(2.2.2用样本数字特征估计总体数字特征(标准差、方差)
高中数学2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1
2.(1)由平均数公式得 x=
(182×27+80×21)≈81.13(分).
48
(2)因为男生的中位数是75分,所以至少有14人得分不超过75
分.
又因为女生的中位数是80分,所以至少有11人得分不超过80分.
所以全班至少有25人得分不超过80分.
(3)男生的平均分与中位数的差别较大,说明男生中两极分化现
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标 准差. 2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取 基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释. 3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,形成对 数据处理过程进行初步评价的意识.
x1 x2 xn
则 x =_______n_______.
2.方差、标准差 假设样本数据是x1,x2,x3,…,xn, x 是平均数,则 (1)方差是
s2=__n1［___x1___x_2____x_2 __x__2 ______x_n__x__2_］.
(2)标准差为
s=__n1_［__x_1__x__2___x_2___x_2____ __x_n___x__2 ］_.
【解题指南】1.由平均数和方差的定义直接求解.
2.先画出茎叶图,再利用平均数和方差结合的形式分析稳定性.
【自主解答】1.
s2
1 ［ 21
a1
x
2
a2 x
2
a20 x
2
xx
2
］
1 20 0.20 4 0.19.
21
21
答案:0.19
2.(1)作出茎叶图如下：
(2)派甲参赛比较合适.理由如下：
用样本的数字特征估计总体的数字特征
2. 右面是某校学生 日睡眠时间的抽样 h），试估计该校学 ），试估计该校学 ）， 生的日平均睡眠时 间。
睡眠时间 人 数 频 率 [6, 6.5) 5 0.05 [6.5, 7) [7, 7.5) [7.5, 8) [8, 8.5) [8.5, 9] 17 33 37 6 2 100 0.17 0.33 0.37 0.06 0.02 1
众数、中位数、 二 、 众数、中位数、平均数与 频率分布直方图的关系
频率 组距 例如，在上一节调查的 例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的 位居民的月均用水量的 问题中， 问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看 月均用水量的众数是2.25t.如图所示： 如图所示： 出，月均用水量的众数是 如图所示
8
3、平均数是频率分布直方图的“重心”. 、平均数是频率分布直方图的“重心” 是直方图的平衡点. 是直方图的平衡点 n 个样本数据的平均数 由公式: 由公式 x = 1 ( x 1 + x 2 + … + x n ) 给出
n
频率 组距
下图显示了居民月均用 水量的平均数: 水量的平均数
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
பைடு நூலகம்
22
标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知， 从标准差的定义可知，如果样本各数 据都相等，则标准差得0， 据都相等，则标准差得 ，这表明数据没 有波动幅度，数据没有离散性； 有波动幅度，数据没有离散性；若个体 的值与平均数的差的绝对值较大， 的值与平均数的差的绝对值较大，则标 准差也较大， 准差也较大，表明数据的波动幅度也很 数据的离散程度很高，因此标准差 大，数据的离散程度很高，因此标准差 描述了数据对平均数的离散程度。 描述了数据对平均数的离散程度。
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二) 标准差
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（二） 标准差 ●学习目标1、能从样本数据中求出标准差，并做出合理解释；2、进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的标准差估计总体的特征；3、注意对样本标准差的随机性的体会，并能够正确利用标准差解决一些简单的实际问题． ●学习重点从样本数据中求出标准差并做出合理解释；样本估计总体的思想． ●学习难点体会统计的作用和样本标准差的随机性，并利用标准差解决一些简单的实际问题． ●学习过程 一．温故知新1、众数、中位数和平均数都是描述一组数据_________的量．2、两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 分别求出这两名运动员射击成绩的众数、中位数和平均数，对这次射击情况应如何评价？二．走进课堂1、极差：反映一组数据的变化的___________，它对一组数中的______非常敏感，由此可以得到一种“______________，______________”的统计策略．2、标准差：考察样本数据的______________最常用的统计量，是样本数据到_______的一种____________，一般用s 表示．（1）标准差的表达式：______________________s =；变形得：s = （2）标准差的大小，受样本中每个数据的影响，如果数据间变异大，则标准差也大，反之则小．因此，标准差越大，数据的离散程度_____，标准差越小，数据的离散程度_____； （3）标准差的取值范围是：______s ∈；（4）标准差常被理解为稳定性，标准差的单位与原数值的单位相同． 如何对上面甲、乙两名射击运动员做出评价？3、方差：即标准差的平方2s ．（1）方差的表达式：2________________________________s =；（2）方差也是反映数据离散程度的特征数字，它的单位是原数值的单位的平方． 