2007-2008学年高二数学第一次月考试卷
高二数学第一次月考
高二数学第一次月考试卷班别: 姓名:一、选择题（每小题5分，共50分）1．在△ABC 中，若a = 2 ,b =,030A = , 则B 等于（ ） A ．60 B ．60 或 120 C ．30 D ．30 或1502．在数列1,1,2,3,5,8,,21,34,55x 中，x 等于（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 3．等比数列{}n a 中, 259,243,a a ==则{}n a 的前4项和为（ ） A ． 81 B ．120 C ．168 D ．192 4.已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 5+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( )A ．12B ．16C ．20D ．245．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是( )A.130B.170C.210D.2606．已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于( )A.13-B.3-C.13D.37．设a b >，c d >，则下列不等式成立的是（ ）。
A.a c b d ->-B.ac bd >C.a dc b> D.b d a c +<+8．不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）A.0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>9．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A. a<-7或 a>24 B. a=7 或 a=24 C. -7<a<24 D. -24<a<7 10. 在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解二、填空题（每小题5分，共20分）11．在ABC ∆中, 若21cos ,3-==A a ,则ABC ∆的外接圆的半径为 _____. 12．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
高二数学(理)月考试题
高二下学期数学第一次月考试卷（理）(总分：150分 时间：120分钟)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是（ ） A ．P M = B ．P M ∈ C ．φ=P M D ．P M ⊇2、等比数列{}n a 中，已知3231891===q a a n ，，，则n 为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．63、“3x >”是“24x >”的（ ）.A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、在△ABC 中，a ＝，b ＝B ＝45°，则A 等于（ ）.A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ．60°或120°5、函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ 6、不等式1213≥--xx 的解集是 ( ) A ．{x|243≤≤x } B ．{x|243<≤x } C ．{x|x ＞2或43≤x } D ．{x|x ＜2} 7、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，8、“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9、已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．43 CD 10、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上)11、某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个。
高二数学月考1试卷
高二数学期中试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.下列说法中正确的是 （ ） A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等2.（ ）A.圆柱B.圆锥C.圆台D.球 3.在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2 a 10－a 12的值为（ ） (A)20(B)22(C)24(D)284.圆锥的底面半径为r ，高是h ，在这个圆锥内部有一个内接正方体，则此正方体的棱长等于 （ ）A.h r rh + B.h r rh +2 C.h r rh 222+ D.hr rh+2 5.在ABC ∆中，0120,5.1,2=∠==ABC BC AB （如下图）， 若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 （ ） A.29π B.27π C.25π D.23π 6.下面4个命题：①若直线b a 与异面，c b 与异面，则c a 与异面 ②若直线b a 与相交，c b 与相交，则c a 与相交 ③若直线c b b a //,//，则c b a ////④若直线c b a b a 与直线则,,//所成的角相等其中真命题的个数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1正视图 侧视图 俯视图 ACB D 01207.空间四边形的两对角线的位置关系是 （ ） A.相交 B.平行 C. 异面 D.或相交或平行或异面 8.表示直线、表示平面，、、n m γβα，下列说法中可以判定βα//的是 （ ） ①γβγα⊥⊥,②由α内不共线的三点作平面β的垂线，各点与垂足间线段的长度都相等 ③βα⊥⊥n m n m ,,// ④内两条直线，且是、αn m ββ////n m ， A.①② B.② C.③④ D.③ 9.菱形ABCD 在平面α内，BD PA PC 与对角线则,α⊥的位置关系是 （ ） A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直相交 D. 异面垂直10.点P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点，ABC PA ABC PA ∆=⊥，在，平面8中，底边BC P AB BC 到，则，56==的距离为 （ ）A.54B.3C.33D.32 11.下面四个命题：①分别在两个平面内的直线平行②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面 ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行其中正确的命题是 （ ） A.①② B.②④ C.①③ D.②③ 12.已知直线b a ,和平面α，有以下四个命题：①若αα//,//,//b b a a 则 ②若b a A b a 与，则，=⊂ αα异面 ③若αα⊥⊥a b b a 则,,// ④若αα//,,b a b a 则⊥⊥其中真命题的个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将答案直接写在横线上）13.在正方体1111D C B A ABCD -中，若过1B C A 、、三点的平面与底面1111D C B A 的交线为l ，则AC l 与的位置关系是_________。
高二数学月考卷1
高二数学月考卷1一、选择题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = (x² 1)/(x 1)的定义域是（）A. RB. {x | x ≠ 1}C. {x | x ≠ 0}D. {x | x ≠ 1}2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则2a 3b = （）A. (8, 1)B. (8, 1)C. (8, 1)D. (8, 1)3. 二项式展开式(x + y)⁵中x²y³的系数是（）A. 5B. 10C. 20D. 304. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，a3 = 9，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 65. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. y = x上D. y = x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和都是实数。
（）2. 若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。
（）3. 两条平行线上的任意一对对应线段比例相等。
（）4. 双曲线的渐近线一定经过原点。
（）5. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x) > 0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若log₂x = 3，则x = ______。
2. 若等差数列{an}中，a4 = 8，a7 = 19，则a10 = ______。
3. 圆的标准方程(x h)² + (y k)² = r²中，(h, k)表示圆的______。
4. 若sinθ = 1/2，且θ是第二象限的角，则cosθ = ______。
5. 矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式|A| = ______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述矩阵乘法的定义。
