名师的教学主张及其研究
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一、欣赏巧思妙解
案例 1：已知点 P 为曲线 xy 5 x 2 y 3 0 上任意一点， O 为坐标原点，
2
则 OP 的最小值为（ ）.
A. 5
2
B. 6
2
C. 2
D.2 3
3
剖析 1：设 P(x，y) ，则 OP x2 y 2 ，欲求 OP 最小值，
先求 x 2 y 2 的最小值.以 x 作为主元（构造单主元）得到：
非常有趣的是：2015年湖北省高三四月份调研考试理科试题中也有一道 填空题压轴题，原题如下（以下简称案例2）：
案例 2：已知函数 f (x) sin x cosx sin x 2 cosx （ 0 x ），则函数 f (x) 的最
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2
大值为（
）.
案例1与案例2都是2015年湖北省高三调研试题的压轴题.这让我产生浓厚兴趣！一则
，看似案例1与案例2毫不相干，其本质完全相同！二则，同一地区、同一届高三毕业班在
短短两个月的时间内的调研试题所采用的解法本质相同.也许命题专家考虑到二月份作为
压轴题考过，应该大部分学生基本掌握，为了进一步巩固这类题型，有意在四月份作为选
择题（倒数第二）而不是作为倒数第一个选择题的原因吧；三则，一般来说在较短的时间
1 深度剖析案例1
案例1源自2015年湖北省高三二月份调研考试理科选择题压轴题，显然案例 1起着把关作用．仅从表面上看，案例1是一道考查曲线、函数及不等式等相关 知识的综合性试题，因此一般思路是从导数的视角切入．倘若从导数切入，运 算量极大，解答过程极其复杂.那为何得到上述巧思妙解呢？依据又是什么呢？ 换一句话说，怎样想到上述解法呢？俗话说得好，擒贼先擒王．如果我们明白 命题专家命制案例1的心路历程，顺藤摸瓜，自然就可以获得上述巧思妙解．莫 斯科大学雅诺夫斯卡娅一语道破：“数学解题意味着什么？数学解题就是把问 题归结为已经见过的、熟悉的，甚至已经解决了的问题．”
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2
2
剖析 2：设 P(x，y) ，则 OP x2 y 2 ，欲求 OP 最小值，
先求 x 2 y 2 的最小值.以 y 作为主元（构造单主元）得到：
x2 y2
x2 y 2 xy 5 x 2 y 3 2
y 2 (x 2) y x2 5 x 3
2
y
x
2 2
x
2 2
剖析 1：按 x 的降幂（即将 x 作为主元）排列可得 x2 y 2 xy 3(x y 1)
x2 ( y 3)x ( y 2 3y 3)
x
y
3 2
3
y2
3
y
3
2 4 2 4
x
y
3 2
Fra Baidu bibliotek
3(y
1) 2
0.
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当且仅当 x y 3 0 ， y 1 0 ，即当 x 1， y 1 0 时等号成立. 2
题是如何构思的？换句话说，命题专家是如何命制出这样两道高质量试题呢？
原来命题专家之所以能够命制出上述案例1、案例2这样高质量的试题，源自2009
年中国科技大学自主招生中的一道试题（以下简称案例3），原题如下：
案例 3：求证：对任意的实数 x 、 y 恒有 x 2 y 2 xy 3(x y 1) .
x2 y2
x2 y 2 xy 5 x 2 y 3 2
x 2 y 5 x y 2 2 y 3 2
x
y
5 2
y
5 2
y2
2y 3
2 4 2 4
x
y
5 2
3
y
1 2
5
5
.
2 4 4 2 4 4
当且仅当 x y 5 0 ， y 1 0 x 1， y 1 时等号成立.
内不会考查同一解法的试题，尤其是“把关”题，毕竟调研卷还是面稍微大一些、题型多
一些，这样更利于学生全面铺开复习、见识更多题型、掌握更多方法，显然命题专家有其
明确用意.四则，对于重点知识、重要模块，尤其是涉及曲线、函数及不等式等高考必考
的相关知识的综合性试题可以经常考、反复考、重点考也在情理之中；五则，这道优美试
剖析 2：按 y 的降幂（即将 y 作为主元）排列可得
x2 y 2 xy 3(x y 1)
y 2 (x 3) y (x2 3x 3)
y x 3 2 3 x2 3 x 3 2 4 2 4
y
x
3 2
3 (x 1)2
0
.