【夯实基础】（1）甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，下列说法正确的有（ ）①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定 ③乙队几乎每场都进球； ④甲队的表现时好时坏Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 （2）某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现记录有误，某甲得70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为1s ，则s 与1s 之间的大小关系是（ ）Ａ．s ＝1s Ｂ．s ＜1s Ｃ．s ＞1s Ｄ．不能确定 （3）已知一个样本为：x ，1，y ，5，其中x ，y 是方程组222,10x y x y +=⎧⎨+=⎩的解，则这个样本的标准差是（ ）Ａ．2 Ｃ．5（４）一组数据的方差是2s ，将这组数据中的每一个数都乘以2，得到一组新数据，其方差是（ ） Ａ．212s Ｂ．22s Ｃ．24s Ｄ．2s（５）一组数据中的每一个数都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）Ａ．81.2，4.4 Ｂ．78.8，4.4 Ｃ．81.2，84.4 Ｄ．78.8，75.6 （６）五个数1，2，3，4，a 的平均数是3，，则a =____，这五个数的标准差是_____．（７）若1a ，2a ，…，20a ，这20个数据的平均数为x ，方差为0.20，则数据1a ，2a ，…，20a ，x 这21个数据的方差约为__________（保留2位有效 ）．4、典例精析【例1】从一批棉花中抽取9根棉花的纤维，长度如下：（单位：mm ） 82，202，352，321，25，293，86，206，115． 求样本的平均数、样本的方差和样本的标准差．【例2】现有A 、B 两个班级，每个班级有45名学生参加一次测验，每名参加者可获得0，1B 班的测试结果如右图：（1）你认为哪个班级的成绩比较稳定？（2）若两班共有60人及格，则参加者最少获得 多少分才可能及格？5、课堂小结：（1）众数、中位数和平均数都是描述一组数据集中趋势的特征数；标准差、方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，标准差更具无偏性．（2）当两个样本的平均数相等或相差无几时，就要用标准差来反映样本数据的离散程度． 作业：。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
学习课题：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征※学习目标1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
※课前准备（阅读课本P71-P78）※探索新知一、众数、中位数、平均数众数：_______________________________________________________________________中位数：_______________________________________________________________________平均数：_______________________________________________________________________ 思考探究：1、在频率分布直方图中如何求出众数、中位数、平均数。
2、分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？3、你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？二、标准差、方差标准差S=思考探究：1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？注：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
※例题精析例：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：甲：900，920，900，850，910，920乙：890，960，950，850，860，890那种水稻的产量比较稳定？※当堂检测（ABC班完成）1、求下列各组数据的众数、中位数、平均数（1）1 ，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8（2）1 ，2，3，3，3，4，6，7，8，9，92、下列对一组数据的分析，不正确的说法是（）A、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定※延伸拓展(AB班完成)某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下表：（2）若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
举例 1. 甲在一次射击比赛中的得分如下: ( 单 位:环).7,8,6,8,6,5,9,10,7,5,则他命中的平均 数是_____. 7.1 2. 某次数学试卷得分抽样中得到:90分 的有3个人,80分的有10人,70分的有5人,60 77分 分的有2人,则这次抽样的平均分为______.
思考
2.2.2用样本的数字特征 估计总体的数字特征
创设意境
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击
10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥
的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规
如何从频率分布直方图中估计中位数？
练习
应该采用平均数来表示每一个国家项目的平 均金额，因为它能反映所有项目的信息.但平均数 会受到极端数据2200万元的影响，所以大多数项 目投资金额都和平均数相差比较大.
标准差
有两位射击运动员在一次射击测试中各射 靶十次，每次命中的环数如下：
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出 评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选 择？
律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行 研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征.