2. 请解释什么是反函数。
3. 简述等差数列的通项公式。
4. 请说明直线的斜率的意义。
5. 简述三角函数的周期性。
高二文科数学下学期第一次月考试题
高二文科数学下学期第一次月考试题（考试时间：120分钟 总分：150分）命题人：漳平一中 范思南 审题人：漳平一中 苏新妙一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知集合{}R x x x P ∈≤≤=,20|，{}N x x Q ∈=|则Q P （ ）Ａ、PＢ、QＣ、{}2,1Ｄ、{}2,1,02、设有一个回归方程为,43x y -=变量x 增加一个单位，则（ ）Ａ、y 平均增加3个单位 Ｂ、y 平均减少4个单位 Ｃ、y 平均减少3个单位Ｄ、y 平均增加4个单位3、下面四个平面图形中，顶点数Ｖ，边数Ｅ和区域数Ｆ的关系式是（ ）Ａ、Ｖ+Ｆ－Ｅ＝2 Ｂ、Ｖ+Ｆ－Ｅ＝1 Ｃ、Ｖ+Ｆ－Ｅ＝0Ｄ、Ｖ+Ｆ－Ｅ＝3 4、如果方程03lg 2lg lg )3lg 2(lg lg 2=+++x x 的两根为21,x x 那么21x x ⋅的值为（ ）Ａ、3lg 2lg Ｂ、3lg 2lg + Ｃ、61Ｄ、－65、二次函数c bx ax y ++=2中，0<⋅c a 则函数的零点个数是（ ）Ａ、1个Ｂ、2个Ｃ、0个Ｄ、无法确定6、观察下图规律，在其最下面一行的空格内画上合适的图形是（ ）Ａ、△★○■Ｂ、○■△★Ｃ、○★△■ Ｄ、□●☆▲7、设函数5)(35+++=xcbx ax x f ，3)3(=-f 则=)3(f （ ） Ａ、3Ｂ、－3Ｃ、2Ｄ、78、已知数列{}n a 前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n 且11=a 通过计算432,,a a a ，猜想n a 等于（ ）Ａ、2)1(2+n Ｂ、)1(2+n nＣ、122-nＤ、122-n 9、已知复数i m Z 21+= i Z 432-=若21Z Z 为实数 则=m （ ） Ａ、38Ｂ、23-Ｃ、38- Ｄ、2310、下列哪个程序框图能实现交换b a ,两个变量的值（ ）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ11、已知函数)0(42)(2>++=a ax ax x f 若21x x <，021=+x x 则（ ）Ａ、)()(21x f x f < Ｂ、)()(21x f x f =Ｃ、)()(21x f x f >Ｄ、)(1x f 与)(2x f 的大小不能确定12、函数)2(log 2+-=ax x y a 在),2[+∞恒为正，则实数a 的范围是（ ）Ａ、10<<aＢ、21<<aＣ、251<<a Ｄ、32<<a二、填空题（每小题4分，共16分）13、设集合{}m x x M -≤=2| {}),0[3|+∞∈==-x y y N x若φ≠N M ，则实数m 的取值范围为 。
必修2第一次月考题
第一学期高二年级第一次月考生物试卷第Ⅰ卷选择题（单选题，1-40每题1分，41-50每题2分共60分）1、下列属于人的正常精细胞内染色体组成的是（）A、44+YB、22+XYC、23+YD、22+X２、某动物的基因型为AaBb，由它的一个精原细胞形成的任意两个精子中不可能出现的是（）A、Ab和abB、aB和AbC、AB和abD、AB和AB3、一个成熟卵细胞中所有染色体的来源是（）A、一半来自父方、一半来自母方B、来自父方、母方的染色体是随机的C、绝大多数染色体来自父方D、绝大多数染色体来自母方4、基因型为Aa的生物体产生的配子是（）A．雌A∶雄a=1∶1 B、雌A∶雄a=3∶1 C．雄A∶雄a=3∶1 D、雌A∶雌a=1∶15、基因组成为 TtGgE 的个体，产生的雄配子的种类有（）A、2种B、4种C、5种D、8种6、下列属于纯合子的是（）A、YyRrCcB、AAbbCCC、AaBBccD、AABBCc7、如下图为某动物的—个精原细胞(A、a、B、b表示基因)，则由它产生的精子中，染色体可能组合及概率分别为 ( )A.1、4，2、3，3、2，4、1，1/2B.1、3，2，4，2、4，1、3；1/2C.1、3，2、3，2、4，3、4；1/4D.1、3，1、4、2、3，2、4；1/48、如上图所示为某动物卵原细胞中染色体组成情况，该卵原细胞经减分裂产生3个极体和1个卵细胞，其中一个极体的染色体组成是1、3，则卵细胞中染色体组成是( ) A．2、4 B．1、3 C．1、3或2、4 D．l、4或2、39、在人的精子形成过程中，次级精母细胞处于后期，细胞中可能有（）A．23对常染色体+YY B．22对同源染色体 C．44条常染色体+XY D．44条常染色体+XX10、一只杂合的黑毛豚鼠一次产生的300万个精子中，既含隐性基因又含Y染色体的有（）个A、300万B、150万C、100万D、75万11、种皮光滑和皱缩豌豆杂交，F1全是种皮光滑，F1自交，F2中皱缩的有1850株，则种皮光滑的株数有（）A、5550B、3700C、1850D、740012、番茄中红果对黄果为显性。
高二上学期第一次月考数学试题(答案)
高二数学上第一次月考试题一、选择题1.已知两点()()1,3,3,3--BA ，则直线AB 的斜率是( )A ．3B ．3-C ．33D ．33- 2.下列说法中正确的是( )A ．平行于同一直线的两个平面平行B ．垂直于同一直线的两个平面平行C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一平面的两个平面平行3.用一个平面去截一个正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直），截法不同，所得截面的形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面的形状为 （ ） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是( )A ．B ． C. D ．5.圆锥的底面半径为a ，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是 （ ） A ．22a π B ．24a π C. 2a π D ．23a π 6.为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin πx y 的图像，只需把函数x y 2sin =的图像（ ） A ．向左平移125π个单位长度 B ．向右平移125π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用x （万元） 1 2 4 5 销售额y （万元）10263549根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆb 约等于9，据此模型预测广告费用为8万元时，销售额约为（ ）A ．55万元B ．57万元 C. 66万元 D ．75万元8.棱锥的中截面（过棱锥高的中点且与高垂直的截面）将棱锥的侧面分成两部分，这两部分的面积的比为（ ）A ． 4:1B ． 3:1 C. 2:1 D ．1:1 9.若过定点()3,0-P 的直线l 与直线232+-=x y 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,6ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,6ππ C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ10.执行如图所示程序框图，若输出x 值为47，则实数a 等于（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．511.若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-011405201y x y x y x ，则y x z +=的最大值是（ ）A ．6B ．7 C. 8 D ．912.在体积为15的斜三棱柱111C B A ABC -中，P 是C C 1上的一点，ABC P -的体积为3，则三棱锥111C B A P -的体积为（ ）A ．1B ．23C. 2 D ．3 二、填空题13.如图，点F E ,分别为正方体的面11A ADD ，面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都填上）14.设向量()()1,2,,1a b m =-=，如果向量2a b +与2a b -平行，则a b ⋅= ．15.某几何体的三视图如下图（单位：cm ）则该几何体的表面积是 2cm ．16.定义在()5,2+-b b 上的奇函数()x f 是减函数，且满足()()01<++a f a f ，则实数a 取值范围是三、解答题17. 已知在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且.2,2cos cos =+-=c a bca B C （1）求角B ；（2）当边长b 取得最小值时，求ABC ∆的面积；18.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1） //PA 平面BDE ； （2）平面⊥PAC 平面BDE ；19.如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PBC 平面ABC ，PBC ∆是边长为a 的正三角形，M BAC ACB ,30,9000=∠=∠是BC 的中点.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点M 到平面PCA 的距离.20.如图，已知⊥PA 平面ABCD ，ABCD 为矩形，N M ,分别为PC AB ,的中点.（1）求证：AB MN ⊥；（2）若045=∠PDA ，求证：平面⊥MND 平面PDC .21.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和205=S ，且731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，且存在*∈N n ，使得01≥-+n n a T λ成立，求实数λ的取值范围.22.