 m/s.
答案：253 m/s
an r ＝
知能优化训练
本部分内容讲解结束
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等式左边 Δv/Δt 即为向心加速度 an 的大 小，当 Δt 趋近于 0 时，AB/Δt 等于匀速 圆周运动的线速度 v，代入上式整理得 v an ＝ r . 将 v＝ωr 代入上式可得 an＝ω2r.