1. 众数
在一组数据中，出现次数最多
的数据叫做这一组数据的众数. 2. 中位数 将一组数据按大小依次排列，把 处在最中间位置的一个数据（或两个数据的 平均数）叫做这组数据的中位数. 3. 平均数 (1) x = (x1+x2+……+xn) /n (2) x = x’ +a (3) x = (x1f1+x2f2+……xkfk)/n
(完整版)用样本的数字特征估计总体的数字特征
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 （两课时）零号作业一、众数、中位数、平均数1、众数：(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势 [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．（3）在直方图中为最高矩形下端中点的横坐标 2、中位数：(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．[破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．（3） 直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.左右两边面积各占一半3、平均数：(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为xn＝x 1＋x 2＋…＋x nn(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．（3） 直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和. 二、标准差、方差1、标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用以下公式来计算s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较_ 小．2．方差(1)定义：标准差的平方，即s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小． (3)取值范围：[0，＋∞)3、数据组x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，标准差为s ，则数据组ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b (a ，b 为常数)的平均数为a x ＋b ，方差为a 2s 2，标准差为4、规律总结（1）用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据. 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据（2）平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策.（3）标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.列出一组样本数据的频率分布表步骤说明：1、对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由此可见抽样方法的重要性.2.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，如从一个包含6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本就有20中可能抽样，因此样本的数字特征也有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有惟一答案.3.在实际应用中，调查统计是一个探究性学习过程，需要做一系列工作，我们可以把学到的知识应用到自主研究性课题中去.一号作业11、众数(1)定义：一组数据中出现次数______的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据中的众数可能______一个，也可能没有，反映了该组数据的____________．在直方图中为最高矩形下端中点的____________最多不止集中趋势横坐标2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于______位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是______的，反映了该组数据的______________．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积______．．中间唯一集中趋势相等3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，x n的平均数为x n＝_________________.(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的_____________．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的______，但平均数受数据中_________的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的. ______x1＋x2＋…＋x nn平均水平信息极端值乘积之和4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算s＝__________________________.可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕______波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较______；标准差较小，数据的离散程度较______．1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]平均数大小5．方差(1)定义：标准差的平方，即s2＝________________________________________．(2)特征：与____________的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．(3)取值范围：___________．1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2] 标准差[0，＋∞)数据组x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b(a，b为常数)的平均数为a x＋b，方差为a2s2，标准差为as.典例讲解中位数、众数、平均数的应用例1据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：(1)求该公司的职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到1元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[解析](1)平均数是x＝1 500＋4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)平均数是x′＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．练习1：某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征？[答案](1)甲群市民年龄的平均数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋5710＝15(岁)，中位数为5岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．例2：(1)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差(2)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．①求这次测试数学成绩的众数．②求这次测试数学成绩的中位数．③求这次测试数学成绩的平均分．[解析](1)x甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的中位数是6，乙的中位数是5.甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4.甲的极差是4，乙的极差是4.所以A，B，D错误，C正确．(2)①由图知众数为70＋802＝75.②由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.③由图知这次数学成绩的平均分为：40＋502×0.005×10＋50＋602×0.015×10＋60＋702×0.02×10＋70＋802×0.03×10＋80＋902×0.025×10＋90＋1002×0.005×10＝72.[答案](1)C (2)见解析练习1：参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分布的茎叶图1和频率分布直方图2均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：求参加数学抽测的人数n，抽测成绩的中位数及分数分布在[80,90)，[90,100]内的人数．[答案]分数在[50,60)内的频率为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[90,100]内的同样有2人．由2n＝10×0.008，得n＝25.由茎叶图可知抽测成绩的中位数为73.∴分数在[80,90)之间的人数为25－(2＋7＋10＋2)＝4.参加数学竞赛人数n＝25，中位数为73，分数在[80,90)，[90,100]内的人数分一号作业21．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值都不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的值相等．其中正确的结论的个数() A．1B．2 C．3 D．42、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如下图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m O，平均值为x，则()A．m e＝m O＝x B．m e＝m O<x C．m e<m O<x D．m O<m e<x3、某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是() A．31,6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁4、阶段考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均分为N，那么M N为________．1、A 2 D 3、C 4、 15、为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2．3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4 1.60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2．70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？[解析](1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．标准差、方差的应用例3、从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？