在棱长为2正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，F 是棱AD 上的一点,E 是棱1CC 的中点.（1）如图1，若F 是棱AD 的中点，求异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值； （2）如图2，若延长EO 与F D 1的延长线相交于点G ，求线段G D 1的长度.试卷答案一、选择题1-5: DBCAA 6-10: DDBBD 11、12：DC二、填空题13.②③ 14.25 15.1413+⎪⎭⎫ ⎝⎛-9,21 三、解答题17.解：（1） 因为b c a B C -=2cos cos ，所以.sin sin sin 2cos cos BC A B C -= 所以()B C A B C cos sin sin 2sin cos -=, 所以()B A C B cos sin 2sin =+, 所以.cos sin 2sin B A A = 在ABC ∆中，0sin ≠A ， 故21cos =B ，又因为()π,0∈B ，所以.3π=B （2）由（1）求解，得3π=B ,所以222222cos b a c ac B a c ac =+-=+- 又2=+c a ，所以()ac ac c a b 34322-=-+=，又因为22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤c a ac ，所以1≤ac ，所以12≥b ，又因为0>b ，故b 的最小值为1，此时.4360sin 11210=⨯⨯⨯=∆ABC S18.证：（1） 连接EO , 在PAC ∆中O 是AC 的中点，E 是PC 的中点 .//AP OE ∴又⊂OE 平面⊄PA BDE ,平面BDE ,//PA ∴平面BDE ,（2）⊥PO 底面ABCD ,.BD PO ⊥∴又BD AC ⊥ ，且O PO AC = ,⊥∴BD 平面.PAC而⊂BD 平面BDE ，∴平面⊥PAC 平面.BDE19.解：（1） PBC ∆ 是边长为a 的正三角形，M 是BC 的中点.BC PM ⊥∴又 平面⊥PBC 平面ABC ，且平面 PBC 平面BC ABC =,⊥∴PM 平面ABC ,⊂AC 平面ABC , .AC PM ⊥∴090=∠ACB ，即BC AC ⊥,又M BC PM = ,⊥∴AC 平面PBC ,⊂PB 平面PBC , PB AC ⊥∴（2）PAC M ACM P V V --=，得a h 43=，即为点M 到平面PAC 的距离. 20.证明：（1） 设E 为PD 的中点，连接AE EN ,,N M , 分别为PC AB ,的中点,DC EN //∴且DC AM DC EN //,21=，且AM EN DC AM //,21∴=且AM EN =, ∴四边形AMNE 为平行四边形，AE MN //∴,⊥PA 平面PA AB ABCD ⊥∴,,又⊥∴⊥AB AD AB , 平面PAD ,又⊂AE 平面.,AE AB PAD ⊥∴.,//AB MN AE MN ⊥∴（2）AD PA PDA =∴=∠,450，则.PD AE ⊥又⊥AB 平面⊥∴CD CD AB PAD ,//,平面PAD .AE CD ⊥∴ 又⊥∴=AE D PD CD , 平面PDC ，⊥∴MN AE MN ,// 平面.PDC又⊂MN 平面∴,MND 平面⊥MND 平面.PDC 21.解：（1） 设数列{}n a 的公差为d ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯+d a a d a d a 6220245511211，即⎩⎨⎧==+d a d d a 121242， 又因为0≠d ，所以⎩⎨⎧==121d a ， 所以.1+=n a n （2）因为()(),211121111+-+=++=+n n n n a a n n所以()222121211141313121+=+-=+-+++-+-=n n n n n T n , 因为存在*∈N n ，使得01≥--n n a T λ成立，所以存在*∈N n ，使得()()0222≥+-+n n nλ成立，即存在*∈N n ，使()222+≤n nλ成立， 又()1614421,4421222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n n n n n n ，（当且仅当2=n 时取等号） 所以.161≤λ 即实数λ的取值范围是.161,⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-22.解：（1） 如图，连接OF ，取11D C 的中点M ，连接.,ME OMM F O ,, 分别为11,,D C AD AC 的中点，CD M D CD OF //,//1∴,且.21,211CD M D CD OF ==M D OF 1//∴且,1M D OF = ∴四边形M OFD 1为平行四边形，.//1OM F D ∴MOE ∠∴为异面直线1FD 与OE 所成的角，在MOE ∆中，易求.,3,2,5222OE ME OM OE ME OM +=∴===.OE ME ⊥∴ .51553cos ==∠∴MOE（2）∈G 平面F D 1，且F D 1在平面11A ADD 内，∈∴G 平面,11A ADD同理∈G 平面11A ACC ，又 平面 11A ADD 平面A A A ACC 111=,∴由公理2知1AA G ∈（如图）CE G A //1 ，且O 为AC 的中点,1==∴CE AG ,。
高二上学期第一次月考数学模拟试卷(空间向量与立体几何+直线与圆)及参考答案
2023-2024学年高二数学上学期第一次月考（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量p在空间的的一组基底{}a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p 在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标是（ ） A ．(422)−，， B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)−，， D ．132( )，，2．已知直线AB ，BC ， 1BB 不共面，若四边形11BB C C 的对角线互相平分，且1123AC xAB yBC zCC =++，则x y z ++的值为（ ）A ．1B ．56C ．23D ．1163．已知直线()():2110l m x m y m ++−+−=，若直线l 与连接()1,2A −、()2,1B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（ ）A ．ππ,44 −B ．3π,π4C ．π3π,44D ．π3π0,,π44 ∪4．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN等于（ ）A ．111222a b c −++B ．111222a b c ++C ．111222a b c +−D ．111222a b c −+5．已知点(),a b 在线段()3410026x y x +−−≤≤上，则222a b +−的取值范围是（ ）A ．[]2,18B ．[]2,38C ．[]0,38D ．0,2 −6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D −所有棱长都为1，底面ABCD 为正方形，1160A AB A AD ∠=∠=°．则对角线1AC 的长度为（ ）AB C ．2 D7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPAλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，Q ，直线1:230l kx y k −++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（ ）A ．B ．6−C ．9−D ．38．已知点P 为直线l ：20x y +−=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．3310x y ++=B ．3310x y +−=C ．2210x y ++=D ．2210x y +−=二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得52分，有选错的得0分.9．下列选项正确的是（ ）A ．若直线l 的一个方向向量是(e =−，则直线l 的倾斜角是2π3B ．“1a =−”是“直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直”的充要条件 C ．“4a =−”是“直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行”的充要条件 D ．直线sin 20x y α−+=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44∪10．如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，,O P 分别是,AC SC的中点，M 是棱SD 上的动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．OM AP ⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30°D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值11．已知动直线m ：0x y λλ−+=和n ：320x y λλ+−−=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是（ ）A ．B 点的坐标为()3,2− B ．m n ⊥C ．PA PB ⋅的最大值为10D ．P 的轨迹方程为222230x y x y +−−−=12．