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剖析 3：同时按 x 、 y 的降幂（即将 x 、 y 同时作为主元）排列可得
x2 y 2 xy 3(x y 1) (x2 2x 1) ( y 2 2 y 1) (xy x y 1)
(x 1)2 ( y 1)2 (x 1)( y 1)
(x 1)
y 1 2 2
3 ( y 1)2 4
0.
剖析 4：同时按 x 、 y 的降幂（即将 x 、 y 同时作为主元）排列可得
安振平先生指出：“巧思妙解不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技， 而是一种高思维层次、高智力水平的艺术，是一种独立于史诗、音乐、绘画之外的 数学美．”罗增儒教授指出：“巧思妙解不是低层次技巧的堆切，而是对知识内容 的深层认识．巧思妙解不是特殊技巧的神秘操作，而是对题目结构特征的充分挖掘 ．”基于此，怎样才能对知识内容达到深层次的认识呢？怎样才能对题目的结构特 征进行充分挖掘呢？
x2
5
x
3
2 2
2
y
x
2
1
3
x2
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x
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2 4 2 4 4
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1
x
2
1
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(x
1) 2
5
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.
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当且仅当 y 1 x 1 0 ， x 1 0 x 1， y 1 时等号成立.
2
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二、诠释巧思妙解
思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括及间接反映.解题就是一种 思维活动.解题不仅要结果，而且要呈现解题活动的必要过程，更要充分暴露解题 的思维.巧思妙解则是解题的最高境界，因此巧思妙解的构思过程就是思维发散的 历程．而发散思维则指大脑在思维时呈现一种扩散状态的思维模式，主要表现为视 野广阔、多维发散，故而发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维 ．巧思妙解有利于培养学生发散思维，优化思维品质，激发创新意识及创造力．
剖析 5：利用上述剖析 1 的过程所得并构造二次函数：
f (x) x2 ( y 3)x ( y 2 3y 3) .
案例 1：已知点 P 为曲线 xy 5 x 2 y 3 0 上任意一点， O 为坐标原点，
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则 OP 的最小值为（ ）.
A. 5
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B. 6
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C. 2
D.2 3
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剖析 1：设 P(x，y) ，则 OP x2 y 2 ，欲求 OP 最小值，
先求 x 2 y 2 的最小值.以 x 作为主元（构造单主元）得到：
非常有趣的是：2015年湖北省高三四月份调研考试理科试题中也有一道 填空题压轴题，原题如下（以下简称案例2）：
案例 2：已知函数 f (x) sin x cosx sin x 2 cosx （ 0 x ），则函数 f (x) 的最
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大值为（
）.