[解析]看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的苗的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米的苗高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数．(1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．所以x甲＜x乙．(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1042＝104.2(cm2)，s2乙＝110[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝110×1288＝128.8(cm2)．所以s2甲＜s2乙.[答案](1)乙种玉米的苗长得高，(2)甲种玉米的苗长得齐．练习1：甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有() A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1[答案] B练习2：一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下表：已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．[答案](1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝150×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.s2乙＝150×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256.因为s2甲＜s2乙，所以甲组成绩较乙组成绩稳定．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为20人，乙组成绩大于或等于90分的人数为24人，所以乙组成绩在高分阶段的人数多，同时，乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．一号作业31． 若样本数据x 1，x 2，……，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．322．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品7个月份的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前6个月的市场收购价格：则前7A.757 B.767 C ．11D.7873． 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数4．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)1、C2、B3、C4、1,1,3,3。
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征009
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(必修三数学009）制作人：李媛 备课组长签字：一、学习目标：1、能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、众数、中位数、方差、标准差），并做出合理的解释；2、正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.二、情景引入例：在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下甲运动员7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？三、新知学习 样本的数字特征：1、平均数：nx x x x n+++= 21 2、方差：n x x x x x x s n 222212)()()(-++-+-= 3、标准差：n x x x x x x s s n222212)()()(-++-+-== 说明：方差与标准差描述了数据对平均数的离散程度，即稳定性。
方差与标准差越小，表明数据的波动幅度越小，越稳定。
四、典型例题例1、甲、乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高； ③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差。
上面说法中正确的是 。
甲 乙 6 7 8 9 8 7 8 6 2 0 6 2 0 9 2 6变式：甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年甲 9．8 9．9 10．1 10 10．2乙 9．4 10．3 10．8 9．7 9．8其中产量比较稳定的小麦品种是 。
五、巩固练习1、数据5,7,7,8,10,11的标准差为 .2、甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表: 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4 123s s s ，， 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．231s s s >>3、某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由 此求出的平均数与实际平均数的差是( )A ．3.5B ．3-C ．3D ．5.0-4、已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，标准差是2，则xy =5、如果数据n x x x ,,,21 的平均数为x ，方差为2s ，则53,,53,5321+++n x x x 的平均值和方差分别为（ ） （A ）x 和2s （B ）53+x 和29s （C ）53+x 和2s （D ）53+x 和253092++s s六、小结七、课后作业全品测评卷P29，1~9，11；（10、12选作）。
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差
标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是 平均数向我们提供了样本数据的重要信息 但是 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断． 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因 为这个平均数掩盖了一些极端的情况， 为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极 端情况显然是不能忽的．因此， 端情况显然是不能忽的．因此，只有平均数还难 以概括样本数据的实际状态． 以概括样本数据的实际状态． 如：有两位射击运动员在一次射击测试中各 射靶10次 每次命中的环数如下： 射靶 次，每次命中的环数如下：
考察样本数据的分散程度的大小， 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是 标准差． 标准差． 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示 表示． 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用 表示． 所谓“平均距离” 其含义可作如下理解： 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解： 假设样本数据是 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n , x 表示这组数据的平均 的距离是： 数,则 x i 到 x 的距离是： 则 的平均距离是： 于是样本数据 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n 到 x 的平均距离是：
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 乙 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
222用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)方差标准差讲解
性质归纳：kan b的平均数和方差：
已知a1，a2，，an的平均数是3，方差是2． 则a1 b，a2 b，，an b的平均数是3 b， 方差是2． ka1，ka2，，kan的平均数是3k，方差是2k 2．
标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
假设样本数据是x1,x2,...xn ,x 表示这组数据的平均数，xi到 x
的距离是
-
xi - x (i = 1,2,… ,n).
， ：
-
于是
样本数据x1,
x2,
x
到
n
x
的“平均距离”是
x1 x x2 x xn x
2.2.2用样本的数字特征估计总体 的数字特征（2） 方差、标准差
学习目标 1.明确标准差、方差等数字特征的意义，深刻 体会它们所反映的样本特征。 2.会用样本的数字特征估计总体的的数字特征， 初步体会样本的数字特征的随机性
复习回顾
一.什么是一组数据的众数、中位数及平均数？
众数：一组数据中出现次数最多的数据。
[解析] (1)甲组成绩的众数为 90 分，乙组成绩的众数为
70 分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)s
2
甲
＝
1 2＋5＋10＋13＋14＋6
×[2×(50
－
80)2
＋
5×(60
－ 80)2 ＋ 10×(70 － 80)2 ＋ 13×(80 － 80)2 ＋ 14×(90 － 80)2 ＋
A．众数 B．平均数
必修三2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特征
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规律方法 1.中位数的求法 (1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列 的中间那个数． (2)当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个 数的平均数． 2．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数 据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．
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自学导引
众数、中位数、平均数的概念 1． 次数 最多的数称为这组数据的 (1)众数：一组数据中出现_____ 众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有．众 集中趋势 ．在频率分布直方图中， 数反映了该组数据的_________ 中点 就是数据的众数． 最高矩形的_____ (2)中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 _____ 中间 位置的数称为这组数据的中位数(或两个数据的平均 数)．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的 集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直 方图的面积_____ 相等 .