已知曲线C O 为坐标原点，直线l 过()0,4和()4,0两点，P 为直线l 上一动点，过点P 作曲线C 的两条切线,,,PA PB A B 为切点，则（ ）A ．点P 与曲线C 上点的最小距离为B ．线段PA 长度的最小值为C ．PA PB ⋅的最小值为3D ．存在点P ，使得PAB 的面积为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥；②若点P 在线段1AA 上运动，则过P ，B ，1D ③若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC −体积为定值； ④若点P 在线段1A B 上运动，则1AP PD +． 其中所有正确结论的序号有 ．14．如图，在平面直角坐标系中，以点()1,0F为圆心作半径为1的圆，点B ，C 为圆F 上的动点，且BC =点()2,1E 为一定点，倍长EB 至D ，则线段CD 的最大值为 ．15．已知,,A B D 三点在圆22:(2)36C x y ++=上，ABD △的重心为坐标原点O ，则ABD △周长的最大值为 .16．已知圆()()22:522P x y −+−=，直线:l y ax =，点(5,2M ，点(),A s t .给出下列4个结论： ①当0a =时，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 是圆P 的一条对称轴，则25a =； ③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=°，则a 的最大值为2021；④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=°，则t 其中所有正确结论的序号是 .四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AP 的长为2，且AP 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 在棱PC 上，12PM MC = ，设AB a=，AD b =，AP c = ．(1)试用a ，b ，c表示出向量BM ；(2)求BM 与AP所成的角的余弦值．18．（12分）如图，已知ABC 的顶点为()1,1A −，()1,3B −，()3,0C ，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线．(1)求高AD 所在直线的方程；(2)求AE 所在直线的方程．（提示：在AB上取与AC 长度相等的向量1AB ，则11AE AB AC =+ 的方向就是AE的方向．）19．（12分）已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .(1)设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；(2)若直线BE 与平面ABC 所成的角为60 ，求二面角B AD C −−的余弦值．20．（12分）如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点()0,6A .(1)求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧 PQ恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程.21．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，12,,CC D E =分别是线段1,AC CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .(1)求证：1A C⊥平面BDE；(2)若点F为棱11B C的中点，求点F到平面BDE的距离；(3)若点F为线段11B C上的动点（不包括端点），求锐二面角F BD E−−的余弦值的取值范围.22．（12分）已知圆W经过(3,3),(2,A B C−三点．(1)求圆W的方程．(2)已知直线l与圆W交于M，N（异于A点）两点，若直线,AM AN的斜率之积为2，试问直线l是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．.2023-2024学年高二数学上学期第一次月考（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量p在空间的的一组基底{}a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p 在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标是（ ） A ．(422)−，， B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)−，， D ．132( )，，【答案】C【分析】设p的坐标为( )x y z ，，，得到32()()a b c x y a x y b zc ++=++−+ ，求得,,x y z 的值，即可求解. 【详解】因为p在基底{}a b c ，，下的坐标是132( )，，，所以32p a b c =++ ， 设p在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标为( )x y z ，，， 则()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+，因此32()()a b c x y a x y b zc ++=++−+，所以132x y x y z +=−==，，， 即212x y z ==−=，，， 即向量p在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标为(2 1 2)−，，． 故选：C ．2．已知直线AB ，BC ， 1BB 不共面，若四边形11BB C C 的对角线互相平分，且1123AC xAB yBC zCC =++，则x y z ++的值为（ ）A ．1B ．56C ．23D ．116【答案】D【分析】由题意{}1,,AB BC CC为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.【详解】由题意，知AB，BC ，1BB 不共面，四边形11BB C C 为平行四边形，11CC BB = ，{}1,,AB BC CC ∴为空间的一组基底.1AC AB BC =++ 1CC ，又1123AC xAB yBC zCC =++，231x y z ∴，1x ∴=，12y =，13z =，116x y z ∴++=.故选：D.3．已知直线()():2110l m x m y m ++−+−=，若直线l 与连接()1,2A −、()2,1B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（ ）A ．ππ,44 −B ．3π,π4C ．π3π,44D ．π3π0,,π44 ∪【答案】D【分析】先求出直线l 所过定点P 的坐标，数形结合可求出直线l 的斜率的取值范围，即可得出直线l 的倾斜角的取值范围.【详解】直线l 的方程可化为()()1210m x y x y +++−−=，由10210x y x y ++= −−= ，可得01x y = =− ，所以，直线l 过定点()0,1P −，设直线l 的斜率为k ，直线l 的倾斜角为α，则0πα≤<， 因为直线PA 的斜率为()12101−−−=−−，直线PB 的斜率为11102−−=−， 因为直线l 经过点()0,1P −，且与线段AB 总有公共点，所以11k −≤≤，即ta 11n α−≤≤， 因为0πα≤<，所以π04α≤≤或3ππ4α≤<， 故直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44∪．故选：D ．4．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN等于（ ）A ．111222a b c −++B ．111222a b c ++C ．111222a b c +−D ．111222a b c −+【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =−=+−=−++， 故选：A.5．已知点(),a b 在线段()3410026x y x +−−≤≤上，则222a b +−的取值范围是（ ）A ．[]2,18B ．[]2,38C ．[]0,38D ．0,2 −【答案】B【分析】将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离. 【详解】由()3410026x y x +−−≤≤的图象如下，又(),a b 是上图线段上的一点，且22b +为原点到该线段上点距离的平方， 上述线段端点分别为(2,4),(6,2)−−，到原点距离的平方分别为20,40，由图知：原点到线段的距离2d =，则24d =， 综上，22[4,40]a b +∈，故222[2,38]a b +−∈.故选：B6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D −所有棱长都为1，底面ABCD 为正方形，1160A AB A AD ∠=∠=°．则对角线1AC 的长度为（ ）AB C ．2 D【答案】B【分析】利用基底法求解即可.【详解】由题知11AC AB AD AA =++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AD AA AA AB=+++⋅+⋅+⋅ 2221112cos902cos 602cos 60AB AD AA AB AD AD AA AA AB =+++⋅+⋅+⋅1110115=+++++=，1AC . 故选：B.7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPAλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，Q ，直线1:230l kx y k −++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（ ）A ．