2015届高考数学人教A版(文)一轮复习精品讲义：第八章 第八节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系

第八节圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[试一试]1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．1．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 设点 设出弦的两端点坐标代入 代入圆锥曲线方程作差 两式相减，再用平方差公式把上式展开整理 转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 2．函数与方程思想和数形结合思想在直线与圆锥曲线中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．[练一练]1．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝⎛⎭⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________． 解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1. ∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1.(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12，即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为 y －12＝－12⎝⎛⎭⎫x －12， 即2x ＋4y －3＝0. 答案：2x ＋4y －3＝02．(2013·成都模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与曲线y ＝2x －1相切，则该双曲线的离心率为________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b ax ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±b a x ，y ＝2x －1，得⎝⎛⎭⎫b a 2x 2－2x ＋1＝0，由渐近线与曲线y ＝2x －1相切可知Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫b a 2＝0，得ba＝1，所以该双曲线为等轴双曲线，离心率为 2.答案： 2第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系有且只有一个公共点，这样的l 的条数是( )A ．0或1B ．1或2C ．0或1或2D ．1或2或3解析：选D ①当A 在抛物线的外部时，共有三条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线，一条与抛物线的对称轴平行，如图)；②可以想象，当A 在抛物线上时，有两条直线与抛物线只有一个公共点；③当A 在抛物线的内部时，只有一条直线与抛物线只有一个公共点．故选D.2．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－baB ．k ＜baC ．k ＞b a 或k ＜－baD ．－b a ＜k ＜b a解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－b a ＜k ＜ba .[类题通法]研究直线与圆锥曲线位置关系的方法研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．弦长问题[典例] 如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p ＞0)，M 为直线l ：y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的两条切线，切点分别为A ，B (B 点在A 点右侧)．设抛物线上一点P 到直线l 的距离为d ，F 为焦点，当d －|PF |＝32，M 的坐标为(2，－2)时，求抛物线方程和线段AB 的长．[解] 依题意，由d －|PF |＝32，得3p 2＝32，解得p ＝1，故抛物线方程为x 2＝2y .设过M 点的直线为y ＝k (x －2)－2，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)－2，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2kx ＋4(k ＋1)＝0.(*)若直线与抛物线相切，则Δ＝4k 2－16(k ＋1)＝0，k ＝2±22， 此时，方程(*)有等根x ＝k ， ∴x B ＝2＋22，x A ＝2－22， x B －x A ＝42，x B ＋x A ＝4. ∵A ，B 在抛物线上，∴y B －y A ＝x 2B －x 2A2＝(x B ＋x A )(x B －x A )2＝8 2.∴|AB |＝(x B －x A )2＋(y B －y A )2＝32＋128＝410. [类题通法]有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．[针对训练]设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1.化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2， 因为0＜b ＜1. 所以b ＝22.中点弦问题角度一 求中点弦所在的直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0角度二 抛物线中中点弦问题2．(2013·郑州模拟)过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝xp，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p ，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p ＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：1或2角度三 利用中点弦解决对称问题3．(2013·郑州模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0，又∵y 0＝x 0＋m ， ∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m4，代入抛物线方程得 916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合． 答案：0或－8 [类题通法]处理中点弦问题常用的求解方法1．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．2．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．[课堂练通考点]1. 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．2．(2014·郑州模拟) 已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B.83C.103D ．10解析：选B 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1＞0，x 2＞0，设过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3(x 2＋1)，x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83，选B.3．(2013·嘉兴一模) 经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA ·OB 等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴OA ·OB ＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ·OB ＝－13. 4. (2014·东北三省联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝15．已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？如果l 存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)设A (2,1)的中点弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又据对称性知x 1≠x 2，由P 1，P 2在双曲线上，则有关系2x 21－y 21＝2,2x 22－y 22＝2.两式相减得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴2×4(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4，即以A (2,1)为中点的弦所在直线的斜率k ＝4. 故所求中点弦所在直线方程为 y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，故满足条件的直线l 不存在．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2 为直角三角形，则这样的点P 有 ( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个解析：选C 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个，同理当 ∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．