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1 解 (1) 利 用 平 均 数 计 算 公 式 得 x ＝ (82×27 ＋ 48 80×21)≈81.13(分)． (2)∵男同学的中位数是75， ∴至少有14人得分不超过75分．
又∵女同学的中位数是80， ∴至少有11人得分不超过80分． ∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)． (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中 两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．
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(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描 述．极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据 中的极端值非常敏感，方差则反映了一组数据围绕平均数 波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅 度，通常用标准差——样本方差的算术平方根来描述． (5)标准差的大小不会越过极差． (6)方差、标准差、极差的取值范围：[0，＋∞)．当标准 差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动 幅度，数据没有离散性． (7)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大 了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的 分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标 准差．
2-2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
次，5出现三次，5出现的次数最多，所以5为众数．
第二章
2 .2
2．2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
2．中位数 (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于
中间 位置的数称为这组数据的中位数．
(2)特征：一组数据中的中位数是 唯一 的，反映了该组数 据的 集中趋势． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积 相等．
第二章
2 .2
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温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布．为了更好地把握总体的 规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究．
第二章
2 .2
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第二章
2 .2
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据；当样本数据个数为偶数时，中位数则是中间两个数据的
平均数 ，当这两个数据相等时，中位数是样本数据，否则
它不是样本数据，众数则是指在样本数据中出现次数 最多 的 数据，众数不一定 唯一．通过本节的学习，我们会更深刻地 理解这些数字特征，并能通过频率分布直方图去估算它们， 这也是我们学习的重点和难点所在．
在初中，我们已经学过平均数描述了数据的 平均 水平， 定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．我们也知道可以 用样本的平均数去估计总体的平均水平，而样本数据的方 差、标准差则反映了数据的离散程度．方差或标准差越 小 ， 数据越集中，总体越均衡；方差或标准差越 大 ，数据越分 散，总体越不均衡．而中位数则是指样本数据按从小到大(或 从大到小)的顺序排列后，处于 中间 位置的一个量，当样本数 据个数为奇数时， 中间一个数据 就是中位数，它是样本数
高中数学人教A版必修三课时习题：第2章 统计 2.2.2.2含答案
2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征第2课时方差、标准差课时目标1.理解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差和标准差，掌握用样本方差或标准差去估计总体方差或总体标准差的方法．2．会用平均数和方差对数据进行处理与比较．识记强化标准差及方差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．标准差的平方s2叫做方差，也为测量样本数据分散程度的工具．若样本数据是x1，x2，…，x n，x表示这组数据的平均数，则s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋x n－x2]；s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]．课时作业一、选择题1．下列说法正确的是( )A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大C ．2x －＋3和s 2D ．2x －＋3和4s 2＋12s ＋9 答案：B解析：由平均数、方差的求法可得．6．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是( )A ．甲B ．乙C ．甲、乙相同D ．不能确定 答案：B解析：方差或标准差越小，数据的离散程度越小，表明发挥得越稳定．∵5.09>3.72，故选B.二、填空题7．已知样本9、10、11、x 、y 的平均数是10，方差是2，则xy ＝________. 答案：96解析：由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50，∴x ＋y ＝20，又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2＝(2)2×5＝10，得x 2＋y 2－20(x ＋y )＝－192，(x ＋y )2－2xy －20(x ＋y )＝－192，xy ＝96.8．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.答案：6.8解析：x ＝15(8＋9＋10＋13＋15)＝11，s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.9．若k 1，k 2，…，k 8的方差为3，则2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 8－3)的方差为________． 答案：12解析：设k 1，k 2，…，k 8的平均数为k ，则18[(k 1－k )2＋(k 2－k )2＋…＋(k 8－k )2]＝3，而2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 8－3)的平均数为2(k －3)，解析：x 9＝x 8＋19(x 9－x 8)＝5＋19×(4－5)＝449，s 29＝89[s 28＋19(x 9－x 8)2]＝89[22＋19(4－5)2]＝29681. 13．下图为我国10座名山的“身高”统计图，请根据图中信息回答下列问题。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
说出众数，中位数和平均数
讨论探究
某学校高一甲班和高一乙班各有49名学生，两班在一次数学 测试中的成绩统计如下：
班级甲班Leabharlann 平均分79众数
70
中位数
87
标准差
19.8 5.2
79 70 79 乙班 (1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为
79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” (2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要 分析，并提出建议．
班级
甲班 乙班
平均分
79 79
众数
70 70
中位数
87 79
标准差
19.8 5.2
解：(1)由于甲班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则 85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上 游，成绩应该属于中游． 但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他 对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可 以说属于上游． (2)甲班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占 一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多， 两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助． 乙班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之 间差别较小，学习很差的学生少，但学生优异的也少，建议采 取措施提高优秀率．