B ．6−C ．9−D ．3【答案】A【分析】由直线方程可得12l l ⊥，则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，得到P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠−，即()22453x y x y ++=≠−)3y ≠−，取5,02A ，则32PQ PA =，结合，可得()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥，进而求解. 【详解】由已知1:230l kx y k −++=过定点()2,3C −， 2:320l x ky k +++=过定点()2,3D −−，因为1l k k =，21l k k=−，所以121l l k k ⋅=−，即12l l ⊥， 所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，故圆心为()2,0−，半径为3，则P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠−，即()22453x y x y ++=≠−，易知O 、Q 在该圆内，又32PO =即)332PO y =≠−，取5,02A，则32PO PA =，又所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ+=+=+≥=所以32PO PQ +的最小值为故选：A.8．已知点P 为直线l ：20x y +−=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．3310x y ++=B ．3310x y +−=C ．2210x y ++=D ．2210x y +−=【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得,,,A P B C 四点共圆，AB CP ⊥，从而将PC AB ⋅转化为2PA ，进而确定PC l ⊥时PC AB ⋅取得最小值，再求得以PC 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆C ：2220x x y ++=可化为()2211x y ++=， 所以圆心()1,0C −，半径为1r =，因为PA ，PB 是圆C 的两条切线，则,PA AC PB BC ⊥⊥，由圆的知识可知，,,,A P B C 四点共圆，且AB CP ⊥，PA PB =，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==×××= ，又所以当PC 最小，即PC l ⊥时，PC AB ⋅取得最小值，此时PC 的方程为1y x =+，联立120y x x y =+ +−=，解得13,22x y ==，即13,22P， 故以PC 为直径的圆的方程为13(1)022x x y y−++−=，即，221031222x x y y +−+=−， 又圆22:20C x x y ，两圆的方程相减即为直线AB 的方程：3310x y ++=. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将PC AB ⋅转化为2PA ，从而确定PC AB ⋅最小时P 的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列选项正确的是（ ）A ．若直线l 的一个方向向量是(e =−，则直线l 的倾斜角是2π3B ．“1a =−”是“直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直”的充要条件 C ．“4a =−”是“直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行”的充要条件 D ．直线sin 20x y α−+=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44∪【答案】ACD【分析】A 项，通过求直线l 的斜率，即可得出直线l 的倾斜角；B 项，讨论1a =−时直线210a x y −+=与直线20x ay −−=是否垂直，以及直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直时a 的值，即可得出结论；C 项，讨论4a =−时直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=是否平行，以及直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行时a 的值，即可得出结论；D 项，通过求出直线的斜率，即可求出倾斜角θ的取值范围.【详解】对于A 项，在直线l 中，一个方向向量是(e =− ，则直线l 的斜率为k ==∴直线l 的倾斜角是2π3，A 正确； 对于B 项，当1a =−时，直线210a x y −+=与直线20x ay −−=变为：10x y −+=与20x y +−= 显然垂直，充分性成立.当直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直时，()210a a −⋅−= 解得：1a =−或0a =，必要性不成立，故B 错误；对于C 项，当4a =−时，直线210ax +−=与直线820x ay a ++−=化为：4210x y −+−=与8460x y −+= 即122y x =+与322y x =+，两直线平行，充分性满足要求. 若直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行 ()28122a a a a ⋅=×−≠−，解得：4a =−，必要性成立，故C 正确； 对于D 项，在直线sin 20x y α−+=中，该直线的斜率为[]sin 1,1k α=∈− 故倾斜角θ范围为π3π0,,π44∪.故D 正确.故选：ACD.10．如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，,O P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．OM AP ⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30°D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意可知,,AB AD AS 两两相互垂直，以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设2ABAD AS ===， ()()()()0,0,2,2,2,0,1,1,1,1,1,0S C P O ，设()0,,2M t t −，()1,1,2OM t t =−−− ，所以1120OM AP t t ⊥=−+−+−=，所以OM AP ⊥，A 选项正确.点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为22t t −+=为定值，D 选项正确. ()2,0,0B ，()()2,0,2,0,2,0SB BC =−=，设平面SBC 的法向量为(),,n x y z =，则22020n SB x z n BC y ⋅=−= ⋅== ，故可设()1,0,1n = ，要使//OM 平面SBC ，OM ⊄平面SBC ， 则()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=−−−⋅=−+−=−=， 解得1t =，所以存在点M ，使//OM 平面SBC ，B 选项正确.若直线OM 与直线AB 所成角为30°，则cos30， 23970,8143730tt −+=∆=−××=−<，无解，所以C 选项错误. 故选：ABD11．已知动直线m ：0x y λλ−+=和n ：320x y λλ+−−=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是（ ）A ．B 点的坐标为()3,2− B ．m n ⊥C ．PA PB ⋅的最大值为10D ．P 的轨迹方程为222230x y x y +−−−=【答案】BC【分析】根据直线方程求出定点,A B 的坐标，判断A ，证明直线,m n 垂直，判断B ，再结合222PA PB AB +=判断C ，D.【详解】直线m 的方程0x y λλ−+=可化为()1y x λ=+， 所以直线m 过定点()1,0−，直线n 的方程320x y λλ+−−=可化为()320x y λ−+−=， 所以直线n 过定点()3,2，所以点A 的坐标为()1,0−，点B 的坐标为()3,2，所以A 错误，由已知()110λλ×+−×=， 所以直线m 与直线n 垂直，即m n ⊥，B 正确， 因为PA PB ⊥，所以222PA PB AB +=， 故()()2222312020PA PB +=++−=，所以22102PA PBPA PB +⋅≤=C 正确；因为PA PB ⊥，故222PA PB AB +=， 设点P 的坐标为(),x y ，则()()()222213220x y x y +++−+−=， 化简可得222230x y x y +−−−=， 又点()12−，不是直线,m n 的交点，点()12−，在圆上， 故点P 的轨迹为圆222230x y x y +−−−=除去点()12−，，D 错误； 故选：BC.12．已知曲线C O 为坐标原点，直线l 过()0,4和()4,0两点，P 为直线l 上一动点，过点P 作曲线C 的两条切线,,,PA PB A B 为切点，则（ ）A ．点P 与曲线C 上点的最小距离为B ．线段PA 长度的最小值为C ．PA PB ⋅的最小值为3D ．存在点P ，使得PAB 的面积为3 【答案】CD【分析】设点(),C x y 求得222x y +=，由圆的性质，取得点P 与曲线C可判定A 不正确；由PA =求得PA 可判定B 错误；设OP t =，在直角三角形POA中，求得cos APO ∠=2286PA PB t t ⋅=+− ，结合函数的单调性，可判定C 正确.