2. 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：选B 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率为－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0. 3．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ＝λFB (λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ＝λFB 得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，(y 1＋y 2)2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.4．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 3解析：选D 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.5．(2013·兰州名校检测) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM |＝e |AB |，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－a e ，0，(0，a )．设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由|AM |＝e |AB |, 得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e (e －1)，y 0＝ea .(*)因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得(e －1)2e 2＋e 2a 2b2＝1，整理得，e 2＋e－1＝0, 解得e ＝5－12. 答案：5－12 6．(2014·沈阳模拟)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|P A |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)7. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB ＝1，|OF |＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1， 又∵AF ·FB ＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1.∴a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)，∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1.得 3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，x 1＋x 2＝－43m ，① x 1x 2＝2m 2－23.② ∵MP ·FQ ＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0.又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0.将①②代入得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0， 解得m ＝－43或m ＝1，经检验m ＝－43符合条件． 故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，直线l 的方程为y ＝x －43. 8．(2013·郑州模拟)已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程． 解：(1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23，所以轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线AB 的斜率不可能为0，而直线x ＝1也不满足条件，故可设AB 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消去x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m 2.S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2m 2＋3m 2＋4. 由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1. 故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求．第Ⅱ卷：提能增分卷1. 已知中心在坐标原点的椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2＝45x 的焦点，且椭圆E 的离心率是63. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点C (－1,0)的动直线与椭圆E 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程． 解：(1)由题知椭圆E 的焦点在x 轴上，且a ＝5，又c ＝ea ＝63×5＝303， 故b ＝a 2－c 2＝ 5－103＝ 53，故椭圆E 的方程为x 25＋y 253＝1，即x 2＋3y 2＝5. (2)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 2＋3y 2＝5，消去y ，整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＞0，(*)，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. 由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，符合(*)式． 所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.2．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距离为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋3与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆的焦半距为c ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32， 解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，故所求C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O .理由如下：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l 的方程y ＝kx ＋3代入y 24＋x 2＝1并整理得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0. (*) 则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4. 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ·OB ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3，即y 1y 2＝－k 2k 2＋4－6k 2k 2＋4＋3＝－4k 2＋12k 2＋4， 于是有－1k 2＋4＋－4k 2＋12k 2＋4＝0， 解得k ＝±112. 经检验知：此时(*)的判别式Δ＞0，适合题意．即(*)的判别式Δ＞0恒成立．所以当k ＝±112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O . 3. (2013·广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆C 1与抛物线C 2：x 2＝4y 有一个相同的焦点F 1，直线l ：y ＝2x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点．(1)求直线l 的方程；(2)若椭圆C 1经过直线l 上的点P ，当椭圆C 1的离心率取得最大值时，求椭圆C 1的方程及点P 的坐标．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2＝4y .消去y ，得x 2－8x －4m ＝0， ∵ 直线l 与抛物线C 2只有一个公共点，∴Δ＝82＋4×4m ＝0，解得m ＝－4.∴直线l 的方程为y ＝2x －4.(2)∵抛物线C 2的焦点为F 1(0,1)，依题意知椭圆C 1的两个焦点的坐标为F 1(0,1)，F 2(0，－1)设椭圆C 1的方程为y 2a 2＋x 2a 2－1＝1(a ＞1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2a 2＋x 2a 2－1＝1.消去y, 得(5a 2－4)x 2－16(a 2－1)x ＋(a 2－1)(16－a 2)＝0.(*) 由Δ＝162(a 2－1)2－4(5a 2－4)(a 2－1)(16－a 2)≥0，得a 4－4a 2≥0(a 2＞0且a 2－1＞0)，解得a 2≥4.∵a ＞1，∴a ≥2，∴e ＝1a ≤12，当a ＝2时，e max ＝12，此时椭圆C 1的方程为y 24＋x 23＝1. 把a ＝2代入方程(*)，解得x ＝32. 又y ＝2x －4，∴y ＝－1，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－1.。