用样本的频率分布估计总体分布
习题课
学习目标 （1）会根据数据列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图，并会读取直方 图中的信息
例：对某电子元件进行寿命跟踪调查，情况如下
寿命/h 个数 100—200 200—300 300—400 400—500 500—600 20 30 80 40 30
山东省高中数学《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案2 新人教A版必修3
第2课时标准差导入新课思路1平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.(教师板书课题)思路2在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛？我们知道,x甲=7，x乙=7.两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没有水平差距呢？从上图直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据——标准差.推进新课新知探究提出问题(1)如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？(2)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现,两个样本的平均数均为125.甲110 121312512125135125135125乙115 112513115125125145125145哪种钢筋的质量较好？(3)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产量分别如下:(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?(4)全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平.民政局对该市100户家庭进行调查统计,它们的人均收入达到了1.6万元,民政局即宣布该市民生活水平已达到小康水平,你认为这样的结论是否符合实际?(5)如何考查样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?讨论结果：(1)利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点） 估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. (2)由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论. (3)选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.(4)不符合实际.样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统计数据的分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,都是考察数据的分散程度.(5)把问题(3)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.标准差：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示. 所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ,x 表示这组数据的平均数.x i 到x 的距离是|x i -x |(i=1,2,…,n).于是,样本数据x 1,x 2,…,x n 到x 的“平均距离”是S=nx x x x x x n ||||||21-++-+- .由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差: s=])()()[(122221x x x x x x nn -++-+- .意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数x =1.973，标准差s=0.868，所以x +s=2.841,x +2s=3.709； x -s=1.105,x -2s=0.237.这100个数据中，在区间［x -2s,x +2s ］=［0.237,3.709］外的只有4个，也就是说，［x -2s, x +2s ］几乎包含了所有样本数据.从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具： s 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］.显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差.需要指出的是,现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.如导入中的运动员成绩的标准差的计算器计算.用计算器计算运动员甲的成绩的标准差的过程如下：即s 甲=2.用类似的方法，可得s 乙≈1.095.由s 甲>s 乙可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定. 应用示例思路1例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 分析：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83. 它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm): 甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值. 解：用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.点评：从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性. 变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 解：运用计算器计算得：100450126024701880309012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=79.40,(12+30+18+24+12)÷100=96%,所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.410.310.89.79.8解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为 ［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02. 乙品种的样本平均数也为10,样本方差为 ［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24. 因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.例2 为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.天数151—180 181—210 211—240 241—270 271—300 301—330 331—360 361—390灯泡数1111820251672分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命. 解：各组中值分别为165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均数约为165×1%+195 ×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天). 这些组中值的方差为1001×［1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2］=2 128.60(天2). 故所求的标准差约6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天. 知能训练 （1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.（2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ,方差为s 2,则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差是____________. (3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36试判断选谁参加某项重大比赛更合适？ 