结合C 选项求出PAB 面积的最小值可判断D.【详解】对于A (),C x y ，则222x y +=，可得曲线C 的轨迹为圆.方程为直线l ： 40x y +−=，圆心O 到直线l =则点P 与曲线C 上点的最小距离为，故A 错误；对于B ，由图可知，在直角三角形POA 中，PA PB ==，要使得线段PA 的长度最小，则OP 取最小值，由选项A 可知，PA B 错误；对于C ，设,OP t t =≥PA PB =在直角三角形POA 中，cos PA APO OP ∠=2APB APO ∠=∠，所以2222224cos 2cos 121t t APB APO t t−−∠=∠−=⋅−=，所以2cos cos PA PB PA PB APB PA APB ⋅=∠=∠ ()24222222468826t t t t t t t t−−+=−⋅==+−令()2286g t t t =+−，又t ≥28t ≥，又函数8y x x =+在区间[)8,+∞上单调递增，所以()(min 88638g t g ==+−=，即PA PB ⋅ 的最小值为3，故C 正确；对于D ，由切线长定理知，直线OP 垂直平分线段AB ，得2222PA OA AB OP ×=×==≥当且仅当OP 与直线l 垂直时取等号，即弦AB .此时OP =，设AB 的中点为M ，则cos OA OM OA AOM OA OP =⋅∠=⋅==所以PM OP OM =−所以PAB 的面积的最小值为123<，S PAB >PAB 的面积所以存在点P ，使得PAB 的面积为3，故D 正确. 故选：CD.【点睛】关于切线长最小值问题，本题中是把切弦长问题根据勾股定理转化为圆心到直线的距离最短问题进行解决.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥；②若点P 在线段1AA 上运动，则过P ，B ，1D ③若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC −体积为定值； ④若点P 在线段1A B 上运动，则1AP PD +． 其中所有正确结论的序号有 ． 【答案】①③④【分析】由1CB ⊥平面11AC D 判断①；由向量法判断②；由等体积法判断③；将1AA B 与四边形11A D CB 沿1A B 展开在同一平面上，由余弦定理得出1AP PD +的最小值.【详解】对于①：如下图，连接1A D ，所以11B C A D ，又11A D AD ⊥，所以11B C AD ⊥， 因为11C D ⊥平面11BCC B ，所以111C D CB ⊥，由线面垂直的判定可知，1CB ⊥平面11AC D ，因为1C P ⊂平面11AC D ，所以11C P CB ⊥，故①正确；对于②：在1C C 上取一点1P ，使得[]11,0,1APC P a a ==∈，连接1111,,,D P PB PD PB ， 易知11PB D P ∥，且11PB D P =，即11,,,P B D P 四点共面，即过P ，B ，1D 三点的截面为截面11PBD P . 以点D 为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：()()()()111,1,0,0,0,1,1,0,,0,1,1B D P a P a −，1D (1,1,1),(0,1,)B BP a =−−=−|BP =11BP BD a ⋅=+，所以截面11PBD P 的面积为1112||sin BPD S S BP BD PBD ==∠=△=，当12a =时，P ，B ，1D ②错误； 对于③：如下图，由已知得11B C A D ，所以直线1A D 上所有点到平面1B CD的距离相等，又11D BPC P BDC V V −−=，而1BDC S 是一个定值，所以三棱锥1D BPC −体积为定值，故③正确；对于④：如下图，将1AA B 与四边形11A D CB 沿1A B 展开在同一平面上，由图可知，线段 1AD 的长度即为1AP PD +的最小值，在11AA D 中，1AD =④正确；故答案为：①③④【点睛】方法点睛：本题考查空间中的动点问题，解决此类问题时，常需证明线线，线面，面面间的平行和垂直关系，从而得出点运动中，存在的不变的位置关系，存在着面积或体积的定值.14．如图，在平面直角坐标系中，以点()1,0F为圆心作半径为1的圆，点B ，C 为圆F 上的动点，且BC =点()2,1E 为一定点，倍长EB 至D ，则线段CD 的最大值为 ．【分析】设()cos 1,sin B θθ+，结合题目条件可表示D ，C 点坐标，后由两点间距离公式结合辅助角公式可得答案.【详解】设()cos 1,sin B θθ+[)()0,2πθ∈，因()2,1E ，倍长EB 至D ，则D ，E 中点为B ，则()2cos ,2sin 1D θθ−.又BC F 半径为1，则o 90BFC ∠=，得ππcos 1,sin 22C θθ +++，即()1sin ,cos C θθ−.，其中1tan 3ϕ=，则当3π2θϕ+===.+15．已知,,A B D 三点在圆22:(2)36C x y ++=上，ABD △的重心为坐标原点O ，则ABD △周长的最大值为 .【答案】12+【分析】根据已知条件发现2OC =，且O 点到圆与x 轴的正半轴交点的距离为4，正好是1:2的关系，而三角形的重心是中线的三等分点，所以不妨认为圆与x 轴的正半轴交点是三角形的一个顶点，从而可知另两个顶点正好是圆的直径的两个端点，从而可以得到三角形三边的关系，进而借助基本不等式求出结果.【详解】由圆22:(2)36C x y ++=得圆心(2,0)C −，半径圆6r =， 如图，不妨设点A 在x 轴的正半轴上，由于ABD △的重心为坐标原点O ，且42AO CO ==, 所以BD 为圆C 的直径，所以2212,144BD AB AD =+=，≤，当且仅当6AB AD ==时取等号，所以ABD △周长的最大值为12+故答案为：12+16．已知圆()()22:522P x y −+−=，直线:l y ax =，点(5,2M ，点(),A s t .给出下列4个结论： ①当0a =时，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 是圆P 的一条对称轴，则25a =； ③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=°，则a 的最大值为2021；④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=°，则t 其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②④【解析】对于①：0a =，:0l y =，圆心()5,2l 与圆P 相离；对于②：若直线l 圆P 的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，90MQP ∠=°，设QMP α∠=.得到22PA ≥≥，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：N 为圆P 上的一个动点.若90MAN ∠=°，设()00,,Q x y QMP α∠=，利用参数方程解决即可.【详解】对于①：当0a =时，直线:0l y =，圆心()5,2l 与圆P 相离，故表述①正确； 对于②：若直线l 圆P 的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故202505a −=−，故表述②正确； 本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：设MN 的中点为Q ，以MN 为直径作圆Q ，连接,,,PQ QA PA PM ．则 90 MAN A Q QA QM ∠=°⇔⇔=在圆上对于③：由垂径定理，90MQP ∠=°，设QMP α∠=.一方面，若90MAN ∠=°，则2PA PQ QA PQ QM αα≤+=+=+≤.当且仅当45α=°，且,,P Q A 三点共线时，等号成立，此时直线PA 的斜率为1−. 另一方面，当2021a =时，直线:210l x y −=.故点P 到直线l 的距离2d .此时2PA d ≥=. 当且仅当A 为点P 在直线l 上的射影时等号成立，此时直线PA 的斜率为2120−. 对比发现，22PA ≥≥，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误.对于④：N 为圆P 上的一个动点.若90MAN ∠=°，设()00,,Q x y QMP α∠=，则00t y QA y α≤+=.注意到202sin 2y PQ αα=+，故2212cos 2t ααα ≤−≤当且仅当60α=°且点A 在点Q 正上方时，等号成立.故表述④正确. 故答案为：①②④.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AP 的长为2，且AP 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 在棱PC 上，12PM MC = ，设AB a=，AD b =，AP c = ．(1)试用a ，b ，c表示出向量BM ；(2)求BM 与AP所成的角的余弦值．【答案】(1)212333BM a b c =−++【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用a ，b ，c 表示向量BM的式子； （2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可．【详解】（1）因为12PM MC = ，则23BM BC CM BC CP =+=+，因为ABCD 是边长为1的正方形，则()CP AP AC AP AB AD AP AB AD =−=−+=−−，且BC AD = ，可得()22123333BM AD AP AB AD AB AD AP =+−−=−++， 又因为AB a =，AD b = ，AP c = ，所以212333BM a b c =−++. （2）由题意可知：1a b == ，2c = ，c 与a 、b 的夹角均为60°，a 与b的夹角为90°，则22222212414484333999999BM a b c a b c a b a c b c =−++=++−⋅−⋅+⋅4148417412cos 6012cos 60999999++×−××°+××°，又因为2212212333333BM AP a b c c a c b c c ⋅=−++⋅=−⋅+⋅+212712cos 6012cos 6043333=−××°+××°+×=，设BM 与AP 所成的角为θ，所以cos θ 18．