案例1与案例2都是2015年湖北省高三调研试题的压轴题.这让我产生浓厚兴趣！一则
，看似案例1与案例2毫不相干，其本质完全相同！二则，同一地区、同一届高三毕业班在
短短两个月的时间内的调研试题所采用的解法本质相同.也许命题专家考虑到二月份作为
压轴题考过，应该大部分学生基本掌握，为了进一步巩固这类题型，有意在四月份作为选
择题（倒数第二）而不是作为倒数第一个选择题的原因吧；三则，一般来说在较短的时间
1 深度剖析案例1
案例1源自2015年湖北省高三二月份调研考试理科选择题压轴题，显然案例 1起着把关作用．仅从表面上看，案例1是一道考查曲线、函数及不等式等相关 知识的综合性试题，因此一般思路是从导数的视角切入．倘若从导数切入，运 算量极大，解答过程极其复杂.那为何得到上述巧思妙解呢？依据又是什么呢？ 换一句话说，怎样想到上述解法呢？俗话说得好，擒贼先擒王．如果我们明白 命题专家命制案例1的心路历程，顺藤摸瓜，自然就可以获得上述巧思妙解．莫 斯科大学雅诺夫斯卡娅一语道破：“数学解题意味着什么？数学解题就是把问 题归结为已经见过的、熟悉的，甚至已经解决了的问题．”
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剖析 2：设 P(x，y) ，则 OP x2 y 2 ，欲求 OP 最小值，
先求 x 2 y 2 的最小值.以 y 作为主元（构造单主元）得到：
x2 y2
x2 y 2 xy 5 x 2 y 3 2
y 2 (x 2) y x2 5 x 3
2
y
x
2 2
x
2 2
剖析 1：按 x 的降幂（即将 x 作为主元）排列可得 x2 y 2 xy 3(x y 1)
x2 ( y 3)x ( y 2 3y 3)
x
y
3 2
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y
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Fra Baidu bibliotek
3(y
1) 2
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当且仅当 x y 3 0 ， y 1 0 ，即当 x 1， y 1 0 时等号成立. 2
题是如何构思的？换句话说，命题专家是如何命制出这样两道高质量试题呢？
原来命题专家之所以能够命制出上述案例1、案例2这样高质量的试题，源自2009
年中国科技大学自主招生中的一道试题（以下简称案例3），原题如下：
案例 3：求证：对任意的实数 x 、 y 恒有 x 2 y 2 xy 3(x y 1) .
x2 y2
x2 y 2 xy 5 x 2 y 3 2
x 2 y 5 x y 2 2 y 3 2
x
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y
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y2
2y 3
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当且仅当 x y 5 0 ， y 1 0 x 1， y 1 时等号成立.
内不会考查同一解法的试题，尤其是“把关”题，毕竟调研卷还是面稍微大一些、题型多
一些，这样更利于学生全面铺开复习、见识更多题型、掌握更多方法，显然命题专家有其
明确用意.四则，对于重点知识、重要模块，尤其是涉及曲线、函数及不等式等高考必考
的相关知识的综合性试题可以经常考、反复考、重点考也在情理之中；五则，这道优美试
剖析 2：按 y 的降幂（即将 y 作为主元）排列可得
x2 y 2 xy 3(x y 1)
y 2 (x 3) y (x2 3x 3)
y x 3 2 3 x2 3 x 3 2 4 2 4
y
x
3 2
3 (x 1)2
0
.
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剖析 3：同时按 x 、 y 的降幂（即将 x 、 y 同时作为主元）排列可得
x2 y 2 xy 3(x y 1) (x2 2x 1) ( y 2 2 y 1) (xy x y 1)
(x 1)2 ( y 1)2 (x 1)( y 1)
(x 1)
y 1 2 2
3 ( y 1)2 4
0.
剖析 4：同时按 x 、 y 的降幂（即将 x 、 y 同时作为主元）排列可得
安振平先生指出：“巧思妙解不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技， 而是一种高思维层次、高智力水平的艺术，是一种独立于史诗、音乐、绘画之外的 数学美．”罗增儒教授指出：“巧思妙解不是低层次技巧的堆切，而是对知识内容 的深层认识．巧思妙解不是特殊技巧的神秘操作，而是对题目结构特征的充分挖掘 ．”基于此，怎样才能对知识内容达到深层次的认识呢？怎样才能对题目的结构特 征进行充分挖掘呢？
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当且仅当 y 1 x 1 0 ， x 1 0 x 1， y 1 时等号成立.
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二、诠释巧思妙解
思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括及间接反映.解题就是一种 思维活动.解题不仅要结果，而且要呈现解题活动的必要过程，更要充分暴露解题 的思维.巧思妙解则是解题的最高境界，因此巧思妙解的构思过程就是思维发散的 历程．而发散思维则指大脑在思维时呈现一种扩散状态的思维模式，主要表现为视 野广阔、多维发散，故而发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维 ．巧思妙解有利于培养学生发散思维，优化思维品质，激发创新意识及创造力．
剖析 5：利用上述剖析 1 的过程所得并构造二次函数：
f (x) x2 ( y 3)x ( y 2 3y 3) .