答案：（1）9.5,0.016 （2）a 2s 2(3)甲x ＝33，乙x ＝33,33734722=>=乙甲s s ,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适. 拓展提升某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.解：这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数鱼的条数鱼塘中所有带有标记的条鱼中带有标记的条数)(x aa =这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入. 课堂小结1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度. 2.用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征）,需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才能不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也就越精确. 作业习题2.2A 组4、5、6、7,B 组1、2.设计感想统计学科,最大的特点就是与现实生活的密切联系,也是新教材的亮点.仅仅想借助“死记硬背一些概念及公式,简单模仿课本例题”来学习,是绝对不行的.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差,其原因在于样本的随机性.这种偏差是不可避免的.虽然我们从样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正分布、均值和标准差,而只是总体的一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本的容量很大时,它们确实反映了总体的信息.教师建议：亲身经历“提出问题,收集数据,分析数据,并作出合理决策”过程,在此过程中不仅可以加深对概念等知识的深刻理解,更重要的是发展了思维,培养了分析及解决问题能力,同时在情感、意志等领域也得到了协调发展,这才是学校学习的科学而全面的目标,习题设置有层次,尽量源于教材,又高于教材,这也是高考命题原则.。
用样本的数字特征估算总体的数字特征
（1）多高株苗在这两种玉米中最常见？
（2）哪种玉米要长得高一些？
（3）哪种玉米要长得齐一些？
例1：某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名 学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
标准差越小，表示数据越稳定，离散程度越 小；标准差越大，则说明数据差异很大，离 散程度大，不稳定。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中的10 次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 你能说说谁的成绩更稳定吗？
随堂练习：下面是甲乙两个品种玉米的株高情况，各抽10 柱，情况为：（单位：cm）
5、平均数：将样本中所有数据求和之后，除以样本中 个体的个数，得到的结果。它是最常用的表现数据平均 水平的量。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中 的10次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 1、计算甲乙二人的平均成绩，说说谁的更好。 2、甲乙二人的射击成绩中，中位数是多少？众数呢？ 对于选手来说，稳定性也很重要，有没有什 么数据能够说明样本的稳定性的？
变式题:为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图， 则 (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数、众数和平均 数分别为多少？
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在数；
(2)求这次测试数学成绩的平均数；
（1）利用直方图估算众数， (3)求这次测试数学成绩的中位数。 即频数最高区域两端点的平 均值。 （2）利用直方图估算平均数，将各组 的两端点的平均值作为各组的平均数。 （3）利用直方图估算中 位数，利用中位数左边右 边各占一半，故直方图面 积也应该各占50%。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的
25.49 25.32
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量 ks5u精品课件 较高？
x 甲 » 25.401 s甲 » 0.037
x 乙 » 25.406
s乙 » 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定 程度较高，故甲生产的零件质量较高.
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是 总体的平均数.
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例5 有20种不同的零食，它们的热量 含量如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 （1）以上20个数据组成总体，求总体平 均数与总体标准差； （2）设计一个适当的随机抽样方法，从 总体中抽取一个容量为7的样本，计算样 本的平均数和标准差.
（3）
O
1Байду номын сангаас2 3 4 5 6 7 8
（4）
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例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种 零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们 生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸 如下（单位：mm）：
甲 ： 25.46 25.45 25.44 乙： 25.40 25.49 25.47 25.32 25.38 25.40 25.43 26.36 25.31 25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32 25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32 25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32 25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48 25.42 25.40
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)
x)2
(xn
x)2
.
2.方差:
s2
1 n
(x1 x)2
(x2
x)2
....... (xn
x)2
标准差，方差越小，数据的波动越小， 越稳定。
五种数字特征:
1、众数反映样本数据局部较集中的数据信息 2、中位数反映处于中间部位的数据信息 3、平均数反映所有数据的平均水平 4、方差、标准差反映数据的离散程度（稳定性）
0.2
O 12345678
（1）
频率
x5
1.0 0.8
s 2.83
0.6
0.4
0.2
O 12345678
频率
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
（4）x 5 s 0.82
O 12345678
（2）
1、标准差： s
1 n
(x1
x)2
(x2
x)2
(xn
x)2
.
2.方差: 从数学角度考虑,有时也可以用标准差的平
C.x1 x2 L xn 0 D.总体方差一定是0
7.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出
的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，
9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数 据的平均值和方差分别为_9_.5_，__0._0_1_6
1、标准差：s
1 n
(x1
x)2
(x2
甲的环数极差=10-4=6 乙的环数极差=9-5=4.
1、标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。
一般用s表示。它用来描述样本数据的离散程度。
在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是x1, x2,...xn , x 表示这组数据的平均数。xi到 x的距离是
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（甲）
频率 0.4 0.3 0.2 0.1 O
（乙）
4 5 6 7 8 9 10
环数
4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大，乙的 成绩相对集中，比较稳定.