（12分）如图，已知ABC 的顶点为()1,1A −，()1,3B −，()3,0C ，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线．(1)求高AD 所在直线的方程；(2)求AE 所在直线的方程．（提示：在AB上取与AC 长度相等的向量1AB ，则11AE AB AC =+ 的方向就是AE的方向．）【答案】(1)4370x y −−=； (2)340x y −−=.【分析】（1）求出直线BC 的斜率，由垂直关系求出直线AD 的斜率，并求出其方程作答.（2）求出与AB同向且长度等于||AC 的向量1AB ，再求出11AE AB AC =+ 即得直线AE 的方向向量，再求出直线方程作答.【详解】（1）依题意，直线BC 的斜率303134BC k −==−−−，于是BC 边上高AD 所在直线的斜率43AD k =， 所以直线AD 方程为41(1)3y x +=−，即4370x y −−=. （2）依题意，(2,1),(2,4)AC AB − ，在向量AB方向上取1AB ，使1||||AB AC = ，而|||AC AB =1||1(1,2)2||AC AB AB AB AB −，令11(1,3)AE AB AC =+= ， 显然1AE 平分BAC ∠，于是BAC ∠的平分线AE 所在直线的方向向量为(1,3)，即直线AE 的斜率为3， 所以直线AE 的方程为13(1)y x +=−，即340x y −−=. 19．（12分）已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC.(1)设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；(2)若直线BE 与平面ABC 所成的角为60 ，求二面角B AD C −−的余弦值． 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ； （2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =，平面ADB 的法向量()n = ，再利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接EF ，OF ，∵在DAC △中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =. 又//DE AB ，2AB DE =，∴//OF DE ，且OF DE =. ∴四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂ABC 平面，所以,DO AC DO BC ⊥⊥， 又因为AC BC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C −，()1,4,0B −.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面60EBF ∠=.∴tan 60DO EF BF ===∴(0,0,D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =，设平面ADB 的法向量(),,n x y z = ，()2,4,0AB =−，(1,0,AD =−，则2400x y x −+=−+=，取1z =，则x =y =∴()n = ，∴cos ,m n mn m n⋅==，∴二面角B AD C −−20．（12分）如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点()0,6A .(1)求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧 PQ恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程. 【答案】(1)()()223318x y −+−=(2)0x =或48553300x y −+=【分析】（1）通过求圆N 的圆心和半径来求得圆N 的方程.（2）首先判断出CP CQ ⊥，求得C 到直线m 的距离，对直线m 的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】（1）由22:10100C x y x y +++=， 化为标准方程：()()225550x y +++=. 所以圆C 的圆心坐标为()5,5C −−， 又圆N 的圆心在直线y x =上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(),a a ，解得3a =，所以圆N 的圆心坐标为()3,3，半径r =故圆N 的方程为()()223318x y −+−=.（2）因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP CQ ⊥.所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴， 所以此时直线m 的方程为0x =.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为6y kx =+， 即60kx y −+=.5，解得4855k =. 所以此时直线m 的方程为486055x y −+=， 即48553300x y −+=，故所求直线m 的方程为0x =或48553300x y −+=.【点睛】求圆的方程，有很多方法，一是求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；一是根据圆所过的三个点，设出圆的一般方程，然后列方程组来求解；一是利用相关点代入法进行求解.求解直线和圆的位置关系有关题目时，要注意直线的斜率是否存在.21．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，12,,CC D E =分别是线段1,AC CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；(3)若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角F BD E −−的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(3)12【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证11,BD A C DE A C ⊥⊥，从而得证；法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面BDE 的一个法向量，证明其与1A C 平行，从而得证； （2）利用空间向量法求点到面的距离；（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.【详解】（1）法一：连结1AC ，因为ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，BD AC ∴⊥， 又1C D ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，1C D BD ∴⊥11,,AC C D D AC C D ∩=⊂ 平面11AAC CBD ∴⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面111,AAC C BD AC ∴⊥， 由题设知四边形11AAC C 为菱形，11AC AC ∴⊥， ,D E 分别为1,AC CC 中点，11,DE AC AC DE ∴∴⊥∥， 又BD DE D ∩=，,,BD DE D BD DE =⊂ 平面1,BDE AC ∴⊥平面BDE . 法二：由1C D ⊥平面ABC ，AC BD ⊂，平面ABC ，11AC C D BD C D ∴⊥⊥，，又ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，则以D 为坐标原点，1,,DB DA DC所在直线为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则())()((11110,0,0,,0,1,0,,0,,,0,,2D B C C E B A −−)1,0,,2DB DE ∴==−(10,3,A C =−11·0,?0DB AC DE AC ==∴11,BD A C DE A C ⊥⊥ 又BD DE D ∩=，,,BD DE D BD DE =⊂ 平面1,BDE AC ∴⊥平面BDE . 法三：（同法二建系）设平面BDE 的一个法向量为(),,m x y z =00DB m DE m ⋅= ⋅=，即0102y z = −= 不妨取1z =，则y =()m =所以平面BDE的一个法向量为()m =(10,3,A C =−，1AC ∴ ，1//AC m ∴ ，∴1A C ⊥平面BDE （2）由（1）坐标法得12F ，平面BDE的一个法向量为()m =（或(1m CA ==）12DF = ∴点到F 到平面BDE 的距离=m DFm⋅=（3）)(111,C B CA =设()111,,,(01)F x y z C F C B λλ=<<，则(),,,,0x y z λ，,,,,,x y z FDF λλλ∴===∴∴=；由（1）知：1A C ⊥平面,BDE ∴平面BDE的一个法向量(1m CA ==（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面FBD 的法向量(),,n a b c =，则00DB n DF n a b λ ⋅=⋅=+，令b =()0,,a c n λλ==−∴=− ；cos ,m n m n m n ⋅∴==⋅令()32,3t λ−=∈，则3t λ=−cos ,m n ∴=211112611,,1,1,cos ,3232m n t t t∈∴−+∈∴∈ ， 即锐二面角F BD E −−的余弦值的取值范围为12 .22．