极差： 一组数据的最大值与最小值的差
极差越大，数据越分散，越不稳定 极差越小，数据越集中，越稳定
3．(高考题)某学员在一次射击测试中射靶10次，命 中环数如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． 答案 (1)7 (2)2
利用平均值和标准差公式求解． － 7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4 (1)x＝ ＝7. 10 1 2 (2)s ＝ [(7－ 7)2 ＋ (8－ 7)2＋ (7－ 7)2 ＋(9 － 7)2＋ (5－ 7)2 ＋ 10 (4－7)2＋(9－7)2＋(10－ 7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4， ∴s＝2. 解析
－
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又 s甲 2 ＞ s乙 2 ， 所以乙机床加工零件的质量更稳定．
规律方法
1.极差、方差与标准差的区别与联系：
数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．
(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变
化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感． (2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到
1 解 (1)x甲＝ (99＋ 100＋ 98＋ 100＋ 100＋ 103)＝ 100， 6 － 1 x乙＝ (99＋ 100＋ 102＋ 99＋ 100＋ 100)＝ 100. 6 1 2 s 甲 ＝ [(99－ 100)2＋ (100－ 100)2＋(98－ 100)2＋ (100－ 100)2＋ 6 7 2 2 (100－ 100) ＋ (103－ 100) ]＝ ， 3 1 2 s 乙 ＝ [(99－ 100)2＋ (100－ 100)2＋(102－ 100)2＋ (99－ 100)2＋ 6 (100－ 100)2＋ (100－ 100)2]＝ 1.
本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致
的，在实际应用中一般多采用标准差.
要点二 平均数和方差的运用 例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的 零件，为检验质量，各从中抽取6件测量， 数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的 质量更稳定．
以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方
差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题还要研究方 差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同 的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，
稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．
思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙 两名运动员各射击10次，每次命中的环 数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分 别为多少环？
x甲 7，
x乙 7
思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观 察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其 水平差异在那里吗？
( x 1 - x ) + ( x 2 - x ) + L + (x n - x ) s= n
2
2
2
那么标准差的取值范围是什么？标准差为 0的样本数据有何特点？ s≥0，标准差为0的样本数据都相等.
思考5：对于一个容量为2的样本：x1，
x1 + x 2 x 2 - x1 x2(x1<x2)，则 x = ,s = 2 2
s甲=2，s乙=1.095.
设一组样本数据 x1，x2，…，xn ，其平均数为
x ，则
1 s [( x1 x )2 ( x2 x )2 n
2
( xn x ) 2 ]
它的算术平方根 称s2为这个样本的方差，
1 2 2 s [( x1 x ) ( x2 x ) n
( xn x ) ]
2
称为这个样本的标准差，分别称为样本方差、样本标准差
1．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的 是( ) A．众数 B．平均数 C．标准差 D．中位数 答案 C 2．样本101，98，102，100，99的标准差为 ( )
A. 2 B． 0 C．1 D．2
答案
A
－
解析 样本平均数x＝100，方差为 s2＝2，∴标准差 s＝ 2， 故选 A.
知识探究（二）：标准差 、方差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本 数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算， 不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数 据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息， 但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平 均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使 用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置， 可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本 数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字 刻画样本数据的离散程度.
极差体现了数据的离散程度
思考3：对于样本数据x1，x2，„，xn ， 设想通过各数据到其平均数的平均距离 来反映样本数据的分散程度，那么这个 平均距离如何计算？
| x1 - x | + | x 2 - x | + L + | xn - x | n
思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最 常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设 样本数据x1，x2，„，xn的平均数为，则标准 差的计算公式是：
在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？ 由此说明标准差的大小对数据的离散程度有 何影响？
标准差越大离散程度越大，数据较分散； 标准差越小离散程度越小，数据较集中 在平均数周围.
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的 标准差，比较其射击水平的稳定性. 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
例3 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩 (单位：环)，结果如下：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 乙 87 89 91 90 90 91 89 88 93 92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差 为________． 答案 2
解析 由表中的数据计算可得x甲＝90，x乙＝90，且方差 s 甲 2＝ （ 87－ 90）2＋（ 91－ 90） 2＋（ 90－90）2＋（ 89－ 90） 2＋（ 93－ 90） 5 ＝ 4. s 乙 2＝ （ 89－ 90）2＋（ 90－ 90） 2＋（ 91－90）2＋（ 88－ 90） 2＋（ 92－ 90） 5 ＝ 2.所以乙运动员的成绩较稳定，方差为 2.
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－
1．一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中
位数时，必须先排序． 2．利用直方图求数字特征 (1)众数是最高的矩形的底边的中点． (2)中位数左右两边直方图的面积应相等．
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横
坐标之和． 3．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样