（12分）已知圆W经过(3,3),(2,A B C −三点． (1)求圆W 的方程．(2)已知直线l 与圆W 交于M ，N （异于A 点）两点，若直线,AM AN 的斜率之积为2，试问直线l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】(1)2260x y x +−=(2)直线l 经过定点，该定点的坐标为(3,9)−【分析】（1）设出圆W 的一般方程，代入,,A B C 的坐标，由此求得正确答案.（2）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由直线,AM AN 的斜率之积列方程，化简求得定点坐标.【详解】（1）设圆W 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3318021202120D E F D F D F +++= +++=−++=，解得600D E F =−= = 则圆W 的方程为2260x y x +−=． （2）若直线l 的斜率不存在，则设直线l 的方程为()()00000,,,,xx M x y N x y −，则000033233AM AN y y k k x x −−−⋅=⋅=−−，整理得()2200239x y −+=． 又()220039x y −+=，解得03x =，所以直线l 的方程为3x =，此时l 经过点(3,3)A ，不符合题意． 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为()()1122,,,,ytx b M x y N x y =+， 联立方程组2260y tx b x y x =+ +−= ，整理得()2221(26)0t x tb x b ++−+=， 则2212122262424360,,11tb b b tb x x x x t t −∆=−−+>+==++． ()()()()1212121233333333AMAN tx b tx b y y k k x x x x +−+−−−⋅=⋅=−−−−()()2212121212(3)6939t x x tb t x x b b x x x x +−++−+=−++22229618692969t b tb t b t b tb ++−−+=++−， 则2296186270t b tb t b ++++−=，整理得2(3)6(3)27(39)(33)0t b t b t b t b +++−=+++−=， 解得39b t =−−或33b t =−+． 当33b t =−+时，直线2l 的方程为33y tx t =−+， 此时直线l 经过点(3,3)A ，不符合题意，故舍去．所以39b t =−−， 故直线l 的方程为39y tx t =−−，即(3)9y t x =−−，经过定点(3,9)−． 综上所述，直线l 经过定点，且该定点的坐标为(3,9)−．【点睛】求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，然后根据已知条件求得,,DE F ，从而求得圆的一般方程.。
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2007-2008学年高二（下）数学第一次月考试卷
一.选择题：（4⨯10=40分）
1. 若425
225+=x x C C ，则x 的值为 （ ） A ．4 B ．7
C ．4或7
D ．不存在
2．4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，，则不同方法有 （ ）
A ．43种
B ．34种
C ．34A 种
D ．4
4A 种
3. 在5个产品中有2个次品，从中任取3个恰有1个次品的概率为 ( ) A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.5
4. 甲、乙两人向同一目标射击，命中率分别为0.4、0.5，则恰有一人命中的概率为 （ ）
A ．0.9
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.5
5．某班上午要上语文、数学、体育和外语四门课，体育老师因故不能上第一节和第二节，不同的排课方法有
（ ）
A. 24种
B.12种
C.20种
D.22种
6.若1001002210100x a x a x a a )3x 2(++++=+ ，则(a 0+a 2+a 4+…+a 100)2-(a 1+a 3+…+a 99)2的值为( )
A.1
B.-1
C.0
D.2
7.同时抛掷3枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为 （ ） A. 0.25 B. 0.125 C. 0.5 D. 0.375
8．6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有
（ ）
A ．3334A A ⋅
B ．3333A A ⋅
C ．33
44
A A ⋅ D ．33332A A ⋅
9.在１０个球中有６个红球和４个白球(各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为 ( )
A.
53 B.52 C.101 D.9
5 10.若直线方程Ax+By=0的系数可以从0，1，2，3，6，7六个数字中取不同的数值，则这些 方程表示的直线有 （ ）
A. 22
5-A B. 25A C. 225+C D. 1526
2A A - 二、填空题:（3⨯3=9分） 11.10
23
)x
1x 2(+
展开式的常数项是 .
12.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．
相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
13.关于二项式(x-1)2001
有下列四个命题.
(1)该二项展开式中的非常数项的系数和是1； (2)该二项展开式中系数最大的项是1001项；
(3)该二项展开式中第六项为20016C 或6
2001C .
(4)当x=2000时，(x-1)2001
除以2000的余数是1999，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确的命题序号都填上)
三．解答题：（8+9+10+12+12=51分）
14． 一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． （1）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．
15.设ξ的分布列为p(ξ=k)=ak, (k=1,2,……,10)，求：（1）a ；（2）p(ξ≤2)；（3）p(9<ξ<20)。
16.用数字0，1，2，3，4，5组成数字不重复的数，问：（1）可组成多少个四位偶数？ （2）可组成多少个比34521大的自然数？
17.有4个房间安排3个人居住，每人可以进任意一房间，且进住哪一间房间是等可能的； 试求下列各事件的概率：
（1）事件A ：指定的3个房间中各住一人； （2）事件B ：恰有3个房间中各住一人；
（3）事件C ：第一号房间住一人，第二号房间住一人； （4）事件D ：指定的某个房间中住两人；
18．已知n x )31(+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，(1) 求n ; (2) 求第三项的二项式系数及系数；（3）求展开式中二项式系数的最大项及系数最大项.
2007-2008学年高二（下）数学第一次月考试卷
一.选择题：
二、填空题:
11. 3360 12. 576 13. (1)(2)(4)
三．解答题：
14. 解：(1)53
2
5
1312=C C C (2)
25
6
5532=⨯⨯ 15. 解：(1)a+2a+3a+…+10a=1, 得 a=55
1 (2) p(ξ≤2) = p(ξ=1)+ p(ξ=2)=55
3 (3) p(9<ξ<20)= p(ξ=10)=11
2
16. 解：(1) 15622
22
41
43335=+A C C A C
(2) 86425
515344445=++A C A A C
17.解：由于每一个人可以进住任一房间，则3人进住4个房间可能出现的结果共有
n = 4×4×4=64，
（1）事件A 所包含的基本事件数有m 1 = 3×2×1=6；所以P （A ）=3231=n m （2）事件B 所包含的基本事件数有m 2 = 4×3×2=24；所以P （B ）=83
2=n m
（3）事件C 所包含的基本事件数有m 3 = 3×2×2=12；所以P （C ）=163
3=n m
（4）事件D 所包含的基本事件数有m 4 = 3×3=9；所以P （D ）=64
9
4=n m
答：（1）事件A ：指定的3个房间中各住一人的概率为323
；
（2）事件B ：恰有3个房间中各住一人的概率为8
3
；
（3）事件C ：第一号房间住一人，第二号房间住一人的概率为16
3
；
（4）事件D ：指定的某个房间中住两人的概率为64
9
；
18. 解：（1）依题意，得1212
10=++n n n C C C
即n 2
+n- 240=0 ，得 n=15或n=- 16(舍去)
∴n= 15
(2)945)3(2
2
153==x C T x 2
∴第三项的二项式系数为2
15
C 及系数为945 (3) n= 15
∴展开式中二项式系数的最大的项为7
77157715
983)3(x C x C T T ===
设r r
r x C T )3(151=+为展开式中系数最大项 则11151533--≥r r r r C C 得r ≤12 11151533++≥r r r r C C 得r ≥11
∴ 11≤r ≤12 又 r ∈N ∴r=11 ，12
∴展开式中系数的最大项为11111115
123x C T = 和12121215133x C T =。